Marcos Rogério de Souza
Uma abordagem de campos para o efeito
Aharonov-Bohm
Brasil
2019
Marcos Rogério de Souza
Uma abordagem de campos para o efeito
Aharonov-Bohm
Trabalho de dissertação apresentado ao Pro-grama de Pós Graduação em Física da Uni-versidade Federal de Itajubá, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Física - Área de concentração: Física Teó-rica
Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI Instituto de Física e Química Programa de Pós-Graduação em Física
Orientador: Fabrício Augusto Barone Rangel
Brasil
2019
Uma abordagem de campos para o efeito
Aharonov-Bohm
Trabalho de dissertação apresentado ao Pro-grama de Pós Graduação em Física da Uni-versidade Federal de Itajubá, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Física - Área de concentração: Física Teó-rica
Trabalho aprovado. Brasil, 29 de março de 2019:
Fabrício Augusto Barone Rangel
Orientador Professor Convidado 1 Professor Convidado 2
Brasil
2019
Este trabalho é dedicado ao meu pai, Rogério, que deixou a maior herança que um pai pode deixar para um filho - o caráter.
Agradecimentos
Agradeço à minha família, em especial minha mãe Cristina e minha irmã Patrícia, pelo apoio incondicional em todos estes anos em que estive em Itajubá aprendendo física; À minha namorada Daniele, pois sabemos que não é fácil aturar um pós-graduando; Aos meus amigos, pelo companheirismo, pelas risadas nos momentos de desespero e pelas discussões metafísicas na sala da pós;
Ao meu orientador Fabrício, por me proporcionar este grande desafio;
E à CAPES, pelo suporte financeiro que me permitiu dedicação exclusiva ao programa.
“Estude com afinco o que mais lhe interessa da maneira mais indisciplinada, irreverente e original possível.” (Richard Feynman)
Resumo
Neste trabalho de dissertação propomos uma interpretação para o efeito Aharonov-Bohm em termos da interação entre os campos eletromagnéticos. Nesta proposta, o campo gerado pela função de onda carregada interage com o campo de Aharonov-Bohm, produzido por uma fonte externa. Inicialmente, apresentamos uma revisão sobre a interpretação usual do efeito, bem como uma proposta de interpretação em termos de campos por abordagens semiclássicas. Então, apresentamos uma formulação lagrangeana de uma teoria não-relativística de campo que descreve a interação entre uma partícula quântica carregada e o campo eletromagnético clássico, incluindo fontes externas. Determinamos então os campos eletromagnéticos gerados pelo campo não relativístico e sua energia de interação com a fonte externa. Para o rotor quântico, mostramos que a mudança no espectro de energia de uma partícula carregada devido à presença do potencial de Aharonov-Bohm pode ser interpretada como a energia de interação do sistema. Para os casos de espalhamento, mostramos que é possível obter a mudança de fase das partículas como consequência da evolução temporal do sistema. Por fim, mostramos que na presença de materiais lineares e isotrópicos, o efeito depende da permissividade elétrica e permeabilidade magnética do meio.
Abstract
In this thesis we propose an interpretation for the Aharonov-Bohm effect in terms of the interaction between electromagnetic fields. In this proposal, the field generated by the charged wave function interacts with the Aharonov-Bohm field, produced by an external source. First, we present a review on the usual interpretation of the effect, as well as a proposal to interpret it in terms of fields by using semiclassical approaches. Then we present a Lagrangian formulation for a non-relativistic field theory that describes the interaction between a charged quantum particle and the classical electromagnetic field, including external sources. Thus, we determine the electromagnetic fields generated by the non-relativistic field and its interaction energy with the external source. For the quantum rotor, we show that the change in the energy spectrum of a charged particle due to the presence of the Aharonov-Bohm potential can be interpreted as due to the interaction energy of the system. For the scattering cases, we show that it is possible to obtain the phase changes of the particles as a consequence of the time evolution of the system. Finally, we show that in the presence of linear and isotropic materials, the effect depends on the electric permittivity and the magnetic permeability of the material medium.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Partícula restrita a mover-se sobre um anel de raio R (rotor quântico). 26
Figura 2 – Uma partícula se move sobre o anel externo (raio R), com momentum angular n~ ˆz . Internamente à este anel, um solenoide de raio a e
comprimento infinito é ligado, produzindo um campo magnético em seu interior. . . 29
Figura 3 – a: dispositivo de separação do feixe. b: região de interferência. . . . 31
Figura 4 – Deslocamento do padrão de interferência devido à ação do potencial vetor magnético sobre as funções de onda. O feixe atravessa um dispo-sitivo de interferência (por exemplo, uma fenda dupla) e as partículas difratadas são capturadas em uma superfície de detecção. Em vermelho, o padrão de interferência esperado para um experimento usual de fenda dupla. Em verde, o padrão deslocado devido à diferença de fase ∆g. . . 33
Figura 5 – Um feixe de partículas é dividido em dois feixes representados pelas fun-ções de onda Ψ1 e Ψ2 (a). Os feixes são redirecionados pelos dispositivos
b1 e b2 para dentro de dois tubos metálicos, um mantido a um potencial
nulo, enquanto é ativado no outro um potencial elétrico no intervalo t1 → t2. Os feixes são novamente redirecionados pelos dispositivos c1 e
c2 e a diferença de fase entre eles é medida em d. . . . 34
Figura 6 – Partícula movendo-se próxima a um solenoide de raio a. . . . 36
Figura 7 – Duas partículas carregadas se movendo sobre fios de comprimento L → ∞ próximas a um solenoide com campo magnético interno πaΦ2z.ˆ . 71
Figura 8 – Duas partículas se movem sobre fios retilíneos longos, internas a tubos condutores. Durante um intervalo de tempo ∆t = t2− t1, é aplicada
uma diferença de potencial entre as camadas de um dos tubos, gerando um campo elétrico entre elas. . . 75
Figura 9 – Caminho de integração. A curva C fechada é composta por uma seção sobre o eixo real, de −r à r, e uma seção Cθ formada por uma semi-circunferência de raio r. . . . 92
Sumário
1 INTRODUÇÃO . . . 17
2 O EFEITO AHARONOV-BOHM . . . 21
2.1 A função de onda na presença de potenciais eletromagnéticos . . . 21
2.1.1 Equação de Schrödinger . . . 21
2.1.2 Mudança de fase na função de onda . . . 24
2.2 Efeito Aharonov-Bohm magnético: estado ligado . . . 26
2.2.1 O rotor quântico . . . 26
2.2.2 Rotor quântico na presença de um solenoide: tratamento padrão . . . 28
2.3 Efeito Aharonov-Bohm magnético: estado de espalhamento . . . 31
2.4 Efeito Aharonov Bohm elétrico . . . 33
2.5 Interpretação semiclássica em termos de campos magnéticos . . . . 35
3 CAMPO ELETROMAGNÉTICO DE UMA PARTÍCULA QUÂN-TICA CARREGADA . . . 39
3.1 Campo de Maxwell . . . 39
3.1.1 Densidade lagrangeana do campo eletromagnético. . . 39
3.1.2 Equações de Maxwell . . . 42
3.2 Campo de Schrödinger . . . 44
3.2.1 Densidade Lagrangeana de Schrödinger . . . 44
3.2.2 Densidade Lagrangeana de Schrödinger na presença de um campo eletro-magnético . . . 46
3.3 Campo gerado por uma partícula quântica carregada . . . 49
3.3.1 Lagrangeana de interação . . . 49
3.3.2 Função de Green . . . 50
3.3.3 Hamiltoniana . . . 52
4 INTERPRETAÇÃO DO EFEITO AHARONOV-BOHM EM TER-MOS DA INTERAÇÃO DOS CAMPOS . . . 55
4.1 Rotor quântico na presença do potencial de Aharonov-Bohm . . . . 55
4.1.1 Corrente de Matéria na presença do campo de Araronov-Bohm . . . 56
4.1.2 Função de Green para o rotor quântico . . . 57
4.1.3 Campo magnético gerado pelo rotor quântico . . . 60
4.1.4 Espectro de energia . . . 63
4.2 Estado de espalhamento na presença do potencial de Aharonov-Bohm 66 4.2.1 Campo magnético gerado por uma partícula em um fio retilíneo . . . 66
4.3 Efeito Aharonov-Bohm elétrico . . . 74
4.4 Cálculo por correntes . . . 77
4.5 Efeito Aharonov-Bohm em meios materiais lineares . . . 80
4.6 Fonte do campo de Aharonov-Bohm . . . 82
5 CONCLUSÃO . . . 85
A APÊNDICES . . . 87
A.1 Cálculos de campos magnéticos utilizados neste trabalho . . . 87
A.2 Representações da função Delta de Dirac . . . 88
A.3 Funções Modificadas de Bessel e algumas propriedades . . . 89
A.4 Solução da equação modificada de Bessel . . . 89
A.5 Integrais úteis . . . 91
A.6 Cálculo da integral de Ge0(ω, k, s; R, R) pelo teorema dos resíduos . . 91
17
1 Introdução
Em 1948, Ehrenberg e Siday estudavam a construção de uma lente magnética para um espectrômetro beta; essencialmente, um método de desviar partículas beta fazendo-as passar através de campos magnéticos uniformes [1]. Utilizando uma analogia ótico-mecânica, mostraram, através de cálculos teóricos, que o potencial vetor magnético poderia se comportar como um componente de um “índice de refração” da lente magnética, alterando o comportamento de um feixe de elétrons passando através da lente [2]. Entretanto, a dependência explícita do potencial vetor magnético levou à constatação de um efeito curioso: se dois feixes de elétrons passassem pelos lados opostos de uma região fechada com campo magnético interno (por exemplo, um solenoide), haveria uma diferença de fase observável entre os dois feixes, mesmo que os elétrons estivessem em uma região de campo magnético nulo. Isso ocorria pois, embora o campo magnético fosse nulo nas regiões onde as partículas estavam, o potencial vetor magnético não era.
Na época, este fenômeno não obteve atenção suficiente da comunidade científica, sendo tratado por alguns colegas de Ehrenberg e Siday como um provável erro ainda não identificado. Foi só em 1959 que este efeito ganhou notoriedade com a publicação do celebrado artigo “Significance of Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory” [3], onde Y. Aharonov e D. Bohm deduzem o mesmo efeito de maneira independente e com argumentos mais profundos. Estendendo a análise para casos mais gerais, propuseram configurações do efeito envolvendo a ação de potenciais elétricos e magnéticos sobre partículas carregadas em regiões de campos nulos. Desde então, este fenômeno ficou conhecido como Efeito Aharonov-Bohm1.
Desde a consolidação do eletromagnetismo clássico, os potenciais eletromagnéticos sempre foram interpretados como campos matemáticos desprovidos de significado físico, servindo apenas como funções auxiliares usadas para efetuar cálculos. Com a descoberta do efeito Aharonov-Bohm, esta interpretação passou a ser questionada: seriam os potenciais eletromagnéticos as quantidades físicas fundamentais do eletromagnetismo, e não apenas campos auxiliares?
Muitos experimentos foram realizados desde então [5][6][7][8], comprovando o efeito. O impacto conceitual trazido por estas descobertas foi muito forte, o que motivou uma série de trabalhos propondo uma interpretação para o efeito em termos dos campos, ao invés dos potenciais [9][10][11][12]. Em geral, estes trabalhos recorrem à abordagens semiclássicas para a explicação dos fenômenos, utilizando conceitos como forças de reação. Embora
1 Em 1962, em outra publicação sobre o tema [4], Aharonov e Bohm reconheceram o pioneirismo dos trabalhos de Ehrenberg e Siday, e atualmente o fenômeno é tratado em alguns textos como efeito Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm.
consigam obter os mesmos resultados, estas abordagens assumem uma série de hipóteses e idealizações, muitas delas pela necessidade técnica de tornar os cálculos possíveis de serem feitos. Além disso, as técnicas utilizadas são particulares de cada problema, não havendo um formalismo único para explicar as diversas configurações do efeito.
Neste trabalho, propomos uma interpretação alternativa, mostrando que o efeito Aharonov-Bohm pode ser visto, exclusivamente, como uma consequência da interação entre os campos eletromagnéticos gerados pela partícula e pela fonte externa que gera um campo de Aharonov-Bohm, o que introduz uma energia de interação no sistema. Além disso, propomos que a mudança de fase nas partículas seja proveniente da evolução temporal do sistema, em contraponto à interpretação de fase geométrica usualmente empregada [13][14]. Para atestar a validade desta proposta, revisitamos as principais configurações do efeito à luz desta interpretação, obtendo resultados compatíveis com os que vem sendo apresentados na literatura nos últimos 60 anos.
Como já mencionado, a interpretação do efeito Aharonov-Bohm em termos da interação dos campos eletromagnéticos gerado por partículas já foi considerada em outros trabalhos na literatura. Nessa dissertação usamos uma abordagem de teoria de campo, na qual consideramos não partículas, mas o campo de Schrödinger (não relativístico) minimamente acoplado ao campo de calibre.
As discussões apresentadas neste trabalho seguem a seguinte estrutura:
No capítulo 2, apresentamos uma rápida revisão de alguns conceitos básicos de mecânica quântica2 necessários para a compreensão deste trabalho, como a equação de
Schrödinger e o operador de evolução temporal. Apresentamos a equação modificada
de Schrödinger, que leva em consideração a atuação dos potenciais eletromagnéticos
so-bre partículas carregadas. Então, apresentamos as configurações tradicionais do efeito Aharonov-Bohm, reproduzindo os cálculos convencionais (em termos de potenciais) co-nhecidos na literatura [15][13][16][3][17], a saber: a quebra de degenerescência do espectro de energia do rotor quântico e as diferenças de fase induzidas em feixes de partículas carregadas, devido à presença do campo de Aharonov-Bohm (efeito AB magnético) e as diferenças de fase provocadas devido à presença de tubos condutores carregados (efeito AB elétrico). Depois, discutimos a interpretação semiclássica de Boyer para o efeito AB magnético [9].
No capítulo 3, apresentamos o formalismo lagrangeano do eletromagnetismo, in-troduzindo a lagrangeana de Maxwell e algumas de suas propriedades. Neste contexto, deduzimos as equações de Maxwell como equações de movimento de Euler-Lagrange através do tensor de campo Fµν. De modo semelhante, tratamos a lagrangeana de Schrödinger, cujas equações de movimento levam à equação de Schrödinger.
2 Neste trabalho, utilizamos a interpretação de Copenhague, usualmente apresentada nos livros texto das disciplinas de Mecânica Quântica
19
Impondo sobre a lagrangeana de Schrödinger um acoplamento mínimo com o campo eletromagnético (substituindo as derivadas ordinárias por derivadas covariantes), obtemos uma lagrangeana cujas equações de movimento levam à equação modificada de Schrödinger (equação de Schrödinger na presença de campos eletromagnéticos). Somando esta lagrangeana à de Maxwell, obtemos uma lagrangeana total, onde notamos uma corrente intrínseca proveniente do campo de Scrödinger (partículas quânticas), além de possíveis correntes externas, e um termo d epotencial potencial adicional para o campo eletromagnético (ou seja, um termo quadrático no campo de calibre). Ainda neste capítulo, obtemos a hamiltoniana total do sistema, que pode ser separada em termos de auto-energia e energias de interação, que podem ser escritas em termos dos campos eletromagnéticos do sistema. A hamiltoniana de interação apresentada é o cerne da interpretação para o efeito Aharonov-Bohm apresentada nessa dissertação.
No capítulo 4, voltamos aos problemas discutidos no capítulo 2, desta vez re-correndo à uma abordagem de campos, através do formalismo apresentado no capítulo 3. Utilizando funções de Green, calculamos os potenciais eletromagnéticos gerados pelo campo de Schrödinger (partículas quânticas carregadas). Por questões técnicas, utilizamos representações das funções de Green no espaço de Fourier, levando à soluções em termos de funções de Bessel modificadas. Buscamos investigar as configurações do efeito AB da forma mais fiel possível, impondo o mínimo de modificações e condições aos sistemas. Uma dessas modificações foi a substituição de feixes de partículas (descritos por estados de espalhamento tridimensionais) por partículas se propagando sobre fios retilíneos infinitos. Os campos obtidos são utilizados para determinar a energia de interação entre as partículas. Como será mostrado, esta energia de interação explica a mudança no espectro de energia do rotor quântico na presença do potencial de Aharonov-Bohm, bem como as diferenças de fase observadas nas demais configurações. Os resultados obtidos concordam com aqueles apresentados no capítulo 2 e bem conhecidos na literatura.
Ao final do capítulo 4, é feita uma breve discussão sobre o efeito AB na presença de meios materiais. Por simplicidade, consideramos meios lineares e isotrópicos. Vemos que a modificação causada pela presença destes materiais é bastante simples, introduzindo um fator multiplicativo na energia de interação (e consequentemente nas mudanças de fase), cuja natureza está associada às características elétrica e/ou magnética do material.
Por fim, apresentamos as conclusões extraídas deste trabalho assim com alguns comentários finais. Identidades matemáticas e outros resultados úteis não apresentados no corpo principal do trabalho são discutidos no apêndices.
21
2 O Efeito Aharonov-Bohm
Como discutido na introdução, o efeito Aharonov-Bohm deu surgimento à uma questão conceitual muito forte: seriam os potenciais (e não os campos) eletromagnéticos os verdadeiros entes físicos primordiais da teoria eletromagnética? Os potenciais sempre foram vistos como funções auxiliares, e grandezas físicas mensuráveis não deveriam depender explicitamente deles. Tal interpretação é reforçada pela invariância de calibre que estes apresentam. Entretanto, no regime quântico, estas funções auxiliares produzem efeitos nas partículas, mesmo em regiões em que os campos são nulos. Esses efeitos tem sido interpretados nas últimas décadas como consequência do acoplamento mínimo entre a partícula e os potenciais, na equação de Shcrödinger [3][4], e por fases geométricas introduzidas nessas funções de onda devido à presença dos potenciais [14].
Neste capítulo, exploraremos esta interpretação através de uma revisão dos resulta-dos mais relevantes obtiresulta-dos acerca do efeito Aharonov-Bohm até o momento. A abordagem apresentada aqui é comumente encontrada em livros de mecânica quântica [15][13] e em artigos de revisão sobre o assunto [18][19][20].
Apresentamos aqui também uma conhecida proposta de explicação semiclássica para o efeito Aharonov-Bohm em termos dos campos eletromagnéticos, desenvolvida por Boyer[9].
2.1
A função de onda na presença de potenciais eletromagnéticos
2.1.1
Equação de Schrödinger
A equação de Schrödinger, utilizada para descrever a dinâmica de um sistema de partículas em mecânica quântica, pode ser construída no espaço de configurações através da quantização canônica da função hamiltoniana clássica para um sistema de partículas. Neste sentido, é também possível descrever a dinâmica de um sistema quântico submetido a um campo eletromagnético, quantizando a correspondente hamiltoniana clássica.
Nessa seçao faremos uma breve revisão de alguns aspectos da Equaçao de Schrö-dinger para sistemas compostos de uma única partícula.
A hamiltoniana para uma partícula clássica de massa m é escrita, em termos de sua posição r e seu momentum canonicamente conjugado Π, como
H = Π
2
2m + V (r; t) =
p2
2m + V (r; t), (2.1)
ressaltar neste momento que, embora o momentum canonicamente conjugado neste caso seja o próprio momentum linear da partícula, isto nem sempre é verdade, como veremos logo mais.
Através da quantização canônica, convertemos as variáveis dinâmicas em operadores (H → ˆH, p → ˆP , r → ˆR):
ˆ
H = Pˆ 2
2m + V ( ˆR; t). (2.2)
A equação de Schrödinger para um vetor de estado |Ψ(t)i é postulada como uma equação diferencial para a variável temporal:
ˆ H |Ψ(t)i = i~∂ ∂t|Ψ(t)i , ˆ P2 2m+ V ( ˆR; t) |Ψ(t)i = i~ ∂ ∂t|Ψ(t)i ; (2.3)
para expressarmos esta equação em termos das coordenadas espaciais e da função de onda Ψ(r, t), aplicamos à ambos os lados da equação o vetor dual hr|:
hr| ˆ P2 2m + V ( ˆR; t) |Ψ(t)i = hr| i~ ∂ ∂t|Ψ(t)i , −~2 2m∇ 2+ V (r; t) hr|Ψ(t)i = i~ ∂ ∂thr|Ψ(t)i , −~2 2m∇ 2+ V (r; t) Ψ(r, t) = i~ ∂ ∂tΨ(r, t), (2.4)
onde foram usadas as relações:
ˆ
P |ri = i~∇ |ri ,
hr| ˆP = −i~∇ hr| .
(2.5)
No caso em que o potencial não depende do tempo, V (r; t) = V (r), a equação (2.4) é separável nas variáveis espaciais e na variável temporal. Nesse caso, sob a condição de que o vetor de onda possa ser expresso em auto-estados de energia E, e que a hamiltoniana não dependa explicitamente do tempo, ou seja,
ˆ
H |Ψ(t)i = E |Ψ(t)i , (2.6)
e expressando a função de onda de forma separável, Ψ(r, t) = ψ(r)f (t), podemos obter a Equação de Schrödinger independente do tempo:
−~2
2m ∇
2.1. A função de onda na presença de potenciais eletromagnéticos 23
e a solução da parte temporal, neste caso, é imediata, obtida comparando-se a equação (2.7) com a equação (2.4):
f (t) = e−iEt/~, (2.8)
portanto, a função de onda total pode ser expressa na forma
Ψ(r, t) = ψ(r)e−iEt/~. (2.9)
Em muitos casos, é conveniente definir um operador de evolução temporal, ˆU (t2, t1),
que leva o vetor de estado de um instante de tempo t1 a um instante t2:
|Ψ(t2)i = ˆU (t2, t1) |Ψ(t1)i . (2.10)
Aplicando esta definição na equação (2.3): ˆ H ˆU (t, t0) |Ψ(t0)i = i~ ∂ ∂t ˆ U (t, t0) |Ψ(t0)i , ˆ H ˆU (t, t0) = i~ ∂ ∂t ˆ U (t, t0), (2.11) levando às soluções ˆ U (t, t0) = exp −i ~ ˆ H(t − t0)
, se ˆH é independente do tempo, (2.12a)
ˆ U (t, t0) = exp −i ~ Z t t0 dt0H(tˆ 0) , se [ ˆH(t1), ˆH(t2)] = 0, t1 6= t2; (2.12b)
A terceira solução, quando [ ˆH(t1), ˆH(t2)] 6= 0, que pode ser escrita em termos de
uma série de Dyson1, não será discutida neste trabalho. Isso nos sugere definir uma função
escalar U (t): U (t) = exp −i ~ Et , se E independe do tempo, exp −i ~ Z t dt0E(t0) se E depende do tempo, (2.13)
de modo que a função de onda possa ser expressa na forma2
Ψ(r, t) = ψ(r)U (t). (2.14)
1 Uma discussão detalhada sobre as soluções do operador de evolução temporal é apresentada na referência [15], seção 2.1.
2 Essa expressão só é válida se a função de onda for separável em suas coordenadas espaciais e temporais. Para os casos discutidos neste trabalho, esta condição sempre é satisfeita.
Agora, vamos analisar o caso de uma partícula sujeita a um campo eletromagnético. Neste caso, o momentum canonicamente conjugado Π não será apenas o momentum linear da partícula, mas conterá um termo associado ao momento do campo magnético definido pelo potencial vetor A:
Π = p − qA, (2.15)
além disso, a ação de um campo elétrico E = −∇ϕ, introduz uma energia potencial
V = qϕ. Então, a função hamiltoniana clássica para esta partícula será
H = Π
2
2m + V =
(p − qA)2
2m + qϕ. (2.16)
Os mesmos procedimentos de quantização canônica podem ser aplicados à esse caso, levando à equação de Schrödinger modificada:
1 2m − i~∇ − qA 2 + qϕ Ψ(r, t) = i~ ∂ ∂tΨ(r, t), (2.17)
e à correspondente equação independente do tempo:
1 2m − i~∇ − qA 2 + qϕ ψ(r) = Eψ(r). (2.18)
2.1.2
Mudança de fase na função de onda
Consideremos agora a seguinte situação: uma partícula, descrita pela função de onda Ψ, é submetida à ação de um potencial elétrico ϕ(t), função apenas do tempo na região em que a partícula se encontra (por exemplo, uma partícula confinada em uma Gaiola de Faraday, em cujo interior o campo elétrico é nulo e o potencial é independente da posição) . Vamos propor uma solução da forma
Ψ = Ψ0e−iSt/~, (2.19)
sendo Ψ0 a solução da equação de Schrödinger na ausência do potencial ϕ, e St uma fase
a ser determinada. Substituindo esta proposta na equação (2.17) com A = 0, teremos
− ~2 2m∇ 2+ qϕ(t) Ψ0e −iSt/~ = i~∂ ∂t Ψ0e −iSt/~ , − ~2 2m∇ 2Ψ 0− i~ ∂Ψ0 ∂t e −iSt/~+ Ψ 0qϕ(t)e−iSt/~ = Ψ0~ ∂St ∂t e −iSt/~, ∂St ∂t = qϕ(t) ~ , St= q ~ Z dtϕ(t). (2.20)
2.1. A função de onda na presença de potenciais eletromagnéticos 25
Agora, consideremos um cenário no qual a partícula está contida em uma região cujo campo magnético é nulo, porém, o potencial vetor A(r) é não-nulo, e varia apenas com as coordenadas espaciais. Propomos então uma solução em termos de uma fase Sr:
Ψ = Ψ0e−iSr/~. (2.21)
Semelhante ao que foi feito na equação (2.20), substituindo esta solução na equação (2.17), e usando as relações: ∇e−iSr/~= −i ~∇Sre −iSr/~, (2.22a) ∇2e−iSr/~= −i ~ ∇2Sr− i ~ ∇Sr 2 e −iSr/~, (2.22b) obtemos i~Ψ0∇2Sr+ Ψ0 ∇Sr 2 + 2i~∇Ψ0· ∇Sr +2qA ·i~∇Ψ0+ Ψ0∇Sr + q2A2Ψ0 = 0. (2.23)
A solução desta equação não é imediata como a equação (2.20). Entretanto, podemos fazer a seguinte reflexão: se a fase introduzida na função de onda pela atuação de um potencial ϕ(t) é proporcional à integral deste potencial na variável temporal, é razoável supor que a fase introduzida pela atuação de um potencial vetor A(r) seja proporcional à integral deste campo vetorial através da curva percorrida pela partícula. Como estamos considerando o campo magnético nulo nessa região (∇ × A = 0), a integral não deverá depender deste caminho3. Então, vamos propor a seguinte solução:
Sr = λ
Z
A · dr, λ constante, (2.24)
de onde extraímos as seguintes relações:
∇Sr = λA, (2.25a)
∇2S
r = 0 (gauge de Coulomb), (2.25b)
o que leva a equação (2.23) em uma equação algébrica para λ:
Ψ0A2(λ + q)2+ 2i~A · ∇Ψ0(λ + q) = 0, (2.26)
cuja solução é λ = −q.
3 Para que essa afirmativa seja verdadeira, devemos impor também que a partícula reside em um espaço
Se considerarmos uma situação onde a partícula se encontre em uma região de campo eletromagnético nulo, mas com potenciais ϕ(t) e A(r) não nulos, podemos juntar
St e Sr em um único termo, e a função de onda sofrerá uma mudança de fase dada por
Ψ(r, t) = Ψ0(r, t)eig(r,t), (2.27) onde g(r, t) = −q ~ Z r,t ϕ(t0)dt0− A(r0)dr0; (2.28)
este efeito pode ser também interpretado como um caso particular de fase geométrica[14].
2.2
Efeito Aharonov-Bohm magnético: estado ligado
2.2.1
O rotor quântico
Consideremos um anel de raio R, cujo eixo de simetria é o eixo z e que por simplicidade, fixaremos no plano xy. Sobre este anel, uma partícula de massa m move-se restrita apenas ao vínculo ρ = R, em um sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, φ, z = 0).
Figura 1 – Partícula restrita a mover-se sobre um anel de raio R (rotor quântico).
Denotemos por ψ(φ) a solução espacial da função de onda que representa esta partícula. A equação de Schrödinger independente do tempo para esta partícula será
− ~
2
2mR2
∂2ψ(φ)
2.2. Efeito Aharonov-Bohm magnético: estado ligado 27
Propondo uma solução ψ(φ) ∝ exp(βφ), a equação (2.29) leva à seguinte equação característica: β2 = −2mR 2E ~2 , β = ±in; n = R s 2mE ~2 . (2.30)
Uma vez que a energia E é toda proveniente do termo cinético da equação de Schrödinger, garantimos que n é real positivo. Com isso, obtemos a solução geral
ψ(φ) = Beinφ+ B0e−inφ, (2.31)
com B e B0 constantes. Como φ = 0 e φ = 2π representam o mesmo ponto no plano, a função de onda deve ser a mesma nestes dois casos. O mesmo vale para a derivada da função de onda, o que leva às condições de contorno periódicas:
ψ(0) = ψ(2π) → B + B0 = Be2πin+ B0e−2πin, (2.32a)
dψ(φ) dφ φ=0 = dψ(φ) dφ φ=2π → B − B0 = Be2πin− B0e−2πin, (2.32b) de onde obtemos: B = Be2πin, (2.33a) B0 = B0e−2πin; (2.33b)
estas condições só são satisfeitas se n for um número inteiro.
Para compreendermos o significado físico dos sinais nas exponenciais da solução (2.31), é conveniente escrever a função de onda como ψ(φ) = ψ+(φ) + ψ−(φ), onde
ψ+(φ) = Beinφ, (2.34a)
ψ−(φ) = B0e−inφ. (2.34b)
Medindo o valor do momentum angular na direção de z em ambos os estados (expresso na base de coordenadas |φi):
hφ| ˆLz ψ +E = −i~ ∂ ∂φψ + (φ) = n~ψ+(φ), hφ| ˆLz ψ −E = −i~ ∂ ∂φψ − (φ) = −n~ψ−(φ), (2.35) vemos que ψ+ e ψ−
representam autoestados de momentum angular com autovalores n~ e −n~, respectivamente. Se permitirmos que n admita valores negativos (n = ±Rq2mE/~2),
podemos simplificar a solução (2.31):
O fator A pode ser obtido através da condição de normalização da função de onda: Z 2π 0 dφR|ψ(φ)|2 = 1; A = √1 2πR, (2.37)
e portanto a solução para a função de onda normalizada é dada por
ψ(φ) = √1 2πRe
inφ, (n = 0, ±1, ±2, ±3...) (2.38)
Com isso, podemos determinar as funções densidade de probabilidade e densidade de corrente de probabilidade para a função de onda Ψ(φ; t) = ψ(φ)eiEt/~:
% = |Ψ|2 = 1 2πR, (2.39a) j = i~ 2m Ψ 1 R2 ∂Ψ∗ ∂φ − Ψ ∗ 1 R2 ∂Ψ ∂φ = n~ 2mπR2φ.ˆ (2.39b)
A energia da partícula pode ser obtida através da equação (2.30):
En =
n2
~2
2mR2. (2.40)
O espectro de energia apresenta degenerescência associada ao sinal de n. Como este sinal indica o sentido do momentum angular da partícula, esta degenerescência é esperada, uma vez que a energia deve depender apenas do valor absoluto do momentum angular, analogamente à energia de rotação clássica. Isto se torna evidente quando expressamos a energia em termos do momentum angular Lz = n~:
ELz =
L2 z
2mR2. (2.41)
2.2.2
Rotor quântico na presença de um solenoide: tratamento padrão
Na eletrodinâmica de Maxwell um solenoide cilíndrico infinitamente longo de raio
a, tendo como ˆz seu eixo de simetria, tem seu campo magnético dado por
Bsol = Φ πa2z,ˆ ρ < a 0, ρ > a (2.42)
onde Φ é o fluxo magnético produzido pelo solenoide em seu interior (figura2).
Embora o campo magnético seja nulo fora do solenoide, o potencial vetor não é:
Asol= Φρ 2πa2φˆ ρ < a, Φ 2πρ ˆ φ, ρ > a, (2.43)
2.2. Efeito Aharonov-Bohm magnético: estado ligado 29
Figura 2 – Uma partícula se move sobre o anel externo (raio R), com momentum angular n~ ˆz .
Inter-namente à este anel, um solenoide de raio a e comprimento infinito é ligado, produzindo um campo magnético em seu interior.
este potencial vetor é contínuo em ρ = a e satisfaz a equação (2.42) (Bsol = ∇ × Asol).
Consideremos agora a seguinte situação: no centro do rotor quântico, introduzimos um solenoide cilíndrico de raio a < R, conforme figura 2. Nesta situação, a equação de Schrödinger é modificada devido à presença do potencial vetor magnético produzido pelo solenoide em seu exterior, onde a partícula se encontra. Portanto, usando a equação (2.18), temos 1 2m − ~ 2∇2
+ q2A2sol+ 2i~qAsol· ∇
ψ = Eψ − ~ 2 2mR2 ∂2ψ ∂φ2 + i~qΦ 2mπR2 ∂ψ ∂φ + q2Φ2 8π2R2mψ = Eψ. (2.44) Definindo os fatores α = qΦ 2π~, β = 2mR 2E ~2 − α 2 , (2.45)
a equação (2.44) pode ser reduzida:
∂2ψ
∂φ2 − 2iα ∂ψ
∂φ + βψ = 0. (2.46)
ψ ∝ exp(λφ), obtendo a equação λ2− 2iαλ + β = 0; λ = in, n = α ± q α2+ β = qΦ 2π~ ± R s 2mE ~2 . (2.47) Aqui também as condições de contorno periódicas restringem n à valores inteiros e a solução para ψ (normalizada) será
ψ(φ) = √1 2πRe
inφ, (n = ±1, ±2, ±3...). (2.48)
Embora esta solução seja idêntica à solução (2.31), é importante observar que o número quântico n, embora assuma valores inteiros, é escrito em termos da energia do sistema de maneira diferente nos dois casos. Expressando a solução explicitamente em termos de E e Φ, temos que
ψ = √1 2πRexp i qΦ 2π~ ± R s 2mE ~2 φ . (2.49)
Podemos também escrever a energia do sistema em termos de n a partir da equação(2.47): En = ~ 2 2mR2 n − qΦ 2π~ 2 . (2.50)
Note que o operador de momentum angular na direção ˆz tem como autovalores n~, como não poderia deixar de ser, tanto no caso onde o solenoide está presente como no caso onde não há solenoide. Poderemos medir o momentum angular Lz(sol) em termos de sua
dependência com o fluxo magnético do solenoide e da energia correspondente do sistema. Se compararmos esta medida ao momentum angular Lz sem a presença do solenoide
(denotando a energia da partícula sem a presença do solenoide como El), temos que
Lz = ± R s 2mEl ~2 ~, (2.51a) Lz(sol) = qΦ 2π~ ± R s 2mE ~2 ~. (2.51b)
É importante notar que, além de modificar o espectro de energia da partícula, a presença do solenoide quebra a degenerescência observada no rotor livre (En 6= E−n). Isso
também pode ser observado pelo fato de que a energia não mais dependerá apenas do módulo do momentum angular, mas também de seu sentido (e do sinal de Φ), como segue
ELz(sol) = 1 2mR L2z(sol)− qΦLz(sol) π + q2Φ2 4π2 . (2.52)
2.3. Efeito Aharonov-Bohm magnético: estado de espalhamento 31
2.3
Efeito Aharonov-Bohm magnético: estado de espalhamento
Vamos abordar nessa seção a configuração mais conhecida e amplamente discutida do efeito Aharonov-Bohm: a mudança de fase de partículas carregadas na presença de um solenoide cilíndrico e infinitamente longo, que produz em seu interior um campo magnético uniforme.
Nas configurações típicas referentes ao Efeito Aharonov-Bohm, um feixe de partí-culas carregadas (em geral, elétrons) é dividido em duas partes através de algum processo de separação, usualmente, em um experimento de dupla fenda. Os dois feixes resultantes viajam por lados opostos à um solenoide cilíndrico infinito de raio a com um campo mag-nético como o da equação (2.42). Após passarem pelo solenoide, os feixes são novamente aproximados de modo a interferirem entre si (figura 3).
Figura 3 – a: dispositivo de separação do feixe. b: região de interferência.
Os feixes são divididos de tal forma que a função de onda total possa ser dividida como uma soma de duas funções de ondas, Ψ1 e Ψ2, correspondestes aos feixes que passam
pelo caminho superior e pelo caminho inferior, respectivamente:
Ψ = Ψ1+ Ψ2. (2.53)
Durante toda a trajetória ao redor do solenoide, as partículas sofrem a ação do potencial vetor (2.43). Essa ação introduzirá uma fase em cada uma das funções de onda, de modo que
Ψ = Ψ1eig1 + Ψ2eig2. (2.54)
A fase introduzida por esse solenoide em cada função de onda será, segundo a equação (2.28): g = q ~ Z rb ra Asol· dr = q ~ Φ 2π Z π/2 −π/2 Z ρ2 ρ1 1 ρ ˆ φ · (∓ ˆφ)ρdρdφ = ∓qΦ 2~, (2.55)
onde os sinais − e + correspondem respectivamente às funções Ψ1 e Ψ2, ra é a posição
inicial das partículas (no dispositivo de separação) e rb é a posição final (no detector). As
fases introduzidas em cada partícula são então:
g1 = − qΦ 2~, g2 = + qΦ 2~ , (2.56)
e a diferença de fase entre as partículas:
∆g = g2− g1 = qΦ
~ . (2.57)
Para entendermos os efeitos dessa diferença de fase nos resultados experimentais, vamos analisar sua implicação nos padrões de interferência. Iniciamos com o caso onde não há solenoide e, por simplicidade, vamos descrever ambos os feixes como ondas planas:
Ψ1 = Aeik·r1, (2.58a)
Ψ2 = Aeik·r2; (2.58b)
podemos determinar o padrão de interferência através da função densidade de probabilidade da função de onda total:
|Ψ|2 = |Ψ1| 2 + |Ψ2| 2 + Ψ∗1Ψ2+ Ψ1Ψ∗2 = 2A2 + A2eik·(r2−r1)+ A2e−ik·(r2−r1) = 2A2h1 + cosk · (r2− r1) i = A2cos2 k · (r2− r1) 2 , (2.59)
o que leva a um padrão de interferência do tipo cossenoidal, dependente apenas dos diferentes caminhos tomados pelos feixes 1 e 2.
Sobre a influência do solenoide, as funções de onda mudam:
Ψ1 = Aei[k·r1+g1], (2.60a)
Ψ2 = Aei[k·r2+g2]; (2.60b)
bem como a função densidade de probabilidade: |Ψ|2 = |Ψ1| 2 + |Ψ2| 2 + A2ei[k·(r2−r1)+∆g]+ A2e−i[k·(r2−r1)+∆g] = A2cos2 k · (r2− r1) 2 + ∆g 2 . (2.61)
2.4. Efeito Aharonov Bohm elétrico 33
Vemos então que o efeito da diferença de fase produzida pelo solenoide é um
deslocamento no padrão de interferência. Embora isto tenha sido ilustrado com um exemplo
simples de onda planas, este resultado pode ser generalizado para funções de onda mais complicadas, como, por exemplo, pacotes gaussianos tridimensionais.
Figura 4 – Deslocamento do padrão de interferência devido à ação do potencial vetor magnético sobre as funções de onda. O feixe atravessa um dispositivo de interferência (por exemplo, uma fenda dupla) e as partículas difratadas são capturadas em uma superfície de detecção. Em vermelho, o padrão de interferência esperado para um experimento usual de fenda dupla. Em verde, o padrão deslocado devido à diferença de fase ∆g.
2.4
Efeito Aharonov Bohm elétrico
Outro problema apresentado por Aharonov e Bohm, embora não tão discutido na literatura quanto o anterior, é a mudança de fase em uma partícula devido à atuação de um potencial elétrico dependente do tempo. Nesta configuração, o feixe de partículas é dividido em dois, e cada um dos feixes resultantes é direcionado de modo a passar por dentro de um tubo metálico. Em um dos tubos, é ativado um potencial em um instante t1,
que perdura em um valor constante ϕ até um instante t2 :
ϕ(t) = 0, t < t1, ϕ, t1 < t < t2, 0, t > t2, (2.62)
enquanto o outro tubo é mantido a um potencial nulo (uma forma de produzir este potencial é utilizar uma bateria para provocar uma diferença de potencial entre a casca interna e a externa de um cilindro).
Figura 5 – Um feixe de partículas é dividido em dois feixes representados pelas funções de onda Ψ1 e Ψ2 (a). Os feixes são redirecionados pelos dispositivos b1 e b2para dentro de dois tubos metálicos, um mantido a um potencial nulo, enquanto é ativado no outro um potencial elétrico no intervalo
t1→ t2. Os feixes são novamente redirecionados pelos dispositivos c1 e c2 e a diferença de fase entre eles é medida em d.
Um feixe de partículas carregadas, representado pela função de onda Ψ1, sofrerá
uma adição de fase conforme a equação (2.28):
g1 = − q ~ Z t2 t1 ϕdt = −qϕ(t2− t1) ~ , (2.63)
enquanto o outro feixe não experimenta nenhuma mudança de fase (g2 = 0). Desta forma,
os dois feixes apresentarão, ao final do processo, uma diferença de fase relativa
∆g = qϕ(t2− t1) ~
. (2.64)
A mesma análise feita para o caso do efeito AB magnético pode ser utilizada aqui: o efeito mensurável desta diferença de fase será um deslocamento no padrão de interferência. Por questões práticas, experimentos desse tipo são mais difíceis de serem executados do que aquele abordado na seção2.3. Um destes problemas é que, como o potencial é dependente do tempo, diferentes partículas do feixe experimentarão diferentes mudanças de fase, uma vez que o fluxo de partículas para dentro e para fora do tubo continua durante o intervalo
t1 → t2. Outro problema a ser levado em conta é que os feixes poderiam induzir uma
densidade de cargas na superfície interna do tubo, o que poderia prejudicar o controle do potencial.
2.5. Interpretação semiclássica em termos de campos magnéticos 35
2.5
Interpretação semiclássica em termos de campos magnéticos
Nesta seção, discutiremos uma possível explicação semiclássica apresentada por Timothy H. Boyer [9] para justificar a diferença de fase calculada na seção 2.3.
Para gerar o campo magnético uniforme dentro do solenoide (Bsol= Φ/πa2), existe
uma densidade de corrente superficial:
Ksol = B µ0 ˆ φ = Φ πa2µ 0 ˆ φ. (2.65)
O momento de dipolo por unidade de comprimento do solenoide pode ser calculado:
M = 1 2 Z dr r × Ksol(r) = 1 2 Z 2π 0 dφa2ρ × ˆˆ φ Φ πa2µ 0 = Φ µ0 ˆ z. (2.66)
O campo magnético gerado por uma partícula de carga q, passando pela origem à uma velocidade v, é dado por:4
B = µ0
4π
qv × ˆr
r2 ; (2.67)
então, o campo magnético gerado por um partícula situada em x = xp, y = yp e z = 0,
movendo-se a uma velocidade v = v0y seráˆ
Bp = µ0qv0 4π z ˆx − (x − xp) ˆz (x − xp)2+ (y − yp)2+ z2 3/2 . (2.68)
4 Este resultado pode ser obtido determinando-se o campo elétrico gerado pela partícula em seu próprio referencial, e efetuando uma transformação de Lorentz para um referencial que se move à uma velocidade -v com relação à partícula, tomando |v| << c. O campo magnético então surge naturalmente como consequência da transformação.
Figura 6 – Partícula movendo-se próxima a um solenoide de raio a.
O campo magnético da partícula produzirá uma força sobre o solenoide, devido ao momento de dipolo deste:
FM = Z ∞ −∞ dz∇Bp · M = qv0Φ 4π Z ∞ −∞ dz∇ −(x − xp) ˆz (x − xp)2+ (y − yp)2+ z2 3/2 = qv0Φ 4π Z ∞ −∞dz − 1 (x − xp)2+ (y − yp)2+ z2 3/2 +3 2 (x − xp)(2x − 2xp) (x − xp)2+ (y − yp)2 + z2 5/2 xˆ +3 2 (x − xp)(2y − 2yp) (x − xp)2+ (y − yp)2+ z2 5/2y +ˆ 3 2 3(x − xp)z (x − xp)2+ (y − yp)2 + z2 5/2zˆ . (2.69)
Por simplicidade, consideraremos o solenoide com um raio muito pequeno, de modo que a interação possa ser obtida aproximando-se o campo magnético da partícula pelo seu valor no eixo de simetria do solenoide (x = y = 0). Dessa forma podemos escrever
FM = qv0Φ 4π Z ∞ −∞dz − 1 x2 p+ yp2+ z2 3/2 + 3x2p x2 p+ y2p+ z2 5/2 x +ˆ 3xpyp x2 p+ yp2+ z2 5/2yˆ . (2.70)
2.5. Interpretação semiclássica em termos de campos magnéticos 37
Para o nosso propósito atual, precisamos apenas da componente y da força:
FM (y) = qv0Φ 4π Z ∞ −∞dz 3xpyp x2 p+ yp2+ z2 5/2 = qv0Φxpyp x2 p+ yp2 2. (2.71)
Pela terceira lei de Newton, o solenoide deve exercer sobre a partícula uma força de reação
FR= −FM (y) na direção y. Essa força deve provocar uma modificação na velocidade da
partícula: ∆vy = Z t −∞dt 0 ˙vy = 1 m Z t −∞dt 0 FR(t0) = − qv0Φ πm Z yp −∞ dy v(t0) xpy x2 p+ y2 2. (2.72)
Considerando um regime em que a variação na velocidade seja pequena se comparada com a velocidade absoluta da partícula (∆v << v0), podemos aproximar v(t0) ≈ v0 no
denominador do integrando, obtendo ∆vy = − qΦ πm Z yp −∞dy xpy x2 p+ y2 2 = qΦxp 2πx2 p+ yp2 ; (2.73)
como consequência, teremos um deslocamento ∆y da partícula no decorrer do processo de espalhamento: ∆y = Z ∞ −∞ dt∆vy(t) = qΦ 2πm Z ∞ −∞dyp xp x2 p+ yp2 = qΦ 2mv0 sgn(xp), (2.74)
onde sgn(xp) é a função sinal. Assim, partículas que movem-se de lados opostos do
solenoide, com a mesma velocidade, sofrerão deslocamentos em sentidos diferentes: ∆y(+) = qΦ 2mv0 , ∆y(−) = − qΦ 2mv0 . (2.75)
Até o momento, toda a análise foi feita considerando uma partícula clássica. Para entendermos como essa abordagem pode ser usada para obter a diferença de fase do efeito AB, vamos considerar uma função de onda do tipo Ψ = f (x, z, t) exp(ipyy/~), onde nos
interessa explicitar apenas sua dependência em y. Duas partículas idênticas deslocando-se cada uma por um lado do solenoide, sofrerão diferentes deslocamentos em suas fases:
Ψ1 = f1(x, z, t) exp i py y + ∆y(+) ~ , (2.76a) Ψ1 = f2(x, z, t) exp i py y + ∆y(−) ~ , (2.76b)
portanto, a diferença de fase entre as duas partículas será
∆g = py ∆y(+)+ ∆y(−) ~ = mv0 ∆y(+)+ ∆y(−) ~ = qΦ ~ , (2.77)
39
3 Campo eletromagnético de uma partícula
quântica carregada
No eletromagnetismo clássico (teoria de Maxwell), podemos obter os campos eletromagnéticos presentes em uma região conhecendo as fontes (distribuições de cargas e correntes) do sistema. As relações entre os campos elétricos, magnéticos e estas fontes são sintetizadas através das ilustres equações de Maxwell. Tais equações, construídas pelos trabalhos experimentais de vários cientistas, podem ser também extraídas de primeiros princípios através do formalismo lagrangeano.
Entretanto, quando lidamos com fontes quânticas (partículas carregadas descritas por funções de onda), a teoria de Maxwell não é eficiente em descrever os campos eletro-magnéticos. Um dos problemas surge do fato de as distribuições de cargas e correntes não serem localizadas: uma partícula carregada, por exemplo, é descrita no regime clássico por um conjunto de coordenadas q(t), enquanto no regime quântico é descrita por uma função de onda Ψ(q, t), um campo que assume valores diferentes para cada valor da coordenada q. Esta diferença evidencia a necessidade de um formalismo próprio para o tratamento deste problema, que leve em conta o caráter quântico dos sistemas.
Neste capítulo, buscamos resolver este problema construindo uma teoria lagrangeana que seja capaz de descrever a interação entre o campo de Schrödinger (que descreve as partículas no regime quântico) e os campos de Maxwell. Para isso, revisamos o formalismo analítico destes dois campos, expondo suas características mais relevantes. Então, através de um regime de acoplamento mínimo, propomos uma lagrangeana total para o sistema, onde ambos os potenciais eletromagnéticos e a função de onda são variáveis dinâmicas. Mostramos que o acoplamento mínimo leva naturalmente à um termo de corrente na teoria, acrescido de um potencial Vµν. É justamente nesse potencial que reside a diferença entre a
teoria apresentada aqui e a teoria clássica de Maxwell.
Por fim, investigamos a hamiltoniana desta teoria, o que é essencial para a inter-pretação do efeito Aharonov-Bohm proposta neste trabalho, que será discutida no capítulo 4.
3.1
Campo de Maxwell
3.1.1
Densidade lagrangeana do campo eletromagnético
O desenvolvimento da teoria eletromagnética, em sua formulação mais clássica, recorre à uma abordagem bastante empírica, de modo que as equações de Maxwell
nos apresentam campos elétricos e magnéticos como agentes que atuam sobre sistemas físicos, conferindo dinâmica à estes. Em suma, estes campos eram usualmente tomados como agentes externos à um sistema de partículas. Entretanto, a construção de uma teoria de campo para o eletromagnetismo. Desde então, campos físicos (e não apenas eletromagnéticos), passaram a serem vistos como agentes dotados de dinâmica própria (e não apenas agentes mediadores), uma abordagem que, posteriormente, mostrou-se essencial para o desenvolvimento de teorias mais modernas como a Teoria Quântica de Campos.
Com o avanço da mecânica analítica, conceitos como o princípio da mínima ação, anteriormente associados aos corpos, passaram também a ser utilizados para descrever o comportamento dos campos. Nos dias de hoje sabemos do grande potencial da abordagem analítica para a descrição de teorias de campos.
Nessa seção fazemos uma breve revisão sobre a abordagem analítica do eletromagne-tismo clássico, cujas variáveis dinâmicas são as componentes de um 4-vetor de Minkowski, chamado potencial quadri-vetor Aµ ,
Aµ =. " ϕ(r) c , A(r) # , (3.1)
onde ϕ(r) é o potencial elétrico, A(r) é o potencial vetor magnético e c é a velocidade da luz no vácuo. Também é conveniente definir o quadri-vetor de corrente Jµ, que compõe em uma mesma grandeza a densidade volumétrica de cargas ρ(r) e a densidade volumétrica de corrente J(r):
Jµ= [cρ(r), J(r)] .. (3.2)
Podemos expressar os campos elétrico E e magnético B em termos dos potenciais:
E = −∇ϕ − ∂A
∂t
B = ∇ × A
(3.3)
As equações (3.1) e (3.3) nos sugerem que é possível expressar o campo eletromagné-tico em uma notação covariante. Para isso, utilizamos um tensor de rank 2, antissimétrico, denominado tensor de campo eletromagnético, que sintetiza a equação (3.3) em um único termo:
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (3.4)
Aplicando a definição (3.1) e utilizando a equação (3.3), podemos escrever explici-tamente o tensor de campo em coordenadas cartesianas:
Fµν =. 0 Ex/c Ey/c Ez/c −Ex/c 0 Bz −By −Ey/c −Bz 0 Bx −Ez/c By −Bx 0 . (3.5)
3.1. Campo de Maxwell 41
A ação que descreve os campos eletromagnéticos deve ser invariante de Lorentz e de calibre, podendo ser escrita na forma
SM =
Z
dtL(Aµ, ∂νAµ; t) , (3.6)
onde L(Aµ, ∂
νAµ; t) é a lagrangeana do campo eletromagnético. Quando estudamos um
sis-tema de partículas, descrito pelas coordenadas generalizadas qi e velocidades generalizadas
˙
qi, construímos a lagrangeana total do como a soma das lagrangeanas associadas a cada par
(qi, ˙qi) no espaço de configurações (supondo que não hajam termos de acoplamento entre
diferentes coordenadas e velocidades). Entretanto, em uma teoria de campos, onde a cada ponto do espaço associamos um valor para o campo (X → Aµ(X)), devemos substituir
a soma discreta por uma integração em todo o espaço. Podemos então construir, por analogia, a ação do campo eletromagnético:
L =X i Li(qi, ˙qi) → L = Z d3xLM(Aµ, ∂νA µ) ⇒ SM = Z d4xLM ; (3.7)
onde propomos a densidade lagrangeana LM
LM = −
1 4µ0
FµνFµν− JµA
µ. (3.8)
Para justificar esta proposta, expressemos LM em termos de Aµ. Da equação (3.4),
expandimos o termo FµνF µν: LM = − 1 2µ0 ∂µAν∂µAν− ∂µAν∂νAµ − JµAµ. (3.9)
Uma propriedade importante da densidade lagrangeana LM é sua invariância sob
a transformação de calibre, insto é, dada uma função escalar Λ(X), a teoria deve ser invariante pela transformação
Aα → Aα+ ∂αΛ, (3.10)
desde que seja imposta a condição de que a corrente satisfaça a equação da continuidade, ou seja,
∂µJµ= 0. (3.11)
Aplicando a transformação (3.10) à equação (3.9), obtemos ¯ LM = − 1 2µ0 h ∂µAν + ∂νΛ∂µAν + ∂νΛ− ∂µ Aν + ∂νΛ∂νAµ+ ∂µΛi − JµAµ+ ∂µΛ = − 1 2µ0 ∂µAν∂µAν − ∂µAν∂νAµ − JµAµ− Jµ∂µΛ. (3.12)
Calculando a contribuição do último termo para a ação total, vemos que esta é nula: Z d4xJµ∂µΛ = Z d4x∂µJµΛ− Z d4xΛ∂µJµ = 0, (3.13) onde a integral de Λ∂µJ µ
se anula devido à equação da continuidade (3.11), e a integral de ∂µJµΛ se anula pelo teorema da divergência1. Assim,
¯ LM = − 1 2µ0 ∂µAν∂µAν − ∂µAν∂νAµ − JµAµ = LM. (3.14)
Por meio de uma integração por partes, podemos modificar o segundo termo da equação (3.9): Z d4x∂µAν∂νAµ = Z d4x∂µAν∂νAµ − Z d4xAν∂µ∂ν Aµ; (3.15)
o primeiro termo do lado direito da equação (3.15) se anula pelo teorema da divergência. No segundo termo, podemos trocar a ordem das derivadas parciais de modo a obter uma densidade lagrangeana equivalente à equação (3.9),
LM = − 1 2µ0 ∂µAν∂µAν − 1 2µ0 Aν∂ν ∂µAµ − JµAµ. (3.16)
Por fim, fixamos o calibre de Lorenz (∂µA
µ= 0), obtendo LM = − 1 2µ0 ∂µAν2− JµAµ. (3.17)
Nesta forma, a densidade lagrangeana possui uma similaridade mais evidente com a função lagrangeana para partículas não relativísticas sob a ação de uma força externa F
L = 1 2m dq dt 2 + F q → LM = − 1 2µ0 ∂Aν ∂xµ 2 − JµAµ. (3.18)
3.1.2
Equações de Maxwell
Assim como em um sistema de partículas, a minimização da ação do campo eletromagnético em relaçao às variáveis dinâmicas Aµ também leva às equações de Euler-Lagrange ∂λ ∂LM ∂(∂λAβ) − ∂LM ∂Aβ = 0. (3.19)
Vamos separar a densidade lagrangeana LM em uma parte livre e um termo de
interação (corrente), como segue,
LML = − 1 4µ0 FµνFµν LMI = −JµA µ, (3.20)
3.1. Campo de Maxwell 43
aplicando a equação de Euler-Lagrange,
∂λ ∂LML ∂(∂λAβ) − ∂LML ∂Aβ = − 1 4µ0 ∂λ ∂FµνFµν ∂(∂λAβ) = − 1 4µ0 ∂λ 2F µν ∂Fµν ∂(∂λAβ) = − 1 4µ0 ∂λ 2Fµν ∂∂µAν− ∂νAµ ∂∂λAβ = − 1 4µ0 ∂λh2Fµνηµληνβ − η λ ν η β µ i = − 1 µ0 ∂λFλβ; (3.21) ∂λ ∂LMI ∂(∂λAβ) − ∂LMI ∂Aβ = − ∂LMI ∂Aβ = Jµηµβ = Jβ. (3.22)
Somando as equações (3.21) e (3.22), obtemos a equação dinâmica do campo eletromagnético
∂λFλβ = µ0Jλ. (3.23)
Analisando a equação de movimento termo à termo, obtemos as equações de Maxwell não-homogêneas. A primeira equação não homogênea é obtida ao fixarmos λ = 0 em (3.23) e levarmos em conta que F00= 0, como segue,
∂iFi0 = µ0J0 ∂i∂iA0+ ∂0Ai= µ0cρ −∇2ϕ c − 1 c∇ · ∂A ∂t = µ0cρ −∇ ∇ϕ + ∂A ∂t = ρ 0 ∇ · E = ρ 0 (Lei de Gauss) . (3.24)
A segunda equação não homogênea é obtida tomando λ = j em (3.23), ∂iFij + ∂0F0j = µ0Jj ∂i∂iAj − ∂jAi − ∂0∂0Aj − ∂jA0 = µ0Jj ∂i∂iAj− ∂i∂jAi+ ∂0∂0Aj− ∂0∂jA0= µ0Jj −∇2A + ∇ ∇ · A+ 1 c2 ∂2A ∂t2 + ∇ 1 c2 ∂ϕ ∂t = µ0J ∇ ×∇ × A= µ0J + 1 c2 ∂ ∂t ∂A ∂t + ∇ϕ ∇ × B = µ0J + 1 c2 ∂E ∂t (Lei de Ampère). (3.25) Nota-se que a equação de movimento (3.23) nos dá apenas as equações de Maxwell não homogêneas. as equações não homogêneas são uma decorrência imediata da definição do tensor Fµν em termos dos potenciais ϕ e A e dos campos eletromagnéticos2. Isso pode
ser visto através da equação (3.3):
∇ × E = −∇ × ∇ϕ − ∂
∂t(∇ × A)
∇ × E = −∂B
∂t (Lei de Faraday); (3.26)
∇ · B = ∇ · (∇ × A)
∇ · B = 0 (Lei de Gauss para o magnetismo). (3.27)
3.2
Campo de Schrödinger
3.2.1
Densidade Lagrangeana de Schrödinger
Na Mecânica Quântica, a dinâmica de sistemas de partículas é descrita por uma função de onda Ψ, solução da equação de Schrödinger, com a presença de potenciais e, possivelmente, de condições de contorno. Temos então uma teoria de campo, onde a variável dinâmica é a função de onda. Sabemos que a formulação analítica é um poderoso instrumento no tratamento tanto de sistemas de partículas como de campos3.
2 Uma maneira alternativa de obter as equações de Maxwell homogêneas é definindo um tensor dual Fαβ= αβγδF
γδ. Ver, por exemplo, referência [21], seção 11.9.
3 É importante ressaltar que estamos lidando aqui apenas com campos não quantizados, ou seja, funções de onda. Dizemos então que temos uma teoria em primeira quantização.
3.2. Campo de Schrödinger 45
Portanto, analogamente ao que foi feito para o campo eletromagnético na seção 3.1, vamos então relembrar a formulação analítica para o campo de Schrödinger. Para simplificar, consideramos apenas sistemas quânticos compostos de uma única partícula.
A a ação de Schrödinger SS pode ser escrita como a integral
SS =
Z
d4xLS, (3.28)
onde a Densidade Lagrangeana de Schrödinger é definida como sendo a Lagrangeana de Schrödinger LS = i~Ψ∗ ∂Ψ ∂t − ~2 2m∇Ψ ∗· ∇Ψ − V Ψ∗Ψ, (3.29)
sendo V = V (r; t) o potencial externo.
Usando a equação de Euler-Lagrange,
∂λ ∂LS ∂(∂λΨ∗) − ∂LS ∂Ψ∗ = ∂ ∂t ∂LS ∂Ψ∗/∂t + ∇ · LS ∇Ψ∗ − ∂LS ∂Ψ∗ = 0; (3.30) obtemos ~2 2m∇ 2 Ψ + i~∂Ψ ∂t = V Ψ, (3.31)
que é a equação de Schrödinger.
Se tomarmos o complexo conjugado da equação (3.29) e aplicarmos a equação de Euler-Lagrange com respeito ao campo Ψ∗, obtemos o complexo conjugado da equação (3.31): ~2 2m∇ 2Ψ∗ − i~∂Ψ ∗ ∂t = V Ψ ∗ . (3.32)
As equações (3.31) e (3.32) são totalmente equivalentes.
Multiplicando a equação (3.31) por Ψ∗ e subtraindo da equação (3.32) multiplicada por Ψ temos que
~2 2m Ψ∇2Ψ∗− Ψ∗∇2Ψ − i~ Ψ∂Ψ ∗ ∂t + Ψ ∗∂Ψ ∂t = 0 ⇒ ∂ ∂t Ψ∗Ψ+ i~ 2m∇ · Ψ∇Ψ∗− Ψ∗∇Ψ= 0; (3.33) Definimos agora a função densidade de probabilidade:
% = Ψ∗Ψ, (3.34)
e a densidade de corrente de probabilidade:
j0 = i~
2m
Ψ∇Ψ∗− Ψ∗∇Ψ, (3.35)
o que nos permite reescrever a equação (3.33) na forma de uma equação de continuidade
∂%