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2. CN-Cap01-Sperandio

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Academic year: 2021

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c o n c e b id o s p e la a n á lis e n u m é r ic a.

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s c ip lin a c ilc u lo nu m é r ic o n u m c u r s o e m n ív e l d e g r a d u açiio te m c o m o o b j e ıiv o p r o p ic ia r a o e s

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o m a r a m v i á v e i s.

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o u a s e r n o ta d a, u m a v e z

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o r m e to d o p r o c e s s a m e n to e le trôn ic o d e d a d o s. As r

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c n ic a s n u m é r ic a s s e

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o i c o m o s u r g im e n to d o c o m pu ta d o r n a d é c a d a d e 4 0 q u e a im p o r tânc ia d a a n á l is e n u m é r ic a c om e n c o n tr a r a p r o x im açō e s à s o lu q ā o d o m o de lo m a te m á t ic o d e n o m in a -s e a n

á li

s e n u m é r ic a.

A e a d

a m a te m á tic a q u e tr a ta d a c o n c e pçiio d e p r o c e s s o s n u m é r ic o s e e s tu d a s u a e x e q ü ib ilid a d e p a r a s

i

v a m e n te p o r p r o c e s s os n u m é r ic o s.

r e s o lv e r o m o d e lo m a t e m á tic o n u m e r ic a m e n t e s ig n i f ic a o b t e r u m a s o lu

ção, m e s m o

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u e a p r o x im a d a, e

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e m s o luç ão o u n ā o e s e a s u a s o lução é ú n ic a o u n iio in teg r a a fa s e d e r e s o luç ão .

F

e ito o u a d m itid o iss o,

F

e ita a m o d e la g e m m a te m á tic a, a

f

a s e s e g u in te co n s is t e n a r e s o lu çiio d o m o d e lo m a te m á t ic o .

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o s tr a r s e e le

1

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o m o d e lo m a te m á t ic o.

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e s te c a p itu lo a p re s e n ta m -s e c o n c e

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to s e p r in c ip io s g e ra is e m c ilc u lo n u m éń c o q u e e n tr a m n a s e ta p a s a u m m o d e lo m a te m itic o. e n er g ia e tc.

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,

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e r e laç õe s c o n s t itu tiv a s, m o

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e lo s d e tu r b u lÊn c ia e t c. . e

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a s c o n d i çō e s d e c o n t o r n o, c

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a r t ir d o p r o b le m a f ís ic o , c o m e m

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r e g o d e le is d e c o n s e r v a çā o ( q u a n tid a d e d e m ov im e n to , m as sa ,

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o luç âo '” " ‘

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o d e lo m a te m á ti M o d e la

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ro b le m a f is ic o

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s f a s e s n a r e s o luç ão d e p r o b le m a s f ís ic o s po d e m ,

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e m o d o g e r a l, se r a s s

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m r e p re s e n ta d a s

1

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1 I

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(3)

t la n a s cg ui n rĽ Ľq u açii n d c d i l r c nu rx

us a m lu

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çd yi lì n ita s q u e s c r

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u a p rĽw n t a tıo x m a il i\tl ia n te,

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x n lĽ s c R m

u ls l ' omi

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r u b lc m a n u m ćr iĽu .

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r im c ir a m e n ıc ć p re c is o tr a n sľu n n i-

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u n u m p rth l c n \ a n u m ćr ic o . A v

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1

1

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e m a n i o p o x x a s e r r e s n lv ld u n u ın c r iĽa m e n t e .

ų

u a nL ıo o m o tl c ln m a t e ın i t ic o n ā u c o n u u i a u m s e ap re s e n t a m c o m o u n i a q u a n t it lu d c fi n ita d c n ú m c m x r e a is.

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o rćm i»s o n iin q u e r tl iz e r q u e e s s e p r

E

x x e n iio ć u n ] p r o h lc m a n u ın é r ic o , u m a v c z

q

u c ta n to o s d a tlo s tle c n ır a d a c o m o o s de s a id

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e re s o lv e r a eq u a ç iio d i t ' c rc n c

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n l o rt l \ n i r i a

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2

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u m p r u h le m a n u m ćr ic o , t e n

d

o e m v is t a q u e o s d a d o s d e e n t r a d a e tle s a id a s ilo c o n j u n to s n u m

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e te r m in a r a s s o l uçiie s d a e q u açìio

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u e x iio a s v a r iáv e is in d ep e n d e n t e s e o s p a r iim c tr o s d u m o d e lo m a te m it ic o, e o s

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a du x d e x a i d a ) p a r a o p r o b le m a xäo c o n

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u n to s n u m é r ic o s f in ito s.

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m , u m a r e

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n n\ id e r a -s e q u e u n ] p ro b le m a é n u m ėr ic o q u a n d o ta n to o s d a d o s ( d a d o s d c e n tr a d a ) c o m o o s r e s u lta d o s

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iipa d e p r o h le m a ųu E ć r e s o lv id o p o r m e in d e c ilc u lo n u m é r ic o d e n o m in a -s e

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r o b le m a n u m é r ic o .

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irıte g r a l e d a i lge b r a l i n e a r e c o n h e c i m e n to s b ix ic o s d e p r o g r a m aç ão p a r a c o m p u t a d o r e s d ig ita is.

d i

m e n m d , : e p r oc e d im e n t o s n u m ćr ic o x e x ig e c o n h e c im e n to p rćv io tıe c o n c e ito s d o c iilc u lo d ife r e n

Ľia l e v a n ta ge n s e O S c u id a d o s p a r a u i -

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o\ ,

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e s d e as p e c to s te ó r ic o s a tć a im p lc m e n l açiio c o m p u t a c io n a l.

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exïe te x t o s iio a p r ew nïa d o s o s p r i n c ip a is m ćl n d o x n u m ćr ic o s, C o m o u t

ili

z á-

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o s, s u a s r e s t r i çō e s. su as c o n tr a T u m a o u q ā o an a M m , c o m o n e s se c a s o .

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o d e. S C M

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r a n d e s tl

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c u ld a d v s, SC R o

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tidil p o r m e io d o c i ıc u lo n u m ćr ic o , m e s m o

q

u a n d o ė im p os s iv e l e u rn a . N l uţ iio d a e t l u açìio

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c il d c s e r o h ıitl a. A s t. c n

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ca s n u m c r

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c ax p o tlc m s e r e ın p r c g a,

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a s s e m m a io r e s d if ic u ld a d e s.

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o r e x e m p lo.

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n u m M c o te m s u a

impnmncia

c e n tr atl a n o ħn n d e w e . M e s n lo

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u a n d o a s n iu çā o a n a lih c a

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(4)

f

u nţ iio lin e a r n u m d e te r m in a d o in te r v a lo d o d o m ín io d a s f u n qõe s.

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o r u rn a o u tr a.

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a d e m a n u s e io m a is s im p le s.

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o r e xe m p lo, a

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r o x im a r u m a fu n çā o n iio-

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ne a r p o r u n i a

O

u tr a id é ia a q u e fre q ü e n te m e n te s e r e c o r re n o c á lc u lo n u m é r i c o é a d e ap r o x im a ç ão lo c a l d e u m a f u n çiio

1

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e s t e d e p a r a d a : é o in s tr u m e n to p o r m e io d o q u a l o p r o c e d im e n to ite r a t iv o é f in a l iz a d o .

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e r açō e s o u a s a p ro x im açō e s s u c e s s iv a s p a r a a s o l u ç ão d e s e

j

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(

ii) E q

u açiio d e r e c o r r ê n c ia : e q u açā o p o r m e io d a q u a l,

p

a r tin d o -s e d a te n ta t iv a in ic ia l, s

ā

o re a liz a d a s a s n u m ér ic o.

(

i)

T

e n t a t i v a i n ic ia l : c o n s is te e m u m a p r im e ir a ap r o x im a çā o p a r a a s o l u ç ão d e s e

j

a d a d o p r o b le m a m é to d o ite r a t iv o s e c a r a c te r iz a p o r e n v o lv e r o s s e g u in te s e le m e n to s c o n s t it u tiv o s a m p lo .

I

te r a çā o x ig n if ic a a r e p e tiqão d e u m p r o c e s s o.

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r a n d e p a r te d o x m é to d o s n u m é r ic o s é ite r a t iv a .

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m a d a x id é ia s f u n d a m e n ta is d o c á lc u lo n u m é r ic o é a d e

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o u a p ro x im a çā o s u c e s s iv a.

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u m s e n ti d o

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o S u c E S S IV A

r a t iv o s c u

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a id é ia s e r á e n f o c a d a a s eg u ir.

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e s s e c a s o , e m

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e r a l te m -s e pa r a n ap e n a s ilm a c o t a s u p e r io r. m os'

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a q u e le s q u e s ā o p r o c u r a d o s.

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n ú m e r o n p o d e não s e r c o n h e c id o a p n o r i.

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o c a s o d e a l g o ń t m o s it u m n ú m e r o f in ito d e op e r aç ôe s.

A

o f im d e s s es n p a s s o s, O a

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o r itm o d e v e f o r n e c e r v a lo r e s a o m e n o s ' p r óx tu d o r p o d e r e a l i z a r.

D

e s s a f o r m a , u m a

lg

o r im i o c o n s is te d e u m a s e q ü ê n c ia d e /ı p a s s o s, c a

d

a u m e n v o lv e n d o

m a c i o

em d a d o s d e s a íd a.

P

o r o p e r a çō e s b e m d e f in id as e n te n d e m -se a s a n tm é tic a s e ló g ic a s q u e u m c o m p c r iq iio c o m p le ta d e o p e r açō es b e m d e f in id a s p o r m e io d a s q u a is o c o n

j

u n to d e d a d o s d e e n tr a d a é t r a n s fo

É

a d es c r iq iio s e q ü e n c ia l d o s p a s s o s q u e c a r a c te r iz a m u m m é to d o n u m é r ic o .

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a lg o ri tm o f o r n e c e u m a de

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3

.

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L G O R IT M O

r ex o l u çā o ).

(iii)

ťs f o r q o c o m p u ta c io n a l d ex p e n d i d o ( t e m p o d e pr o c e s s a m e n t o , e c o n o m

i

a d e m e m ó r i a n e c e s s iiń a p a r a a

\ ii)

c a p a c id a d e d o m é to d o e m c o n d u z ir a o s r e s u lta d o s d es e

j

a d o s ( v e lo c id a d e d e c o n v e r g ê n c ia ). e

( i)

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r e c is iio d es e

j

a d a p a r a o s r e s u lta d o s

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a d o m é to d o n i a is e f ic ie n te p a r a r e s o lv e r u m p r o h le m a n u m é r ic o d e v e e n v o l v e r o s a s p e c t o s

p

r o b le m a n u m ér ic o o u u ln c o n

j

u n to d e p ro ce d im e n to s u s a d o s p a r a r e s o lv e r u m p r o b le m a n u m é r ic o .

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to d o n u m é ri c o é u m c o n

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u n to d e p r o c e d im e n to s u t

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z a d o s p a r a tr a n s f o r m a r u m m o d e lo m a t e m á t ic o n u m

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a f u n çā o s o luç ão .

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u e s ìio ig u a lm e n te e s p aç a d o s d e h . c o n

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un to f in ito d e n ú m e r o s .

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es o lv ê-

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o im p l ic a c a lcu la r .vt,. v , '" . . l ,

q

u e s ìio o s v a lo r e s a p r o x im a d o s o n d e . v, -. \

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-r ,

)

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r o b le m a ( ı .

2 ) é

a g o r a u m p ro b le m a n u m é r ic o.

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o is o s d a d o s d e e n tr a d a f o r m a m u m

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e f (b ) = P ( b

)

,

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os s ív e l m o s tr a r q u e

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r o x im a n d o

f

p

o r u m P o linôm io d e g r a u d o is ,

P

y ta l q u e f (a ) = p . \ a ), .

F

(

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a + b )/2 ) = p . ( ( ü + b

v

2 )

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ur a 1.

2

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n te rp re ta ç ão g e o m ėtric a d a reg ra d e S im p s o n (. + b ) b

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y -f ì, ) y- p j . \ v 4

c

o n s id e r e o pr o b le m a d e c a l c u la r a in te g r a l / = /,

ı

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×w 【 a ,

b

E īR

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x e m p lo 1

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4

F ig

ura 1.

1

I

n te rp re ta çā o g e o m ėtric a d o m é to d o d e N e w to n-

R

a p h son,

E

x e m p lo 1

.

3

(

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LC U LO N u M é R Ic o

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o u s u ári o p a s s a s e u s d a d o s n a b a s e d e c im a t , e

t

o d a a in fo r m a ç ão é c o n v e r tid a p a r a a b a s e b in áń a p e lo c o mp

N

a in te r a q ā o e n tr e o u s u á F io e o c o m p u ta d o r q u e o p e r a n a b a s e b in á r ia,

p

o r e x e m p lo, o c o r r e o s e

g

u in te n e n te s p o d e m in d ic a r d o is e s ta d o s f ís ic o s d is tin to s : 0 o u 1 .

0

u tr a s ,

p

o r e x e m p lo, o

p

e r a m na b a s e 8 (o c ta l). s e r r e pr e s e n ta d o e m q u a lq u e r b a s e.

E

x is te m m á q u in a s q u e o p e r a m n a b a s e 2 ( b in áń a ),

i

s to é. se u s c

o

mp

É

u s u a l r ep r e s e n t a r e r e a l

i

z ar o p e r a çō e s c o m n ú m e ro s n a b a s e I O ( d e c im a l), m a s u m n

ú

m e r o r e a l p o d e

A lé

m d is s o , u m n

ú

m e r o p o d e te r F e p r e s e n ta çā o ħ n ita e m u m a b a s e e nã o f

i

n it a e m o u tr a ( v e

j

a o

E

x e m p lo 1.

6 )

.

d

o a o s e r r o s d e a r r e d o n d a m e n to .

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u a n to m a io r o n ú m e ro d e d í g ito s u t iliz a d o s a p ó s a v írg u la. M a

i

o r s e r á a

p

r e c is ā o . r e p r e s e n ta d o s p o r m e io d e u m n ú m e ro fin ito d e dĺ g ito s n iio f o r n e c e r á c o m o r e s u lt a d o u m v a lo r e x a to , d ev m a de d íg ito s u s a d o s n e s s a r e p r e s e n t a q ā o .

E

n tiio ,

q

u a lq u e r c á lc u lo q u e e n v o lv a n ú m e r o s q u e n iio p o d e m s e r n a, e a r e

p

r e s e n ta ç äo ,

P

o r s u a v e z,

d

e p e n d e d a b a s e e m q u e s ā o e s c r it o s o s n ú m e r o s e d a q u a n t id a d e m üc

D

e s s a f o r m a, o s e r r o s

d

e a r r e d o n d a m e n to d e p e n d e m d e c o m o o s n ú m e r o s s iio r e p r e s e n ta d o s n a m á qu

d

o v a lo r d e r r.

es s e s r e s u lta íio s s ìio a

p r o x im açō e s p a r a o p e r ím e tro d e v id o a o e r r o d e a r r e d o n d a m e n to c o m e tid o n a e s c o lh a

3

.

14

.

3

.

14 16

e 3 .

14 15 9 2 6 5 4

, o

b

m -Se a s s e g u in te s a p r o x im açō e s : 6 2 8 m 6 2 8,

3 2

m , e

6 2 8

.

3 18 5 3 0 8

m .

T

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P

a r a o c iilc u lo d o p e r ím e t r o d e u m a c ir c u n fe r ê n c ia d e r a io 1 0 0 m , t o m a n

d

o p a r a n r e s p e c t iv a m e n te re p r ex e n taçā o p a r a o n ú m e r o I / 3 te m -s e e n o d e a r r e d o n d a m e n to . e a p r ó p r ia m e m ó r ia d a m áq u in a s ìio f in it a s .

P

o r e x e m p lo,

ı

/3

= o ,

3 3 3 3

...

p

o r ta n to ,

1/3

= 0 ,

3 3 3 3

, e n e s s a s e n ta d o s p o r in f in ito s d íg ito s, n a m

áq

u in a is s o n ā o é p o s sĺv e l, t e n

d

o e m v is ta q u e u m a p a la v r a d a m e m ōń a n ā o v a le r e m q u a n d o e x e c u t a d a s n o c o m p u t a d o r,

p

o is, e n

q

u a n to n a m a te m á tic a a l g u n s n ú m e r o s s i o r e p r

O

s e r r o s d e a r r e d o n d a m e n to s u r g e m d e v id o a o f a to d e a lg u m a s p r o p r ie d a d e s b á s ic a s d a a r itm é tic a r e a l s im p l if i c a çō e s r e a liz a d a s s e c o n s titu e m e m fo n te de e r r o s , O

q

u e Po d e im p l ic a r a n e c e s s id a d e d e r e f o r m ul

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ii

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Referências

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