LEI DE DARCY CONS DA MAS ESC MON AULA MESTRADO NOVO

Texto

(1)Prof. Darlan K. E. de Carvalho (Dr.).

(2) Sumário 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.. Introdução Propriedades do Sistema Matriz-Fluido Conservação da Massa e Lei de Darcy Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso Escoamento num Meio Deformável Escoamento num Meio Fraturado Outros Efeitos Considerações Finais Bibliografia. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 2.

(3) 1. Introdução Nesta aula, primeiramente, vamos considerar o escoamento monofásico de. um Fluido Newtoniano que ocupa todos os poros de um meio poroso (i.e. satura o meio) sob condições isotérmicas.. As equações governantes para o escoamento de uma única fase, i.e, um. único componente ou mistura macroscopicamente homogênea num meio poroso, são dadas pela Conservação da Massa e pela Lei de Darcy.. Assumimos que os fluxos de massa por dispersão e difusão são desprezíveis. e que a interface sólido-fluido é uma “superfície material” de modo que o fluido não atravessa o sólido.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 3.

(4) 2. Propriedades do Sistema Matriz-Fluido Porosidade: É a razão entre o volume de “vazios” ou “poros” (Vp) e o. volume total do meio poroso (VT).. φ= Onde:. Vp VT. ,. com VT = V p + Vs. Vp = Volume poroso; Vs = Volume da matriz sólida; VT = Volume total do meio poroso (ex. Rocha). Obs.: A porosidade depende da forma, da distribuição e da granulometria (variação no tamanho dos grãos), bem como do grau de cimentação da rocha (no caso de rochas reservatório ou aquíferos). 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 4.

(5) 2. Propriedades do Sistema Matriz-Fluido Tipos de Porosidade: Absoluta: Razão entre o volume de todos os poros (interconectados ou. não) e o volume total do meio poroso.. φa =. Vp VT. Efetiva: Razão entre o volume de poros interconectados e o volume total do. meio poroso.. φe = φ =. V pi VT. Obs.: A porosidade é uma medida da capacidade do meio poroso em acumular fluidos. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 5.

(6) 2. Propriedades do Sistema Matriz-Fluido Permeabilidade Absoluta (K):. A permeabilidade é uma medida da facilidade de transmissão de fluidos. através do interior do meio poroso.. Quando existe apenas um fluido saturando o meio poroso, a permeabilidade. é chamada de “permeabilidade absoluta” ou “intrínseca” (K).. A unidade de medida da permeabilidade absoluta é o “d-darcy” ou “md-. milidarcy” [K] = L2.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 6.

(7) 2. Propriedades do Sistema Matriz-Fluido Por definição:. “Um darcy é a permeabilidade de um meio poroso no qual um gradiente de pressões de 1,0 atm/cm promove uma vazão de 1,0 cm³/s de um fluido, cuja viscosidade é 1,0 cp (centipoise), através de uma seção transversal de 1,0 cm².” No caso mais geral, para meios anisotrópicos, usando um sistema ortogonal. de coordenadas x1, x2, x3, a permeabilidade é um tensor de segunda ordem, que pode ser representado, por:.  K11  K =  K 21   K 31 02/06/2011 14:39. K12 K 22 K 32. K13   K 23  K 33 . Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 7.

(8) 2. Propriedades do Sistema Matriz-Fluido Massa Específica e Viscosidade do Fluido. lim A “massa específica ρ” num ponto do fluido é definida como: ρ = δ∀→ δ∀ '. δm δ∀. A “viscosidade dinâmica µ” é uma propriedade dos fluidos associada a. transferência microscópica da quantidade de movimento por difusão molecular.. A viscosidade indica a “resistência interna de um fluido ao escoamento”. Ela é, portanto, uma medida da resistência do fluido à deformação angular,. sendo responsável pelas perdas de energia associadas ao movimento dos fluidos.. Obs.: De modo geral, ρ = ρ(p,T) e µ = µ(p,T). No escoamento isotérmico, ρ=ρ(p) e µ=µ(p). 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 8.

(9) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Conservação da Massa: Esta Lei Básica declara que a massa é. conservada.. Considerando o volume de controle (VC) cúbico da figura, cujo centróide tem coordenadas x1, x2, x3 e de comprimentos ∆xi ao longo das direções i=1,2,3, temos:. m entra − m sai = m acumulada − Q As vazões mássicas que entram e saem do VC na direção 1, são dados por (análogo para as outras direções):. m entra = ( ρ v1 ). ∆x x1 − 1 , x2 , x3 2. ∆x2 ∆x3 ,. m sai = ( ρ v1 ). x1 +. ∆x1 , x2 , x3 2. ∆x2 ∆x3. Figura: Volume de Controle Cúbico.. onde, ρ representa a massa específica e v1 é a velocidade superficial ou de Darcy na direção 1, respectivamente. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 9.

(10) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy O termo de acumulação de massa por unidade de tempo. devido à compressibilidade, é dado por:. m acumulada =. ∆( ρφ ) ∆x1∆x2 ∆x3 , ∆t. onde Ф é a porosidade do meio. O termo de fonte ou sumidouro “Q” [M/T], que pode. representar um poço de injeção ou produção, é escrito como:. Figura: Volume de Controle Cúbico.. Q = q∆x1∆x2 ∆x3 . Onde “q” tem unidades de [M/(T.L3)]. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 10.

(11) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Considerando as 3 direções, o balanço de massa no VC é dado por:.   ( ρ v1 ) x − ∆x1 , x , x − ( ρ v1 ) x + ∆x1 , x , x  ∆x2 ∆x3 + 1 2 3 1 2 3   2 2   ( ρ v2 ) x , x − ∆x2 , x − ( ρ v2 ) x , x + ∆x2 , x  ∆x1∆x3 + 1 2 3 1 2 3   2 2   ( ρ v3 ) x , x , x − ∆x3 − ( ρ v3 ) x , x , x + ∆x3  ∆x1∆x2 1 2 3 1 2 3  2 2   ∆( ρφ )  = − q  ∆x1∆x2 ∆x3  ∆t . 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. Figura: Volume de Controle Cúbico.. 11.

(12) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Dividindo a equação pelo volume ∆∀ = ∆x1∆x2 ∆x3 , temos:. − ( ρ v1 ) ∆x1 − ( ρ v2 )  ( ρ v1 ) ∆x1   ( ρ v2 )  ∆x2 ∆x2 x1 − , x2 , x3 x1 + , x2 , x3 x , x − , x x , x + , x ∆ x ∆ x 1 2 3 1 2 3   2 3 +  ∆x1∆x3 2 2 2 2   ∆x ∆x   ∆x ∆x ∆x1 ∆x2 2 3     1 3  ( ρ v3 ) ∆x − ( ρ v3 ) ∆x  x1 , x2 , x3 − 3 x1 , x2 , x3 + 3 ∆x1∆x2  ∆ ( ρφ )  ∆x1∆x2 ∆x3  2 2  + = − q   ∆x ∆x t ∆x3 ∆   ∆x1∆x2 ∆x3 1 2  . 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 12.

(13) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Tomando o limite, com ∆xi. 0, para i=1,2,3, e ∆t. 0 e rearranjando os. termos, obtemos:.  ∂ ( ρ v1 ) ∂ ( ρ v2 ) ∂ ( ρ v3 )  = − + + q + ∂x1 ∂x2 ∂x3  Termo Fonte/Sumidouro  Termo de Acumulação ∂ ( ρφ ) ∂t . Termo de Fluxo. Usando uma notação compacta, temos:. ∂ ( ρφ ) = −∇ ⋅ ( ρ v ) + q ∂t. Que é a “Equação de Conservação da Massa” na forma diferencial para o. escoamento monofásico de um fluido num meio poroso. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 13.

(14) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Na indústria do Petróleo, é comum fornecermos os volumes em condições de. superfície (std). Para tal, definimos o “Fator de Volume Formação”, como:. ∀( p, T ) B ( p, T ) = , ∀std. ρ std ou B = ρ. Onde ∀( p, T ) é o volume do fluido em condições quaisquer e ∀std é o volume do fluido em condições padrão (std). Substituindo o valor de ρ e dividindo por ρstd, podemos escrever:. ∂ φ  v q   = −∇ ⋅   + ∂t  B   B  ρ std 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 14.

(15) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Lei de Darcy (Henry Darcy, 1856) Esta “lei”, estabelece uma relação linear entre a velocidade do fluido e o. gradiente de potencial hidráulico (pressure head gradient).. 1 v = − K (∇p − ρ g∇z ) µ ∇Φ. onde “K” é a permeabilidade absoluta do meio, “µ” é a viscosidade do fluido, “g” é o módulo da aceleração gravitacional e “z” é a cota, medida verticalmente.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 15.

(16) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Obs.: A velocidade “aparente”, “superficial” ou de Darcy é obtida ao. dividirmos a vazão medida pela área (aparente) da seção aberta ao escoamento.. A velocidade “real” do fluido é diferente da velocidade de Darcy, devido a. presença da matriz sólida, sendo uma propriedade microscópica e de pouco/nenhum interesse para a engenharia de petróleo.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 16.

(17) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy As principais hipóteses adotadas na obtenção da Lei de Darcy, são: 1.. O fluido é homogêneo e Newtoniano;. 2.. Não há reação química entre o fluido e o meio poroso;. 3.. O escoamento é laminar e isotérmico;. 4.. A permeabilidade independe da pressão, da temperatura e do fluido que escoa;. 5.. Desprezamos o efeito do deslizamento de gases à baixas pressões (efeito de Klinkenberg);. 6.. Desprezamos efeitos eletrocinéticos.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 17.

(18) 3. Conservação da Massa e Lei de Darcy Experimento de Darcy Realizado num hospital em Dijon na França; Quatro tipos diferentes de areias não consolidadas do rio Saone (colunas de 1.71m); Filtro vertical com estrutura de aço, diâmetro interno de 0.35m e altura de 2.5m; Dois reservatórios, um superior e outro inferior; Manômetros de Mercúrio com tubo em U, ligados aos reservatórios, foram utilizados para determinação das pressões. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 18.

(19) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso A equação geral que descreve o movimento do fluido em meio poroso é. obtida substituindo a Lei de Darcy na Eq. de Conservação da Massa, como:. 1 v = − K (∇p − ρ g∇z ), µ . ∂ ( ρφ ) = −∇ ⋅ ( ρ v ) + q, ∂t.  ρK  ∂ ( ρφ ) = ∇ ⋅  (∇p − ρ g∇z )  + q ∂t  µ  Com ρ=ρ(p), µ(p) e Φ=Φ(p), esta equação é uma EDP de 2a ordem na. variável pressão, onde p=p(x,y,z,t).. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 19.

(20) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso As condições de contorno típicas para o escoamento monofásico em meio poroso, são:. Condições de Contorno:. 1. Pressão Prescrita (1o Tipo – Dirichlet): 2. Fluxo de Massa Prescrito. (2o. Tipo – Neumann) :. 3. Condição Mista (3o Tipo – Robin):. (ex. fronteira semi-permeável). p = g1 em Γ D . ρ v ⋅ n = g2. g p p + g v ρ v ⋅ n = g3. em Γ N .. em Γ R .. Condição Inicial: Esta condição define a distribuição de pressões num dado. instante de tempo (inicial!):. p( x , 0) = p0 ( x ), .....x ∈ Ω. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 20.

(21) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso Casos Especiais: Fluido e Meio Poroso Incompressíveis: Quando a massa específica do. fluido e a porosidade são constantes, temos:.  ρK  ∂ ( ρφ ) = ∇ ⋅  (∇p − ρ g ∇z )  + q ∂t  µ . K  q ∇ ⋅  (∇p − ρ g∇z )  + = 0 µ  ρ Neste caso, a equação para o escoamento monofásico em meio poroso é uma. EDP de 2a ordem elíptica e p=p(x,y,z). 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 21.

(22) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso Fluido e Meio Poroso Levemente Compressíveis: Neste caso, definimos: Compressibilidade do Fluido: c f = −. 1 ∂∀ ∀ ∂p. = T. 1 ∂ρ ρ ∂p. T. Obs.: Para uma ampla faixa de pressões, podemos assumir que a compressibilidade é constante. e o fluido é “levemente” compressível.. Compressibilidade da Matriz Porosa: cR =. 02/06/2011 14:39. 1 ∂φ φ ∂p. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 22.

(23) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso Vamos expandir em Séries de Taylor a compressibilidade da matriz porosa,. retendo apenas o primeiro termo da série, obtendo:. φ ≅ φ 0 (1 + cR ( p − p 0 ) ) ⇒ cR =. 1 dφ φ 0 dp. Onde Φ0 é a porosidade numa pressão de referência p0. Lembrando que ρ(p) e Φ(p), e expandindo as derivadas no tempo, temos:  ρK  ∂ (φρ ) = ∇ ⋅  (∇p − ρ g ∇z )  + q ∂t  µ . 02/06/2011 14:39.  ∂ρ  ρK  ∂φ  ∂p + = ∇ ⋅ ( ∇ p − g ∇ z ) φ ρ ρ    +q ∂p  ∂t  µ   ∂p. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 23.

(24) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso Substituindo as expressões das compressibilidades, chegamos a:.  ρK  ∂p ρ (φ c f + φ cR ) = ∇ ⋅  (∇p − ρ g∇z )  + q ∂t  µ  0. Ou ainda:. onde cT = c f +. ρφ cT.  ρK  ∂p = ∇ ⋅  (∇p − ρ g∇z )  + q ∂t  µ . φ0 cR . φ. Que é a equação que descreve o escoamento monofásico quando o meio. poroso e o fluido são levemente compressíveis. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 24.

(25) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso Escoamento de Gases No caso do escoamento de gases, a compressibilidade do fluido não é. constante, desta forma, podemos escrever:. c ( p).  ρK  ∂p = ∇ ⋅  (∇p − ρ g∇z )  + q ∂t  µ .  ∂ρ ∂φ  +ρ . ∂p   ∂p. Onde: c ( p ) =  φ. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 25.

(26) 4. Equações Gerais para o Escoamento Monofásico em Meio Poroso A. relação PVT (Press.-Temp.-Vol) utilizada para gases é a “lei dos gases reais”, dada, por: ρ=. pW , ZRT. Onde W é o peso molecular, T é a. temperatura em Kelvins, Z é fator de compressibilidade dos gases e R é a constante universal dos gases.. Figura: Comportamento típico do fator de compressibilidade Z com a pressão (pseudoreduzida) para o gás natural.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 26.

(27) 5. Escoamento num Meio Deformável Uma generalização da Lei de Darcy, assume que o meio poroso é. deformável, sendo composto de um material linear elástico, cuja matriz sólida é compressível e “cisalhável”. Neste caso, a lei de Darcy pode ser escrita, como:. K w − ws = − (∇p − ρ g∇z ),. µ. . . onde w e ws , são os deslocamentos do fluido e do sólido, respectivamente, e w = ∂w ∂t .. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 27.

(28) 5. Escoamento num Meio Deformável Se I é a matriz identidade. O tensor tensão volumétrica do material é dado,. por:.  σ 11 + σ σ + σ I ≡  σ 21   σ 31. σ 13  σ 22 + σ σ 23  σ 32 σ 33 + σ  σ 12. onde “σ” representa a tensão normal aplicada sobre o fluido e “σij=σji” representa as tensões aplicadas sobre a matriz sólida. O tensor de tensões satisfaz a relação de equilíbrio: ∇ ⋅ (σ + σ I ) + ρT g ∇Z = 0. . . onde ρT = φρ + (1 − φ ) ρ s é a densidade mássica do meio poroso (sólido + fluido) e ρs é a densidade do sólido. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 28.

(29) 5. Escoamento num Meio Deformável Os tensores deformação do sólido (εs) e do fluido (ε), são dados por: ε s ,ij. 1  ∂ws ,i ∂ws , j =  + 2  ∂x j ∂xi.  1  ∂wi ∂w j +  , ....ε ij =  2 ∂ x   j ∂xi.   , .....i, j = 1, 2,3. . Definindo ainda ε=ε11 + ε22 + ε33, a relação tensão-deformação (constitutiva). é dada por:. 02/06/2011 14:39.  σ 11   c11 c12    . c σ 22  22    σ 33   . .    . σ  23  =  .  σ 31   . .    .  σ 12   . σ   . .   . c13. c14. c15. c16. c23. c24. c25. c26. c33. c34. c35. c36. .. c44. c45. c46. .. .. c55. c56. .. .. .. c66. .. .. .. .. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. c17   ε s ,11   c27   ε s ,22  c37   ε s ,33    c47   ε s ,23  c57   ε s ,31    c67   ε s ,12  c77   ε  29.

(30) 5. Escoamento num Meio Deformável Os coeficientes “cij=cji” são obtidos a partir das propriedades dos materiais. No caso de considerarmos o sólido da matriz isotrópico, temos:.  vε s   σ = 2 G ε +  ii  s ,ii  + Hp, ....i = 1, 2,3, 1 − 2v    σ = 2Gε , ....i, j = 1, 2,3, ....i ≠ j s ,ij  ij onde “G” é o módulo de Young e “ν” é a razão de Poisson para a matriz sólida e “H” é uma constante física determinada experimentalmente.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 30.

(31) 6. Escoamento num Meio Fraturado Um meio poroso fraturado é um meio que é interceptado por uma rede de. fraturas interconectadas ou canais.. Blocos da Matriz. Fraturas. Figura: Meio Poroso Fraturado.. Tal meio pode ser modelado permitindo a porosidade e a permeabilidade. variarem rapidamente e descontinuamente sobre todo o domínio. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 31.

(32) 6. Escoamento num Meio Fraturado Ou podemos utilizar os Modelos Duais. Nestes modelos, consideramos que o fluido no meio poroso é composto de. duas partes contínuas, tratadas separadamente: uma parte nas fraturas e outra parte nos poros da matriz. Existem dois “Modelos Duais” principais: 1. Porosidade Dual (e uma única permeabilidade)*; 2. Porosidade e Permeabilidade Duais.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 32.

(33) 6. Escoamento num Meio Fraturado As Hipóteses Básicas no Modelo de Porosidade Dual* são: 1. O fluido Não escoa diretamente de um bloco para outro. Primeiro ele. escoa para as fraturas e depois para os outros blocos ou permanece nas fraturas; 2. Existe um termo de fonte distribuído que representa o escoamento do. fluido da matrix para as fraturas; 3. Termos de fonte e sumidouros (ex. poços) interagem apenas com as. fraturas.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 33.

(34) 6. Escoamento num Meio Fraturado Baseado nestas hipóteses, o escoamento no interior de cada bloco é dado,. por:. ∂ ( ρφ ) = −∇ ⋅ ( ρ v ) ∂t. O escoamento nas fraturas é dado por:. ∂( ρ f φ f ) ∂t. = −∇ ⋅ ( ρ f v f ) + qmf + qext ,. onde o subscrito “f” representa as quantidades nas fraturas, “qmf” denota o escoamento da matriz para as fraturas e “qext” indica termos de fonte e sumidouros externos. As velocidades “v” e “vf” são obtidas diretamente a partir da Lei de Darcy. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 34.

(35) 6. Escoamento num Meio Fraturado Lembrando que, a massa total que sai de um bloco “i” da matriz pode ser. dado por. ∫. ∂Ωi. . ρ v ⋅ nd Γi. Usando o teorema de Gauss, temos:. ∫. ∂Ωi. 02/06/2011 14:39. . . ∂ ( ρφ ) dX Ωi ∂t. ρ v ⋅ nd Γi = ∫ ∇ ⋅ ( ρ v )dX = − ∫ Ωi. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 35.

(36) 6. Escoamento num Meio Fraturado O termo “qmf”, que denota o escoamento da matriz para as fraturas, pode ser. determinado, como:. qmf = −∑ χi ( X) i. 1 Ωi. ∂ ( ρφ ) ∫Ωi ∂t dX,. onde, |Ωi| representa o volume de Ωi , e χi (x) é sua função característica, i.e.: se..X ∈ Ωi 1 χ i ( X) =  0 nos..outros..casos Definimos assim, a condição de contorno nas superfícies de cada bloco da. matriz.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 36.

(37) 7. Outros Efeitos Estritamente falando, a Lei de Darcy só funciona para o Escoamento. Laminar de Fluidos Newtonianos. Outros efeitos que podem ser importantes são: 1. Escoamentos Não-Laminares (Efeitos de Alta Velocidade) 2. Fluidos Não-Newtonianos; 3. Efeito de “Threshold”; 4. Efeito de “Klinkenberg”;. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 37.

(38) 7. Outros Efeitos Escoamentos Não-Laminares: Os desvios de comportamento com. respeito a Lei de Darcy se devem a efeitos inerciais, de turbulência e outros efeitos de “alta-velocidade”.. Uma possível correção é dada pela “Lei de Forchheimer”, que inclui um. termo quadrático para escoamentos de alta velocidade, de modo, que :. ( µ I + βρ v K )v = − K (∇p − ρ g ∇z ), . onde, “β” é o “fator de inercial ou de turbulência” e: v = v12 + v22 + v32 .. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 38.

(39) 7. Outros Efeitos Fluidos Não-Newtonianos: Alguns fluidos (ex. polímeros) se caracterizam. pela dependência não-linear entre a tensão e a taxa de cisalhamento.. Neste caso, a resistência ao escoamento num meio poroso pode ser. representada, como:. 1 v = − K (∇p − ρ g ∇z ). µ (v ) . Ao longo de um certo intervalo de velocidades (região de escoamento. pseudoplástico), a viscosidade pode ser aproximada por uma lei de potência, como: m −1. µ (v ) = µ 0 v. onde, µ0 e m são constantes experimentais. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 39.

(40) 7. Outros Efeitos Outros efeitos (menores) estão relacionados aos fenômenos de: “Threshold”, em que observa-se a necessidade de um certo gradiente de. pressões não-nulo para o início do escoamento;. Figura: Efeito “Threshold” (Limiar).. “Efeito de Klinkenberg” (escorregamento), em que ocorre um aumento. da permeabilidade efetiva para o escoamento de gases a baixas pressões.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 40.

(41) 8. Considerações Finais Na presente aula, apresentamos os fundamentos sobre o escoamento. monofásico em meio poroso.. As leis de conservação da massa e do momento (i.e. a Lei de Darcy) foram. discutidas e combinadas de modo a produzirem a equação geral para o escoamento monofásico de um Fluido Newtoniano num meio poroso.. Apresentamos ainda, as condições iniciais e de contorno típicas associadas a. modelagem destes escoamentos.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 41.

(42) 8. Considerações Finais Alguns. casos especiais foram comentados, incluindo os incompressíveis, levemente compressíveis e o escoamento do gás.. fluidos. Também consideramos, brevemente, os escoamentos em meios deformáveis. e em meios fraturados.. Finalmente, fizemos algumas considerações sobre outros tópicos de. interesse, como Escoamentos Não-Laminares, Fluidos Não-Newtonianos, o Efeito de Klinkenberg e o fenômeno de “Threshold”.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 42.

(43) 9. Bibliografia [1] Dynamics of Fluids in Porous Media, Jacob Bear, Dover Publications, New York, 1988. [2] Introduction to Modeling of Transport Phenomena in Porous Media, Jacob Bear, Yehuda Bachmat, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1990. [3] Basic Applied Reservoir Simulation, Ertekin, T. et. al., SPE, 2001. [4] Computational Methods For Multiphase Flows In Porous Media, Chen Z., Huan G., Ma, Y. SIAM, 2006. [5] Uma Formulação do Método dos Volumes Finitos com Estrutura de Dados por Aresta para a Simulação de Escoamentos em Meios Porosos, Carvalho D.K.E., DECIVUFPE, 2005.. 02/06/2011 14:39. Lei de Darcy e Conservação da Massa, Escoamento Monofásico em Meio Poroso. 43.

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