Estimação e quantificação de incertezas aplicados em modelos de falhas de máquinas rotativas

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GABRIEL YUJI GAROLI

ESTIMAÇÃO E QUANTIFICAÇÃO DE

INCERTEZAS APLICADOS EM MODELOS DE

FALHAS DE MÁQUINAS ROTATIVAS

CAMPINAS

2020

(2)

ESTIMAÇÃO E QUANTIFICAÇÃO DE

INCERTEZAS APLICADOS EM MODELOS DE

FALHAS DE MÁQUINAS ROTATIVAS

Texto de defesa apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Doutor em Ciências e Engenharia Mecânica.

Orientador: Prof. Dr. Helio Fiori de Castro

Este exemplar corresponde à versão para defesa de doutorado pelo aluno Gabriel Yuji Garoli e orientada pelo Prof. Dr. Helio Fiori de Castro.

________________________________ Assinatura do Orientador

CAMPINAS

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Rose Meire da Silva - CRB 8/5974

Garoli, Gabriel Yuji,

G19e GarEstimação e quantificação de incertezas aplicados em modelos de falhas de máquinas rotativas / Gabriel Yuji Garoli. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.

GarOrientador: Helio Fiori de Castro.

GarTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.

Gar1. Modelos estocásticos. 2. Rotores - Dinâmica. 3. Mancais. 4. Falha de sistema (Engenharia). 5. Incerteza. I. Castro, Helio Fiori, 1977-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Uncertanty quantification and estimation applied in faults models of

rotor machines Palavras-chave em inglês: Stochastic models Rotor dynamics Bearing System Fault Uncertainty

Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico Titulação: Doutor em Engenharia Mecânica

Banca examinadora:

Helio Fiori de Castro [Orientador] Katia Lucchesi Cavalca Dedini José Roberto de França Arruda Thiago Gamboa Ritto

Adriano Todorovic Fabro

Data de defesa: 19-06-2020

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-4304-1203 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/2077156464778675

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TESE DE DOUTORADO

ESTIMAÇÃO E QUANTIFICAÇÃO DE INCERTEZAS

APLICADOS EM MODELOS DE FALHAS DE

MÁQUINAS ROTATIVAS

Autor: Gabriel Yuji Garoli

Orientador: Prof. Dr. Helio Fiori de Castro

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Tese:

Prof. Dr. Helio Fiori de Castro, Presidente DSI / Faculdade de Engenharia Mecânica Profa. Dra. Katia Lucchesi Cavalca Dedini DSI / Faculdade de Engenharia Mecânica Prof. Dr. José Roberto de França Arruda DMC / Faculdade de Engenharia Mecânica Prof. Dr. Thiago Gamboa Ritto

Departamento de Engenharia Mecânica/ Escola Politécnica / UFRJ Prof. Dr. Adriano Todorovic Fabro

Departamento de Engenharia Mecânica / Faculdade de Tecnologia / UnB

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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Este trabalho não poderia ser feito sem a ajuda de diversas pessoas. As quais agradeço e homenageio aqui:

Aos meus pais, Regina e Valter, e minha irmã, Marcela, por todo apoio e amor incondicional.

À minha namorada, Paula, que me acompanhou todo dia durante essa jornada, ouvindo todas as minhas frustações e vitórias.

Ao professor Helio Fiori de Castro pelo conhecimento passado ao longo desses anos, pela paciência e pelas oportunidades proporcionadas.

À professora Katia pela coordenação do projeto temático ao qual este doutorado é vinculado e pela oportunidade de participar de tal projeto.

Aos outros professores do LAMAR, Gregory e Tiago, pelo conhecimento passado e apoio técnico neste trabalho.

Aos colegas do LAMAR: André, Barbara, Carlão, Danilo, Diogo, Showglas, Eline, Felipe Tuckmantel, Gustavo, Henrique Takashi, Lais Bittencourt, Lais Carrer, Leandro Ito, Leonardo Saint Martin, Leonardo Gusmão, Leticia, Lucas, Marcos, Matheus Moraes, Matheus Wu, Nathalia Akemi e Natalia Tyminski e Ricardo pela ajuda prestada e pela amizade.

Aos amigos Emily, Helder, Lucas e Natan pelos momentos de descontração. Aos amigos e colegas Rafael Pilloto, Hitoshi Matsushita, professor Gustavo Paulinelli, professor Rainer Nordmann, Yun Ouedraogo e todos do Instituto Fraunhofer LBF pela ajuda e amizade durante meu período na Alemanha.

Aos amigos Bruna Helena, Felipe Marques, Gabriel Zapata, Guilherme Mateus, Marcel e Nathalia Argolo pelo companheirismo desde a graduação.

Aos amigos Silas, Yukio, Arthur, Nilton, Hedlla e Gustavo Monti pelos momentos de descontração mesmo com a distância.

À FAPESP e CAPES, pelo apoio financeiro, que possibilitou a execução deste trabalho através dos processos: 2015/20363-6, 2016/13223-6 e 2018/02976-9.

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Máquinas rotativas são, geralmente, equipamentos caros, complexos e muito utilizados em diversas indústrias. A modelagem de tais máquinas é essencial e, mesmo sendo um tema estudado a mais de um século, está em constante desenvolvimento. No entanto, comportamento dinâmico dessas máquinas possuem uma característica estocástica, a qual pode ser inserida em seus modelos matemáticos, considerando alguns parâmetros incertos. O processo de identificação e quantificação de incertezas em máquinas rotativas é mais recente e não tão consolidado como a abordagem de modelagem e identificação determinística. Geralmente, métodos de amostragem, como simulação de Monte Carlo, são utilizados para o cálculo da resposta estocástica, pois permitem a utilização de algoritmos desenvolvidos para o problema determinístico. A convergência desses métodos é garantida por muitas amostras, o que é negativo no caso de máquinas rotativas que possuem modelos numéricos complexos e que demandam um elevado tempo de processamento. Este trabalho propõe, como alternativa, a utilização da Expansão de Caos Polinomial para aproximar a resposta estocástica. Para problemas com poucas variáveis aleatórias, os quais são tratados neste trabalho, o método de Colocação Estocástica pode ser utilizado para estimar os coeficientes da expansão, o qual permite a utilização de algoritmos do problema determinístico, além de utilizar menos amostras que os métodos de Monte Carlo. Após a estimação dos coeficientes, informações estatísticas do processo podem ser facilmente calculadas, também. Além disto, é possível realizar uma análise de sensibilidade, que permite avaliar como as incertezas das entradas afetam as incertezas das saídas e quais possuem maior influência. A Expansão Polinomial do Caos generalizado, por outro lado, também pode ser utilizada na Inferência Bayesiana, para a identificação de parâmetros do modelo em máquinas rotativas, como um método genérico, precisando apenas dos modelos do sistema de interesse. Neste trabalho estuda-se o uso da Expansão Polinomial do Caos generalizado para aproximar a resposta estocástica de máquinas rotativas em diversas análises relevantes à dinâmica de rotores. Nos casos com incertezas nos parâmetros de mancais, foram analisados coeficientes dinâmicos equivalentes, instabilidade fluido induzida e a sensibilidade da resposta do rotor e da instabilidade às incertezas dos mancais. Nos casos com incertezas nos parâmetros de falha, a resposta do sistema no domínio da frequência e do tempo foram analisadas e para cada uma, foi realizada uma análise de sensibilidade. A Inferência Bayesiana junto da expansão polinomial foi utilizada para a identificação de parâmetros de falhas e parâmetros de mancais magnéticos. Estes resultados foram comparados com métodos determinísticos e com a inferência resolvida pelo método de Monte Carlo via Cadeias de Markov. Além disso, as respostas com os parâmetros identificados foram comparadas com respostas experimentais.

Palavras Chave: Máquinas Rotativas; Análise de Incertezas; Expansão Polinomial do Caos generalizado; Métodos de Monte Carlo; Colocação Estocástica

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ABSTRACT

Rotating machines are expensive and complex equipment used in a range of industries. Whose model is essential and, even with more than one century of study, it is at constant development. However, the dynamical behaviour of such machines can have a stochastic characteristic and should be added in the model as uncertain parameters. This process of identification and quantification of uncertainties in rotating machines is recent and is not so well established as the deterministic approach. Monte Carlo methods are usually used to calculate the stochastic response, because they are simple to implement and allow the use of algorithms that evaluate the deterministic solution. The convergence is guarantee by a large number of samples, which is a negative aspect for the case of rotating machines, which have complex models that need a large amount of processing time. This work proposes the use of the generalized Polynomial Chaos Expansion as an alternative to approximate the stochastic response. For problems with a small number of uncertain parameters, the Stochastic Collocation can be used. The method can be used to evaluate the expansion coefficients. A deterministic algorithm can be used, as in the Monte Carlo method, but a smaller number of samples is needed due to the polynomial approximation. After the evaluation of the expansion coefficients, statistical information can be calculated. A sensitivity analysis can be performed as well, which allows the analysis of the effect of the input uncertainties on the output uncertainties and to evaluate which ones have more influence. The generalized Polynomial Chaos Expansion can also be used in the Bayesian Inference. The expansion turns the equation of Bayes Theorem into a product between a polynomial series and known probability density functions. The inference is used to identify the fault parameters in rotating machines. This is a generic method, which needs only the rotor system of interest and fault models. In this work, the application of the generalized Polynomial Chaos Expansion to evaluate the stochastic response of rotating machines is studied. For the cases in which the bearing parameters uncertainties are assumed, the equivalent dynamic coefficients, the fluid induced instability and its sensitivity to the parameter uncertainties are analyzed. For the cases in which the fault parameters are assumed uncertain, the frequency and time response of rotor systems are considered, and its sensitivity to the fault parameters uncertainty is analyzed. The Bayesian Inference with the polynomial expansion is also used to identify the fault parameters and active magnetic bearing parameters. Results are compared to deterministic method results and the inference solved by the Monte Carlo via Markov Chain method results. With the identified parameters, responses are evaluated and compared with experimental data.

Key Word: Rotor Machines; Uncertainties Analysis; generalized Polynomial Chaos Expansion; Monte Carlo methods; Stochastic Collocation method

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 3.1 - Esquema básico de um sistema rotativo e seu sistema de referência (baseado em

Nelson e McVaugh,1976). ... 34

Figura 3.2 – Esquema de um elemento de viga cilíndrica ... 36

Figura 3.3 – Esquema de um elemento de disco rígido ... 37

Figura 3.4 – Esquema de mancal hidrodinâmico ... 39

Figura 3.5 – Esquema da montagem da matriz global ... 43

Figura 4.1 – Diagrama do método de Monte Carlo ... 48

Figura 4.2 – Esquema de Askey ... 50

Figura 4.3 – Fluxograma do processo de solução por Expansão Polinomial do Caos generalizado ... 54

Figura 4.4 – Fluxograma do esquema de solução da Inferência Bayesia através da Expansão Polinomial do Caos generalizado ... 66

Figura 5.1 – Distribuições dos coeficientes de rigidez a 33 Hz estimados pela colocação estocástica ... 70

Figura 5.2 – Distribuições dos coeficientes de rigidez a 33 Hz estimados pelo método de Monte Carlo ... 71

Figura 5.3 – Distribuições dos coeficientes de rigidez a 53 Hz estimados pela colocação estocástica ... 71

Figura 5.4– Distribuições dos coeficientes de rigidez a 53 Hz estimados pelo método de Monte Carlo ... 72

Figura 5.5 – Coeficientes de rigidez estimados pela colocação estocástica (linha cheia: Média; pontilhada: região de 50% de confiança; tracejada: região de 95% de confiança) ... 73

Figura 5.6 – Coeficientes de amortecimento estimados pela colocação estocástica (linha cheia: Média; pontilhada: região de 50% de confiança; tracejada: região de 95% de confiança) ... 73

Figura 5.7 – Modelo utilizado para o estudo do limiar de instabilidade ... 74

Figura 5.8 – Fator de amortecimento obtido por cada método, (a) Monte Carlo e (b) Colocação Estocástica ... 77

Figura 5.9 – Histograma obtido pelo método de Monte Carlo e função densidade de probabilidade calculada pela Colocação Estocástica... 78

Figura 5.10 – Modelo utilizado para análise da instabilidade fluido induzida ... 79

Figura 5.11 – Deflexão do eixo dentro do mancal ... 80

Figura 5.12 – Mapas de Poincaré a (a) 30 Hz, (b) 39 Hz, (c) 66 Hz, (d) 67 Hz, (e) 80 Hz e (f) 90 Hz ... 80

Figura 5.13 – Diagrama de bifurcação ... 81

Figura 5.14 – Deflexão estocástica do eixo dentro do mancal (linha cheia: Média; Tracejado: Região de 95% de confiança) ... 82

Figura 5.15 – Índices de Sobol da deflexão estocástica (*: Viscosidade; +: Folga radial) ... 82

Figura 5.16 – Diagrama de bifurcação estocástico (Diamante: Localização média dos polos; Linha cheia: Região de 95% de confiança) ... 83

Figura 5.17 – Diagrama de Poincaré da resposta estocástica a a (a) 30 Hz, (b) 39 Hz, (c) 66 Hz, (d) 67 Hz, (e) 80 Hz e (f) 90 Hz ... 84

Figura 5.18 – Esquema simplificado de um empenamento ... 85

Figura 5.19 – Resposta estocástica na direção vertical com incerteza no desbalanceamento. (a) 46 Hz; (b) 36 Hz; (c) 18 Hz; (d) 12 Hz. Cheia: média; Tracejadas: região de 95% de confiança ... 93

(9)

Figura 5.20 – Resposta estocástica na direção vertical com incerteza no empenamento. (a) 46 Hz; (b) 36 Hz; (c) 18 Hz; (d) 12 Hz. Cheia: média; Tracejadas: região de 95% de confiança

... 94

Figura 5.21 – Resposta estocástica na direção vertical com incerteza na trinca. (a) 46 Hz; (b) 36 Hz; (c) 18 Hz; (d) 12 Hz. Cheia: média; Tracejadas: região de 95% de confiança ... 95

Figura 5.22 – Resposta estocástica na direção vertical com incerteza no desalinhamento paralelo. (a) 46 Hz; (b) 36 Hz; (c) 18 Hz; (d) 12 Hz. Cheia: média; Tracejadas: região de 95% de confiança ... 96

Figura 5.23 – Resposta estocástica na direção vertical com incerteza no desalinhamento angular. (a) 46 Hz; (b) 36 Hz; (c) 18 Hz; (d) 12 Hz. Cheia: média; Tracejadas: região de 95% de confiança ... 97

Figura 5.24 – Resposta estocástica na direção vertical com incerteza em todas as falhas. (a) 46 Hz; (b) 36 Hz; (c) 18 Hz; (d) 12 Hz. Cheia: média; Tracejadas: região de 95% de confiança ... 99

Figura 5.25 – Índices de Sobol das falhas para o caso do da resposta no domínio do tempo do rotor sujeito a todas as falhas com incertezas ... 100

Figura 5.26 – Índices de Sobol de cada falha da componente da primeira harmônica ... 101

Figura 5.27 – Índices de Sobol de cada falha da componente da segunda harmônica ... 101

Figura 5.28 – Índices de Sobol de cada falha da componente da terceira harmônica ... 102

Figura 5.29 – Esquema de um mancal magnético com um eletroímã ... 103

Figura 5.30 – Esquema de um mancal magnético com dois eletroímãs ... 104

Figura 5.31 – Bancada de testes utilizada... 106

Figura 5.32 – Esquema simplificado da operação da máquina rotativa ... 107

Figura 5.33 – Distribuições a priori e posteriori marginais dos parâmetros de desbalanceamento à 1000 rpm (cheia: posteriori; tracejada: a priori) ... 108

Figura 5.36 – Deslocamento horizontal e vertical do eixo dentro de cada mancal à 1000 rpm. Mancal 1: horizontal (a) e vertical (b); Mancal 2: horizontal (c) e vertical(d). Tracejada: média; Cheia: experimental; Cinza: Região 95% confiança ... 110

Figura 5.39 – Comparação entre as distribuições marginais do momento de desbalanceamento. Cheia: sem ruído; Pontilhada: 75; Tracejada: 100; Traço-Ponto: 150. ... 112

Figura 5.40 – Comparação entre as distribuições marginais da fase. Cheia: sem ruído; Pontilhada: 75; Tracejada: 100; Traço-Ponto: 150. ... 113

Figura 5.41 – Distribuições posteriori marginais dos parâmetros do AMB à 1000 rpm. Cheia: marginal posteriori; Tracejada: marginal a priori. ... 114

(10)

Figura 5.44 – Deslocamento horizontal e vertical do eixo dentro de cada mancal à 1000 rpm. Mancal 1: horizontal (a) e vertical (b); Mancal 2: horizontal (c) e vertical(d). Tracejada:

média; Cheia: experimental; Cinza: Região 95% confiança ... 116

Figura 5.47 – Esquema do desgaste do mancal ... 118

Figura 5.48 – Bancada utilizada para os experimentos do desbalanceamento ... 121

Figura 5.49 – Modelo de elementos finitos da bancada para o desbalanceamento ... 121

Figura 5.50 – Bancada utilizada para os experimentos do desgaste ... 122

Figura 5.51 – Modelo de elementos finitos da bancada para o desgaste ... 122

Figura 5.52 – Valor máximo da função a posteriori dos nós entre os mancais ... 123

Figura 5.53 – Funções densidade de probabilidade dos parâmetros do desbalanceamento obtidas pela Inferência Bayesiana nos nós 9 (a) 10 (b) e 11 (c). Cheia: Função densidade de probabilidade. ● Média; * Valor determinístico ... 125

Figura 5.54 – Deslocamento do eixo dentro do Mancal 1 na direção y (a) e z: (b), e dentro do Mancal 2 na direção y (c) e z: (d), com os valores identificados para o nó 10. Pontilhado: Média; Cheia: Região de 95% de confiança; Linha-ponto: Resposta determinística; Marcador +: Dados experimentais. ... 126

Figura 5.55 – Orbitas do eixo dentro de cada mancal com os valores identificados para o nó 10.Mancal 1 (a); Mancal 2 (b). Pontilhado: Média; Cheia: Região de 95% de confiança; Linha-ponto: Resposta determinística; Marcador +: Dados experimentais. ... 127

Figura 5.56 – Função densidade de probabilidade da profundidade. Cheia: Função probabilidade de densidade; ●: Média; *: Valor determinístico ... 128

Figura 5.57 – Função densidade de probabilidade da posição angular. Cheia: Função probabilidade de densidade; ●: Média; *: Valor determinístico ... 128

Figura 5.58 – Reconstrução da resposta ao desbalanceamento na componente direta. Cheia: Média; Pontilhadas: Região de 99% de confiança; Linha-Ponto: Determinístico; Marcador +: Dados experimentais... 129

Figura 5.59 – Reconstrução da resposta ao desbalanceamento na componente retrógrada. Cheia: Média; Pontilhadas: Região de 99% de confiança; Linha-Ponto: Determinístico; Marcador +: Dados experimentais ... 130

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LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Correspondência entre o tipo da variável aleatória e o caos polinomial de

Wiener-Askey (𝑁 ≥ 0 é um inteiro finito) ... 53

Tabela 5.1 – Parâmetros das distribuições gaussianas ... 69

Tabela 5.2 – Parâmetros da distribuição de valor extremo da resposta estocástica obtida por cada método ... 70

Tabela 5.3 – Parâmetros do modelo do rotor... 74

Tabela 5.4 – Média e variância de cada método para a velocidade limite de instabilidade (em Hz) ... 76

Tabela 5.5 – Coeficiente de variação da resposta no tempo para os casos com uma falha com incertezas ... 98

Tabela 5.6 – Coeficientes de variação para o caso com todas as falhas com incertezas ... 98

Tabela 5.7 – Dimensões geométricas dos mancais magnéticos ... 106

Tabela 5.8 – Parâmetros das distribuições uniformes utilizadas ... 108

Tabela 5.9 – Valores esperados e desvios padrões das distribuições posteriori dos parâmetros do desbalanceamento ... 109

Tabela 5.10 – Valores esperados e desvios padrões com e sem ruído branco ... 113

Tabela 5.11 – Parâmetros da distribuição Gaussiana ... 113

Tabela 5.12 – Valores esperados e desvios padrões das distribuições posteriori marinais.... 115

Tabela 5.13 – Índices de Sobol dos parâmetros do desbalanceamento e do AMB ... 117

Tabela 5.14 – Valores máximo da função a posteriori entre os nós 8 e 11 ... 123

Tabela 5.15 – Média e desvio padrão identificados em cada nó ... 124

Tabela 5.16 – Valores da função objetivo ... 124

Tabela 5.17 – Momento de desbalanceamento real, encontrado pelos métodos determinístico e estocástico ... 127

Tabela 5.18 – Fase real, encontrado pelos métodos determinístico e estocástico ... 127

Tabela 5.19 – Valores reais, valores encontrados pelo método determinístico e média e desvio padrão dos parâmetros do desgaste ... 129

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LISTA DE SIGLAS E ABRAVIAÇÕES

Letras Latinas

𝐴 Área da seção do elemento de eixo m2

𝐴_𝑐𝑒 Área da seção do eixo trincado m2

𝐴𝑒𝑙 Área do eletroímã m2

𝐵 Deslocamento angular na direção horizontal do grau

de liberdade rad

[𝐶] Matriz de amortecimento

𝐶_𝑟 Folga radial m

𝑐𝑖, 𝑐̂𝑖 Coeficientes de expansão

𝑐𝑦𝑦,𝑐𝑧𝑧,𝑐𝑦𝑧,𝑐𝑧𝑦 Coeficientes diretos e cruzados de amortecimento de

um mancal hidrodinâmico N∙s/m

𝑑 Diâmetro do mancal m

𝑑𝑒 Deflexão do eixo m

𝑑0 Profundidade máxima do desgaste do mancal

𝑑𝑒 Diâmetro externo do disco rígido m

𝑑𝑖 Diâmetro interno do disco rígido m

E Módulo de Young do eixo GPa

𝑒 Distância do centroide no eixo 𝑧 m

{𝐹} Vetor de forças externas

𝐹_𝐴𝑀𝐵 Força do mancal magnético N

{𝐹_𝑏} Força resultante do empenamento N

{𝐹𝑏𝑐} e {𝐹𝑏𝑠} Componentes da força de empenamento N

𝐹_𝑞_𝑖 Força na direção do grau de liberdade 𝑞_𝑖 N

𝐹_𝜆 Função de probabilidade cumulativa de uma variável aleatória

{𝑓_𝑎𝑛𝑔} Vetor de força resultante do desalinhamento angular {𝑓_𝑝𝑎𝑟} Vetor de força resultante do desalinhamento paralelo

𝑓ℎ Força hidrodinâmica N

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[𝐺_𝐷𝑅] Matriz giroscópica de um disco rígido [𝐺] Matriz giroscópica

𝐺 Módulo de cisalhamento Pa

𝑔_𝑖(𝜆) i-ésimo momento estatístico da variável aleatória 𝜆 𝐻_𝑛 Polinômio de Hermite de ordem 𝑛

ℎ Espessura do filme de óleo m

ℎ𝑡 Profundidade da trinca m

ℎ0 Espessura do filme de óleo nominal m

𝐼_𝑛(𝜆_𝑖₁, … , 𝜆_𝑛) Caos polinomial de ordem 𝑛

𝐼𝑦 e 𝐼𝑧 Momento de área no sistema rotativo

{𝑖} Vetor de correntes no mancal magnético

𝑖 Corrente elétrica A

𝐽𝑝𝐷𝑅 Momento de inércia polar de um disco rígido kg∙m

2

𝐽𝑡𝐷𝑅 Momento de inércia transversal de um disco rígido kg∙m

2

𝐽_𝑇 Momento de inércia transversal do elemento de eixo kg∙m2

[K_s] Matriz de rigidez equivalente do mancal magnético [𝐾_𝑐_𝑓] Matriz de rigidez do elemento de eixo com trinca

[𝐾_𝐴] Matriz de rigidez axial [𝐾_𝐵] Matriz de rigidez de flexão [𝐾_𝑇] Matriz de torção

[𝐾_𝑎𝑛𝑔] Matriz de rigidez do desalinhamento angular [𝐾𝑖] Matriz de ganho de corrente do mancal magnético

[𝐾_𝑝𝑎𝑟] Matriz de rigidez do acoplamento flexível [𝐾] Matriz de rigidez

𝑘𝑎 Rigidez axial da tira do acoplamento N/m

𝑘𝑏 Rigidez transversal da tira do acoplamento N/m

𝑘𝑖 Ganho de corrente do mancal magnético N/A

𝑘𝑠 Rigidez equivalente do mancal magnético N/m

𝑘_𝑦𝑦,𝑘𝑧𝑧,𝑘𝑦𝑧,𝑘𝑧𝑦 Coeficientes diretos e cruzados de rigidez um mancal _{hidrodinâmico} N/m

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𝜅 Fatores de ponderação

𝐿 Comprimento do elemento de eixo

𝐿_𝑚 Indutância H

𝑙 Comprimento do mancal m

[𝑀] Matriz de massa

[𝑀𝐷𝑅] Matriz de massa de um disco rígido

𝑀 Número de termos da expansão polinomial

𝑚𝐷𝑅 Massa total de um disco rígido kg

𝑚𝑈𝑁𝐵 Massa desbalanceada kg

𝑁 Número de variáveis aleatórias

𝑁𝑏 Número de tiras do acoplamento flexível

𝑁𝑖 Número de espiras

𝑃 Grau ou ordem máxima da série polinomial 𝑃𝑒(𝜆) Processo estocástico dependente de 𝜆

𝑝 Distribuição de pressão

𝑝(𝜆) Função densidade de probabilidade da variável _{aleatória 𝜆} 𝑝(𝑥|𝜆) Probabilidade condicional de 𝑥 dado 𝜆

𝑝̂_𝑖 Coeficientes de expansão

𝑄 Número de amostras ou pontos de uma regra de quadratura

𝑄_𝑚(𝜆) Polinômio de ordem 𝑚

{𝑞} Vetor de deslocamento dos graus de liberdade {𝑞̈} Vetor de acelerações dos graus de liberdade {𝑞̇} Vetor de velocidades dos graus de liberdade

𝑞_𝑖 Grau de liberdade do elemento 𝑖

𝑅𝑚 Resistência magnética A-espira/Weber

𝑅 Raio do eixo m

{𝑅̇_𝑈𝑁𝐵} Vetor de velocidades da massa desbalanceada {𝑅𝑈𝑁𝐵} Vetor de posição da massa desbalanceada

𝑟_𝑋,𝑟_𝑌,𝑟_𝑍 Coordenadas da massa desbalanceada no referencial

(15)

𝑟̇_𝑋,𝑟̇𝑌, 𝑟̇𝑍 Componentes da velocidade da massa desbalanceada _{no referencial fixo}

𝑟_𝑏 Raio da circunferência aonde as tiras do acoplamento

estão distribuídas m

𝑟_𝑖 e 𝑟𝑒 Raio interno e externo do elemento de eixo m

𝑟 Raio do mancal m

𝑆_𝑃𝐶𝑖 Índice de Sobol a partir da aproximação polinomial 𝑆({𝑥}, {𝜆}𝑖) Algoritmo de solução do problema determinístico

𝑆(𝑝) Entropia de Shannon da distribuição de probabildiade _𝑝 𝑠_𝑖 Índice de Sobol da variável aleatória 𝜆_𝑖

𝑇 Energia cinética J

𝑡 Tempo s

𝑈 Energia de deformação J

𝑢̂𝑖, Coeficientes de expansão

𝑢_𝑁𝑃 Série polinomial de grau máximo 𝑃 e número de

variáveis aleatórias 𝑁

𝑉 Deslocamento horizontal do grau de liberdade m

𝑊 Deslocamento vertical do grau de liberdade m

𝑤𝑖 Fatores de ponderação

𝑋𝑌𝑍 Referencial inercial ou fixo 𝑥𝑦𝑧 Referencial rotativo ou móvel

{𝑥} Conjunto de variáveis deterministicas {𝑦_𝑏_𝑅} Vetor de empenamento do eixo

𝑦𝑏𝑖 Empenamento no grau de liberdade 𝑞𝑖 m

𝑦𝑏𝑚𝑎𝑥 Empenamento máximo do eixo

𝑦₀ Menor distância entre eletroímã e eixo m

Δ𝑦 Variação da distância entre eletroímã e eixo m

Letras Gregas

𝛼_𝑏 Desalinhamento angular

𝛼 e 𝛽 Parâmetros de forma e escala de uma distribuição gama

(16)

𝛿_ℎ Espessura do filme de óleo adicional m

𝛿_𝑏 Desalinhamento paralelo m

𝛿_𝑚𝑛 Delta de Kronecker

Γ Deslocamento angular na direção vertical do grau de

liberdade rad

𝛾 Multiplicador de lagrange

𝜀 Excentricidade entre o centro geométrico do eixo e a

massa desbalanceada m

Λ_~𝑖 Espaço das variáveis aleatórias com exceção de 𝜆_𝑖 {𝜆}~𝑖 Conjunto das variáveis aleatórias com exceção de 𝜆𝑖

{𝜆}𝑖 _{Conjunto de valores de uma variável aleatória}

𝜆 Variável aleatória

𝜇 Média

𝜇₀ Permeabilidade do ar H/m

𝜇_𝑓 Coeficiente viscosidade dinâmica de um fluido Pa∙s

𝜇𝑡 Profundidade adimensional da trinca

𝜋𝑗 Distribuição estacionária

𝜌(𝜆) Função densidade de probabilidade da variável aleatória 𝜆

𝜎2 Variância

𝜎_𝑖2 Variância parcial à variável aleatória 𝜆_𝑖

𝜎_𝑖𝑗2 Covariância parcial às variáveis aleatórias 𝜆_𝑖 e 𝜆_𝑗

Ξ Fluxo magnético W

𝜓𝑏 Fase do empenamento rad

𝜃 Coordenada angular rad

𝜃_𝑆 e 𝜃𝐹 Ângulo inicial e final do desgaste do mancal

𝜃𝑈𝑁𝐵 Fase da massa desbalanceada rad

𝜐 Coeficiente de Poisson

𝜔 Velocidade de rotação rad/s

Abreviações

AMB Mancal Magnético (do inglês: Active Magnetic Bearing) CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

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FAPESP Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo

gPCE Expansão do Caos Polinomial (do inglês: generalzied Polynomial Chaos Expansion)

MCMC Monte Carlo via Cadeias de Markov LAMAR Laboratório de Máquinas Rotativas UNICAMP Universidade Estadual de Campinas

(18)

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 19

1.1. Motivação ... 20

1.2. Objetivos ... 21

1.3. Descrição dos capítulos deste trabalho... 22

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 24

2.1. Modelagem de máquinas rotativas ... 24

2.2. Análise de incertezas ... 27

3. Modelagem de Máquinas rotativas ... 34

3.1. Modelo de viga cilíndrica ... 36

3.2. Modelo de disco rígido ... 37

3.3. Modelos de mancal hidrodinâmico ... 38

3.4. Modelo de desbalanceamento ... 39

3.5. Montagem da equação de movimento global ... 42

4. Análise de incertezas ... 44

4.1. Princípio da Máxima Entropia ... 45

4.2. Método de Monte Carlo ... 48

4.3. Expansão do Caos Polinomial ... 48

4.4. Análise de sensibilidade ... 58

4.5. Inferência Bayesiana ... 60

5. Resultados e discussões ... 68

5.1. Estimação de coeficientes dinâmicos estocásticos de um mancal hidrodinâmico . 68 5.2. Análise estocástica de instabilidade fluido induzida através de autovalores ... 73

5.3. Análise de instabilidade fluido induzida através da resposta dinâmica estocástica 78 5.4. Análise de um rotor com múltiplas falhas ... 83

5.5. Identificação dos parâmetros de mancais magnéticos e desbalanceamento ... 102

5.6. Identificação de parâmetros de falhas comparando métodos estocásticos e determinísticos ... 117

6. CONCLUSÕES ... 131

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REFERÊNCIAS ... 134

ANEXO A – MAtrizes do elemneto de viga cilindrica ... 147

Matriz de massa ... 147

Matriz giroscópica ... 147

Matriz de rigidez à flexão ... 148

Matriz de rigidez axial ... 148

Matriz de rigidez à torção ... 149

ANEXO B – Modelos de mancais hidrodinâmicos ... 150

ANEXO C – Obtenção de distribuições conhecidas pelo princípio da máxima entropia 153 Distribuição uniforme ... 153

Distribuição exponencial ... 153

Distribuição gaussiana ... 154

ANEXO D – Lei dos grandes números e teorema do limite central ... 155

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1. INTRODUÇÃO

Máquinas rotativas possuem uma vasta gama de aplicações em diversas áreas da indústria para transmissão de potência. Por isso, o estudo de seu comportamento e fenômenos típicos durante a operação ocupa uma posição destacada no contexto de máquinas e estruturas, principalmente pelos elevados custos envolvidos em sua utilização.

Assim, faz-se necessário o desenvolvimento de modelos matemáticos para o entendimento e simulação de sistemas rotativos reais. Desta forma, pode-se interpretar dados coletados de tais máquinas rotativas e identificar corretamente seu comportamento dinâmico, além das falhas existentes. No entanto, a construção de um modelo válido que consiga avaliar o comportamento dinâmico e as possíveis falhas de um sistema rotativo é uma tarefa já com resultados relevantes, mas que requer constante desenvolvimento (Lees, Sinha e Friswell (2009)).

Atualmente, utilizam-se medidas das vibrações para a detecção e caracterização de falhas em rotores. O estudo e o modelamento de tal fenômeno possibilitou a identificação das principais fontes de vibrações em máquinas rotativas; são estas: o desbalanceamento, o empenamento, o desalinhamento, o desgaste em mancais e trincas em eixos. Essas falhas podem causar danos em diversos componentes da máquina: rolamentos, engrenagens, acoplamentos etc. Assim, a vida útil destes elementos diminui, custos de manutenção aumentam, e altos níveis vibracionais e de ruídos são atingidos, além de outros problemas que podem ocorrer devido às falhas no rotor.

Muitos modelos matemáticos determinísticos foram desenvolvidos para o estudo de máquinas rotativas. Porém, esses sistemas possuem características estocásticas, visto que os inúmeros parâmetros de projetos possuem incertezas inerentes à fabricação e, principalmente, às condições de operações, em particular os parâmetros de falhas, cujas informações são escassas. Desta forma, modelos estocásticos são necessários para a representação de sistemas rotativos na fase de projeto, quando pode-se prever os efeitos da variação dos parâmetros de projeto, assim como no monitoramento e diagnose de falhas, como proposto por Didier, Sinou e Faverjon (2012).

Métodos de Monte Carlo são muito utilizados para o cálculo da resposta estocástica em sistemas dinâmicos. O procedimento base destes métodos é a geração de amostras das variáveis aleatórias, o cálculo determinístico de cada amostra e a análise estatística dos dados gerados. A fácil aplicação, com o uso de algoritmos de solução do problema determinístico, e

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boa convergência, são os pontos fortes destes métodos. No entanto, o número de amostras pode ser elevado. Para casos de modelos mais complexos, como é o caso de máquinas rotativas, e de maior custo de processamento, o tempo para a simulação de todas as amostras pode ser impraticável.

Uma alternativa para a estimação da resposta estocástica é a Expansão do Caos Polinomial (gPCE, do inglês: generalized Polynomial Chaos Expansion). Este método propõem a aproximação da resposta estocástica por uma série de polinômios específicos. Assim, a solução se resume a estimar os coeficientes de expansão. Após o cálculo deles, dados estatísticos podem ser extraídos da série polinomial.

A gPCE pode sofrer com problemas dimensionais. O número de termos cresce rapidamente com o aumento do número de variáveis aleatórias. No entanto, os problemas analisados neste trabalho apresentam poucas variáveis aleatórias.

A identificação de parâmetros de falhas é um dos primeiros passos na correção das mesmas. Castro, Cavalca e Camargo (2008) e Castro et al. (2010) fazem a identificação dos parâmetros através de algoritmos genéticos. O uso da expansão polinomial também permite a identificação de parâmetros do modelo de máquinas rotativas através da Inferência Bayesiana de forma mais rápida. Assim, a inferência pode ser utilizada como alternativa a algoritmos genéticos para a identificação dos parâmetros de falhas de forma rápida.

Como máquinas rotativas apresentam incertezas e modelos complexos, faz-se necessário o uso de métodos mais rápidos para o cálculo das respostas estocásticas como a gPCE. O emprego desse método na área de dinâmica de rotores é recente e é preciso verificar sua viabilidade em diversos casos.

1.1. Motivação

Com a vasta aplicação e custos de máquinas rotativas, seu estudo é necessário. Os modelos destes sistemas são geralmente complexos e necessitam de tempo de processamento elevado. Além disso, alguns elementos, como os mancais hidrodinâmicos, possuem incertezas em seus parâmetros de projeto. Outra fonte de incertezas são os parâmetros dos modelos falhas, os quais são estimados por métodos indiretos, através da análise da resposta experimental do sistema com falha e comparação com simulações do mesmo em condição “saudável”, somando-se, assim, erros de modelo e erros de medição.

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A presença de incertezas faz necessário o uso de modelos estocásticos. As variáveis aleatórias podem ser modeladas através de distribuições já conhecidas, como gaussiana, gama, uniforme etc., ou por outro método paramétrico como o Princípio da Máxima Entropia. A forma mais comum para a estimação da solução estocástica é através de métodos de amostragem, como simulações de Monte Carlo. No entanto, a complexidade dos modelos determinísticos e a necessidade de muitas amostras dos métodos de Monte Carlo, os fazem inviáveis devido ao tempo de processamento necessário.

A aproximação da resposta estocástica pela Expansão Polinomial do Caos generalizado é uma alternativa para a solução de problemas estocásticos. Porém, não existem muitos trabalhos da aplicação desta aproximação em máquinas rotativas, principalmente considerando incertezas nos mancais hidrodinâmicos.

É possível também a utilização da aproximação polinomial na Inferência Bayesiana, permitindo a identificação de parâmetros de forma mais rápida. Este método pode ser utilizado como uma forma geral para a identificação de parâmetros de falhas, utilizando os modelos do sistema e das falhas já existentes.

Portanto, deve-se avaliar a viabilidade da utilização destes métodos aplicados em dinâmica de rotores com incertezas, estudar mais os efeitos das incertezas dos mancais hidrodinâmicos e parâmetros de falhas na resposta estocástica do sistema, e da identificação de parâmetros de falhas pela Inferência Bayesiana.

1.2. Objetivos

Neste trabalho, deseja-se estudar o uso da Expansão do Caos Polinomial para aproximar a resposta estocástica, como alternativa ao Método de Monte Carlo, aplicado em modelos de máquinas rotativas com incertezas nos mancais hidrodinâmicos e nos parâmetros dos modelos de falhas. Além disso, a utilização da expansão polinomial na Inferência Bayesiana para a identificação de parâmetros de falhas estocásticos presentes em máquinas rotativas é estudada também.

A utilização da expansão polinomial com Colocação Estocástica permitirá a estimação da resposta estocástica com menos amostras que a dos métodos de Monte Carlo. Assim, análises de incertezas em máquinas rotativas podem ser efetuadas de forma mais rápida.

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1.3. Descrição dos capítulos deste trabalho

Esta tese de doutorado possui uma revisão bibliográfica, presente no capítulo 2, relevante à modelagem de máquinas rotativas, modelo de mancais hidrodinâmicos, análise de incertezas, métodos de Monte Carlo, Expansão Polinomial do Caos generalizado e Inferência Bayesiana.

No Capítulo 3, é descrita, brevemente, e discutida a teoria utilizada para a modelagem de máquinas rotativas, o modelo de mancais hidrodinâmicos e magnéticos e o modelo de falhas de máquinas rotativas.

O Capítulo 4 contém uma breve descrição e discussão de teorias presentes na análise de incertezas e da implementação dos métodos. Os tópicos discutidos são: Princípio da Máxima entropia, Métodos de Monte Carlo e Expansão do Caos Polinomial. O uso dos métodos de Colocação Estocástica e Galerkin Estocástico para determinar os coeficientes de expansão é discutido. A análise de sensibilidade através dos coeficientes de expansão e o uso da gPCE para a solução da Inferência Bayesiana são apresentadas.

Os resultados da pesquisa são apresentados no Capítulo 5. A gPCE foi aplicada em diversos problemas relacionados à dinâmica de rotores e às falhas inerentes às máquinas rotativas, como explicitados a seguir:

• quantificação das incertezas de um mancal hidrodinâmico nos seus coeficientes dinâmicos (aproximação linearizada);

• estimativa da resposta estocástica, com ênfase na instabilidade fluido induzida, de um rotor suportado por mancais hidrodinâmicos, considerando modelo não linear para mancais curtos, além da análise de sensibilidade da vibração do eixo em resposta às incertezas dos parâmetros dos mancais hidrodinâmicos. Para a construção da base polinomial foi necessário fazer uso da memoryless transformation, que permite transformar uma variável não gaussiana em uma gaussiana;

• propagação da incerteza presente nos parâmetros de falhas para a resposta estocástica do rotor;

• identificação dos parâmetros de falhas em sistemas rotativos, além da comparação com o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) e um método determinístico que minimiza a função objetivo através de mínimos quadrados não lineares (abordagem determinística);

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• identificação das incertezas dos parâmetros de projeto de um mancal magnético ativo.

O Capítulo 6 contém as conclusões finais e propostas de trabalhos futuros. As discussões dos capítulos anteriores são retomadas e uma avaliação final do uso da Expansão do Caos Polinomial em sistemas rotativos é apresentada.

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2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Nesta seção são apresentadas referências bibliográficas sobre os principais tópicos deste trabalho, revelando o que já foi abordado em outras publicações. Serão abordados conceitos de modelagem de máquinas rotativas e suas falhas, com ênfase em mancais hidrodinâmicos, e análise de incertezas. Também, busca-se localizar o presente trabalho dentro do estado da arte, destacando-se sua contribuição na produção científica da área.

2.1. Modelagem de máquinas rotativas

Máquinas rotativas estão presentes na história do homem há muito tempo. O estudo de seus fenômenos é relativamente recente, se comparado com o tempo há que se utilizam esses equipamentos.

Rankine (1869) observa a existência de velocidades críticas em sistemas rotativos. Anos depois, em 1883, Laval observou que se pode operar um sistema rotativo em condições de velocidades acima da velocidade crítica, como discutido por Föppl (1895). O eixo era extremamente flexível e esse modelo de rotor, posteriormente, receberia seu nome e seria o objeto de estudos de muitos pesquisadores.

Diversos modelos matemáticos foram utilizados para o estudo de máquinas rotativas. Föppl (1895) introduziu o efeito giroscópico e percebeu que o rotor possuía mais de uma velocidade crítica, as quais, em certas condições, eram coincidentes com as frequências naturais de um eixo não rotativo. Stodola (1910) apresenta um método gráfico para a determinação das velocidades críticas e Jeffcott (1919) apresentou equacionamento de um modelo de dois graus de liberdade, considerando um disco centrado e rígido e um eixo flexível com massa desprezível.

A partir do trabalho de Archer (1965), o método de elementos finitos para a modelagem de sistemas rotativos vem sendo extremamente utilizado.

Os primeiros trabalhos a utilizar o método proposto por Archer foram os de Ruhl (1970) e de Ruhl e Booker (1972). Utilizam o método de elementos finitos para estudar a estabilidade e a resposta ao desbalanceamento de um sistema turbo motor.

Polk (1974) estudou sobre a frequência natural e realizou uma análise da velocidade crítica, utilizou um elemento de viga de Rayleigh. No ano seguinte, Dimaragonas (1975)

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apresentou uma formulação geral para um elemento com os efeitos de inércia translacional, inércia rotacional, momentos giroscópicos, flexão e amortecimento interno.

Nelson, em conjunto com outros autores, desenvolveu diversos estudos utilizando o método de elementos finitos e desenvolvendo mais modelos de elementos. Nelson e McVaugh (1976) apresentam um modelo de viga de Rayleigh. As equações do elemento foram desenvolvidas tanto no sistema de referência fixo quanto no sistema móvel rotacional. Considerava a carga axial, momentos giroscópicos, inércia de translação e rotação além da rigidez à flexão. Zorzi e Nelson (1977) generalizaram o elemento de disco rígido, apresentado por Nelson e McVaugh (1976), incluindo o amortecimento interno viscoso e histerético. Zorzi e Nelson (1980) consideram o torque axial para o elemento de disco, desenvolvendo equações nos referenciais fixo e móvel. No mesmo ano, Nelson (1980) adicionou a deformação por cisalhamento transversal à viga de Rayleigh, desenvolvendo assim um elemento de viga de Thimoshenko. O método proposto trata um sistema contínuo através de uma aproximação discretizada, de modo que, este sistema é representado por um conjunto de elementos menores e geralmente mais simples. Através de uma função de interpolação é possível determinar os deslocamentos de qualquer ponto do sistema contínuo em termos do conjunto finito de pontos do sistema discretizado. Assim, é um método interessante para a aplicação em dinâmica de rotores.

Um componente importante em máquinas rotativas é o mancal. Este faz a conexão entre a parte móvel da máquina, o eixo, e a parte estrutural, ou ainda, o suporte ou carcaça. Os mancais podem ser de esferas, rolos, magnéticos, hidrodinâmicos ou aerostáticos. Neste trabalho, serão abordados modelos de mancais hidrodinâmicos principalmente. Estes são vastamente utilizados e podem conter incertezas, devido aos modelos de viscosidade do fluido lubrificante, os quais são difíceis de estimar, além de serem empíricos com experimentos bem diferentes que as condições de operação dos mancais. Outra fonte de incertezas nos mancais hidrodinâmicos é folga radial, que está sujeita a variações devido ao degaste com o passar do tempo.

Os primeiros estudos relacionados ao comportamento de mancais lubrificados em máquinas rotativas foram realizados por Tower, em 1883 e 1885. Tower percebeu que a partir de uma certa velocidade de rotação, o rotor se sustentava sozinho no filme de lubrificante. Foram feitos buracos nas laterais do mancal e rolhas foram colocadas, ao rotacionar o eixo, as rolhas começaram a se elevar, mostrando a existência de um gradiente de pressão no fluido. Em paralelo, Petroff (1883) estava interessado na fricção no sistema eixo-fluido-mancal, seu

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trabalho gerou um equacionamento com parâmetros adimensionais para o cálculo do coeficiente de fricção no mancal, para eixo e mancal concêntricos. Esta equação foi expandida para eixo e mancal não concêntricos.

A confirmação teórica de Tower foi possível apenas quando Reynolds (1886) apresentou um estudo onde realiza a simplificação das equações de Navier-Stokes, estabelecendo uma equação diferencial para o perfil de pressões que atuam entre duas superfícies com movimento relativo, descrevendo também a variação interna de pressão do fluido existente entre as duas superfícies. Uma limitação da equação de Reynolds, durante muito tempo, foi o desconhecimento das condições de contorno necessárias para sua integração. Como uma possível solução para sua equação, Reynolds considerou um mancal infinitamente longo, assim, o gradiente de pressão na direção axial pode ser desconsiderado.

Sommerfeld (1904) apresentou uma solução analítica para a equação de Reynolds, aplicada em mancais longos, considerando inexistente a perda de lubrificante na extremidade do mancal.

Mesmo já existindo uma solução para o mancal longo, sua aplicação possui algumas restrições. Uma dessas restrições é a possibilidade de redução da folga radial ou até mesmo a inexistência dela em alguma extremidade do mancal, devido à ocorrência de deflexões do eixo ou, também, desalinhamentos.

Em 1952, Ocvirk propôs uma solução da equação de Reynolds para aplicação em mancais curtos, no qual considera as perdas de fluido pelas extremidades. O fluxo circunferencial foi considerado nulo, pois este é muito pequeno se comparado ao fluxo na direção axial do eixo.

A fim de aperfeiçoar o cálculo da velocidade crítica de um rotor incluindo a flexibilidade do filme de óleo do mancal, Stodola (1925) e Hummel (1926) propuseram representar as características dinâmicas do mancal hidrodinâmico por meio de coeficientes de rigidez e amortecimento.

Paralelamente, Newkirk e Taylor (1924 e 1925) descreveram o fenômeno de instabilidade fluido induzida e, desde então, vários pesquisadores relacionaram o problema de instabilidade com as propriedades dos coeficientes dos mancais (Lund 1967; Muszynska 1986 e 1988;Crandall 1990; Childs 1993; Bently et al., 2001; Gunter, 2006; Castro e Cavalca, 2008; Castro, Cavalca e Nordmann, 2008). Lund (1964) propôs um método para o cálculo destes coeficientes linearizados, para que possam ser inseridos na equação matricial de movimento do sistema.

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Capone (1986) apresentou um procedimento para avaliação da força hidrodinâmica num mancal cilíndrico curto, montado sobre um rotor rígido, simétrico e horizontal. Capone (1991) aperfeiçoou o método anteriormente proposto em 1986, propondo uma solução numérica para as equações de movimento, incluindo as forças hidrodinâmicas não lineares nos mancais. Mais tarde, Capone et al. (1994) propuseram uma solução analítica aproximada para a distribuição de pressão do filme de óleo em um mancal de comprimento finito

Zhou et al. (2004) fizeram um estudo experimental dos coeficientes dinâmicos de um mancal hidrodinâmico, propondo um método de identificação destes coeficientes. Zhao et al. (2005) estudaram modelos não lineares, e concluíram que o modelo linear é inadequado para condições de excitação com forças de grande amplitude.

2.2. Análise de incertezas

A existência de incertezas, inerentes a esses elementos de máquinas rotativas, requer o uso de métodos estocásticos para a obtenção de modelos mais robustos.

Ferramentas vindas do cálculo permitem que a soluções de problemas do contínuo possam ser estimadas, como problemas de hidrodinâmica e condução de calor. Já a probabilidade permite o entendimento de variáveis aleatórias e o trabalho com grandes conjuntos de informação. Metropolis e Ulam (1949) separam estes dois problemas em dois tipos, um com poucas partículas (problemas de mecânica clássica e do contínuo) e problemas com conjuntos de partículas (problemas de probabilidade). Problemas como a probabilidade de sucesso de um jogo de cartas, o volume de uma região dentro de um cubo em um número grande de dimensões regida por inequações ou o estudo de raios cósmicos, são exemplos desse tipo de problemas conhecidos como estocásticos.

2.2.1. Métodos de Monte Carlo

Metropolis e Ulam (1949) descrevem um método para a estimação da solução de problemas estocásticos. A motivação para o desenvolvimento de tal método foi o problema de estimar a probabilidade de partículas nucleares criarem outras partículas, dadas sua posição e energia. Estes parâmetros são independentes entre si, estão sujeitos a distribuições probabilísticas e variam no tempo. Os autores descrevem o procedimento para a solução do problema através da geração de amostras e a utilização destas para cálculos determinísticos em

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cada instante de tempo, gerando uma cadeia de eventos. Procedimentos estatísticos podem ser realizados com a cadeia de eventos, para o desenvolvimento de um modelo probabilístico do processo estocástico.

O método de Monte Carlo, como foi chamado por Metropolis e Ulam, pode ser aplicado em diferentes processos estocásticos, desde que exista uma solução para a parte determinística, e um gerador de amostras para as distribuições envolvidas. A Lei dos Grandes Números e a Teoria do Limite Central asseguram que a os momentos estatísticos obtidos pelo método convergem para os momentos estatísticos reais do problema estocástico quando o número de amostras é grande.

Inicialmente, a área de física moderna fez uso e adaptações do método de Monte Carlo, como trabalhos em matéria condensada Duane et al. (1987) e Mehlig et al. (1992), e sistemas de muitos corpos de Barker (1979). Com o passar dos anos, o método se difundiu para outras áreas da ciência.

Balmelli e Steiner (2000) compararam resultados de equações de ruptura e coalescência de gotas em dispersão turbulenta. Uma simulação, utilizando o método de Monte Carlo, foi usada e comparada com resultados experimentais.

Szolc et al. (2009) propõem um método de detecção e identificação de trincas em eixos de máquinas rotativas. O método foi possível com um modelo que considerava a vibração lateral, longitudinal e torcional, causadas pela anisotropia devida à trinca, e a profundidade e localização da trinca foram consideradas como parâmetros aleatórios para as simulações de Monte Carlo. Os autores concluem que, mesmo com as várias horas para gerarem o banco de dados para a execução do método desenvolvido, a identificação é imediata, e que o método Monte Carlo pode ser usado em aplicações na engenharia.

Métodos de Monte Carlo podem ser aplicados em diversas áreas da ciência, como mostrado em Rubinstein (2008) e Shonkwiller e Mendivil (2009). No entanto, dependendo da complexidade do problema e do número de variáveis aleatórias, a convergência é muito lenta. Métodos alternativos aos de Monte Carlo foram desenvolvidos, como por exemplo: Kriging, inventado por Krige (1951) com desenvolvimento matemático por Matheron (1963);

Importance Sampling, introduzida por Hammersley e Morton (1954) e Rosenbluth e

Rosenbluth (1955); e o método de perturbação, mostrado em Liu, Belytschko e Mani (1986). Neste trabalho, optou-se pelo uso da Expansão Polinomial do Caos generalizado para aproximar a resposta estocástica.

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2.2.2. Expansão do Caos Polinomial, Colocação Estocástica e Galerkin Estocástico

Wiener (1938) apresenta a ideia de se utilizar polinômios de Hermite para a aproximação de processos estocásticos com variáveis Gaussianas, que ficou conhecido como “Homogeneous Chaos” ou “Wiener Chaos”. O autor desenvolve um teorema ergódigo multidimensional, o qual consegue aproximar a média de um espaço finito à média de um espaço infinito, análogo ao Teorema ergódigo de Birkhoff, o qual é unidimensional e que relaciona as médias no domínio do tempo e do espaço. A teoria desenvolvida pelo autor permite o uso de polinômios de Hermite na aproximação de processos Gaussianos. Itô (1951) apresenta de forma mais refinada o processo de construção de uma base ortogonal de polinômios do caos. Cameron e Martin (1947) apresentam que uma série Fourier-Hermite converge em qualquer função segundo momento estatístico finito. Isso implica que o “Homegeneous Chaos” de Wiener converge para qualquer processo estocástico com momento de segunda ordem finito. É demostrado, também que a convergência é ótima para o caso de aproximação de processos Gaussianos por polinômios de Hermite.

Com o desenvolvimento do uso de polinômios para aproximação de processos estocásticos, outras famílias de polinômios foram associadas com variáveis aleatórias. Como o caso de polinômios de Charlier e processos de Poisson, relacionados no trabalho de Ogura (1972), e polinômios de Krawtchouk e processos binomiais, associados no livro de Schoutens (2000).

Em 2002, Xiu e Karniadakis expandem o “Homogeneous Chaos” para mais variáveis não gaussianas. Os autores utilizam o esquema de Askey para a construção de polinômios hipergeométricos e mostram que as funções de ponderação de alguns destes polinômios são semelhantes a funções densidade de probabilidade de algumas variáveis aleatórias. Exemplos numéricos são resolvidos e a convergência é ótima quando os pares polinômios e processos estocásticos são corretamente escolhidos. Os autores chamam o método de Expansão Polinomial do Caos generalizado (em inglês: generalized Polinomial Chaos Expansion, gPCE ou apenas PC).

A utilização da aproximação polinomial resume o problema estocástico em estimar os coeficientes de expansão. Os métodos mais comuns para tal são: Colocação Estocástica e

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Galerkin Estocástico, segundo Xiu (2009). Além da estimação mais rápida da solução estocástica, parâmetros estatísticos (como média e variância) podem ser rapidamente estimados através dos coeficientes de expansão.

O método de Colocação Estocástico é um método não intrusivo, ou seja, pode-se utilizar um algoritmo que calcule a solução do problema determinístico, assim como os métodos de Monte Carlo. São gerados pontos das variáveis aleatórias, resolve-se o problema determinístico, calculam-se os valores de cada termo da expansão polinomial em cada ponto e, através do método de mínimos quadrados, os coeficientes são estimados. O número de pontos necessário é bem menor que o número de amostras utilizado em métodos de Monte Carlo. Este método foi utilizado nos trabalhos de Webster et al. (1996), com modelos de correntes marítimas globais causadas pela diferença de densidade das águas do oceanos , Reagana et al. (2003) que estudaram a propagação de incertezas em chamas de hidrogênio e oxigênio, Debusschere et al (2004), compararam o resultado da colocação com outros métodos para a aproximação de equações não polinomiais, e Hosder et al. (2007), que resolveram dois problemas com duas e quatro variáveis aleatórias. Mathelin, e Hussaini (2003), Babuska, Nobile e Tempone (2007), Constantine (2007), Xiu (2005 e 2007) e Bernadá (2011) também utilizaram a colocação estocástica para estimar os coeficientes de expansão em diversas aplicações do gPCE.

Ao contrário dos métodos de Colocação Estocástica e Monte Carlo, o método de Galerkin Estocástico é um método intrusivo. Um algoritmo que estime a solução do problema determinístico não pode ser utilizado. O método faz a projeção do problema estocástico no espaço de polinômios através do produto interno do espaço polinomial e os coeficientes podem ser determinados através da solução de um sistema de equações diferenciais acopladas, diferentes do problema determinístico. A vantagem do método é que os coeficientes obtidos são exatos, não estimados como no método de colocação. No entanto, dependendo da complexidade do problema determinístico, o sistema de equações construído pelo método de Galerkin Estocástico pode não ter solução trivial ou até ser sem solução. Geralmente a solução é facilitada quando o problema determinístico é linear. Quando o problema determinístico é não linear (como a grande parte dos casos em dinâmica de rotores) a solução é mais difícil e, em alguns casos, impraticável.

Ghanem e Spanos (1991,1993) utilizaram o método de Galerkin estocástico para determinar a solução de vibrações aleatórias não lineares e compararam os resultados com os resultados obtidos pelo método de Monte Carlo. Grundmann e Waubke (1996) consideraram

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uma equação de movimento não linear de um sistema que apresenta propriedades aleatórias. Os autores propõem um método de linearização das aleatoriedades e comparam a solução estocástica obtida pelo método de Galerkin Estocástico com a solução obtida pelo método de Monte Carlo. Xiu e Karniadaki (2002) em sua demonstração da expansão polinomial do caos generalizado, apresentaram exemplos de equações diferenciais com incertezas e as resolveram utilizando o método de Galerkin estocástico. Frauenfelder et al. (2005) fizeram uso do método de Galerkin estocástico para determinar a solução de problemas elípticos com coeficientes de difusão aleatórios.

Stefanou (2009) apresentou um trabalho detalhado sobre o estado da arte do método de elementos finitos estocástico. O autor revisa métodos como a expansão de Karhunen-Loeve, método da distorção da correlação e polinômios do caos generalizado, discutindo formas de como resolver tais problemas, sendo eles: métodos de Monte Carlo, perturbação e Galerkin estocástico. Exemplos são apresentados e vantagens e desvantagens de cada método são discutidas.

Didier, Sinou e Faverjon (2012) calculam a resposta estocástica de um rotor com múltiplas falhas. A solução da equação de movimento é aproximada pelas componentes harmônicas. As falhas de desbalanceamento, empenamento, assimetria do eixo e desalinhamento angular e paralelo são considerados e cada falha possui parâmetros com incerteza. Além disso, é considerado que o Modulo de Young do material possui incerteza. Todas as variáveis aleatórias são modeladas pela distribuição gaussiana e polinômios de Hermite são usados para a construção da base. O método de Galerkin estocástico foi utilizado para o cálculo dos coeficientes de expansão. A escolha da aproximação pelas harmônicas para o problema determinístico facilitou a solução do problema estocástico, o qual pode ser resolvido por um sistema linear (maior que o sistema linear original). Os resultados foram validados através da comparação com resultados calculados pelo método de Monte Carlo. Entretanto, não se considerou modelagem dos mancais.

Giraldi et al. (2014) realizaram uma revisão do método de Galerkin estocástico utilizando polinômios do caos e apresentou uma metodologia genérica que pode ser utilizada em diversos problemas estocásticos. Duas formas não intrusivas de determinar os coeficientes da expansão foram apresentadas. Estes métodos são aplicados em um problema simples e são comparados com o método intrusivo. Ambos convergiram e o tempo de processamento foi menor que o método intrusivo.

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2.2.3. Inferência Bayesiana

A estatística Bayesiana foi introduzida pelo Reverendo Thomas Bayes. Em seu trabalho, publicado em 1763, desenvolveu o conceito de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes. Este trabalho deu um entendimento a probabilidade como uma crença, diferente da ideia de frequência, a qual é mais comum. Laplace realizou algumas publicações trabalhando o conceito desenvolvidos por Bayes, em 1812 e 1814. Porém, o desenvolvimento do Teorema de Bayes esteve em hiato até 1922, quando Fisher define os conceitos de estimação, verossimilhança e matriz de informação. Jeffreys (1939) introduziu o conceito de priori não informativa baseando-se no trabalho de Fisher.

A evolução dos métodos estocásticos permitiu o avanço da Inferência Bayesiana. O trabalho de Metropolis et al (1953) introduz o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov (sigla em inglês, MCMC), para simular o equilíbrio termodinâmico de um líquido. O MCMC permite a simulação de distribuições multivariáveis complexas. O algoritmo apresentado por Metropolis foi generalizado posteriormente por Hastings (1970).

Box e Tiao (1973) apresentaram a Inferência Bayesiana, aplicando o Teorema de Bayes para a determinação de incertezas. Beck e Katafygiotis (1998) introduziram a Inferência Bayesiana para a atualização de parâmetros de um modelo estrutural, através da resposta dinâmica. Katafygiotis e Beck (1998) continuaram seu trabalho e aplicam a inferência Bayesiana em modelos com muitos parâmetros. Beck e Au (2002) atualizaram um modelo estrutural e implementaram um método de MCMC adaptativo. Marwala (2010) utilizou a inferência para atualizar um modelo de elementos finitos, e Ritto, Sampaio e Aguiar (2016) que identificou incertezas de uma broca perfurando uma rocha, considerando apenas vibrações torcionais.

Tyminski et al. (2017) utilizaram a Inferência Bayesiana com solução por MCMC para estimar as distribuições da folga radial e da temperatura de mancais hidrodinâmicos para o cálculo dos coeficientes dinâmicos equivalentes. Dois casos para a distribuição a priori são considerados, um com uma distribuição não informativa (uniforme) e outra distribuição informativa (Gama), considerando conhecimento prévio sobre os parâmetros. Das distribuições a posteriori, os coeficientes dinâmicos foram calculados através do método de Monte Carlo, os primeiros quatro momentos estatísticos foram calculados e distribuições foram estimadas através do Princípio da Máxima Entropia. A resposta estocástica dinâmica do sistema foi calculada e os resultados são coerentes com testes experimentais. Além disso, a resposta estocástica calculada com a distribuição não informativa apresentou bons resultados e mostra

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que mesmo com quase nenhuma informação é possível estimar distribuições a posteriori satisfatórias.

A gPCE também pode ser utilizada na Inferência Bayesiana. Duas formas são abordadas: uma que aproxima a função de verossimilhança pela expansão polinomial e outra que aproxima a resposta estocástica que compõe a função verossimilhança. Marzouk e Xiu (2009) apresentaram essa última forma, mostrando que a convergência exponencial da aproximação da resposta estocástica pelos polinômios faz com que a distribuição a posteriori tenha convergência exponencial também. Os autores demonstraram o método em problemas inversos não lineares. Nagel e Sudret (2016) aproximaram a função de verossimilhança por PC, facilitando alguns cálculos pois transforma a equação da distribuição a posteriori em um produto entre uma série polinomial e a distribuição priori, a qual é uma distribuição conhecida. Neste trabalho, buscou-se expandir as aplicações da gPCE em modelagem estocástica de máquinas rotativas. Destaca-se o estudo dos efeitos das incertezas em mancais hidrodinâmicos na resposta do sistema e na instabilidade fluido induzida. Como estas incertezas afetam a resposta dinâmica do sistema, a velocidade limite para entrar no regime de instabilidade e quanto as incertezas dos parâmetros do mancal afetam a variância da resposta do sistema. Incertezas são consideradas nos parâmetros de falhas, também. São analisados casos com diferentes falhas. A análise de sensibilidade da resposta de um sistema com múltiplas falhas permitiu avaliar em quais falhas as incertezas devem ser consideradas dependendo do tipo de estudo que se deseja fazer em um rotor com múltiplas falhas.

Além disso, outra abordagem, foi a aplicação da Inferência Bayesiana com gPCE para acelerar a identificação de parâmetros de modelos de falhas em rotores. Este método foi comparado com o método Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) e métodos determinístico de identificação de parâmetros de falha. O método de inferência com a expansão polinomial foi utilizado para estimar as incertezas de parâmetros de mancais magnéticos, a fim de avaliar se tais elementos deveriam ser considerados com incertezas.

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3. MODELAGEM DE MÁQUINAS ROTATIVAS

A utilização de máquinas rotativas na indústria é extensiva e o entendimento de seus fenômenos, como comportamento vibracional e falhas, é essencial. O modelo matemático busca traduzir os fenômenos físicos que ocorrem nos sistemas rotativos em equações, para que seja possível prever e simular o comportamento desses fenômenos físicos. Para máquinas rotativas, é de uso comum e muito difundido o Método de Elementos Finitos (MEF).

O modelo de elementos finitos utilizado nesse trabalho baseia-se no modelo apresentado por Nelson (1980) que utiliza o modelo de viga de Timoshenko, este modelo é explicado detalhadamente por Tuckmantel (2010). A Figura 3.1 apresenta um rotor e seus referenciais inercial (XYZ) e local (xyz), o rotor apresenta uma velocidade de rotação ω, cujo produto pelo tempo é a rotação entre os dois sistemas de referência.

Figura 3.1 - Esquema básico de um sistema rotativo e seu sistema de referência (baseado em Nelson e McVaugh,1976).

O MEF consiste em discretizar uma máquina em um conjunto de elementos acoplados. Cada elemento é contínuo entre os nós que o delimitam, e através destes nós se acoplam com os elementos adjacentes. Funções de interpolação são determinadas e o deslocamento de qualquer nó do modelo pode ser descrito de acordo com a discretização do sistema e do tipo de elemento utilizado.