cap4 aula1

S

Dinâmica de Voo

Espacial

Cap. IV – Equações Do Movimento

De Foguetes Rígidos

Profª Maria Cecília Zanardi Julho/2015

Introdução

S

Consideremos o foguete como um sistema de massa

limitado por uma superfície fechada S, formada por uma

superfície externa S

do foguete e uma superfície A

, limitada

pelo contorno do bocal de saída dos gases de combustão:

Sr

A_e

Introdução

Suposições Adicionais

1.

Exceto pelo propelente queimado (consumido),

toda a massa limitada pela superfície S forma um corpo

indeformável, e esta é a razão para chamarmos o foguete

hipoteticamente de foguete rígido.

Na realidade existem foguetes não rígidos, como os foguetes com

propelente líquido, onde existe movimento de fluído dentro do

tanque, existindo equipamentos girantes tais como turbinas e

bombas.

Introdução

S

Suposições Adicionais

2.

A superfície externa S

do foguete, exceto talvez a parte de S

a

qual é formada pela superfície externa do bocal, tem um eixo

de simetria: o eixo longitudinal do foguete.

3.

O centro de massa do foguete alinha-se neste eixo

O eixo longitudinal é um eixo principal de inércia.

Introdução

S

O movimento do foguete, considerando estas simplificações, em

geral se aproxima muito bem do movimento real do foguete.

S

No entanto, as equações do movimento permanecem ainda

complicadas, apesar das suposições.

S

Na prática temos que escolher um sistema que durante a missão

pode ser aproximado para um sistema inercial com exatidão

suficiente para os fins da missão em questão.

S

Assim, o movimento de translação da Terra pode ser negligenciado se

Introdução

S

Alguns termos, são muito pequenos quando comparados à

outros termos, e não tem grande influência no movimento,

de maneira que podem ser negligenciados.

S

Algumas vezes poderemos provar que realmente a

Sistemas de Referência

Sistema Inercial: 0XYZ

a. Centrado no CM da Terra, ORIGEM 0; b. O plano fundamental sendo o EQUADOR; c. Eixo Z dirigido para o Pólo Norte;

Sistemas de Referência

Sistema Inercial: 0XYZ

d. O eixo X estando no plano do Equador e esta dirigido para o ponto vernal (ponto em que o plano da órbita da Terra em torno do Sol cruza o plano do Equador, quando passa o hemisfério sul para o norte) ;

e. O eixo Y esta no plano do Equador 90º de X, formando um sistema

Sistemas de Referência

Sistema Inercial: 0XYZ

S Os vetores unitários deste sistema são:

: , ,_{e e} eX Y Z

 



























e

e

e

e

Sistemas de Referência

Sistema Geocêntrico: 0X

Y

Z

a. Centrado no CM da Terra, origem O;

b. O eixo Z_g na direção do eixo de rotação da Terra apontando para o norte (portanto coincide com o eixo OZ do sistema inercial);

c. Os eixos X_g e Y_g estão no plano do Equador, com o eixo X_g dirigido

para o ponto de intersecção entre o meridiano de Greenwich e o Equador, sendo que o eixo Y_g forma o sistema dextrogiro.

Sistemas de Referência

Sistema Geocêntrico: 0X

Y

Z

S Se são os vetores unitários deste sistema:

 

Sistemas de Referência

Sistema Geocêntrico: 0X

Y

Z

S Este sistema de referência é conveniente para especificar a posição do

foguete relativo à superfície da Terra, pois conhecido a posição do foguete neste sistema e a posição de de um ponto na superfície da Terra e sendo o vetor posição do foguete em relação à superfície da Terra, então:

Sistemas de Referência

Sistema Geocêntrico: 0X

Y

Z

S Como a Terra gira em torno do eixo OZ com velocidade angular Ω_e temos

que a velocidade angular do sistema geocêntrico em relação ao sistema inercial é dado por:

Sistemas de Referência

Sistema Geocêntrico: 0X

Y

Z

S O vetor posição pode ser dado pelo

módulo do raio vetor , pela latitude geocêntrica Φ e longitude λ:

S sendo que -90°≤Φ≤90°, positivo

para o hemisfério norte e

Sistemas de Referência

Sistema Vertical: 0X

Y

Z

a. Centrado no CM do foguete, origem C,

b. O eixo Z_V está orientado segundo o raio vetor R (que une o CM da Terra ao CM do

foguete, direção da vertical local) apontando para o centro da Terra,

c. O eixo X_V está na direção norte-sul, positivo para o norte.

Sistemas de Referência

S Os vetores deste sistema são: e temos:

Sistemas de Referência

S Os vetores deste sistema são:

e temos:

e e e_XV, _YV, _ZV

Sistemas de Referência

a. O centro de massa do foguete é a origem deste sistema;

b. O eixo x alinha-se ao longo do eixo longitudinal do foguete e positivo

para frente;

Sistemas de Referência

S Este sistema possui:

c. Os eixos y e z alinham-se ao longo dos dois outros eixos principais do

veículo, formando um sistema dextrogiro.

Sistemas de Referência

S Os vetores unitários deste sistema são :

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S O sistema geocêntrico é fixo na Terra e, portanto acompanha o

movimento de rotação da Terra, ou seja, gira em torno do eixo Z do sistema inercial com a velocidade Ω_e.

S Sua orientação em relação ao sistema inercial é determinada pelo ângulo

entre os eixos X e X_g : ângulo horário.

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S Se para t = t₀ os dois sistemas

coincidem, então:

Plano do Equador

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S Sendo:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S E a velocidade angular do sistema geocêntrico com relação ao inercial,

como já vimos, será:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S O vertical, centrado no foguete, é obtido do sistema geocêntrico através

de duas rotações sucessivas e de uma translação:

1. Primeiro, giramos o eixo Z_g de um ângulo λ (longitude geográfica);

2. Depois, giramos o novo eixo Y’

de um ângulo

Sistema Geocêntrico e Vertical:

- p 2 +f æ è ç ö ø ÷.

Eixo Zv– direção vertical

Plano Xv Yv – plano do horizonte. Plano horizontal

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S Portanto:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S Portanto:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S Portanto:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S A velocidade angular do sistema vertical em relação ao geocêntrico será:

S Utilizando a matriz de transformação L_Vg temos:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S E a velocidade angular do sistema vertical em relação ao sistema inercial

será:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S

Três ângulos de Euler: ψ, θ, Φ, sequencia 3-2-1

1. Girar o eixo Z_V de um ângulo ψ,

2. Depois girar de novo o eixo Y’_V de um ângulo θ

3. E por fim girar o eixo x de Φ.

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S ψ = ângulo de azimute, é o ângulo entre o

plano vertical que contém o eixo

longitudinal do foguete e o eixo X_V.

S θ = ângulo de elevação, é o ângulo entre o eixo x e o plano do horizonte local

S ϕ = ângulo de declive, é o ângulo entre o eixo z e o plano vertical que contém o eixo longitudinal. Φ Φ θ Ψ Ψ θ XV Z_V YV X Y Z

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S A relação entre os sistemas será:

S L_pV já foi obtido no Capítulo III e é dada por:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S Como já vimos também no Capitulo III, a velocidade angular do sistema vertical

é dada por:

S (Ω_𝑝/𝑉) = *−𝜓 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝜙 +𝑒 _𝑥 + *𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 + 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 +𝑒 _𝑦 + *𝜓 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 − 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 +𝑒 _𝑧

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S Como queremos determinar a matriz de transformação L_pI, ou seja:

Relação Entre os Sistemas de

Referência

S A velocidade angular do sistema do veículo em relação ao sistema

inercial será:

Equações Dinâmicas

S

Se é a velocidade do CM do foguete em relação ao

sistema inercial, Ω a velocidade angular do sistema fixo no

foguete (ou seja, é a própria velocidade angular do foguete),

então as equações do movimento de rotação e de translação

do foguete, como vimos no Capítulo II, podem ser obtidas

por:

Equações Dinâmicas

Onde:

S

é o vetor posição do elemento de massa dM relativo ao CM

do foguete,

S

é a força externa atuando sobre o foguete,

Equações Dinâmicas

S

Os outros termos do lado direito das equações são as forças

Equações Dinâmicas

S

Sendo que as parcelas e representam a velocidade e

aceleração dos componentes de combustão com relação ao

centro de massa do foguete.

Equações Dinâmicas

S

Se e - a velocidade dos componentes de combustão com

relação a estrutura do foguete rígido e

S

e

velocidade e aceleração do CM com relação a

Equações Dinâmicas

S

No desenvolvimento das expressões das forças e momentos

aparentes, em um meio fluído de densidade ρ:

S

Sendo um vetor qualquer, a velocidade do fluído em

relação ao volume de controle considerado, e um vetor

unitário normal a superfície A

.

Equações Dinâmicas

S Esta relação pode ser

demonstrada utilizando o teorema de transporte de Reynolds e o teorema de Gauss;

S A última equação também é

válida substituindo-se por ;

S Nas nossas aplicações o fluído

considerado será os componentes da combustão.

d dt

d dt