Geometria Analítica e Álgebra
Linear
Tipos de Matrizes e Operações
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 1
O que são Matrizes?
• Matrizes
são
conjuntos
de
dados
matemáticos
(números,
polinômios,
funções, etc) dispostos em linhas e
colunas.
• Sua utilização é útil na resolução de
diversos
problemas
matemáticos
envolvendo conjuntos de dados (Ex:
Sistemas lineares).
Exemplo de Matriz
• Ao coletarmos dados de peso, altura e idade de algumas pessoas, os mesmos podem ser dispostos como a seguir:
• Se extrairmos os dados da tabela, formamos uma matriz com os mesmos.
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Exemplo de Matriz
• Assim, se quisermos saber o peso da pessoa 2, por exemplo, devemos recorrer ao elemento da segunda linha e segunda coluna da Matriz.
• Se quisermos saber a altura da pessoa 4, devemos recorrer ao elemento da quarta linha e primeira coluna da Matriz.
Notação Básica de uma Matriz
• Uma matriz “A” é definida por “m” linhas e “n” colunas de modo que seus elementos “a” ocupam posições “i” em cada linha e “j” em cada coluna da mesma.• Assim, uma matriz é descrita matematicamente na forma Amxn, contendo
diversos elementos aijonde 1≤ i ≤ n e 1≤ i ≤ m. Outra notação comum é A
= (aij)mxn.
• Se desenharmos esta matriz “genérica” teremos:
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Observe que o elemento da última coluna e última linha possui índices m e n!
Exemplos Numéricos
• Dimensões de Matrizes – Matriz 2 x 3 – Matriz 2 x 2 • Posicionamento de elementos de uma matriz A3x3a11= 2
a12= -1
a21= 4
a33= -2
Exemplo de Construção
• Construa a matriz A3x3 de elementos aij, sendo que aij= 3i+j.
• Solução: Cada elemento “a” é determinado pelos valores de i e j da posição deste elemento. Assim, por exemplo, a11= 3*1+1 =
4. Assim, montamos a matriz:
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12
11
10
9
8
7
6
5
4
3 3xA
Tipos de Matrizes
• As matrizes podem ser classificadas de
diversas
maneiras
quanto
ao
seu
tamanho, natureza de seus elementos e
propriedades.
• A seguir, veremos alguns exemplos de
tipos particulares de matrizes.
Matriz Linha e Matriz Coluna
• Matriz linha é aquela formada por apenas uma linha, ou seja, A1xn
• Exemplo:
• A Matriz coluna é formada por apenas uma coluna, ou seja, Amx1
• Exemplo:
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1
2
7
3
0
5
2
4 1 3 1
x xB
A
1
2
3
7
4
1 5 xB
3
2
1 2 xA
21
6
47
3
4
1
24
51
14
3 3xB
Matriz Quadrada
• Uma matriz é denominada quadrada quando possui a mesma quantidade de linhas e colunas, ou seja, m = n. Assim, a matriz é descrita como Anxn.
• Este tipo de matriz (apenas este!) possuem elementos em suas diagonais que descrevem sua diagonal principal e diagonal
secundária.
6
8
4
2
2 2 xA
Diagonal Principal Diagonal Principal Diagonal Secundária Diagonal SecundáriaMatriz Oposta
• A matriz oposta de A é a matriz obtida
trocando-se o sinal de todos os seus
elementos, ou seja, a oposta de A é –A.
• Exemplo:
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Matriz Nula
• Uma matriz é nula quando todos seus
elementos são iguais a zero.
• Exemplo:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5 5 xB
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3 3xA
Matriz Diagonal e Matriz
Identidade
• Uma matriz é denominada diagonal quando apenas os elementos de sua diagonal principal são diferentes de zero. • Exemplos:
• Quando uma matriz diagonal
possui elementos não-nulos iguals a 1, a denominamos matriz identidade. A notação para esta matriz é In.
• Exemplos
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4
0
0
0
0
31
0
0
0
0
2
0
0
0
0
18
5
0
0
3
4 4 2 2 x xB
A
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
4 2I
I
Matriz Transposta
• A partir de uma matriz Amxn, obtemos sua matriz transposta Atnxm
pela troca ordenada de suas linhas por suas colunas. • Exemplos:
4
2
3
1
4
3
2
1
4
2
3
2
0
1
4
2
2
0
3
1
2 2 2 2 3 2 2 3 t x x t x xB
B
A
A
Igualdade entre Matrizes
• Duas matrizes são iguais se, e somente se, ambas forem de mesma ordem e seus elementos forem iguais.
• Exemplos:
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Matrizes simétricas e
anti-simétricas
• Matrizes simétricas são matrizes quadradas iguais à sua transposta, ou seja, A = At.
• Exemplo:
• Matrizes anti-simétricas são matrizes quadradas iguais à sua transposta negativa, ou seja, A = -At. • Exemplo:
5
0
1
0
2
3
1
3
4
tA
A
0
6
4
6
0
3
4
3
0
tA
A
Operações com Matrizes
• Para resolver problemas matemáticos
de
nosso
cotidiano,
realizamos
operações com matrizes para manipular
uma certa quantidade de dados.
• Estas operações podem ser adição,
subtração, multiplicação por escalar e
multiplicação entre matrizes.
• Veremos, a seguir alguns exemplos.
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Exemplo Soma de Matrizes
• Considere as tabelas de produção de grãos por região para dois anos consecutivos:
Exemplo Soma de Matrizes
• O que faremos se quisermos saber a produção de grãos por região para os dois anos?
• Neste caso, efetuamos a soma das matrizes de cada ano, obtendo uma nova matriz para ambos os anos!
• Assim, como resultado para dois anos , montamos a seguinte tabela:
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Soma e Subtração de
Matrizes
• A soma ou subtração de matrizes é feita somando-se ou subtraindo-se todos os elementos das mesmas posições de ambas as matrizes. A operação de subtração pode ser interpretada como a soma pela matriz oposta (ver exemplo). • Estas operações só são possíveis em matrizes de mesma
ordem. • Exemplos:
Exemplo de Multiplicação de
Matrizes por um Escalar
• Voltemos à produção de grãos por região. Vejamos a seguinte tabela de dados de produção no primeiro ano e sua respectiva matriz:
• Devido ao excelente clima e às novas técnicas de plantio, sabemos que a previsão de produção de grãos no terceiro ano será o triplo do obtido no primeiro ano!
• Assim, como determinaremos a previsão de produção para o terceiro ano?
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Exemplo de Multiplicação de
Matrizes por um Escalar
• Como a produção do terceiro ano será o triplo da obtida no primeiro ano, devemos multiplicar a matriz do primeiro ano por um escalar 3, assim temos:
Multiplicação por um escalar
• A multiplicação de uma matriz Amxnpor um escalar “c” resulta em
uma nova matriz c.Amxn onde todos os elementos da matriz
original são multiplicados por “c”. • Exemplo:
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Exemplo de multiplicação de
matrizes
• Uma salgadeira fabrica três tipos de salgados, usando ingredientes conforme tabela abaixo:
• A tabela a seguir apresenta os preços dos ingredientes:
ovos farinha açúcar carne Pastéis 3 6 1 3 Empadas 4 4 2 2 Kibes 1 1 1 6 Ingredientes Preço Base(R$) ovos 0,20 farinha 0,30
Exemplo de multiplicação de
matrizes
• Como faremos para determinar o preço base de cada salgado? • Para isto, faremos a multiplicação das matrizes ingredientes x
preços dos ingredientes (retiradas das tabelas), obtendo uma matriz com o preço de cada salgado.
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80
,
5
60
,
4
30
,
5
80
,
0
50
,
0
30
,
0
20
,
0
6
1
1
1
2
2
4
4
3
1
6
3
Salgado Preço Base(R$) Pastéis 5,30 Empadas 4,60 Kibes 5,80Multiplicação de Matrizes
• O produto entre duas matrizes é uma matriz formada multiplicando-se ordenadamente as linhas da matriz A pelas colunas da matriz B. Observe o exemplo abaixo:
22 21 12 11a
a
a
a
A
22 21 12 11b
b
b
b
B
)
(
)
(
)
(
)
(
.
22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
A
C
Multiplicação de Matrizes
• Sendo assim, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. Assim, o produto C = A.B será uma matriz com o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.
• Um exemplo numérico para melhor entendimento:
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mxn pxn
mxp
B
C
A
.
Matriz Inversa
• Considerando-se A uma matriz quadrada, denominamos A-1 a
matriz inversa de A de modo a satisfazer a seguinte relação onde Iné a matriz identidade de mesma ordem de A e A-1.
• Na prática, para determinarmos a inversa de A, ou seja, A-1,
criamos uma matriz A-1 com variáveis em seus elementos e efetuamos a multiplicação de A por A-1, gerando um sistema de
equações.
• Observe que toda matriz inversível é quadrada (lembrando que toda matriz identidade é quadrada também!). Mas nem toda matriz quadrada é inversível.
n nxn nxn nxn nxn
A
A
A
I
A
1.
.
1
Matriz Inversa
• Calcule A-1para a seguinte matriz A:
• Criamos A-1 com as variáveis e efet uamos a operação A.A-1=I n
• Com o resultado da multiplicação, obtemos um sistema que após ser resolvido nos dará os valores das variáveis e, portanto, o resultado A-1.
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4
3
2
1
A
1
0
0
1
.
4
3
2
1
.
1d
c
b
a
I
A
A
n
1
0
0
1
4
3
4
3
2
2
.
4
3
2
1
d
b
c
a
c
b
c
a
d
c
b
a
Matriz Inversa
• Assim, montamos um sistema que pode ser resolvido facilmente obtendo-se os valores das variáveis a, b, c e d, formando a matriz inversa A-1.
