EA513 Circuitos Elétricos DECOM FEEC UNICAMP Aula 5

Esta aula:

 Teorema de Thévenin,  Teorema de Norton.

Suponha que desejamos determinar a tensão (ou a corrente) em um único bipolo de um circuito, constituído por qualquer número de fontes e de outros resistores. R i v R i v R i v

O Teorema de Thévenin nos diz que podemos substituir todo o circuito, com exceção ao

bipolo em questão, por um circuito equivalente contendo uma fonte de tensão em série com um

resistor.

Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que podemos substituir todo o circuito, com

R

i

v

Teorema de

Thevenin Teorema de _Norton

R i v Th v RTh _R i v N i _RN R i v R i v R i v Teorema de

Thevenin Teorema de _Norton

R i v Th v RTh _R i v Th v RTh _R i v N i _{RN R} i v N i _RN

Consideremos um circuito elétrico que foi rearranjado na forma de outros dois circuitos, denotados por A e B.

Circuito A: deve ser um circuito linear:

 fontes independentes,  bipolos lineares e

 fontes dependentes lineares.

Circuito B: pode conter também elementos não

– lineares.

Restrição importante: Nenhuma fonte

dependente do circuito A pode ser controlada por uma corrente ou tensão do circuito B e vice versa. Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do Circuito A Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do Circuito A Circuito B Circuito B Circuito B Circuito B Circuito Equivalente Thèvenin do Circuito A Circuito A

Teorema de Thévenin:

Defina uma tensão v_ca como a tensão que aparece nos terminais de A se o circuito B é desconectado, de forma que nenhuma corrente fluí do circuito A para o circuito B. Então, as tensões e correntes em B permanecerão inalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de tensão v_ca

for conectada em série com o circuito A “desativado”.

Desativar fontes:

 Substituir fontes independentes de corrente por circuitos abertos,

 Substituir fontes independentes de tensão por curto-circuitos. Circuito B Circuito A desativado cc v Nenhuma fonte de tensão ou corrente Circuito B Circuito B Circuito A desativado Circuito A desativado cc v Nenhuma fonte de tensão ou corrente

Teorema de Norton

Defina uma corrente i_cc como a corrente que flui nos terminais de A se os pontos de conexão entre A e B são curto-circuitados, de forma que nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as tensões e correntes em B permanecerão inalteradas se desativarmos todas as fontes independentes de A e uma fonte de corrente i_cc

for conectada em paralelo com o circuito A “desativado”. Circuito B Circuito A desativado icc Nenhuma fonte de tensão ou corrente Circuito B Circuito B Circuito A desativado Circuito A desativado icc Nenhuma fonte de tensão ou corrente

Consideremos o circuito abaixo, para o qual desejamos determinar os equivalentes de Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o

V 4 mA 2  k 2 3k   k1 1 R V 4 mA 2  k 2 3k   k1 1 R Tensão em aberto: V 4 mA 2  k 2 3k ca v 1 i mA 2 1   i













Resistência do circuito desativado:

 k 2 3k  5k  k 2 3k  5k

Portanto, o circuito redesenhado com o equivalente de Thévenin é:

V 8  k 5   k1 1 R V 8  k 5   k1 1 R

Para construir o equivalente de Norton, precisamos determinar a corrente de curto-circuito: V 4 mA 2  k 2 3k 1 i i₂ 2 1 2  i  i 0 3 2 4 i₁  i₂  mA 6 , 1 2  icc  i cc i V 4 mA 2  k 2 3k 1 i i₂ 2 1 2  i  i 0 3 2 4 i₁  i₂  mA 6 , 1 2  icc  i 2 1 2  i  i 0 3 2 4 i₁  i₂  mA 6 , 1 2  icc  i cc i

Finalmente, o circuito com o equivalente de Norton é:  k 5 R₁  k1  ,6mA 1  k 5 R₁  k1  ,6mA 1

Note que o equivalente de Norton pode ser obtido a partir do equivalente de Thévenin (e vice-versa) por meio de princípio da

equivalência entre fontes de tensão e de corrente reais.

Consideremos agora um circuito com uma fonte de corrente dependente linear, cujo equivalente de Thévenin estamos interessados:

V 4 4000 x v  k 2 3k x v A B V 4 4000 x v  k 2 3k x v A B Tensão em aberto:

A tensão de circuito aberto é a própria tensão de

controle da fonte de corrente, ou seja v _ca v_x.

Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões na malha (note que há apenas uma!), temos:

V 8 0 4000 k 2 4  vx  v_x   v_x  v_ca 

Resistência do circuito desativado, entre A e B: 4000 x v  k 2 3k x v ?  Th R A B 4000 x v  k 2 3k x v ?  Th R A B

Note que não conseguimos calcular a

resistência entre A e B devido à presença do gerador de corrente.

Porém, podemos determinar essa resistência indiretamente, por meio da relação entre os equivalentes de Thévenin e de Norton:

ca v R i_cc R ca i v R  ca v R i_cc R ca i v R 

Portanto, precisamos determinar i_cc. V 4 0 4000  x v  k 2 3k 0  x v V 4  k 2 3k cc i mA 8 , 0 A 5000 4   cc i V 4 0 4000  x v  k 2 3k 0  x v V 4  k 2 3k cc i mA 8 , 0 A 5000 4   cc i Finalmente,      _ 10k 10 8 , 0 8 3 R , e V 8 10k 0,8mA  k 10 V 8 10k 0,8mA  k 10