O ENSINO DO CONCEITO DE FUNÇÃO NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA UECE
Luciana de Lima – UECE – proluli@gmail.com Maria Gilvanise de Oliveira Pontes – UECE – gilvanisepontes@hotmail.com Resumo
O objetivo deste trabalho é divulgar os resultados de uma pesquisa desenvolvida no Mestrado em Educação da Universidade Estadual do Ceará (UECE) diante dos problemas existentes na Formação do Professor de Matemática no Brasil: supervalorização dos conteúdos matemáticos, divisão entre disciplinas específicas e pedagógicas, valorização de conteúdos procedimentais em detrimento dos conceituais e desvalorização dos conhecimentos prévios dos licenciandos. Dentre todos os conceitos matemáticos existentes, o conceito de função foi aquele escolhido para o desenvolvimento da pesquisa pelo fato de ser muito utilizado em uma boa parte da vida acadêmica do aluno, e também por suscitar dificuldades tanto para discentes quanto para docentes. A proposta é compreender como o aluno do 1º ano do Curso de Licenciatura em Matemática da UECE reformula o conceito de função diante de uma experiência de ensino-aprendizagem baseada na Teoria da Aprendizagem Significativa de David Ausubel. A pesquisa se caracterizou como um Estudo de Caso e foi realizada entre os meses de junho e outubro de 2007 com um total de 4 alunos voluntários recém-ingressos à Universidade. Subdividiu-se em duas etapas: Levantamento e Intervenção. Na 1ª etapa foram utilizadas Entrevistas e Questionários com o objetivo de mapear os conceitos prévios que os alunos apresentavam sobre função. Na 2ª etapa, foram utilizados os quatro Princípios Programáticos de Ausubel: Diferenciação Progressiva, Reconciliação Integradora, para que os conceitos fossem trabalhados tanto na teoria quanto na prática de resolução de pequenos problemas; a Organização Seqüencial, com a utilização de Mapas Conceituais; e a Consolidação, com o desenvolvimento de modelagem de problemas. Concluiu-se que os alunos modificaram seus conceitos iniciais após todo o processo de intervenção e que essa modificação aconteceu de forma significativa, o que pode contribuir para se repensar a formação do professor de matemática.
Palavras-chave
Conceito de função, Formação do Professor de Matemática, Aprendizagem Significativa, Mapas Conceituais.
Os problemas na formação do professor de matemática
Os saberes matemáticos são muitas vezes considerados tanto por alunos quanto pelos próprios professores como um saber de difícil compreensão, acessíveis a pessoas devidamente capacitadas. Não gostar de estudar Matemática, apresentar um sentimento de aversão em relação ao conteúdo e se conformar com o baixo rendimento na aprendizagem são atitudes que se tornam conseqüências da compreensão que atualmente se tem sobre o conhecimento matemático.
Os professores acusados de não saberem mais ensinar Matemática, de não apresentarem um conhecimento matemático adequado e profundo para desenvolverem junto com seus alunos as habilidades e competências necessárias para a garantia de uma aprendizagem com significado, sofrem com essas conseqüências não somente pelas supostas acusações, mas também por perceberem que seus objetivos enquanto educadores não estão sendo alcançados.
Conhecer e investigar como surgiu a figura do professor de matemática no contexto histórico brasileiro, como se desenvolveu seu processo de formação, quais os conhecimentos estudados e quais as relações estabelecidas entre esses conhecimentos, podem auxiliar na compreensão dos problemas dessa formação.
O professor de matemática que iniciava o século XIX no Brasil apresentava, de acordo com Valente (2005), uma característica de professor catedrático, o detentor do conhecimento. Era admitido por meio de concursos idênticos aos realizados para o ingresso no magistério de ensino superior com defesa de tese, prova escrita e prova didática, considerada mais como uma avaliação oral do que propriamente uma avaliação de suas condições para ser professor.
Foi Euclides Roxo que, na década de 20, ao propor modificações para o ensino de Matemática no Brasil renovou a formação do professor da área. Em sua concepção, o professor de matemática demonstrava pouco conhecimento sobre as inovações na área do ensino. Seria necessário criar uma escola normal para os professores secundários, formando-os diante de um cultura especializada, com conhecimentos de psicologia, de novas metodologias e de pedagogia.
Em 1934, com a fundação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP e em 1939 com a fundação da Faculdade Nacional de Filosofia do Rio de Janeiro foram criados os primeiros cursos destinados à formação do professor secundário, servindo de modelo para os outros cursos do país. Esses cursos eram constituídos pela formação de Bacharel em 3 anos e pela formação do Licenciado em 1 ano.
Porém, até a década de 90, ou seja, num período de 60 anos, essa configuração dicotômica na formação do professor de Matemática perdurou. Nos cursos de Licenciatura em Matemática, as disciplinas específicas eram estudadas nos primeiros três anos, para que as disciplinas pedagógicas fossem ministradas no último ano de graduação seguida do estágio supervisionado. Minha própria formação como profissional da área, na Universidade Federal do Ceará (UFC), entre 1990 e 1994 se desenvolveu diante desse perfil.
Garnica (1997) reunindo as discussões realizadas nos I, II e III EPEM (Encontro Paulista de Educação Matemática) no período entre 1992 e 1994 revela os problemas conseqüentes de uma formação que apresenta esse modelo. Dentre elas, a supervalorização dos conteúdos específicos da matemática em detrimento de uma conotação social, política e cultural de seus conteúdos, e, a divisão da formação em específica e pedagógica como prejudicial para o desenvolvimento de uma concepção do futuro do professor acerca da realização de seu trabalho.
Outros problemas que surgem diante da utilização estagnada desse modelo de formação são apresentados por autores contemporâneos que exploram o tema em seus trabalhos de pesquisa. Para Paiva (2002), o fato do ensino não partir do conhecimento prévio dos alunos, sem considerar relevantes suas experiências profissionais mínimas pode comprometer o significado que esse aluno atribui ao seu desenvolvimento acadêmico e profissional. Campos (2004) complementa que essa formação valoriza aspectos como a atenção, a memorização, a fixação de conteúdos e o treino procedimental com atividades mecânicas e repetitivas.
Diante de uma formação centrada no paradigma da racionalidade técnica herdada do positivismo, de acordo com o pensamento de Cyrino (2006), o aspecto humano do aprender ainda é pouco considerado. Além disso, a aprendizagem de assuntos básicos voltados para o Ensino Fundamental e Superior, bem como, a aprendizagem específica de conceitos são, muitas vezes, suprimidos dos currículos das instituições de ensino superior que se propõem a desenvolver um trabalho voltado para a formação do professor de matemática.
Por outro lado, as pesquisas desenvolvidas nessa área do conhecimento, assim como as discussões desenvolvidas pelos grupos de trabalho em encontros regionais, nacionais e internacionais em Educação Matemática, têm contribuído para que as mudanças na estrutura e no funcionamento desses cursos ocorram. Pires, Silva e Santos (2006) constataram que os conteúdos básicos voltados para os ensinos fundamental e médio já estão sendo incorporados na grade curricular de alguns cursos de Licenciatura de Matemática no Brasil. Constataram também que existe uma motivação por parte das instituições de nível superior em reverter o quadro atual da formação desse profissional. As dificuldades relacionadas à compreensão do conceito de função
As dificuldades na formação do professor de matemática não se baseiam somente em problemas intrínsecos à estrutura e ao funcionamento dos cursos de formação. Os conteúdos matemáticos, por si só, já apresentam dificuldades próprias
superadas pelos matemáticos no decorrer da história, mas refletidas no processo de ensino-aprendizagem em sala de aula, tanto por alunos quanto por professores.
Devido à valorização da aprendizagem dos procedimentos matemáticos nessa formação, os alunos pouco exercitam o desenvolvimento da elaboração de conceitos matemáticos. Esse aspecto pode trazer problemas para a superação das dificuldades que possam apresentar em relação à compreensão desses conteúdos.
Dentre os mais variados conceitos que a Matemática apresenta, o conceito de função, de acordo com Rego (2000) e Lopes (2003), por ser um conhecimento muito utilizado pela própria matemática e para a modelagem das situações da vida real, deve ser estudado e compreendido na formação docente. Revelam também que esse conhecimento especificamente é aquele que suscita dúvidas e polêmicas em sua formalização. Dessa forma, o aprofundamento da compreensão desse conceito se torna relevante, em especial na formação do professor de Matemática, já que será um conteúdo a ser desenvolvido e utilizado em sala de aula.
Historicamente, Sierpinska (1992) revela em seus estudos epistemológicos que o conceito de função já era utilizado nos primórdios da civilização humana, entre babilônios, egípcios e gregos. Esse conceito sofreu ao longo do tempo diversas modificações que ressaltavam, muitas vezes, as necessidades sociais e científicas de cada época.
É de se esperar, portanto, que esse conceito não seja realmente compreendido pelos alunos em geral com tanta facilidade ou rapidez que a escola atual impõe aos professores. Alunos do Ensino Fundamental II e Ensino Médio apresentam seus primeiros contatos e aprofundamentos com o conceito de função nesse período. Moura e Moretti (2003) demonstram que os alunos apresentam diversas dificuldades na compreensão desse conceito o que os leva a terminar seus estudos básicos sem compreender de fato o que é uma função matemática.
Dubinsky e Harel (1992), Bianchini e Puga (2004) apresentam em seus trabalhos as dificuldades específicas dos alunos do ensino superior em relação a esse conceito em questão. Um erro muito comum cometido pelos alunos é a troca conceitual entre o conceito de função e o conceito de equação, bem como a dificuldade em distinguir entre variáveis dependentes e independentes.
Professores, tanto em formação inicial quanto em formação continuada, também apresentam dificuldades em compreender esse conceito. Carneiro, Fantinel e Silva (2003) e Rossini (2006) revelam que as dificuldades apresentadas por esses
profissionais se assemelham às dificuldades apresentadas pelos alunos. Isso leva a crer que seja necessário o auxílio do professor em formação no sentido de modificar sua compreensão do conceito de função e de reconstruí-lo de uma forma que contribua significativamente para seu desenvolvimento profissional.
Objetivos
Diante dos problemas extrínsecos e instrínsecos relacionados à formação do professor de matemática é que se propõe o desenvolvimento de uma pesquisa que permita compreender como os alunos da formação inicial em matemática da Universidade Estadual do Ceará (UECE) reformulam o conceito de função a partir da experiência de uma Aprendizagem Significativa pautada nas idéias básicas de David Ausubel (1968).
O que se pretende investigar a princípio são os conceitos que esses futuros professores apresentam sobre o conceito matemático de função. Num segundo momento a busca investigativa se pauta no desenvolvimento gradativo das possíveis transformações conceituais que os alunos apresentam no decorrer das discussões sobre o conceito matemático em questão.
Metodologia
A pesquisa, já concluída, por se preocupar com processos de aprendizagem subjetivos, por investigar um fenômeno contemporâneo dentro de um contexto da vida real na formação do professor de Matemática, e, por não exigir o controle desses eventos comportamentais, caracteriza-se, de acordo com os pressupostos de Yin (2005) como uma pesquisa de cunho qualitativo e paradigma interpretativo, um Estudo de Caso.
Foram quatro alunos do 1º ano da Licenciatura em Matemática da UECE no período de 2007.1, dentre eles, três mulheres e um homem, os participantes da pesquisa. A escolha desse grupo aconteceu de forma aleatória. Após a autorização do Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática e do professor da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, do período diurno, uma conversa com os alunos dessa turma foi realizada com a finalidade de explicar a pesquisa e seus objetivos para que suscitasse o interesse na colaboração e participação voluntária. Os encontros foram realizados na própria Universidade, todas as terças-feiras e quintas-feiras, entre as 17h e 18 horas na sala 1 do Bloco G, após ter sido acordado com os participantes.
Ao investigar aspectos relacionados à compreensão do conceito de função, a pesquisa apresenta um caráter exploratório, caracterizando a etapa do Levantamento. Ao
investigar as diferentes maneiras que ocorre a transformação do conceito de função para os alunos participantes do processo investigativo, a pesquisa apresenta um caráter descritivo, caracterizando a etapa da Intervenção.
O objetivo da primeira etapa é contextualizar o estudo e conhecer os alunos participantes, no que diz respeito a sua formação escolar, seus conhecimentos sobre função, suas dificuldades, e erros conceituais cometidos ao tentar reestruturar mentalmente os conceitos que se relacionam de forma direta ou indireta ao conceito em questão.
A princípio foi desenvolvida uma entrevista com os alunos para que pudessem falar de sua história escolar, de sua relação com os conteúdos matemáticos, com o conceito de função e suas dificuldades em compreendê-lo.
Em seguida, foi aplicado um questionário, subdividido em perguntas teóricas e problemas contextualizados enfatizando conceitos mais específicos que pudessem estar intrinsecamente relacionados ao conceito de função, tais como: expressão algébrica, equação, variável, incógnita, variável dependente, variável independente, conjunto, domínio, contradomínio e imagem. As perguntas foram desenvolvidas após a fase da entrevista para que detalhes pudessem ser investigados sobre a compreensão que os alunos apresentaram a priori sobre os conceitos relacionados ao conceito de função.
O objetivo da segunda etapa é compreender como acontece o processo de reconstrução desse conceito diante de um processo interventivo que valorize seus conhecimentos prévios e permita a reformulação conceitual a partir da reflexão sobre esses conhecimentos e novas estruturas conceituais apresentadas. Ela se subdivide em três fases: diferenciação progressiva e reconciliação integradora, organização seqüencial e consolidação, conforme os pressupostos apresentados por Ausubel (1968) nos Princípios Programáticos da Aprendizagem Significativa.
Na fase 1, os alunos foram estimulados a discutir sobre os conceitos que compõem o conceito de função e a organizá-los de forma hierárquica descendente, do conceito abrangente para o específico, e ascendente, do conceito específico para o abrangente. Todos os encontros foram gravados, e, após cada reunião, que apresenta duração de 1 hora, em média, foram transcritas as discussões, ressaltando a fala de cada integrante do grupo, preservando-lhes a identidade. Além disso, os alunos preencheram protocolos e registraram por meio da escrita suas respostas às perguntas sugeridas em cada discussão das atividades propostas.
Na fase 2 os alunos construíram mapas conceituais dos conceitos discutidos e organizados na fase anterior, integrando-os em uma única representação. Os próprios mapas conceituais foram utilizados como instrumentos de análise.
Na fase 3, os alunos aplicaram seus conhecimentos reformulados para resolver problemas sobre o conceito de função utilizando os conceitos apresentados e discutidos nas fases anteriores. As resoluções dos problemas propostos com suas respectivas justificativas para a utilização do conceito de função também foram utilizados como instrumento de análise.
Após cada encontro, os dados coletados, tanto nos protocolos quanto nas gravações de voz, foram organizados em banco de dados eletrônico por meio da utilização de tabelas, consultas, formulários e relatórios. A análise dos dados se baseou nos pressupostos de Stake (1998) buscando-se a compreensão dos fenômenos por meio de uma descrição dos fatos obtidos de forma cronológica sem esperar uma explicação causal. Dessa forma, os episódios foram observados e representados por meio de uma interpretação direta dos relatos para que o leitor possa compreender o fenômeno estudado.
A estratégia de análise se baseou na triangulação dos dados obtidos a fim de garantir a validação da pesquisa ao tentar reduzir ao mínimo as falsas representações e interpretações. De acordo com a tipologia de estratégias de triangulação preconizados por Stake (1998), foram utilizados nessa pesquisa dois tipos: a triangulação de fontes de dados e a triangulação metodológica. No primeiro caso, buscou-se verificar se os alunos reformularam o conceito de função sob diversos pontos de vista dentro de cada fase da etapa de Intervenção. No segundo caso, buscou-se confrontar os resultados obtidos com os dados coletados em diferentes instrumentos: questionário, observação, análise documental e entrevista.
A pesquisa teve início em junho de 2007, com a aplicação de uma pesquisa piloto cujo objetivo principal foi a testagem dos instrumentos produzidos para as etapas previstas. Essa aplicação aconteceu no Centro Federal de Ensino Tecnológico do Ceará (CEFETCE) pelo fato dessa instituição apresentar características semelhantes às da UECE no que diz respeito à formação inicial de professores de Matemática. A coleta de dados terminou em outubro de 2007 e as análises em dezembro do mesmo ano.
Resultados
Serão divulgados neste trabalho alguns fragmentos dos resultados obtidos na pesquisa, considerando a limitação de espaço e tempo de apresentação. Foi escolhido
portanto os dados coletados de apenas um integrante, para que a trajetória conceitual sobre função possa ser analisada.
Essa aluna escolhida faz o curso de Licenciatura em Matemática na UECE e o curso de Bacharelado em Matemática na UFC. Aos 21 anos, não tem experiência em sala de aula, a não ser para alguns alunos que precisaram de aulas particulares nos últimos 7 anos. Seu objetivo é se tornar professora de matemática e seguir uma carreira acadêmica realizando cursos de pós-graduação.
Em entrevista realizada no dia 02/07/2007, com duração de 34 minutos, afirmou não ter muita intimidade com o conceito de função e sentir dificuldade em explicá-lo, inclusive de enunciá-lo. Definiu função da seguinte maneira “Considerando dois conjuntos A e B, chama-se função a relação que existe entre o conjunto A com o conjunto B, uma certa lei de formação, a lei da função, (...) um elemento no conjunto A pode ter uma única imagem no conjunto B”.
Em questionário aplicado no dia 09/07/2007, com duração de 33 minutos, essa aluna afirmou que “Função é uma relação que ocorre geralmente entre dois conjuntos que utiliza uma característica para relacionar os elementos desses conjuntos”. Ao ser questionada sobre a possibilidade de uma expressão algébrica e de uma equação representarem uma função, respondeu da seguinte maneira “Uma expressão algébrica não pode representar uma função, pois não há como corresponder os elementos do domínio com os do contradomínio” e “Uma equação pode representar uma função, pois há como utilizar uma correspondência entre os elementos do domínio e do contradomínio”.
Para essa aluna, o conceito de função está associado à relação entre dois conjuntos: domínio e contradomínio, à lei de formação que considerou como uma característica da função e pela unicidade da imagem. Pode-se considerar que esses são os conhecimentos prévios, ou seja, seus subsunçores sobre função. São seus elementos básicos em sua estrutura cognitiva.
O trabalho de intervenção se iniciou em 19/07/2007 sendo que os 7 primeiros encontros foram destinados às discussões de alguns conceitos preliminares e suas relações, tais como: expressão algébrica, variável, expressão numérica, equação, incógnita, variável dependente e variável independente. Todos os encontros foram gravados, com a autorização de todos os participantes e transcritos posteriormente. Além disso, na Fase 1 da 2ª Etapa, os alunos trabalhavam individualmente, preenchendo seus protocolos de pesquisa e participavam em conjunto nas discussões verbais.
A seqüência das discussões se baseou na relação entre Diferenciação Progressiva e Reconciliação Integradora, como os primeiros Princípios Programáticos da Teoria de Ausubel (1968). Os conceitos mais abrangentes eram apresentados para que os conceitos mais específicos pudessem ser discutidos. Esse momento se subdividiu em duas partes: a 1ª com discussões teóricas sobre os conceitos utilizando-se dicionários de matemática e da língua portuguesa, e, a 2ª com discussões sobre situações práticas utilizando-se problemas simples que pudessem suscitar dúvidas conceituais. No momento final, fazia-se o esquema inverso, primeiramente apresentava-se os conceitos mais específicos para que os alunos refletissem sobre o conceito geral com a finalidade de estabelecer uma maior conexão e diferenciação entre os conceitos estudados.
Assim, ao apresentar a evolução histórica do conceito de função, bem como o conceito de Dirichlet que data do século XIX, os alunos tiveram seu primeiro contato com um novo conceito sobre função em 21/08/2007, num encontro que durou 68 minutos. Dirichlet define função da seguinte maneira: “Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é função da variável x” (Braga, p. 15).
Após o levantamento dos principais elementos dessa definição, bem como as discussões sobre problemas reais relacionados ao conceito de função, a aluna em questão concluiu que “Função é uma relação de dependência entre variáveis que para cada valor de x relaciona um único valor de y que obedece uma regra”.
É importante perceber que tanto seu conceito inicial sobre função se alterou quanto o conceito oficial de Dirichlet não foi captado na íntegra, apenas em parte. A função que era uma relação entre conjuntos para a ser uma relação de dependência entre variáveis, e, a lei de formação que antes era uma característica, passa agora a ser uma regra a ser obedecida. O valor único de y, por outro lado, não foi citado. Todos esses acontecimentos exemplificam o que Ausubel desenvolve sobre a Teoria da Assimilação. Para este autor, quando um novo conceito entra em contato com um conceito já existente, o subsunçor, ambos os conceitos se modificam, iniciando o processo da Aprendizagem Significativa.
Um conceito mais formal sobre função foi apresentado em 30/08/2007, num encontro que durou 72 minutos. Esse novo conceito utiliza a Teoria dos Conjuntos e reelaborado por Elon Lages Lima, já no século XX. Este autor define função como: “Dados os conjuntos X, Y, uma função f: X -> Y é uma regra que diz como associar a
cada elemento x pertencente a X um elemento y = f(x) pertencente a Y. O conjunto X chama-se o domínio e Y o contradomínio da função f. Para cada x pertencente a X, o elemento f(x) pertencente a Y chama-se a imagem de x pela função f, ou o valor assumido pela função f no ponto x pertencente a X”. O autor acrescenta posteriormente as condições necessárias para que uma função exista, embora afirme que não precisam estar explícitas: “A natureza da regra que ensina como obter f(x) quando é dado x é inteiramente arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições: Não deve haver exceções e não pode haver ambigüidades”. (Lima, p.???).
Após as discussões a respeito dos elementos desse novo conceito e de suas aplicações em situações problema a aluna afirmou que função “é uma relação de correspondência entre dois conjuntos que obedece a uma regra e a uma condição (qualquer que seja x pertencente a D existe um único y pertencente a CD) onde D e CD são os conjuntos que fazem parte dessa relação”.
Seu conceito retorna às origens e traz os elementos da relação entre conjuntos. Porém, o fato de ter uma regra e dela ser obedecida ainda permanece em sua estrutura cognitiva. Além disso, o conceito que trazia da imagem ter que ser única agora se amplia com a visão das condições. O elemento do contradomínio tem que existir e ser único para cada elemento do domínio.
A 2ª Fase da 2ª Etapa se iniciou em 12/09/2007. Esse momento se caracterizou como o 3º Princípio Programático de Ausubel, a fase da Organização Seqüencial. O aluno deveria organizar seus pensamentos a respeito dos conceitos discutidos nas fases anteriores em um único espaço. Optou-se, portanto, pelo desenvolvimento de mapas conceituais, já que possibilitaria o trabalho em grupo, já que a proposta seria o desenvolvimento dos mapas em duplas; e a esquematização dos conceitos utilizando palavras-chave e síntese de conteúdo.
O primeiro mapa conceitual, figura 1, que a aluna desenvolveu sobre função traz a compreensão de que “Função é uma regra que associa o elemento x pertencente ao Conjunto A, denominado Domínio, ao elemento y, pertencente ao Conjunto B, denominado Contradomínio”. É importante perceber que o autor Lages Lima, define função como uma regra que diz como associar e a aluna compreendeu que função é uma regra que associa. Isso significa que ela traz uma nova compreensão para o conceito sem ter que escrevê-lo de uma forma idêntica a do autor, ela é capaz de reelaborar seu pensamento.
Depois de 2 encontros de discussão e reelaboração das idéias sobre o que havia sido desenvolvido nos mapas, as duplas tiveram a oportunidade de confeccionar um novo mapa conceitual, inserindo novos elementos, retirando o que era necessário e reelaborando o próprio conceito de função. Assim pode-se visualizar que, para a aluna do estudo, “Função é uma regra que diz como associar cada elemento x, chamado Variável Independente, pertencente ao Conjunto A, denominado Domínio, a um único elemento y, chamado Variável Dependente, pertencente ao Conjunto B, denominado Contradomínio”. (figura 2)
Função deixou de ser uma relação de conjuntos e passou a ser uma regra capaz de dizer como um elemento do domínio se associa a um elemento do contradomínio. Novamente, tanto subsunçor, quanto o novo conceito se modificam em sua estrutura cognitiva.
A 3ª Fase da 2ª Etapa se iniciou em 25/09/2007. Esse momento se caracterizou como o 4º e último Princípio Programático de Ausubel, a Consolidação. Foram 4 encontros com duração em torno de 60 minutos cada um, com apresentação de problemas matemáticos onde o aluno teria que interpretar o problema, construir um modelo utilizando a linguagem algébrica, verificar se a relação estabelecida se caracterizaria como função, reconhecer seu domínio, contradomínio e imagem, e, por fim, modificar a relação para que ela não pudesse ser uma função. Nos problemas foram contempladas as funções constante, polinomial de 1º e 2º graus, recíproca, bem como, conteúdos sobre progressões aritméticas, geometria, matemática financeira, física e biologia e proporcionalidade.
Para definir uma função, essa aluna percebeu que é necessário definir primeiramente o domínio e o contradomínio como uma exigência do problema. Percebeu também a necessidade das condições de existência e unicidade serem obedecidas. Para que uma relação se caracterize como função é necessário que essas condições sejam provadas matematicamente. E, ainda, para que uma relação não seja função, a aluna concluiu que modificar o contradomínio da função e alterar sua lei de formação faz com que a relação não cumpra a condição de existência e de unicidade, respectivamente.
Na fase final, último encontro realizado no dia 09/10/07, todos os alunos tiveram a oportunidade de se auto-avaliar, observando as respostas fornecidas aos primeiros questionários da pesquisa. A aluna em questão se surpreendeu com os “vários erros cometidos”, disse inclusive que gostaria de alterar todas as respostas. A primeira
resposta modificada foi sobre o conceito de função escrevendo que “Função é uma relação que diz como associar um elemento x pertencente a X a um elemento y pertencente a Y”.
O conceito de função, portanto, que predominou foi o conceito de relação, não mais uma relação que associa, mas uma relação que diz como associar em elemento do domínio a um elemento do contradomínio. É importante destacar que nesse momento a aluna não citou o conceito de regra, nem o conceito de condição, o que não significa que ela não os considere importante no conceito de função. O que pode ter acontecido foi o que Ausubel explica como uma assimilação obliteradora, onde o conceito mais específico se ancora ao conceito mais abrangente perdendo suas características específicas, uma forma de esquecimento para possibilitar a incorporação conceitual e possibilitar a aprendizagem significativa.
Conclusão
A formação do professor de Matemática vem sofrendo poucas modificações tanto em sua estrutura curricular quanto em seu funcionamento. A valorização do conhecimento estritamente matemático, sobretudo, na valorização dos procedimentos em detrimento dos conceitos tem contribuído para uma formação que traz para o mercado de trabalho um profissional despreparado para atuar adequadamente em sala de aula. As pesquisas na área da Educação Matemática e da Formação de Professores têm auxiliado a esclarecer os problemas que ocorrem na formação específica do professor de Matemática. Seus resultados, porém, não têm alcançado de fato uma amplitude capaz de modificar a estrutura vigente.
A proposta de trabalho apresentada nesse artigo tentou evidenciar essa problemática e contribuir com uma proposta inovadora no que diz respeito ao ensino do conceito de função. A discussão desenvolvida com os alunos na formação em Matemática sobre o assunto função e seus conceitos agregados pode ter contribuído para as pesquisas na área da Formação de Professores e da Educação Matemática ao revelar como o futuro professor elabora seu pensamento ao tentar reconstruir um conceito por ele já conhecido. Acredita-se que os resultados obtidos com a aplicação da pesquisa possam contribuir para desenvolver um novo olhar sobre novos aspectos abordados na formação de professores em nível superior.
Bibliografia
AUSUBEL, D. P. Educational psychology: a cognitive view. Nova York: Holt Rinehart and Winston, 1968.
BIANCHINI, B.L. e PUGA, L. Z. Função: Diagnosticando registros de representação semiótica. 2004. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Departamento de Matemática, PUC, São Paulo.
CAMPOS, T. M. M. Cursos de Licenciatura e desafios da formação de professores de Matemática. VII EPEM – Encontro Paulista de Educação Matemática. São Paulo, Junho, 2004.
CARNEIRO V. C.; FANTINEL P. C.; SILVA R. H. Funções: significados circulantes na formação de professores. Boletim de Educação Matemática. Rio Claro, ano 16, no. 19, p. 37-57, 2003.
CYRINO, M. C. da C. T. Preparação e emancipação profissional na formação inicial do professor de Matemática. In: NACARATO, A. M.; PAIVA, M. A. V. (Orgs.). A Formação do professor que ensina Matemática – perspectivas e pesquisas. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
DUBINSKY, E. e HAREL, G. The Nature of the Process Conception of Function. In: DUBINSKY, E. e HAREL, G. The Concept of Function. EUA: Concordia University, 1992, p. 85-106.
GARNICA, A. V. M. Professor e professor de Matemática: das informações que se tem acerca da formação que se espera. Revista da Faculdade de Educação. São Paulo, v. 23, n.1-2, jan./dez., 1997.
LOPES, W. S. A importância da utilização de múltiplas representações no desenvolvimento do conceito de função: uma proposta de ensino. 2003. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática), PUC, São Paulo.
MOURA, M. O. de e MORETTI, V. D. Investigando a aprendizagem do Conceito de Função a partir dos conhecimentos prévios e das interações sociais. Ciência & Educação, São Paulo, v. 9, n.1, p 67-82, 2003.
PAIVA, M. A. V. Saberes do professor de Matemática: uma reflexão sobre a licenciatura. Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 9, n. 11, p. 95-104, edição especial: formação de professores, 2002.
PIRES, C. M. C.; SILVA, M. A. da; SANTOS, R. C. dos. Reflexões sobre a formação inicial de professores de Matemática, a partir de depoimentos de coordenadores do curso de licenciatura. In: NACARATO, A. M.; PAIVA, M. A. V. (Orgs.). A Formação do professor que ensina Matemática – perspectivas e pesquisas. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.
REGO, R. G. do Um estudo sobre a construção do Conceito de Função. 2000. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de Educação. Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal.
ROSSINI, R. Saberes docentes sobre o tema função: uma investigação das praxeologias. Tese (Doutorado em Educação Matemática), PUC, São Paulo, 2006. SIERPINSKA, A. In: The Concept of Function. On understanding the notion of function. EUA: Concordia University, 1992, p. 25-58.
STAKE, R. E. Investigación com estúdio de casos. Madrid: Morata, 1998.
VALENTE, W. R. Do engenheiro ao licenciado: subsídios para a história da profissionalização do professor de Matemática no Brasil. Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 5, n. 16, p. 75-94, set./dez. 2005.
YIN, R. K. Estudo de Caso – planejamento e métodos. Porto Alegre: Bookman, 2005.
Figura 1 – Mapa Conceitual desenvolvido em 12/09/2007 por uma dupla de alunas voluntárias participantes da pesquisa
Figura 2 – Mapa Conceitual desenvolvido em 20/09/2007 por mesma dupla de alunas voluntárias participantes da pesquisa
