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Capítulo 4

Variável Aleatória Discreta

4.1 - Introdução

Quando uma variável tem resultados ou valores que tendem a variar de uma observação para outra dá-se o nome de variável aleatória, conforme visto anteriormente. Do ponto de vista prático, é desejável que se defina uma variável aleatória associada a uma amostra ou experimento, de tal modo que seus resultados possíveis sejam numéricos.

De modo geral, quando o espaço amostral de um experimento não é constituído por números reais, não se pode utilizar diretamente os recursos estabelecidos na Estatística Descritiva. Para que estes recursos possam ser utilizados, é necessário estabelecer uma função que transforme o espaço amostral não numérico em um espaço amostral numérico. Este é o objetivo de se definir uma variável aleatória.

Exemplos:

1) Experimento: jogada de uma moeda;

Espaço amostral: S = {cara ; coroa}; portanto, é não numérico;

Variável aleatória: x1 = "número de caras numa jogada"; assim, S1 = {0 ; 1};

Variável aleatória: x2 = "número de coroas numa jogada"; assim, S2 = {0 ; 1};

2) Experimento: jogada de uma moeda duas vezes;

Espaço amostral: S = {CaCa ; CaCo ; CoCa ; CoCo}; portanto, é não numérico; Variável aleatória: x1 = "número de caras nas duas jogadas"; assim, S1 = {0 ; 1 ; 2};

Variável aleatória: x2 = "número de coroas nas duas jogadas"; assim, S2 = {0 ; 1 ; 2};

Portanto, qualquer função "x" que transforme os valores não numéricos em números reais é chamada de variável aleatória. Recordando o que já foi estudado, quando uma variável aleatória assume valores que podem ser contados, ela é chamada de variável aleatória discreta.

Quando se utiliza uma variável aleatória "x" para transformar os valores de um espaço amostral "S" em um novo espaço amostral constituído por números reais, em geral, modifica-se também a função de probabilidade associada a este espaço amostral.

A função de probabilidade da variável aleatória "x" pode ser determinada através da função de probabilidade associada ao espaço amostral original. A apresentação formal de uma variável aleatória "x" é estabelecida por meio de uma tabela, onde são citados os valores da variável "x" e sua função de probabilidade associada.

Exemplos:

3) Lançamento de uma moeda e observação da face superior. S = {cara ; coroa}

x - variável aleatória = {número de caras obtida no lançamento}.

0 ) ( 1 ) ( 1 = →  = →  →  coroa x coroa cara x cara S S x x x x 0 1 p(x) 0,5 0,5

4) Lançamento de dois dados e observação das faces superiores. S = {(1,1) ; (1.2) ; ... ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; ... ; (2,6) ; . . . . . . . . . . . . (6,1) ; (6,2) ; ... ; (6,6) }

x - variável aleatória = {soma das faces superiores}.

x Pares possíveis p(x) 2 (1,1) 1/36 = 0,0278 ou 2,78% 3 (1,2) ; (2,1) 2/36 = 0,0556 ou 5,56% 4 (1,3) ; (2,2) ; (3,1) 3/36 = 0,0833 ou 8,33% 5 (1,4) ; (2,3) ; (4,1) ; (3,2) 4/36 = 0,1111 ou 11,11% 6 (1,5) ; (2,4) ; (3,3) ; (4,2) ; (5,1) 5/36 = 0,1389 ou 13,89% 7 (1,6) ; (2,5) ; (3,4) ; (4,3) ; (5,2) ; (6,1) 6/36 = 0,1667 ou 16,67% 8 (2,6) ; (3,5) ; (4,4) ; (5,3) ; (6,2) 5/36 = 0,1389 ou 13,89% 9 (3,6) ; (4,5) ; (5,4) ; (6,3) 4/36 = 0,1111 ou 11,11% 10 (4,6) ; (5,5) ; (6,4) 3/36 = 0,0833 ou 8,33% 11 (5,6) ; (5,6) 2/36 = 0,0556 ou 5,56% 12 (6,6) 1/36 = 0,0278 ou 2,78% 12 6) ; (6 x 6) ; (6 2 1) ; (1 x 1) ; (1 12} ; 11 ; 10 ; 9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; {2 S S x x 1 x = →  = →  = → 

5) No lançamento de um dado, a variável aleatória x anota o número de faces 5 obtidas neste lançamento. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.

S = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

x - variável aleatória = {número de faces 5 obtidas na face superior}.

Número de faces 5 obtidas p(x)

1 0 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 2 0 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 3 0 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 4 0 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 5 1 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 6 0 1/6 = 0,1667 ou 16,67% X p(x) 0 5/6 = 0,8333 ou 83,33% 1 1/6 = 0,1667 ou 16,67% 1 (5) x (5) 0 6) ou 4 ou 3 ou 2 ou (1 x 6) ou 4 ou 3 ou 2 ou (1 1} ; {0 S S x x 1 x = →  = →  = → 

Exercícios:

a) Duas cartas são retiradas aleatoriamente, sem reposição, de um baralho comum de 52 cartas, a variável aleatória x anota o número de damas obtidas. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.

b) A urna “P” contém cinco fichas amarelas e três fichas vermelhas. A urna “Q” contém oito fichas amarelas e duas vermelhas. Uma ficha é retirada ao acaso de cada urna e a variável aleatória x anota o número de fichas vermelhas. Determine os valores de x e a função de probabilidade associada.

4.2 - Valor Esperado de uma Variável Aleatória

No estudo da Estatística Descritiva, procurou-se caracterizar as principais medidas sobre a distribuição de freqüência, como: média, variância, desvio padrão, etc. Nesta situação, quando trabalhava-se com amostras, utilizava-se como símbolo

x

para a média, s2(x) para a variância e s(x) para o desvio padrão.

A variável aleatória será utilizada para descrever modelos teóricos de probabilidade com a finalidade de descrever populações, portanto a média, a variância e o desvio padrão serão representados por

µ

,

σ

2 e

σ

, respectivamente.

Se "x" é uma variável aleatória, então chama-se valor esperado da variável aleatória "x" ao valor numérico: ] ) p(x [x µ E(x) n 1 i i i

∑

₌ ⋅ = =

∑

∑

= = _      ⋅ = ⋅ = n i i i n i i i n f x n f x x 1 1 ] [ ) (

Por analogia entre as fórmulas de

x

e E(x), conclui-se que E(x) representa a média da variável aleatória "x". A diferença fundamental entre

x

e E(x) é que

x

, por depender das freqüências, só pode ser calculada após a ocorrência de todos os valores da série estatística. É uma média calculada a posteriori.

A média E(x), por estar baseada no conceito de probabilidade, pode ser estabelecida antes da ocorrência dos valores da variável aleatória. É uma média a priori. Neste sentido, E(x) é uma expectativa de média e é também chamada de Esperança Matemática da variável aleatória x.

Exemplos:

6) Se uma variável aleatória assume os valores x1 , x2 , x3 , ... , xn , com suas respectivas

probabilidades p1 , p2 , p3 , ... , pn , então a esperança ou valor esperado de x será:

E(x) = (x1 . p1) + (x2 . p2) + (x3 . p3) + ... + (xn . pn)

7) Uma loja registrou os seguintes dados sobre vendas de caixas de sapatos:

xi p(xi) = freqüência relativa 0 0,20 1 0,30 2 0,30 3 0,15 4 0,05 O valor esperado de caixas de sapatos que serão vendidas será:

E(x) = (0 . 0,20) + (1 . 0,30) + (2 . 0,30) + (3 . 0,15) + (4 . 0,05)

8) Um construtor faz a seguinte estimativa:

prazo de execução probabilidade

10 dias 0,30

15 dias 0,20

22 dias 0,50

O prazo esperado para a execução da obra, de acordo com as estimativas, será: E(x) = (10 . 0,30) + (15 . 0,20) + (22 . 0,50)

E(x) = 17 dias

4.3 - Variância e Desvio Padrão de uma Variável Aleatória

A mesma analogia existe entre a variância e o desvio padrão de uma distribuição de freqüência e a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória x. Portanto:

(

)

padrão

desvio

(x)

σ

(x)

σ

variância

)

p(x

µ

x

(x)

σ

2 n 1 i i 2 i 2

=

⋅

−

=

∑

= Exemplo:

9) No lançamento de dois dados, a variável aleatória x anota a soma das faces superiores. Determine a média, a variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

xi p(xi)

x

_i

⋅

p(x

_i

)

(

_x µ

)

_{p(x )} i 2 i − ⋅ 2 1/36 = 0,0278 0,0556 0,6944 3 2/36 = 0,0556 0,1667 0,8889 4 3/36 = 0,0833 0,3333 0,7500 5 4/36 = 0,1111 0,5556 0,4444 6 5/36 = 0,1389 0,8333 0,1389 7 6/36 = 0,1667 1,1667 0 8 5/36 = 0,1389 1,1111 0,1389 9 4/36 = 0,1111 1,0000 0,4444 10 3/36 = 0,0833 0,8333 0,7500 11 2/36 = 0,0556 0,6111 0,8889 12 1/36 = 0,0278 0,3333 06944 ∑ 36/36 = 1,0000 7 5,8333 2,4152 (x) σ σ(x) 5,8333 ) p(x µ) (x (x) σ 7 ) p(x x µ E(x) 2 n 1 i i 2 i 2 n 1 i i i ⋅ = = − ⋅ = = = = =

∑

∑

= =

Exercícios:

c) Uma confeitaria produz cinco bolos em determinado dia. As probabilidades de vender nenhum, um, dois, três, quatro ou cinco valem respectivamente 1%, 6%, 21%, 33%, 24% e 15%. O custo total de produção de cada bolo é $7,00 e o preço unitário de venda é $16,00. Calcule o lucro médio, a variância e o desvio padrão. Resposta: $28,62 ; $2109,16 ; $10,45

xi p(xi)

x

_i

⋅

p(x

_i

)

(

)

2

₍

₎

i

i

p

x

x

−

µ

⋅

∑

d) Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de que venda na segunda-feira é de 54%, na terça-feira de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira é de 4% e na sexta-feira é de 2%. Seu lucro é de $ 2.000,00 se vender na segunda-feira e diminui 20% a cada dia. Calcule o valor esperado de lucro deste comerciante, a variância e o desvio padrão.

xi p(xi)

x

_i

⋅

p(x

_i

)

(

)

2

₍

₎

i i

p

x

x

−

µ

⋅

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta ∑ Resposta: $1.745,34 ; $2 100.979,13 ; $317,77

e) O trem do metrô para no meio de um túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de controle. Se o defeito for na antena, o conserto poderá ser feito em 8 minutos. Se o defeito for no painel, o conserto poderá ser feito em 22 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a probabilidade do defeito ser no painel é de 75%. Qual a expectativa do tempo de conserto?

xi p(xi)

x

_i

⋅

p(x

_i

)

∑

Resposta: 18,5 minutos ou 18 minutos e 30 segundos

4.4 - Distribuições de Probabilidades

Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüências para os resultados de um espaço amostral (isto é, para os resultados de uma variável aleatória). As freqüências são relativas, ou probabilidades. Assim, as probabilidades indicam a porcentagem de vezes que, em grande número de observações, pode-se esperar a ocorrência dos vários resultados de uma variável aleatória. Muitas vezes utilizam-se tabelas ou gráficos para mostrar como a probabilidade total atribuída a um espaço amostral (100%) é distribuída pelos diversos resultados daquele espaço.

Exemplo:

10) Experimento: jogada de uma moeda duas vezes; Espaço amostral: S = {CaCa ; CaCo ; CoCa ; CoCo};

Variável aleatória: x1 = "número de caras nas duas jogadas"; assim, S1 = {0 ; 1 ; 2};

Resultado Probabilidade do Resultado Número de caras = variável aleatória x P(x) Cara Cara (1/2)x(1/2)= 1/4 0 0,25 Cara Coroa (1/2)x(1/2)= 1/4 1 0,50 Coroa Cara (1/2)x(1/2)= 1/4 Coroa Coroa (1/2)x(1/2)= 1/4 2 0,25

Assim sendo, a distribuição de probabilidades para o número de caras em duas jogadas de uma moeda será:

Número de Caras P(x)

0 0,25 1 0,50 2 0,25 Somatório 1,00

Nota-se que a soma de todas as probabilidades é 1,00, como é de se esperar, pois os resultados apresentados são mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos. A mesma distribuição pode ser apresentada em forma acumulada, conforme foi estudado em histogramas de distribuições de freqüências.

Número de Caras P(x) acumulada

0 0,25 1 0,75 2 1,00 0,25 0,50 0,25 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 1 2 Número de caras P roba bilida d e 0,25 0,75 1,00 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 1 ou menos 2 ou menos Número de caras P roba bilida d e Ac um ula d a

4.5 - Modelos Teóricos de Distribuições Discretas

As distribuições discretas de probabilidades envolvem variáveis aleatórias relativas a dados que podem ser contados, como o número de ocorrências por amostra, ou o número de ocorrências por unidade de tempo, de área, ou de distância.

Quando a Estatística é aplicada na resolução de diversos problemas, verifica-se que estes apresentam, muitas vezes, as mesmas características, o que permite estabelecer um modelo teórico para a solução destes problemas. Os componentes principais de um modelo estatístico são:

• Os possíveis valores que a variável aleatória pode assumir;

• A função de probabilidade associada à variável x;

• O valor esperado da variável aleatória x;

• A variância e o desvio padrão da variável aleatória x.

4.5.1 - Distribuição de Bernoulli

Se uma variável aleatória "x" só pode assumir os valores 0 e 1, caracterizando sucesso ou fracasso, com P(x = 0) = q e P(x = 1) = p, com (p + q) = 1, então a variável aleatória "x" admite distribuição de Bernoulli. Sendo assim, o valor esperado, a variância e o desvio padrão da variável aleatória "x" serão: X P(x) X . P(x)

_(x

−

_µ)

2

⋅

_P(x)

0 q 0 (0 - p)2 . q = p2q 1 p p (1 - p)2 . p = q2p Somatório (p + q) = 1 p p2q + q2p = pq . (p + q) = pq . (1) = pq E(x) = µ = x1 . P(x1) + x2 . P(x2) = (0).(q) + (1).(p) σ (x) (x µ) P(x ) p q n 1 i i 2 i 2 _{= − ⋅ = ⋅}

∑

₌ E(x) = µ = p σ2(x) = p . q (valor esperado) (variância)

q p (x) σ σ(x) ₌ 2 _{= ⋅} (desvio padrão) Exemplo:

11) No lançamento de uma moeda, a variável aleatória x refere-se ao número de caras obtidas. Determine a média, a variância e o desvio padrão.

Resultado X P(x) x . P(x)

_(x

−

_µ)

2

⋅

_P(x)

Coroa 0 0,50 0 (0 - 0,5)2 . 0,50 = 0,125 Cara 1 0,50 0,50 (1 - 0,50)2 . 0,50 = 0,125 Somatório 1 0,50 0,25 E(x) = µ = 0,50 σ (x) (x µ) P(x ) 0,25 n 1 i i 2 i 2

∑

₌ − ⋅ = = 5 , 0 q p (x) σ (x) σ = 2 = ⋅ = Exercícios:

f) No lançamento de um dado, a variável aleatória x refere-se ao número de faces 3 obtidas neste lançamento. Determine a média, a variância e o desvio padrão. Resposta: media = 0,16667 ;

variância = 0,13889 ; desvio padrão = 0,37268

g) Uma carta é retirada de um baralho comum de 52 cartas. A variável aleatória x refere-se ao número de reis obtidos nesta retirada. Determine a média, a variância e o desvio padrão.

Resposta: media = 0,07692 ; variância = 0,07100 ; desvio padrão = 0,26646

h) Uma urna contém 25 bolas brancas e 15 verdes. Seja a variável aleatória x o número de bolas verdes, determine a média, a variância e o desvio padrão.

4.5.2 - Distribuição Binomial

Utiliza-se o termo "binomial" para designar situações em que os resultados de uma variável aleatória podem ser agrupados em duas classes ou categorias. Os dados são, pois, nominais. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de modo a deixar perfeitamente claro a qual categoria pertence determinada observação; e as classes devem ser coletivamente exaustivas, de forma que nenhum outro resultado fora delas seja possível.

Há muitos exemplos de variáveis aleatórias que podem ser classificados como variáveis binomiais: respostas a um teste do tipo V ou F, respostas do tipo sim ou não a um questionário, produtos fabricados classificados como perfeitos ou defeituosos; alunos de uma escola vacinados ou não vacinados, exames do tipo aprovado ou reprovado. Além disso, variáveis com resultados múltiplos podem freqüentemente ser tratadas como binomiais, quando apenas um dos resultados tem interesse. Assim é que as respostas a um teste de múltipla escolha podem ser do tipo correta ou errada; pode haver bolas de cinco cores numa urna, mas se nosso interesse é apenas na extração de uma bola verde, as bolas podem classificar-se como verdes e não-verdes; pode haver cinco candidatos a um emprego, e o resultado final pode ser dado em termos de contratado ou não-contratado. Da mesma forma, a distribuição de correspondência pelo correio pode ser local ou para fora da cidade; as chamadas telefônicas podem ser locais ou interurbanas. Normalmente, refere-se as duas categorias de uma distribuição binomial como "sucesso" ou "falha", muito embora não importe, para fins de cálculo, qual categoria seja considerada sucesso, e qual seja considerada falha, já que as duas são complementares.

Note que, se sucesso e falha são mutuamente excludentes e coletivamente exaustivos, P(sucesso) + P(falha) = 1,00. Por exemplo, se P(sucesso) = 0,6, conseqüentemente P(falha) = 0,4.

A utilização da distribuição binomial exige certas hipóteses: 1. Há n observações idênticas;

2. Cada observação tem dois resultados possíveis, um chamado "sucesso" e o outro “falha” ; 3. As probabilidades (p) de sucesso e (1-p) de falha permanecem constantes;

4. Os resultados das observações são independentes uns dos outros.

Há dois métodos para obter as probabilidades para uma variável aleatória com distribuição binomial: utilizando-se a fórmula binomial ou tabelas binomiais.

• Utilizando a fórmula:

Exemplo: No lançamento de um dado por 4 vezes, qual é a probabilidade de sair a face 5 uma vez?

P(sair a face 5) = 1/6 = 0,167 P(não sair a face 5) = 5/6 = 0,833 Suponha: sair a face 5 = sucesso (S)

não sair face 5 = falha (F)

Disposição Probabilidade FFFS (O,833).(0,833).(0,833).(0,167) = 0,09653 FFSF (O,833).(0,833).(0,167).(0,833) = 0,09653 FSFF (O,833).(0,167).(0,833).(0,833) = 0,09653 SFFF (O,167).(0,833).(0,833).(0,833) = 0,09653 0,38612 A probabilidade de três sucessos e uma falha é a soma das probabilidades de todas as

maneiras de se obter três sucessos em quatro observações. Neste, a soma é 0,38612. Note que cada situação tem a mesma probabilidade de ocorrência, porque os fatores são os mesmos, apenas sua ordem é diferente. Isto é sempre verdadeiro.

Na análise do quadro anterior, percebe-se que em cada probabilidade tem-se a seguinte expressão: (0,833)3.(0,167)1. Portanto, a soma total das probabilidades será: 4.(0,833)3.(0,167)1. O número quatro pode ser encontrado pela combinação de 1 sucesso em quatro observações.

Desta forma, pode-se montar a expressão para o cálculo da probabilidade de ocorrência de um sucesso: 3 1 3 1

(0,833)

(0,167)

1!

1)!

(4

4!

(0,833)

(0,167)

1

4

sucesso)

P(um

⋅

⋅









⋅

−

=

⋅

⋅









=

Generalizando: x -n x x -n x

p)

-(1

(p)

!

)!

(n

n!

p)

-(1

(p)

x

n

P(sucesso)

⋅

⋅









⋅

−

=

⋅

⋅









=

x

x

em que: n - número de observações;

x - quantidade de sucesso requerida;

p - probabilidade de ocorrência de sucesso em cada observação; (1 - p) - probabilidade de não ocorrer o sucesso em cada observação.

Exercícios:

i) Um fabricante de mesas de bilhar suspeita que 1,6% de seu produto apresenta algum defeito. Se tal suspeita for correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de sete mesas: 1) Não haja nenhuma defeituosa; Resp.: 89,32% 3) ao menos uma defeituosa; Resp.: 10,68% 2) Haja duas defeituosas; Resp.: 0,496% 4) no máximo uma defeituosa. Resp.: 99,49% j) Dos estudantes de um colégio, 26% fumam cigarro. Escolhem-se cinco estudantes ao acaso para darem sua opinião sobre o fumo.

1) Determine a probabilidade de nenhum ser fumante. Resp.: 22,19% 2) Determine a probabilidade de todos serem fumarem. Resp.: 0,119% 3) Determine a probabilidade de ao menos um ser fumante. Resp.: 77,81%

k) Doze por cento das pessoas que reservam lugar num vôo, sistematicamente, faltam ao embarque. O avião comporta 14 passageiros.

1) Se houve 17 pedidos de reserva, determine a probabilidade de que todas as pessoas que reservaram lugar compareçam ao embarque. Resp.: 11,38%

2) Se houve 15 pedidos de reserva, determine a probabilidade:

a) de uma pessoa ficar de fora do embarque por falta de lugar no avião; Resp.: 14,70% b) de nenhuma ficar de fora do embarque por falta de lugar no avião; Resp.: 85,30% c) de mais de uma ficar de fora do embarque por falta de lugar no avião; Resp.: 0%

l) Suponha que 20% das pipocas vendidas num estádio de futebol sejam pedidas sem molho. Se oito pessoas pedem pipoca, determine a probabilidade de que:

1) Todas queiram molho; Resp.: 16,78% 2) Apenas um não queira molho. Resp.: 33,55%

m) Um exame do tipo teste é constituído de 15 questões, cada uma delas com quatro respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. Se um estudante (que não entende nada da prova) responde as questões ao acaso, qual a probabilidade de que consiga acertar exatamente 5 questões? Resp.: 16,51%

n) Numa criação de coelhos, 45% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos um coelho macho num dia em que nasceram 6 coelhos? Resp.: 97,23%

o) Uma empresa produz 1,2% de peças defeituosas. As peças são embaladas em caixas que contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma caixa contendo:

1) nenhuma peça defeituosa? Resp.: 86,51% 2) uma peça defeituosa? Resp.: 12,61%

p) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 25% dos títulos eram pagos com atraso. Se em um determinado dia foram pagos 8 títulos, determine a probabilidade que:

1) no máximo um título seja pago com atraso? Resp.: 36,71% 2) no mínimo um título seja pago com atraso? Resp.: 89,99%

• Utilizando as tabelas binomiais:

Quando há o interesse na determinação da probabilidade de um único valor na distribuição binomial, tal como a probabilidade de exatamente quatro sucessos ocorrer em seis observações, então utiliza-se a tabela de probabilidades binomiais individuais. Tal como no caso da fórmula, são necessários três dados: n, o número de observações, p, a probabilidade de sucesso, e x, a quantidade que se quer de sucessos.

A Tabela 4.1, que se encontra no final deste capítulo, apresenta a tabela binomial individual. Para utilizá-la, deve-se utilizar o seguinte procedimento:

a) Olhar no topo da tabela o valor de p do problema;

b) Localizar o valor de n na coluna esquerda da tabela, juntamente com o valor de x;

c) A probabilidade de x sucessos será encontrada na interseção da linha encontrada no item (b) com a coluna encontrada no item (a).

Exemplo: Qual a probabilidade de se obter 5 caras no lançamento de 8 moedas?

n = 8 ; x = 5 ; p = 0,50

da Tabela 4.1 tem-se que: P(x) = 0,2188 ou 21,88%

Muitos problemas requerem a probabilidade combinada de um grupo de resultados, em vez de um único resultado. Normalmente, os resultados de interesse são do tipo "mais do que" ou “menos do que" determinado número. Para esses casos, existem as tabelas binomiais acumuladas (vide Tabela 4.2 no final deste capítulo).

Exemplo: Qual a probabilidade de se obter menos que 4 caras no lançamento de 5 moedas?

n = 5 ; x = 3 ; p = 0,50 da Tabela 4.2 tem-se que: P(x) = 0,8125

• Cálculo do Valor Esperado, da Variância e do Desvio Padrão

A distribuição Binomial pode ser entendida como “n” repetições de uma distribuição de Bernoulli onde a média (valor esperado) é p, obtém-se que para a distribuição Binomial a média é:

p

n

µ

=

⋅

De forma análoga, a variância e o desvio padrão serão:

padrão)

(desvio

q

p

n

(x)

σ

)

(variância

q

p

n

(x)

σ

2

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

4.5.3 - Distribuição de Poisson

Muitas vezes, no uso da distribuição binomial, acontece que n é muito grande (n→∞) e p é muito pequeno (p ~ 0). Nesses casos, não se encontra o valor em tabelas, ou então o cálculo torna-se inviável. Pode-se fazer uma aproximação da distribuição binomial pela distribuição de Poisson. Uma variável aleatória x admite distribuição de Poisson se x = 0, 1, 2, 3, ...

Em muitos casos, conhece-se o número de sucessos, porém, se torna difícil e, às vezes, sem sentido, determinar o número de fracassos ou o número total de provas. Por exemplo: automóveis que passam por uma esquina. Pode-se num determinado intervalo de tempo anotar o número de carros que passaram, porém, o número de carros que deixaram de passar não poderá ser determinado (sucesso/fracasso).

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado. O intervalo pode ser o tempo, a distância o volume, a área, etc...

A Função de Probabilidade para a distribuição de Poisson é dada por:

!

)

(

x

e

x

P

x

µ

µ

_⋅

=

− em que:

x = número de ocorrências do evento em um intervalo;

µ = média de ocorrências no intervalo que está sendo avaliado; e = número de Nepper = 2,718281....

Exemplo: Uma máquina produz nove peças defeituosas a cada 1.000 peças produzidas. Calcule

a probabilidade de que um lote que contém: a) 200 peças, sejam encontradas oito peças defeituosas? b) 500 peças, não haja nenhuma peça defeituosa?

a) µ =200⋅(0,009)=1,8 x = 8

0,000452

ou

0,0452%

8!

(1,8)

e

P(x)

8 1,8

=

⋅

=

− b) µ =500⋅(0,009)=4,5 x = 0

0,0111

ou

1,11%

0!

(4,5)

e

P(x)

0 5 , 4

=

⋅

=

− Exercícios:

q) Supondo que o número de carros que chegam a uma fila do guichê de um pedágio tem distribuição de Poisson a uma taxa de 12 por minuto, calcule a probabilidade de que cheguem vinte carros nos próximos dois minutos? Resp.: 6,24%

r) Um tear produz um defeito a cada 250m de tecido produzido. Se o número de defeitos admite distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de uma peça com 40m não apresenta defeitos? Resp.: 85,21%

s) As chamadas de emergência chegam a uma delegacia de polícia à razão de 5 por hora no período de 1 às 6 da manhã em dias úteis, e podem ser aproximadas por uma distribuição de Poisson.

1) Quantas chamadas de emergência são esperadas num período de 36 minutos? Resp.: 3 2) Qual a probabilidade de haver duas chamadas num período de 30 minutos? Resp.: 25,65%

t) O número de rádios vendidos por dia por uma firma tem distribuição aproximadamente de Poisson com média 15,4. Determine a probabilidade da firma vender:

1) 32 rádios num período de 2 dias; Resp.: 6,87% 2) 48 rádios num período de 3 dias; Resp.: 5,55% 3) 44 rádios num período de 3 dias. Resp.: 5,69%

u) Os clientes chegam a uma loja à razão de 12,6pessoas/hora (Poisson). Determine a probabilidade de que, nos próximos vinte minutos:

1) Não chegue nenhum cliente; Resp.: 1,50% 2) Chegue ao menos 1 cliente; Resp.: 98,5% 3) Mais de 1 cliente; Resp.: 92,20% 4) Exatamente 4,2 clientes. Resp.: 0,00%

47

Tabela 4.1 – Distribuição Binomial Individual.

p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 1 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 0,5000 0,5500 0,6000 0,6500 0,7000 0,7500 0,8000 0,8500 0,9000 0,9500 2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 0,2025 0,1600 0,1225 0,0900 0,0625 0,0400 0,0225 0,0100 0,0025 1 0,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,5000 0,4950 0,4800 0,4550 0,4200 0,3750 0,3200 0,2550 0,1800 0,0950 2 0,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500 0,3025 0,3600 0,4225 0,4900 0,5625 0,6400 0,7225 0,8100 0,9025 3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 0,0270 0,0156 0,0080 0,0034 0,0010 0,0001 1 0,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,3750 0,3341 0,2880 0,2389 0,1890 0,1406 0,0960 0,0574 0,0270 0,0071 2 0,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,3750 0,4084 0,4320 0,4436 0,4410 0,4219 0,3840 0,3251 0,2430 0,1354 3 0,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250 0,1664 0,2160 0,2746 0,3430 0,4219 0,5120 0,6141 0,7290 0,8574 4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 0,0410 0,0256 0,0150 0,0081 0,0039 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 1 0,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,2500 0,2005 0,1536 0,1115 0,0756 0,0469 0,0256 0,0115 0,0036 0,0005 2 0,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,3750 0,3675 0,3456 0,3105 0,2646 0,2109 0,1536 0,0975 0,0486 0,0135 3 0,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,2500 0,2995 0,3456 0,3845 0,4116 0,4219 0,4096 0,3685 0,2916 0,1715 4 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625 0,0915 0,1296 0,1785 0,2401 0,3164 0,4096 0,5220 0,6561 0,8145 5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 0,0185 0,0102 0,0053 0,0024 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 1 0,2036 0,3281 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,1563 0,1128 0,0768 0,0488 0,0284 0,0146 0,0064 0,0022 0,0004 0,0000 2 0,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,3125 0,2757 0,2304 0,1811 0,1323 0,0879 0,0512 0,0244 0,0081 0,0011 3 0,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,3125 0,3369 0,3456 0,3364 0,3087 0,2637 0,2048 0,1382 0,0729 0,0214 4 0,0000 0,0005 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,1563 0,2059 0,2592 0,3124 0,3602 0,3955 0,4096 0,3915 0,3280 0,2036 5 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0313 0,0503 0,0778 0,1160 0,1681 0,2373 0,3277 0,4437 0,5905 0,7738 6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 0,0083 0,0041 0,0018 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,0938 0,0609 0,0369 0,0205 0,0102 0,0044 0,0015 0,0004 0,0001 0,0000 2 0,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,2344 0,1861 0,1382 0,0951 0,0595 0,0330 0,0154 0,0055 0,0012 0,0001 3 0,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,3125 0,3032 0,2765 0,2355 0,1852 0,1318 0,0819 0,0415 0,0146 0,0021 4 0.0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,2344 0,2780 0,3110 0,3280 0,3241 0,2966 0,2458 0,1762 0,0984 0,0305 5 0,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,0937 0,1359 0,1866 0,2437 0,3025 0,3560 0,3932 0,3993 0,3543 0,2321 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083 0,0156 0,0277 0,0467 0,0754 0,1176 0,1780 0,2621 0,3771 0,5314 0,7351

48

Tabela 4.1 – Distribuição Binomial Individual (continuação)

p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 0,0037 0,0016 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,0547 0,0320 0,0172 0,0084 0,0036 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 2 0,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,1641 0,1172 0,0774 0,0466 0,0250 0,0115 0,0043 0,0012 0,0002 0,0000 3 0,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,2734 0,2388 0,1935 0,1442 0,0972 0,0577 0,0287 0,0109 0,0026 0,0002 4 0,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,2734 0,2918 0,2903 0,2679 0,2269 0,1730 0,1147 0,0617 0,0230 0,0036 5 0,0000 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,1641 0,2140 0,2613 0,2985 0,3177 0,3115 0,2753 0,2097 0,1240 0,0406 6 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0036 0,0084 0,0172 0,0320 0,0547 0,0872 0,1306 0,1848 0,2471 0,3115 0,3670 0,3960 0,3720 0,2573 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0016 0,0037 0,0078 0,0152 0,0280 0,0490 0,0824 0,1335 0,2097 0,3206 0,4783 0,6983 8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 0,0017 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,2793 0,3826 0,3847 0,3355 0,2670 0,1977 0,1373 0,0896 0,0548 0,0313 0,0164 0,0079 0,0033 0,0012 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0515 0,1488 0,2376 0,2936 0,3115 0,2965 0,2587 0,2090 0,1569 0,1094 0,0703 0,0413 0,0217 0,0100 0,0038 0,0011 0,0002 0,0000 0,0000 3 0,0054 0,0331 0,0839 0,1468 0,2076 0,2541 0,2786 0,2787 0,2568 0,2188 0,1719 0,1239 0,0808 0,0467 0,0231 0,0092 0,0026 0,0004 0,0000 4 0,0004 0,0046 0,0185 0,0459 0,0865 0,1361 0,1875 0,2322 0,2627 0,2734 0,2627 0,2322 0,1875 0,1361 0,0865 0,0459 0,0185 0,0046 0,0004 5 0,0000 0,0004 0,0026 0,0092 0,0231 0,0467 0,0808 0,1239 0,1719 0,2188 0,2568 0,2787 0,2786 0,2541 0,2076 0,1468 0,0839 0,0331 0,0054 6 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,1094 0,1569 0,2090 0,2587 0,2965 0,3115 0,2936 0,2376 0,1488 0,0515 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0313 0,0548 0,0896 0,1373 0,1977 0,2670 0,3355 0,3847 0,3826 0,2793 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039 0,0084 0,0168 0,0319 0,0576 0,1001 0,1678 0,2725 0,4305 0,6634 9 0 0,6302 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 0,0270 0,0156 0,0080 0,0034 0,0010 0,0001 1 0,2985 0,3874 0,3679 0,3020 0,2253 0,1556 0,1004 0,0605 0,0339 0,0176 0,0083 0,0035 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0629 0,1722 0,2597 0,3020 0,3003 0,2668 0,2162 0,1612 0,1110 0,0703 0,0407 0,0212 0,0098 0,0039 0,0012 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0077 0,0446 0,1069 0,1762 0,2336 0,2668 0,2716 0,2508 0,2119 0,1641 0,1160 0,0743 0,0424 0,0210 0,0087 0,0028 0,0006 0,0001 0,0000 4 0,0006 0,0074 0,0283 0,0661 0,1168 0,1715 0,2194 0,2508 0,2600 0,2461 0,2128 0,1672 0,1181 0,0735 0,0389 0,0165 0,0050 0,0008 0,0000 5 0,0000 0,0008 0,0050 0,0165 0,0389 0,0735 0,1181 0,1672 0,2128 0,2461 0,2600 0,2508 0,2194 0,1715 0,1168 0,0661 0,0283 0,0074 0,0006 6 0,0000 0,0001 0,0006 0,0028 0,0087 0,0210 0,0424 0,0743 0,1160 0,1641 0,2119 0,2508 0,2716 0,2668 0,2336 0,1762 0,1069 0,0446 0,0077 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0012 0,0039 0,0098 0,0212 0,0407 0,0703 0,1110 0,1612 0,2162 0,2668 0,3003 0,3020 0,2597 0,1722 0,0629 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0013 0,0035 0,0083 0,0176 0,0339 0,0605 0,1004 0,1556 0,2253 0,3020 0,3679 0,3874 0,2985 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0008 0,0020 0,0046 0,0101 0,0207 0,0404 0,0751 0,1342 0,2316 0,3874 0,6302 10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,3151 0,3874 0,3474 0,2684 0,1877 0,1211 0,0725 0,0403 0,0207 0,0098 0,0042 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,0746 0,1937 0,2759 0,3020 0,2816 0,2335 0,1757 0,1209 0,0763 0,0439 0,0229 0,0106 0,0043 0,0014 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,0105 0,0574 0,1298 0,2013 0,2503 0,2668 0,2522 0,2150 0,1665 0,1172 0,0746 0,0425 0,0212 0,0090 0,0031 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 4 0,0010 0,0112 0,0401 0,0881 0,1460 0,2001 0,2377 0,2508 0,2384 0,2051 0,1596 0,1115 0,0689 0,0368 0,0162 0,0055 0,0012 0,0001 0,0000 5 0,0001 0,0015 0,0085 0,0264 0,0584 0,1029 0,1536 0,2007 0,2340 0,2461 0,2340 0,2007 0,1536 0,1029 0,0584 0,0264 0,0085 0,0015 0,0001 6 0,0000 0,0001 0,0012 0,0055 0,0162 0,0368 0,0689 0,1115 0,1596 0,2051 0,2384 0,2508 0,2377 0,2001 0,1460 0,0881 0,0401 0,0112 0,0010 7 0,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0031 0,0090 0,0212 0,0425 0,0746 0,1172 0,1665 0,2150 0,2522 0,2668 0,2503 0,2013 0,1298 0,0574 0,0105 8 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0043 0,0106 0,0229 0,0439 0,0763 0,1209 0,1757 0,2335 0,2816 0,3020 0,2759 0,1937 0,0746 9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0042 0,0098 0,0207 0,0403 0,0725 0,1211 0,1877 0,2684 0,3474 0,3874 0,3151 10 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0025 0,0060 0,0135 0,0282 0,0563 0,1074 0,1969 0,3487 0,5987

49

Tabela 4.2 – Distribuição Binomial Acumulada.

p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1 0 0,9500 0,9000 0,8500 0,8000 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,5000 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 2 0 0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,2500 0,2025 0,1600 0,1225 0,0900 0,0625 0,0400 0,0225 0,0100 0,0025 1 0,9975 0,9900 0,9775 0,9600 0,9375 0,9100 0,8775 0,8400 0,7975 0,7500 0,6975 0,6400 0,5775 0,5100 0,4375 0,3600 0,2775 0,1900 0,0975 2 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 3 0 0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 0,0270 0,0156 0,0080 0,0034 0,0010 0,0001 1 0,9928 0,9720 0,9393 0,8960 0,8438 0,7840 0,7183 0,6480 0,5748 0,5000 0,4253 0,3520 0,2818 0,2160 0,1563 0,1040 0,0607 0,0280 0,0072 2 0,9999 0,9990 0,9966 0,9920 0,9844 0,9730 0,9571 0,9360 0,9089 0,8750 0,8336 0,7840 0,7254 0,6570 0,5781 0,4880 0,3859 0,2710 0,1426 3 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4 0 0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,0625 0,0410 0,0256 0,0150 0,0081 0,0039 0,0016 0,0005 0,0001 0,0000 1 0,9860 0,9477 0,8905 0,8192 0,7383 0,6517 0,5630 0,4752 0,3910 0,3125 0,2415 0,1792 0,1265 0,0837 0,0508 0,0272 0,0120 0,0037 0,0005 2 0,9995 0,9963 0,9880 0,9728 0,9492 0,9163 0,8735 0,8208 0,7585 0,6875 0,6090 0,5248 0,4370 0,3483 0,2617 0,1808 0,1095 0,0523 0,0140 3 1,0000 0,9999 0,9995 0,9984 0,9961 0,9919 0,9850 0,9744 0,9590 0,9375 0,9085 0,8704 0,8215 0,7599 0,6836 0,5904 0,4780 0,3439 0,1855 4 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 5 0 0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,0313 0,0185 0,0102 0,0053 0,0024 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 1 0,9774 0,9185 0,8352 0,7373 0,6328 0,5282 0,4284 0,3370 0,2562 0,1875 0,1312 0,0870 0,0540 0,0308 0,0156 0,0067 0,0022 0,0005 0,0000 2 0,9988 0,9914 0,9734 0,9421 0,8965 0,8369 0,7648 0,6826 0,5931 0,5000 0,4069 0,3174 0,2352 0,1631 0,1035 0,0579 0,0266 0,0086 0,0012 3 1,0000 0,9995 0,9978 0,9933 0,9844 0,9692 0,9460 0,9130 0,8688 0,8125 0,7438 0,6630 0,5716 0,4718 0,3672 0,2627 0,1648 0,0815 0,0226 4 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9976 0,9947 0,9898 0,9815 0,9688 0,9497 0,9222 0,8840 0,8319 0,7627 0,6723 0,5563 0,4095 0,2262 5 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 6 0 0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,0156 0,0083 0,0041 0,0018 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,9672 0,8857 0,7765 0,6554 0,5339 0,4202 0,3191 0,2333 0,1636 0,1094 0,0692 0,0410 0,0223 0,0109 0,0046 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 2 0,9978 0,9842 0,9527 0,9011 0,8306 0,7443 0,6471 0,5443 0,4415 0,3438 0,2553 0,1792 0,1174 0,0705 0,0376 0,0170 0,0059 0,0013 0,0001 3 0,9999 0,9987 0,9941 0,9830 0,9624 0,9295 0,8826 0,8208 0,7447 0,6563 0,5585 0,4557 0,3529 0,2557 0,1694 0,0989 0,0473 0,0158 0,0022 4 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9954 0,9891 0,9777 0,9590 0,9308 0,8906 0,8364 0,7667 0,6809 0,5798 0,4661 0,3446 0,2235 0,1143 0,0328 5 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9982 0,9959 0,9917 0,9844 0,9723 0,9533 0,9246 0,8824 0,8220 0,7379 0,6229 0,4686 0,2649 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

50

Tabela 4.2 – Distribuição Binomial Acumulada (continuação)

p n x 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 7 0 0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,0078 0,0037 0,0016 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,9556 0,8503 0,7166 0,5767 0,4449 0,3294 0,2338 0,1586 0,1024 0,0625 0,0357 0,0188 0,0090 0,0038 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 2 0,9962 0,9743 0,9262 0,8520 0,7564 0,6471 0,5323 0,4199 0,3164 0,2266 0,1529 0,0963 0,0556 0,0288 0,0129 0,0047 0,0012 0,0002 0,0000 3 0,9998 0,9973 0,9879 0,9667 0,9294 0,8740 0,8002 0,7102 0,6083 0,5000 0,3917 0,2898 0,1998 0,1260 0,0706 0,0333 0,0121 0,0027 0,0002 4 1,0000 0,9998 0,9988 0,9953 0,9871 0,9712 0,9444 0,9037 0,8471 0,7734 0,6836 0,5801 0,4677 0,3529 0,2436 0,1480 0,0738 0,0257 0,0038 5 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9962 0,9910 0,9812 0,9643 0,9375 0,8976 0,8414 0,7662 0,6706 0,5551 0,4233 0,2834 0,1497 0,0444 6 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9994 0,9984 0,9963 0,9922 0,9848 0,9720 0,9510 0,9176 0,8665 0,7903 0,6794 0,5217 0,3017 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 8 0 0,6634 0,4305 0,2725 0,1678 0,1001 0,0576 0,0319 0,0168 0,0084 0,0039 0,0017 0,0007 0,0002 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,9428 0,8131 0,6572 0,5033 0,3671 0,2553 0,1691 0,1064 0,0632 0,0352 0,0181 0,0085 0,0036 0,0013 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,9942 0,9619 0,8948 0,7969 0,6785 0,5518 0,4278 0,3154 0,2201 0,1445 0,0885 0,0498 0,0253 0,0113 0,0042 0,0012 0,0002 0,0000 0,0000 3 0,9996 0,9950 0,9786 0,9437 0,8862 0,8059 0,7064 0,5941 0,4770 0,3633 0,2604 0,1737 0,1061 0,0580 0,0273 0,0104 0,0029 0,0004 0,0000 4 1,0000 0,9996 0,9971 0,9896 0,9727 0,9420 0,8939 0,8263 0,7396 0,6367 0,5230 0,4059 0,2936 0,1941 0,1138 0,0563 0,0214 0,0050 0,0004 5 1,0000 1,0000 0,9998 0,9988 0,9958 0,9887 0,9747 0,9502 0,9115 0,8555 0,7799 0,6846 0,5722 0,4482 0,3215 0,2031 0,1052 0,0381 0,0058 6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9987 0,9964 0,9915 0,9819 0,9648 0,9368 0,8936 0,8309 0,7447 0,6329 0,4967 0,3428 0,1869 0,0572 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9998 0,9993 0,9983 0,9961 0,9916 0,9832 0,9681 0,9424 0,8999 0,8322 0,7275 0,5695 0,3366 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 9 0 0,6302 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,1250 0,0911 0,0640 0,0429 0,0270 0,0156 0,0080 0,0034 0,0010 0,0001 1 0,9288 0,7748 0,5995 0,4362 0,3003 0,1960 0,1211 0,0705 0,0385 0,0195 0,0091 0,0038 0,0014 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,9916 0,9470 0,8591 0,7382 0,6007 0,4628 0,3373 0,2318 0,1495 0,0898 0,0498 0,0250 0,0112 0,0043 0,0013 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,9994 0,9917 0,9661 0,9144 0,8343 0,7297 0,6089 0,4826 0,3614 0,2539 0,1658 0,0994 0,0536 0,0253 0,0100 0,0031 0,0006 0,0001 0,0000 4 1,0000 0,9991 0,9944 0,9804 0,9511 0,9012 0,8283 0,7334 0,6214 0,5000 0,3786 0,2666 0,1717 0,0988 0,0489 0,0196 0,0056 0,0009 0,0000 5 1,0000 0,9999 0,9994 0,9969 0,9900 0,9747 0,9464 0,9006 0,8342 0,7461 0,6386 0,5174 0,3911 0,2703 0,1657 0,0856 0,0339 0,0083 0,0006 6 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9987 0,9957 0,9888 0,9750 0,9502 0,9102 0,8505 0,7682 0,6627 0,5372 0,3993 0,2618 0,1409 0,0530 0,0084 7 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9986 0,9962 0,9909 0,9805 0,9615 0,9295 0,8789 0,8040 0,6997 0,5638 0,4005 0,2252 0,0712 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9992 0,9980 0,9954 0,9899 0,9793 0,9596 0,9249 0,8658 0,7684 0,6126 0,3698 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 10 0 0,5987 0,3487 0,1969 0,1074 0,0563 0,0282 0,0135 0,0060 0,0025 0,0010 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,9139 0,7361 0,5443 0,3758 0,2440 0,1493 0,0860 0,0464 0,0233 0,0107 0,0045 0,0017 0,0005 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 2 0,9885 0,9298 0,8202 0,6778 0,5256 0,3828 0,2616 0,1673 0,0996 0,0547 0,0274 0,0123 0,0048 0,0016 0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 3 0,9990 0,9872 0,9500 0,8791 0,7759 0,6496 0,5138 0,3823 0,2660 0,1719 0,1020 0,0548 0,0260 0,0106 0,0035 0,0009 0,0001 0,0000 0,0000 4 0,9999 0,9984 0,9901 0,9672 0,9219 0,8497 0,7515 0,6331 0,5044 0,3770 0,2616 0,1662 0,0949 0,0473 0,0197 0,0064 0,0014 0,0001 0,0000 5 1,0000 0,9999 0,9986 0,9936 0,9803 0,9527 0,9051 0,8338 0,7384 0,6230 0,4956 0,3669 0,2485 0,1503 0,0781 0,0328 0,0099 0,0016 0,0001 6 1,0000 1,0000 0,9999 0,9991 0,9965 0,9894 0,9740 0,9452 0,8980 0,8281 0,7340 0,6177 0,4862 0,3504 0,2241 0,1209 0,0500 0,0128 0,0010 7 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9952 0,9877 0,9726 0,9453 0,9004 0,8327 0,7384 0,6172 0,4744 0,3222 0,1798 0,0702 0,0115 8 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9983 0,9955 0,9893 0,9767 0,9536 0,9140 0,8507 0,7560 0,6242 0,4557 0,2639 0,0861 9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9997 0,9990 0,9975 0,9940 0,9865 0,9718 0,9437 0,8926 0,8031 0,6513 0,4013 10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000