A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O TRABALHO DE
ENSINO–APRENDIZAGEM NA CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS E DAS OPERAÇÕES DEFINIDAS SOBRE ELES
Lourdes de la Rosa Onuchic Unesp - Rio Claro/SP lonuchic@horizon.com.br 1 - INTRODUÇÃO
Este mini-curso destina-se a professores de ensino fundamental e médio e pretende apresentar a metodologia de Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. Nesta metodologia o problema constitui-se em ponto de partida para a construção de novos conceitos e novos conteúdos dentro de um trabalho colaborativo em sala de aula. O padrão de conteúdo Números e Operações é a unidade temática do mini-curso. Pretende-se, com ele, contribuir para a formação dos professores de Matemática que trabalham em sala de aula.
2 – ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA: LINGUAGEM E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
2.1 - A LINGUAGEM E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS PCN
É sabido, por todos, que Português e Matemática são disciplinas trabalhadas em todas as séries da grade curricular. Uma razão para isso, fácil de ser percebida, é que, desde os primórdios da civilização, enquanto o homem se preocupava em comunicar-se no mundo das idéias, simultaneamente ele se preocupava em se comunicar no mundo das quantidades. Assim, foi criado o alfabeto, uma pequena quantidade de letras usadas para escrever qualquer palavra e, também, apenas dez dígitos que servem para escrever qualquer número.
Para nós, Português e Matemática são disciplinas importantíssimas para contribuir na formação de indivíduos críticos, reflexivos, criativos e participativos dentro da comunidade em que vivem.
Nos PCN1 - Ensino Médio – Linguagens, Códigos e suas Tecnologias – podemos ler, na página 13, que a linguagem é considerada
“como a capacidade humana de articular significados coletivos e compartilhá-los, em sistemas arbitrários de representação, que variam de acordo com as necessidades e experiências da vida em sociedade. A principal razão de qualquer ato de linguagem é a produção de sentido.”
E, na página 17, podemos perceber que a função e o uso da linguagem permite “analisar, interpretar e aplicar os recursos expressivos das linguagens, relacionando textos com seus contextos, mediante a natureza, função, organização das manifestações, de acordo com as condições de produção e recepção”.
Nos PCN – Matemática – 5a. a 8a. séries, página 15, lê-se que
“os Parâmetros Curriculares Nacionais explicitam o papel da Matemática no ensino fundamental pela proposição de objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas”.
Na página 16, está escrito que “os PCN indicam a resolução de problemas como ponto de partida da atividade matemática e discutem caminhos para ‘fazer matemática’ na sala de aula, destacando a importância da História da Matemática e das Tecnologias de Comunicação”.
Falando, em 1998, sobre o quadro atual do ensino de Matemática no Brasil, os PCN – Matemática – 5a. a 8a. séries, página 21, afirmam que
“entre os obstáculos que o Brasil tem enfrentado em relação ao ensino de matemática, aponta-se a falta de uma formação profissional qualificada, as restrições ligadas às condições de trabalho, a ausência de políticas educacionais efetivas e as interpretações equivocadas de concepções pedagógicas”.
Os PCN – Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, em 1999, na página 81, escrevem que
“à medida que vamos nos integrando ao que se denomina uma sociedade da informação crescentemente globalizada, é importante
que a educação se volte para o desenvolvimento das capacidades de comunicação, de resolver problemas, de tomar decisões, de fazer inferências, de criar, de aperfeiçoar conhecimentos e valores, de trabalhar cooperativamente. [...]
Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais ganham novos contornos, todas as áreas requerem alguma competência em Matemática e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é necessária tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e profissional “.
Como atender e poder cumprir todas essas posições tomadas pelos PCN? Como dizem os PCN – Ensino Médio, em 1999, página 98,
“entre os maiores desafios para a atualização pretendida no aprendizado de Ciência e Tecnologia, no Ensino Médio, está a formação adequada de professores, a elaboração de materiais instrucionais apropriados e até mesmo a modificação do posicionamento e da estrutura da própria escola, relativamente ao aprendizado individual e coletivo e a sua avaliação”.
Na página 93 são apresentadas competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática relativas a três áreas: representação e comunicação, investigação e compreensão e contextualização sócio-cultural. Em todas elas linguagem e resolução de problemas ocupam posições de destaque.
Uma questão muito séria, que se coloca sempre aos educadores matemáticos, diz respeito a que conteúdos matemáticos e que processos de ensino-aprendizagem devem ser trabalhados, em sala de aula , de modo que os estudantes possam conhecer e ser capazes de usar ao longo de sua caminhada escolar e de sua vida.
Saber trabalhar Matemática, em sala de aula, é muito importante e saber o quê e como se deve trabalhar apresenta-se como um desafio para os educadores matemáticos. Estes aspectos, organizados pelo NCTM2 - National Council of Teachers of Mathematics, serão discutidos a seguir.
2 O NCTM é uma organização profissional, sem fins lucrativos. Tem mais de 125 000 membros e é a
2.2 - A LINGUAGEM E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS PRINCIPLES AND STANDARDS FOR SCHOOL MATHEMATICS
Principles and Standards for School Mathematics, Princípios e Padrões para a Matemática Escolar – NCTM, apresenta uma proposta para saber o que deveria ser considerado importante na Educação Matemática. Essa proposta diz que padrões ambiciosos são requeridos para se atingir uma sociedade que tem capacidade de pensar e raciocinar matematicamente e uma fundamentação útil de conhecimento e habilidades matemáticas.
Os seis princípios apresentados no documento para a matemática escolar são Eqüidade, Currículo, Ensino, Aprendizagem, Avaliação e Tecnologia.
Apresenta também dez padrões que descrevem um corpo coerente de conhecimentos e habilidades – uma base abrangente recomendada para todos os alunos, mais do que um menu a partir do qual se pode fazer escolhas curriculares. Esses padrões são descrições daquela Matemática que deve ser trabalhada e que levaria os estudantes a entendê-la e saber trabalhar com ela. Eles especificam a compreensão, o conhecimento e as habilidades que os alunos deveriam adquirir ao longo de sua escolaridade.
São cinco padrões de conteúdo: Números e Operações, Álgebra, Geometria, Medida e Análise de Dados e Probabilidade, que explicitamente descrevem o conteúdo de Matemática que os alunos deveriam aprender.
E são cinco padrões de procedimento: Resolução de Problemas, Raciocínio e Prova, Comunicação, Conexões e Representação, que destacam meios de se adquirir e de saber usar o conteúdo do conhecimento construído.
3 – OBJETIVOS DO MINI-CURSO
Neste mini-curso pretendemos trabalhar o primeiro padrão de conteúdo: Números e Operações , utilizando o primeiro padrão de procedimento: Resolução de Problemas.
O padrão de conteúdo Números e Operações descreve uma compreensão profunda e fundamental de e habilidade com contagem, números, aritmética, sistemas de numeração e suas estruturas. Os conceitos e algoritmos da aritmética elementar são partes desse padrão como o são as propriedades e características das classes de números que dão origem à Teoria dos Números.
No centro deste padrão está o desenvolvimento do sentido de número – habilidade em decompor números naturalmente; usar números particulares como referentes; usar as relações entre as operações aritméticas para resolver problemas; compreender o sistema de numeração decimal; fazer estimativas; dar significado e sentido aos números; e reconhecer a grandeza relativa e absoluta dos números. (SOWDER; 1992)
Historicamente o número tem sido a pedra angular de todo o currículo matemático. Toda a Matemática proposta, desde o pré até o fim do ensino médio, está fortemente baseada em Números. Os princípios que regem a resolução de equações em Álgebra são os mesmos que os das propriedades estruturais dos sistemas numéricos. Em Geometria e Medida os atributos são descritos com números. Toda a área de Análise de Dados envolve dar sentido aos números. Através da resolução de problemas os estudantes podem explorar e solidificar sua compreensão de número.
A pesquisa tem mostrado que aprender números e operações é um processo complexo para os alunos. Nos padrões do NCTM, compreender número e operações, desenvolver o sentido de número e ganhar fluência em cálculo aritmético forma o núcleo da Educação Matemática nos graus elementares. Ao avançar do pré até o fim da escola secundária, o trabalho com os alunos deveria alcançar uma rica compreensão em números – o que eles são; como são representados com objetos, numerais ou sobre a reta numerada; como se relacionam uns com os outros; como os números estão encaixados em sistemas que têm estruturas e propriedades; e como usar números e operações para resolver problemas. As calculadoras deveriam estar à disposição, em momentos apropriados, como ferramentas computacionais, particularmente quando cálculos embaraçosos são necessários para resolver problemas.
O padrão de procedimento Resolução de Problemas é parte integrante de toda a aprendizagem matemática e, assim, não deveria ser uma parte isolada do programa. A Resolução de Problemas, como padrão de procedimento, está envolvida nos cinco padrões de conteúdo.
Resolver problemas significa engajar-se numa tarefa para a qual o método de solução não é conhecido de saída. Para achar a solução de um problema os estudantes precisam buscar recursos em seu conhecimento e, através desse processo, freqüentemente desenvolvem novas compreensões matemáticas.
Ao aprender a resolver problemas, os alunos devem adquirir modos de pensar; hábitos de persistência e curiosidade; e confiança dentro de situações não familiares que lhes servirão quando fora da sala de aula de Matemática.
4 - ATIVIDADES COMENTADAS
1a. Atividade: Pedir aos alunos que digam um número.
Quando aplicamos esta atividade é muito comum recebermos como respostas: 2, 3, 5, 4, 7... Quase sempre um número inteiro positivo e, em geral, menor que 10. Dificilmente dizem 0; mais difícil ainda -5, ou outro inteiro negativo; muito raro (só se alguém sugerir) dizerem 23, ou qualquer outro número fracionário; dificilmente um irracional, por exemplo, 2; e quase nunca um número complexo.
Problemas de linguagem são problemas sérios. Se quisermos dizer alguma coisa para alguém e o fizermos por meio de símbolos ou palavras, é preciso que esse alguém conheça o significado desses símbolos ou palavras para entender aquilo que dissemos. Se não, estaríamos dizendo uma coisa e esse alguém entendendo outra.
Assim, é preciso que fique muito claro o significado dos símbolos, das notações, expressões e terminologia que usamos em nossas aulas de Matemática para que nossos alunos possam entender o que lhes falamos.
O que se pode observar, quando se faz essa atividade é que, aparentemente, para os alunos, números são apenas números inteiros positivos isto é, os naturais. Foi isto o que ocorreu quando esta pergunta foi feita a alunos do 1o. ano do ensino médio
Mas durante os oito anos de ensino fundamental, tais alunos já trabalharam com diferentes conjuntos numéricos: N⊂ Z⊂ Q⊂ R; fizeram cursos de Aritmética e Álgebra, aprenderam um pouco de Teoria dos Conjuntos e principalmente, conheceram símbolos e notações que fazem parte da linguagem matemática.
Número é um dos objetos principais de que se ocupa a Matemática. Números são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e medir, podendo então avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza. Número é uma idéia, idéia da quantidade de objetos que há num conjunto.
Aritmética é a parte da Matemática que trabalha com números, estabelecendo relações entre eles, definindo operações sobre eles e identificando propriedades válidas para elas.
2a. Atividade: Em 47 quantos 7 tenho? Depende.
Se no número 47, há um 7, no lugar das unidades.
Se na quantidade 47, é procurar quantas vezes a quantidade 7 cabe dentro da quantidade 47.
Se eu quisesse usar a calculadora para resolver esse problema (O que é um problema?) não bastaria perguntar a ela: quantas vezes 7 cabe dentro de 47? A máquina não seria capaz de responder a essas palavras. Eu precisaria identificar que a operação que resolve esse problema é a divisão.
Se alguém me tivesse dito: a divisão, esse alguém é que teria resolvido o problema. Eu não teria pensado. Aí, eu apenas executaria um trabalho: 47 7 , que a calculadora pode fazer facilmente.
Então, o importante é pensar, buscar idéias relacionadas a esse pensar, explorar essas idéias, trabalhar sobre elas visando responder à questão proposta.
Em uma calculadora que faz divisão aproximada e apresenta quociente e resto, teríamos 47÷7= 6, e resto 5.
Se eu apenas fizesse 47 7 , mecanicamente, sem compreensão e sem dar
5 6
significado aos vários termos que aparecem nessa conta, eu apenas teria memorizado uma regra para fazer a divisão e, então, seria até melhor ter usado a calculadora, porque ela não erra.
Se a criança, junto com o professor, junto com seus colegas, construiu o conceito de multiplicação (provavelmente através de várias situações-problema) e conseguiu identificar que
6 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42 47 – 42 = 5
então, ao lhe perguntar quantas vezes 7 cabe em 47, ele diria “6 vezes e sobram 5”, ou seja, que é a operação divisão com resto, operação que desfaz o que a operação multiplicação fez, que nos leva a responder à questão dada.
O professor poderia levar os alunos a perceberem que esse problema poderia ser trabalhado de várias formas:
47 - 7 = 40
Nas subtrações sucessivas vê-se que 7 coube 6 vezes em 47 e o resto é igual a 5. 40 – 7 = 33 33 – 7 = 26 26 – 7 = 19 19 – 7 = 12 12 – 7 = 5
Ou, usando a operação divisão, como abaixo:
Ou com o conceito de divisão construído
D = q × d + r
3a. Atividade: Da mesma forma, estendendo o conjunto numérico N para Q, poder-se-ia perguntar em 56 quantos 23 há?
A idéia é a mesma do problema anterior. O que muda aqui é a técnica operatória pois os números agora são racionais.
• Com subtrações sucessivas: 6 1 6 4 6 5 3 2 6 5− = − = . . . 6 1 do quê? Como 3 2 6 1
p , então, 32 só coube uma vez inteira em 65 . E como termina esse problema?
• Usando as regras da operação divisão: 4 5 2 3 6 5 3 2 6 5 1 2 = × = ÷ ou 6 5 5×3 3 2 Dividendo Divisor 47 7 - 42 6 5 Quociente Resto
Dividendo – o que sofre a ação Divisor – o que faz a ação
Quociente – diz o número de vezes que a ação foi feita
Resto – o que sobrou depois que a ação foi feita o maior número de vezes
4 5 2 62 1 = × = 47 1 × 7 = 7 2 × 7 = 14 3 × 7 = 21 4 × 7 = 28 5 × 7 = 35 6 × 7 = 42 7 × 7 = 49
Aqui usando regras, na maior parte das vezes memorizadas, obtivemos 4 5 . 4 5 do que? Que relação há com a conduta anterior?
• Usando a calculadora: 6 5 ÷ 3 2 = 4 5
que é obtido diretamente. • Usando Álgebra:
6
5 2 3 0 x
Por que podemos garantir que o resto é zero? Nos racionais a divisão é sempre possível. Do conceito de divisão vem que
6 5 3 2 x⋅ =
Usando a propriedade do inverso multiplicativo
2 3 6 5 2 3 3 2 x⋅ ⋅ = ⋅ Logo 4 5 2 6 3 5 x 2 1 = ⋅ ⋅ = Novamente, 4 5 do quê?
• Trabalhando usando as mãos:
Demos duas folhas de sulfite a cada aluno. Pedimos que repartissem uma em seis partes iguais e outra em três. Pedimos para reduzir uma delas a
6 5 do todo e outra a 3 2 . 6 6 1= 3 3 1 =
Depois, foi pedido que verificassem quantas vezes 3 2 cabem em 6 5 .
Levando 3 2 sobre 6 5 , viram que 3 2
cabem 1 vez inteira e sobra 6 1
do todo para ser coberto. Mas 6 1 do todo é igual a 4 1 da vez. do todo 3 2 6 5 do todo 1 4 da vez Assim + = ÷ 4 1 1 3 2 6 5 de vez = 4 5 de vez
Isso foi um problema? Para quem? Sim! Depende! O que é problema para um, pode não ser para outro, pois problema é tudo aquilo que não se sabe resolver mas que, de alguma forma, se está interessado em fazer.
Problema é sempre o ponto de partida. Através dessa atividade colocada pretendíamos trabalhar (ensinar) a construção do conceito de divisão. Explorando-se as idéias, dando significado às palavras, buscava-se chegar, com compreensão, ao conceito de divisão.
4a. Atividade: Uma família, de 27 pessoas, resolveu fazer um passeio a um Parque Nacional para festejar alguma coisa.Telefonaram para lá, para reservar acomodação para todos. Souberam que eles alugavam chalés que abrigam quatro pessoas. Pergunta-se: quantos chalés precisam ser alugados?
Mecanicamente foi feita a divisão 27 4 3 6 Perguntamos: 27 o quê? → 27 pessoas (p)
4 o quê? → 4 pessoas / chalé (p/ch) 6 o quê? → 6 chalés (ch)
Foi notado que as grandezas utilizadas na operação, feita mecanicamente, eram diferentes. Na realidade a operação deveria se apresentar assim 27 p 4 p/ch
-24 p 6 ch 3p Como D d D = q × d + r = q × d + r r q p p p p
Nesta atividade vemos 27 p 4 p/ch 6 ch
6 ch . 4 p/ch = 24 p , 27 p – 24 p = 3p e r = 3p
Respondendo ao problema: é preciso alugar 7 chalés, dos quais 6 ficarão cheios e um deles com 3 pessoas.
Para resolver esse problema utilizou-se quociente e resto.
Se se perguntasse: quantos chalés ficarão completos? , a resposta do problema utilizaria apenas o quociente.
Se se perguntasse: quantos chalés ficarão com espaço disponível para mais alguém?, a resposta utilizaria apenas o resto e, nesse caso, haveria lugar para apenas mais uma pessoa porque o resto, sendo no máximo uma unidade menor do que o divisor, seria 3=4−1.
Nesse simples problema muita Matemática pôde ser feita: análise dimensional; conceito de divisão; formalização desse conceito; relação fundamental da divisão; proposição de novos problemas, a partir do original, como por exemplo: Se as 27 pessoas tivessem viajado em carros que comportam 5 pessoas, quantos carros deveriam conduzi-los?
5 - ESTRUTURA GERAL DO MINI-CURSO
5.1 - PÚBLICO ALVO
Este mini-curso será oferecido a professores de Matemática de ensino fundamental e ensino médio.
5.2 - MATERIAL NECESSÁRIO
O material destinado ao trabalho dos participantes será entregue em cópias impressas, constituído de problemas de diferentes níveis e sempre atendendo ao padrão
de conteúdo Números e Operações e ao padrão de procedimento Resolução de Problemas.
Será necessário utilizar lousa, giz e retroprojetor. 5.3 – DINÂMICA DE TRABALHO
Em cada problema apresentado, os participantes do mini-curso deverão analisar e responder, sempre que possível o questionário abaixo:
1. Isso é um problema? Por quê?
2. Que tópicos de Matemática poderiam ser iniciados com esse problema?
3. Haveria necessidade de se considerar problemas menores (secundários) associados a ele?
4. Para que séries você acredita ser esse problema adequado?
5. Que caminhos poderiam ser percorridos para se chegar à sua solução? 6. A solução necessariamente é única?
7. Como observar a razoabilidade das respostas obtidas?
8. Você, como professor, teria dificuldade de trabalhar esse problema?
9. Que grau de dificuldade você acredita que seu aluno possa ter diante desse problema?
10. Como relacionar o problema dado com aspectos sociais e culturais?
A metodologia de trabalho adotada para o mini-curso será a Metodologia de Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. Tal metodologia será empregada no mini-curso e representa uma possibilidade de trabalho para a sala de aula, que poderia atender ao seguinte roteiro:
1. Formar grupos e entregar uma atividade.
Lembrar que, no mundo real, aprender é muitas vezes um processo compartilhado. Progredir em direção a um objetivo vem através de esforços combinados de muita gente. Os estudantes precisam experimentar esse processo cooperativo e deve-se dar, a eles, oportunidade de aprender uns com os outros. Assim, deve-se organizar os alunos em pequenos grupos, e muito da aprendizagem, em sala de aula, será feita no contexto desses grupos.
2. O papel do professor
O papel do professor, dentro dessa forma de trabalho, muda de comunicador do conhecimento para o de observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador, incentivador da aprendizagem. O professor deve lançar
questões desafiadoras e ajudar os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para atravessar as dificuldades. O professor, ao fazer a intermediação, leva os alunos a pensar, espera que eles pensem, dá tempo para isso, acompanha suas explorações e resolve, quando necessário, problemas secundários (coisas que não sabem porque nunca viram ou porque se esqueceram).
3. Resultados na lousa
Com o trabalho dos alunos terminado, o professor, na lousa, anota os resultados obtidos pelos diferentes grupos. Anota resultados certos, errados, feitos por diferentes caminhos, etc...
4. Plenária
O professor chama todos os alunos, de todos os grupos, para uma assembléia plena. Como todos trabalharam sobre o problema dado, apresentam condições de participação na exploração dos resultados.
5. Análise dos resultados
Nesta fase os pontos de dificuldades encontrados pelos alunos são trabalhados. Outra vez surgem problemas secundários que, se não resolvidos, poderão impedir o “levar o trabalho à frente”. O aspecto exploração é bastante considerado nesta análise.
6. Consenso
A partir da análise feita, com a devida retirada das dúvidas, busca-se um consenso sobre o resultado pretendido.
7. Formalização
A partir do consenso, num trabalho conjunto, professor e alunos, com o professor na lousa, fazem uma síntese daquilo que se objetivava aprender a partir do problema ou da situação-problema e, formalmente, são colocadas as definições, identificadas as propriedades, feitas as demonstrações, etc.
6 - PALAVRAS-CHAVE
Números e operações, formação de professores, ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas.
- REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – 1o e 2o ciclos (1997). Brasília, DF.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – 3o e 4o ciclos (1998). Brasília, DF.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática – Ensino Médio (1999). Brasília, DF.
NCTM. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2000.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. cap.12, p.199-220.
ONUCHIC, L. R. Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas e Modelagem Matemática. Anais da 11a Conferência Interamericana de Educação
Matemática. Universidade Regional de Blumenau: Blumenau, 2003.
SOWDER, J. Estimation and Number Sense. In: GROWS, D .A. Handbook of research
on Mathematics Teaching and Learning. New York: Macmillan Publishing Company,
1992.
VAN DE WALLE, J. A. Teaching Through Problem Solving. In: VAN DE WALLE, J. A. Elementary and Middle School Mathematics. New York: Longman, 2001. p.40-61.
