Laboratório de guiagem, navegação e controle – A Universidade Federal do ABC
Prof. Leandro Baroni
Atividade 13: Movimentos naturais do giroscópio
1 Introdução
Nesta atividade será utilizado um giroscópio de três graus de liberdade fabricado pela Quanser (Fig. 1). O equipamento possui três guimbais e um rotor: guimbal mais externo (cinza), guimbal externo (vermelho) e guimbal interno (azul). A atividade será executada com apenas dois graus de liberdade, permanecendo o guimbal mais externo travado.
Figura 1: Giroscópio utilizado no experimento.
2 Modelo do giroscópio de guimbais com 2 graus de liberdade
Com o guimbal mais externo travado, o sistema possui dois graus de liberdade: ψ é a rotação do guimbal o com relação ao sistema de referência inercial e θ é a rotação do guimbal g com relação ao guimbal o, indicados na Fig. 2.
Os sistemas de coordenadas adotados são:
• Sistema de coordenadas inercial: eixos XY Z fixos no equipamento. O eixo Z coincide com o eixo zo do guimbal externo, que é alinhado ao respectivo eixo de rotação;
• Sistema de coordenadas do guimbal interno: eixos xyz presos ao guimbal interno. O eixo y deste referencial coincide com o eixo de rotação do guimbal interno, o eixo x coincide com o eixo de rotação do rotor. Note que o eixo y também coincide com o eixo yodo referencial
Figura 2: Giroscópio com dois graus de liberdade
Indica-se as partes constituintes pelas siglas:
• r: rotor
• g: guimbal interno
• o: guimbal externo
O modelo do giroscópio com dois graus de liberdade é desenvolvido em [1]. Para o desenvolvi-mento do modelo, leva-se em conta as hipóteses: cada parte é rígida, as conexões são rígidas e a massa é perfeitamente balanceada de modo que o peso de cada elemento não gere torques. Os momentos de inércia de cada parte do equipamento é indicada por:
• Jo
Z: Momento de inércia do guimbal externo ao redor do eixo Z
• Jyg e Jzg: Momentos de inércia do guimbal interno com relação aos respectivos eixos y e z
• Jr
x, Jyr e Jzr: Momentos de inércia polar e transversais, respectivamente, do rotor.
Assim, as equações do movimento na forma não linear são:
Jyθ + h ˙¨ ψ cos θ + (Jz− Jx) ˙ψ2sen θ cos θ = Mb
(Jzo+ Jzcos2θ + Jxsen2θ) ¨ψ− h ˙θ cos θ + 2(Jx− Jz) ˙ψ ˙θ sen θ cos θ = Mc
(1)
onde
• h = Jr
xn é o momento angular de spin do rotor e n é a velocidade de rotação do rotor com
• Jx = Jxr+ J g x • Jy = Jyr+ J g y • Jz = Jzr+ J g z
• Mb = My torque aplicado ao redor do eixo y
• Mc= MZ torque aplicado ao redor do eixo Z
3 Modelo linear
Uma forma de estudar analiticamente o comportamento do giroscópio, obtendo seus modos de movimento livre mais importantes, é pela realização da linearização das equações do movimento. A linearização é realizada para o movimento de pequenas perturbações nos ângulos θ e ψ, bem como nas respectivas velocidades angulares ˙θ e ˙ψ. Isto torna possível eliminar todos os fatores de ordem 2 ou superior na expansão por séries de Taylor das eqs. (1).
Fisicamente, assume-se que a velocidade de spin n é grande quando comparada com ˙ψ, o que permite eliminar os termos J ˙ψ2sen θ e J ˙ψ ˙θ sen θ quando comparados com h ˙ψ = J n ˙ψ e h ˙θ = J n ˙θ.
Também realiza-se a aproximação sen θ ≈ θ e cos θ ≈ 1. As equações da aproximação linear são: Jyθ + h ˙¨ ψ = My
JZψ¨− h ˙θ = MZ
(2)
Na eq. (2), adotou-se a definição em (3), que representa o momento de inércia equivalente do conjunto dos dois guimbais mais rotor com relação ao eixo Z. Note que isto é válido somente para pequenas perturbações. Para outras situações, é necessário realizar a transformação angular presente no primeiro termo no lado esquerdo da segunda equação em (1).
JZ = JZo + Jz = JZo + Jzg+ Jzr (3)
4 Movimentos Naturais do Giroscópio
O modelo aproximado linear permite determinar soluções algébricas para diversas entradas de torque, ou de condição inicial, ressaltando alguns movimentos naturais do giroscópio. A mon-tagem de dois graus de liberdade é um sistema MIMO (múltiplas entradas, múltiplas saídas) com duas entradas (My e MZ) e duas saídas (θ e ψ). O sistema de equações (2) possui então a
seguinte representação por transformada de Laplace: [ s2 Jh ys − h JZs s 2 ] [ θ(s) ψ(s) ] = [M y(s) Jy + sθ(0) + ˙θ(0) + h Jyψ(0) MZ(s) JZ − h JZθ(0) + sψ(0) + ˙ψ(0) ] (4)
A equação característica é dada por: s2 ( s2+ h 2 JyJZ ) = 0 (5)
As raízes (autovalores, pólos) são:
s1 = s2= 0 s3,4 =±j h √ JyJZ (6)
Ou seja, um par de raízes na origem, que representa um duplo integrador, e outro par de raízes complexas conjugadas puramente imaginárias. Estas últimas são associadas a modos não amortecidos oscilatórios com frequência angular:
ω = √h JyJZ
(7)
Os modos naturais de movimento do giroscópio são obtidos para o caso de uma única entrada de excitação, de forma a obter um sistema SIMO (uma entrada e múltiplas saídas). Isto é obtido zerando-se um dos torques e a respectiva condição inicial de velocidade. Assume-se, no estudo em questão, que o torque no guimbal externo e a respectiva condição inicial de velocidade são nulos MZ= 0, ˙ψ(0) = 0. Neste caso, as equações são dadas abaixo.
θ(s) = My(s) Jy + ˙θ(0) s2+ ω2 + θ(0) s (8) ψ(s) = √ Jy JZ [ My(s) Jy + ˙θ(0) ] ω s (s2+ ω2) + ψ(0) s (9)
Esta aproximação não provoca perda de generalidade, visto que, uma vez que se esteja usando um modelo linear, o efeito final é a soma de efeitos individuais, ou seja, poder-se-ia obter a resposta para condições nulas nas outras variáveis e depois somar os efeitos. Além disso, a resposta para entradas MZ e ˙ψ diferentes de zero, com My = 0, ˙θ(0) = 0 é simétrica com respeito ao caso em
questão.
4.1 Resposta a uma condição Inicial de Ângulo
A solução das eqs. (8) e (9) pode descrever uma série de comportamentos, dependendo das condições iniciais ou do tipo do torque aplicado.
O primeiro caso estudado é uma condição inicial de ângulo, com velocidade ˙θ e torque My nulos. Neste caso, a solução é:
Este resultado simples evidencia uma das principais características de um giroscópio. Se uma perturbação puramente de ângulo ocorrer, com respeito ao ponto de repouso. O giroscópio têm a tendência de manter a nova orientação indefinidamente, caso nenhuma perturbação seja aplicada. Ou seja, ele conserva a sua atitude, mantendo um momento angular constante.
4.2 Movimento de coning
Este movimento é gerado por uma condição inicial em ˙θ ou por um impulso equivalente:
My(t) = µδ(t) (11)
onde µ é a área do impulso, em Newton-segundo (N s). δ é a função impulso unitário (Delta de Dirac).
A equivalência da função impulso com condição inicial de velocidade angular é evidenciada pelo numerador da eq. (9), após o cálculo da transformada Laplace de µδ(t) (lembre queL{µδ(t)} = µ): ˙ θ(0)≡ Ωy0= µ Jy (12)
Fisicamente, isso significa que o efeito de um impulso de torque é gerar uma condição inicial de velocidade angular. Em ambos os casos, a solução é dada por:
θ(t) = Ωy0 ω sin(ωt) (13) ψ(t) = √ Jy JZ Ωy0 ω (1− cos(ωt)) (14)
A eq. (13) corresponde a uma senoide que oscila ao redor de zero (o ponto de equilíbrio), com amplitude Ωy0
ω . A eq. (14) corresponde a uma cossenoide somada a 1, que oscila entre zero e
um valor máximo, de amplitude 2√Jy
JZ
Ωy0
ω . A fig. 3 mostra essas duas respostas em função do
tempo. Também mostra a combinação de ambas as respostas em um gráfico de ψ× θ. Note que a combinação dos ângulos gera um movimento cônico, com seção transversal elíptica. A razão entre os eixos depende dos momentos de inércia JZ e Jy. Este movimento é o chamado coning. A frequência de coning é ω. Muitas vezes, o movimento de coning também é chamado de nutação, embora a nutação seja melhor explicada na próxima seção. Em casos práticos, o atrito nos mancais faz com que as amplitudes em θ e ψ diminuam a cada oscilação, gerando um movimento espiral.
4.3 Movimento de Precessão e Nutação
O próximo movimento é gerado por um degrau de torque aplicado no eixo y, ou seja:
Figura 3: Respostas temporais no movimento de coning [1].
Onde τy é amplitude do torque e u(t) é a função degrau unitário. Neste caso, as transformadas de Laplace de θ e ψ, assumindo condições iniciais nulas, são:
θ(s) = τy/Jy s (s2+ ω2) (16) ψ(s) = √ Jy JZ (τy/Jy) ω s2(s2+ ω2) (17)
As respostas temporais são:
θ(t) = τy Jyω2 (1− cos(ωt)) (18) ψ(t) = τy h ( t− sin(ωt) ω ) (19)
Note que a resposta de θ A eq. (18) corresponde a uma cossenoide somada a 1, que oscila entre zero e um valor máximo, de amplitude 2 τy
Jyω2. O movimento em ψ é a soma de uma senoide com
uma função linear. À despeito desta senoide, o movimento é uma rotação de velocidade angular constante ao redor do eixo do guimbal externo. Este movimento é chamado de precessão. A figura 4 ilustra estas respostas temporais, também desenha ψ em função de θ. O movimento de precessão é a parcela retilínea da resposta de ψ, as oscilações presentes em ψ e θ são o movimento de nutação. O movimento combinado de ψ e θ gera uma ciclóide.
A taxa de precessão é a velocidade angular de rotação proporcionada na parte linear da resposta de ψ, a partir da eq. (19):
˙ ψp =
τy
Figura 4: Respostas de precessão e nutação [1].
Já a frequência angular de nutação é a própria frequência ω:
ω = √h JZJy
(21)
Note que a frequência de nutação só depende de parâmetros inerentes ao giroscópio. Enquanto que a frequência de precessão ao redor do eixo Z é proporcional ao torque aplicado ao redor do eixo y. Também existe uma forma vetorial clássica para o movimento de precessão:
Ω× h = M (22)
onde Ω = ˙ψIZ é a velocidade angular na direção do vetor unitário eZ do guimbal externo,
alinhado com o eixo Z. h = hIx é o momento angular de spin na direção do vetor unitário ex,
alinhado com o eixo x do rotor. M = τyey é torque na direção do eixo ey, alinhado com o eixo
y do guimbal interno.
5 Atividades
O experimento é realizado com a estrutura fornecida pela Quanser e o uso do equipamento é descrito em detalhes nos respectivos manuais (refs. [2] e [3]). A interface com o equipamento é realizada por um diagrama de Simulink, via geração automática de código com o software Quarc, fornecido pela Quanser. O diagrama do Simulink também faz uma simulação paralela do mesmo, usando um modelo não linear fornecido pela própria empresa.
O arquivo codigo.zip contém os arquivos:
• parametros_coning_prec.m: calcula parâmetros usados para gerar os movimento de co-ning e de precessão com nutação e configura tanto o experimento de coco-ning (entrada
im-pulsiva), quanto de precessão e nutação (entrada degrau) pela manipulação da amplitude do torque aplicado e sua duração.
• setup_demo.m inicializa os parâmetros do giroscópio.
• tracar_graficos.m: arquivo exemplo para traçar gráficos a partir dos dados experimen-tais.
• gyro_ang_sem_cont.mdl: arquivo do Simulink para realizar a interface com o equipa-mento, coletar dados experimentais e fazer a simulação paralela.
Ao executar o programa, os dados extraídos da simulação serão gravados no formato .mat. Para a atividade de coning, serão gerados os arquivos theta_XXX.mat, psi_XXX.mat, theta_sim_XXX. mat, psi_sim_XXX.mat e torque_y_XXX.mat. Na atividade de precessão, serão gerados os arqui-vos theta_p_XXX.mat, psi_p_XXX.mat, theta_sim_p_XXX.mat, psi_sim_p_XXX.mat e torque_ y_p_XXX.mat. XXX indica qual velocidade de spin foi utilizada.
Os momentos de inércia do equipamento são: Jo
Z= 0.0179 kg m2, J g
y = 0.0008 kg m2, Jzg= 0.0019
kg m2, Jr
x = 0.0056 kg m2, Jyr = 0.0028 kg m2, Jzr = 0.0028 kg m2. Os experimentos serão feitos
para 3 casos cada um, com as velocidades de spin: n1 = 750 RPM, n2 = 300 RPM e n3 = 200 RPM.
Atividade 1: Determine os valores dos momentos de inércia Jx, Jy e JZ do modelo linear.
Atividade 2: Determine os valores dos momentos angulares de spin associados a n1, n2 e n3, em unidades SI.
Atividade 3: O rotor do giroscópio é mantido em velocidade angular constante pela aplicação de um controle de malha fechada para acionar o motor de corrente contínua que age sobre o mesmo. Conforme visto na seção 4.1, o efeito giroscópico é capaz de manter uma orientação angular constante uma vez que nenhuma outra perturbação esteja presente.
Em qualquer um dos arquivos de resposta de ângulo, nos primeiros 10 segundos, aproximada-mente, o rotor estava sendo acelerado e um operador segurou os guimbais com a mão. Depois disso, os mesmos foram deixados livres, idealmente, sem perturbações. No instante 30 s, um torque é aplicado. Escolha um arquivo de θ e ψ, no mesmo teste, para as 3 velocidades de spin. Trace os gráficos de θ e ψ nos intervalos de tempo em que o giroscópio estava livre sem pertu-bações. Compare os resultados para as três velocidades de spin. O giroscópio realmente é capaz de manter um orientação constante na ausência de perturbações? O que interfere nisso?
Avalie também os resultados previstos nos arquivos simulados. Não precisa traçar os mesmos gráficos da questão acima, nem fazer a mesma avaliação, somente fazer uma comparação com os dados medidos.
Atividade 4: Para cada velocidade de spin, calcule a frequência ω do movimento de coning prevista teoricamente na seção 4.2. Calcule também a amplitude das respostas angulares de θ e
ψ. Usando o MATLAB, gere os gráficos associados às respostas ideais previstas pelas equações da seção 4.2: θ×tempo, ψ×tempo, θ×ψ. Para calcular a velocidade Ωy0, é necessário o valor µ da área do impulso. Este valor é calculado numericamente a partir dos arquivos torque_y_XXX.mat. Basta calcular a área sob a curva de torque. Para isso, você pode usar, por exemplo, a função quad do MATLAB que calcula uma integral numericamente.
Atividade 5: Usando os arquivos de dados das respostas de θ e ψ, obtenha os gráficos de θ× tempo, ψ × tempo, θ × ψ. Note que é necessário traçar somente o gráfico correspondente ao intervalo de tempo após a aplicação do impulso, ou seja, t≥30 s. Além disso, note que não é necessário traçar um número elevado de oscilações, aconselha-se entre 3 ou 5 ciclos. Calcule a frequência de coning obtida a partir dos gráficos, para cada velocidade de spin. Compare estes resultados obtidos experimentalmente com aqueles previstos teoricamente. Explique as principais diferenças. Avalie o impacto da velocidade de spin sobre os resultados.
Atividade 6: Avalie também os resultados previstos nos arquivos simulados. Não precisa tra-çar os mesmos gráficos da questão acima, nem fazer a mesma avaliação, somente fazer uma comparação com os dados medidos.
Atividade 7: Para cada velocidade de spin, calcule a frequência ω do movimento de nutação prevista teoricamente na seção 4.3. Calcule a taxa de precessão prevista teoricamente na seção 4.3. Calcule também a amplitude das respostas angulares de θ e ψ. Usando o MATLAB, gere os gráficos associados às respostas ideais previstas pelas equações da seção 4.3: θ × tempo, ψ× tempo, θ × ψ.
Para calcular a taxa de precessão, é necessário a amplitude do torque aplicado. Este valor é lido diretamente a partir dos arquivos torque_y_p_XXX.mat.
Atividade 8: Usando os arquivos de dados das respostas de θ e ψ, obtenha os gráficos de θ× tempo, ψ × tempo, θ × ψ. Note que é necessário traçar somente o gráfico correspondente ao intervalo de tempo após a aplicação do impulso, ou seja, t≥30 s. Além disso, note que não é necessário traçar um número elevado de oscilações, aconselha-se entre 3 ou 5 ciclos. Compare estes resultados obtidos experimentalmente com aqueles previstos teoricamente. Explique as principais diferenças. Avalie o impacto da velocidade de spin sobre os resultados.
Referências
[1] Robert H. Cannon. Dynamics of Physical Systems. Dover Civil and Mechanical Engineering. Dover Publications, 2012.
[2] Quanser. Gyroscope position control. Technical report, Quanser Inc.
