Treliça exercício aula 31 03 20

Exercício da aula do dia 31/03/2020

5 9 6

4 6 8

5 7

1 1 2 2 3 3 4

número de nós = 6 ==> 12 graus de liberdade - matriz K 12x12 - antes das condições de contorno

número de barras = elementos = 9 9

3 6

2 Isostática internamente e externamente

Sistema de coordenada global no nó 1!

Elemento 1

180 π 0

0,0000 sin φ1

1,0000 cos φ1

Matriz de Rigidez do elemento 1

2 sin φ1 sin φ1 cos φ1 2 sin φ1 sin φ1 cos φ1 sin φ1 cos φ1 2 cos φ1 sin φ1 cos φ1 2 cos φ1 2 sin φ1 sin φ1 cos φ1 2 sin φ1 sin φ1 cos φ1 sin φ1 cos φ1 2 cos φ1 sin φ1 cos φ1 2 cos φ1 L1 A E K1 E;L1; ; φ1A 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 K1 E;L1; ; φ1A Elemento 2

definição do ângulo do elemento 2

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 0 φ2 6 10 689,5 E 3,66 L2 0,0000 sin φ2 1,0000 cos φ2

1,0000 φ2 2 sin φ2 sin φ2 cos φ2 2 sin φ2 sin φ2 cos φ2 sin φ2 cos φ2 2 cos φ2 sin φ2 cos φ2 2 cos φ2 2 sin φ2 sin φ2 cos φ2 2 sin φ2 sin φ2 cos φ2 sin φ2 cos φ2 2 cos φ2 sin φ2 cos φ2 2 cos φ2 L2 A E K2 E;L2; ; φ2A

Matriz de Rigidez do elemento 2

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 K2 E;L2; ; φ2A Elemento 3

definição do ângulo do elemento 3

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 0 φ3 6 10 689,5 E 3,66 L3

2 sin φ3 sin φ3 cos φ3 2 sin φ3 sin φ3 cos φ3 sin φ3 cos φ3 2 cos φ3 sin φ3 cos φ3 2 cos φ3 2 sin φ3 sin φ3 cos φ3 2 sin φ3 sin φ3 cos φ3 sin φ3 cos φ3 2 cos φ3 sin φ3 cos φ3 2 cos φ3 L3 A E K3 E;L3; ; φ3A

Matriz de Rigidez do elemento 3

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 K3 E;L3; ; φ3A Elemento 4

definição do ângulo do elemento 4

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 36,81977 φ4 6 10 689,5 E 4,572 L4 0,5993 sin φ4 0,8005 cos φ4

2 sin φ4 sin φ4 cos φ4 2 sin φ4 sin φ4 cos φ4 sin φ4 cos φ4 2 cos φ4 sin φ4 cos φ4 2 cos φ4 2 sin φ4 sin φ4 cos φ4 2 sin φ4 sin φ4 cos φ4 sin φ4 cos φ4 2 cos φ4 sin φ4 cos φ4 2 cos φ4 L4 A E K4 E;L4; ; φ4A

Matriz de Rigidez do elemento 4

5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 K4 E;L4; ; φ4A Elemento 5

definição do ângulo do elemento 5

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 90 φ5 6 10 689,5 E 2,74 L5

2 sin φ5 sin φ5 cos φ5 2 sin φ5 sin φ5 cos φ5 sin φ5 cos φ5 2 cos φ5 sin φ5 cos φ5 2 cos φ5 2 sin φ5 sin φ5 cos φ5 2 sin φ5 sin φ5 cos φ5 sin φ5 cos φ5 2 cos φ5 sin φ5 cos φ5 2 cos φ5 L5 A E K5 E;L5; ; φ5A

Matriz de Rigidez do elemento 5

5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K5 E;L5; ; φ5A Elemento 6

definição do ângulo do elemento 6

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 143,18 φ6 6 10 689,5 E 4,572 L6 0,5993 sin φ6 0,8005 cos φ6

2 sin φ6 sin φ6 cos φ6 2 sin φ6 sin φ6 cos φ6 sin φ6 cos φ6 2 cos φ6 sin φ6 cos φ6 2 cos φ6 2 sin φ6 sin φ6 cos φ6 2 sin φ6 sin φ6 cos φ6 sin φ6 cos φ6 2 cos φ6 sin φ6 cos φ6 2 cos φ6 L6 A E K6 E;L6; ; φ6A

Matriz de Rigidez do elemento 6

5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 K6 E;L6; ; φ6A Elemento 7

definição do ângulo do elemento 7

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 90 φ7 6 10 689,5 E 2,74 L7

2 sin φ7 sin φ7 cos φ7 2 sin φ7 sin φ7 cos φ7 sin φ7 cos φ7 2 cos φ7 sin φ7 cos φ7 2 cos φ7 2 sin φ7 sin φ7 cos φ7 2 sin φ7 sin φ7 cos φ7 sin φ7 cos φ7 2 cos φ7 sin φ7 cos φ7 2 cos φ7 L7 A E K7 E;L7; ; φ7A

Matriz de Rigidez do elemento 7

5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K7 E;L7; ; φ7A Elemento 8

definição do ângulo do elemento 8

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 143,18 φ8 6 10 689,5 E 4,572 L8 0,5993 sin φ8 0,8005 cos φ8

0,8005 cos φ8 2 sin φ8 sin φ8 cos φ8 2 sin φ8 sin φ8 cos φ8 sin φ8 cos φ8 2 cos φ8 sin φ8 cos φ8 2 cos φ8 2 sin φ8 sin φ8 cos φ8 2 sin φ8 sin φ8 cos φ8 sin φ8 cos φ8 2 cos φ8 sin φ8 cos φ8 2 cos φ8 L8 A E K8 E;L8; ; φ8A

Matriz de Rigidez do elemento 8

5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 K8 E;L8; ; φ8A Elemento 9

definição do ângulo do elemento 9

4 2 2 10 5,10 π A 180 π 0 φ9 6 10 689,5 E 3,66 L9

1,0000 cos φ9 2 sin φ9 sin φ9 cos φ9 2 sin φ9 sin φ9 cos φ9 sin φ9 cos φ9 2 cos φ9 sin φ9 cos φ9 2 cos φ9 2 sin φ9 sin φ9 cos φ9 2 sin φ9 sin φ9 cos φ9 sin φ9 cos φ9 2 cos φ9 sin φ9 cos φ9 2 cos φ9 L9 A E K9 E;L9; ; φ9A

Matriz de Rigidez do elemento 9

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 K9 E;L9; ; φ9A

Matriz de Espalhamento do elemento 1 Matriz de Espalhamento do elemento 2 Matriz de Espalhamento do elemento 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A3

Matriz de Espalhamento do elemento 4 Matriz de Espalhamento do elemento 5 Matriz de Espalhamento do elemento 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 A5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A6

Matriz de Espalhamento do elemento 7 Matriz de Espalhamento do elemento 8 Matriz de Espalhamento do elemento 9

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A7 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A8 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A9

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; KG2 KG1 KG 6,2471 5 10 1,478 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 5 10 5,1406 0 0 0 0 0 1,478 5 10 5,8227 0 5 10 3,8484 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 0 0 0 0 0 5 10 7,3536 0,3483 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 5 10 5,1406 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 5 10 3,8484 0,3483 5 10 7,797 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 1,1065 5 10 1,478 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 0 0 0 0 1,478 5 10 1,9743 0 0 5 10 1,478 5 10 5,8227 0 5 10 3,8484 0 0 0 0 5,1406 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 5 10 6,2471 5 10 1,478 0 0 0 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 5 10 3,8484 5 10 1,478 5 10 9,6711 0 5 10 3,8484 0 0 0 5 10 5,1406 0 0 0 0 0 5 10 5,1406 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 3,8484 0 5 10 7,6969 0 5 10 3,8484 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 0 0 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 0 0 0 5 10 3,8484 5 10 1,478 5 10 5,8227 KG

Vetor de Força Global

Vetor de Força do elemento 1 Vetor de Força do elemento 2 Vetor de Força do elemento 3 Vetor de Força do elemento 4

0 0 0 0 f1 0 0 0 0 f2 0 0 0 0 f3 0 0 0 0 f4

Vetor de Força do elemento 5 Vetor de Força do elemento 6 Vetor de Força do elemento 7 Vetor de Força do elemento 8

0 0 0 0 f5 0 0 0 0 f6 0 0 0 0 f7 0 0 0 0 f8

Vetor de Força do elemento 9

0 0 0 f9

0 f9 A9 f8 A8 f7 A7 f6 A6 f5 A5 f4 A4 f3 A3 f2 A2 f1 A1 FG 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FG

Colocando as cargas concentradas

0 3 10 1,78 0 0 Ry4 0 3 10 5,34 0 0 0 Ry1 Rx1 FGmod

Aplicação das condições de contorno e cálculo dos deslocamentos em coordenadas globais - K^-1*F=u

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 3 10 1,78 0 0 0 0 3 10 5,34 0 5 10 6,2471 5 10 1,478 0 0 0 5 10 1,478 5 10 5,1406 0 0 0 0 0 5 10 1,478 5 10 5,8227 0 5 10 3,8484 0 5 10 1,9743 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 7,3536 0,3483 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 5 10 5,1406 0 0 0 0 5 10 3,8484 0,3483 5 10 7,797 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 0 5 10 5,8227 0 5 10 3,8484 0 0 0 0 5 10 5,1406 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 5 10 6,2471 5 10 1,478 0 0 0 0 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 5 10 3,8484 5 10 1,478 5 10 9,6711 0 5 10 3,8484 0 0 Reações de Apoio f u K 0,05846 0,01575 0,04549 0,02502 0,000 0,03242 0,06625 0,01852 0,04549 0,009261 0,000 0,000 5 10 6,2471 5 10 1,478 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 5 10 5,1406 0 0 0 0 0 5 10 1,478 5 10 5,8227 0 5 10 3,8484 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 7,3536 0,3483 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 5 10 5,1406 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 5 10 3,8484 0,3483 5 10 7,797 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 0 0 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 5 10 1,478 5 10 5,8227 0 5 10 3,8484 0 0 0 0 5 10 5,1406 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 5 10 6,2471 5 10 1,478 0 0 0 0 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 5 10 3,8484 5 10 1,478 5 10 9,6711 0 5 10 3,8484 0 0 0 0 5 10 5,1406 0 0 0 0 0 5 10 5,1406 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 10 3,8484 0 5 10 7,6969 0 5 10 3,8484 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 0 0 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,478 0 0 5 10 1,478 5 10 1,9743 0 0 0 0 0 5 10 3,8484 5 10 1,478 5 10 5,8227

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 1

0,0000 3564,0032 0,0000 3564,0032 0,04549 0,009261 0 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484

Mudança para coordenadas locais da barra 180 π 0 φ1 0,0000 sin φ1 1,0000 cos φ1 0,0000 3564,0032 0,0000 3564,0032 0,0000 3564,0032 0,0000 3564,0032 cos φ1 sin φ1 0 0 sin φ1 cos φ1 0 0 0 0 cos φ1 sin φ1 0 0 sin φ1 cos φ1 Barra Tracionada

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 2

0,0000 3563,2336 0,0000 3563,2336 0,06625 0,01852 0,04549 0,009261 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484

Mudança para coordenadas locais da barra

180 π 0 φ2 0,0000 sin φ2 1,0000 cos φ2 3563,2336 0,0000 3563,2336 3563,2336 0,0000 3563,2336 sin φ2 cos φ2 0 0 0 0 cos φ2 sin φ2 0 0 sin φ2 cos φ2 Barra Tracionada

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 3 0,0000 5349,2760 0,0000 5349,2760 0 0,03242 0,06625 0,01852 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484

Mudança para coordenadas locais da barra

180 π 0 φ3 0,0000 sin φ3 1,0000 cos φ3 0,0000 5349,2760 0,0000 5349,2760 0,0000 5349,2760 0,0000 5349,2760 cos φ3 sin φ3 0 0 sin φ3 cos φ3 0 0 0 0 cos φ3 sin φ3 0 0 sin φ3 cos φ3 Barra Tracionada

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 4

1335,5125 1783,7234 1335,5125 1783,7234 0,04549 0,02502 0 0 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743

Mudança para coordenadas locais da barra

180 π 36,81977 φ4 0,5993 sin φ4

0,8005 cos φ4 0,1255 2228,2870 0,1255 2228,2870 1335,5125 1783,7234 1335,5125 1783,7234 cos φ4 sin φ4 0 0 sin φ4 cos φ4 0 0 0 0 cos φ4 sin φ4 0 0 sin φ4 cos φ4 Barra em Compressão

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 5

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,04549 0,02502 0,04549 0,009261 5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Mudança para coordenadas locais da barra

180 π 90 φ5 1,0000 sin φ5 0,0000 cos φ5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 cos φ5 sin φ5 0 0 sin φ5 cos φ5 0 0 0 0 cos φ5 sin φ5 0 0 sin φ5 cos φ5

Barra sem Esforço

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 6

1336,3940 1785,0330 0,06625 0,01852 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743

Mudança para coordenadas locais da barra 180 π 143,18 φ6 0,5993 sin φ6 0,8005 cos φ6 0,0373 2229,8636 0,0373 2229,8636 1336,3940 1785,0330 1336,3940 1785,0330 cos φ6 sin φ6 0 0 sin φ6 cos φ6 0 0 0 0 cos φ6 sin φ6 0 0 sin φ6 cos φ6 Barra Tracionada

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 7

4004,5274 0,0000 4004,5274 0,0000 0,05846 0,01575 0,06625 0,01852 5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 5 10 5,1406 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Mudança para coordenadas locais da barra

180 π 90 φ7 1,0000 sin φ7 0,0000 cos φ7 0,0000 4004,5274 0,0000 4004,5274 4004,5274 0,0000 4004,5274 0,0000 cos φ7 sin φ7 0 0 sin φ7 cos φ7 0 0 0 0 cos φ7 sin φ7 0 0 sin φ7 cos φ7 Barra Tracionada

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 8 4004,7730 5349,2299 4004,7730 5349,2299 0,05846 0,01575 0 0,03242 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,1065 5 10 1,4780 5 10 1,4780 5 10 1,9743 5 10 1,4780 5 10 1,9743

Mudança para coordenadas locais da barra

180 π 143,18 φ8 0,5993 sin φ8 0,8005 cos φ8 0,0999 6682,2502 0,0999 6682,2502 4004,7730 5349,2299 4004,7730 5349,2299 cos φ8 sin φ8 0 0 sin φ8 cos φ8 0 0 0 0 cos φ8 sin φ8 0 0 sin φ8 cos φ8 Barra em Compressão

Esforços Normais - coordenadas globais - elemento 9

0,0000 3567,4668 0,0000 3567,4668 0,05846 0,01575 0,04549 0,02502 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 5 10 3,8484 0,0000 5 10 3,8484

0,0000 sin φ9 1,0000 cos φ9 0,0000 3567,4668 0,0000 3567,4668 0,0000 3567,4668 0,0000 3567,4668 cos φ9 sin φ9 0 0 sin φ9 cos φ9 0 0 0 0 cos φ9 sin φ9 0 0 sin φ9 cos φ9 Barra em Compressão