UM MODELO MATEMÁTICO PARA MAXIMIZAÇÃO DA PRODUTIVIDADE DE LOCOMOTIVAS EM FERROVIAS BRASILEIRAS
Adriano Bacelar
Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Informática
Av. Fernando Ferrari, n° 514,Campus de Goiabeiras, Vitória, ES 29075-910 e-mail: adrianobacelar@yahoo.com.br
Anilton Salles Garcia
Universidade Federal do Espírito Santo Departamento de Informática
Av. Fernando Ferrari, n° 514, Campus de Goiabeiras, Vitória, ES 29075-910 e-mail: anilton@inf.ufes.br
Resumo
Locomotivas estão entre um dos custos mais significativos da operação de ferrovias. Em muitas ferrovias brasileiras a alocação de locomotivas aos trens é totalmente definida por empregados que trabalham para estas companhias e não usam ferramentas baseadas em conceitos de pesquisa operacional. Isto resulta em uma programação pobre das locomotivas e as conseqüências são observadas em seus índices de utilização e produtividade. Neste trabalho é apresentada uma pesquisa que identificou trabalhos desenvolvidos no contexto de planejamento e associação de locomotivas, em seguida é apresentada uma formulação matemática alinhada a realidade das ferrovias brasileiras que pode ser usada na implementação de uma solução que maximize a produtividade de locomotivas, esta melhora no índice pode ser convertida em um significativo aumento na capacidade de transporte ou em uma significativa redução nos investimentos.
Palavras-chave Locomotiva, Programação, Alocação, Planejamento, Otimização.
Abstract
Locomotives are among the most significant railway operations expense and capital cost. In many Brazilian Railways the locomotive assignment to trains are totally defined by employees that work for those companies and do not use tools based on operational research concepts. This results in poor locomotive scheduling and the consequences are observed in the utilization and productivity indices. This work presents a research that identified studies developed in the context of locomotive planning, scheduling and assignment. This article results in a mathematical model of real locomotive scheduling problem in Brazilian railways that can be used in implementation of a solution that maximize the locomotive productivity, this index gain can be convert in a significant growing in the transport capacity or in the significant reduction of invest in new locomotives.
Keywords Locomotive, Scheduling, Assignment, Planning, Optimization. 1. Introdução
Entre os diversos meios de transporte existentes na rede multi-modal que compõe a logística no mundo, a ferrovia desempenha um papel fundamental por ter a capacidade de transportar grandes
volumes de produtos ou pessoas, e atuar como se fosse uma rede de vasos sanguíneos, de modo a viabilizar a logística dos portos que tem como pré-requisito para seu bom funcionamento, a interligação com outros modais que possuam grande capacidade de produção, dando suporte à globalização que se baseia na interação comercial entre os países, que só é possível se os mesmos estiverem aptos a importar e exportar.
Embora o processo econômico vivido atualmente no mundo todo impulsione a utilização das ferrovias, muitas não estão preparadas para desempenhar adequadamente seu papel já que em diversos países não houve investimento nem mesmo na manutenção de vias e material rodante. Isso desencadeou um processo de degradação muito forte, impedindo que se trabalhe nos dias de hoje simultaneamente com níveis adequados de produtividade e segurança.
A maior barreira para a reestruturação de ferrovias, ou para sua expansão, é o alto custo de manutenção e investimento que demandam, os custos de aquisição aproximados são:
• Um milhão de dólares por quilômetro de ferrovia • Dois milhões de dólares por locomotiva
• Cinqüenta mil dólares por vagão
Como o custo de aquisição de ativos é muito alto, a única maneira de aumentar a capacidade de produção das ferrovias é através de uma gestão mais eficiente. Porém, romper os patamares dos indicadores de produtividade de uma ferrovia envolve uma série de medidas de todas as áreas que nela estão presentes, ações que atuam fortemente nos padrões, processos, tecnologias e fundamentalmente nas pessoas.
Dentre os ativos de ferrovia, as locomotivas chamam a atenção pelo seu elevado custo e pela ausência de ferramentas que auxiliem na otimização de sua utilização. Isso é facilmente percebido no Brasil e pode ser também identificado em ferrovias de todo o mundo e, em conseqüência disso, ao observar a utilização de locomotivas em uma ferrovia pode-se perceber um desequilíbrio entre a oferta e demanda delas no local e horário devido, causando falta em um determinado ponto e sobra em outro.
A gestão eficiente de locomotivas de uma ferrovia envolve uma gama enorme de variáveis, que combinadas tornam-se impossíveis de serem administradas, de maneira próxima à ótima, por pessoas. Por esse motivo é extremamente conveniente o uso de técnicas de otimização para se alcançar um nível mais elevado na gestão destes ativos tão caros.
Pesquisando sobre o assunto constata-se que mesmo as ferrovias de carga pesada mais avançadas do mundo tecnologicamente, de Classe I da América do Norte e da Europa, que são atendidas pelas companhias de desenvolvimento de software mais bem conceituadas no mundo, ainda se encontram em fase experimental de utilização de módulos de otimização que foram desenvolvidos e estão se aprimorando nos últimos anos.
O objetivo deste trabalho é conhecer as pesquisas já realizadas relacionadas à produtividade de locomotivas, analisar a forma como se planejam, programam e operam as ferrovias brasileiras e desenvolver uma solução teórica baseada na matemática computacional, que permita propor um modelo de otimização para o planejamento de alocação de locomotivas aos trens que maximize a produtividade de locomotivas.
Como resultado deste trabalho esperamos definir um modelo matemático que represente as variáveis presentes no contexto do problema de alocação de locomotivas aos trens e que este sirva de base para o desenvolvimento de um algoritmo que maximize a sua produtividade.
Este trabalho teve início com uma revisão bibliográfica sobre os principais temas que o compõem. Foram avaliados e discutidos artigos científicos e trabalhos acadêmicos que tratam sobre planejamento, programação e operação de locomotivas e as técnicas de otimização aplicadas nas
soluções destes problemas. Foi estudado em detalhes os processos e o funcionamento da Estrada de Ferro Vitória Minas (EFVM), e de forma menos abrangente outras ferrovias brasileiras como Ferrovia Centro Atlântica, Estrada de Ferro Carajás, América Latina Logística e outras, para um entendimento claro e amplo da realidade das ferrovias brasileiras.
A partir desse estudo, foi desenvolvida uma modelagem matemática baseada em modelos já existentes aplicados a ferrovias estrangeiras que se adequasse melhor a realidade e as regras das ferrovias brasileiras.
Na próxima seção são comentados trabalhos relacionados à alocação de locomotivas aos trens, trabalhos esses encontrados através de em uma pesquisa bibliográfica, na seção 3 é construído o modelo matemático para a maximização da produtividade de locomotivas em ferrovias brasileiras e por último são apresentadas as conclusões na seção 4.
2. Trabalhos Desenvolvidos
Abaixo estão relacionados os trabalhos desenvolvidos a respeito do problema de alocação de locomotivas aos trens, estes trabalhos não estão concentrados em uma determinada linha de pesquisa de um problema específico, abordam diversas nuances do problema como um todo e utilizam diversos métodos para busca da solução.
Em [20] é descrita uma aplicação de teoria dos fluxos ao planejamento de locomotivas e distribuição de vagões. Um modelo foi desenvolvido originalmente para ajudar o planejamento de distribuição de locomotivas e mais tarde modificado para ser usado no planejamento de distribuição de vagões. Detalhes do modelo de entrada, estrutura e saída são discutidos em complemento de aplicações do modelo. O modelo aceita entrada descrevendo programação de trens e parâmetros relacionados. Estas programações são usadas para construir a rede espaço-tempo. O algoritmo out-of-kilter é usado para encontrar um fluxo ótimo através da rede. A rede é construída de maneira que o fluxo ótimo através da rede resulte em um número mínimo de unidades de potência sendo requerida para operar as programações.
Uma análise do fluxo ótimo produz o uso de um plano, uma lista diária de associação de potência e um gráfico de inventário de cada terminal. O modelo para locomotivas foi focado primeiramente no desenvolvimento de planos cíclicos para diferentes tipos de locomotivas. O trabalho inclui detalhes de como a rede é desenvolvida e resolvida. São apresentados os dados de entrada e relatórios dos resultados.
Em [21] é apresentado um sistema computacional para apoiar a programação de locomotivas desenvolvido e aplicado por uma ferrovia Inglesa. O sistema inicia com a seleção da área a ser coberta e a preparação do relato de dados da área e serviços de trem envolvidos. Um conjunto de programas chamado Bashpeak é então executado para produzir programações. As programações são sujeitas a edição manual se mais de um tipo de locomotiva está envolvido usando um método de mapeamento. Este trabalho descreve o sistema em detalhes e as aplicações na ferrovia inglesa que tem obtido economias substanciais.
Em [7] é apresentada uma versão matemática do problema de programação de trens encarado por ferrovias que empregam diversos tipos de locomotivas para prover tração aos seus trens. Cada trem possui sua requisição de tração que é determinada pela sua carga, tamanho e rota que viaja. Foi feita uma formulação matemática de seleção mista de tipos de locomotivas que proporciona baixo investimento de capital, custos operacionais e explora o método de solução baseado no método de decomposição de Benders. Os resultados computacionais obtidos são satisfatórios para problemas de tamanho médio e insatisfatórios para problemas de grande porte. Também foi discutida a relevância do modelo e comentada sua utilidade prática.
Em [6] é descrito um método para encontrar o custo mínimo de um conjunto de programações de locomotivas para trabalhar em um conjunto de trens. O horário de partida dos trens pode ser fixo ou variável. É descrito o método heurístico que é baseado em um modelo de programação linear.
Em [26] foi observado que as ferrovias encaram freqüentemente o problema de alocação de tração aos trens. As requisições de tração para cada trem são incertas e a frota de locomotivas pode não ser homogênea.
Para tratar essas complicações, foi formulado um problema de fluxo multi-produtos com função objetivo convexa numa rede espaço-tempo. A função objetivo convexa permite minimizar custos sobre incertezas de forma a penalizar os arcos de viagem para terem o mínimo de tração alocada. A heurística de solução aloca as locomotivas diretamente aos caminhos mais curtos na rede espaço-tempo e então tenta promover intercâmbio de locomotivas em ciclos. Dois limites inferiores são desenvolvidos relaxando o aspecto multi-produto do problema. Em 19 problemas testados, variando de 15 a 404 arcos, a heurística se comportou bem, com tempos de execução pequenos e com custo médio 3 por cento do melhor dos dois limites inferiores desenvolvidos.
Em [27] é tratado um problema comum a todas as ferrovias. Dada uma grade de trens e locomotivas de vários tipos, cada trem deve possuir uma locomotiva alocada. Este trabalho examina o uso de algoritmos estocásticos para tal problema. Dois tipos de algoritmos são usados: um método de melhora local, utilizando sucessivamente pontos de partida aleatórios, e uma aproximação por simulated
annealing. Ambos proporcionaram resultados consideravelmente melhores que os métodos
determinísticos em uso, e o simulated annealing foi considerado o melhor método estocástico.
Em [14], dada a programação diária repetitiva e a disponibilidade de locomotivas de vários tipos, cada trem programado deve ser associado a uma locomotiva. Este trabalho apresenta um algoritmo exato para a solução deste problema, baseado em uma aproximação usada para resolver o problema de programação de ônibus multi-garagem. O algoritmo usado para resolver este problema de programação usou dados reais.
Em [22] foi projetada e implementada uma otimização baseada em DSS (Decision Support Systems) para facilitar o planejamento operacional de trens de passageiros na Indian Railways. O trabalho relata que implementar o DSS em uma organização que tem 1.6 milhões de empregados regulares foi muito frustrante e o sucesso não veio fácil.
Em [5] é sugerida uma relaxação Lagrangeana como meio efetivo de resolver um modelo de programação linear inteira para encontrar a programação de locomotivas com custo mínimo para trabalhar em um dado conjunto de trens.
Em [19] após uma breve definição do planejamento operacional ferroviário, é feita uma revisão das pesquisas e desenvolvimentos de ferramentas de otimização e simulação encarregadas do planejamento de trens, programação de trens e locomotivas, e planejamento de manutenção. O trabalho sumariza alguns dos requerimentos de planejamento de manutenção e descreve um modelo projetado para otimizar a alocação de pátios de cruzamento em um corredor com linha singela.
Em [11] foi desenvolvido um trabalho cujo objetivo é apresentar uma visão geral de modelos de otimização recentes para os problemas mais comuns de transporte em ferrovia já estudados. Para cada grupo de problemas, é proposta uma classificação de modelos e descritas as características importantes dando foco a estrutura do modelo e aspectos do algoritmo.
A revisão se concentra principalmente nos problemas de roteamento e programação por representarem a porção mais importante das atividades de planejamento realizadas pelas ferrovias. Modelos gerais de roteamento afetam as políticas operacionais de gerenciamento de frete de transporte e frota de vagões,
se for considerado que modelos de programação endereçam o despacho de trens e a associação de locomotivas e vagões.
Uma breve discussão dos modelos analíticos de pátios e de linha também é apresentada. A ênfase está em contribuições recentes, mas muitos trabalhos importantes ainda são citados.
Em [2] é definido o problema MCSL (Multi-Class Single Locomotive) como envolvendo uma única locomotiva para cada trem programado, alguns dos quais podem ser puxados por mais de um modelo de locomotiva. Este é um problema típico de redes de trem de passageiros e um método de solução exata existe para uma forma geral deste problema.
Este trabalho descreve a análise de um tipo particular do problema MCSL, encarado pela PTC (Public
Transport Corporation), na Australian State of Victoria, onde todas as viagens iniciam e finalizam em
um único local, Melbourne. Por causa desta característica, o problema pode ser resolvido em dois estágios separados.
O primeiro estágio (um modelo de programação inteira) determina o tipo de locomotiva que puxará cada viagem. O segundo estágio, que pode ser resolvido por algoritmo de programação linear ou por inspeção computadorizada, determinando a escalação das locomotivas (a seqüência de viagens que cada locomotiva realiza). Dividindo o problema em dois estágios consegue-se uma redução significante do tamanho do problema, resultando em grande redução do tempo computacional.
Em [10] é tratado um dos muitos problemas encarados por ferrovias que é otimizar a utilização de locomotivas e vagões. Neste trabalho é descrito um método de decomposição para a associação simultânea de locomotivas e vagões no contexto de transporte de passageiros.
Dada uma lista de trens e uma frota composta de diversos tipos de equipamentos, o problema é determinar o conjunto de equipamentos com custo mínimo que cobre todos os trens usando os equipamentos apropriados. Ligando restrições que aparecem quando locomotivas e vagões são tratados simultaneamente nos conduz a formulação de uma grande programação inteira. Foi proposto um algoritmo exato baseado em uma aproximação da decomposição de Benders, que explora a independência dos itens deste problema.
Experimentos computacionais baseados em instâncias de números verdadeiros indicam que o método encontra solução ótima com pequenos tempos computacionais. Também foram realizas outras aproximações baseadas em relaxação Lagrangeana e decomposição de Dantzig-Wolfe, tão boas quanto o Branch-and-Bound baseado em simplex.
Em [8] é apresentado um sofisticado modelo e uma heurística de solução aproximada baseada em otimização matemática para associação de locomotivas e vagões a trens de passageiro. Dado um período de programação e uma frota composta de diversos tipos de locomotivas e vagões, a aproximação determina o conjunto de equipamentos que cobre toda a programação de trens satisfazendo às restrições operacionais. Primeiro é apresentada uma formulação básica que traduz as requisições de manutenção e outras dificuldades fundamentais do problema. Depois são discutidas muitas extensões, substituindo possibilidades e minimizando as operações de manobra, que é requisito em aplicações na vida real. O modelo resultante é otimizado através de Branch-and-Bound no qual as relaxações lineares são resolvidas por geração de colunas. O modelo e estratégia de solução foram testados com dados da VIA Rail no Canadá e um sistema completo baseado neste trabalho está sendo utilizado na empresa.
Em [9] é proposto um modelo baseado em fluxo em redes multi-produtos para associação de locomotivas e vagões aos trens no contexto de transporte de passageiros. O modelo tem uma estrutura conveniente que facilita a introdução de restrições de manutenção, penalidades de manobra de vagões e possibilidades de substituição. A grande formulação de programação inteira é resolvida usando
programação inteira mista é resolvido por uma aproximação de decomposição de Benders, na qual as relaxações de programação linear do problema de fluxo em redes multi-produtos é otimizada por um algoritmo simplex ou por uma decomposição de Dantzig-Wolfe. Alguns refinamentos computacionais, como a geração dos cortes ótimos de Pareto, são propostos para melhorar a performance do algoritmo. Experimentos computacionais realizados em dois conjuntos de dados de uma ferrovia mostraram que a aproximação pode ser usada para produzir soluções ótimas de problemas complexos.
Em [1] são apresentados resultados de um estudo sobre o problema de alocação de locomotivas encarado pela CSX Transportation, a maior companhia ferroviária dos EUA. Foi considerada a versão de planejamento do problema, onde existem vários tipos de locomotivas e se deseja decidir o conjunto a ser associado a cada trem.
Neste trabalho, é apresentado um modelo integrado que determina: o conjunto de locomotivas ativas e rebocadas a serem associadas a cada trem, viagens escoteiras de estações com sobra de tração para estações com falta de tração, e conexões trem-a-trem que especificam conexões diretas das locomotivas entre trens que chegam e saem de uma mesma estação.
É apresentada uma formulação de programação inteira mista (MIP) para o problema com 197 mil variáveis inteiras e 67mil restrições. Para solucionar este MIP em tempo de execução aceitável usando um software comercialmente disponível foi usada decomposição de problema, programação inteira e VLSN (Very Large-Scale Neighborhood Search). Comparando a solução desenvolvida com a que se encontrava em utilização pela CSX foi obtida uma economia de mais de 400 (quatrocentas) locomotivas se traduzindo numa economia de mais de 100 (cem) milhões de dólares por ano.
Em [18] é proposto um método para resolver o problema de alocação de locomotivas em uma mina de ouro que fica próxima à cidade de Belo Horizonte usando teoria de filas e métodos de simulação. Este trabalho também leva em conta características dos trens que operam em minas subterrâneas, desta maneira selecionando uma locomotiva que é mais apropriada para um ambiente operacional específico.
Em [16] é apresentado um trabalho desenvolvido na Canadian Pacific Railway com o objetivo de criar um conjunto de ferramentas de suporte a decisão que a permita sair do estado de ferrovia baseada em tonelagem para se tornar uma ferrovia programada. Estas ferramentas contêm várias abordagens de pesquisa operacional que tratam blocagem de vagões, distribuição de vagões vazios e planejamento de alocação de locomotivas. Esta implementação economizou para a CPR 170 milhões de dólares durante o outono de 2000 e 210 milhões deste então, além disso, os índices de produtividade subiram significativamente e foi adquirida uma maior confiabilidade dos serviços.
Em [24] é apresentada uma aproximação por programação dinâmica para o gerenciamento dinâmico de locomotivas. Este método está habilitado a manipular várias estratégias operacionais complexas e as principais características da maior parte dos tipos de locomotivas. O método explicitamente manipula incertezas de previsão de tonelagem e pode otimizar horizontes extensos com rápidos tempos de resposta.
Em [29] é apresentado um sistema de programação de locomotivas que provê o custo mínimo suficiente para puxar trens programados pela ferrovia com a frota de locomotivas disponível satisfazendo o planejamento de manutenção. Os resultados numéricos são gerados sobre um problema de programação acíclica com horizonte de uma semana usando dados obtidos da CN North America. Este problema envolve dois mil trens.
3. Modelagem Matemática
Dentre os diversos modelos estudados foi escolhida a modelagem matemática desenvolvida no trabalho de [1] para a CSX para ser adaptado à realidade das ferrovias brasileiras e trazer resultados melhores na sua aplicação.
3.1 Trens
No planejamento existe um conjunto de trens L que são conduzidos de suas origens para seus destinos pelo conjunto de locomotivas, não sendo considerada a repetição de trens nesse planejamento como foi feito em [1] porque a EFVM é operada taticamente e não de forma planejada. Usaremos um índice
l para denotar um trem específico.
Os conceitos adotados por [1] de HP (Horse Power) por tonelagem, HP e penalidade por uso de somente uma locomotiva no trem não são utilizados neste trabalho. A definição do quadro de tração dos trens deve obedecer à tabela de capacidade de tração dos modelos de locomotivas, simplificando assim o tratamento do problema e a manutenção destas capacidades em caso de mudança. Relacionado aos trens, são definidas as seguintes variáveis:
• Hr-partida(l) – Horário de partida do trem l • Hr-chegada(l) – Horário de chegada do trem l • Est-partida(l) - Estação origem do trem l • Est-chegada(l) - Estação destino do trem l
• Tl : Tonelagem do trem em um determinado trecho 3.2 Locomotivas
Ferrovias tipicamente trabalham com diversos modelos de locomotivas com diferentes características de potência e custo, isso promove uma grande flexibilidade na alocação de locomotivas, porém torna o problema muito mais difícil de ser resolvido. O conjunto de todas as locomotivas de todos os modelos será representado por K, e será utilizado um índice k para referenciar um modelo específico de locomotiva. Relacionado às locomotivas são definidas as seguintes variáveis:
• Gk: Custo diário de posse para uma locomotiva do modelo k • Bk: Tamanho da frota de locomotivas do modelo k
Locomotivas associadas aos trens podem estar puxando ou sendo simplesmente rebocadas. O reboque permite que locomotivas extras sejam movidas de locais onde exista excesso de locomotivas para locais onde exista demanda por locomotivas.
A demanda e oferta de locomotivas são desbalanceadas por um fator inerente ao processo de transporte. Muitas programações de transporte não possuem carga de retorno, sendo assim, em um sentido o trem pode estar sempre carregado e no outro sempre vazio. Por exemplo, na mina os trens partem com mais tonelagem do que chegam, isso faz com que exista uma maior demanda por locomotivas na mina. O contrário ocorre nos pontos de descarga, onde os trens partem com menos tonelagem do que chegam, provocando um excesso de locomotivas. São utilizadas também as seguintes variáveis:
ck : o custo incorrido na alocação de uma locomotiva ativa do modelo k dk : o custo incorrido na alocação de uma locomotiva rebocada do modelo k tlk : quantidade de toneladas que a locomotiva do modelo k consegue no trem l
Um custo mais alto é utilizado para as viagens escoteiras de locomotivas por utilizarem um maquinista e uma faixa de circulação sem estar transportando nenhum produto, o objetivo é penalizar esta prática.
3.3 Estoque de locomotivas em estações
Tratado pelo termo consist-busting em [1], o estoque de locomotivas nas estações ocorre porque a necessidade de locomotivas dos trens que partem não é igual, muito menos síncrona, à oferta de locomotivas dos trens que chegam, uma boa alocação de locomotivas pode minimizar a quantidade de locomotivas estacionadas nas estações.
3.4 Restrições impeditivas
• Capacidade por trecho: os trens devem ter um quadro de tração que possua capacidade de puxar a quantidade de toneladas do trem conforme a tabela de capacidade de tração por trecho. • Número de locomotivas: Cada trem deve possuir no máximo seis locomotivas, independente
de estarem ativas ou rebocadas.
• Tamanho da frota: o número de locomotivas alocadas do modelo k deve ser menor ou igual à quantidade de locomotivas do modelo k existente na ferrovia.
3.5 Restrições não impeditivas
Reduzir estoque de locomotivas: reduzir o quanto possível o número de locomotivas estacionadas nas estações.
3.6 Rede espaço-tempo
O problema de alocação de locomotivas aos trens é formulado como um problema de fluxo multi-produto com restrições na rede, ondecada modelo de locomotiva define um produto na rede. Usamos a notação G = (N,A), onde a rede G é formada por nós N, que representam estações, e arcos A, que representam arcos de trem.
Para cada trem existe um arco (l’, l”), onde o nó de origem l’ do arco denota o evento de partida do trem l na Est-partida(l) e é chamado nó de partida, já o nó de destino l” do arco denota o evento de chegada do trem l na Est-chegada(l) e é chamado nó de destino. Cada nó de partida e chegada possui dois atributos: lugar e data-hora. Por exemplo, lugar(l’) = Est-partida(l) e data-hora(l’) =
Hr-partida(l), de forma semelhante, lugar(l”) = Est-chegada(l) e data-hora(l”) = Hr-chegada(l).
Para permitir o fluxo das locomotivas entre os trens que chegam e saem são criados os nós de estação e os arcos de conexão. Para cada nó destino é criado o respectivo nó de chegada de estação, com os mesmos atributos de lugar e data-hora do evento de chegada e eles associados através de um arco de conexão de chegada de estação. O mesmo foi feito para os nós de partida criando os nós de partida de estação e os arcos de conexão de partida de estação.
Para ligar os nós de estação, estes são agrupados por estação em ordem crescente e ligados um a um através de arcos de estação que permitem que as locomotivas tenham fluxo no tempo estacionadas nos pátios das estações. Os nós de estação representam o estoque de locomotivas na estação nos diferentes instantes de tempo, quando os eventos acontecem. À medida que os trens chegam, entregam suas locomotivas aos nós de estação através dos arcos de conexão de chegada de estação, quando os trens partem, retiram locomotivas dos nós de estação através dos arcos de conexão de partida de estação. Os arcos de estação permitem que as locomotivas cheguem a estação e permaneçam nela até que chegue o momento de partirem em outro trem.
As viagens de locomotivas escoteiras são permitidas entre as estações, mas são penalizadas no modelo proposto na seção 3 por ocuparem faixas de circulação de trens carregados e maquinistas que poderiam estar conduzindo trens carregados. Os arcos de trens de locomotivas possuem como nó de
origem e destino um nó de estação. O custo de viagem em trem de locomotiva por locomotiva é definido como Fl para um arco l.
Custos mais baixos são considerados na alocação de locomotivas mais novas pelo fato de possuírem uma eficiência energética melhor, maior confiabilidade e maior capacidade de tração. Tomando-se por base a frota da EFVM, o ranking de locomotivas definido, inclui modelo Dash em primeiro lugar, seguida pelos modelos DDM, B36, G16 e G12.
No modelo proposto na seção 3, aumenta-se a utilização das melhores locomotivas ao mesmo tempo em que se tenta reduzir o número de locomotivas ativas e rebocadas nos trens, e invariavelmente é positivo o fato de elas se manterem mais tempo a disposição do pátio, pois isto significa que o modelo está disponibilizando as locomotivas mais cedo e embora não se possa contabilizar este ganho ele é trivial já que grande parte de atraso nos trens nas principais estações ocorre por ausência de tração adequada para que o trem possa partir.
Resumindo, a rede espaço-tempo G=(N,A) possui três tipos de nós: nós de chegada (ChgNós), nós de partida (PrtNós) e nós de estação (EstNós); e quatro tipos de arcos: arcos de trem de carga (TrArcos), arcos de trem de locomotiva (LoArcos), arcos de conexão (CoArcos) e arcos de estação (EtArcos). Logo TdNós = ChgNós ∪ PrtNós ∪ EstNós e TdArcos = TrArcos ∪ LoArcos ∪ CoArcos ∪ EtArcos.
O problema de alocação de locomotivas é formulado como um fluxo de diferentes tipos de locomotivas na rede espaço-tempo. Locomotivas fluindo nos arcos de trem estão ativas ou rebocadas. As locomotivas que fluem nos arcos de estação estão desocupadas aguardando o próximo trem ao qual serão alocadas. As seguintes notações adicionais são utilizadas para a rede espaço-tempo:
Origem(l): o nó de origem do arco l ∈ TdArcos
Destino(l): o nó de destino do arco l ∈ TdArcos
Por convenção definiremos o conjunto S como o conjunto de arcos de trens que finalizam a utilização das locomotivas na rede espaço-tempo, isto é, são os últimos trens da rede aos quais as locomotivas são associadas.
3.7 Conexões trem-a-trem
Ao contrário de [1], não são criados, no modelo proposto na seção 3, os CoArcos, que permitem que locomotivas de trens de mesma classe sejam compartilhadas entre ChgNós e PrtNós. Esse caso não é uma prioridade na operação de ferrovias brasileiras, além disso, a modelagem anterior torna a alocação das locomotivas aos trens menos flexível.
Ao não criar CoArcos entre ChgNós e PrtNós, continua-se a obter ganhos significativos na alocação da tração adequada a cada trem e ganha-se uma maior liberdade na decisão de alocação das locomotivas, o que permite um aumento nas oportunidades de troca de tração e uma diminuição no desperdício de HP em cada trem.
3.8 Penalidade por utilização de uma única locomotiva
No trabalho desenvolvido em [1] existe uma penalidade pelo uso de uma única locomotiva. Já no caso das ferrovias brasileiras, essa penalidade não se aplica por não fazer parte do modelo operacional das mesmas. Desde que a locomotiva possua a potência necessária para puxar o trem ao longo do trecho para o qual está designada, não existem motivos para penalidade.
3.9 Variáveis de decisão
xlk: variável inteira representando o número de locomotivas ativas do tipo k ∈ K no arco l ∈ TrArcos;
ylk : variável inteira representando o número de locomotivas rebocadas do tipo k ∈ K no arco l ∈
TdArcos;
sk: variável inteira indicando o número de locomotivas economizadas do tipo k ∈ K. 3.10 Função objetivo Min Z =
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ − + + K k k k TdAr l k K k l k LoAr l k K k l k K k k l l k l k TrAr l s G y d x c x T t c cos cos cos 2 ) / ( , sujeito a∑
∈ ≥ K k l k l k l x Tt , para todo l ∈TrArcos,
∑
∈ = K k k lx 0, para todo l∈CoArcos EtAr∪ cos,
∑
∈ ≤ + K k k l k l y x ) 6( , para todo l ∈TrArcos,
∑
∈ = + + 1 ) ( S l k k k l k l y s B x , para todo k ∈K, 0 , k ≥ l k l yx e inteiro, para todo l ∈TdArcos, k ∈K, 0
≥ k
s e inteiro, para todo k ∈K.
Na função objetivo o primeiro termo representa o custo das locomotivas que exercem esforço de tração nos trens de carga, ou seja, estão puxando o trem. Este custo cresce à medida que aumenta a sobra de capacidade de tração no trem. O segundo termo representa o custo das locomotivas que exercem esforço de tração nos trens de locomotiva. O terceiro termo da função representa o custo das locomotivas rebocadas nos trens e presentes nas estações. O quarto termo representa as locomotivas que podem ser retiradas da frota reduzindo o capital investido no negócio.
A primeira restrição garante que será associado um conjunto de locomotivas com capacidade suficiente para puxar o trem de sua origem para seu destino. A segunda restrição garante que somente serão alocadas locomotivas ativas nos trens de carga e de locomotiva, não permitindo a existência das mesmas em arcos de conexão ou arcos de estação. A terceira restrição garante a presença de no máximo seis locomotivas no trem, de acordo com as regras de operação de trens. A quarta restrição garante que estão sendo utilizadas exatamente o número de locomotivas existentes de cada tipo nos arcos da nossa rede espaço-tempo.
4. Conclusão
O modelo apresentado neste trabalho mostrou melhorias em relação a outros discutidos fora do Brasil, contemplando as particularidades encontradas nas ferrovias brasileiras. Outra preocupação desse trabalho foi aproveitar ao máximo as características de cada modelo de locomotiva, principalmente no que diz respeito à potência, além das limitações existentes nas malhas ferroviárias brasileiras.
Sabendo que o custo de aquisição, manutenção e utilização de equipamentos ferroviários é muito alto, esse trabalho apresentou uma forma de melhorar os índices de produtividade de locomotivas, além de propor um modelo que poderá ser automatizado de forma que a programação das locomotivas deixará de estar sob a responsabilidade de pessoas que executam essa tarefa de forma empírica, forma esta que é muito suscetível a erros, além de normalmente não considerar, ao mesmo tempo e de forma eficiente, todos os fatores que o modelo proposto aqui considera.
Este trabalho tem sua continuidade prevista, na utilização de um algoritmo que baseado na modelagem matemática apresentada, processe dados reais de uma ferrovia brasileira e demonstre que a produtividade das locomotivas é maior utilizando uma configuração gerada por este modelo em comparação com a forma como é feita hoje, sem a utilização de ferramentas de otimização.
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