resolução dos exercícios-tarefa
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1) Se a quantia, em reais, que José possuía inicialmente era x, e, após pagar R$ 900,00 pelo televisor, ainda lhe sobraram da quantia inicial, então:
x – 900 = . x = 900 x = 1500 o valor que sobra para José, em reais, é:
. x = . 1500 = 600 Resposta: E
2) Se 100g da mistura tiver pg de P e qg de Q, então:
3) Seja x o número de visitas no primeiro bimestre. Portanto, x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 756 63x = 756 x = 12 Resposta: E 4) (x2– 3x + 18)2– 14x3+ 90x2– 252x = 0 (x2– 3x + 18)2– 14x(x2+ 18) + 90x2= 0 Fazendo x2+ 18 = y, temos (y – 3x)2– 14xy + 90x2= 0 y2– 6xy + 9x2– 14xy + 90x2= 0 y2– 20xy + 99x2= 0 y = 9x ou y = 11x x2+ 18 = 9x ou x2+ 18 = 11x x2– 9x+ 18 = 0 ou x2– 11x + 18 = 0 x = 2, x = 3, x = 6 ou x = 9 Resposta: V = {2; 3; 6; 9}
5) Sendo a raiz comum das equações x3– px + 2q = 0 e x3– qx + 2p = 0, tem-se:
fi
fi (p – q) = 2q – 2p , pois p ≠ q
Substituindo em uma das equações, tem-se: (– 2)3– q (– 2) + 2p = 0 fi
6) 1) x2+ = 3x x2– 3x + = 0
2) Substituindo x2– 3x por y, temos:
y + = 0 y2– 14y + 40 = 0 y = 4 ou y = 10 3) Se y = 4, então x2– 3x = 4 x2– 3x – 4 = 0 x = 4 ou x = – 1 4) Se y = 10, então x2– 3x = 10 x2– 3x – 10 = 0 x = 5 ou x = – 2 Resposta: {– 2; – 1; 4; 5} 7) 1) x4– 5x3+ 8x2– 5x + 1 = 0 x2– 5x + 8 – + = 0 x2+ – 5 x + + 8 = 0 2) Substituindo x + = y, temos: x2+ 2 + = y2 x2+ = y2 – 2 3) (y2– 2) – 5y + 8 = 0 y2– 5y + 6 = 0 y = 2 ou y = 3 4) x + = 2 x2– 2x + 1 = 0 x = 1 5) x + = 3 x2– 3x + 1 = 0 x =
6) o conjunto solução da equação é ;
8) 1) Se a e j forem os números de pedras de ametista e de jade, respec tivamente, no colar inicial, então:
2) o preço original do colar é:
36 . R$ 0,50 + 24 . R$ 1,00 = R$ 42,00 Resposta: B
9) Seja x o número de vacas cujo preço unitário é R$ 250,00 e y o número de vacas cujo preço unitário é R$ 260,00.
de acordo com o enunciado, devemos ter:
250 . x + 260 . y = 10 000 25 . x + 26 . y = 1000
x = = 40 –
Para resultar um número natural não nulo e menor que 40, é necessário y = 25 e, consequen te men te, x = 14. Portanto, x + y = 39 Resposta: E 10) 3x2+ 12x – 3x
x2+ 12x = 0 fi fi 2x2+ x2+ 12x – 3xx2+ 12x = 0 Fazendo x2+ 12x = y, temos x2+ 12x = y2 e 2x2+ y2– 3xy = 0 2 ––– 5 3x ––– 5 2 ––– 5 2 ––– 5 2 ––– 5 p = 70 q = 30 3p + 3q = 300 3p + 5q = 360 p + q = 100 0,03p + 0,05q = 3,60 3 – p + 2q = 0 3 – q + 2p = 0 = – 2 p + q = 4 40 –––––––––––– x2– 3x – 14 40 –––––––––––– x2– 3x – 14 40 ––––––– y – 14 1 ––– x2 5 ––– x 1 ––– x 1 ––– x2 1 ––– x 1 ––– x2 1 ––– x2 1 ––– x 3 ± 5 ––––––– 2 1 ––– x 3 –5 ––––––– 2 3 + 5 1; ––––––– 2 a + j = 60 0,5 . (a + 4) + 1,00 . (j – 4) = 40 a = 36 j = 24 a + j = 60 a + 2j = 84 26 . y –––––– 25 1000 – 26 . y ––––––––––––– 25 26 . y –––––– 25 y2– 3xy + 2x2= 0 y = x ou y = 2x Para y = x, temos x2+ 12x = x2fi x = 0 Para y = 2x, temos x2+ 12x = 4x2 3x2 – 12x = 0 x = 0 ou x = 4 V = {0; 4} 11)
I) Inicialmente observamos que se x + = y, então: x2+ = y2– 2 e que x = 0 não é raiz da equação.
II) 6x4– 35x3+ 62x2– 35x + 6 = 0
– + – + = 0
6x2– 35x + 62 – + = 0
6 x2+ – 35 x + + 62 = 0
6(y2– 2) – 35y + 62 = 0 6y2– 35y + 50 = 0
y = ou y =
III) Para y = , temos:
x + = 3x2– 10x + 3 = 0
x = 3 ou x =
IV) Para y = , temos:
x + = 2x2– 5x + 2 = 0 x = 2 ou x = Resposta: V = ; ; 2; 3
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1) a) 5 . (1 + x)5= 20 (1 + x)5= 4 1 + x = 54 x = 54 – 1 b) 3x + 4 – x = – 8 3x + 4 = x – 8 3x + 4 = (x – 8)2e x ⭓ 8 x2– 19x + 60 = 0 e x ⭓ 8 (x = 4 ou x = 15) e x ⭓ 8 x = 15 Respostas: a) x = 5 4 – 1 b) x = 15 2) I) (x2– 1)4+ (x3+ 4x2– 37)6= 0 II) 1 não é raiz de x3+ 4x2– 37 = 0
III) – 1 não é raiz de x3+ 4x2– 37 = 0
IV) a equação (x2– 1)4+ (x3+ 4x2– 37)6= 0
não tem raiz real (x2 – 1)4 + (x3 + 4x2 – 37)6 ≠ 0,
"x Œ ⺢
Resposta: demonstração
3) I) Se x, em metros quadrados, for a área da parede a ser pin -tada, então:
. x + 8 = 4x + 80 = 5x x = 80
II) o valor total desse trabalho, é 80 . R$ 3,50 = R$ 280,00. Resposta: A
4) Sejam respectivamente q e c a quantidade de notas de R$ 50,00 e R$ 100,00 utilizadas pelo comerciante. Nas con -dições dadas, em reais, tem-se:
c = 40 e q = 80
Assim, foram utilizadas 80 notas de R$ 50,00. Resposta: C 5) Se x Œ ⺢, então: (x2– 2x)42+ (x5– 3x2+ x – 22)26= 0 x = 2, pois Resposta: {2} 6) Se x2+ 8x ⭓ 0, x + 7 ⭓ 0 e x + 1 ⬎ 0, então: 1) +
x + 7 = x2+ 8x + x2+ 8x + 7 = 72) Substituindo x2+ 8x por y, temos:
y + y + 7 = 7 y + 7 = 7 –y (y + 7 )2= (7 –y)2e y ⭐ 7 y + 7 = 49 + y – 14y e y ⭐ 7 y = 3 y = 9 3) x2+ 8x = 9 x2+ 8x – 9 = 0 x = – 9 ou x = 1 x = 1, pois x + 7 ⬎ 0 e x + 1 ⬎ 0 Resposta: {1} q + 2c = 160 q = 2c 50q + 100c = 8000 1 c = –– . (q + c) 3 x ––– 2 2 ––– 5 x = 1 ou x = – 1 e x3+ 4x2– 37 = 0
x2– 1 = 0 e x3+ 4x2– 37 = 0 x2– 2x = 0 e x5– 3x2+ x – 22 = 0 x = 0 ou x = 2 e x5– 3x2+ x – 22 = 0 0 não é raiz de x5– 3x2+ x – 11 = 0 e 2 é raiz de x5– 3x2+ x – 22 = 0 x2+ 8x –––––––––– x + 1 7 –––––––– x + 1 1 ––– x 1 ––– x2 6x4 –––– x2 35x3 ––––– x2 62x2 ––––– x2 35x3 ––––– x2 6 ––– x2 35 ––– x 6 ––– x2 1 ––– x2 1 ––– x 10 ––– 3 5 –– 2 10 ––– 3 1 ––– x 10 ––– 3 1 ––– 3 5 ––– 2 1 ––– x 5 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 3 1 ––– 22 –
7) observe a seguinte situação entre as idades dos irmãos A (eu) e B (ele), no passado, no presente e no futuro.
Como o tempo decorrido (1) é o mesmo para os dois irmãos, tem-se x – = y – x fi 2x = x = No futuro, teremos: y + (2y – x) = 95 3y – = 95 = 95 fi y = 40 desta forma, x = 25 e x + y = 65 Resposta: d
8) Sendo a raiz comum, tem-se: 3– 19 + a = 0
fi 9 – 18 = 0 fi = 2 e a = 30 3– 28 + a + 18 = 0 1a. equação: x3– 19x + 30 = 0 x3– 4x – 15x + 30 = 0 x(x + 2)(x – 2) – 15(x – 2) = 0 (x – 2) (x2+ 2x – 15) = 0 2a. equação: x3– 28x + 48 = 0 x3– 4x – 24x + 48 = 0 (x – 2) (x2+ 2x – 24) = 0 Respostas: V1= {2; – 5; 3} V2= {2; – 6; 4} 9) a) x3+ (m + 6)x = 5x2+ 2m x3– 5x2+ mx + 6x – 2m = 0 x3– 2x2– 3x2+ 6x + mx – 2m = 0 x2(x – 2) – 3x(x – 2) + m(x – 2) = 0 (x – 2)(x2– 3x + m) = 0 x – 2 = 0 ou x2– 3x + m = 0uma das raízes dessa equação é, pois, o número 2. obs.: É claro que, para tirar essa conclusão, bastaria
substituir x por 2. b) Para m = – 4, temos:
(x – 2)(x2– 3x – 4) = 0 x – 2 = 0 ou x2– 3x – 4 = 0
x = 2 ou x = 4 ou x = – 1
c) A equação (x – 2)(x2– 3x + m) = 0 terá três raízes reais
distintas se, e somente se, Respostas: a) demonstração
b) {– 1; 2; 4}
c) m Œ ⺢ m ⬍ e m ≠ 2
10) 1) (x; y) Œ ⺢2 x Œ ⺢ e y Œ ⺢.
desta forma (x – 3y) Œ ⺢ e (x + y – 8) Œ ⺢. Consequentemente (x – 3y)8≥ 0 e (x + y – 8)10≥ 0
2) (x – 3y)8+ (x + y – 8)10= 0 x – 3y = 0 e x + y – 8 = 0
Resposta: V = {(6; 2)}
11) Seja a raiz comum das equações. Temos que
fi fi
Assim, as equações e suas respectivas raízes são x2– 5x + 6 = 0 , x = 2 ou x = 3 e
x2– 7x + 10 = 0 , x = 2 ou x = 5
As raízes não comuns dessas equações são 3 e 5, que são raízes da equação x2– (3 + 5)x + 3 . 5 = 0 ⇔ x2– 8x + 15 = 0 Resposta: B
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1) f(x) ⭓ f(1) ⭓ ⭓ 1 – 1 ⭓ 0 ⭓ 0 ⭓ 0 (– x + 1) . (4x – 3) ⭓ 0 e x ≠ ⬍ x ⭐ 1 Resposta: E 2) a) I) o gráfico de g(x) = x – 1 é do tipo 3 –– 4 3 –– 4 3x – 2 – 4x + 3 –––––––––––––––– 4x – 3 – x + 1 ––––––– 4x – 3 3x – 2 ––––––– 4x – 3 3 . 1 – 2 –––––––– 4 . 1 – 3 3x – 2 ––––––– 4x – 3 3x – 2 ––––––– 4x – 3 x = 2 x = – 6 x = 4 x = 2 x = – 5 x = 3 Passado Tempo decorrido (1) Presente Tempo decorrido (2) Futuro (Eu) Irmão A y ––– 4 y x – ––– 4 x y – x y (Ele) Irmão B x y – x y y – x 2y – x y ––– 4 5y –––– 4 5y –––– 8 5y ––– 8 19y –––– 8 22– 3 . 2 + m ≠ 0 9 – 4m ⬎ 0 m ≠ 2 9 m ⬍ ––– 4 9 ––– 4 x = 3y x + y – 8 = 0 x = 6 y = 2 2– 5 + a = 0 2– 7 + a + 4 = 0 2– 5 + a = 0 2 – 4 = 0 = 2 a = 6II) o gráfico de h(x) = x2– 7x + 12 é do tipo
III) Quadro de sinais
IV) d(f) = x Œ ⺢ ⭓ 0 = = {x Œ ⺢ 1 ⭐ x ⬍ 3 ou x ⬎ 4} b) ⭓ 4 – ⭓ 0 ⭓ 0 (7x – 2)(1 – x) ⭓ 0 e x ≠ 1 ⭐ x ⬍ 1, pois o gráfico de f(x) = (7x – 2)(1 – x) é do tipo
3) A função quadrática f(x) = 16x – x2, definida no domínio
dado pelo intervalo [0; 7], tem imagem máxi ma igual a f(7) = 16 . 7 – 72= 63, pois o gráfico de f(x) é do tipo :
Resposta: C
4) Se x for a quantidade diária produzida e vendida; C, o custo diário; R, a correspondente receita pela venda e l, o lucro, então:
I) C = 50 + 2x + 0,1x2
R = 6,5x
fi l = – 0,1x2+ 4,5x – 50l = R – C
II) o gráfico de l = – 0,1x2+ 4,5x – 50 é do tipo
III) Não haverá prejuízo para 20 ≤ x ≤ 25. Resposta: B 5) I) f(0) = 0 + 0 + n = – 1 fi n = – 1 II) f(– 1) = 1 – m – 1 = 1 fi m = – 1 III) f(x) = x2– x – 1 IV) f(x) ⬍ 0 fi x2– x – 1 ⬍ 0 ⬍ x ⬍ , pois: V) – 0,6 e 1,6
VI) As soluções inteiras são 0 e 1.
6) I) ⬍ 0
⬍ 0, pois x2+ 4 ⬎ 0, "x
II) o gráfico da função f(x) = x2– (a + 1)x + a é do tipo
1 –5 ––––––– 2 1 + 5 ––––––– 2 1 –5 ––––––– 2 1 + 5 ––––––– 2 2 + 3x ––––––– 1 – x 2 + 3x ––––––– 1 – x 4 –– 1 7x – 2 ––––––– 1 – x 2 –– 7
x – 1 –––––––––––– x2– 7x + 12 [x2– (a + 1)x + a] . (x2+ 4) –––––––––––––––––––––––– x – 2 x2– (a + 1)x + a ––––––––––––––– x – 24 –
III) o gráfico de g(x) = x – 2 é do tipo
IV) Quadro de sinais
V) A solução da inequação é: x ⬍ 1 ou a ⬍ x ⬍ 2
7) Supondo que os 5 kg de comida que o restaurante deixa de vender sejam por dia, temos:
a) Se o preço por quilo subir para (15 + 3) reais = 18 reais, então o restaurante venderá (100 – 3 . 5) kg = 85 kg de comida. Neste caso, a receita será (85 . 18) reais = 1 530 reais.
Se o preço por quilo subir para (15 + 5) reais = 20 reais, então o restaurante venderá (100 – 5 . 5) kg = 75 kg. Neste caso, a receita será (75 . 20) reais = 1 500 reais.
Assim sendo, a receita será maior quando o preço subir para 18 reais/kg.
b) Se x for o número de reais a ser acres centado ao preço, então ele passará para (15 + x) reais e a quantidade vendida será (100 – 5x) kg. Assim, a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição, é: f(x) = (100 – 5x) (15 + x)
c) o máximo da função f, definida por f(x) = (100 – 5x) (15 + x) ocorre quando
x = = 2,5, pois o gráfico de f(x) é do tipo:
o preço a ser cobrado por cada quilo de comida, pa ra que o restaurante tenha a maior receita pos sível, deve ser (15 + 2,5) reais = 17,5 reais
Respostas: a) R$ 18,00
b) f(x) = (100 – 5x) (15 + x) c) R$ 17,50
8) Se n for o número de alunos da escola, então o clube B será mais vantajoso que o clube A se, e somente se,
1900 + 45n ⬍ 1000 + 50n 5n ⬎ 900 n ⬎ 180
Se N for o menor número de alunos para o qual o clube B é mais van tajoso, então N = 181 e, portanto, 150 ⭐ N ⬍ 190 Resposta: d
9) ⬍ x – ⬍ 0
⬍ 0 ⬍ 0
(ax – b) (bx – b) ⬍ 0
o gráfico de função f(x) = (ax – b) (bx – b) é do tipo
pois ab ⬍ 0 e as raízes são 1 e , sendo ainda ⬍ 1, pois
a e b têm sinais contrários.
Assim sendo: (ax – b) (bx – b) ⬍ 0 x ⬍ ou x ⬎ 1 Resposta: V = x Œ ⺢ / x ⬍ ou x ⬎ 1
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1) 1) f(x) = (k + 3) . (x2+ 1) + 4x
f(x) = (k + 3)x2+ 4x + k + 3
2) Se f(x) > 0, para todo x real, então o gráfico de f é do tipo
e, portanto: k + 3 > 0 e ∆ = 42– 4 . (k + 3) . (k + 3) < 0 3) k + 3 > 0 k > – 3 4) 42– 4(k + 3)(k + 3) < 0 4 – (k + 3)2< 0 (k + 3)2> 4 k + 3 > 2 ou k + 3 < – 2 k > – 1 ou k < – 5 5) de (3) e (4), temos k > – 1 Resposta: B 2) 1) (0;3) Œ f fi f(0) = 03– 2 . 02+ a . 0 + b = 3 b = 3 2) (1;0) Œ f fi f(1) = 13– 2 . 12+ a . 1 + b = 0 – 1 + a + b = 0 a = 1 – b a = – 2, pois b = 3 –15 + 20 –––––––– 2 ax2– b ––––––– ax – b ax2– b ––––––– ax – b x –– 1 ax2– b – ax2+ bx ––––––––––––––––– ax – b bx – b ––––––– ax – b b –– a b –– a b –– a
––b a3) A sentença que define a função é, pois: f(x) = x3– 2x2– 2x + 3 4) f(– 1) = (– 1)3– 2(–1)2– 2(– 1) + 3 = – 1 – 2 + 2 + 3 f(– 1) = 2 5) f(2) = 23– 2 . 22– 2 . 2 + 3 = 8 – 8 – 4 + 3 f(2) = – 1 6) f(– 1) + f(2) = 2 + (– 1) = 1 Resposta: B 3) 1) f(x) = x3– 2x2– x + 2 f(x) = x2 (x – 2) – (x – 2)
f(x) = (x – 2) . (x2– 1) e, portanto, as raízes da equação
f(x) = 0 são –1, 1 e 2.
2) de acordo com o gráfico, f (– 2) = –12 e f(x) ≥ –12, "x ≥ – 2
3) Também pelo gráfico, temos: f(x) ≤ 0 x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 2 4) x3– 2x2– x + 14 ≥ 0 x3– 2x2– x + 2 ≥ –12 fi fi f(x) ≥ – 12 x ≥ – 2 5) x3– 2x2– x + 14 ≤ 12 x3 – 2x2– x + 2 ≤ 0 fi fi f(x) ≤ 0 x ≤ –1 ou 1 ≤ x ≤ 2 6) de (4) e (5), temos: – 2 ≤ x ≤ – 1 ou 1 ≤ x ≤ 2 Resposta: – 2 ≤ x ≤ – 1 ou 1 ≤ x ≤ 2 4) 1) fi 30 = k . 540 k =
Assim sendo, A(x) = . x, "x Π[0;540] e, portanto, A(360) = 20.
2) fi fi
Assim sendo, B(x) = 0,05.x + 2, "x Π[200;1400] e, portanto, B(360) = 0,05 . 360 + 2 B(360) = 20
3) A(360) = B(360) = 20 e, portanto, A cobra o mesmo preço cobrado por B.
Resposta: E 5) a)
Se a função é ímpar, então o seu gráfico é simétrico em relação à origem. Como é periódica com perío do 10, f(99) = f(9). Para 7,5 ⭐ x ⭐ 10, f(x) = 2x – 20. Portanto: f(99) = f(9) = 2 . 9 – 20 = – 2 b) h(3) = g(f(3)). Para 2,5 ⭐ x ⭐ 5, f(x) = – 2x + 10 h(3) = g (–2 . 3 + 10) = g(4) fi h(3) = 42– 4 . 4 = 0 Para 2,5 ⭐ x ⭐ 5, f(x) = – 2x + 10 h(x) = g (– 2x + 10) = (– 2x + 10)2– 4 . (– 2x + 10) h(x) = 4x2– 40x + 100 +8x – 40 h(x) = 4x2– 32x + 60 Respostas: a) gráfico b) h(3) = 0 f(99) = – 2 h(x) = 4x2– 32x + 60
6) I) f(x) > 0, "x Œ ⺢, se, e somente se, o gráfico de f for do tipo
portanto, se p > 0 e ∆ = (2p + 3)2– 4 . p p + < 0
II) ∆ = (2p + 3)2– 4 . p p + < 0
4p2+ 12p + 9 – 4p2– 12 < 0 12p – 3 < 0 p <
III) fi 0 < p <
Resposta: 0 < p <
7) a) A função g é definida por g(x) = e o gráfico é:
B(x) = a.x + b B(200) = 12 B(1400) = 72 a . 200 + b = 12 a . 1400 + b = 72 a = 0,05 b = 2 1 ––– 18 A(x) = k . x A(540) = 30 1 ––– 18 3 ––p ––3 p 1 ––4 p > 0 ∆ < 0 p > 0 1 p < –– 4 1 ––4 1 –– 4 x + 1, se 0 ⬍ x ⭐ 2 – x – 1, se – 2 ⭐ x ⭐ 06 –
b) o conjunto imagem de g é [– 1; 3]
c) A função g: [– 2; 2] Æ [– 1; 3] é bijetora e a sua inversa h: [– 1; 3] Æ [– 2; 2] é definida por h(x) = o gráfico é Respostas: a) gráfico b) [– 1; 3] c) gráfico
x – 1, se 1 ⬍ x ⭐ 3 – x – 1, se – 1 ⭐ x ⭐ 1