Polinómios Simétricos e Polinómios W-harmónicos

(1)

Polin´

omios Sim´

etricos e Polin´

omios W-harm´

onicos

Jos´e Pedro Quintanilha

Sob orienta¸c˜ao do Prof. Samuel Lopes

Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto

(2)

Terminologia

Consideramos polin´omios sobre C em n vari´aveis: X c(j1,...,jn)x j1 1 · · · x jn n c(j ) ∈ C

O grau do mon´omio cxj1

1 · · · x jn

n ´e dado por j1+ · · · + jn.

Um polinómio diz-se homogéneo se todos os seus monómios

tiverem o mesmo grau.

(3)

Polin´

omios sim´

etricos

Defini¸c˜ao

Dizemos que um polinómio P ∈ P é simétrico se é invariante por qualquer permuta¸cão das suas variáveis.

Designamos por PW o conjunto dos polin´omios sim´etricos. Exemplos (n = 3):

(4)

Polin´

omios sim´

etricos elementares

Defini¸c˜ao

Se 1 ≤ k ≤ n, o polinómio simétrico elementar Ik é a soma de

todos os produtos poss´ıveis de k vari´aveis. Exemplo (n = 4):

I1 = x + y + z + w I3= xyz + xyw + xzw + yzw

I2 = xy + xz + xw + yz + yw + zw I4= xyzw

Teorema de Vi`ete

Seja p ∈ C[z] m´onico de grau n com ra´ızes x1, . . . , xn. Ent˜ao

p(z) = zn− I₁zn−1+ I2zn−2− · · · + (−1)nIn

(5)

Polin´

omios sim´

etricos elementares

Teorema Fundamental dos Polin´omios Sim´etricos

Se P ∈ PW, ent˜ao P pode ser escrito (de forma ´unica) como um

polin´omio em I1, . . . , In.

PW = C[I1, . . . , In]

Exemplo (n = 3):

3x2+ 3y2+ 3z2+ xyz = 3(x2+ y2+ z2) + xyz

= 3[(x + y + z)2− 2(xy + xz + yz)] + xyz

(6)

Polin´

omios sim´

etricos elementares

Prova da existˆencia:

Ordenamos os mon´omios de P lexicograficamente, de acordo

com os expoentes. Seja cxj1

1x j2

2 · · · x jn

n o mon´omio-guia

(j1 ≥ j2 ≥ · · · ≥ jn, porque P ´e sim´etrico).

Seja Q1 = cI1j1−j2I j2−j3 2 · · · I jn−1−jn n−1 I jn n. O mon´omio-guia de Q1 ´e o mesmo que o de P.

P − Q1 tem um mon´omio-guia mais baixo. Aplicamos o

mesmo método a este polinómio e iteramos até ficar P − Q1− Q2− · · · − Qk = 0.

(7)

Aplica¸c˜

ao

Teorema Fundamental dos Polin´omios Sim´etricos

Se P ∈ PW, ent˜ao P pode ser escrito como um polin´omio em

I1, . . . , In de forma ´unica.

Teorema de Vi`ete

Seja p ∈ C[z] m´onico de grau n com ra´ızes x1, . . . , xn. Ent˜ao

p(z) = zn− I₁zn−1+ I2zn−2− · · · + (−1)nIn

O Teorema de Viète e o TFPS dizem-nos que qualquer fun¸cão polinomial simétrica nas ra´ızes de p ∈ C[z] se pode expressar como um polinómio nos seus coeficientes.

Exemplo: Seja p ∈ C[z] com coeficientes inteiros. Ent˜ao a soma dos cubos das ra´ızes (complexas) de p ´e inteira.

(8)

Polin´

omios W-harm´

onicos

Dado um polin´omio P =P c_{(j )}xj1

1 · · · x jn n ∈ P, definimos o operador ∂P : P −→ P Q 7−→Xc(j ) ∂j1 ∂xj1 1 · · · ∂ jn ∂xjn n Q Exemplos (n = 3): Se P = x2y + 5z + 1, ent˜ao ∂PQ = ∂ 3 ∂x2_∂yQ + 5 ∂ ∂zQ + Q.

Um polinómio Q é harmónico se ∂PQ = 0, onde

(9)

Polin´

omios W-harm´

onicos

Defini¸c˜ao

Designe-se por PW+ o conjunto dos polin´omios sim´etricos com termo

constante nulo. Um polin´omio Q ∈ P diz-se W-harm´onico se para

todo P ∈ PW

+ se tem ∂PQ = 0.

Escrevemos H para denotar o conjunto dos polin´omios

W-harm´onicos.

Nota: Todas as “fun¸cões W-harmónicas” são polinómios.

Como consequência do TFPS, um polinómio Q ∈ P é W-harmónico

(10)

Polin´

omios W-harm´

onicos

Exemplos: n = 2 1 x − y n = 3 1 x − y x − z

x2− y2− 2xz + 2yz x2− z2− 2xy + 2yz

xy2− x2y + yz2− y2z + x2z − xz2

Facto conhecido

H tem dimensão n! (como espa¸co vectorial sobre C). Problema: Quais são, explicitamente, os polinómios W-harmónicos?

(11)

Determinante de Vandermonde

Defini¸c˜ao

A matriz V de dimens˜ao n × n com Vi ,j = xij −1´e chamada Matriz

de Vandermonde. Exemplo (n = 4): V =     1 x x2 x3 1 y y2 y3 1 z z2 z3 1 w w2 w3    

(12)

Determinante de Vandermonde

Teorema

´

E v´alida a seguinte f´ormula para o determinante de Vandermonde:

|V | = Y 1≤i <j ≤n (xj − xi) Exemplo (n = 4): |V | = 1 x x2 x3 1 y y2 y3 1 z z2 z3 1 w w2 w3 = (y − x )(z − x )(w − x )(z − y )(w − y )(w − z) Observa¸cão: |V | é homogéneo, de grau n₂.

(13)

Determinante de Vandermonde

Prova:

Para quaisquer 1 ≤ i < j ≤ n, pondo xj = xi anulamos |V | (a

matriz fica com duas linhas iguais). Isso mostra que (xj − xi)

divide |V |.

Estas diferen¸cas são elementos irredut´ıveis não associados em P, logo o produtório indicado divide |V |.

O grau de cada membro da igualdade é n₂, portanto os polinómios são múltiplos escalares um do outro.

A parcela de |V | correspondente à permuta¸cão identidade é x2x32· · · xnn−1, e o seu coeficiente é 1. É também este o

coeficiente desse mon´omio na express˜ao da direita, o que mostra a igualdade.

(14)

O primeiro polin´

omio W-harm´

onico

Teorema

O determinante de Vandermonde ´e W-harm´onico: |V | ∈ H

Prova:

Notar que _∂x∂

i|V | ´e o determinante da matriz obtida de V

derivando as entradas da i -´esima linha (aplicar a expans˜ao de Laplace).

Isto resulta de xi figurar apenas nessa linha, portanto

podemos aplicar a mesma ideia `as derivadas sucessivas de V . Exemplo (n = 4): ∂3 ∂y2_∂w|V | = 1 x x2 x3 0 0 2 6y 1 z z2 z3 0 1 2w 3w2

(15)

O primeiro polin´

omio W-harm´

onico

∂Ik|V | tem

n

k parcelas, obtidas derivando k linhas de V e

tomando o determinante, para todas as escolhas poss´ıveis. Exemplo (n = 3): ∂I2|V | = 0 1 2x 0 1 2y 1 z z2 + 0 1 2x 1 y y2 0 1 2z + 1 x x2 0 1 2y 0 1 2z

Consideremos duas vari´aveis xi e xj. Se pusermos xi = xj,

anulamos ∂Ik|V |. Para ver isso, observemos cada parcela:

Se ambas, ou nenhuma das linhas i ,j de V foram derivadas, a substitui¸cão torna as linhas iguais e anula o determinante. Se a linha i foi derivada mas a linha j não, então existe uma outra parcela correspondente à escolha de j mas não i , e das mesmas k − 1 variáveis restantes. A substitui¸cão torna as parcelas simétricas (pois uma matriz é obtida da outra por troca de linhas), anulando a sua soma.

(16)

O primeiro polin´

omio W-harm´

onico

Isto mostra que (xj − xi) divide ∂Ik|V |, para quaisquer

1 ≤ i < j ≤ k.

Daqui, como atrás, ∂Ik|V | é múltiplo de |V |.

Mas o grau de |V | ´e claramente superior ao de ∂Ik|V |,

portanto tem de ser ∂Ik|V | = 0.

Conclui-se que o determinante de Vandermonde ´e

(17)

Uma base de H

Como os operadores de deriva¸c˜ao comutam, derivando um

polinómio W-harmónico obtemos ainda um W-harmónico.

Ser´a poss´ıvel obter uma base de H usando deriva¸c˜ao a partir do determinante de Vandermonde?

(18)

Uma base de H

Consideremos de novo a ordem lexicogr´afica. Se derivarmos dois

mon´omios em ordem a alguma vari´avel (e nenhum deles for

anulado), então a rela¸cão de ordem é preservada. Atentemos no caso n = 4:

O mon´omio-cauda de |V | ´e yz2w3.

Ideia: Se aplicarmos a |V | um operador do tipo _∂y∂aa ∂ b

∂zb ∂ c

∂wc,

com a ≤ 1, b ≤ 2 e c ≤ 3, esse monómio não é anulado.

Todos estes operadores d˜ao origem a mon´omios-cauda

diferentes (da forma cy1−az2−bw3−c).

Assim, estes operadores d˜ao origem a um conjunto de

(19)

Uma base de H

Generalizando:

O mon´omio-cauda de |V | ´e x₁0x₂1· · · xn−1 n .

Consideramos os operadores da forma ∂a1

∂x₁a1 ∂a2

∂x₂a2 · · · ∂an

∂xnan, onde

0 ≤ ai < i , para cada i . Designemo-los simplesmente por

∂(a1,a2,··· ,an).

O mon´omio-cauda de ∂_(a₁_,a₂_{,··· ,a}_n₎|V | ´e da forma cx0−a1

1 x 1−a2

2 · · · xnn−1−an.

Estes operadores d˜ao origem a um conjunto de polin´omios linearmente independentes.

(20)

Uma base de H

Quantos polin´omios obtemos por este processo? Exactamente o

n´umero de tuplos (a1, a2, · · · , an), onde

a1∈ {0}

a2∈ {0, 1}

.. .

an∈ {0, 1, · · · , n − 1}

Temos n! escolhas poss´ıveis. Como ´e esta a dimens˜ao de H, constru´ımos uma base!

(21)

Uma base de H

Exemplo (n = 3): (0, 0, 0) ↔ 1 x x2 1 y y2 1 z z2 (0, 0, 1) ↔ 1 x x2 1 y y2 0 1 2z (0, 0, 2) ↔ 1 x x2 1 y y2 0 0 2 (0, 1, 0) ↔ 1 x x2 0 1 2y 1 z z2 (0, 1, 1) ↔ 1 x x2 0 1 2y 0 1 2z (0, 1, 2) ↔ 1 x x2 0 1 2y 0 0 2

(22)

Sobre teoria de representa¸c˜

ao

Defini¸c˜ao

Dados um grupo G e um conjunto X , um homomorfismo

π : G −→ SX

onde SX é o grupo das permuta¸cões de X , diz-se uma açcão de G

sobre X . “G actua sobre X ”.

Em particular, se V ´e um espa¸co vectorial, um homomorfismo π : G −→ GL(V )

onde GL(V ) ´e o grupo dos endomorfismos lineares invert´ıveis de V ,

diz-se uma representa¸cão de G . Também se diz que “V é uma

(23)

P como representa¸

c˜

ao de S

n

Sn (o grupo sim´etrico) actua sobre P permutando as vari´aveis de

um polinómio. P é uma representa¸cão de Sn.

Exemplos:

A transposi¸cão (1 3) envia o polinómio xy + 2z em yz + 2x . PW é, por defini¸cão, o conjunto dos polinómios que ficam fixos pela açcão de Sn.

O conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a k é um subespa¸co de P invariante para a açcão de Sn. É uma

subrepresenta¸c˜ao de P.

(24)

Outra representa¸c˜

ao de S

n

Considere-se CSn, o espa¸co vectorial das combina¸c˜oes lineares

(formais) de elementos de Sn.

Sn actua sobre CSn por multiplica¸c˜ao `a esquerda.

Exemplo (n = 3):

5(1 2) − (1 3) + i (1 3 2) ´e um elemento de CS3.

(25)

Outra representa¸c˜

ao de S

n

Qualquer representa¸c˜ao V de um grupo G admite como

subrepresenta¸cões o subespa¸co trivial {0} e o próprio V . Uma representa¸cão que não admite mais nenhuma subrepresenta¸cão diz-se irredut´ıvel.

Factos conhecidos

CSn cont´em todas as subrepresenta¸c˜oes irredut´ıveis (a menos de

isomorfismo) de Sn.

(26)

Perspectivas

Problema: Encontrar uma nova base de H, que nos dˆe a sua

decomposi¸c˜ao em representa¸c˜oes irredut´ıveis.

Equivalentemente, estabelecer explicitamente o isomorfismo de representa¸c˜oes H ←→ CSn Algumas pistas... 1 ←→ X σ∈Sn σ |V | ←→ X σ∈Sn sgn(σ)σ