CONSTRUÇÃO DE UM SISTEMA DE BONUS-MALUS NA PRESENÇA DE OUTRAS VARIÁVEIS TARIFÁRIAS. Henda Mondlane Ferreira da Silva

MESTRADO EM: Ciências Actuariais

CONSTRUÇÃO DE UM SISTEMA DE

BONUS-MALUS NA PRESENÇA DE OUTRAS VARIÁVEIS

TARIFÁRIAS

Henda Mondlane Ferreira da Silva

Orientação: Doutor João Manuel de Sousa Andrade e Silva

Júri:

Presidente: Doutora Maria de Lourdes Centeno

Vogais: Doutor João Manuel de Sousa Andrade e Silva

Doutora Isabel Maria Ferraz Cordeiro

GLOSSÁRIO DE TERMOS

i

Y - número de sinistros declarados pelo segurado i

it

λ

- frequência de sinistralidade esperada para o segurado i durante o período t

it ^

λ - estimador de credibilidade para λ_it i

Θ - heterogeneidade residual referente ao segurado i N – conjunto dos números inteiros

+

ℜ - conjunto dos números reais positivos )

( j

b - prémio relativo associado ao nível j )

( 2 1,j λ j

p - probabilidade de um segurado com frequência média λ transitar do nível j1

para o nível j2 ) ( 2 1, ) ( λ j j v

p - probabilidade de um segurado com frequência média λ transitar do nível j1

para o nível j2 em v passos

) (λ

M - matriz de probabilidade de transição a um passo )

( ) (v λ

M - matriz de probabilidade de transição em v passos )

(λ

π_j - probabilidade estacionária para um segurado com frequência média λ de estar no nível j

k

λ - frequência de sinistralidade esperada da k-ésima classe de risco k

w - peso da k-ésima classe de risco, i.e., probabilidade de um segurado retirado aleatoriamente da carteira estar na k-ésima classe de risco

RESUMO

Esta dissertação tem como objectivo a construção de um sistema de bonus-malus, para o seguro de responsabilidade civil automóvel, considerando a tarifação a priori, ou seja, o sistema de bonus-malus é sobreposto a um sistema de prémios envolvendo um determinado número de factores tarifários.

A ideia chave é de que tanto a classificação a priori como as correcções a posteriori criem células tarifárias tão homogéneas quanto possível. Assim, as escalas de bonus-malus são determinados de maneira a evitar a sobre penalização dos maus riscos a priori e a sobre beneficiação dos bons riscos a priori que se verifica nas escalas de bonus-malus tradicionais. Desta maneira propõe-se uma alternativa aos modelos de tarifação clássicos. São desenvolvidos dois modelos.

• O primeiro modelo é uma técnica ligada à teoria da credibilidade que conduz à obtenção de tabelas (estruturas) de prémios como função do tempo, do número de acidentes declarados e dos factores tarifários significantes incluídos no modelo de regressão.

• O segundo modelo baseia-se na construção de uma escala de bonus-malus de forma “simétrica” a que habitualmente tem sido feita adaptando o sistema de bonus à tarifa a priori.

A metodologia adoptada consiste, numa primeira fase, em estimar modelos de regressão de maneira a identificar os factores tarifários significantes, determinar as classes tarifárias e calcular os prémios (modelo a priori). Numa segunda fase constrói-se o sistema de bonus-malus tendo em conta os resultados obtidos na fase anterior (modelo a posteriori). Finalmente comparam-se os resultados obtidos e tiram-se algumas conclusões.

Palavras-chave: Sistema de bonus-malus, tarifação a priori, modelo de Poisson, modelo binomial negativo, componente de regressão, credibilidade.

ABSTRACT

The main objective of this thesis is the determination of a bonus-malus scale for motor third part liability when a priori risk classification is used, i.e, the bonus-malus system is superimposed on a premium system involving a number of other rating variables.

The key idea is that both a priori classification and a posteriori corrections aim to create tariff cells as homogeneous as possible. In this way the bonus-malus scales are determined in order to avoid the over penalization for bad risks and over benefits for good risks that we see in classics bonus-malus scales.

So it can be seen as an extension of well known models of tarification. For this purpose two models are presented:

• The first model is a credibility technique that allows us to calculate premiums tables as function of time, past accidents and rating factors.

• In the second model a new bonus-malus system is derived.

In a first stage a regression model is estimate in order to identify significant risk classification factors, determine tariff class and calculate premiums (a priori model). Given the results of the regression model, a bonus-malus system is estimated (a posteriori model).

Finally, in a last chapter, we compare the results and take some conclusions.

Keywords: Bonus-malus system, a priori ratemaking, Poisson model, negative binomial model, regression component, credibility.

ÍNDICE

Pág.

Lista de Quadros

7

Lista de Gráficos

8

Prefácio

9

Agradecimentos

14

1. Tarifação a priori e a posteriori. Uma visão Clássica

15

1.1 Estimação da Tarifa a priori

19

1.1.1 Modelos Lineares Generalizados

22

1.1.2 Aplicação dos Modelos Lineares Generalizados na estimação 28 da Tarifa 1.2 Avaliação a posteriori

29

1.3 Sistemas de Bonus-Malus

30

1.4 Integração entre a Tarifação a priori e a posteriori

32

2.

Uma Solução Alternativa ao Método de Construção

de Tarifas tradicional

35

2.1 Modelo de Dionne e Vanasse

36

2.2 O Modelo de Pitrebois et al.

42

3. A Carteira em Estudo

46

3.2 Análise dos Diferentes Factores

48

4. Modelização da Estrutura Tarifária

66

4.1 Avaliação a posteriori – Escalas Óptimas

67

4.1.1 Número de Sinistros e distribuição Estrutural

67

4.1.2 Obtenção de Escalas Óptimas

70

4.2 Estimação da frequência esperada de sinistralidade

73

4.3 A tarifa a priori com a escala de bónus como restrição

74

4.4 Estimação conjunta das tarifações a priori e a posteriori

76

5. Estimação da Estrutura Tarifária com base nos

modelos alternativos propostos

80

5.1 Modelo de Dionne e Vanasse

80

5.2 O Modelo de Pitrebois et al.

84

5.3 Aplicações Numéricas

89

5.4 Comparação entre os modelos de tarifação

92

6. Conclusões

98

Bibliografia

101

LISTA DE QUADROS

3.1 - Idade do Segurado

49

3.2 -Tipo de Utilizador do veículo

50

3.3 - Idade da carta de condução

51

3.4 - Experiência

52

3.5 -Zona de circulação habitual do veículo

53

3.6 -Tipo de Combustível

54

3.7 -Outras características técnicas

55

3.8 -Cruzamento entre os factores Outras características técnicas e Tipo de combustível

55

3.9 -Tipo de propriedade do veículo

57

3.10 -Cruzamento entre os factores Tipo de propriedade e Zona de circulação

57

3.11 -Cruzamento entre os factores Tipo de propriedade e Outras características técnicas

57

3.12 -Idade do veículo

58

3.13 -Montante do capital seguro em RC

59

3.14 -Plano de Pagamento do prémio

60

3.15 -Agregação da variável idade da apólice

61

4.1 -Matriz de probabilidades de transição do sistema

71

4.2 -Distribuição estacionária e escalas óptimas

72

4.3 -Tarifa a priori – Escala de bonus como restrição

75

4.4 - Estimativa dos coeficientes da variável bonus Estimação Conjuntae Escala de Norberg “normalizada” 77

4.5 -Tarifa a priori – Estimação Conjunta

78

5.1 -Modelo de regressão binomial negativo

81

5.2 -Modelo de regressão de Poisson - Estimativas resultantes 85

5.3 -Classes do sistema de bonus-malus: Modelo sem tarifação a priori e Modelo com tarifação a priori 88

5.4 - Modelo binomial negativo com componente de regressão: tabela 1 90

5.5 -Modelo binomial negativo com componente de regressão: tabela 2 91

5.6 -Modelo binomial negativo com componente de regressão: tabela 3 92

LISTA DE GRÁFICOS

3.1 - Evolução da frequência de sinistralidade em função da idade da apólice 61

3.2 - Evolução da frequência de sinistralidade e custo médio em função das classes de bonus

65

5.1 - Evolução do prémio puro: 1º caso, trajectória 1 94

5.2 - Evolução do prémio puro: 1º caso, trajectória 2 94

5.3 - Evolução do prémio puro: 2º caso 95

PREFÁCIO

A natureza da actividade seguradora é caracterizada pela aceitação de diversos riscos que se supõem mais ou menos homogéneos para que, baseando-se na lei dos grandes números, a empresa seguradora assuma o conjunto das responsabilidades recebendo em troca um determinado montante a que se convencionou chamar de prémio.

Assim, o prémio constitui um dos elementos essenciais do seguro. Sendo o prémio uma contrapartida da assumpção de um risco pela Seguradora, deve ser remunerador para esta, mas também justo e equitativo para o segurado. Contudo, grandes divergências se levantam no sentido de saber se o prémio deve ser determinado apenas em função das características do risco a segurar, ou se por motivos relacionados com a concorrência no mercado Segurador.

Desde há muito tempo que o prémio tem sido definido mediante a avaliação do risco subjacente (visão actuarial). No entanto uma outra abordagem defende que os prémios devem ser estabelecidos em função dos mecanismos do mercado. Contudo, qualquer que seja a abordagem defendida, o prémio não pode afastar-se do equilíbrio, sob pena de desajustamentos indesejáveis que poderiam proporcionar a quebra de solidez e afectar a segurança que caracteriza a actividade Seguradora.

Assim, em termos actuariais, convencionou-se decompor o prémio em três componentes incorporadas durante o processo da sua fixação:

• O prémio puro que corresponde à esperança matemática do risco;

• A margem de segurança, destinada a fazer face à aleatoriedade do risco; • Os encargos destinados a cobrir os gastos administrativos e cargas fiscais.

As metodologias de construção de tarifas para o seguro automóvel têm conhecido uma grande evolução com imposições feitas pelas autoridades supervisoras em relação a determinados parâmetros que as seguradoras devem cumprir, proporcionando assim aos segurados maior protecção face às apetências ao lucro exagerado. Tal evolução tem sido acompanhada com o rápido desenvolvimento tecnológico, permitindo que actualmente se possa manusear grandes quantidades de informação de forma mais eficiente. De forma paralela o parque automóvel tem crescido significativamente nas últimas décadas, originando um aumento da frequência de sinistralidade, o que tem dado importância crescente ao seguro automóvel no quadro da actividade seguradora.

O processo de construção de uma tarifa começa pela definição dos objectivos que se pretendem atingir com a mesma, que geralmente residem na melhor adequação entre o prémio e o grau de risco existente nas unidades de exposição ao risco (as apólices para o seguro de responsabilidade civil automóvel). Segue-se então a modelização da estrutura a implementar, que abrange a escolha da variável que será objecto de análise (quer seja a

frequência ou os custos associados as indemnizações), identificação e posterior selecção dos factores (variáveis exógenas) a incluir no modelo.

Para distribuir os sinistros entre os segurados, o actuário geralmente reparte as apólices em classes tão homogéneas quanto possível de tal modo que todos os segurados pertencentes à mesma classe paguem o mesmo prémio. As variáveis de classificação que se introduzem de maneira a separar os riscos em células são designadas variáveis a priori (uma vez que os seus valores podem ser determinados antes de o segurado começar a conduzir). Nos Seguros de Responsabilidade Civil Automóvel, tais variáveis incluem, entre outras, a idade, sexo e ocupação dos segurados, o tipo de carro, local de residência e, por vezes, o número de carros na residência ou o estado civil. Contudo, alguns factores importantes podem não ser tidos em consideração a este nível, como por exemplo, a agressividade ao volante ou no conhecimento do código de estrada. Consequentemente, as classes de risco continuam heterogéneas apesar do uso de muitas variáveis de classificação a priori.

Os sistemas de tarifação que penalizam os segurados responsáveis por um ou mais acidentes agravando os prémios (malus), e bonificam os segurados que não apresentem sinistros concedendo descontos (bonus) estão, mais do que nunca, a ser usados. Trata-se de uma tarifação a posteriori, e é uma maneira bastante eficiente de classificar os segurados de acordo com os seus respectivos riscos, corrigindo assim as limitações dos sistemas a priori. Encorajando os segurados a conduzir cuidadosamente, isto é, de maneira a contrariar o “risco moral” (moral hazard), tenta-se melhorar a tarifação dos riscos individuais. Tal sistema é designado por ‘No claim discounts’ na sua versão mais simples ou sistema de bonus-malus quando o sistema se torna mais complexo.

Objectivo

O problema a que se propõe abordar neste trabalho é a determinação do prémio relativo de cada classe de uma escala de bonus-malus quando a classificação a priori é usada pela companhia, ou seja, adaptar o sistema de bonus-malus à tarifa a priori. Esta abordagem, apresentada inicialmente em Taylor (1997) e mais recentemente em Pitrebois, Denuit & Walhin (2003) será comparada quer com a abordagem “tradicional”, utilizada na generalidade das seguradoras, quer com a proposta de Dionne e Vanasse (1989) que desenvolveram uma metodologia alternativa.

Metodologia

Apresenta-se assim uma metodologia para construir escalas de bonus-malus no seguro automóvel, na qual as variáveis explicativas são consideradas para a determinação do prémio relativo de cada classe do sistema, resultando assim num novo esquema de tarifação integrado, diferente do sistema clássico. A severidade das correcções a posteriori varia de acordo com as características observáveis dos segurados. A ideia chave é de que tanto a classificação a priori como as correcções a posteriori criem células tarifárias tão homogéneas quanto possível.

Assinale-se que, dado o objectivo do trabalho se centrar nos sistemas de bonus-malus dependentes apenas da frequência de sinistralidade, não se irá modelizar os custos associados aos sinistros.

Estrutura da Dissertação

Para cumprir os objectivos definidos, dividiu-se o trabalho em seis capítulos organizados da seguinte forma:

• O primeiro capítulo tem por objectivo principal introduzir a metodologia usada para proceder a construção de tarifas segundo a visão clássica ou tradicional. Falar-se-á então dos modelos lineares generalizados como sendo um método estatístico que dá resposta aos objectivos enunciados.

• No segundo capítulo abordam-se as alternativas propostas para o processo de construção de tarifas, nomeadamente os contributos de Dionne e Vanasse (1989) e de Pitrebois, Denuit & Walhin (2003).

• Seguidamente, no capítulo 3, procede-se à descrição formalizada da informação a que se teve acesso bem como à selecção dos dados a serem utilizados.

• O essencial do estudo realizado desenvolve-se ao longo dos capítulos 4 e 5. Começa-se por efectuar a estimação da tarifa nos moldes habituais (visão clássica) para de seguida, voltar a estimar a tarifa mas considerando as alternativas propostas (capítulo 5).

• Finalmente, no sexto capítulo, sintetizam-se as conclusões principais, sugerindo-se também algumas alternativas para futuras investigações.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente ao Professor Doutor João Andrade e Silva pela sua orientação. Agradecer também o seu apoio, empenho e disponibilidade que sempre demonstrou. Um muito obrigado.

Não podia deixar de agradecer a Dra. Fernanda Freitas, Directora dos Ramos Pessoais e Vida da Empresa de Seguros de Angola (ENSA-S.A.R.L), que confiou em mim e deu-me a oportunidade de frequentar o mestrado.

À Companhia de Seguros que forneceu os dados necessários à elaboração desta tese. À Denise Filomena e ao Telmo Danilo por tudo o que representam na minha vida.

Por último agradecer a minha família, especialmente aos meus pais e irmãos pelo apoio prestado durante o decorrer deste trabalho.

Capítulo 1

Tarifação a priori e a posteriori. Uma visão clássica

A tarifa consiste no conjunto de regras que permitem definir o prémio a pagar por cada apólice. Ela surge como um instrumento que contempla as taxas ou prémios, bem como as regras orientadoras para a realização de contratos de seguro de um determinado ramo ou modalidade, e que define o prémio a pagar.

Na actividade seguradora os actuários precisam de construir estruturas tarifárias que irão distribuir de forma justa o risco entre os segurados. Uma estrutura tarifária consiste num conjunto de descontos e agravamentos que os prémios das várias apólices apresentam ( em função das sua características específicas), em relação à um valor padrão, designado como prémio padrão. O prémio dado por uma tarifa resulta assim do multiplicar do prémio padrão pelo valor obtido na estrutura tarifária; a função da estrutura tarifária é assim diferenciar o prémio a pagar por cada apólice em função das suas características.

A discriminação dos riscos na carteira é feita de acordo com critérios socialmente aceites (uma vez que determinados critérios não são legalmente permitidos), e com critérios concorrenciais. Quando a tarifa inclui todos os elementos significativos de que se dispõe, a situação será transparente uma vez que, com a informação disponível, o prémio estará de acordo com a avaliação que se faz do risco.

Se, pelo contrário, não for incluída toda a informação significativa na tarifa, estar-se-ia a agrupar num mesmo escalão tarifário, riscos que se sabe à partida serem de gravidade diferente o que originaria distorções na tarifa.

É importante também realçar a necessidade de uma leitura cuidada dos resultados, independentemente da metodologia estatística usada, antes de implementar uma estrutura tarifária. Destacam-se alguns requisitos que esta deverá satisfazer:

• estabilidade a curto/médio prazo no que se refere aos factores seleccionados, e às bonificações/penalizações a aplicar;

• simplicidade na sua aplicação, tendo em conta não só que ela deve ser compreendida pelos segurados como também os diversos mecanismos de comercialização do produto;

• questões relacionadas com o período em análise. A melhor opção nem sempre é escolher um período remoto, uma vez que poderá faltar alguma informação considerada relevante, nem optar por um período recente, uma vez que a informação disponível poderá estar incompleta. Por exemplo, no seguro automóvel, as indemnizações de sinistros que envolvam danos corporais ou outros que envolvam situações litigiosas, só serão conhecidas passados muitos anos tornando necessário trabalhar com estimativas;

Esta situação deve levar a certas cautelas na determinação dos factores a excluir e a incluir de forma a evitar possíveis distorções. Note-se que as razões para inclusão ou exclusão de determinados elementos podem variar no tempo, ou seja, podem ser pacíficas numa determinada altura e deixar de sê-lo mais tarde. Assim sendo, o fundamental é encontrar um conjunto de características, designado por factores tarifários, que caracterizem cada apólice e que a coloquem em determinada classe de tarifação face ao nível de risco que representa. Um primeiro conjunto de características que fazem parte da tarifa de qualquer seguradora, são os designados factores mensuráveis a priori e que podem incluir:

• Dados relativos ao condutor do veículo (por vezes assume-se que o segurado e o condutor habitual do veículo coincidem), dos quais se destacam a idade, o género, a experiência de condução (número de anos de carta), o estado civil;

• Dados relativos ao tipo de veículo, nomeadamente, a potência, a cilindrada, a marca, a idade, etc.

• A região de circulação habitual do veículo;

• A quilometragem anualmente percorrida pelo veículo, quando esta se encontre acessível.

Tais factores são geralmente considerados em termos qualitativos e traduzem-se em termos estatísticos por um conjunto de variáveis artificiais que correspondem ao desdobramento dos diferentes níveis que cada variável qualitativa assume. A carteira

pode então ser concebida como um conjunto de células caracterizadas pelo cruzamento de diferentes níveis dos factores tarifários. A cada célula irá corresponder um grupo relativamente homogéneo que pagará o mesmo prémio. Uma vez que a distribuição dos riscos em termos dos factores tarifários não é uniforme, o sistema assim criado será caracterizado pelo facto de que uma percentagem muito pequena de células engloba a esmagadora maioria das apólices o que pode afectar a qualidade dos estimadores a utilizar.

O ramo automóvel possui ainda particularidades que fazem com que a escolha dos diferentes factores tarifários nem sempre seja muito pacífica. Existem diversas variáveis que, apesar de apresentarem uma correlação bastante elevada com a sinistralidade não podem ser incluídas porque não se consegue ter uma medida objectiva das mesmas. Por vezes é possível encontrar outras variáveis explicativas que, por estarem correlacionadas com aquelas, permitem, embora de forma indirecta suprir esta limitação.

Assim, para tomar em consideração estes efeitos “escondidos” e que podem ser os que mais ajudam a explicar a sinistralidade, define-se a estrutura tarifária com base numa dupla avaliação: por um lado, a partir dos factores tarifários conhecidos e utilizáveis, constrói-se um modelo para estimar o prémio puro, processo que se designa como tarifação a priori e, por outro lado, utiliza-se a sinistralidade passada de uma apólice para estimar o seu comportamento futuro, processo que se designa por tarifação a posteriori. Saliente-se que a avaliação a posteriori será feita apenas para a frequência. Embora alguns autores (Holtan (1994) ou Lemaire (1995) por exemplo) procurem também

abranger os custos, tal não é prática corrente e o presente trabalho também vai apenas considerar a avaliação a posteriori para a frequência.

Nas secções seguintes abordar-se-ão os aspectos fundamentais referentes à tarifação a priori e a posteriori. Seguindo o método tradicional de construção de tarifas, estes processos serão abordados de forma individual e proceder-se-á de seguida à sua integração.

1.1 Estimação da Tarifa a priori

A modelização das estruturas tarifárias em termos dos factores directamente mensuráveis, também designada como tarifação a priori, é feita com base nos modelos lineares generalizados que permitem estimar o impacto dos factores de tarifação sobre o valor esperado da frequência de sinistralidade.

As estruturas tarifárias baseiam-se numa estrutura aditiva ou multiplicativa. A principal diferença entre ambas deve-se ao facto de na estrutura multiplicativa, existirem agravamentos sobre agravamentos (ou descontos sobre descontos) enquanto que na estrutura aditiva tal não acontece. Em qualquer dos casos a modelização é feita, geralmente, de forma separada para o número de sinistros e para o montante das indemnizações.

Considere-se assim o valor total das indemnizações geradas por um risco i numa determinada anuidade, Wi, que tem origem num processo composto,

∑

= = Ni j ij i X W 0 (1.1)

onde Ni representa o número de participações na anuidade e Xij o valor das indemnizações

referentes à j-esima participação, com X₀ ≡0. Assumindo que, para cada risco i, as indemnizações são independentes do número de sinistros ou participações e constituem uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, ter-se-á

[ ]

Wi E

[ ] [ ]

Ni E Xi

E = × (1.2)

sendo X é uma variável aleatória com a distribuição comum a todas as variáveis _i

{ }

X_ij . Considerando a carteira como sendo composta por um conjunto de riscos que podem ser

caracterizados por um parâmetro (uni ou multi dimensional) θ, admitindo que os

{ }

X_ij condicionados por θ são independentes de N e constituem uma sucessão de variáveis _i independentes e identicamente distribuídas e supondo-se também que existe estabilidade e independência condicional entre as anuidades, tem-se, para cada anuidade

) ( ) ( ) (W θ E Nθ E Xθ E = × (1.3)

em que X é uma variável aleatória com a mesma distribuição que os

{ }

X_i , i = 1,2,…,N. O parâmetro θ tem duas componentes: as características observáveis

referentes a cada risco, e uma componente não observável, que adiante será tratada como sendo a realização de uma variável aleatória com distribuição conhecida.

Considere-se agora que o parâmetro θ pode ser decomposto num conjunto de k factores tarifários que correspondem a características objectivamente avaliadas das apólices. O objectivo é a modelização de E(W_i X_i1,X_i2,Λ ,X_ik) para i=1,2,Λ ,n, sendo n o número de apólices na carteira.

De acordo com a expressão (1.3) modela-se de forma separada o número esperado de sinistros e o custo médio de um sinistro dados os factores tarifários, utilizando-se para tal o modelo E(Y_i X_i1,X_i2,...,X_ik) representando Y o número de sinistros ou o seu _i montante conforme a situação.

1.1.1 Modelos Lineares Generalizados

Os modelos lineares generalizados (GLM) constituem uma generalização do modelo habitual de regressão linear múltipla, alargando as hipóteses sobre a distribuição da variável endógena da lei normal para a família exponencial (normal, Poisson, binomial, gama, etc.).

Nesta secção abordar-se-á de forma genérica estes modelos. Para uma visão mais alargada sobre os mesmos veja-se McCulagh & Nelder [1989] ou Turkman & Silva [2000].

Considere-se que se dispõe de n observações independentes da variável endógena Y , _i n

i=1,2,Λ , , de média µ_i, e das k variáveis exógenas que lhe estão associadas. Um modelo linear generalizado será definido por 3 características:

• A distribuição de Y pertence a família de dispersão exponencial, isto é i

      + − = ( , ) ) ( ) ( exp ) , , (

φ

φ

θ

θ

φ

θ

_i i i i i i c y a b y y f (1.4)

sendo a_i(.), (.)b e (.,.)c funções conhecidas, adequadas a cada caso particular, e

(.) i a da forma i

ω

φ

_com i

ω conhecido, e

φ

designado por parâmetro de escala não depende de i . A função f

( )

. representa a função densidade ou a função probabilidade da variável Y . Admite-se também que b(.) é duas vezes

diferenciável e que o suporte da distribuição não depende de θ. Os parâmetros do modelo são assim θ_i e φ, embora para certas distribuições como a Poisson o parâmetro φ tenha um valor pré-determinado.

Sabendo que 0 =       ∂ ∂ i i l E

θ

e 2 2 2       ∂ ∂ − =         ∂ ∂ i i i i l E l E

θ

θ

(1.5)

onde l_i é o logaritmo da função de verosimilhança de Yi, concluí-se que

[ ]

i i i i d db Y E µ θ θ = = ( ) e var

[ ]

( ) ( ) (

φ

)

θ

µ

φ

θ

_i i i i i i a d d a b Y = ′′ = (1.6)

definindo-se assim a chamada função variância

i i i i d d b V

θ

µ

θ

µ

)= ′′( )= ( (1.7) • A existência de um predictor linear ηi definido como combinação linear das

variáveis explicativas, ou seja _j k j ij i X

β

η

∑

= = 1 , i=1,2,Λ ,n, ou, em termos

matriciais η=Xβ. Sendo a matriz X conhecida e β um vector de parâmetros desconhecidos a estimar. Geralmente tem-se X_i1 =1, i∀ , ou seja, o modelo tem um termo independente.

• Existe uma função de ligação

g

i, monótona e diferenciável, que relaciona

µ

i com η_i através de η_i =g(µ_i), i=1,2,Λ ,n. Como caso particular mais

significativo define-se a função canónica de ligação quando η_i = , para θ_i n

i=1,2,Λ , .

Os parâmetros de localização dados pelo vector β, são estimados pela máxima verosimilhança através de um processo iterativo, onde em cada iteração se constrói uma matriz diagonal de ponderadores e se procede a uma estimação pelos mínimos quadrados ponderados. Quando a distribuição de Y_i não envolve o parâmetro de dispersão φ (caso da Poisson), não haverá necessidade da sua estimação. Nos outros casos recorre-se a uma estimativa de máxima verosimilhança, fora do âmbito dos modelos lineares generalizados, ou opta-se por um método de estimação alternativo, sendo importante garantir que o estimador utilizado é consistente. McCullagh & Nelder [1989] propõem o recurso a um estimador centrado e consistente com base na estatística do qui-quadrado generalizada, isto é, k n − = 2 ~ χ φ (1.8) onde _i n i i i i V Y ω µ µ χ

∑

= − = 1 ^ ^ 2 ) ( ) (

Na estimação das estruturas tarifárias como em qualquer processo de modelação, pretende-se um modelo que realce os aspectos principais do fenómeno em estudo, reduzindo o número de parâmetros envolvidos.

Nos modelos lineares generalizados, a medida de ajustamento por excelência, a “deviance” D , é obtida por comparação do modelo em estudo com o modelo saturado1.

Define-se a “deviance” à escala *

D como sendo

φ

ω

φ

θ

θ

θ

θ

D b b Y l l D n i i i i i i i s e =     ₋ − − = − − =

∑

=1 ^ ~ ^ ~ * ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 (1.9)

onde o modelo em estudo é representado pelo índice e e as suas estimativas assinaladas com o símbolo “^”, e o modelo saturado pelo índice s e as correspondentes estimativas assinaladas com “~”, l representa o logaritmo da função de verosimilhança.

Define-se então a “ deviance” por

          ₋ − − − =

∑

= ) ( ) ( ) ( 2 ^ ~ ^ ~ 1 i i i i i n i i Y b b D

ω

θ

θ

θ

θ

(1.10) 1

entende-se por modelo saturado aquele em que existem tantas variáveis quantas

observações de forma a obter um ajustamento perfeito, o que corresponde a _i = y_i ∧

O modelo M₂, com k₂ parâmetros de localização, diz-se encaixado no modelo M₁, com 1

k parâmetros de localização, quando este pode ser obtido por meio de um conjunto de 1

k -k₂restrições lineares. Quando o parâmetro de dispersão φ tem valor conhecido, o teste destas restrições lineares é feito utilizando o resultado

) ( 2 1 2 2 1 ~ k k D D E − ° − = χ φ (1.11)

onde D_i representa “ deviance” do modelo i , i=1,2. Pode-se assim testar a nulidade dos parâmetros do modelo 2 não incluídos no modelo 1, através dum teste de aba direita da

distribuição ( ) 2

2 1 k k −

χ para um nível de significância pré-definido.

Quando φ não tem um valor pré-definido, Dobson [1990] propõe que se utilize a estatística ) ; ( 1 1 2 1 1 2 1 2 1 ~ ) ( ) ( ) ( k n k k F k n D k k D D F _{− −} ° − − − = (1.12)

tratando-se também de um teste de aba direita.

De forma alternativa, ao comparar o modelo em estudo com o modelo mínimo (onde o valor esperado condicionado apenas envolve o termo independente) passa-se a apreciar a

qualidade global do modelo por comparação com uma situação de plena homogeneidade da carteira.

Como o modelo mínimo está encaixado em todos os modelos que tenham termo independente, pode-se utilizar as estatísticas E ou F, para testar a nulidade de todos os coeficientes, com excepção do termo independente. Por outras palavras está-se a testar se os factores tarifários são ou não relevantes para a explicação do valor esperado condicionado.

Para validação estatística do modelo estimado pode-se também recorrer à análise dos resíduos e testes da função de ligação, como se pode ver em McCulagh & Nelder [1989] ou em Turkman & Silva [2000].

1.1.2 Aplicação dos Modelos Lineares Generalizados na

estimação da Tarifa

A sinistralidade em seguros de responsabilidade civil automóvel pode ser avaliada de duas formas: em termos do número de sinistros provocados ou em termos do montante de indemnizações que envolveram.

Assumindo que as variáveis explicativas podem ter impactos diferentes sobre o custo médio e a taxa de frequência, procede-se ao estudo separado das mesmas. Assim assumindo a independência entre o número de sinistros e os custos a eles associados, para obter o valor esperado do custo de cada apólice procede-se à multiplicação das estimativas da taxa de frequência e do custo médio.

Para modelar o número esperado de sinistros, recorre-se a distribuição de Poisson ou da quase Poisson, estimando-se o parâmetro φ com base em (1.8). A modelação parte de um grande número de observações. A variável endógena N corresponde ao número de _i participações da apólice i na anuidade (existem alternativas que permitem considerar, no âmbito da Poisson, uma agregação da informação por células ou a consideração de apólices que não tenham estado na carteira durante toda a anuidade em análise).

Quando se modela o custo esperado de uma indemnização as distribuições escolhidas costumam ser a família gama ou a lognormal, escolhendo-se a função de ligação

1.2 Avaliação a posteriori

Diversos factores importantes não podem ser tidos em conta a priori; pense-se por exemplo na rapidez dos reflexos, agressividade ao volante, ou no conhecimento do código de estrada. Por este motivo as sub-carteiras existentes nas diversas células tarifárias continuam a apresentar um certo grau de heterogeneidade apesar do uso de muitas variáveis de classificação.

Em termos globais, verifica-se que os dados relacionados principalmente com o número de sinistros não podem ser adequadamente explicados por modelos de Poisson dado que apresentam uma variabilidade bastante elevada. Contudo, é razoável acreditar que as características não observáveis são, em parte, reveladas pelo número de sinistros participados pelos segurados no decorrer dos vários anos de vigência da apólice. Portanto, o prémio é ajustado a cada ano de acordo com a experiência dos sinistros individuais de modo a restituir uma certa justiça entre os segurados. Neste caso a correlação é aparente e resulta dos factores desconhecidos nas características do risco. A ideia é utilizar o comportamento passado de um risco para determinar o seu prémio na anuidade seguinte.

No seguro automóvel de responsabilidade civil, a integração da sinistralidade passada (a consideração dos efeitos não observáveis) é feita por meio dos modelos de credibilidade ou recorrendo a sistemas de bonus-malus.

1.3 Sistemas de Bonus-Malus

As escalas de bonus são caracterizadas por possuírem um determinado número de níveis, s+1 por exemplo, numerados de 0 à s. Quando um segurado entra na carteira é-lhe atribuído um nível pré-fixado do sistema. Dentro dos sistemas existentes, apenas se irá considerar os sistemas Markovianos de 1ª espécie na terminologia de Lemaire [1995] por corresponderem à situação mais frequente e porque o sistema que se irá utilizar se inscreve nesta família.

Uma característica destes sistemas é o facto de que para determinar o nível para onde o segurado deverá transitar apenas se precisa de saber o nível actual e o número de sinistros participados na presente anuidade. Isto assegura que o sistema possa ser representado por uma cadeia de Markov: o futuro (a classe para o ano t+1), conhecido o presente (a classe para o ano t e o número de sinistros participados durante o ano t), não depende do passado (o historial completo de sinistralidade e os níveis ocupados durante os anos 1,2, …, t-1).

O prémio relativo associado ao nível j é denotado por b(j) geralmente expresso em percentagem; o seu significado é de que um segurado que ocupe o nível j paga um prémio igual à b(j)% do prémio a priori determinado com base nas suas características observáveis.

Seja ( ) 2 1j λ j

p a probabilidade de um segurado com frequência médiaλ transitar do nível 1

j para o nível j₂. Seja também M(λ) a matriz de transição a um passo, isto é,

{

p

}

j j s M( ) _jj ( ), ₁, ₂ 0,1, , 2 1 = Λ = λ λ . (1.17)

Determinando a v- ésima potência da matriz M(λ) obtém-se a matriz de transição à v passos, cujo elemento (j1 ,j2), denotado por pj₁j₂v(λ), é a probabilidade de se transitar do nível j₁ para o nível j₂ em v passos.

Na generalidade dos sistemas de bónus, as matrizes de transição associadas são regulares,

isto é, existe um inteiro ξ₀ ≥1 tal que os elementos de

0 ) ( ξ

λ

      M são estritamente positivos. Consequentemente, a cadeia de Markov que descreve a trajectória de um segurado com frequência de sinistralidade esperada λ é ergódica e possui uma distribuição estacionária

π

(

λ

)=

(

π

₀(

λ

),

π

₁(

λ

),Λ ,

π

_s(

λ

)

)

T; π_j(λ) é a probabilidade estacionária para um segurado com frequência de sinistralidade média λ de estar no nível j , isto é , ) ( lim ) ( 12 2

λ

λ

π

vj j v j = _→∞ p (1.18) Note-se que π (λ) não depende da classe de entrada.

O vector π (λ) é solução do sistema

   = = 1 ) ( ) ( ) ( ) ( e M T T T

λ

π

λ

λ

π

λ

π

(1.19)

onde e é um vector coluna com todos os elementos iguais à 1. Seja agora E a matriz de dimensão (s+1)x(s+1) cujas entradas são iguais à 1, isto é, consiste de s+1 vectores e. Então 1 ) ) ( ( ) ( =eT I−M +E − T λ λ π (1.20)

Para uma abordagem mais pormenorizada sobre sistemas de bonus-malus veja-se Centeno (2003), Lemaire (1995) ou Norberg (1976).

1.4 Integração entre a Tarifação a priori e a posteriori

O processo de integração é geralmente feito no decorrer da estimação, pelos modelos lineares generalizados, da estrutura a priori, considerando-se o sistema de bónus como uma restrição ou como uma variável endógena.

O método mais comum consiste em introduzir o sistema de bónus que se estudou de forma independente e estimar a estrutura tarifária a priori, dado o sistema de bónus. Fixando, como é habitual, o valor da classe de entrada em 1, tem-se

) ( ) ( ) ( e b j b j c = , j=1,2,Λ ,s (1.21)

onde e representa agora a classe de entrada no sistema.

Quando se está a proceder à estimação da tarifa, o segurado i estará numa determinada classe do sistema, j*, no período em estudo e define-se então o seu coeficiente como

*) ( j c

c_i = . Pretende-se que os factores a priori contribuam para estimar i i c

µ

ao invés de i

µ uma vez que o sistema de bónus é fixado exogenamente.

No quadro dos modelos lineares generalizados considerando uma função de ligação

logarítmica, tem-se _      = i i i c

µ

η

ln , ou seja,

∑

∑

= = + = = = k j j ij k j i j ij i i i i c c X c X 1 1 ) exp(ln ) exp( ) exp(

η

β

β

µ

(1.22)

Assim, ao estimar o modelo, considera-se lnci como uma variável adicional com

coeficiente pré-fixado no valor em 1.

Uma segunda alternativa consiste em utilizar a classe do sistema de bonus, fixando-se os coeficientes apenas nesta fase, isto é, simultaneamente com aqueles que se vão aplicar aos restantes factores tarifários. Neste caso, o sistema é desdobrado em s-1 variáveis artificiais e estimam-se, admitindo-se uma estrutura multiplicativa, os parâmetros correspondentes. Escolhe-se como padrão para o factor do sistema a classe de entrada e. Os restantes coeficientes são estimados de forma idêntica aos parâmetros que afectam as outras variáveis.

Caso se tenha optado por uma escala de bónus geométrica existe ainda uma alternativa possível. Considere-se a apólice i situada na classe ri do sistema de bónus cujo

coeficiente é dado por

( )

_{( )}

r e e r i i i b ab ab c = = − .

Assim, ter-se-á

∑

∑

= = − _{+ = − +} = k j j ij k j i j ij e r i b X r e b X i 1 1 ) ln ) exp(( ) exp(ln

β

β

µ

(1.23)

sendo o parâmetro lnb estimado como qualquer β_j na componente linear e a expressão e

r_i − passa a constituir uma variável exógena do modelo.

Nas três situações acima descritas, considera-se geralmente o sistema de bónus no que diz respeito à estimação das componentes do número de um sinistro e não ao custo esperado do mesmo.

Capítulo 2

Uma Solução Alternativa ao Método de Construção de

Tarifas tradicional

As escalas de bonus–malus tradicionais possuem algumas desvantagens quando comparadas com modelos de credibilidade baseados na frequência. A primeira e principal diferença, é a progressiva concentração de segurados nos níveis mais baixos da escala, o que geralmente se deve ao facto de as regras de transição não serem suficientemente severas. Além disso, sendo os prémios relativos dos diferentes níveis iguais, qualquer que seja a classe de risco à qual os segurados pertençam, as escalas sobre penalizam os maus riscos a priori e sobre beneficiam os bons riscos a priori.

Este fenómeno pode ser facilmente explicado. Com o decorrer do tempo, os segurados são distribuídos pelos diferentes níveis da escala de bonus–malus em função do número de sinistros que participam. Como a trajectória dos mesmos é função do historial de sinistros, então os segurados com frequência de sinistralidade a priori baixa irão gravitar nos níveis mais baixos da escala, o contrário sucedendo com os segurados que possuam elevada frequência de sinistralidade a priori.

Nas secções seguintes apresentar-se-ão dois métodos, o primeiro ligado à teoria da credibilidade e o segundo baseado num sistema de bonus-malus.