Publicações do PESC Algoritmos para Problemas de Equilíbrio em Redes

ALGORI TMOS PARA PROBLEMAS DE EQUI Lf R I O EM REDES

V i c t o r Manuel Parada D a z a

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA CUORDENAÇXO DOS PROGRAMAS DE PUS-GRADUAÇZO DE ENGENHAKI A DA UNI VERSI DADE FEDERAL DO R I O DE JANEIRO COMO PARTE WS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇZO DO GRAU DE DOUTOR EM C I E N C I A S EM ENGENHARIA DE SISTEMAS E COMPUTAÇXC?. A p r o v a d a par : Prof

.

Nelson M a c u l a n

Fi

1 h o , D. H a b i 1. C Pr esi dente3 o L e a l , D. I n . R I O DE JANEIRO. R J

-

BRASIL NOVEMBRO DE 1988 f l JLn

qz-,

p w *

Prof.

S e r g i f G r a n v i l l e . Ph.D. 1

PARADA BAZA? V% CTOR

MANUEL

A l g o r i & m o s P a r a P r o b l e m a s de E q u i b í br ia ein Redes CRia d e J a n e i r o S , 1989.

VII, 130 p. C COPPE/UFRJ o

B.

Sc.

,

E n g e n h a r i a d e Si âtemas e Computaqão

,

1 9883.

T e s e - U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e R i o d e J a n e i r o , COPPE.

1. P r o h l emas r - ecos o

F'r-obl

emas d e

Equi 1 i b r i o d e Tr Af ego

,

P r o h l e m a s d e E q u i l í b r i a b!ão

Si

m & t r i co, I n e q u a ç õ e s V a r i açi o n a i s

,.

Compl e m e n t a r i d a d e

Não

Li n e a r

.

Pr o g r arnação M a t e m á t i ca. I . CIOPPE/UFRJ 19. T i t u l o CSerie3i.

i i i

RESUMO DA T E S E A P R E S E N T A D A

A

C O P P E U F R J COMO P A R T E DOS R E Q U I S T T O S N E L E S S A R I O S P A R A A OBTENGXO D8 GRAU DE DOUTOR EM C1 E N C I A S C i?. Sc. 2

ALGORI TMOS P A R A P R O B L E M A S DE EçrUL

LT

B R I O

EM REDES

V i c t s r M a n u e l Parada D a z a N o v e m b r o d e 198Y

QRI

ENTADOR: P r of

.

N e l s o n M a s u l a n

Fi

1 h o

PROGRAMA : E n g e n h a r i a de Sistemas e C o m y u t . a q ã o .

N e s t a tese âSo abordados os p r o b l e m a s d e e q u i l i b r i o e m redes d e t r a n s p o r t e , e s p e c á f i c a m e n t e os p r o b l e m a s d e e q u i l i b r i o d e t r á f e g o e e q u i l i b r i o d e pretos. São apresentadas d i v e r s a s f s r m u l aqães e a1 g a r i t m a s de s o l u q ã o sobre u m a o t i c a c o m u m . Um a l g o r i t m o & proposto para o caso e m q u e eles são f a r m u l ados m e d i a n t e i n e q u a r g õ a s var i aci o n a i s

,

proparci onando u m c a n j u n t o d e r e s u l t a d o s n u m & i cos par a d i versas redes

.

A B S T R A C T O F T H E S E S P R E S E N T E D T O C O P P E N F R J A S P A R T I A L F U L F I L L M E N T O F T H E R E Q U I R E M E N T S F O R D E G R E E OF DCCTOR OF S C I E N C E C D. S c 2

.

NETWORK EQUI L I B R I UM PROBLEM A L G O R I T H M S

V i c t o r M a n u e l Parada D a z a N o v e m b e r

,

l S8S

T H E S I S S U P E R V I S O E : P r of

.

N e l s o n M a c u l a n F i 1 ho

DEPARTMENT: S y s t e m Engi nner i ng and C o m p u t e r Sci e n c e

I n t h i s t h e s i s a r e s t u d i e d t h e n e t w o r k e q u i l i b r i u m pr obl e m s

,

especi f i cal 1 y t h e t r af f i c e q u i 1 i br i u m pr obl e m anel t h e p r i c e e q u i l i b r i u m p r o b l e m . I n a c o m m o n w a y a r e p r e s e n t e d several f o r r n u l a t i c m s and a l g o r i t h m s t o s o l v e t h e m . A n a l g o r i t h m i s proposed for t h e case t h a t b o t h a r e f o r m u l a t e d a s v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s g i v e n a ret of n u m e r i c a l r e s u l ts on s o m e n e t w o r k s .

I NDI CE

.

CAPITULO I . I n t r o d u ç ã o .

CAPP TULO I I .

For mul a q ã o d e P r o b l e m a s d e Equi 1 i b r i o .

I I

.

I F o r mul ação A t r a v é s d e I n e q u a q õ e s V a r i aci o n a i s

.

4 11.1.1 P r o b l e m a de E q u i l í b r i o d e P r e q o s . 4 11.1.1.1 P r o b l e m a Geral d e E q u i l i b r i o E s p a c i a1 d e P r e ç o s C GSPEP3. 4 I I . l . l . S P r o b l e m a P a d r ã o d e E q u i l í b r i o E s p a c i a1 d e P r e q o s C SSPEP3. 9 1 1 . 1 . 2 . 3 E x t e n s ã o p a r a o c a s o Multimodal

-

Mul

ti

p r o d u t o . 11 11.1.8 P r o b l e m a d e E q u i l i b r i o d e T r á f e g o . 16 I I - 1 . 3 Equi v a l & n c i a E n t r e P r obl e m a s d e

E q u i l i b r i o d e T r á f e g o e P r e q o s . 20 1 1 . 1 . 4 P r o b l e m a d e E q u i l i b r i o d e P r e ç o s

e m Redes C o n g e s t i o n a d a s . 23 I I . 1 - 5 Resumo d o s P r o b l e m a s For rnul a d o s Como

I n e q u a s õ e s V a r i aci o n a i s

.

2E

I I - 2 F s r mul ação V i a d e Compl e m e n t a r .id a d e

n ã o L i n e a r .

--

PCI I I . 3 Formul a q ã o A t r a v g s d e Programação M a t e m á t i c a . 33 11.3.1 P r o b l e m a Geral d e E q u i l i b r i o E s p a c i a l d e P r ecps C GSPEP3. 33 1 1 . 3 . 2 S P E P . 34 11.3.3 G P E P

-

Multimodal

-

M u l t i p r s d u t o . 35 1 1 . 3 . 4 P r o b l e m a d e E q u i l í b r i o d e T r A f e g o . 35

CAPI TULO I I I.

M&todos d e Sol ução Par a Pr ob1 emas de Equi 1 á br i u.

-

- - 2 ~

I I I . 1 Métodos Para o Problema de I nequaçaee; Var i aci anai s .

I I I. 1 . 1 Métodos de L i neari zação. I I I - 1 - 2 Métodos Não L i near e s

.

1 1 1 . 1 . 3 Outros métodos

P

I I - 2 Métodos Par a o Pr qbl ema de Compl ementari dade não Linear

.

I I I. 2.1 Metodos d e L i near i zações Sucesãi vas. I I I. 2 . 2 M&todo do D i mensCi'o Variável

.

I

I

I. 3 Métodos Para o Problema de Progr ama~ão Matemática.

111.3.1 SSPEP. 1 1 1 . 3 . 2 GSPEP.

CAPITULO I V

Um Método Par a I nequaçaes Vari aci onai s.

IV. 1 I nequações Vari aci onai s com Restri qões

L i near es de I gual dade. 57

I V. 1 . 1 Um Problema de Programação Matemática

Equi val ente. 57

I V . 5 . 2 Direcão de Descida. 62

IV. 1 . 3 Sobre o Tamanho da Passo. 66

IV.5. 4 0 Algoritmo. 68

I

V 2 1 nequaçaes Var i aci onai s com Restr i ções

L i near e% de I gual dade e NZo Negati vi dade. 69

I

V.

3 I nequaqões Var i aci onai s com Restri ções

V i i

IV.

3.1 O C o n j u n t o A t i v o , D i r e ç ã o e T a m a n h o de passo.

IV.

3 . 2 O A l g o r i t m o .

I V . 3 . 3

Um E x e m p l o N u m é r i c o .

IV.

Q

A n t e c e d e n t e s N u m é r i c o s .

IV.Q.1

A s p e c t o s B B s i c o s .

IV.

4 . 2 R e s u l t a d o s N u m & r i c o s . I V . d . 3 C o m e n t a r i o s A d i c i o n a i s .

I

V.

5 U m a A b o r d a g e m C o m o Pr obl e m a d e Eii n i m o s Quadrados

.

C A P T T U L O V. A p f i cação e m

Pr

obl e m a s d e E q u i l i br i o.

V.1

P r o b l e m a d e E q u i l i à r i o de Preqor.

V. 1.1

A n t e c e d e n t e s G e r a i S .

V. 1

- 2 E x e m p l e C 1 d s s i co.

V. 1

- 3 E x e m p l os A 1

@ator

i os. V. 8 P r o b l e m a d e E q u i l i b r i o de Tráfego. 2 A n t e c e d e n t e s Gerais.

V . 2 - 2 Exemplo Clássico.

V-

2 - 3

Yxempl

os

A I e u t S r i

us.

CAPí

T U L O

VI

.

D i r c u s s ã o . CAPÍ

TULO

V I 1 C o n c l u r õ e s e R e c o m e n d a q õ e s R e f e r ê n c i a s B i b l i ogr áf i cas.

CAPI TULO I . O problema d e p r e d i z e r f l u x o s d e t r a n s p o r t e e n t r e d o i s p o n t o s d e uma r e g i s o t e m d e s p e r t a d o o i n t e r e s s e d e p e s q u i r a d a r e s d e s d e as p r i m e i r a s d k c a d a s d e s t e s & c u l o . KMIGHT em 1 9 2 4 e s t u d a n d o o f l u x o d e v e í c u l o s n o t r á f e g o u r b a n o com uma s i m p l e s d e s c r i ç ã o i n t u i t i v a d e r a i n i c i o ao e s t u d o d o problema d e e q u i l i b r i o d e t r a f e g o CTEFS3. Do mesmo modo COURNOT i 19383 a n a l i s a n d o f 1 uxo d e mercador i a s e n t r e N e w York e P a r i s d e u o r i g e m a o e s t u d o d o p r o b l e m a e s p a c i a l d e e q u i l i b r i o d e p r e ç o s CGSPEP3. N o s a n o s 1986 f BECKMANN et a l i i 3 e 1952 C SAMUELSBN3 r e s g e c t i vamente f ar a m f or mul ados

,

medi a n t e os: r e c e n t e s a v a n ç o s d a programaqão rnatemzitica d a & p e c a , como p r o b l e m a s d e p r o g r a m a ç ã o n ã o l i i r e a r p a r a um c a s o s i m p l e s . Com base n e s s a s f s r m u l a ~ õ e s numerosas si t u a ç õ e s r e a i s começaram a s e r e m t n s d e l s d a s c o m o f i m d e p r e d i z e r p o r exemplo: q u a n t a s p e s s o a s f a r i a m u s o d e uma nova i n f r a e s t r u t u r a d e t r a n s p o r t e s n o casa d o TEP; ou bem e m q u a n t o d e v e r i a aumentar a p r o d u ç ã o d e g á s n a t u r a l f r e n t e a um aumenta d a demanda n a r e g i ã o e m e s t u d o , no caso d a GSPEP f v e r p o r exempl o o s e s t u d o s d e SQHL, 1 9 8 4 e FALK e t a1 i i

.

19843. I s t o l e v o u a um aumento d o s e s t u d o s d e p e s q u i s a t e d r i c a a b o r d a n d o t a n t o os mbtodos d e s o l u ç ã o como a b u s c a d e f armul ações g e n e r a l i z s d a s q u e a b r a n g e s s e m t o d a s ar: z i t u a @ e s r e u i s .

Assim,

n o i n i c i o d e s s a d&cuda CEAFYRHOS, 1981 ;

FLORI

AN e LOS, 19823 são e s t a b e l eci d a s f o r m u l a ç õ e s m á i r g e r a i s q u e i n c l u e m u c a s o e m q u e os f l u x o s d a s u n i d a d e s t r a n s p o r t a d a s dependem d e t o d o s os f 1 u x o s m o v i mentados n a r e g i ã o e s t u d a d a , dando or i gem a si t u a g s e s n a s q u a i s n ã o & p o s s i v e l e s c r e v e r um problema d e p r o g r a m a ç ã o m a t e m á t i c a q u e r e p r e s e n t e o fenBmeno e m r i

C caso n ã o si m & t i - i c d . Tai r f o r m u l a ç õ e s , q u e são f ei

tas

a t r a v é s de compl e m e n t a r i d a d e nZo 1 i n e a r e i nequac;Beã v a r i aci o n a i s

,

1 e v a r a m ao s u r g i mento d e a1 g u n s a1 g a r i t m o s p a r a r esol ver esse t i p o d e p r o b l e m a s e q u e podem ser a p l i c a d o s t a n t o ao GSPEP como ao TEP.

O presente estudo dá uma abordagem comum a ambos problemas c e n t r a l i zando

-

s e , pri nci pal mente, no &asa não si métrico com uma f ormul ação vi a i nequaçõen var i aci onai s

,

chegando atÉi : prop&r, t e s t a r numéricamente

e

comparar com os jS e x i s t e n t e s , u m novo método i t e r a t i v o para determinar urna ssslução.

Pêra i s t o , o estudo e s t á organizado da seguinte manei ra: no primeiro c a p i t u l o são apresentadas a s f s r m u l ações dos probl emar nas suas diversas v a r i a n t e s , enquanto que na segunda são abordados os métodos de solução e x i s t e n t e s . No t e r c e i r o capi tu1 o & apresentado o m&todo proposto e no quarto a sua aplicação em problemas de equi 1 i br i o. Na capi tu1 o quinto são abordadas a s di scussões

e m torna do estudo e no 61timo, a s conclusões e r ecúmendações

.

CAPTTULO I 1

FORMULAÇXO DE PROBLEMAS DE EWI Lf BRI 0.

I NTRODUCXO.

O problema de Equili b r i o d e Trbfego e m redes: d e t r a n s p o r t e f o i i n i c i a1 mente estudado por

KNI

GHT C 18243 com i n t e r e s s e e m predizer de que maneira a s pessoas f aaem uso de uma nova i n f r a - e s t r u t u r a l i g a d a ao t r a n s p o r t e ou equi val e n t e m e n t e , como aval i at-- o benef i c i o de u m deter m i nado investimento no s e t o r de t r a n s p o r t e de passageiros. A formalizaç$So do concei t o de e q u i l i b r i o de t r b f e g o f o i dada por WARDRBP C 19523

dar uma f ormul acão

Nas Gltimas

estudos de origem

f o r t a l e c i do a t e o r i a s o l uqão.

Por o u t r o l a d o Preços & formulado r e g i onal de produtos

que permitiu a BECKMANN e t a1 i i f 18563 matemática para t a l problema.

t r ê s decadas uma grande quantidade de t a n t o p r á t i c a quanto t e b r i s a p t e m de equi 1 i b r i o e gerado novos métodos d e

o problema de Equi 1 i b r i o Eãpaci a1 de para predizer o movimento i n t e r

-

na caso e m que o c u s t o de t r a n s p o r t e t e m u m r o l importante para cumprir. Embora e s t a s e j a uma si tuação a n t i g a , e1 a f o i formalizada matemAti camente na decada de 50 C SAMUELSON ,19523 sendo p o s t e r i o r mente formulada como problema de f 1 uxos e m redes. Em anos r e c e n t e s o i nter esse por e s t a problemática t e m aumentado ensr memente com base em novas aplicações e novos avanços e m t e o r i a de problemas de i nequações var i a c i onai s e complementar i dade.

E s s e capi tu10 f a z uma revi são de ambos os problemas nas suas d i v e r s a s e s t r u t u r a s e formulaq8es chegando a e s t a b e l ecer c e r t a s equi val &nci a s e n t r e ambos e m alguns casos par ti cul ar e r

.

Também é apresentada uma nova extensSo do problema de e q u i l i b r i o de preços que modela uma si tuagão na qual d i versos produtos s ã o transpor tados e n t r e v a r i a s regiões

,

medi a n t e var i os modoe de transpor te. Pri m e i r amente € seção 1 1 - 1 3 d i v e r s a s ver sões dos problemas aqui estudados s ã o formulados por meio d e inequaqãen v a r i a c i o n a i s . Na segunda par t e do cagi t u 1 s C seção I I . 8 3 i são consideradas

a l g u n r d e s s e s p r o b l e m a s . N a t e r c e i r a s e ç ã o C s e ç ã o I I . 3 3 s ã o e s t u d a d o s c a s o s p a r t i c u l a r e s n o s q u a i s t a i s p r o b l e m a s podem ser f o r mul a d o s medi a n t e um p r o b l e m a d e pr ogr amação m a t e m A t i c a .

I I - 1 FORMULAGWS ATRAVES DE I NEQUAÇaES VARI ACI ONAI S .

O c o n c e i t o d e i n e q u a ç õ e s v a r i aci o n a i E; f o i i n i c i a1 mente

i n t r o d u z i d o c o m o uma f e r r a m e n t a no e s t u d o d a s e q u a ~ õ e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s

,

m a s , a t u a l mente vem s e n d o u s a d o e m um g r a n d e nfimero d e problemas d e e q u i 1 i b r i o q u e surgem e m economi a, p e s q u i s a o p e r a c i o n a l

,

e s t u d o s d e t r a n s p o r t e , e t c .

P a r a d e f i n i r o p r o b l e m a d e i nequação v a r Aaci o n a l c o n s i d e r e

-

%e um mapping g: R ---h

R",

a n d e R é um

ã u b c o n j u n t o compacta e não v a z i o d e R". O problema, q u e s e r á d i d e n t i f i c a d a I V€ g

,

C23

,

c o n s i ste. e m d e t e r m i n a r um v e t o r x E R t a l que:

C I I . 1 2

I I . 1.1 PROBLEMA DE EQUI

LÍ

B R I O DE PREGOS.

I

P

- 1 . 1

.

1 PROBLEMA GERAL

DE

EQUI L Í B R I O E S P A C I AL DE

PREQ3S.

C o n s i d e r e - s e uma r e d e G =

CN,

A3 a s s o c i a d a a uma r e g i ã o

Ii

si

ca,

onde os n d s cor respondem a s u b

-

r e g i õ e s e l o u p o n t o s r e l e v a n t e s d a r e g i ã o , e n q u a n t o q u e OS a r c o s são l i g a ç õ e s

e n t r e um s u b c o n j u n t o d e t a i s p o n t o s . E c o n s i d e r a d o tamb&m um c o n j u n t o d e p r o d u t o s p a r a s e r e m t r a n s p o r t a d o s e n t r e d i v e r s o s p o n t o s d a r e g i ã o , t e n d o

-

se p a r a c a d a um d e l e s o comportamento d a o f e r t a e d a demanda d e t e r m i n a d o por f u n ç ã e s c o n h e c i d a s e m c a d a ponto. Tamb&m s u p õ e - s e c o n h e c i d a a e s t r u t u r a d e c u s t o s d e t r a n s p o r t e .

S e j a m as: s e g u i n t e s d e f i n i çães :

G=CN, A2 : Rede a s s o c i a d a à r e g i ã o e m e s t u d o .

p o n t o s r e l e v a n t e s 3 . C o n j u n t o d e a r c o s C l i g a c õ e s n a r e g i ã o 3 . C o n j u n t o d e p r o d u t o s c o n s i d e r a d o s

.

Função demanda p a r a p r o d u t o p no nó j s e n d o T

n

o vetor d e p r e ç o s n a r e d e , n = C n i * -

-

* n n 2

-

Função d e o f e r t a p a r a p r o d u t o p no n ó i como f unqão d o s p r e ç o s . I n v e r s o d a f u n ç ã o demanda ; p r e ç o d o p r o d u t o P no nó j como f u n ç ã o d a q u a n t i d a d e demandada, d = C d i ,

. .

_dn3 T

-

I n v e r s o d a f u n ~ ã o o f e r t a ; p r e q o d a o f e r t a n o nó i e m f u n ç ã o d a q u a n t i d a d e d e p r o d u t o T o f e r t a d a , r = C s

i , .

.

s n 3

.

Funqão d e c u s t o p a r a p r o d u t o p no arco a , dependendo d o f l u x o n o s a r c o s d a r e d e , i ã t o T é, X = C X í * . . , X I A 1 3

-

C o n j u n t o d e caminhos e l e m e n t a r e s e n t r e o nó i e o nó j . V a r i á v e l b i n a r i a , é i g u a l a 1 se a r c o a p e r t e n c e a o caminho k e i g u a l a O e m c a s o c o n t r a r i o ; k E K . .

,

V i , j. r.1 : F l u x o d e p r o d u t o p no caminho k E

K

.V i.j i , j . Com essa n o t â ~ â " o d e f i n e - s e o e q u i l i b r i o d e p r e q o ç na r e d e

G

d a s e g u i n t e m a n e i r a :

Por o u t r o l a d o , devem ser m a n t i d a s as e q u a q õ e s d e c o n s e r v a q ã o d e f l u x o s e n t r e 0s mercados d a r e d e , i s t o 8 :

e c o m v a r i Avei r n ã o n e g a t i v a s .:

a , d 1 Q C I I . 2d3

O f l u x o e m c a d a arco, e m f u n ç ã o d o f l u x o d o s caminhos q u e passam por ele, é d a d o por :

C I I . 2e3 A c o n d i q ã o d e e q u i 1 i b r i o a p r e s e n t a d a e m C I I . 2 a 3 e s t a b e l e c e a e x i s t & n c i a d e f l u x o d e p r o d u t o p e n t r e d o i s nBs d a r e d e s o m e n t e n o caso e m q u e o p r e c p d a o f e r t a n a o r i g e m , m a i s o c u s t o d e t r a n s p o r t e e n t r e a origem e o d e s t i n o & i g u a l ao p r e ç o d e venda d o p r o d u t o n s d e s t i n a . Por o u t r o 1 a d s a r e s t r i q ã o C I I . 2b3 e s t a b e l e c e q u e t o d a o f l u x o d e p r o d u t o q u e c h e g a a um d e t e r m i n a d o n b 1 menos o f l u x o q u e d e i x a o nc5 d e v e ser i q u a l 21 e x p o r t a ç ã o C ou i m p o r t a q õ o 3 t o t a l .

O model o f ormul a d o e m C I I . 23 & c o n h e c i d o n a 1 i ter a t u r a c o m o Problema G e r a l d e Equi1ibrd.o E z p a c i a l d e P r e ç o s ou E P E P ro n e s t e caso c o m o exicstem v a r i a r p r o d u t o s e n v o l v i d a s , denami n a - s e GS'PEP

-

Mul ti p r o d u t o .

M a f i g u r a 11.1 & m o s t r a d o um caso no q u a l e x i s t e m t r & s

caminhos p e l o s q u a i s o p r o d u t o p pode ser l e v a d o d o

nb

i a t é

s n b j

,

c o m f l u x o s h:, ,:h h: , c o m c u s t o s p a r a c a d a arca d a d o s n a f u n ç ã o c P c x 3 . a N a f ar mul a q ã o a n t e r i or

,

n ã o p a r e c e

t r

i v i a1 e n c o n t r a r um p o n t o q u e s a t i s f a ç a as c o n d i q õ e s d e e q u i l i b r i o e d e c o n s e r v a ç ã o d e f 1 uxo. Por t a n t o se f a z n e c e s s a r i ã d e t e r m i n a r algum t i p o d e t r a n s f ormação d o problema q u e p r s p o r c i o n e

u m o u t r o e q u i v a l e n t e q u e p e r m i t a , u t i 1 i a a n d o a1 gum método d e sol uqão c o n h e c i d o , e n c o n t r a r um p o n t o d e e q u i 1 i b r i o

*T *T *T

d a forma Cs , X , d 3 .

A c o n d i q ã o d e e q u i 1 i b r i o C I I . 8 a 3 pode ser t r a n z f or mada e m uma i n e q u a ç ã o v a r i aci una1 e q u i v a l e n t e C K I MDERLEHBER e

F i g . 1 1 . 1 Problema g e r a l d e e q u i l í b r i o e s p a c i a l d e pr e q o r .

V k E _{K . . , i , j , p C I I .} 3 3 LJ

Para v i s u a l i z a r mai r c 1 aramente t a l e q u i val &nci a c o n s i d e r a - s e :

C I I . 43

e n t ã o :

l o g o

~!*>o.cP?c

h:

-

hp*320 se e somente m e CP*=O

k

CII.

7 3

L J L j

CPI.

83

A s s i m

CII.73

e

CII.83

d e m o n s t r a m q u e

CII.2a3

B e q u i v a l e n t e c o m

CII.33.

A rel ação C I I .

33

pode ser col ocada de uma m a n e i r a m a i s r e s u m i d a se todos os t e r m o s e m k

,

i

,

j

,

p f o r e m s o m a d o , c o m o qe t e m - s e :

CII.

93

A r r a n j a n d o d e m a n e i r a adequada os s o m a t b r i o s e

r e1 acionando c o m e q u a ~ ã o C

I

I.

2b3

e C

I

I.

Se3

t e m

-

re:

CII.

103

D e f i n i n d o o c o n j u n t o de vetores c o l u n a :

A i nequa@o

C

I

I.

103

pode ser t r a n ã f armada e m :

*

*

T

*

*

T

*

Ainda B possá v e l compactar a e x p r e s s ã o a n t e r i o r d e f i n i n d o um v e t o r X e um mapping gC X3 d a s e g u i n t e maneira: 3k f T T gCX 3 = C ~ C ~B ~~ -nCd 3 ~ 2 3 2 ~ C11.123 T T T T X = C s x d 2 C I I . 133

Por t a n t o C I I . f 1 2 pode t a m b é m r a p r e s e n t a d a como um p r o b l ema d e i nequagãa v a r i a c i o n a l :

m t T

m

Determinar X E fi ; gCX 3 C X - X 2 2 0 V X efi C I I . 1 4 2

onde R é o e s p a ç o d e f i n i d o p e l as r e s t r i ç8eã C I I . 2b2 a t é C I I . 2 e 3 .

I I .1 - 1 . 2 PROBLEMA BADRXO DE EQUI

Li

BRI O ESPACI

AL

DE PREGOS C SEPEP3.

No case e m q u e o p r o b l e m d e e q u i l i b r i o d e p r e ç o s

é f o r m u l a d o e m um d i g r a f o b i p a r t i d o G = CN,A3 C f i g u r a 1 1 . 2 3 , correspondenLe a uma r e g i ã o com n p o n t o s ou s u b r e g i 6 e s t o d a s el as csnsumi nde e p r o d u z i ndo um d e t e r m i nado p r o d u t o o problema B chamado Problema P a d r ã o d o E q u i l i b r i o E s p a c i a l d e P r e p r CSSPEP: S t a n d a r d S p a t i a l P r i c e Equi 1 i b r i um ProBl e m 5 e d e v i d o a q u e , o problema d e t r a n s p o r t e c l & s s i c s & um c a s o p a r t i c u l a r d o a n t e r i o r Lambem & i d e n t i f i c a d o como Problema d e T r a n s p o r t e General i zado. N e s t e caso o s caminhos d a e x p r e s n ã o C I I . 2Lsão a r c o s com c u s t o s c .Ct3, s e n d o

t

o v e t o r d e i J ij f l u x o d e p r o d u t o s t r a n s p o r t a d o s e n t r e d o i s s u c o n j u n t o s d e

N

d e f i n i d o s por

N

e N2. i F i g. I I . 2 Problema p a d r ã o d e e q u i 1 i b r i o e s p a c i a l d e p r e ç o s

.

10 A f o r m u l a ç ã o r n a t e r n A t i ca d e t a l e q u i l i b r i o é a p r e s e n t a d a da s e g u i n t e m a n e i r a : d j =

pij

V J e N z C I I . 1Sb3 L V i , j C I I . 1 5 c 3

P a r a esse caso t e m -se uma e q u i v a l & n c i a s i m i l a r à q u e l a d o GSPEP. De m a n e i r a q u e a c o n d i ç ã o d e e q u i l i b r f o d a d a n a r e l a ç ã o C I I . 1 5 a 3 é e q u i v a l e n t e a: n o t a n d o que: t t t t se

t

> O e n t ã o n.Cs 3

+

c . . C t 3

-

n . C d 2 = O i j L L.1 J e se: t t f t se t =O e n t ã o z . C s 3

+

c . . C t 3

-

n .Cd 32 O e

t . .

> O i j LJ J L J

somando CII.1BS para todo i , j t e m

-

se:

C I I . 1 7 3

u t i l i z a n d o a n o t a ç ã o vetaria1 a n á l o g a % a n t e r i orrnente d e f i n i d a e s u b s t i t u i n d o C I I . 1 5 b 3 e C I 1 . 1 5 ~ 3 e m C I I . 173 a i n e q u a q ã o v a r i a c i o n a l se t r a n s f o r m a - s e e m :

11.1.1.3. EXTEMSXO PARA

O

CASO MLJLTIMODAL

-

MULTI PRODUTO.

Nesta seção é considerada uma extensão do Problema Geral de Equiliisrio Espacial de Preços para o caso em que, alhm do conjunto de produto=, h& u m conjunto de modos de transpor t e . Ma p r á t i c a , t a l si tuaqão cor responde a transportar e m uma determinada região, di ver sos produtos, e n t r e os vitrios centros fazendo uso de f e r r o v i a , rodovia, e t c . ,cada u m deles com funções de custos que representam a s c a r a c t e r i sti cas próprias de cada modo.

E considerada tamb&m a si tuação par ti cul a r , na qual determinado produto possa u t i 1 i zar somente a1 guns dos modos di sponi vei s na regi ão.

A s i t u a ç ã o antes d e s c r i t a define a e x i s t ê n c i a de transf er&nci a s de produtos e n t r e modos, num determinado nB da regi ã ~ . Por exempl o, pode-se t r a n s f e r i r u m deter m i nado produto do modo f e r r o v i á r i o , para modo rodovi Aria, e m algum ponto da região devido A não exi s t & n c i a de f e r r o v i a no r e s t o do percurso a t & o destino f i n a l do produto, ou bem, porque e modo rodoviario tem u m custo menor para t a l trecho e t a l produto.

Anal ogamente ao t r aba1 ho d e GUELAT e t a1 i i C 19873

,

correspondente ao problema de alocação de f l uxoã de matrizes

OA3

em redes de transporte de carga, o aspecto multimodal é modelado na prbpria rede, i s t o é, se e n t r e dois pontos da região e m estudo 15 possível transportar o produto e n t r e d o i s modos de t r a n s p o r t e , s e associa u m digrafo permitindo a e x i s t h c i a de arcos paralelos que representam o fluxo de produto correspondente com cada modo. Veja-se por exemplo na figura I I. 3 a modelagem na rede de dois modos de transpor t e e n t r e os pontos A e

R.

Ao modo m correspondem dois arcos no digrafo

i

associado que são C A , B 3 e C B , A , m i 3 i s t o é, u m e m cada sentido. Si tuaqso similar s e apresenta para o modo 2.

O caso de transfer&ncias e n t r e modos tambem pode ser model ado na rede c r i ando a1 g u n s nbs ar ti f i c i a i s

,

especificamente u m por cada tranâf erênci a possi veb t a l como apresentado na f i g u r a 11.4.

m o d o m,

0

m o d o m, F i g . 11.3 Rede m u l t i m o d a l . E x i s t e m t r ê s modos d e t r a n s p o r t e e n v o l v i d o s ; o p r o d u t o c h e g a ao n* E3 p e l o modo m e d e i x a o n b p e l o s modor m e 1 2 m Oc; arcos: CB,B13 e CB,B23 r e p r e s e n t a m as d u a s 3

-

t r a n s f e r e n c i as p o s s í vei s de p r o d u t o . . Evi d e n t e m e n t e c a d a arco de t r a n s f e r ê n c i a t e m um c u s t o a s s o c i a d o q u e c o r r e s p o n d e ao c u s t o d e t r a s l a d o d e p r o d u t o e n t r e os modos d e t r a n s p o r t e m m e m m

.

i

'

2 1

'

3 F i g. I

I .

4 R e p r e s e n t a ç ã o

d e

t r a n r f e r B n c i u s . A s s i m , é p o s s í v e l i d e n t i f i c a r s d i g r a f o e s t e n d i d o a s s o c i a d o % r e g i ã o e m e s t u d o por

G

= C N , A, T3 s e n d o N , o c o n j u n t o t o t a l d e n b s i n c l u i n d o n ó s a r t i f i c i a i s d e t r a n s f e r ê n c i a , A o c o n j u n t o d e arcos d e modos d e t r a n s p o r t e e T s c o n j u n t o d e arcos de t r a n s f e r ê n c i a . D e f i n e - s e a d i c i o n a l mente: 9

M

: C o n j u n t o t o t a l d e modos d e t r a n s p o r t e . c r ~ y 3 : Fungão d e c u s t o d e t r a n s f e r B n c i a

t

e m f u n g % o d o f l u x o t r a n s f e r i d o x:.

5.

: C o n j u n t o d e caminhos e n t r e i e j n a r e d e e s t e n d i d a

G= C N , A , 1 3 .

&tk : Variável b i r h r i a

,

1 se

t e

k a O c . c .

A s condições de e q u i l í b r i o para a rede e s t e n d i d a

G=CN,A,T3

s ã o :

As

equações de conservar;ão de f l u x o são :

dg =

2

k&

h

:

:

V j E

N

p E

P

CII.ISc3

i j

E com f 1 uxos não negativos:

h

: 2

O

v

k E K i j , i . j E N, p E

P

CII.

1Sd3

O f l u x o no a r c o & dado como:

e o fluxo na t r a n s f e r & n c i a como:

Ana1 ogamerite à equação C I

I

- 3 3

,

a s condições de equi 1 i b r i o a n t e r i o r e s para o caso e m estudo podem s e r colocadas para um

i

*

f

*

ponto de e q u i l í b r i o Cni ,xa

.

x

,

n

3

segundo :

[

n p f

+

1

dd

cpcX3

u

+

2

cYCxT3

-

n?~d*3]Ch~ -hk P

*

3

>O

u J Sbmsndo t o d a s a s e q u a ç õ e s da forma C I I . 2 0 3 t e m - s e :

. .

.

C I I . 213 S u b s t i t u i n d o e q u a ç õ e s C I I . 1 9 b 3 , C I 1 . 1 9 ~ 3 , C I I - l Q d * C I I . l S f 3 e m C I I . 213 : Escrevendo C I I - 2 2 3 d e f o r m a v e t o r i a1 : E f i n a l m e n t e d e f i n i n d o v e t a r e s c o l u n a :

*

gCX 3 = C n ~ s * 3 ~ C C X > ~ C C X - n ~ d * 3 3 T C I I . 2 4 3 ~ ~ ~ T T $T3' X = C r x

CII.

253 A T

e p o r t a n t o o problema d e i nequações v a r i a c i s n a i s B :

*

*

T

Determinar X ~ f ; l gCX 3

C X

-

~ * 3 L O Y

X

E R CII.263

sendo R o e s p a ç o d e f i n i d o p e l a s r e s t r i ç õ e s C I I l b a t é CII. 1Sf-3.

I I . l . 2 . EQUILÍBRIO

DE

TRAFEGO. Uma d a s e t a p a s i m p o r t a n t e s d o p l a n e j a m e n t o e m t r a n s p o r t e s c o n s i s t e e m d e t e r m i n a r o f l u x o d e d i v e r s a s m o d a l i d a d e s na r e d e a p a r t i r d e : uma c e r t a i n f r a e s t r u t u r a d a r e g i ã o e s t u d a d a C r u a s

,

i n t e r s e q õ e s

,

1 i n h a s d e LrAnsi t o , e t c 3 , de um c o n j u n t o d e p o l í t i c a s p a r a o f u n c i o n a m e n t o d o sistema e d a demanda por v i a g e n s e n t r e os d i v e r s o s p o n t o s d a r e g i ã o . T a i s f l uxon

,

s ã o comumente rnbdidos eni u n i d a d e s d e t r a n s p o r t e por u n i d a d e d e tempo.

I n t u i t i v a m e n t e pode-se p e n s a r q u e , s e n ã o houver a l t e r a ç a e s e m algum d o s t r ê s e1 ementos a n t e s mencionados p a r a c a r a c t e r i z a r o s i s t e m a , d e p o i s d e um c e r t a tempo o s f l u x o s d e v e r ã o e s t a b e l e c e r - s e e m algum

" e s t a d o e s t a c i o n b r i o " o u e s t a d o d e e q u i l i b r i o , t a l como a c o n t e c e com o u t r a s fenomenos d a n a t u r e z a como e5 no c a s o d o f l u x o d e f l u i d o s ou n o c a s o d o f l u x o d e c o r r e n t e e l é t r i c a . A s s i m por exemplo, se o s i s t e m a d e t r a n s p o r t e está e m e q u i l í b r i o e e x i s t e a criação d e um c e n t r o d e v e n d a d e p r o d u t o s a l i m e n t i c i o s d e n t r o d a r e g i ã o e s t u d a d a , 9

provocado, um aumento d a demanda por v i a g e n s a t & o 1 ugar q u e esta d e s e s t a b i l i zando o si s t e m a . Contudo pode-se e s p e r a r q u e d e p o i s d e un p e r i o d o d e t e r m i n a d o d e kempo, como por exemplo, uma semana ou um m e s , o s i s t e m a a t i n g e um novo estado d e e q u i l i b r i o d e f l u x o d e t r a n s p o r t e . Tentando e s t a b e l ecer um c r i téri o p a r a d e t e r m i n a r as d i s t r i b u i ç 8 e s d e t r i i f e g o s o b r e r o t a s a l t e r n a t i v a s e q u e permitam a t i n g i r um e s t a d o d e e q u i l i b r i o e m r e d e s d e

t

r

znzpor

t

e

YARIXQPS:

i G522

f

=r

zul

a

us segui

n t

e= pr

i !rei pi ùr :

i

Os

tempos d e viagem e m t o d a s aâ r e t a s r e a l m e n t e u s a d a s são i g u a i s e menores q u e o tempo q u e e x p e r i m e n t a r i a um u n i s o v e i c u l o e m q u a l q u e r r o t a n ã o usada.

i i 3 O tampo m&dio d e viagem & m í n i ma.

O p r i m e i r o c r i t é r i o f c o n d i q ã o de e q u i l i b r i o d o u s u % r i o 3 é i n t e r e s s a n t e d e um p o n t o d e v i s t a p r A t i c o , p o i s l e v a a p e n s a r q u e o f l u x o d e LrAfego, t e n d e p a r a u m s i t u a ç ã o d e e q u i l i b r i o n a q u a l nenhum m o t o r i s t a pode

d i m i n u i r s e u tempo de viagem ao mudar p a r a uma nova r o t a . Por o u t r o l a d o , o s e g u n d o c r i t & r i o Ccondição d e e q u i l i t s r i o d o s i s t e m a 3 é m a i s ef i c i e n t - e no s e n t i d o q u e d i z relação c o m a minimização d o tempo m&diss d e viagem d e um v e i c u l o .

Matemáti c a m e n t e o e q u i 1 i b r i o d o rnruár i o C pr i m e i r ss p r i n c i p i o d e Wardrop3 pode ser c a r a c t e r i z a d o t e n d o e m c o n t a as mesmas d e f i n i q S i e s d e v a r i á v e i s numa r e d e G-CN, A3 c o n s i d e r a d a , n o e q u i l i b r i o d e p r e F o s p a r a o caso mul ti p r o d u t o C

TORRES,

1987; SHEFFI

,

1 9 8 5 ;

STEENBRI

NK

,

1 9 7 4 ; e t c . 3

,

a s s i m s e n d o d e f i ne-se a d i ci o n a l mente:

c E ~ h 3 : C u s t o d e c a d a caminho k p a r a p r o d u t o p q u e une um p a r C i . j > .

uP : C u s t o d o caminho d e c u s t o minimo q u e une

i j C i

,

j> p a r a p r o d u t o p. e t e n d o - s e que: = minimo cP Ch3 Q i , j , p E

P

C I I . 883 k E K k i j ik m a n e i r a q u e o e q u i 1 i b r i o d o u s u a r i e .& a t i n g i d o para: Cada v e t o r d e f l u x o s d e caminhos; na r e d e d e v e s a t i s f a z e r as condiqõen d e c o n s e r v a ç ã o d e f l u x o e d e n ã o n e g a t i v i d a d e n a r e d e , t a l como a c o n t e c e com o Problema Geral d e Equi 1 i b r i o E s p a c i a1 d e Pr eços.

A1 t e r n a t i vamente t a i â e q u a q õ e s podem s e r c o l o c a d a s d e f i n i ndo a demanda f i x a d e v i agem p a r a c a d a p a r C i

,

j 3 e p a r a c a d a p r o d u t o p como gP de modo que:

i j

h : 2

O

V k E Kij ; i . j ; p E p

CII.

2Ss3 C I I . 8Qd3 O p r o b l e m a C I I . 293 4 c o n h e c i d o n a l i t e r a t u r a c o m o problema d e e q u i l i b r i o d e t r a f e g o multimodal e m r e d e s d e t r a n s p o r t e . E v i d e n t e m e n t e , n o caso d e e x i s L i r s b um moda a c o n s i d e r a r a formu1ar;ão *é e x a t a m e n t e a m e s m a , n ã o c o n s i d e r a n d o o s u p e r i n d i ce p. Anál o g a m e n t e à

t r

a n s f or maqão d a s c o n d i q õ e s de e q u i l i b r i o d e p r e ç o s , pode-se e s t a b e l e c e r a c o n d i ç ã o d e e q u i

l

á b r i o d e t r á f e g ã e q u i v a l e n t e d a s e g u i n t e maneira: o n d e h* e u P

*

são as v a r i á v e i s d e e q u i l í b r i o q u e i j

s a t i s f a z e m C I I . 8Qa3. Somando p a r a t o d o k

,

i

,

j E? p t e m

-

SE?

a i nequação: P

*

2

[

C:C~*>

-

u!? ]C

-

h, 3 2 0 C I I . 313 L J e q u i v a l e n t e m e n t e s u b s t i t u i ndo C I I .273 e C I I . 39d3 : C I I . 383 e d e f i n i n d o adequadamente v e t a r e s : CCX* 3 = c c P c X 3 3 ã=1..

.

. -

I A \ , p = l , .

.

CL

- -

IPI Q

X

= cxP3 a=1,

.

.

/ A I , p=l,.

.

a

- -

IPI

*

T

Determine

X*

E fi ; CCX 3

C X

- ~ * 3 2

O

V

X

E R. CII. 3 3 3

onde i2 & o conjunto definido pelas restriçEes CII.2Sb3,CII.ElQc3 e CII.2Qd3, e sendo

X

o fluxo multimodal que satisfaz a conservacão d e fluxo na r e d e - P o r t a n t o CII. 333 é a incquação variacional que representa o problema d e equilíbrio d e tráfego para uma rede

G

= CN,A3 cõnsi derando vAri o s modos d e transporte.

I I. 1 . 3 EQUI V A L Ê N C I A E N T R E P R O B L E M A S D E EQUI L P BRI O DE PREGOS E TRAFEGO.

Os p r o b l e m a s e s t u d a d o s n a s seçBeci 11.1.1 e I I. 1 . 2 p o d e m ser u n i f i c a d o s n u m a e s t r u t u r a c o m u m . E s p e c i f i c a m e n t e é

o casa do prabl ema geral d e e q u i 1 i br i u espaci a1 d e pr eças e m redes e o p r o b l e m a d e e q u i l í b r i o d e tráfego. Para i s t o e s c r e v a m o s n o v a m e n t e as c o n d i # 5 e s d e e q u i l í b r i o d e preqos e tráfego: 5 C s 3

+

1

6* c a C x S

-

n . C d S = O se hk> O a J

1

V k E

K.

, i , j L .j 2 0 s e h = O k CII. 3 4 3

Seja u m a rede G = C N , & n a q u a l para cada par C i , j S B associado u m

nb

a r t i f i c i a l rn l i g a d o A rede pelos arcos C m , i S e C j 5 d L a l c o m o m o s t r a d o pia f i g u r a CII.53.

F i g . 11.5 Mb a r t i f i c i a l m.

Para esse c a n o se cief i n e M c a i n o c o n j u n t o de todos os nós m associado a cada par de n & s da rede a u m e n t a d a G' = CM5

,

A ' S e a l é m d i s s o , a s s o c i a m - s e c u s t o s e f l u x o s aos arcos € 3 e C m , i S da s e g u i n t e m a n e i r a :

Logo as condições de e q u i l í b r i o de preços se transformam

e m :

ou equivalentemente na rede aumentada:

Por outro lado assume-se que u = O e portanto o e q u i l i b r i o

m m

de tráfego mostrado em C 1 1 . 3 6 2 aplicado na rede estendi da tambgm s e transforma em 1 1 . 3 7 3 para cada par i ou equivalentemente para cada nb a r t i f i c i a l m E M.

De maneira que o Problema Geral de Equi 1

i

b r i o Espaci a1 de preços e m uma rede G=C N , A3

,

cor responde a u m prsbl ema de e q u i l i b r i o de tráfego em uma rede aumentada G ' = CN',A'3, com uma escolha adequada dos custos e fluxos dos novos arcos n a rede e considerando

u m

n B a r t i f i c i a l m par a cada par or i gem

-

destino da rede o r i yi na1

.

De

f

orma compacta o problema é colocado como:

*

JC T

Determinar X E i2 ; CCX 3 C X

-

~ * 3

>

O Y X E.

n

CII. 3 8 3

onde X* = Cxu2aeA e C C X * ~ = C u C C X ~ para ~ ~ ~o ~

problema de e q u i l í b r i o de tráfego e :

*

= Cx 2 e CCX? = C c ~ ~ 3 para 3 ~ o ~

GSPEP.

~ .

E n t r e t a n t o C2 é formado por equaçBes d e c o n s e r v a ç ã o d e f l u x o na r e d e G = fN,K?para o PET e p e l o m e s m o t i p o d e equaçEes para a r e d e G'= CN;A23 para s GSPEP.

1 1 . 1 . 4 PROBLEMA DE EQUILÍBRIO DE PREGOS EM REDES CONGESTI ONADAS.

Um r e c e n t e e s t u d o d e FISK C19874 a p r e s e n t a o p r o b l e m a d e e q u i 1 i b r i o d e p r e ç o s e m r e d e s mul

ti

modai % c o n g e s t i o n a d a s

,

q u e t e r r e s p o n d e a uma r i t u a ç f i o n a q u a l v A r i o s p r o d u t o s , são t r a n s g o r t a d o s por vAri as modos d e t r a n s p o r t e e n t r e d i v e r s o s p o n t o s d e uma r e g i ã o C c e n t r b i d e s 3 , u t i l i z a n d o como crit&r+.icl p a r a d e t e r mf n a ~ ã o d o f 1 uxo o p r i m e i r o p r i n c i p i a d e W a r d r o p C e q u i l i b r i o d o usuArio3 e mantendo o e q u i l i b r i o d o s p r e ç o s d o s p r o d u t o s t r a n s p o r t a d o s . I s t o r e p r e s e n t a uma s i t u ê c $ b e m q u e ambos e q u i l i b r i o s devem ser e s t a b e i eci d o s si mul t h e a m e n t e .

A f o r mul asão

.

supondo q u e s ã o c o n h e c i d a s e x p l i c i t a m e n t e aâ f u n ç õ e s d e demanda sCn3 e dCn3 p a r a o s n b s d a r e d e , é a s e g u i n t e : C I I . 3Qb2 C I I . 39c2 rnrcn3 =

~r~

OU sPcn3 =

nP

V i

,

p i i C I I . 3Qd2 J

a n t e r i o r e s e: p : p r o d u t o p TP : f l u x o e n t r e i j uP : c u s t o d e i j á e j p a r a o p r o d u t o p. e q u i 1 i b r i o ã o b r e os c a m i n h o s u s a d o s p a r a o p r o d u t o g.

AP

: Produçâto t o t a l d e p e m i . L B' : Consumo t o t a l d e p e m j. j

A

c o n d i q ã o C 1 I . 39a3 cor r e s p o n d e ao e q u i l i b r i a d e f l u x o s n a r e d e q u e C uma r e d e multimodal o n d e sãs r e p r e s e n t a d o s os d i v e r s o s modos d e t r a n s p o r t e . Tal e q u i l d b r i s . ê e s t a b e l e c i d o n o p r i m e i r o p r i n c i p i o d e Wardr o p a n t e s a i r e s e n t a d o . A s equações: C I I . 39b3 são a c o n d i q ã o d e e q u i l í b r i o d e r e g i õ e s i e j

.

caminhos e o c a d a p r o d u t o . r e1 a q ã o e n t r e s a i 3 d e c a d a as restrit$ks p r e ç o s q u e d e v e se manter e n t r e d u a s Por o u t r o 1 a d o C 1 I .3Qc2 rel a c i o n a o f 1 uxo n o s f l u x o t o t a l e n t r e cada p a r d e n b s e p a r a Equações C I I . 3963 e C I I . 39e3 e s t a b e l e c e m a f l u x o t o t a l e m e q u i l i b r i o q u e c h e g a Cou c e n t r ó i d e d a r e g i ã o e m e s t u d o . Fi na1 m e n t e C I I . 39f3 e x p r e s s a m a n ã o n e g a t i v i d a d e d e f l u x o s e p r e ç o s . , Reordenando os termos e d e f i n i n d a adequadamente os v e t a r e s anAlõgamente As seções 1 1 . 1 . 1 e I I . i . 2 é p o s s i v e l e s c r e v e r a i n e q u a ç ã o v a r i aci o n a l e q u i v a l e n t e c o m o : De forma c o m p a c t a D e t e r m i n a r X* E s e n d o : T

-

u*] Ch

-

h*3 2

O

CII.QO3

o p r o b l e m a pode ser col o c a d o c o m o

*

T

e sendo: n = ~ n 4 n = 6np3

T=

c ~ P . 3 I i p , i e J J ~ P P ' L j i r j r p

v e t a r e s ; c o l u n a d e presos: d e prociuqSo, de demanda e v e t o r d e f l u x o s r e s p e c t i v a m e n t e .

C!

o c o n j u n t o p a r a o q u a l

X

.4 viAve1.

P a r a r e s o l v e r t a l problema pode ser u t i l i z a d o algum d o s a1 gor i t m a s c o n h e c i d o s d e i n e q u a ~ õ e s v a r i aci o n a i S. FI S K C 1 9 8 7 3 d e m o n s t r a a e x i s t & n c i a e u n i c i d a d e p a r a t a l s o l u ç ã o . A f o r m u l a ç ã o

C I I .

393 i n c l u i casos n o s q u a i s não e x i s t e um e q u i l i b r i o e n t r e o f e r t a e demanda numa r e g i ã o d a d a , o q u e & uma si t u a q ã o f r e q u e n t e por exemplo, quando e x i s t e m p r o d u t o r e s i n e f i c i e n t e s d e n t r o d a r e g i ã o ou quando um p r o d u t o t e m pouca p r o c u r a n a S r e a e m q u e e s t S s e n d o p r oduz i do.

I

I.

1.5 RESUMO DOS PROBLEMAS FORMULADOS COMO I NEQUACmS VARI ALI ONA1 S.

Em t o d o s os c a s o s e s t u d a d o s n a s s e q õ e s a n t e r i o r e s d e t e r m i n a - s e uma i nequação v a r i aci s n a l q u e r e p r e s e n t a o problema. A d i f e r e n ç a e n t r e eles

C

d o p o n t o d e v i s t a puramente m a t e m á t i c o 3 est% s o m e n t e na d e f i n i ç ã o d e vetares. Um resumo d a s c a r a c t e r i s t i c a s d e c a d a problema pode ser e n c o n t r a d o n o q u a d r o 1 1 . 1 .

E

i m p o r t a n t e n o t a r q u e t o d a s as f o r r n u l s ç ã e s &o d o t i p o a r c o

-

caminho, i s t o

,

a s e q u a ç õ e s d e c o n s e r v a ç ã o d e f l u x o na d e s ã o escritas u t i l i z a n d o c o m o v a r i á v e l o f l u x o d o r caminhos q u e unem c a d a p a r d a n h s i e j. Contudo, t a i s e q u a ç õ e s tambem podem ser f or mul a d a s u t i l i z a n d o como v a r i Ave1 o f l u x o d e c a d a a r c o d a r e d e , o u s e j a d a forma nó-arco. Embora a f o r m u l a ç ã o d o p r i m e i r o t i p o a n t e s mencionado seja a m a i s comum, e x i s t e m v á r i o s e s t u d o s e s p e c i f i c o s p a r a o s e g u n d o c a s o , p r i n c i g a l m e n t e d e v i d o a o f a t o q u e p a r a r e d e s d e g r a n d e p o r t e ? , o número d e cami nhos e n v o l v i d o s pode r e s u l L a r i n v i á v e l num& i c a m e n t e .

Consideremos a formulaqão nó-arca p a r a o GSPEP:

d - s

+

1

x a - 2 x

= O

V i = N i i u C I I . 423 i-

-

uEA uEA i i . Equações d e c o n s e r v a ç ã o d e f 1 uxo p a r a G ' = C

N

'

,

A ' 3

,

d e f i n i d a n a s e ç ã o 11.1.3: C , x a - Ç x ci

= o

V i E M * C I I . d43

-

onde :

A'

.

Conjunto de arcos que saem do nó 3 ,

i .

A? : Conjunto de arcos que chegam ao nó i .

Portanto s e

B

& a matriz de incid&ncia nó

-

arco para a rede aumentada

G'

a i nequação var i aci onal cor r espondente pode ser formulada como :

*

T

Determinar CCX 3

C X

-

XX2 I

O

Q X

E fl CII. 452 $3 =

€ X ;

BX=b, X X D , b = 8.

No casa do problema de equi l i bri o de t r á f e g o o vetar b corresponde com g da equação

C

II.SSb3.

i j

De qualquer forma. a r variáveis consideradas em cada f ar m u l ação permi t e m obter var i ávei s cor r espondentes

,

i s t o &

,

me são conhecidas: varibveis de fluxos de caminhos, as correspondentes a fluxo de arco podem s e obter mediante o usa de equação C I I . 2 e 3 . Para o caso i nvereo, ou s e j a quando as variáveis conhecidas são os fluxos dos arcos, os fluxos e m caminhos podem s e r obtidos a p a r t i r do algoritmo formulado por D R I S

-

KATTOUNI C 19882.

PROBLEMA G=C

M

e A3 X gC X3 S P E P

D.

E.

c s T ,

t T , d T 3 C ~ C S S ~ , C C ~ ~ ~ , - n ~ d 3 3 T T CãT,x: dT3 T T GSPEP-I4 Rede C ~ C S ~ ~ , C C ~ ~ , - n ~ d 3 3 T' T T T T GSPEP-M-M Rede ~rn'.x;f, xT dT3 CnCr3 .c*x3 .cCx3 .-nCd3 3 T T ?XP Rede C x3 CC x3 GSPEP-TEP Rede ~ n ~ . n : . ~ ~ , h ~ 3 I ~ 1 ~ n ~ 3 ~ - ~ ~ i ~ ~ , - d ~ n ~ 3 ~ + b ~ 1 3 ~ ,

nT

+uT-n'f

.

c~ h-1.133 T I

-

*

*

T

*

P r o b l e m a g e r a l : D e t e r m i n a r X ; gC X 3 C X-X 320 V X E ~

,

fi = < X

1

X s a t i s f a z c o n s e r v a q ã o d e f l u m 3 e W E P : Problema P a d r ã o d e E q u i l i b r i o E s p a c i a l d e P r e ç o s ,

GSPEP : Problema Geral d e E q u i l i b r i s E s p a c i a l d e P r e q o s , GSPEP-M : GSPEP Mul ti moda1

,

GSPEP-M-M: GSPEP-M Mul ti p r s d u t o ,

TEP

: Problema d e Equi 1 i bri o d e T r á f e g o , GSPEP-TEP: Problema Combinado WEP-TEP.

D.

B.

: D i g r a f o B i p a r t i d o .

N o t a : Tador os vetoreâ r%o d e f i n i d o s s o m o s v e t o r e s c o l u n a .

I I . 2 FQRMULAÇEO V I A COMPLEMENTAR1 DADE NXO L I NEAK.

O problema d e e q u i l í b r i o d e p r e q o s n a s s u a s d i v e r s a s m o d a l i d a d e s , também t e m s i d o f o r m u l a d o como um problema d e compl ementar i d a d e n ã o l i n e a r CPCN3 v e r por exemplo o s e s t u d o s d e : FRI

ESZ

et a l i i C 1 Q843

,

PANG e LWANGC 1 S823. PANG e LEEC 1381 3

,

ou TOBI NC 1 E B 3 . Tal f a t o , e m a1 g u n s casos, p o d e ser d i r e t a m e n t e d e r i v a d o a p a r t i r d a f o r m u l a e ã o d o p r o b l e m a como i n e q u a ç õ e s v a r i aci o n a i s

,

u t i 1 i zando o t e o r e m a d e e q u i v a l &nci a f o r mul a d o Por K I NDERLEHRER e STAWACCHI AC 19803

,

no q u a l p a r a um p r ais1 ema d e i n e q u a ç o e s d e f i n i d o por :

*

T Ik

Determinar

XEC~

g C x 3 C X - ~ 3 > O i V x 2 O C I I . 4 5 3

g : C 2 4 ~ ~

e x i s t e um g r o b l a m a d e compl ementar i d a d e nâfo 1 i n e a r e q u i v a l e n t e d e f i n i d o por :

C I I . 463 C I I . 473

Contudo, t a l problema pode ser o b t i d o d i r e t a m e n t e a p a r t i r d a f ormul aqão i n i c i a1 d a s c o n d i gõez d e e q u i l i b r i o. C o n s i d e r e

-

se por exemplo o GSPEP CPrablema G e r a l d e E q u i l í b r i o E s p a c i a l d e P r e ç o s > . P a r a esse c a n o d o i s t i p o s d e f o r m u l a q õ e ç c o m o PCN podem ser e s t a b e l e c i d o s t a l c o m o no c a s o d e i n e q u a ~ õ e s v a r i a c i o n a i s . Um p r i m e i r o q u e i n c l u i como v a r i á v e l o f l u m d o s caminhos C t i p o arco

-

caminho3 e o o u t r o c u j a s v a r i á v e i s são os f l u x o s n o s a r c o s denominada nb

-

arco.

I I -2.1 FORWLAÇXO ARCO

-

CAMI NHO.

P a r a esse c a s o podemos r e e s c r e v e r o problema a n t e s f o r m u l a d o C e q u a ç õ e s I I . 2a a t é I I . 2e3 segundo:

C I I . 48c3

h

:

>

O V : p,k = K i j C I I . d8d3

nfs

I O V: p , j C I I . d8e3

J

e onde & d e f i n i d o por :

J C I I . 4 9 3 C I I . 5 0 3 Notando que:

>

O se o mercado j é um e x p o r t a d o r d e p r o d u t o p ,

.:

(

<

O se o mercado j & um i m p o r t a d o r de p r o d u t o p , = O e m o u t r o c a s o . No c a r o e m que:

V

j. C I I . S I 3 ou s e j a , a q u a n t i d a d e demandada d e um d e t e r m i n a d o p r o d u t o e m um d e t e r m i nado mercado e x c e d e a q u a n t i d a d e o f e r e c i d a n a mesmo mercado com p r e q o n u l o ; FRIESZ et a l i i C 1 9 8 4 3 a p r e s e n t a m o s e g u i n t e problema e q u i v a l e n t e com C I I . 4Q2 :

D e f i n i n d o :

CII.

S2d3 h;

>

O

V:

p.k e K i j

CII.

52e3 s e n d o h o v e t o r composto d e e l m e n t o s h P V p , k E K. .,i, j e n k LJ o v e t o r c o m e l e m e n t o s nP V p j

,

e n t r e t a n t o : j

. . . .

.CII.

533 e n t z o o problema

CII.

523 pode ser e s c r i t o c o m o :

CII.

4 6 3

CII.

4 7 3

1 1 2 . 2

FBRMULAÇXO

M 8

-

ARCO PARA O GSF'EP.

N e s t e caso a s e q u a ç ã e â d e c o n s e r v a ç ã o d e f l u x o s Z o c o l o c a d a s a t r a v é s d a v a r i á v e l xP q u e i d e n t i f i c a o f l u x o d e

u

p r o d u t o p q u e p a s s a p e l o arco a. Ou seja, n e s t e cano a

var i Ave1 q u e r e p r e s e n L a i mpor tai;ão o u e x p o r

tacão

d e pr o d u t o p num d e t e r m i n a d o mercado d e v e se e s c r e v e r como:

o n d e :

A+ : C o n j u n t a d e a r c o s q u e chegam n o nb j . j

A- : C o n j u n t o d e a r c o s q u e s a e m d o nb j

.

E n t r e t a n t o as e q u a ç B e s e q u i v a l e n t e s às CII. 6 2 3 c o m uma s u p o s i q ã o si m i 1 ar são: CII. 55c3 e d e f i n i n d o .=

[ n ]

s e n d o x o v e t a r d e f l u x o n o s arcos por p r o d u t o

,

n t a l c o m o d e f i n i d o n a f o r mul açãa arco-cami nhos a n á l o g a m e n t e e s c o l h e n d e uma f o r m a a d e q u a d a p a r a a f u n ç ã o g t a l como:

o problema de c o m p l e m e n t a r i d a d e assume a f o r m a d e equac;ãeã CII.463 e CII.473.

E

i m p o r t a n t e n o t a r q u e a f s r m u l a ç ã o e m f u n @ o d e f l u x o e m arcos se t o r n a m u i t o i m p o r t a n t e em r e d e s de g r a n d e tamanho, d e v i d a a q u e ,

e m

t a i s c a s o s as v a r i ávei ã ' q u e

denotam o i f l u x o s e m caminhos a t i n g e m ndmeros e x a g e r a d a m e n t e al t o s , i n v i abi l i z a n d o i mpl e m e n t a q õ e s e m computador.

1 1 . 3 FORMULAÇXO ATRAVES DE PRQGRAMAÇZO MATEMÃTICA. E x i s t e um caso p a r t i c u l a r e m q u e um p r o b l e m a d e i n e q u a ç ã o v a r i aci o n a l C e q u a ç ã o 1 1 - 1 2 t e m um p r o b l e m a d e p r o g r a m a ç ã o m a t e m á t i ca e q u i v a l e n t e . I s t o a c o n t e c e p o r q u e uma i n e q u a ç ã o v a r i a c i o n a l é a condiçZío d e o t i m a l i d a d e g l o b a l de um problema d e p r o g r a m a ç ã o n ã o l i n e a r no c a s o e m q u e o mapping gCx3 = CglCx3, g2Cx3,.

.

.

.

,g,Cx33 é o g r a d i e n t e d e alguma f u n ç ã o c o n v e x a e m R e q u e s e r á i d e n t i f i c a d a p o r C E s s e

t-

um casa p a r t i c u l a r p o r q u e a f u n q ã o fCx3 nem s e m p r e e x i = t e p a r a um mappi ng d a d o , ou e q u i v a l e n t e m e n t e nem t o d o mapping & g r a d i e n t e d e alguma f u n ç ã o . A c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a e s u f i c i e n t e p a r a t a l e x i s t 4 n c i a é q u e o J a c o b i a n o d o mappi ng gC x3 seja si m & t r i s o C HOTTELLI NG, 19323 ,caso n o q u a l gCx3 é a p r o p r i a m a t r i z H e s s i a n a da f unção. A s s i m, o problema d e programação m a t e m á t i c a e q u i v a l e n t e c o m o problema C I I . 1 3 é: Minimizar fCx2 =

1

f g i c d d a x E n L O CIP. 5 7 2 P a r a e x e m p l i f i c a r a s i t u a ç ã o estudam - SB os casos

si m & t r i cos d o s p r o b l e m a s GSPEP

,

SSPEP

,

TEP.

11.3.1 PROBLEMA GERAL DE EQUILIBRIO ESPACIAL. DE

PREÇOS C GSPEP3.

Consi d e r e m o ã o GSPEP

-

Mul ti moda1

,

f o r mul a d o c o m o pr o b l e m a d e i nequaqão var i a c i o n a l n a s e q ã o I I . 1 . 1 - 1

.

P a r a

esse caso a c o n d i ç ã o d e s i m e t r i a se d& quando t a n t o o i n v e r s o d a s f u n q õ e s de o f e r t a e demanda, como as f u n ç õ e s d e c u s t o s são s e p a r á v e i s por p r o d u t o . A s s i m o p r o b l e m a d e mi n i m i zrrção e q u i v a l e n t e é:

C I I . 583

I I . 3 . 2 PROBLEMA PAQREO DE EQUI L f B B I O E S P A C I A L DE PREÇW.

P a r a esse p r o b l ema

,

f o r mul a d o como i n e q u a q ã o v a r i a c i o n a l n a e x p r e s s ã o C I I . 1 8 2

,

a c o n d i r;ão d e s i m e t r i a também se d h p a r a f u n ç õ e s i n v e r s o d a demanda, i n v e r s o da o f e r t a , e c u r t o s s e p a r á v e i s , dando o r i g e m ao p r o b l e m a CQISVésXO : Quando as f u n q õ e s d e p r e q o s d e o f e r t a e demanda e as f unçBec; d e c u s t o = s ã o l i n e a r e s o g r o b l e m a C I I . SS3 medi a n t e um deâenvol v i mento a n a l i ti c o

,

se t r a n s f o r m a n o p r o b l e m a d e t r a n s p o r t e c l A s s i e o CTAHA, 1982; BASARAA, 1 8 7 9 3 , razão p e l a q u a l s SSPEP

-

s i m é t r i c o também se denomina P r o b l e m a d e T r a n s p o r t e Gener a1 i z a d o

,

t a l coamo i n d i c a d a na i t e m I I - 1 - 1

.

I I - 3 . 3 G S P E P - M U L T I MODAL

-

M U L T I PRODUTO.

A f o r m u l a ç Z o m e d i a n t e u m p r o b l e m a de i n e q u a ~ ã o variaeional para esse caso i. apresentada n a s equaqE3es C 1 1 . 2 3 3 a C I I . 2 6 3 e o p r o b l e m a s i m & t r i c o &: M i n F C + i , x A . x T , d 2 = ~ ~ ~ k p C a 3 d $ L

+

O O +

~ ~ $ : c m d ~ t

-

C I P . a03 O s. a C I I . 1Sb3, C I I . 1Sc3, C I I . 18d3, C I I . 1 9 e 3 e

CII.

19f3.

I I . 3.4 PROBLEMA DE EQUP L f B R I O D E TRAFEGO.

P a r a esse p r o b l e m a a s i t u a q ã o de Jacobiano s i m é t r i c a se apresenta quando o c u s t o d e v i a g e m do u s u á r i o para cada m e d o , e s t A r e p r e s e n t a d o por u m a f u n q ã o q u e depende s o m e n t e do f l u x o no arco correspondente

xP,

e p o r t a n t o o Q p r o b l e m a e q u i v a l e n t e &: Ct M i n i m i z e FCx3 =

11

c P ~ x 3 d x u P a C I I . 613 5:. a x s z t i s f a z C I I . 2Sb3, C I I . 29c3 e C I I . 2Sd3 O problema a n t e r i o r t e m s i d o a m p l a m e n t e e s t u d a d o a t r a v é s d e u m a serie de t r a b a l h o s d u r a n t e a s bl ti m a s decadas C A B S H T I AMI e MAGMANTI ,1981 ; D A F E R M O S 1971 ; F L O R I AN

,

1871

,

e t c - 3 s e n d o pr i m e i r a m e n t e f or m u l ado por BECKMAN e& a1 i i C 1 Q&j63.