Superfícies singulares e ondas de aceleração em misturas

—

—

\

w

. <_*» i 3 c> 73 G tr". w~> t

-Antonio Santos Silva

2_{* >}r

’_P

->

?

TESE

SUBMETIDA

AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO

DOS PROGRAMAS DE PÖS

-

GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL

DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESS

ÁRIOS PARA A OBTEN

-ÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M

.

Sc

.

)

Aprovada por:

J

î

1

rjc

—

c

Prof* Rubens Sampaio Filho

N Presidente / /

t

( CA ?y

Prof

.

I

-

Shih Liu

&

jZ

^

acr

C

CJL

'_<

_S

~

>

Prof

.

Antonio Santos Vargas

*

RIO DE JANEIRO, RJ

-

BRASIL FEVEREIRO DE 1979

9 v < \ y ?

s

Ÿ O ?

nv

s

vv ru o ? uy vy i / vy j vi m vi ju ra t

y

í < \ \ ( I » r a ! ’ ï V . ; * ' »

; , S' I ; i i : 1' I ii Í Í I ?

SILVA , ANTONIO SANTQS

Superficies singulares e ondas de acelera

çã

o em misturas

_JRio

_{de Janeiro}

_!

₁₉₇₉

_.

IX? 90p

.

29,7cm (COPPE

-

UFRJ,

ria Química, 19 79)

M

.

Sc

.

f Engenha

-Tese TJnív

.

Fed

.

Rio de Janeiro

.

Programa de Engenharia Qu

í

mica Propaga

çã

o de ondas T

í

tulo (s

é

rie) 1

.

_I

_.

_COPPE/UFRJ II

.

i

A finalidade desse trabalho

é

estudar

superficies

sin guiares e ondas em misturas

.

Estuda

-

se movimento de superf

í

cies e apresenta

-

se defini

çã

o bem motivada de derivada

-

deslocamento

.

uma

Inicialmente definem

-

se superf

í

cies singulares num cor condi

çõ

es de compatibilidade obtidas estudo

ú

nico escrevendo

-

se as po

de forma simples e intr

í

nseca,

para misturas e fazem

-

se duas aplica

çõ

es para

acelera

ç

ao em misturas binarias de constituintes inertes em cem c

á

lculo das velocidades local de propaga

çã

opa

Depois estende

-

se o

o caso de ondas de

peratura comum;

ra uma mistura de um s

ó

lido r

í

gido e um fluido n

ã

o viscoso e uma mistura de um s

ó

lido el

á

stico e um fluido nao viscoso

.

The aim of this work is to study, singular surfaces and. waves in mixtures»

Surface motion is studied and a well motivated derivative is presented

.

definition of displacement

First

,

singular surfaces for a single body are defined and the compatibility conditions are obtained in a

After, the study is way that is direct and

intrinsic

,

extended for mixtures and two applications are worked for aceleration waves in binary mixtures of inert constituents

computation of the local velocities of propagation for a mixture of a rigid solid and. a non

viscous fluid and a mixture of

an

elastic solid and a non with common temperature:

viscous fluid

.

AGRADECIMENTOS

XnX_-m.-c.rt:K&/_^aL&n_^xaxKLs:ur.-í fu_*:jxnconic_*a_*n:MC

Ao Professor Rubens Sampaio Filho pela eficiente orien ta

çã

o

.

\

Ao Professor X

-

Shih Liu pelas sugest

õ

es dadas

.

Aos Professores,, colegas e funcion

á

rios da COPPE

/

UFRJ pela amizade que me fizeram sentir como se estivesse em casa

.

Aos meus colegas'

da Universidade Federal de Sergipe pe la oportunidade a mim concedida de vir fazer esse Mestrado

.

Ao apoio financeiro dado pela Universidade Federal Sergipe atrav

é

s do PICD/CAPES

.

de

A todos aqueles que, direta ou indiretamente, contri buiram para a realiza

çã

o desse trabalho

.

i

E

,

finalmente

,

a Maria dè Lourdes de Almeida pela pri

-morosa datilografia que decerto valorizou o meu trabalho

.

I N D I G E

pg

.

CAPITULO I

-

Introdu

çã

o

CAPITULO II

-

No

çõ

es de Mec

â

nica do cont

í

nuo para corp.o

ú

nico

1

.

Corpo, movimento e deforma

çã

o 2

.

Elementos b

á

sicos

V

3

.

Equações dos balan

ç

os

CAPITULO III

-

Superf

í

cies singulares

-

ondas 4

.

Movimento de superf

í

cies

Velocidade de deslocamento e movimento normal 1 4 4 7 10 13 13 4.1 13 17 4.2

.

Derivada deslocamento

5

.

Superf

í

cies singulares

5.1

.

Condi

çõ

es de compatibilidade geom

é

trica t 5.2

.

Condi

çõ

es de compatibilidade cinemática 19 20 23 O teorema de Maxwell

.

Condi

-çõ

es de Hugoniot

6

.

Superf

í

cies singulares associadas com um movimento

5V ft3«•*

24 27 6.1

.

Representa

çã

o referencial (ma

terial)

6.2

.

Velocidade local de propaga

çã

o Condi

çõ

es de compatibilidade din

â

mica

6.4

.

Classifica

çã

o de superf

í

cies singulares; ondas

CAPITULO IV

-

No

çõ

es de mec

â

nica do cont

í

nuo para misturas

7

.

Teoria b

á

sica 27 31 6.3 33 34 37 37

P

9•

8

.

Equa

çõ

es dos balan

ç

os 41

8.1

.

Constituinte a 41

42 8.2

.

Mistura

8.3

.

Mistura bin

á

ria

CAPITULO V

-

Superf

í

cies singulares era misturas ondas de acelera

çã

o

9

.

Superf

í

cies singulares em misturas 10

.

Ondas de acelera

çã

o em misturas

10.1

.

Classifica

çã

o de superf

í

cies singulares em misturas

.

Ondas em misturas

10.2

.

Elementos b

á

sicos para uma on da de acelera

çã

o numa mistura CAPITULO VI

-

Aplica

çõ

es

à

misturas bin

á

rias

11

.

Mistura de um solido

r

í

gido e um

.fluido n

ã

o viscoso

11.1

.

Defini

çã

o e an

á

lise constitute,

va para a mistura

11.2

.

Ondas de acelera

çã

o; velocida

-des local de propaga

çã

o

12

.

Mistura de um solido el

á

stico e um fluido n

ã

o viscoso

12.1

.

Defini

çã

o e an

á

lise constituti

-va para a mistura

12.2

.

Ondas de acelera

çã

o: velocida

-des local de propaga

çã

o

45 48 48 51 51 53 59 60 60 64 67 67 70 APÊNDICE 75 1

.

Tensores de segunda ordem

80 2

.

Tensores de ordem maior do que dois

80 2.1

.

Tensores de terceira ordem

2.2

.

Tensores de ordem maior que tr

ê

s 82

-3

.

Diferencia

çã

o 83

des continuidade: lenria de 4

.

Salto, 86 Hadamard 89 BIBLIOGRAFIA ’;?

INTRODUÇÃO

ÎHülCOTCav^iOwr^ijiO«_**jv_*K.

Na f

í

sica do cont

í

nuo a palavra onda engloba uma gran \

de classe de fen

ô

menos

.

\

Qualquer perturba

çã

o que se com velocidade finita atrav

é

s de um rneio pode ser

propaga considerada como uma onda

.

As leis de propaga

çã

o de

_ondas

est

ã

o relacionadas a natureza da resposta de cada meio cont

í

nuo

com Elas mostram co rno o material reage, localmente e instantaneamente a uma peque na mudan

ç

a ou impulso numa regi

ã

o delgada

.

Como a resposta de um cont

í

nuo geralmente ê descrita por um conjunto de equações diferenciais parciais n

ã

o lineares, a composi

çã

o dos pequenos e feitos para um movimento do corpo como um todo

é

um problema

Sr

Por isso,

v

ã

rios caminhos diferentes s

ã

o estuda duo e dif

í

cil

.

No comum desses,

ê

u~

deforma

çõ

es ou oscila desprezamos os termos n

ã

o lineares das equa

çõ

es diferen

-ciais do movimento para produzir um sistema linear que pode ser visualizado como um conjunto de osciladores harm

ó

nicos cujos mo vimentos j

ã

est

ã

o bem caracterizados

.

dos para aproximar um.movimento de onda

.

sada a teoria das pequenas perturba

çõ

es

,

\!

ç

oes:

Outro caminho usado e a

-quele baseado nas ideias de HUGONIOT (1885) que desenvolveu conceito diferente de propaga

çã

o:

um a perturba

çã

o e confinada,ri gorosamenteF

numa

regi

ã

o

’

A teoria matem

á

tica re mesma pode ser de qualquer intensidade

.

sultante do método de Hugoniot, teoria de superf

í

cies singula

-res,

é

exata

.

Fora o rigor, a diferen

ç

a em conceito

5

grande

.

No m

é

todo das pequenas deforma

çõ

es as superf

í

cies de perturba

-çã

o

,

frentes de onda, s

ã

o supostas terem formas especiais

,

pla

-nas, cil

í

ndricas, ou esf

é

ricas e a onda se propaga numa regi

ã

o de repouso ou velocidade constante

.

Enquanto que o

_-

m

é

todo dè

V_'superf

_í

_{cies singulares admite que a}

_{descoritinuidade}

_encerra

-

_se

numa superf

í

cie de forma qualquer e a condi

çã

o do material pode tamb

é

m ser qualquer

.

O m

é

todo de Hugoniot foi desenvolvido por por MARD (1903) no seu grande tratado sobre movimento de ondas materiais el

á

sticos

.

Ap

ó

s Hadamard, durante um per

í

odo de

anos, n

ã

o houve progresso significante no estudo de ondas em e

-lasticidade n

ã

o linear

.

Com um trabalho sobre ondas em

riais el

á

sticos isotr

õ

picos e incompress

í

veis, ERICKSEN reviveu novamente o interesse

.

Depois veio THOMAS (1957)

um trabalho sobre superf

í

cies singulares e em particular deriva da deslocamento

.

E assim, com o uso da derivada deslocamento e da f

í

sica do cont

í

nuo a teoria sofreu um grande desenvolvimento at

é

o ponto de COLEMAN, CURTIN e seus colaboradores publicarem um trabalho sobre ondas em materiais com memória

.

HADA

-em 50 mate (1953) com

Com a teoria de superf

í

cies singulares j

á

bastante de

-senvolvida para corpo único, alguns pesquisadores come

ç

aram

estudar propaga

çã

o de ondas em misturas, como

é

o caso do BOWEN Em misturas o problema

é

mais com

-o fen

ô

meno na mistura como um _{todo £}>ode ser analisado

a

que usa uma teoria linear

.

plicado:

atrav

é

s do estudo entre os constituintes de acordo com a teo

-de misturas

.

Nesse trabalho

,

c desenvolvida uma teoria b

á

sica superf

í

cies singulares e ondas em misturas e o nosso maior ob jetivo

ê

o estudo

-

de ondas de acelera

çã

o em misturas

.

de

Os elementos de mec

â

nica do cont

í

nuo para corpo

ú

nico necess

á

rios ao desenvolvimento desse trabalho

dos. no Cap

í

tulo II

.

\

sao apresenta

f

No Cap

í

tulo III,

ë

feito um estudo de movimento de su

perfides

, derivada deslocamento, superf

í

cies singulares, con

-«V

dições de compatibilidade e ondas

Ä teoria b

á

sica de misturas

ë

desenvolvida no Cap

í

tu

-lo IV

.

A aplica

çã

o da teoria do Cap

í

tulo III em misturas feita no Cap

í

tulo V e em particular ondas de acelera

çã

o s

ã

o es tudadas

.

' e

Duas aplica

çõ

es s

ã

o feitas

no

Cap

í

tulo VI em rela

çã

o «

ao c

á

lculo de velocidades local de propaga

çã

o: mistura de um solido r

í

gido e uni fluido n

ã

o viscoso e mistura de um s

ó

lido e l

ã

stico e um fluido n

ã

o viscoso

.

Finalmente

,

os elementos de matem

á

tica necess

á

rios po dem

ser

encontrados no Ap

ê

ndice (Ap

.

)

.

CAPÍTULO IX

NOÇÕES DE MECÂNICA DO CONTÍNUO PARA h«**iiew;u :.OíO»S«Y»VC'.VJTJ*JI:Iâ

CORPO '

ON

ico

1

.

CORPO, _{MOVIMENTO E} DEFORMAÇÃO

mtOOK &

a»na»«.T!íJux«:« '#Mï&i2ix?

^!bOei5azfMz#r_^ja&Ba22sr!K2u&r3mBæ&~j

^-ji&-<3.aM3tm3Xtxxa2C»sz?t

Seja Ç o espa

ç

o Euclidiano pontual tri

-

dimensional

.

Um corpo

ß

[

lf

2,3,4f5

j

ë

uma variedade tri

-

dimensional,

regi

ã

o ocupada por

ß

em Ç

ë

chamada uma configura

çã

o de

ß

signando por P uma part

í

cula de

ß

, cada configura

çã

o K(

ß

)

ß

ë

caracterizada pelo homeomorfismo

Cada De de tC ï

ß

Ç definido por (IX

.

0) X

=

K(P)

,

ocupada por P na regi

ã

o K(

_ß

) de Ç

.

A

,

e definida pela rela

çã

o onde X

ë

a posi

çã

o

versa de K, denotada por K

in

-

í ~! (II

.

1) (X)' p _K

Representando por I

_*

um intervalo da reta real,

movimento do corpo

ß

e urna fam

í

lia uni

-

param

ë

trica de configu

-ra

çõ

es

A

(

-

,

t)

,

A

:

3

x

l i

•> E

-

>t , satisfazendo a rela

çã

o

(II

.

2}

x

₌

A

(P, t),

onde t

é

uni par

â

metro real interpretado como tempo e

x

ë

a posi

^

ç

ao ocupada pela part

í

cula P em Ç no instante t

.

Como cada

con

urna regiao.de Ç ,

figura

çã

o

ë

um homeomorfismo de

3

sobre

•t

ã

o a fun

çã

o

A

(*, t)

ë

inversivel

para cad

'

a.instante t

.

en

-\ _Repre

-sentando a inversa de

A

(*, t), para cada instante t

,

por

-1

A

(* f t), escrevemos:

-

1

(II

.

3) P

₌

A

(x; t)

Por (II

.

2) e (II

.

3)f para cada tempo fixado temos uma configura Se todas configura

çõ

es s

ã

o comparadas com

çã

o do corpo

3

.

configura

çã

o pr

ê

-

estabelecida, ent

ã

o a mesma

ë

chamada configu

-uma

Qualquer configura

çã

o do corpo

3

pode ser Seja K a configura

çã

o de refer

ê

ncia do corpo

3

?

Ent

ã

o, de ra

çã

o de refer

ê

ncia,

de refer

ê

ncia

.

(II

.

0), escolhida como aquela no instante t

=

to

*

(II

.

1), (II

.

2} e (II

.

3), vem que K(*) =

A

(*, t₀)

(II

.

4) K~ («₎

=

A

1(_•,

to

)

}

e X

é

a posi

çã

o ocupada por P na configura

çã

o de refer

ê

ncia K

.

De (II

.

1) e (II

.

2)

,

obtemos;

-

1

-

1

(II

.

5) (X), t)

=

AoK (X, t)

A deforma

çã

o

x

, relativa a configura

çã

o ' de refer

ê

ncia K

,

ë

a fun

çã

o

-

1 : K(

3

)

x 11

Ç

X

=

A

0j< descrito Assim,, por (11.5)

,

o movimento do corpo

3

pode ser

por .\

(II

.

6)

X

(X

,

t)

que depende da configura

çã

o de referencia K

.

De imediato, u

-sando (II

.

4) e (II

.

5)

,

segue que

~i

(II

.

7) (X,to)

x

(

x,

to

) K oK

É f

ã

cil ver que

x

(*, t)

ë

inverslvel

para cada instante

Escrevendo

x

(e, _t) para _{a inversa de}

x

(* _<• t) em cada tempo

t

.

t, temos:

(II

.

8) (x, t)

X

_X

Seja $ qualquer

fun

çã

o definida num sub

-

conjunto espa

ç

o produto Ç x (~

ou tensoriais e suponhamos que $ contenha em seu dom

í

nio, para cada tempo t, o espa

ç

o produto K(

₃

) X 1\

.

Chamamos 4>(X, t) u

ma descri

çã

o

referencial e $(

x

, t) uma descri

çã

o espacial

.

Co mo cada part

í

cula P de

3

ë

identificada pela sua posi

çã

o X na configura

çã

o de refer

ê

ncia K, usaremos sem despertar confus

ã

o a express

ã

o

"

part

í

cula X

"

e 4>(X ,t) tamb

é

m sera chamada

descri

çã

o material

do

co_{) com valores escalares, vetoriais}, o o

,

-A derivada espacial em rela

çã

o ao tempo do campo $ se \r

á

representada por 3$ 3$ (II

.

9) 31 31 _x ~constante

Para as derivadas material em rela

çã

o ao tempo, usare

-as nota

çõ

es: mos 3$

4

E 31 _X

=

constante (II

.

10)

v

_

3

4

~ ₃₁ X

=

constante

Os operadores divergente e gradiente toma

-e assim por diante

.

dos na configura

çã

o de refer

ê

ncia ser

ã

o convencionados por Div respectivamente, e na configuração es~

e Grad (em rela

çã

o a X)

pacial (descri

çã

o) por div e grad (em rela

çã

o a x)

.

F As deriva

-das do movimento V

=

x

(II

.

11) e « V

=

x

0 tensor gradiente de deforma

çã

o F

é

dado por X no instante t

.

F

=

Grad

x

(II

.

12)

Como

y

_

{',t) foi suposta um difeomorfismo para cada instante t

ent

ã

o F(*, t), para cada tempo t, admite um inverso

J, por F (*, t)

,

e r denotado \ _~i

-

₁ V F £ grad

_x

_r (11.13) com a condi_ção -1

-

ï FF

=

F F “ 1

,

onde 1

ë

o

tensor

identidade de linv (Ap

.

4)

.

campo vetorial V

,

definimos o'

tensor gradiente de velocidade I Em rela

çã

o ao

J_F

L £ grad

_Vr

(11.14)

que pode ser decomposto, de modo

ú

nico, como segue (Ap

.

7):

L

₌

D + W, (11.15) onde t L + L D « 2 (11.16) e t

-L

-

L W 2

s

ã

o,respect.ivamente , as partes sim

é

tricas e anti

-

slmé

tricas de Usando (II

.

10) (II

.

6) (II

.

11)

1, (11.12), (11.14) e a re

-L

.

1' t

Grad V = LP F (11.17) ou »

-

₁ L = FF

Quando $ = y e um campo escalar# podemos escrever (Ap

.

23 ): t Grad y = F grad y \ \ (11.18)

-

t Grad y = grad y F

Se o campo escalar y tem valores y(x,t)

,

ent

ã

o o uso de (II

.

11)

e a regra da cadeia em (II

.

9) e (II

.

10) produzem# (Ap

.

21)

(Ap

.

,23)

^

: 1 e

ar

_{+ grad y} • V _(11.19) Y _at Atrav

é

s de (11.18)„ e (11.19) escrevemos ,. (Ap

.

5) e (Ap

.

6 ): 2 • _{3 y} V -ES

-

—

~1 (11.20) + Grad y

.

(F V) Y _{a t}

Agora, consideremos o caso em que í> ₌

é

um campo vetorial,

Seja ÏÏ um vetor, ou tensor, arbitr

á

rio e constante

.

ou

tensorial

.

Fazendo

(11.21)

y = •

n

e usando o fato que lí

é

arbritr

â

rio, (Ap

.

(11.19) e (11.20)

em e

^

Ai

-

1

<

_f

> = + (Grad \

p

) (F V)• (11.23)

9t

definido por (11.12)

,

apresenta uma propri

0 tensor F,

ser

á

usada mais adiante, baseada em

-

edade bem interessante que

(IX

.

7):

i.

(11.24)

F(X, to) = 1,

instante atual (configura

çã

o presente )

ê

escolhi

-ou sëj a, se o

do como o de refer

ê

ncia então

(11.25)

Grad

_-

grad

3

.

EQUAÇÕES DOS BALANÇOS

Sejam p a densidade (massa espec

í

fica) do corpo

3

e

p a densidade na configura

çã

o de refer

ê

ncia (lembrar que p

^

-1C

Para o balanço de massa

[

l,2,3,4,5

_]

= 0)

.

escrevemos

(11.26)

-

p det F

PK

(Ap

.

12), (Ap

.

21), (Ap

.

22) e (Ap

.

24),

Como,

~\

= (det F)tr(FF )

div V

₌

tr(L)

=

tr(FF~!), e

ent

ã

o (11.26) produz a equa

çã

o da

-

continuidade

p + p div V

=

0 (11.27)

que

,

atraves de

(

II

.

19) (Ap

.

27) ainda pode ser escrita 8p

-

f div(pV)

=

0

\ ₃₁

Do balan

ç

o de momentum linear, obtemos a equa

çã

o do movimento

pV

=

div T + pfi (11.28)

onde T

é

o tensor tens

ã

o,f

ê

a for

ç

a de campo por unidade massa exercida sobre o corpo

ß

pelo mundo exterior,

de momentum angular fornece a condi

çã

o de simetria

de 0 balan

ç

o

t

T

=

T (11.29)

A equa

ç

ao da energia, obtida pelo balan

ç

o de energia, pode ser escrita na forma

pe

=

div h + tr(TL) + pr

,

(11.30) onde e e a energia interna por unidade de massa, h

é

o vetor fluxo de calor e r e o calor por unidade de massa

por

_ß

' Observe que (Ap

.

9):

absorvido

t t

tr(TL)

₌

T

.

L L

.

T T

.

L

=

T

.

D

-sius

-

Duhem " div(

|

) + p

I

,

© pn >

,

.

(11.31) i a y

onde

_n

é

a entropia por unidade de

massa

(entropia espec

í

fica) A energia livre de Ilel e 0 e a temperatura absoluta (0 > 0)

.

moltz A por unidade de

massa é

definida por:

\ V V. A e 0_{n (11.32)} Eliminando r entre (11.30) e (11.31), mos, (Ap

.

26) e (Ap

.

27): e usando (11.32), obte h

.

grad 0 p

Ã

+ pn

Ô

-

T

.

L + ₀ 0, (11,33)

que

é

uma forma mais apropriada de (11.31) para explorar equa

-çõ

es

_{constitutivas}

.

r l ' \ I

CAPÍTULO III

SUPERFÍCIES SINGULARES

-

ONDAS

Como j

ã

frisamos, na f

í

sica do cont

í

nuo a palavra on

-\da

é

usada com

v

á

rios significados

.

Para alguns, uma onda

é

qualquer urna perturbação senoidal

.

Para outros, uma onda

é

membro de uma certa classe de solu

çõ

es de uma equa

_çã

o diferen

-cial hiperb

ó

lica

.

Nesse trabalho, definiremos uma onda

sendo uma superf

í

cie singular propagante (frente de onda como uma superf

í

cie singular), seguindo

-

as ideias de CHRISTOFELL,IIU Tal defini

çã

o requer o estudo de mo vimento de superf

í

cies, derivada deslocamento e • superf

í

cies singulares, çomo veremos nesse cap

í

tulo

.

corno

GONIOT, HADAMARD e DUHEM

.

4

.

MOVIMENTO DE SUPERFÍCIES

4.1

.

Seja H

.

uma fun

çã

o suave definida num sub

-

conjunto do espa

ç

o produto Ç

x

(

-

«>, «_{•) com}

_valores

_{reais, e consideremos}

par

â

metro real t0 fixo

.

o 0 lugar geom

é

trico das posi

çõ

es x de Ç satisfazendo

upondo que grad Ií /• 0, o vetor unit

á

rio em cada ponto de 8

,

e dado por,

e uma superf

í

cie

n normal a

superf

í

cie

e

s.

.

D (Ap

.

&_r 0),: grad H n “

Hgriom

A condi

çã

o grad H

/

0 permite representar S na forma

param

é

~

trica

£

5

,

6 ,

7

]

(III

.

0)

~ _X(0)1, OJ2,

to

)

,

X

e

w

2 s

ã

o coordenadas curvil

í

neas da su

-1

onde os par

â

metros w

perfide

S (coordenadas superficiais)»

vas•independentes

tox

A interseção das cur

=

constante (i

₌

l

,

2) sobre S determina um

w

2_{) representa um ponto de S}

_,

_cha

Da

í

, o par (o1 mado ponto superf

í

cie

.

ponto de S

.

9x r

-

(i

=

l

,

2 ) s

ã

o tangentes a S e linearmen Os vetores 1 9o

Então

,

eles geram qualquer vetor tangente

te independentes

.

a S, e o conjunto 9x 9x _(III

_.

₁₎ ~(x)_f n(

x

)}

-

(x), 0b) 1 ÖÜ)

forma uma base

em

Ç para todo

x

sobre S

.

0 movimento da superf

í

cie S pode ser definido

uma fam

í

lia uni

-

parametrica do superf

í

cies S(t) determinada pela rela

çã

o

como

(III

.

2) II(

x

, t)

=

0

ou pela forma paramétrica

X

=

X(to1, to2, t) (III

.

3)

A representa

çã

o

(III

.

3) descreve bem o movimento de S: ela d

â

a posi

çã

ox'

ocupada pelo ponto superf

í

cie (

w

1,

w

2) em Ç no ins A velocidade u de um ponto superf

í

cie (velocidade da superf

í

cie S)

ê

definida por

tante t

\

3 x

(III

.

4) a t

Usando a base (III

.

1)

,

o vetor u pode ser escrito na forma

d X

r + d3n

,

(soma em i)

d

_x

.

x

onde dj, d2 e

da

sao escalares e sempre trabalharemos com i

=

1f 2

.

De imediato temos que d3 u

.

n, e escrevemos para u

dx

r + (u

.

n)n (III

.

5}

d

.

u

ô

wx

A equa

çã

o (III

.

5) mostra que em cada ponto de S, para cada para metriza

çã

o, o vetor velocidade u pode ser decomposto, de modo

ú

nico, num componente normal (u

.

n)n (componente de u na dire

çã

o de n) e noutro tangencial d

.

(componente de u numa dire

çã

o

1 ,v 1 .

4

1 d03

perpendicular a n)

.

Assim, podemos analisar o movimento de S atrav

é

s de (III

.

5) e uma superf

í

cie de refer

ê

ncia S(t0) fixada

no instante t

=

_to

como segue: se u

.

n

₌

0 e d, 5 x— 0,

x

to de S(

_to

) se move de uma posi

çã

o sobre S(10) para uma outra posi

çã

o sobre S(

_to

), mas. a superf

í

cie S n

ã

o se desloca em rela

çã

o a S(t0)

.

um pon

1

3to

o deslocamento da

superficie

S

5

aquele na dire

çã

o do vetor uni a quantidade

u

t

ã

rio n normal a S

.

Por esse

-

motivoF dada por

(III

.

6) u_•n

u n

ë

chamada de velocidade de deslocamento da superf

í

cie S (que

ê

a medida da velocidade com que a superf

í

cie S atravessa o espa~~

\

ç

o) e condi

çõ

es s

ã

o estudadas para que o movimento de S seja normal (movimento na dire

çã

o de n)

[

s

]

.

Se o movimento de S

ë

normal,, temos que u

=

(u

.

n)n

=

unnf

e nesse caso u

é

chamada ve

s

ã

o linearmente in

-3W1

dependentes, ent

ã

o, por (III

.

5), o movimento de S

ë

normal se Mais adiante daremos significado aos d.

3x locidade normal de S

.

Como os vetores

i F e somente se, d

.

₌

0

.

i. i e interpreta

çã

o para

₌

0

.

Diferenciando (III

.

2) em rela

çã

o ao tempo e usando regra da cadeia em.rela

çã

o a (III

.

3), obtemos, (Ap

.

21) e (Ap

.

23),: a 3x 3II “ 0_f grad H

.

•y* at at

que

,

atrav

é

s de (III

.

0)

,

(III

.

4) e (III

.

6)f produz

an

Dt

(III

.

7)

un

_II

grad H~

fj

O resultado (III

.

7) mostra que a velocidade de deslocamento u A&

n

ã

o depende da parametriza

çã

o (III

.

3) (j

ã

que a parametriza

çã

o

de (III

.

7), a superf

í

cie S

ë

estacionaria se realmenteF e so

-0

.

mente se,

u

n 4.2

.

Derivada Deslocamento dom

í

niot

Consideremos que o campo $ contenha em seu

para qualquer tempo

tf

a superf

í

cie S

.

Um problema de grande import

â

ncia no estudo de superf

í

cies singulares e ondas

é

c

á

lculo da taxa de varia

çã

o $ _{sobre S em rela}

çã

_{o ao tempo}

.

_Se

un

=

0 a taxa simplesmente pode ser escrita na forma

-

_g

_-

—

.

do

_Ufi

0 a mesma

ë

dada .por e mais uma parte devida ao de

£

Por isso, _{surge a necessidade}

\

o

Quan««

—

«*•

locamento de S

.

de derivada deslocamento

[

5,6,7

j.

caso em que $

ë

_{um campo espacial (}$ tem valores $_(x, t))

.

servando que (u

^

dt)n representa um deslocamento infinitesimal da posi

çã

o x

:

sobre S na dire

çã

o de n

(5

locamento do campo espacial $ em rela

çã

o a superf

í

cie S por: do'conceito

F

De in

í

cio,_r estudaremos o

Ob

definimos a derivada des

4>₍X+TU nt t+T)~ 4>(

xft

) Ôí> (x,t) lim T+O (III

.

8} ôt T

para toda posi

çã

o

x

sobre S em cada instante t

.

• Da

çã

o (III

.

8)t

defini (Ap

.

21} e (Ap

.

23) , obtemos:

$

x

₌

il

61 31 + grad y

.

u n

n

(III

.

9)

6ib 31!;

61 31 I

-

(grad vjOu

A derivada deslocamento do campo $

ë

_{interpretada como a taxa}

de varia

çã

o de $ _{sobre S em rela}

çã

_{o ao tempo vista por um ob}

-servador movendo

-

se ao longo de uma curva cuja tangente

ë

com velocidade u n (tal curva é a trajet

ó

ria normal)

.

n

Agora, consideremos o caso de um campo superficial

$ _{definido atrav}

_é

_{s de (usando (III}

.

_{3) )}

\

<

KX

,_{t )} “ _í>_(x(w1,_W?-, _{t )},_{t )}

₌

$_(cúx

,

uz

,_{t ) (III}

.

_1.0)

A regra da cadeia em (III

.

10) e o uso de (III

.

5), (III

.

6 )

(III

.

9) fornecem

,

(Ap

.

21),

e 6

$

Oco1 d

.

(soma em i) •L

du

.

ID

.j. 61 3 t

que

é

a derivada deslocamento do campo superficial

£

seguindo

Fazendo $ = m1 em (III

.

11),

a superf

í

cie S

.

temos que

i l ôco d. _(III

_.

₁₂₎ 61 x

e o par (d_{* ,} d2)

é

interpretado como a taxa de varia

çã

o

rela

çã

o ao tempo do ponto superf

í

cie (

cax

_rw

2_{) (velocidade}

um ponto superficial movendo

-

se sobre S)

.

Finalmente

,

cluimos que ovmovimento de S

ê

normal (d

^

= 0 ) se

,

e somente

n

ã

o dependem do tempo (velocidade

em de con

-1 2 os par

â

metros w* _e

w

se,

5

.

SUPERFÍCIES SINGULARES

A superf

í

cie

S(t0) da fam

í

lia S pode ser pensada com a fronteira comum entre

r

|

-

«Mt

duas regiões

ß

(t₀.) e

ß

(

to

) de Ç, como mostra a figura

[

5, 9

,

10

]

.

Consideremos o instante t ~

to

fixo

.

abaixo

Suporemos que a fun

çã

o $(*

,

t₀)

ë

_cont

í

nua nos interiores

ß

(t0) e

ß

(

to

) e também

'

que

,

para toda posi

çã

o x sobre S(t0),

os limites $ (x,

_to

) e $ _(x,

_to

_{) de} $_(y,

_to

) quando y tende pa~

4. ~~

ra x ao longo de caminhos contidos em

ß

(

_to

) e

ß

(

_to

)f respect!

vamente

,

sao definidos

.

Em cada posi

çã

o

$(*,

to

) n

ã

o precisa ser definida

.

í>(_’,

to

) em _{x atrav}

é

_{s S}(t₀₎

é

_{definido por}

de sobre S(

_to

) a fun

çã

o O salto

|

V

]

(x,. t 0) de 4"

[

>

]

= $ _(III

.

₁₃₎

Quando

[

V

]

n

ã

o se anula para todas posi

çõ

es

x

em S(t0),

fiele

S(to)

é

dita singular com respeito a $₍?

,to

)

.

que , $ _e

[

_i

]

>

a super

Observe

+

s

ã

o diferenciáveis sobre S(t₀), o

jjfj

tamb

é

m

é

diferenci

ã

vel sobre S(

₁₀

)

-mento S

é

singular em rela

çã

o ao campo

<

E>

S(t)

ê

singular com respeito a $(«, t) para cada instante t

.

cularf

se 0'

e $ _salto

A superf

í

cie em movi

-se cada . superf

í

cie

Se a superf

í

cie S

é

singular em rela

çã

o a alguma quan tldade e

[

í

gl

=

0 atrav

é

s da mesma

t

í

nua atrav

é

s de S

.

ent

ã

o a fun

çã

o $

_é

dita con

Toda a teoria de superfícies singulares

'

repousa no le Em rela

çã

o a parametriza

ç

ao (III

.

3), para cada instante t, segue do lema de Hadamard e (III

.

13) que: (Ap

.

29) e (Ap

.

33) ma de Hadamard

a

_M

• 3x (III

.

14) i i 3co 3oj

No caso do campo vetorial ou tensorial \

p

, (11.21) e (III

.

14)

fornecem'

o resultado (Ap

.

20), (Ap

.

25) (Ap

.

26) e (Ap

.

28),:

3

M

D x

-

=

[

grad I_/J

]

i t 1 3ü) 8co

5.2

.

_•Condlcoesu«* *»<_*>«4*^****í de Compatibilidade_*•** •

-

**»•«*«••*«*_•-*»*« geometricaIP*» ».-j

•>»«»**•*

Seja M uma matriz 2 x 2 com elementos a

.

. dados por:

1 3

_

_»

_{X 3x} (III

.

15) < ij

Dw

3m

21

3x

Para mostrar que M

ë

invers

í

vel, seja

₄

> o

â

ngulo entre e

dtil1

ax

_.

De (III

.

15), podemos escrever

3m2 ai ?

-«

i i

°

22(l~COS2(

J

)) a det M ï 1 (III

.

16 )

‘

hi

az

z \ • '

ax

ax

s

ã

o linearmente independentes,

Como e temos que

3m2

cos <

_f

> ₇

^

1 e segue de (III

.

16 ) que det M

Y

0

.

ï 3m

Logo, M e inversÍ

vel

.

Do conjunto base (III

.

1), escrevemos para o salto do

gradiente do campo escalar y

3

*

3x

[

grad y"

]

= ) _H” _A +

X

3 n

,

v1 2 I _3m2 3m

Xz

e X3 s

ã

o escalares

.

Definindo a quantidade b por

onde X1 ï * b

=

G

(y

,

n)

=

[

grad

yj

* _{n, (III}

.

₁₇₎ encontramos que

X

3 ~ b e 3x 3x

[

grad

yj

= ï1 + X2 + bn (III

.

17) 1 _3m2 3 m

O uso da condi

çã

o (III

.

14) era (III

.

17) e tendo em vista

15)

,

vem que

ij

-

1 (inversa de M), obtemos os elementos de M Denotando por a de (III

.

.18) que

X

.

(soma em i) 3W;L

e assim (III

.

17) pode ser escrita na forma 9

M

_s

_~

[

grad

yj

=

bn + a.1

^

(sorna em i e j)

3o)1 3_OJ3

(III

.

19)

a substitui

çã

o Para o caso do campo vetorial ou tensorial

^

19) fornece

,

de (11.21) em (III

.

(Ap

.

20) (Ap

.

25} e (Ap

.

26),

ij 3

W

9

x

[

grad

ifTj

-

h @ n +

a

i f (III

.

20)

3o1 3w

:

)

-

[

grad n

b

=

b(

_if

), n) (III

.

21)

O conjunto•(III

.

19) e (111.20)

ê

chamado de condi

çã

o

%

de compatibilidade geométrica e expressa o fato que a desconti

nuidade (salto)

ê

estendida (difundida, propalada aberta) sua vemente sobre uma superf

í

cie e n

ã

o isolada em um ponto ou uma linha

.

Se substituirmos

^

por grad ujj em (III

.

20) e depois

u

~ obtemos uma condi

çã

o geom

é

trica

• compatibilidade iterada que n

ã

o escrevemos o resultado aqui

,

mas

o mesmo pode ser encontrado em

[

5, 6

]

,

5.3c Çondiç

5

es

_

de

_

com

£

atibilidade

__

cinem

ã

tica

Como j

ã

foi visto, a superf

í

cie em movimento

guiar se cada superf

í

cie S(t)

ê

singular

.

Lembrando que a deri

vada deslocamento

ê

definida sobre a superf

í

cie S, podemos apli car o lema de HADAMARD para o espaço produto Ç x (

-crever

,

( Ap

.

29 ) e (Ap

.

34), para os campos y e \

p

respectivamen

te no lado.+ da superf

í

cie singular

ê

. sirr

-

. e o \ co_{) e es} co f +

á

x

+

(grad y ) + c u n ô t

[

dtj n (III

.

22) •»»I« ÔjJi 8\b + + (grad |IJ) L _u .n ô t

₍

_BtJ

n

Escrevendo resultado semelhante para o lado

-

da superf

í

cie

subtraindo de (III,₂₂) com o uso de (111.13) _f obtemos:

e

«

w

=

il

+

[

grad

yj

u

n

Ôt 31 n (III

.

23 ) 5

ifI

[

[

grad í

jJ

u

^

n + 61 81

0 conjunto (III

.

23)

é

chamado de condi

çã

o de compatibilidade ci

-nem

á

tica e expressa a persist

ê

ncia da descontinuidade

num intervalo de tempo

.

Quando colocamos ~ no _{lugar de} $

u

no de \

p

em (111,23) e os resultados s

ã

o agrupados com

e (III

.

23) obtemos condi

çõ

es de compatibi

-(salto )

e

grad_!<>

lidade cinem

á

tica iteradas que n

ã

o s

ã

o dadas nesse mas podem ser encontradas em

trabalho

,

[

5

,

6

,

9

]

.

5.4

.

Qi

_

teorema

_

de

_

MAXWELL

^

___

Ç

ojQdigoesmde

_

HUGONIOT

Teorema de Maxwells Se

[

y

]

₌

constante atrav

é

s da superf

í

cie singular S(t) para cada instante t

,

ent

ã

o

[

5,8

]

[

grad y

] =

bn,

onde b e a amplitude da singularidade

.

(III

.

24)

[

yj

=

constante em (III

.

14) gera qualquer vetor tangente a superf

í

~ Para provar o teorema,basta substituir

usar. o fato que {

_-

X

1 dío

*

(III

.

17) Por meio de (11.21) cie singular e observar

condi

çã

o

[

y

]

'

=

constante implica que

[

\í

]

=

Assim sendo, d teorema de Maxwell para o campo \]J

é

enun

-a pois II

é

arbitra 0

rio

.

M

=

0 atrav

é

s da superf

í

cie ciado da seguinte maneira: se

singular S(t) para cada instante t

,

então

(

grad

=

b

_@

n (III

.

25)

onde b

é

a amplitude da singularidade,

de Maxwell expressa o fato de que o salto do gradiente de campo cont

í

nuo

é

normal a superf

í

cie singular

.

(III

.

25)

é

feita substituindo (11.21) em (III

.

24)

Observe que o teorema um de A prova

com a mente Fazendo

[

y

]=

cons 0 em (III

.

23) para a superf

í

cie singular em mo

-Maxwell em (III

.

21), (Ap

.

20)

,

(Ap

.

25) e (Ap

.

26)

e

|

]

|

]

=

vimento S e usando (III

.

24) e (III

.

25), o teorema de tante

|

ï

_n n

[

grad y

]

=

-U 81 (111.26)

M

u

^

fgrad

ij

ç

j

-

-

at

®

n

,

onde

il

u b

₌

St

n

\ (III

.

27)

M

u b at

n

Dois casos particulares de (III

.

26) sao: 2

[

div

₌

-

* n, se ip

ë

um vetor at . n (III

.

28) 81b

TTF

* n

[

div

=

-

se ip

ë

urn tensor

u_{n at} t

G imediata,

basta

A prova de (III

.

28)₁ usar o _tra

_ç

_{o era}

(

III

.

26)

2, (Ap

.

3) e (Ap

.

24)

.

Para provar (III

.

28) t

-

*

\

p

II

ê

um vetor

Substituindo \

p

por ip^

HI

em (III

.

₂₈₎

e (Ap

.

24)

,

segue o resultado (III

.

28)

conside 2'

remos a grandesa

II

arbitraria tal que

\

p

e um tensor

.

quando t ,(Ap

.

20) e 1 2*

Agora

,

podemos obter facilmente uma condi

çã

o de cornpa tibilidade cinem

á

tica

iterada

com as restri

çõ

es do teorema de Maxwell, ou seja; _{substituindo y por}

(III

.

23), temos

e \

p

por grad y em

3t

6

=

ill

-

91z

-Í

1

L_9t (III

.

29) grad H

-

«u n 3t 61 n 6

[

grad

yj

il

_fgradgrad

_yj

_u

^

n grad + 91 õt 9y

entre as equa

çõ

es do conjunto (III

.

29) (III

.

27) e n

.

e Eliminando grad

-91 <5n 0,

com o uso de (III

.

24), vem que:

< 51 \ 6b 6u

ill

-

91z

-n

=

u2c

-

2u b (III

.

30) 61 n 61 n

—

onde

=

c (y, n)

=

[

gradgrad y

3

n

.

n c

condi

çã

o de compatibilidade cinem

á

tica (III

.

30)

ë

obtida quando

[

y

]

₌

constante, um resultado semelhante pode ser mostra do para o campo ip no caso de

[

ip

] =

Ent

ã

o,

Lembrando que a

0 usando o mesmo racioc

í

nio

.

óu

ili

~91z

-6b _n ï _{2 b (III}

_.

₃₁₎ u u c 61 ' n 61 n onde c

=

c(\

p

_f n) ~ (

[

gradgrad|\

Tjn

)n '_»

e (III

.

21) foi usada

.

As'

equa

çõ

es (III

.

26) s

ã

o de grande import

â

ncia no estu como

tamb

ém (III

.

28)

.

de crescimento e decaimento de ondas

problemas Em determinados

do de ondas

(III

.

31) sao bastante usadas

.

Um caso bem interessante de condi

çã

o de compatibilida

-de cinem

á

tica e aquele quando a superf

í

cie singular S e estacio

Tal condi

çã

o, através de (III

.

9) e

n

ä

ria (

u

₌

0)

.

n '

simplesmente

é

escrita na forma

(

III

.

23),

cHfl

8

M

(III

.

32)

31 81

\

ou seja: quando

un

-

0, por meio de (III

.

32)

$ _{implica tamb}

_é

_{m na continuidade de}

_-!

continuidade em 8$

e assim por diante

.

8t'

6

.

. SUPERFICIES SINGULARES ASSOCIADAS COM UM MOVIMENTO

6.1

.

*Representa« C.ua»«m>»•<>IV«***uf•/

çã

o referencial (material)

-<+f¥

-

~n•<»v»_-»_-••«*» lurt i«« ««Vd*•«« ».«•HIM•-.«* «rn«r«no fi«n «.-T/ca«a««.«o«HI> r,

Ate agora o estudo desse cap

í

tulo tem sido independen

-est

á

te do movimento de qualquer meio material,

em movimento atrav

é

s do espa

ç

o de posi

çõ

es x de acordo (II

.

6) e (II

.

8)

,

podemos olhar para (III

.

2) e definirmos fun

çã

o G pelas rela

çõ

es

Quando o meio com uma H(

x

,

t)

-

H(

_x

(X,t),t) £ G(X,t) G(X

,

t)

₌

G

í

_x

“1(

x

,t)

,

t) £ H(

x,

t) (III

.

33)

Dessa maneira

,

temos duas formas de representar uma superf

í

cie uma representa

çã

o referencial (material)

por

. G( X, t) = 0 (III

.

34)

e outra espacial (III

.

2)

.

Denotaremos por a superf

í

cie

movimento (que depende da configura

çã

o de referência K) determi

em

nada por (III

.

34)

.

.

S (t) s

ã

o duais uma da outra

.

rs

sar das superf

í

cies S(

_tQ

) e S

^

(

to

), em geral, estarem relaciona

das com o mesmo fen

ô

meno (movimento de superf

í

cies), elas rem geometricamente:

çõ

es x, enquanto que S (

_tQ

)

las, das posi

çõ

es iniciais das part

í

culas X que est

ã

o situadas

sobrç a superf

í

cie S(t )

.

Para cada instante t as superf

í

cies S(t ) e Fixemos o instante t

_to

_’ Ape

-dife

S(

_tQ

)

é

uma superf

í

cie no espaço de posi

-ê

o locus, no espaço de part

í

cu

-Todo o estudo feito para a superf

í

cie em movimento

(representa

_çã

o espacial)

ê

completamente v

á

lido para a superf

í

-cie em movimento S (representa

çã

o referencial ou material),bas .

ta que as devidas nota

çõ

es e conven

çõ

es sejam respeitadas,

sim, podemos aplicar o princ

í

pio de dualidade e escrever alguns

resultados importantes para a representa

_çã

_{o referencial ou} mate

rial, como segue:

S

.As

-Vetor unit

á

rio N (dual de n) normal a S (t), para cada instante

1C

t, em cada posi

çã

o sobre S

^(t)

* _K

.._N Grad G

~

TTG

î

TCT

_cif

(III

.

35)

Velocidade de propaga

çã

o U da superficie S (dual de u )

na representa

çã

o referencial ou material, ela depende da confi

_

gura

çã

o de refer

ê

ncia K e

ê

a medida da velocidade com que cl

superf

í

cie C atravessa o material

.

í

.J

K

valores Derivada deslocamento (dual de III

.

9)

.

Agora, $ tem

$(X, t)

il

= y + Grad y ü_N

_MN

ôt ô\

p

: = ÿ + (Grad \

p

) tl,N ôt N

Condi

çã

o de compatibilidade cinem

á

tica (dual de III

.

23)

.

Quan

-ã

uma superf

í

cie .singular com respeito ao campo $

=

[

Y

]

+

[

Grad y

_]

* U..N

Ôt N

ô

[

>

]

=

[

«

"h

[

Grad U N

ôt

Condi

çõ

es de Hugoniot (dual de (III

.

26) e (111.28))

.

Quando

[

jlQ

=

0 atrav

é

s S,

K.

[

y

]

₌

constante

e

UN

[

Grad i_/

Tj

=

-

[

ij/

j

_@

N _(III

.

₃₇₎

UN

[

Div

f

₎

« “

ffi

N

,

se ip

ê

um vetor

UN

[

piv ~

[

[

I

]

N, se ij)

é

um tensor

Dual de (III

.

30) (condi

çã

o de compatibilidade cinem

á

tica itera

-Quando

[

y

]

₌

constante atrav

é

s S

\ da)

.

K ÔR ÓU N

L

Ÿ

]

= U

^

Ç

-

2U *•_*» *_jA N fit

-

ôt p onde

-B

=

6

(y

,

N) »

[

_Grad

yj

_N e C

₌

Ô (y, N)

_-

[

GradGrad

_[

y

_]

N • _N

Dual de (III

.

31) (condi

çã

o de compatibilidade cinem

á

tica itera

-Quando

[

|

[

=

0 atrav

é

s S K

FiJ

=

* U

*

C

-

2U da)

.

(SU 6 B N B r N <St 61 onde B ~ _Ê

_|

_(i)

,

N)

=

[

Grad C

=

Ò(ijje N)

=

(

[

GradGrad_|IJ

]

N)N •A superf

í

cie S

(x.

é

dita material se,

Quando

é

material

,

K

m

ã

tica e expressa na forma (dual de (III

.

32))

e somente se

.

_UN

a condi

çã

o de compatibilidade cine

-0

.

S f ent

ã

o

l

> tamb

é

m

é

cont

í

nua, e assim por diante

.

6.2

.

Velocidade«vrj«*•*%t IM e_-.«« «MOB MMlocal CAifde propagaçaoitl>«W-* c*4(tf(:b ««'>aa-ar«í«J

e _^ 3a

Com os resultados que ternos para S e S podemos

K’

fazer um relacionam ento entre as duas representa

çõ

es

.

De (II

.

9), (II

.

10) (II

.

11), (11.12) (Ap

.

21), (Ap

.

23) e (III

.

33) podemos escrever;

t

Grad G

=

F grad H • (III

.

39)

'9H G

=

_¥

t + 9rac

^

H *

v

Usando (III

.

Q) (III

.

35) e (III

.

39) segue que;

1 t F n N _(III

_.

₄₀₎

Ü

Ftn

. F*~

^

N

n

|

|

F~

tN

é

o

trahsp

ç

sto de F

onde F Por meio de (III

.

0), (III

.

7)

,

(III

.

35)

,

(111,_{36), (III}

.

_{39) e (III}

.

₄₀₎

.

_{, ainda temos o seguin}

1 te resultado:

No cap

í

tulo II j

á

foi visto que existem infinitas

con

figura

çõ

es de refer

ê

ncia

.

Logo, temos um

n

ú

mero infinito

velocidades , uma para cada configura

çã

o de refer

ê

ncia

.

Por esse motivo,

é

importante a escolha de uma determinada refer

ê

n cia para que possamos trabalhar com uma

ú

nica velocidade

de

°

N Escolhendo o instante presente como o instante de refer

ê

ncia

UN

tem um

ú

nico valor que denotaremos por U

.

\_atrav

é

s de (11.24)

Desse modo t

of

U

ê

o valor de U..quando fazemos e (II

.

25),

N

em (III

.

41) e Grad G

=

grad H em (III

.

36)

.

de

F

₌

1 Entao

(III

.

41), (III

.

7) e (III

.

36)

,

obtemos:

U

=

u n

.

V

n

(III

.

42) SH Ô U

=

u St n

Como o instante de referencia

ë

arbitr

á

rio, ent

ã

o (III

.

42) va atrav

é

s de le para todo instante t, e podemos escrever

(III

.

41) que: t (III

.

43) F n n

.

V U

=

U u N n

A quantidade U

ë

chamada velocidade local de propaga

çã

o:

ë

o valor de

_UN

quando a configura

çã

o presente

ë

escolhida co

-mo de refer

ê

ncia

.

0 nome velocidade na configura

çã

o presente (atual) para U tamb

é

m pode ser encontrado

tar U como segue: un

ê

a velocidade de S na dire

çã

o de

velocidade de cada part

í

cula mate

-rial tamb

é

m na dire

çã

o de n

.

Assim, U

é

a velocidade de deslo camento da superf

í

cie S relativa as part

í

culas materiais

ela interpre Podemos n, (n

.

v

)n

ë

o componente da que

est

ã

o instantaneamente situadas sobre S

.

Quando o corpo

ê

identificado corn sua configura

çã

o de refer

ê

ncia, podemos trabalhar com a velocidade que e

ú

nica, pois, a descri

çã

o material e

ú

nica

.

Por

esse

motivo, em mate

-riais el

á

sticos trabalhamos com U ou , dependendo do proble

-ma

.

•

Se S

é

estacionaria (u

^

=

0), segue de (III

.

43} que: U n » _V

ê

material (U

_-

_UN

=

0) (III

.

43) for

-Por outro ladot quando

_Sj

,

nece

u n • V n

Nesse trabalho usaremos a velocidade U: em misturas a velocidade local de propaga

çã

o para cada constituinte

ê

bem de finida

.

6.3

.

Çondi

ç

oes

_

de

_

comgatibilidade

_

_

din

â

mica

A termomec

â

nica admite a possibilidade de superf

í

cies que s

ã

o singulares corn respeito ao pr

õ

prio movimento

*

por (II

.

6) e (II

.

8} e seus elementos, a densidade

definido a temperatu

-ra, a press

ã

o

,

fluxo de calor, tensor tens

ã

o, a energia

,

a

Nesse cap

í

tulo s

õ

consideraremos

t

en

-tropie e a outras grandezas

superf

í

cies singulares em que o movimento {

_>

(,

X

seja cont

í

-nuo (

[

xj

=

[

xj = [

_x

]

=

[x

=

0) atrav

é

s das mesmas

.