O Método do Referencial Móvel

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Publicações Matemáticas

O Método do Referencial Móvel

Manfredo do Carmo

IMPA

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Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

Publicações Matemáticas

• Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima • Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos

• Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo • Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira • Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa

• Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo • Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo

• The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima • Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva

• Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e Nicolau Saldanha

• The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano

• Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca • Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet

• Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella • Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez • Teoria dos Corpos – Otto Endler

• Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J. Dias Carneiro e Salvador Addas Zanata

• Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito – Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto

• Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J. Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho

• Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges • Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce • Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima

• O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo

• A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo Piccione e Daniel Victor Tausk

• Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster

• Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu Kohayakawa • Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino

• Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho • O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani

• Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima

• Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G. Moreira

• A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan Rousseau • Algebraic Stacks and Moduli of Vector Bundles – Frank Neumann

• O Teorema de Sard e suas Aplicações – Edson Durão Júdice • Tópicos de Mecânica Clássica – Artur Lopes

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Pref´

acio da 1

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edi¸

c˜

ao

Estas notas constituem parte de um curso dado no IMPA no per´ıodo Mar¸co-Junho de 1976 e foram preparadas especialmente para a Terceira Escola Latino-Americana de Matem´atica.

O objetivo das notas é apresentar o método do referencial móvel em Geometria Diferencial a partir de um m´ınimo de prerequisitos. A leitura das notas pressupõe apenas um curso de geometria diferencial de curvas e superf´ıcies, no¸cões de variedades diferenciáveis e uma certa familiaridade com formas diferenciais em variedades.

A fim de evitar apelos a conhecimentos de Grupos de Lie, restringimo-nos à estrutura riemaniana, que corresponde ao grupo ortogonal. De resto, o grupo ortogonal possui aparentemente aquela medida de complexidade que torna o estudo da sua geometria uma tarefa não trivial porém tratável. No primeiro cap´ıtulo estabelecemos os fatos fundamentais do método do referencial móvel. Adotamos o ponto de vista de partir do Rn _{e ir}

constru-indo progressivamente as situa¸cões mais gerais. Entre as aplica¸cões feitas neste cap´ıtulo, encontram-se um teorema de E. Cartan sobre a determina¸cão local da métrica pela curvatura, o cálculo da curvatura do fibrado tangente unitário da esfera S2_{, e um teorema de E. Hopf sobre fun¸cões subharmônicas}

em variedades riemanianas compactas. O cap´ıtulo pode ser considerado como uma breve introdu¸cão à Geometria Riemaniana pelo método do refe-rencial móvel.

No segundo cap´ıtulo apresentamos algumas aplica¸cões a problemas de imersões em espa¸cos de curvatura constante. Demonstramos o lema de Chern e Lashof para espa¸cos de curvatura constante (ao que saibamos, esta forma do lema não se encontra publicada), o teorema de Sacksteder para o caso compacto (K ≥ 0), o teorema de unicidade de Cohn-Vossen (K ≥ 0), alguns resultados recentes sobre redu¸cão de codimensão, o teorema de unicidade de Allendoerfer e, finalmente, o teorema de Chern e Lashof sobre a curvatura total.

O leitor (ou leitora) poderá se restringir ao uso particular de imersões em espa¸cos euclideanos, em cujo caso as Se¸cões 6 e 11 do Cap´ıtulo I poderão ser omitidas.

Durante a prepara¸cão destas notas utilizamos livremente as fontes exis-tentes, tanto escritas como orais. É imposs´ıvel dar crédito a todas mas gostar´ıamos de destacar vários cursos feitos em Berkeley com S.S. Chern, com quem aprendemos a “ver” o método do referencial móvel.

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cussões sobre este curso durante as exposi¸cões orais, e a Wilson Góes pela esmerada digita¸cão. Agradecimentos especiais são devidos a Antonio Car-los Asperti e Renato Tribuzy que leram criticamente todo o manuscrito, corrigiram vários erros e apresentaram inúmeras sugestões.

Rio, 27 de Maio de 1976 Manfredo Perdig˜ao do Carmo

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Pref´

acio da 2

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edi¸

c˜

ao

Para esta edi¸cão, corrig´ı alguns erros matemáticos e tipográficos, que me foram bondosamente apontados por colegas e alunos, aos quais agrade¸co penhoradamente. Além disto, atualizei, o tanto quanto me foi poss´ıvel, a Bibliografia, e introduz´ı algumas referências adicionais que se reportam a problemas tratados no texto. No mais, o texto permanece o mesmo.

Desejo agradecer a Wilson G´oes, que datilografou a 1a

¯ edi¸c˜ao e digitou

a atual. Agradecimentos são também devidos a Rogério Dias Trindade pela editora¸cão desta edi¸cão.

Rio, junho de 2008 Manfredo Perdig˜ao do Carmo

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(11)

´Indice

Cap´ıtulo 1: O M´etodo do Referencial M´ovel . . . 1

1.1 Equa¸c˜oes de estrutura do Rn_{. . . 1}

1.2 O lema de Cartan e a unicidade das formas de conex˜ao . . . 5

1.3 Aplica¸c˜oes `as superf´ıcies em R3 _{. . . 6}

1.4 O Teorema de Gauss-Bonnet para superf´ıcies compactas . . . 13

1.5 Subvariedades de um espa¸co euclideano . . . 16

1.6 Variedades riemanianas . . . 24

1.7 Tensores em variedades riemanianas . . . 40

1.8 Equa¸cões de estrutura em referenciais geodésicos; determina¸cão local da métrica pela curvatura . . . 46

1.9 Imers˜oes riemanianas . . . 51

1.10 Globaliza¸cão do método do referencial móvel . . . 61

1.11 Um modelo para o espa¸co hiperb´olico . . . 69

Cap´ıtulo 2: Imers˜oes em um espa¸co de curvatura constante . . . 76

2.1 Hipersuperf´ıcies em um espa¸co de curvatura constante. O lema de Chern e Lashof. Convexidade e curvatura . . . 76

2.2 Unicidade de hipersuperf´ıcies. O Teorema de Cohn-Vossen . . . 89

2.3 Posto e número tipo de uma imersão. Redu¸cão de codimensão. As formas de ordem superior de uma imersão . . . 100

2.4 O Teorema de Allendoerfer. Curvatura total de uma imers˜ao. O Teorema de Chern e Lashof . . . .116

Referˆencias . . . 127

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Cap´ıtulo 1

O M´

etodo do Referencial

M´

ovel

1.1 Equa¸

c˜

oes de estrutura do R

n

Uma variedade riemaniana ´e uma variedade diferenci´avel M e uma escolha, para cada ponto p ∈ M, de um produto interno positivo definido h , ip no

espa¸co tangente Tp(M ) de M em p, que varia diferenciavelmente com p no

seguinte sentido: Se X e Y são campos diferenciáveis de vetores em M , então a fun¸cão p 7→ hX, Y ip, p ∈ M, é diferenciável em M. Diferenciável sempre

significar´a de classe C∞_{. O produto interno h , i ´e usualmente chamado}

uma m´etrica riemaniana em M .

A no¸cão natural de equivalência entre variedades riemanianas é a no¸cão de isometria. Um difeomorfismo f : M → M0 _{entre duas variedades}

rie-manianas M de M0 _{´e uma isometria se para todo p ∈ M e todo par}

X, Y ∈ Tp(M ), tem-se

hX, Y ip= hdfp(X), dfp(Y )if(p).

A importância da no¸cão de variedade riemaniana é que nela podemos definir as no¸cões métricas usuais (ângulo, comprimentos, áreas, etc.) da geometria euclideana. Em verdade, a geometria euclideana é o estudo das no¸cões métricas na mais simples de todas as variedades riemanianas, a saber, o Rn _{munido da estrutura diferenciável usual e do seguinte produto interno:}

Se u = (u1, . . . , un) e v = (v1, . . . , vn) s˜ao vetores do Rn, define-se

hu, vip= u1v1+ · · · + unvn, para todo p ∈ Rn.

Observe-se que estamos identificando os espa¸cos tangentes do Rn _{com o}

espa¸co vetorial Rn_.

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Mesmo sendo a variedade riemaniana mais simples, o Rn_{´e, em um certo}

sentido, a variedade riemaniana universal. Isto ficará mais claro à medida que formos desenvolvendo o método do referencial móvel que pretendemos utilizar nestas notas.

Iniciaremos, portanto, estabelecendo as chamadas equa¸c˜oes de estrutura do Rn_.

Seja U ⊂ Rn_{um aberto do R}n_{e sejam e}

1, . . . , en n campos diferenci´aveis

de vetores em U de tal modo que, para todo p ∈ U, se tenha hei, eji_p= δij,

onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j, i, j = 1, . . . , n. Um tal conjunto de

campos de vetores é chamado um referencial ortonormal móvel em U . De agora por diante omitiremos os adjetivos ortonormal e móvel.

A partir do referencial {ei} podemos definir formas diferenciais lineares

pela condi¸c˜ao ωi(ej) = δij; em outras palavras, em cada ponto p ∈ U, a base

{(ωi)_p} ´e a base dual da base {(ei)_p}. O conjunto das formas diferenciais

{ωi} ´e chamado o coreferencial associado ao referencial {ei}.

Cada campo ei pode ser pensado como uma aplica¸c˜ao diferenci´avel

ei: U ⊂ Rn → Rn. A diferencial (dei)_p: Rn → Rn, em p ∈ U, ´e uma

aplica¸c˜ao linear. Portanto, para todo v ∈ Rn_{, podemos escrever}

(dei)_p(v) =

X

j

(ωij)_p(v)ej.

´

E imediato verificar que as express˜oes (ωij)_p(v), acima definidas, dependem

linearmente de v. Portanto (ωij)_p ´e uma forma linear em Rn. Como ei

é um campo diferenciável, ωij é uma forma diferencial linear. Com estes

signficados em mente, escreveremos dei=

X

j

ωijej, (1)

como defini¸cão das formas ωij, que são chamadas formas de conexão do Rn

no referencial {ei}.

Derivando a express˜ao hei, eji = δij, obteremos

0 = hdei, eji + hei, deji = ωij+ ωji,

isto é, as formas de conexão ωij = −ωjisão antisimétricas nos ´ındices i, j.

O ponto fundamental no método do referencial móvel é que as formas ωi, ωij satisfazem as chamadas equa¸cões de estrutura de Elie Cartan.

(15)

Teorema 1 (equa¸c˜oes de estrutura do Rn_). _{Seja {e}

i} um referencial

ortonormal m´ovel em um aberto U ⊂ Rn_{. Sejam {ω}

i} o coreferencial

asso-ciado a {ei}, e ωij as formas de conex˜ao de U no referencial {ei}. Ent˜ao:

dωi = X k ωk∧ ωki, (2) dωij = X k ωik∧ ωkj, k = 1, . . . , n. (3)

Demonstra¸c˜ao: Seja ai = (1, 0, . . . , 0), a2 = (0, 1, 0, . . . , o), . . . ,

an = (0, 0, . . . , 0, 1) a base canˆonica do Rn e seja xi: U → R a fun¸c˜ao

que faz corresponder a cada ponto p = (x1, . . . , xn) ∈ U e sua i-´esima

co-ordenada. Ent˜ao dxi´e uma forma diferencial em U , e como dxi(aj) = δij,

conclu´ımos que {dxi} ´e o coreferencial associado ao referencial {ai}.

O referencial dado se exprime em termos dos ai por

ei=

X

j

βijaj, (4)

onde os βij são fun¸cões diferenciáveis em U e, para cada p ∈ U, a matriz

(βij(p)) ´e uma matriz ortogonal. Como ωi(ej) = δij, temos

ωi= X j βijdxj. (5) Diferenciando (4), obteremos dei= X k dβikak = X k dβik X j βjkej. Como dei=P j ωijej, conclu´ımos que ωij = X k dβikβjk, (6) ou seja _X j ωijβjs = X jk dβikβjkβjs= d βis, s = 1, . . . , n. (7)

Finalmente, diferenciando exteriormente (5) e usando (7), obteremos dωi= X j dβij∧ dxj = X jk ωikβkj∧ dxj= X k ωk∧ ωki,

(16)

Diferenciando (6) e usando (7), obteremos dωij= − X k dβik∧ dβjk= − X k ½_¡_Xn `=1 ωi`β`k ¢ ∧¡ X s ωjsβsk ¢¾ = −X s ωis∧ ωjs= X k ωik∧ ωkj,

que ´e a segunda equa¸c˜ao de estrutura (3).

A idéia básica do método do referencial móvel pode ser descrita da maneira seguinte.

Seja x : M → Rn+q _{uma imers˜ao de uma variedade diferenci´avel de}

dimensão n em um espa¸co euclideano Rn+q _{(dizer que x é uma imersão}

é dizer que x é diferenciável e que a diferencial dxp: Tp(M ) → Rn+q é

injetiva para todo ponto p ∈ M). É uma conseqüência do teorema da fun¸cão inversa que, para todo p ∈ M, existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que a restri¸cão x|U de x a U é injetiva. Seja V ⊂ Rn+q _{uma vizinhan¸ca}

de x(p) em Rn+q_{de tal modo que V ⊃ x(U). Admitamos V suficientemente}

pequeno para que exista um referencial m´ovel ©e1, . . . , en, en+1, . . . , en+q

ª em V com a propriedade que, quando restritos a x(U ), os vetores e1, . . . , en

sejam tangentes a x(U ) e os vetores en+1, . . . , en+q sejam normais a x(U ).

Um tal referencial ´e dito um referencial adaptado a x.

A existência de um referencial adaptado pode ser provada da seguinte maneira. Se V é suficientemente pequeno, existe um difeomorfismo g : V → V tal que g ◦x(U) é um aberto de uma subvariedade linear de dimensão n de Rn+q_{. A existência de um referencial f}

1, . . . , fn, fn+1, . . . , fn+q adaptado a

g ◦ x(U) em g(V ) ´e imediata. A imagem inversa dg−1_(f

1), . . . , dg−1(fn+q)

de um tal referencial pode não ser ortonormal. Usaremos então o processo de ortonormaliza¸cão de Gram-Schmidt em cada ponto de V . Observando que os vetores obtidos por um tal processo “variam diferenciavelmente” com os vetores dados, obteremos em V um referencial ortonormal adaptado a x(U ).

Em V est˜ao definidas as formas ωido coreferencial de {ei} e as formas de

conexão ωij que satisfazem as equa¸cões de estrutura (2) e (3). A aplica¸cão

x : U ⊂ M → V ⊂ Rn+q _{induz formas diferenciais x}∗_(ω

i), x∗(ωij) em U .

Como x∗ _{comuta com a deriva¸c˜ao exterior e com o produto exterior, tais}

formas em U satisfazem as equa¸cões de estrutura (2) e (3). Acontece que toda a geometria métrica local da imersão x está contida nestas equa¸cões de estrutura, o que reflete o caráter “universal” do Rn_.

A justificativa da afirma¸cão acima não pode ser dada agora mas espera-mos torná-la clara antes de terminar este cap´ıtulo.

(17)

1.2 O lema de Cartan e a unicidade das formas de conex˜

ao

Antes de darmos aplica¸cões do método do referencial móvel, precisamos de alguns lemas preliminares.

Inciaremos com um fato puramente alg´ebrico. Recordemos que se ω1, ω2

são formas lineares em um espa¸co vetorial V de dimensão n, então o produto exterior ω1∧ω2de ω1com ω2é a forma bilinear alternada ω1∧ω2: V ×V →

R dada por

(ω1∧ ω2)(v1, v2) = ω1(v1)ω2(v2) − ω1(v2)ω2(v1), v1, v2∈ V.

Al´em disto, se ω1, . . . , ωn ´e uma base para o espa¸co das formas lineares V∗,

ent˜ao ωi∧ ωj, i < j, i, j = 1, . . . , n, formam uma base para o espa¸co Λ2V∗

das formas bilineares alternadas de V × V .

Lema (Cartan). Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n. Sejam ω1, . . . , ωr: V → R, r ≤ n, formas lineares de V linearmente independentes.

Suponhamos que existam formas lineares θ1, . . . , θr: V → R satisfazendo a

seguinte condi¸c˜ao: Pr

i=1 ωi∧ θi= 0. Ent˜ao θi = X j aijωj, i, j = 1, . . . , r, aij= aji.

Demonstra¸c˜ao: Completemos as formas ω1, . . . , ωr, em uma base

ω1, . . . , ωr, ωr+1, . . . , ωn de V∗ e escrevamos θi= X j aijωj+ X ` bi`ω`, ` = r + 1, . . . , n.

Basta agora observar que a condi¸c˜aoP

i ωi∧ θi= 0 implica em que 0 =X i ωi∧ θi= X i ωi∧ X j aijωj+ X ` ωi∧ X ` bi`ω` =X i<j (aij− aji)ωi∧ ωj+ X i<` bi`ωi∧ ω`.

Como os ωk∧ ωs, k < s, k, s = 1, . . . , n, s˜ao linearmente independentes,

conclui-se que aij = ajie bi`= 0.

Lema 2. _{Seja U ⊂ R}n_{. Sejam ω}

1, . . . , ωn formas diferenciais linearmente

independentes em U . Suponha que exista em U um conjunto de 1-formas diferenciais ωij satisfazendo as condi¸c˜oes:

ωij= −ωji, dωj=

X

k

(18)

Então um tal conjunto é único.

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que exista um outro conjunto de formas ¯ωij

com ¯ ωij = −¯ωji, dωj = X k ωk∧ ¯ωkj. Ent˜aoP k

ωk∧ (¯ωkj− ωkj) = 0, e pelo lema de Cartan,

¯ ωkj− ωkj= X i B_kij ωi, B_kij = Bj_ik. Observe que ¯ ωkj− ωkj= X i B_kij ωi = −(¯ωjk− ωjk) = − X i Bk jiωi

e, como os ωi s˜ao linearmente independentes, Bkij = −Bkji. Usando as

simetrias obtidas, conclu´ımos que Bk ji= −B j ki= −B j ik= B i jk= Bkji = −Bijk = −Bjik = 0, ou seja, que ¯ωkj= ωkj.

1.3 Aplica¸

c˜

oes `

as superf´ıcies em R

3

Vamos aplicar o m´etodo do referencial m´ovel a um caso particular razoavel-mente bem conhecido, a saber, a teoria das superf´ıcies em R3_.

Seja S uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao 2 e x : S → R3 _uma

imers˜ao. Para cada ponto p ∈ S fica ent˜ao definido um produto interno h , ip em Pp(S) pela regra: se v1, v2∈ Tp(S),

hv1, v2i_p= hdxp(v1), dxp(v2)i,

onde no segundo membro aparece o produto interno usual do R3_{. ´}_{E imediato}

verificar que h , ipé diferenciável e define, portanto, uma métrica riemaniana

em S, chamada a m´etrica induzida pela imers˜ao x.

Vamos estudar a geometria local de S em torno de um ponto p ∈ S. Seja U ⊂ S uma vizinhan¸ca de p em S tal que a restri¸c˜ao x|U seja injetiva. Seja V uma vizinhan¸ca de x(p) em R3 _{tal que V ⊃ x(U). Tomando V e U}

suficientemente pequenos, podemos escolher em V um referencial ortonor-mal m´ovel e1, e2, e3, adaptado a x, isto ´e, de modo que, quando restritos a

(19)

Em V est˜ao definidas as formas ωi do coreferencial de {ei}, i = 1, 2, 3 e

as formas de conex˜ao ω12= −ω21, ω32 = −ω23, ω13= −ω31. Tais formas

satisfazem em V as equa¸c˜oes de estrutura:

dω1= ω2∧ ω21+ ω3∧ ω31, dω2= ω1∧ ω12+ ω3∧ ω32, dω3= ω1∧ ω13+ ω2∧ ω23, dω12= ω13∧ ω32, dω13= ω12∧ ω23, dω23= ω21∧ ω13.

A imers˜ao x : U ⊂ S → V ⊂ R3 _{induz em U formas x}∗_(ω

i), x∗(ωij), i, j =

1, 2, 3. Como x∗ _{comuta com d e ∧, tais formas satisfazem as mesmas}

equa¸c˜oes acima. Observe-se que x∗_(ω₃_{) = 0, pois para todo q ∈ U e todo}

v ∈ Tq(S), teremos dx(v) = a1e1+ a2e2, e portanto

(x∗ω3)(v) = ω3(dx(v)) = ω3(a1e1+ a2e2) = 0.

Para não sobrecarregar a nota¸cão, e como só vamos, em geral, tratar de formas em U , convencionaremos escrever

x∗ωi= ωi, x∗ωij = ωij.

Esta conven¸c˜ao equivale a pensar em U como um subconjunto de R3 _pela

inclus˜ao x (observe que x|U ´e injetiva) e pensar nas formas ωi, ωij como

restritas a U ⊂ V ⊂ R3_{. Tais formas satisfazem portanto as equa¸c˜oes acima,}

com a rela¸c˜ao adicional ω3= 0.

Passemos agora ao estudo da geometria local de S. Como ω3= 0, temos

que

dω3= ω1∧ ω13+ ω2∧ ω23= 0

e, pelo lema de Cartan,

ω13= h11ω1+ h12ω2,

ω23= h21ω1+ h22ω2,

onde hij = hji, i, j = 1, 2, são fun¸cões diferenciáveis em U . Para interpretar

geometricamente estas fun¸c˜oes, observemos que, por um lado, ω13(e1) = h11ω1(e1) + h12ω2(e1) = h11,

ω13(e2) = h12,

ω23(e1) = h21,

(20)

e, por outro lado, como dei=P j

ωijej,

de3(v) = ω31(v)e1+ ω32(v)e2,

para todo q ∈ U e todo v ∈ Tq(S). Portanto, escrevendo v = a1e1+ a2e2,

obteremos de3= µ a1 a2 ¶ = µ −h11 −h12 −h21 −h22 ¶ µ a1 a2 ¶ ,

isto é, (−hij) é a matriz da diferencial da aplica¸cão e3: U → R3 na base

{e1, e2}. Como |e3| = 1, esta ´ultima aplica¸c˜ao toma valores na esfera

unit´aria S2 _{⊂ R}3_{. Fixemos orienta¸c˜oes em U e R}3 _{e escolhamos o}

refe-rencial {e1, e2, e3} de tal modo que, para todo q ∈ U, (e1)_q(e2)_q seja uma

base de Tq(S) na orienta¸c˜ao escolhida e (e1)_q, (e2)_q, (e3)_q seja uma base

positiva de R3_{; um tal referencial ´e dito compat´ıvel com as orienta¸c˜}_{oes de}

U e R3_{. Neste caso, a aplica¸c˜ao e}

3: U → S2 ⊂ R3 est´a completamente

definida e ´e chamada a aplica¸c˜ao normal de Gauss em U . Portanto (−hij)

´e a matriz da diferencial da aplica¸c˜ao normal de Gauss na base {e1, e2}.

Observe que quando S é orientada é poss´ıvel definir a aplica¸cão normal de Gauss globalmente em S.

Como hij ´e uma matriz sim´etrica, conclu´ımos imediatamente que a

dife-rencial da aplica¸cão normal de Gauss é uma aplica¸cão linear auto-adjunta. Por um resultado de Álgebra Linear, uma tal aplica¸cão linear pode ser diagonalizada, com valores próprios −λ1, −λ2 reais, e vetores próprios

or-togonais. ´

E usual definir a curvatura Gaussiana K de S em p por K = det(de3)_p= λ1λ2= h11h22− h212,

onde as fun¸cões envolvidas estão calculadas em p. Decorre da defini¸cão de K que

dω12= ω13∧ ω32= −(h11ω1+ h12ω2) ∧ (h21ω1+ h22ω2) =

= −(h11h22− h212)ω1∧ ω2= −Kω1∧ ω2.

A express˜ao dω12 = −Kω1∧ ω2 permite demonstrar um dos teoremas

mais importantes da teoria das superf´ıcies, descoberto por Gauss.

Teorema(Gauss). K depende apenas da métrica induzida de S, isto é, se x, x0_{: S → R}3 _s˜_{ao duas imers˜}_{oes de S tais que as métricas induzidas em S}

por x e x0 _{coincidem, ent˜}_{ao K(p) = K}0_{(p), p ∈ S, onde K e K}0 _{indicam as}

curvaturas Gaussianas de x e x0_{, respectivamente.}

Demonstra¸c˜ao: Considere um referencial {e1, e2} em um aberto U ⊂ M,

ortonormal na m´etrica induzida. Ent˜ao, {dx(e1), dx(e2)} pode ser

esten-dido a um referencial adaptado a V ⊃ x(U). Analogamente, {dx0_(e 1),

(21)

dx0_(e₂_{)} pode ser estendido a um referencial adaptado em V ⊃ x(U).}

Indi-caremos por 0 _{as entidades referentes à imersão x}0_{. Como as métricas}

in-duzidas por x e x0 _{coincidem, ω}₁_{= ω}0

1 e ω2= ω20 . Pelo Lema 2, ω12= ω120 .

Decorre da´ı que

dω12= dω120 = −K ω1∧ ω2= −K0ω01∧ ω20

donde K = K0_.

O Teorema de Gauss significa que a curvatura Gaussiana, embora tenha sido definida usando o espa¸co “ambiente” R3_{, s´o depende de medidas feitas}

sobre a superf´ıcie. Isto levou Gauss em 1827 a imaginar a existência de geometrias independentes do espa¸co ambiente. Por falta de conceitos aquados (particularmente da no¸cão de variedade diferenciável), ele não de-senvolveu estas idéias que foram retomadas por Riemann em 1852, dando in´ıcio ao que hoje chamamos de Geometria Riemaniana.

Exemplo 1. Considere a imers˜ao x : U ⊂ R2_{→ R}3_{, onde U ´e dado por}

U = {(s, v) ∈ R2_{; −∞ < x < ∞, 0 < v < 2π}}

e x ´e dado por

x(s, v) = (h(s) sen v, h(s) cos v, g(s)).

as fun¸cões h(s) e g(s) são fun¸cões diferenciáveis em s que satisfazem a condi¸cão¡dh

ds

¢2

+¡dg_ds¢2= 1. A imagem x(U ) é uma superf´ıcie de revolu¸cão do eixo 0z cuja curva geratriz y = h(s), z = g(s) é parametrizada pelo comprimento de arco de s.

Vamos mostrar que a curvatura desta superf´ıcie de revolu¸c˜ao ´e K = −h00

h , onde linha indica derivada em rela¸c˜ao a s.

Observe inicialmente que v

h mede o comprimento de arco do c´ırculo

paralelo x (const., v). Portanto e1 = dx¡_∂x∂ ¢, e2 = dx¡_h1 _∂v∂ ¢ s˜ao vetores

ortonormais e tangentes a x(U ). Completando-os com um vetor e3unit´ario

e normal a x(U ), teremos um referencial adaptado e1, e2, e3. Em verdade,

para o c´alculo da curvatura, n˜ao precisaremos nos preocupar com o e3, e

basta calcular ω1, ω2, ω12.

´

E imediato verificar que ω1= ds, ω2= hdv. Usando que

0 = dω1= ω2∧ ω21= hdv ∧ ω21,

e que

h0ds ∧ dv = dh ∧ dv = dω2= ω1∧ ω12= ds ∧ ω12,

conclu´ımos que ω12 = h0dv. Levando estes valores na express˜ao dω12 =

−K ω1∧ ω2, obteremos finalmente

(22)

ou seja,

K = −h

00

h , que ´e a express˜ao procurada.

Em geral, entidades geom´etricas em S que podem ser calculadas a partir de ω1, ω2 e ω12 dependem apenas da m´etrica induzida de S no sentido

acima mencionado, e devem poder ser definidas sem fazer men¸cão alguma à imersão x. Voltaremos a este assunto na Se¸cão 1.9.

Pelo que vimos anteriormente, dada uma imers˜ao x : S → R3 _ficam

definidas duas formas quadr´aticas em cada Tp(S), p ∈ S, da maneira

seguinte.

A primeira forma quadrática Ipé simplesmente a forma quadrática

as-sociada `a forma bilinear h , ip isto ´e,

Ip(v) = hv, vi, v ∈ Tp(S).

Em um referencial local adaptado e1, e2, e3, a primeira forma quadr´atica

se escreve

Ip(v) = (ω1ω1+ ω2ω2)(v) = (ω12+ ω22)(v), (1)

onde ω1ω1, por exemplo, é o produto simétrico (e não exterior) de ω1com

ω1, isto ´e, ω1ω1(v) = ω1(v)ω1(v). Para verificar (1), escrevamos v = v1e1+

v2e2. Ent˜ao

Ip(v) = ω1(v)ω1(v) + ω2(v)ω2(v) = v12+ v22= hv, vi.

Portanto a primeira forma quadrática, isto é, a métrica induzida de S, se escreve

I = ω21+ ω22,

onde, como usualmente, deixamos cair a indica¸c˜ao do ponto p.

A segunda forma quadr´atica IIp´e definida em um referencial local

adap-tado e1, e2, e3por

IIp(v) = (ω13ω1+ ω23ω2)(v) =

X

ij

hijωiωj(v), i, j = 1, 2,

onde, de novo, os produtos de formas diferenciais são produtos simétricos. Para que a defini¸cão fa¸ca sentido, é necessário que II não dependa do refe-rencial escolhido. Este é o caso quando S é orientada, pois, conforme vimos, (−hij) é então a matriz da diferencial da aplica¸cão normal de Gauss em um

referencial compat´ıvel com a orienta¸c˜ao. Em verdade, IIp(v) = −hde3(v), vi_p, v ∈ Tp(S).

(23)

Uma outra interpreta¸cão geométrica de II, que será generalizada pos-teriormente, é a seguinte. Seja U ⊂ S uma vizinhan¸ca de p e seja e1, e2,

e3 um referencial em U adaptado a x e compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de S.

Ent˜ao, para todo q ∈ U e todo v ∈ Tq(S), temos

hdxq(v), (e3)_qi = 0,

ou seja,

hdx, e3i = 0. (2)

A equa¸cão (2) significa que se α : (−ε, ε) → U é uma curva em S parametrizada digamos, pelo comprimento de arco s, com α(0) = p e α0_{(0) = v, então, escrevendo} x ◦ α(s) = x(s), e3◦ α(s) = e3(s), teremos ¿ dx ds, e3(s) À = 0, donde ¿_d2_x ds2, e3(s) À¯¯_¯ ¯ s=0 = − ¿_dx ds, de3 ds À¯¯_¯ ¯ s=0 = −hdx(v), de3(v)i = −hdx, de3i(v) = −hω1e1+ ω2e2, ω3e1+ ω32e2i(v) = hω, ω13+ ω2ω23i(v) = IIp(v) Portanto, IIp(v) = ¿ d2_x ds2, e3(s) À¯¯_¯ ¯ s=0 = hkn, e3i = khn, e3i,

onde k ´e curvatura de α e n ´e o seu vetor normal principal em p.

Esta última expressão é chamada a curvatura normal de α em p. Decorre da´ı que o valor da segunda forma quadrática em um vetor v ∈ Tp(S) é o

valor da curvatura normal de qualquer curva que ´e tangente a v em p (o que implica que tais curvas tˆem todas a mesma curvatura normal).

Um fato interessante é que as formas quadráticas I e II determinam a imersão x : S → R3_{a menos de um movimento r´ıgido de R}3_{. Voltaremos a}

este assunto posteriormente, quando demonstraremos este resultado de uma maneira mais geral. No momento, queremos apenas chamar a aten¸cão para o fato que isto significa que a geometria local da imersão x está inteiramente contida nas formas quadráticas I e II e, portanto, nas equa¸cões de estrutura que lhes deram origem.

(24)

A geometria da primeira forma quadrática, isto é, o estudo das entidades geométricas que só dependem da métrica induzida de S é chamada a ge-ometria intr´ınseca de S. Além da curvatura Gaussiana, um outro conceito que pode ser definido intrinsecamente é o de derivada covariante de campos de vetores, que passaremos a introduzir.

Seja X um campo diferenci´avel de vetores tangentes a S e seja v ∈ Tp(S),

p ∈ S. Seja α: (−ε, ε) → S uma curva parametrizada com α(0) = p, α0_{(0) = v. Restrito à curva α, o campo X(α(t)) = X(t) é uma fun¸cão}

vetorial X : (−ε, ε) → R3_{. Define-se a derivada covariante ∇}

vX de X em v

no ponto p por

(∇vX)(p) = proje¸c˜ao ortogonal sobre Tp(S) de

µ dX dt ¶ t=0 . Em outras palavras, (∇xX)(p) ´e a parte da derivada usual

¡_dX

dt

¢

t=0 que ´e

“vista de Tp(S)”.

Para mostrar que a derivada covariante s´o depende da m´etrica induzida de S, consideremos um referencial local adaptado e1, e2, e3, definido em uma

vizinhan¸ca de p. Escrevamos X = x1e1+ x2e2e calculemos¡dX_dt¢_t=0, onde

X = X(t) é a restri¸cão de X a uma curva α : (−ε, ε) → S com α(0) = p e α0_{(0) = v. Por simplicidade, deixaremos cair a indica¸cão de t = 0 nas}

express˜oes abaixo: µ dX dt ¶ t=0 =dx1 dt ei+ dx2 dt e2+ x1 de1 dt + x2 de2 dt =dx1 dt e1+ dx2 dt e2+ x1(ω12(v)e2+ ω13(v)e3) + x2(ω21(v)e1+ ω23(v)e3) = µ dx1 dt + x2ω21(v) ¶ e1 + µ dx2 dt + x1ω12(v) ¶ e2+ B e3,

onde o termo B n˜ao nos interessa. Decorre da´ı que (∇vX)(p) = µ dx1 dt + x2ω21(v) ¶ e1+ µ dx2 dt + x1ω12(v) ¶ e2,

o que mostra que ∇vX depende apenas da m´etrica induzida.

Observe-se que h∇ve1, e2i = ω12(v) e, portanto, a derivada covariante

permite reobter a forma de conex˜ao ω12. Neste sentido, a no¸c˜ao de derivada

covariante é equivalente à no¸cão de conexão, e a geometria da primeira forma quadrática deve poder ser desenvolvida a partir de qualquer um destes dois conceitos.

(25)

1.4 O Teorema de Gauss-Bonnet para superf´ıcies compactas

As considera¸cões do parágrafo anterior são estritamente locais. Entretanto, um dos aspectos mais interessantes do método do referencial móvel é que ele permite a demonstra¸cão de teoremas globais de dif´ıcil acesso por outros métodos. Ilustraremos esta situa¸cão com a demonstra¸cão do teorema de Gauss-Bonnet para superf´ıcies compactas do R3_.

Seja S ⊂ R3 _{uma superf´ıcie compacta e orientada do R}3_{. Seja p ∈ S e}

V ⊂ R3_{uma vizinhan¸ca de p em R}3_{tal que em V exista um referencial e} 1,

e2, e3 adaptado a S e compat´ıvel com as orienta¸c˜oes de S e R3. Sejam ωi,

ωij as restri¸c˜oes a V ∩ S das formas do coreferencial associado a {ei} e das

formas de conex˜ao, respectivamente.

Primeiro, observamos que a forma ω1∧ ω2 n˜ao depende do referencial

escolhido (dentro da classe dos referenciais compat´ıveis com a orienta¸c˜ao de S), e ´e, portanto, definida globalmente em S. Com efeito, a forma ω1∧ ω2

aplicada a um par de vetores u = u1e1+ u2e2, v = v1e1+ v2e2 de Tp(S),

linearmente independentes e na orienta¸c˜ao de Tp(S), fornece

ω1∧ ω2(u, v) = ω1(u)ω2(v) − ω2(u)ω1(v) = u1v2− u2v1,

que é a área de paralelogramo formado por u e v. Por esta razão ω1∧ω2= σ

´e chamado o elemento de ´area de S.

Como S ´e compacta, podemos considerar a integral Z S K ω1∧ ω2= Z S K σ,

que ´e chamada a integral de K estendida a S. O teorema de Gauss-Bonnet afirma que este n´umero depende apenas da topologia de S.

Para mostrar isto, levamos em conta a express˜ao dω12= −K ω1∧ ω2

e procuramos integrar dω12 em S. Como ω12 n˜ao ´e globalmnete definida

em S, vamos primeiro estudar como muda esta forma por uma mudan¸ca de referencial.

Sejam ent˜ao e1, e2, e3 e ¯e1, ¯e2, ¯e3 = e3 referenciais compat´ıveis com a

orienta¸c˜ao de S e relacionados por ¯ e1= cos θ e1+ sen θ e2, ¯ e2= − sen θ e1+ cos θ e2, (1) De (1) decorre que ¯ ω1= cos θ ω1+ sen θ ω2, ¯ ω2= − sen θ ω1+ cos θ ω2,

(26)

donde, usando as equa¸c˜oes de estrutura,

d¯ω1= − sen θdθ ∧ ω1+ cos θdθ ∧ ω2+ cos θdω1+ sen θdω2

= dθ ∧ ¯ω2+ cos θ(ω2∧ ω21) + sen θ(ω1∧ ω12) = dθ ∧ ¯ω2+ ¯ω2∧ ω21= ¯ω2∧ (ω21− dθ). (2) Analogamente d¯ω2= ¯ω1∧ (ω12+ dθ). (3) Portanto, as formas ¯ ω12= ω12+ dθ, ω¯21= ω21− dθ = −¯ω12

são antisimétricas e satisfazem as equa¸cões (2) e (3). Pela unicidade do Lema 2 da Se¸cão 1.2, elas são as formas de conexão de S no referencial ¯e1,

¯ e2, ¯e3.

Passemos agora à demonstra¸cão do Teorema de Gauss-Bonnet. Seja v um campo diferenciável de vetores tangentes a S com um número finito de pontos singulares p1, . . . , pk (isto é, v(pi) = 0, i = 1, . . . , k). Para cada

pi, seja Bi ⊂ S uma vizinhan¸ca de pi de tal modo que Bi n˜ao contenha

outro ponto singular al´em de pi e que ∂Bi seja uma curva fechada regular

orientada positivamente. Em S −S

i{p

i} podemos escrever ¯e1= _|v|v · Como

S ´e orient´avel, podemos escolher em S −S

i{p

i} um referencial adaptado ¯e1,

¯

e2, ¯e3compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de S. Ent˜ao, pelo teorema de Stokes,

Z S−SBi K ¯ω1∧ ¯ω2= − Z S−SBi d¯ω12= X i Z ∂Bi ¯ ω12. (4)

Quando Bi se aproxima de pi, a integral do primeiro membro tende

para a integral de K estendida a S (observe que ¯ω1∧ ¯ω2 n˜ao depende

do referencial). Nas mesmas condi¸cões, entretanto, a integral do segundo membro depende do referencial ¯e1, ¯e2, ¯e3, que não está definido em pi.

Portanto, para calcular este limite, introduziremos, em uma vizinhan¸ca Ui⊃

Bi, um referencial adaptado e1, e2, ¯e3= ¯e3, compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de

S e dado por (1). Em Ui− {pi}, ¯ω12= ω12+ dθ e portanto, pelo teorema

de Stokes, Z ∂Bi ¯ ω12= Z ∂Bi ω12+ Z ∂Bi dθ = Z ∂Bi dω12+ Z ∂Bi dθ = − Z ∂Bi Kω1∧ ω2+ Z ∂Bi dθ,

(27)

pois e1, e2, e3 est´a definido em Bi. Decorre da´ı que lim Bi→pi Z ∂Bi ¯ ω12= lim Bi→pi Z ∂Bi dθ. (5) Observe agora queR_∂B

idθ ´e a integral em uma curva fechada da varia¸c˜ao

do ˆangulo θ que faz o campo v = |v| ¯e1 com o vetor e1. Como ambos, v e

e1, voltam à sua posi¸cão inicial, esta integral é um múltiplo inteiro Ii de

2π, isto ´e, _Z

∂Bi

dθ = 2π Ii.

O n´umero inteiro Ii ´e chamado o ´ındice do campo v no ponto singular pi

e mede, intuitivamente o número de “voltas” que o campo v dá ao longo de ∂Bi. É poss´ıvel definir o ´ındice de maneira mais rigorosa e provar, ao

mesmo tempo, que ele n˜ao depende da escolha da curva ∂Bi, da escolha do

referencial {ei} e da maneira como S est´a mergulhada em R3(para detalhes

v. M. do Carmo [dC1]). Portanto lim Bi→pi Z ∂Bi dθ = 2π Ii. (6)

Juntando (4), (5) e (6), obteremos o seguinte resultado

Teorema. _{Seja S ⊂ R}3 uma superf´ıcie compacta em R3 e seja K a sua curvatura Gaussiana. Seja v um campo diferenciável de vetores tangentes a S com um número finito de pontos singulares p1. . . , pk. Então a integral

de K estendida a S ´e igual a 2π vezes a soma dos ´ındices de v nos pontos pi, i = 1, . . . , k, isto ´e, _Z

S

K σ = 2π Σ Ii. (7)

Como o primeiro membro de (7) não depende do campo v e o segundo membro não depende da métrica induzida, conclu´ımos que ambos os mem-bros dependem apenas da variedade S e permanecerá o mesmo para todas que lhe sejam difeomorfas.

Observa¸cão: Na demonstra¸cão do teorema de Gauss-Bonnet utilizamos o fato que toda superf´ıcie compacta e orientada do R3 admite um campo diferenciável de vetores tangentes com um número finito de pontos singu-lares. Isto é um fato geral que é válido em qualquer variedade diferenciável compacta (V. Lima [Li1], pg. 144). Para o caso de S ⊂ R3_{, poder´ıamos}

obter uma demonstra¸cão mais direta utilizando, por exemplo o Teorema de Sard para a aplica¸cão normal de Gauss de S; uma outra demonstra¸cão pode ser encontrada em M. do Carmo [dC4], pg. 174.

(28)

1.5 Subvariedades de um espa¸

co euclideano

Voltemos às nossas considera¸cões do fim da Se¸cão 1.1. Seja x : Mn_{→ R}n+q

uma imers˜ao de uma variedade de dimens˜ao n em Rn+q_{. (De agora em}

diante, usaremos um ´ındice superior quando quisermos indicar a dimens˜ao de uma variedade). Seja p ∈ M e U uma vizinhan¸ca de p em M na qual a restri¸c˜ao x|U seja injetiva. Seja V uma vizinhan¸ca de x(p) em Rn+q _{de tal}

modo que x(U ) ⊂ V e que em V esteja definido um referencial adaptado e1, . . . , en, en+1, . . . , en+q. Pensaremos em x como uma inclus˜ao de U em

V ⊂ Rn+q _{e usaremos a mesma nota¸c˜ao para uma entidade em V ou a sua}

restri¸cão a U . De agora por diante, esta conven¸cão será usada sem maiores comentários.

Usaremos os seguintes tipos de ´ındices:

1 ≤ A, B, C, · · · ≤ n + q, 1 ≤ i, j, k, · · · ≤ n, n + 1 ≤ α, β, γ, · · · ≤ n + q.

Dado o referencial {eA} em V , definimos o coreferencial {ωA} e as formas

de conex˜ao ωAB em V por

dx = Σ ωAeA, (1)

deA= Σ ωABeB. (2)

As formas ωA e ωAB satisfazem as equa¸c˜oes de estrutura

dωA= Σ ωA∧ ωBA, (3)

dωAB= Σ ωAC∧ ωCB. (4)

As restri¸c˜oes das formas ωA, ωAB e U ⊂ V satisfazem ainda as equa¸c˜oes

(3) e (4), com a rela¸cão adicional ωα= 0, para todo α. Esta última rela¸cão

prov´em do fato que os vetores eα s˜ao normais a U , e portanto, para todo

q ∈ U e todo v = Σ viei∈ Tq(M ), tem-se

ωα(v) = ωα(Σ viei) = 0.

No que se segue s´o usaremos formas restritas a U . Como ωα= 0, temos

que

0 = dωα= Σ ωB∧ ωBα= Σ ωβ∧ ωβα+ Σ ωi∧ ωiα= Σ ωi∧ ωiα.

Pelo lema de Cartan, ωiα=

X

j

hα

(29)

A forma quadr´atica IIα=X i ωiωiα= X ij hαijωiωj

é chamada a segunda forma quadrática de x na dire¸cão eα.

Para cada p ∈ M, o espa¸co gerado pelos vetores de Rn+q_{que s˜ao normais}

a dxp(Tp(M )) ´e chamado o espa¸co normal da imers˜ao x em p e indicado

por Np(M ). Um campo diferenciável de vetores normais é uma aplica¸cão

diferenci´avel ν : M → Rn+q _{com ν(p) ∈ N}

p(M ), p ∈ M. Dado um campo

diferenci´avel unit´ario de vetores normais ν : U ⊂ M → Rn+q_{, em uma}

vizinhan¸ca U suficientemente pequena de p, podemos escolher um referen-cial adaptado {eA} em U de tal modo que en+1 = ν. A segunda forma

quadr´atica IIn+1_{´e chamada a segunda forma quadr´}_{atica de x na dire¸c˜}_{ao ν}

e indicada por IIν_.

O significado geométrico de IIν _{é obtido generalizando uma situa¸cão}

semelhante que encontramos no caso de superf´ıcies em R3_{. Para isto, seja}

v ∈ TpM , |v| = 1, e consideremos uma curva α: (−ε, ε) → U parametrizada

pelo comprimento de arco s, com α(0) = p, α0_{(0) = v. Ent˜ao, como}

hdα ds, νi = 0, ¿_d2_α ds2, ν À = − ¿_dα ds, dν ds À = −hdx(v), dν(v)i = −hdx, dνi(v) = −¿ X i ωiei, X j ωn+1,jej+ X β ωn+1,βeβ À = −X i ωiωn+1,i= X ωiωi,n+1= IIν(v). (5)

Portanto, IIν_{(v) ´e a componente do vetor normal de α segundo o vetor}

unit´ario ν. Decorre da´ı que IIν _{´e independente da escolha do referencial.}

Como a toda forma quadrática em um espa¸co vetorial está associada uma aplica¸cão linear auto-adjunta, temos que, para todo p ∈ M e todo vetor unitário normal ν ∈ Np(M ), existe uma transforma¸cão linear

auto-adjunta Aν_{: T}

p(M ) → Tp(M ), tal que

IIν_{(v) = −hA}ν_(v)vi,

para todo v ∈ Tp(M ). Por (5), ´e claro que

hAν_{(v), vi = hdν(v), dx(v)i,}

e que a matriz de Aν _{em um referencial adaptado com e}

n+1= ν ´e dada por

¡ − hn+1ij

¢ .

(30)

Vamos agora escrever as equa¸c˜oes de estrutura (3) e (4), tendo o cuidado de separar as partes tangenciais (´ındices i, j, . . . ) das partes normais (´ındices α, β, . . . ). Obteremos as equa¸c˜oes: dωi= X j ωj∧ ωji, (6) dωij= X k ωik∧ ωkj+ X α ωiα∧ ωαj, (7) dωiα= X j ωij∧ ωjα+ X β ωiβ∧ ωβα, (8) dωαβ= X j ωαj∧ ωjβ+ X γ ωαγ∧ ωγβ. (9)

Observe que as equa¸cões (7) são semelhantes às equa¸cões de estrutura de um espa¸co euclideano, com um “termo de corre¸cão” dado por

X

α

ωiα∧ ωαj = Ωij, Ωij= −Ωji.

Para esclarecer o significado das 2-formas Ωij, notemos que a imers˜ao

x : Mn _{→ R}n+q_{determina uma m´etrica riemaniana h , i em M dada por:}

hv1, v2i_p= hdxp(v1), dxp(v2)i, p ∈ M, v1, v2∈ Tp(M ),

onde o produto interno do segundo membro é o produto interno usual do Rn+q_{. A métrica riemaniana h , i em M é chamada a métrica induzida por}

x. A m´etrica induzida e a parte tangente {ei} do referencial determinam as

formas ωi, donde as formas dωi. Pelo Lema 2 da Se¸c˜ao 1.2, as formas ωij

ficam ent˜ao inteiramente determinadas pela imers˜ao, e o mesmo se verifica para as formas

Ωij= dωij−

X

k

ωik∧ ωkj.

Portanto, a matriz anti-sim´etrica de 2-formas (Ωij) depende apenas da

m´etrica induzida (e da escolha do referencial).

Isto sugere que a matriz (Ωij) ´e uma esp´ecie de medida de quanto a

m´etrica induzida deixa de ser euclidiana. (Ωij) ´e chamada a matriz das

formas de curvatura no referencial {ei}.

Observe que se Mn_{= R}n_{, Ω}

ij = 0. Al´em disto, se x : M2→ R3, temos

que

Ω12= dω12− 0 = −K ω1∧ ω2,

o que mostra que (Ωij) generaliza a no¸c˜ao de curvatura Gaussiana de uma

(31)

Para associar um significado geométrico à matriz das formas de cur-vatura, precisamos verificar como elas variam com uma mudan¸ca da parte tangente do referencial {ei} (a parte normal {eα} do referencial não afeta as

formas Ωij). Para isto ser´a conveniente usar a seguinte nota¸c˜ao matricial.

As matrizes das formas ωij e Ωij ser˜ao indicadas por W e Ω,

respecti-vamente, e o vetor coluna das formas ωi, por ω. As equa¸c˜oes de estrutura

(6) e (7) se escrevem ent˜ao

dω = W ∧ ω, dW = W ∧ W + Ω.

Uma mudan¸ca na parte tangente {ei} do referencial ser´a dada por ei =

Σ uije¯j, onde (uij) = U é uma matriz de fun¸cões diferenciáveis em M ;

além disso, U é ortogonal, isto é, U U∗ _{= identidade, onde U}∗ _{indica a}

matriz transposta de U .

Lema 1. Por uma mudan¸ca do referencial tangente {ei} dada por ei =

P

j

uije¯j, a matriz das formas de conex˜ao W muda por

W = d U U∗+ U W U∗, (10) e a matriz das formas de curvatura Ω muda por

Ω = U Ω U∗, (11) onde uma barra indica a entidade correspondente no referencial {¯ei}.

Demonstra¸cão: De ei = P j uije¯j decorre que ωi = P j uijω¯j, isto é, ω = U ¯ω, e então ¯ω = U∗_{ω. Portanto,} dω = dU ∧ ¯ω + U d¯ω = dU ∧ (U∗ω) + U (W ∧ ¯ω) = (dU U∗+ U W U∗) ∧ ω. Decorre da´ı, pelo lema de unicidade, que

W = d U U∗_{+ U W U}∗_,

o que demonstra (10). Para demonstrar (11), observemos que d U U∗ ₌

−U(dU)∗ _{e passemos a calcular W ∧ W e dW . Obteremos}

W ∧ W = (d U U∗+ U W U∗) ∧ (d U U∗+ U W U∗) = −d U U∗U ∧ (dU)∗− U W U∗U ∧ (dU)∗

+ d U U∗U ∧ W U∗+ U W U∗∧ U W U∗

(32)

e

dW = −dU ∧ (dU)∗+ dU ∧ W U∗− U W ∧ (dU)∗+ U∗dW∗∧ U. Portanto,

Ω = −W ∧ W + dW = −U W ∧ W U∗+ U d W U∗ = U (dW − W ∧ W )U∗= U Ω U∗,

o que demonstra (11).

Decorre do lema que, fixado p ∈ M, quando mudamos o referencial tangente {ei}, a matriz de formas

¡ (Ωij)_p

¢

muda como a matriz de uma transforma¸c˜ao linear em Tp(M ). Portanto, fixados dois vetores X, Y ∈

Tp(M ), a matriz num´erica

©

(Ωij)_p(X, Y )

ª

representa uma transforma¸c˜ao linear em Tp(M ), que indicaremos por

¡ RXY

¢

p: Tp(M ) → Tp(M ),

e que n˜ao depende do referencial tangente. RXY ´e chamado o operador de

curvatura da m´etrica induzida.

Passemos agora a analisar as equa¸c˜oes (9). Escrevevendo (9) na forma dωαβ= X γ ωαγ∧ ωγβ+ Ωαβ, onde Ωαβ= X i ωαi∧ ωiβ = −Ωβα,

vemos que elas possuem uma certa analogia formal com as equa¸c˜oes de estrutura de um espa¸co euclideano com um “termo de corre¸c˜ao” Ωαβ. Por

um racioc´ınio inteiramente an´alogo ao do Lema 1, verificaremos que a matriz de formas (ωαβ) = W⊥ e a matriz de formas (Ωαβ) = Ω⊥ se transformam,

por uma mudan¸ca da parte normal {eα} do referencial, de modo semelhante

`as formas W e Ω, respectivamente. Por esta raz˜ao, chamaremos ωαβ as

formas da conex˜ao normal e Ωαβ as formas da curvatura normal.

´

E claro que, fixados p ∈ M e dois vetores X, Y ∈ Tp(M ), a matriz

©

(Ωαβ)_p(X, Y )

ª

determina uma transforma¸c˜ao linear¡R⊥ XY

¢

p: (Np(M ) →

Np(M ). R⊥XY ´e chamado o operador de curvatura normal da imers˜ao x.

Para o caso x : M2_{→ R}4_{, podemos definir, por analogia com a curvatura}

Gaussiana, uma fun¸c˜ao KN chamada curvatura normal da imers˜ao x por

(33)

Como no caso de superf´ıcies, as formas ωij possuem a seguinte

inter-preta¸cão geométrica. Seja X um campo diferenciável de vetores tangentes em M , seja Y ∈ Tp(M ), e seja α : (−ε, ε) → M uma curva diferenciável com

α(0) = p e α0_{(0) = Y . Definamos} ¡ ∇YX ¢ p= proj. sobre Tp(M ) de µ dX dt ¶ t=0 ,

onde t é o parâmetro da curva α. Em outras palavras, (∇YX)_pé a parte da

derivada usual¡dX_dt¢_t=0que ´e “vista de Tp(M )”. Vamos mostrar que ∇YX

s´o depende da m´etrica induzida em M por X.

Para isto, escolhamos um referencial adaptado {eA} em uma vizinhan¸ca

U ⊂ M e escrevamos X = Σ xiei, onde xi são fun¸cões diferenciáveis em U .

Como dX dt = X i dxi dt ei+ X i xi dei dt =X j dxj dt ej+ X i xi X j ωij µ_∂ ∂t ¶ ej+ X i xi X α ωiα µ_∂ ∂t ¶ eα, temos que (∇YX)_P = X j ½ dxj dt + X i ωij µ ∂ ∂t ¶ xi ¾ ej =X j © dxj(Y ) + X i ωij(Y )xi ª ej

o que mostra que ∇_¡ YX s´o depende dos ωij e portanto da m´etrica induzida.

∇YX

¢

p´e chamada a derivada covariante do campo X segundo o vetor

Y no ponto p. Se X = ei, obteremos

h∇Y ei, eji = ωij(Y ),

o que fornece uma interpreta¸cão geométrica das formas de conexão ωij em

termos da deriva¸c˜ao covariante.

Uma interpreta¸cão análoga pode ser dada às formas de conexão normal ωαβ: Seja η um campo diferenciável de vetores normais em M e y ∈ Tp(M ).

A derivada covariante normal (∇⊥

y η)p de η em rela¸c˜ao a y no ponto p ´e a

proje¸c˜ao sobre o complemento ortogonal Np(M ) de Tp(M ) da derivada usual

¡dη dt

¢

t=0. Como anteriormente, t é o parâmetro de uma curva diferenciável

α : (−ε, ε) → M, com α(0) = p, α0_{(0) = y.}

De uma maneira inteiramente an´aloga `a anterior, verifica-se que ¡ ∇⊥yη ¢ p= X β © dηα(y) + X α ωαβ(y)ηα ª eβ, η = X α ηαeα,

(34)

isto ´e, ∇⊥

y η depende apenas das formas ωαβ. A interpreta¸c˜ao geom´etrica

das formas ωαβ´e obtida observando que, se η = eα, temos

h∇⊥y eα, eβi = ωαβ(y).

Finalmente, deve ser observado que as equa¸c˜oes de defini¸c˜ao Ωij= X α ωiα∧ ωαj, Ωαβ= X i ωαi∧ ωiβ,

relacionam as formas de curvatura da métrica induzida e as formas da cur-vatura normal com as segundas formas quadráticas de imersão da seguinte maneira: Ωij = − X α © X ` hαi`ω`∧ X k hαjkωk ª =X k<` © X α (hα i`hαjk− hαikhαj`) ª ωk∧ ω` (12) e Ωαβ= − X i © X k hαikωk∧ X ` hβ_i`ω` ª =X k<` © X i (hαkih β i`− h β kih α i`) ª ωk∧ ω` (13)

As equa¸cões (12) e (13) são chamadas as equa¸cões de Gauss e as equa¸cões de Ricci, respectivamente.

Tudo se passa como se a geometria da imersão x se decompusesse em duas, uma geometria tangente e uma geometria normal, ligadas pelas segun-das formas quadráticas, isto é, as formas ωiα. Neste contexto, as equa¸cões

(8) (Equa¸c˜oes de Codazzi) exprimem as diferenciais das formas ωiα (isto

é, as segundas formas quadráticas) em termos das formas ωiα, da conexão

tangente e da conex˜ao normal.

Exemplo 1(O toro de Clifford). Seja x : R2_{→ R}4_{uma aplica¸c˜ao}

diferen-ci´avel dada por

x(u, v) = (cos u, sen u, cos v, sen v), (u, v) ∈ R2. Como

dx = (− sen u du, cos u du, − sen v dv, cos v dv), teremos dx µ ∂ ∂u ¶ = (− sen u, cos u, 0, 0), dx µ ∂ ∂v ¶ = (0, 0, − sen v, cos v),

(35)

e portanto x é uma imersão. Como x(u + 2nπ, v + 2mπ) = x(u, v), para n, m inteiros, a imagem x(R2_{) é um toro S}1_{× S}1_{⊂ R}4_.

Para estudar a geometria deste toro, escolhamos um referencial ortonor-mal e adaptado: e1= (− sen u, cos u, 0, 0), e2= (0, 0, − sen v, cos v), e3= 1 √

2(cos u, sen u, cos v, sen v), e4=

1 √

2(− cos u, − sen u, cos v, sen v). Como dx = Σ ωiei, conclu´ımos que

ω1= hdx, e1i = du, ω2= dv, ω3= 0, ω4= 0.

Para o c´alculo das ωij, calcularemos primeiro

de1= (− cos u du, − sen u du, 0, 0),

de2= (0, 0, − cos v dv, − sen v dv),

de3=

1 √

2(− sen u du, cos u du, − sen v dv, cos v dv), donde ω12= hde1, e2i = 0, ω13= hde1, e3i = −du√ 2 , ω14= hde1, e4i = du √ 2, ω23= hde2, e3i = −dv√ 2 , ω24= hde2, e4i = −dv√ 2 , ω34= hde3, e4i = 0.

De ω12= 0, conclu´ımos que a curvatura Gaussiana da m´etrica induzida

´e zero. De ω34 = 0, conclu´ımos que a curvatura normal KN da imers˜ao

tamb´em ´e zero.

Para o cálculo das segundas formas quadráticas nas dire¸cões e3 e e4,

faremos

ω13= h211ω1+ h312 ω2,

(36)

donde h3 11= −1√₂, h312= h213 = 0, h322= −1√₂, isto ´e, A2=  −1 ±√ 2 0 0 −1±√2   . Analogamente, A4=   1±√2 0 0 −1±√2   .

Observe que e3 = √1₂x descreve uma esfera unit´aria, pois |x| =

√ 2. Portanto x(S1 _{× S}1_{) est´a contida na esfera S}_√3

2 de raio

√

2 de R4 _{e o}

referencial e1, e2, e4´e tangente a esta esfera, com e3 normal a x(S1× S1).

Como imers˜ao, x : S1 _{× S}1 _{→ S}_√3 2 em S

3 √

2, x descreve o chamado toro

de Clifford. Observe que ´e natural considerar A4 _{como a segunda forma}

quadrática desta imersão (uma defini¸cão rigorosa será dada na Se¸cão 1.9) e que o tra¸co de A4 _{é zero. Como veremos na Se¸cão 1.9, isto significa que o}

toro de Clifford ´e uma superf´ıcie m´ınima da esfera S3_.

1.6 Variedades riemanianas

As equa¸cões de estrutura relativas a uma métrica induzida por uma imersão, a saber,

dωi=

X

j

ωj∧ ωji, (1)

nos sugerem a possibilidade de desenvoler o m´etodo do referencial m´ovel para uma variedade riemaniana Mn_{. Seja p ∈ M um ponto de M e seja}

U ⊂ M uma vizinhan¸ca de p em M, onde seja poss´ıvel definir campos diferenci´aveis de vetores e1, . . . , en tais que hei, eji = δij. O conjunto {ei},

i = 1, . . . , n, ser´a chamado um referencial (ortonormal, m´ovel) em U . Se-jam ωi formas diferenciais em U definidas por ωi(ek) = δij (o coreferencial

associado a {ei}). J´a vimos no Lema 2 da Se¸c˜ao 1.2 que se existirem formas

diferenciais ωij = −ωji satisfazendo (1), elas estar˜ao inteiramente

determi-nadas. Que tais formas existem a partir da métrica riemaniana de M é o conteúdo do lema seguinte.

Lema 1(Levi-Civitta). Escolhido um referencial {ei} em um aberto U ⊂ M

de uma variedade riemaniana M existe em U um (único) conjunto de formas diferenciais ωij que são anti-simétricas, ωij = −ωji, e satisfazem (1).

Demonstra¸c˜ao: Fa¸camos dωj(ek, ei) = Aj_ki, isto ´e,

dωj=

X

k<i

(37)

Queremos determinar fun¸c˜oes Ci

kj= −Cjki tais que as formas diferenciais

ωkj=

X

i

Ckji ωi (2)

satisfa¸cam (1). Se tais fun¸c˜oes existirem, teremos dωj = X k<i Aj_kiωk∧ ωi= X k ωk∧ ωkj= =X k ωk∧ ¡ X i Ci kjωi ¢ =X k<1 (Ci kj− Cijk) ωk∧ ωi.

Igualando os coeficientes de termos correspondentes nas equa¸c˜oes acima, temos Aj_ki= Ci kj− Cijk , Ak ij = C j ik− Cjki , Ai ij = Ckij − Cjik .

Adicionando membro a membro as igualdades acima, obteremos a seguinte condi¸cão necessária para a existência dos Ci

kj: Ckji = 1 2(A j ki+ A k ij+ Aikj). Definindo Ci

kjpela equa¸c˜ao acima e as formas ωij por (2), verificamos

facil-mente que elas satisfazem as condi¸c˜oes pedidas.

As formas ωij s˜ao chamadas as formas de conex˜ao de M no referencial

{ei}. O interesse geométrico das formas de conexão é que elas permitem

definir uma no¸cão de deriva¸cão para campos de vetores em M . Observe-se que em uma variedade diferenciável, podemos derivar fun¸cões, porém não campos de vetores. O conteúdo do Lema 1 e da proposi¸cão seguinte é que em uma variedade riemaniana uma tal deriva¸cão é bem definida.

Proposi¸c˜ao 1. Sejam X e Y campos diferenci´aveis de vetores em M e seja {ei} um referencial em um aberto U ⊂ M. Suponhamos que Y =P

Ent˜ao ∇XY ´e independente do referencial {ei} e, portanto, globalmente

definido em M .

Demonstra¸cão: Será conveniente usar a nota¸cão matricial estabelecida no parágrafo anterior, com as adi¸cões seguintes. e = (e1, . . . , en) será uma

(38)

matriz linha e y = (y1, . . . , yn) ser´a uma matriz coluna; assim Y = ey. Se

¯

e ´e um outro referencial, fa¸camos e = ¯eU∗_{; assim y = U ¯}_{y. Com uma tal}

nota¸c˜ao, a equa¸c˜ao (3) se escreve

∇XY = e(dy(X) + W∗(X)y).

Como X não irá interferir nos cálculos, vamos abandoná-lo nas expressões abaixo. Inicialmente, observemos que

dy = dU ¯y + U d¯y, e que, da equa¸c˜ao (10) do par´agrafo anterior, vem

W∗y = U (dU )∗y + U W∗U∗y = −dUU∗y + U W∗U∗y = −dU ¯y + UW∗y.¯ Portanto

e(dy + W∗_{y) = e(dU ¯}_{y + U d¯}_{y − dU ¯y + UW}∗_y)_¯

= eU d¯y + eU W∗y = ¯¯ e(d¯y + E∗y),¯ o que mostra que (3) n˜ao depende da escolha do referencial {ei}.

∇XY é chamada a derivada covariante de Y em rela¸cão a X. Que ela é

uma deriva¸cão “de boa qualidade” é garantido pelos quatro primeiros itens da seguinte proposi¸cão.

Proposi¸cão 2. Sejam X, Y , Z campos diferenciáveis de vetores em M , f , g fun¸cões diferenciáveis em M e a, b números reais. Então:

1) ∇f X+gZY = f ∇XY + g ∇ZY ,

2) ∇X(aY + bZ) = a ∇XY + b ∇XZ,

3) ∇X(f Y ) = f ∇XY + X(f )Y ,

4) h∇XY, Zi + hY, ∇XZi = X(hY, Zi),

5) Se p ∈ M, (∇XY )(p) s´o depende do valor de X no ponto p e dos

valores de Y ao longo de uma curva parametrizada α :(−ε,ε)→M, com α(0) = p, α0_{(0) = X(p).}

Demonstra¸cão: Verifica¸cão direta a partir da defini¸cão (3). Os detalhes podem ser deixados como exerc´ıcios.

Uma observa¸cão importante é que a deriva¸cão covariante permite inter-pretar geometricamente as formas de conexão. Com efeito, de (3) decorre que, para todo campo X,

(39)

Portanto ωij(ek) = h∇ekei, eji.

Convém estender a no¸cão de derivada covariante para campos de vetores definidos ao longo de uma curva parametrizada α : (a, b) → M da maneira seguinte. Um campo diferenciável de vetores ao longo de α é uma corre-spondência que a cada t ∈ (a, b) associa um vetor Y (t) ∈ Tα(t)(M ) de tal

modo que escolhendo um referencial {ei} em torno de α(t), as fun¸c˜oes yi(t)

dadas por Y (t) = Σ yi(t)ei sejam diferenciáveis; é claro que esta condi¸cão

não depende do referencial escolhido. Pelo item (5) da Proposi¸cão 2, a expressão DY dt = X j ( dyj dt + X i α∗_ω ij µ_∂ ∂t ¶ yi ) ej = ∇ dα¡∂ ∂t ¢Y (t)

está bem definida, e é chamada a derivada covariante de Y ao longo de α. Um campo Y ao longo de α é paralelo se DY

dt ≡ 0. Uma curva α ´e uma

geodésica se o seu campo de vetores tangentes (que é um campo ao longo de α) é paralelo, isto é, se D

dt dα

dt ≡ 0.

A condi¸c˜ao para que o campo Y (t) = Σ yi(t)ei seja paralelo, isto ´e,

dyi dt + X j α∗ωji µ_∂ ∂t ¶ yj= 0, i = 1, . . . , n,

´e evidentemente um sistema de equa¸c˜oes diferenciais lineares em yi(t).

De-corre da´ı que dado Y0 ∈ Tα(t0)(M ) existe um e um ´unico campo paralelo

Y (t) ao longo de α com Y (t0) = Y0. O campo Y (t) assim obtido ´e chamado

o transporte paralelo de Y0em α.

Se uma curva parametrizada γ : (a, b) → M é uma geodésica, então, pelo item (4) da Proposi¸cão 1, d dthγ 0_{(t), γ}0_{(t)i = 2 h}Dγ0(t) dt , γ 0_{(t)i = 0}

isto ´e, o vetor tangente γ0_{(t) tem comprimento constante. Observe,}

entre-tanto, que γ pode ter auto-intersec¸c˜oes.

Os seguintes fatos sobre geodésicas serão apresentados sem demons-tra¸cões. As demonstra¸cões dependem dos teoremas de existência, unicidade e dependência das condi¸cões iniciais das equa¸cões diferenciais ordinárias e podem ser encontradas em M. do Carmo [dC ].

Para todo ponto p ∈ M e todo vetor v ∈ Tp(M ) existe uma ´unica

geodésica γ(t; p, v) definida em um intervalo (−ε, ε) e satisfazendo às con-di¸cões: γ(0; p, v) = p, γ0_{(0; p, v) = v; uma tal geodésica é homogênea no}

(40)

γ¡t λ; p, v ¢ est´a definida em t ∈¡−ε λ, ε λ ¢ e λ µ t λ; p, v ¶ = γ(t; p, λv), λ ∈ R.

Al´em disso, fixado p ∈ M, o ponto γ(1; p, v) est´a definido para todo v pertencente a uma bola aberta Bη(0) ⊂ Tp(M ), centrada na origem de

Tp(M ), e varia diferenciavelmente com v.

Os fatos acima permitem definir uma aplica¸c˜ao diferenci´avel expp: Bη(0) ⊂ Tp(M ) → M

chamada a aplica¸c˜ao exponencial em p, dada por expp(v) = γ(1; p, v).

Observe que expp(0) = p e que a diferencial de expp na origem ´e dada por

(d exp_p)₀(v) = d dtγ(1; p, tv) ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 = d dtγ(t; p, v) ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 = γ0_{(0, p, v) = v.}

Pelo teorema da fun¸c˜ao inversa, expp ´e um difeomorfismo em uma

vizi-nhan¸ca V da origem de Tp(M ). A imagem expp(V ) = U ´e chamada uma

vizinhan¸ca normal de p ∈ M. As geodésicas de U que passam por p são chamadas geodésicas radiais da vizinhan¸ca normal U . Note que todo q ∈ U é ligado a p em U por uma única geodésica radial.

Dada uma curva α : (a, b) → M parametrizada pelo comprimento de arco, o campo D

ds dα

ds ao longo de α mede o quanto α deixa de ser geod´esica.

O valor de D ds

dα

ds ´e chamado o vetor curvatura geod´esica de α em M .

Passemos agora à introdu¸cão da curvatura em uma variedade riemani-ana. Motivados pela Se¸cão anterior, definiremos

Ωij= dωij−

X

k

ωik∧ ωkj. (5)

As formas Ωij s˜ao chamadas as formas de curvatura de M no referencial

{ei}. O significado geométrico de tais formas é inteiramente análogo ao das

formas Ωij da Se¸c˜ao anterior, isto ´e, para cada p ∈ M e cada par de vetores

X, Y ∈ Tp(M ), a matriz

©

(Ωij)_p(X, Y )

ª

´e a matriz de uma aplica¸c˜ao linear ¡

RXY¢_p: Tp(M ) → Tp(M ).

RXY ´e chamado o operador de curvatura de M . Como Ωij = −Ωji, e

(41)

operador de curvatura: Se X, Y , Z e T são campos diferenciáveis de vetores em M , então

hRXYZ, T i = −hRY XZ, T i, (6)

hRXYZ, T i = −hRXYT, Zi. (7)

Derivando exteriormente as equa¸c˜oes (1), obteremos 0 =X k dωk∧ ωkj− X k ωk∧ dωkj =X ki ωi∧ ωik∧ ωkj− X i ωi∧ dωij =X i ωi∧ ¡ X k ωik∧ ωkj− dωij ¢ = −X i ωi∧ Ωij ou seja _X i ωi∧ Ωij= 0. (8)

A equa¸cão (8) é chamada a primeira identidade de Bianchi. Em termos do operador curvatura, ela se traduz da maneira seguinte. Se X, Y e Z são campos diferenciáveis de vetores em M , então, para todo j = 1, . . . , n,

0 =X i ωi∧ Ωij(X, Y, Z) =X i © ωi(X)Ωij(Y, Z) − ωi(Y )Ωij(X, Z) + ωi(Z)Ωij(X, Y ) ª = hRY ZX − RXZY + RXYZ.eji, donde RXYZ + RY ZX + RZXY = 0. (8’)

De (8’) e (7) decorre a seguinte identidade

hRXYZ, T i = hRZTX, Y i (9)

que pode ser demonstrada da maneira seguinte: a partir de (8), obtemos hRXYZ, T i + hRY ZX, T i + hRZXY, T i = 0,

hRY ZT, Xi + hRZTY, Xi + hRT YZ, Xi = 0,

hRZTX, Y i + hRT XZ, Y i + hRXZT, Y i = 0,

(42)

Somando as equa¸c˜oes acima, conclu´ımos que

2hRZXY, T i + 2hRT YZ, Xi = 0,

donde, usando (7),

hRZXT, Y i = hRT YZ, Xi,

que é equivalente à expressão (9).

Derivando exteriormene a equa¸c˜ao (5), obteremos 0 =X k dωik∧ ωkj− X k ωik∧ dωkj+ dΩij =X k ¡ X s ωis∧ ωsk+ Ωik¢∧ ωkj −X k ωik∧ ¡ X m ωkm∧ ωmj+ Ωkj ¢ + dΩij = dΩij+ X k Ωik∧ ωkj− X k ωik∧ Ωkj, (10)

que ´e chamada a segunda identidade de Bianchi.

Como as formas Ωij s˜ao formas de grau dois, elas podem ser escritas

Ωij = − 1 2 X k` Rijk`ωk∧ ω`= − X k<` Rijk`ωk∧ ω`.

As fun¸c˜oes Rijk` s˜ao chamadas as componentes do tensor curvatura de M .

Veremos na próxima se¸cão o significado desta expressão. É claro que hRek,e`(ei), eji = Ωji(ek, e`) = − 1 2 X s,t Rjistωs∧ ωt(ek, e`) = Rijk` = hReiej(ek), eì.

As formas de curvatura permitem definir v´arios tipos de curvatura em M , o mais importante sendo a curvatura seccional que passaremos a intro-duzir. Seja P ⊂ Tp(M ) um subespa¸co de dimens˜ao dois do espa¸co tangente

Tp(M ) de M em p ∈ M. Escolhamos um referencial ortonormal e1, . . . , en

em uma vizinhan¸ca de p de tal modo que e1, e2 geram P . Vamos mostrar

que o n´umero¡Ω12¢_p(e1, e2) depende apenas do subespa¸co P .

Para isto, seja ¯e1, . . . , ¯en um outro referencial em torno de p de modo

¯

e1, ¯e2 ainda geram P . Ent˜ao ei = Σ uij¯ej, onde a matriz U = (uij) ´e da

forma U =   A 0 0 B  

(43)

e A =   cos θ sen θ − sen θ cos θ   ou A =  − sen θ cos θ cos θ sen θ  

dependendo da orienta¸c˜ao de ¯e1, ¯e2relativamente a e1, e2. Pelo Lema 1 da

Se¸c˜ao 1.5, Ωij= X k` uikΩk`uj`, donde Ω12= X k` u1ku2`Ωk`= ±¡cos2θ Ω12− sen2θ Ω21¢= ± Ω12

onde o sinal depende da orienta¸c˜ao. Portanto

Ω12(e1, e2) = ± Ω12(e1, e2) = Ω12(¯e1, ¯e2),

qualquer que seja a orienta¸c˜ao adotada, o que prova o afirmado. O n´umero Kp(P ) = −(Ω12)_p(e1, e2) = h(Re1e2)_p(e1), e2i

´e chamado a curvatura seccional de M em p segundo P .

Para obter a express˜ao da curvatura seccional em termos do operador de curvatura, tomemos dois vetores linearmente independentes X, Y ∈ P ⊂ Tp(M ), e um referencial ortonormal {ei} tal que e1, e2 gerem P . Ent˜ao

X = x1e1+ x2e2, Y = y1e1+ y2e2, e, por linearidade e pelas rela¸c˜oes

de simetria (6) e (7),

hRXYX, Y i = hRx1e1+x2e2,y1e1+y2e2x1e1+ x2e2, y1e1+ y2e2i

= (x1y2− x2y1)hRe1e2x1e1+ x2e2, y1e1+ y2e2i

= (x1y2− x2y1)2hRe1e2e1, e2i = (A(X, Y ))

2_{K(P ),}

onde A(X, Y ) ´e a ´area do paralelogramo formado por X e Y . Portanto K(P ) =hRXYX, Y i

(A(X, Y ))2 · (11)

Diz-se que uma variedade riemaniana M é isotrópica em p ∈ M se todas as curvaturas seccionais em p têm o mesmo valor, isto é, se Kp(P )

n˜ao depende de P ⊂ Tp(M ).

Proposi¸cão 3. Seja M uma variedade riemaniana, p um ponto de M e {ei} um referencial em uma vizinhan¸ca de p. Então M é isotrópica em p

se e s´o se

(44)

Demonstra¸c˜ao: Sejam X = Σ xiei e Y = Σ yiei dois vetores linearmente

independentes de Tp(M ). Por linearidade,

h(RXY)X, Y i =

X

i,j,k,`

Rijk`xiyjxky`.

Por outro lado,

(A(X, Y ))2_{= |X|}2_{|Y |}2_{− hX, Y i}2 = Ã X ik δikxixk !  X j` δj`yjy`   −  X ij δijxiyj   Ã X k` δk`xky` ! = X i,j,k,` (δikδj`− δijδk`)xixkyjy`.

Suponhamos agora que M seja isotr´opica em p, isto ´e, para todo X, Y ∈ Tp(M ), hRXYX, Y i = Kp(A(X, Y ))2, ou seja, X i,j,k,` xiyjxky`= Kp    X i,j,k,` (δikδj`− δijδk`)xiyjxky`   , para todo X, Y .

Afirmamos que isto implica que (note a mudan¸ca de ´ındices no lado direito da igualdade)

Rijk`= Kp(δikδj`− δkjδi`).

Para provar nossa afirma¸c˜ao, escolha:

X = (0, . . . , 0,1, 0, . . . ,i k1, 0, 0, . . . ), Y = (0, . . . , 0,1, 0, . . . ,j 1, 0, 0, . . . ).` Ent˜ao,

1 = xixkyjy`= xkxiyjy`= xixky`yj= xkxiy`yj,

e todos outros produtos s˜ao nulos. Segue-se que Rijk`= Kp(δikδj`− δijδk`).

(45)

Da express˜ao acima, obt´em-se

2(Rijk`+ Rkji`) = Kp[δikδj`− δijδk`] + [δkiδej− δk`δij]

+ [δkiδj`− δi`δkj] + [δkiδj`− δkjδi`],

donde

Rijk`+ Rkji`= Kp[2δikδj`− δijδk`− δkjδi`] (i)

De (i), conclu´ımos

Rkij`+ Rjik`= Kp[2δkjδi`− δkiδj`− δjiδk`]. (ii)

Finalmente, escrevemos a igualdade de Bianchi,

Rijk`+ Rkij` Rkji`= 0. (iii)

Se agora tomarmos a soma (i) + (iii) − (ii), obteremos Rijk` = Kp(δikδj`− δkjδi`),

como hav´ıamos afirmado. Portanto, Ωij = − 1 2 X k` Rijk`ωk∧ ω` = −X k` Kp(δikδj`− δijδk`) ωk∧ ω`= −Kpωi∧ ωj.

Revertendo os passos do argumento, provaremos a rec´ıproca.

Diz-se que uma variedade riemaniana M tem curvatura constante se Kp(P ) n˜ao depende de p e de P . O resultado seguinte ´e surpreendente e

mostra que se dim M ≥ 3, a isotropia de M em todos os seus pontos implica na constˆancia da curvatura de M .

Teorema (Schur). Seja Mn _{uma variedade riemaniana conexa, n ≥ 3.}

Suponha que M é isotrópica para todo p ∈ M. Então M tem curvatura constante.

Demonstra¸c˜ao: Diferenciando a rela¸c˜ao (12), obteremos dΩij = −dKp∧ ωi∧ ωj− Kpdωi∧ ωj+ Kpωi∧ dωj.

Por outro lado, a segunda identidade de Bianchi (10) e as equa¸c˜oes de estrutura fornecem dΩij = − X k Ωik∧ ωkj+ X k ωik∧ Ωkj =X k Kpωi∧ ωk∧ ωkj− X k Kpωik∧ ωk∧ ωj = Kpωi∧ dωj− Kpdωi∧ ωj.