RESENHA: ARTE DE RESOLVER PROBLEMAS

Resenhas

97

GEORG

PÓLYA,

!945:

How to

Solve

It,

a

New

Aspect

of

Mathematical Method'

Princenton University

Press.

(Traduzido

para

o

português como

.á

Arte

de Resotver

hoblemas. Rio

de Janeiro :

Interciência,

1

978).

, confer€ncia de

l9l7

que apaßceu em Schweiz'

n der

Heuristik no American Mathematícal Monthly, vol. 48, PP' 450-465.

98

Resenhas

blema nâo deve ser exercida como simples meio para a conæcução de um

fim,

mæ de modo tal

que se aprenda o mais possível a respeito do probÞma.

A

descriçãð mais minuciosa das quatro fasesenconta*e nas duæprimeiraspartes

dolivro.

A primeira parte leva-nos pal:a a classroom: as questões e instnrções são então intoduzidas, enquanto tais, para uso didático, chamando+e a atenção tambdm para o momento essencialem que se t¡ata

demedi¡adequadamenteaajudaaoaluno; suaproporçãodeveserajustadademodoque,porum lado, ele n¿io se qì¡ede

peçlexo

diante do þrobbmalevantadoe, por outro lado,elenãoseprive, pelo excesso de ajuda, da realização de uma atividade mental independente e da vivência da

desco-berta de uma soluçâ'o,

A

segunda parte oferece (na forma de perguntas e respostas) umavisão panorâmica do processo

heu¡lstico global, articulado segundo suas várias fases.

A

primeira fase.é então dividid¿ em duas

subaartes:

antepõe+e ao proæsso da análise mais precisa do conteúdo do problemaumaetapa um todo e ça entÍe as

da solução;

de solução

no que diz respeito à sua correção intema,

no

outro caso fuata{e, pelo contrário, de confrontaro resultado, bem como o mdtodo de sblução empregado, com o problemalevantado. Como acentua

o Sr. Pólya, a verificação inte¡na do procedimento de soluçâo pode realizar*e, relativamente a cada

dimte.

?or

outro lado,

podemos

todo de solução indagando se, no caso de

um

problenla_de construção,

os

foram todos utilizados, ou se, quando é

feita

a prova de

um

teorema

ma

dições dó teorcma fo¡àm utilizadas. Po¡

de que æ considerações atinentes à quarta tra¡scendem o conteúdo ideativo da soluçâo

_-

como o

ùaçado do plano, na segunda fase, transcende o conteúdo ideativo da formulação do probbma.

Enðontramos, pois, na seqiÉncia das quatro fases, uma es1Écie de articulação simétrica.

Quarrto à caracterização da segunda fase, que é, como já

foi

dito, a fase heu¡ísticaem sentido

estrito, ela se faz mais extensivamente apenas na te¡cei¡a parte,emborajánaprimeiraparte vários

aspectos sejam pormen oriz âdamente apreæn tados em e xemplos in stru tivos,

A

teræira parte, que constitui a substância do

livro,

compõe+e sob a formade um conciso

dictionary da heurlstica. Nesse pequeno léxico encontram+e, apoiadas porexemplos, discussões e

explicações minuciosas sobre muitas das questões e instruções sugestivas extrardas da

lista.

Dis-cutem.se, em particular, os ângulos capazes de propiciar a descoberta e um plano para a solução de

um problema levantado: o método de variaçâo de um problemapor "decomposição e

¡ecombina-ção", por generalização ou especialização,

o

tecurso a elementos auxilia¡es ou a probbmas mais acessfveis, a utilização de analogias.

Na consitleração das diferentes formas de ¡emissío de um dado problema a um outro já tratado, evidencia-se o fato, digno de nota, de haver duas possibilidades no que toca ao significado de uma

tal rctomada: ela podè ser metodologicamente heurística, no sentido de que a soluçâo já conhecida

de

de modelo

m

do _Probbma Pæsente' ou

po

uando a

soluç

por exemplo,pode ser

procedi-Resenhas

99 auma analogia; no

:i"ïï'::i:ffiï:

nto Pelo uso de

no-tação aproPriada, de figuræ

as questions and suggestion esgota nas explicações que

Para esse

fim,

nalo seria preciso que se elegesse a

autor a fazé-lo foi, entre outras õoisas, a possibilidade assim garantida de dar expressão adiversos temas e ângulos, sem obrigar-se a realiza¡ uma constnrção mais vastae, conse.qüentemenþ, a dar ao

liwo

uma ðonformaçâo mâs ambiciosa. De fato, o dictionøry comPorta, aldm dæ explicações já mencionadas, tambdm considerações e indicações de esffcie variada:

1.

Considerações fundamentalmente metodológicas :

a.. sobre

*étodo.

lógicos de

prova;

é pormenorizadamente examinada a indução completa

e, também, a ptova indireta, suas vantâgens e dewantagens, assim como a possibilidade

de obte¡*e uma plova direta a partir de uma indireta;

b.

concementes ao õonfronto entre problemas de descob¡ir e problemas de ptovat _Qtroblems

to

find

e probbms to P/ove);

c.

referénciã ao paradoio hourístico ægundo

o

qual um problema que exija mais pode, eventualmente, se¡ mais fácil de solucionar;

d.

sobre

o

signihôado dasimetriae

am

ximasegundo aqual o

queé

simétricoháde ser

tratado, sempre que possível, tambdm simetricamente'

2.

biscussões Pedagógicas:

a.

sobre a importância de provas exatas e, por

outo

lado, sob¡e a necessidade evenfual de

limit¿¡mo<ros a proyas incompbtas, o que conûrdo deve apenas ser feito com basta¡rte

tato;

b.

sobre

notações

strução conræniente de figwas'

3.

Dive¡sas

considera

heuilstica (algumæ delas sâo exfraídas do ensaio

do autor que

está

_;

faz*e refer6ncia,

ente

outfas coisas, ao papel

desempenhado pela operação inconsciente com um probbma.

4,

Indicações histôricasiobre as contribuições de pensadores impottantes às questões da

h9u-rística.

São mais extensivamente apreséntadas ãs concepções de Pappus sobre análise e

sit-tese, método regressivo e progressivo.

5. E

ainda outras

coisæ

mesmo

por

brincadei¡a.

É determinante para a

est

o de que o Sr. Pólya não

visa, nesse livro, apresentar

o

domínio de probbmas'

Ele dirige-se, como já

foi

dito¡ a um público maior e, ao mesmo professõres, age também ele próprio comþ pedagogo, obedecendo

tal que recomenda a restrição ao que seja Presumidamente cap^z

tes àe mais nada, em despertar um certo grau de circunspecção e prudéncia mentais em uma esfeta ampla de leitores, evita tõdæ æ complica$es que possam ser prejudiciais a tal prop5sito. (Apenas obsewações ocasionais fazem alusâo a algumas dessas complicações.) Abstém-se tambdm de todo

uso de simbolismos insólitos. Ele procede d¿ mesma manei¡a inclusive em relação aos resultados de

suæ próprias considerações næ Acta

Prych

as concepções de Pappus

so-bre o proædimento regressivo, renuncia

à

as concepções que se obtem quando se leva em conta qr¡e a redução de um

p

de maneira geral, a um único

pi-bbma

auxiliæ a resolver, mas a vârior deles

_-

do que resultam as estrutur¿xi pata cuja ilustração

itrtuitiua o Sr. Pólya faz uso da representação por diagramæ ("representaçâo geométrica de uma ca-deia de pensamentol).

Por tudo isso, a dxposição apresenta{e sempre dotada do caráter do que é elementan e natural-mente acessível,

Dessa auto-restrição pedagogica praticada pelo autor advém, sem dúúda, uma certa dificuldade.

Com efeito, o propóìito do livro nalo se resume exclusivamente ao exerelcio de uma influência pro-3 _{CT. nota 1 acima.}

100

Resenlws

procedimentos progressivo e regressivo'

Encontramoì,

pìir,

já no que concerne às questões relativas ao método regressivo, uma oportu'

nidade para

ir

¡¿m

¿á ireurísùca tradicional, átravés do empægo dos modemos métodos da lógica matemática.

Resenhas

_l0l

mais estrito.

problem æ de o¡dem superior as probbmáticas que envolvem a pre-s de solução para toda uma classe de probbmas, de modo a fazer*e

par-L02

Resenhas

ticular,

foi

inventada com essa pretensão a geometria analítica

de

Descartes, que permite que se

obtenham rgspostas p¿ua um vasto domfnio de questões geométricas por meio de um procedimento

precisamente delineado de antemão. Vários cálculos e procedimentos de decisâo da matemática

mais recentes importam igualmente em uma tal economia de inventividade, no que diz respeito a um certo domlnio de problemæ.

As considera@es feitæ aqui sobre as possibilidacles de superaçâo da heu¡ística tradicional

refe-remreàsperspectivasatinentesaoladológico-matemáticodãheu¡lstica. Fazmvaleresseladoé, porém, apenas uma parte daquilo que se pode esperar de um maior desenvolvimento da heurística, daquilo que o próprio Sr. Pólya tem especialmente em vista quando, no prefácio a seu liv¡o, mani-festa a esperança de que à heurlstica, que possui um longo pæsado, esteja tambdm ¡eservado um fututo.

Há especialmente dois fato¡es ca¡acterlsticos aos quais

o

Sr. Pólya faz menção nesse conþxto. Um deles é a muliplicidade de orientações de pesquisa muito dife¡enbs que constituem a heurística e cuja contribuição para o tratâmento satisfatório dæ questões heurísticas é indispensável. Revela-+e entlio da maior importância a dualidade de modos de abordagem na heurlstica (tambdm

mencio-nada

pelo

S¡. Pólya): a abordagem orientada na direção do que é especificamente psicológico e

aquela orientada na direção dos conteúdos mentais objetivos. A problemática da heurística pode,

como dificilmente poderia uma outra qualquer, servir de elo entrc esses dois modos de abordagem.

É certo que muitas vezes será tambm necessá¡io que se respeite, no interior da heurística, a separa-ção entre eles; mas uma abordagem assim separada não se mostr4 po¡ si só, inteiramente satisfatória.

E antes caracterfstico do objeto da heurística o fato de que, no que lhe diz rcqpeito, se toquem na vida mental uma esfera temática natural e uma de conþúdos objetivos, pertencendo

essencial-nr€nt€ o confronto comparativo entrc os dois æpectos ao que se trata de pesquisar. De resto, pode-mos tirar proveito dessa comparação inclusive para a abordagem isolada de ambos os aspectos. Há decerto, no quadro daheurística, ainda uma multiplicidade de outras possibilidades de evolução no sentido de uma tal conexiio e da fecundação recíproca entre a abordagem psicológica e aquela

rela-tiva aos conteúdos objetivos.

O outro fator caracte¡lstico acentuadopelo Sr. Pólya é o papel que cabe àheurísticaenquanto métododeexposição: àapresentaçãosistemáticadeumaciência-o Sr.Pólyapensaespecifica-mente na matemática

_-

opõe-se sua âpresentação heurlstica, na qual a ciência é exposta

in

stotu nascendl.

Essa fo¡ma de aproveitamento da linha de abordagBm heulstica adquire uma enorme

impor-tância quando o que está em c¿usa nÍio é a busca de soluções para probþmas particulares

determina-dos, mæ

o

curso de evolução de uma ciência em grosso. Nossa pesquisa mental encontra{e, na

ve¡dade, in statu nascendi em todos os domínios; essaevoluçâ'onãodiz respeito tão somente aos

conteúdos particulareî, mas também à totalidade do quadro,esûuturação e princípios daci6ncia. E esse, de qualqrær modo, o entendimento que æ impõe anós quando

_-

no espírito das idéias

fun-damentais de uma phílosophie ouvefte

_-

nos desvencilhamos da teoria tradicional do

conhecimen-loapriori,reputandoainadequadaaosdadosconcrctosedemasiadamenþsimples. Paraessavisão

filosófica, segundo aqual nosso conhecimento está, em todos os domlnios, fundamentalmente em evolução e nossas concepções permanecem, em todos os estágios, sempre pæsíveis de revisão, a

his-tória da ciência, e sua exposição, passam a teî uma enome importância. A historiografia aqui em causa nâo é decerto história em sentido

estrito;

sua tarefa importa antes em que o conteúdo

obje-tivo de um processo acabado de conhecimento seja pas e dæ decisões que nele acontecem, e despido o

mo um prooesso significativo

e

apropriado ("idône

empiricamente dado ou, talvez, apenas capaz de ser inræstigadoexperimentalmente. O Que se pre¡

tenâe com isso nÍúc é, porÉm, nada mais que a exposição heurística de uma ciéncia, ou de um

capí-tulo

de sua evolução, e de fato umaexposiçãono sentido de umaheurística objetivamenÈ orienta-da, voltada, na reconstruçã'o do caminho de pesquisa percorrido, não tanto para o modo como se

chegou de

lacto

_-

a fim de exprimir-me como

o

Sr. Pólya

_-

às ideias e resultados, mas para o

mo-do como (na etapa em causa) a eles

þria

sido possível chegar.

Esse modo

dl

abordagem heurístico-objetivo das vias de evofução da pesquisa é próprio para preservar-nos,

pot

um lado, de preconceitos dogmáticos e,

por

out¡o, de um relatiúsmo

dtico,

Ûma tal considiração histórica é, em última análise, posível em todos os domínios da pesquisa

Resenhas

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estimulada e influenciada por dados e exigências exteriores, mæ na--o determinada por eles em seus

em épocas pæsadæ deixando de lado suas opiniões ælativas a seusprobbmæ afuais. Noentanto' já é particuiarmente sensível que a filosofia ca¡ece de uma æpresentação heurística de sna evolução

passada.

de que à heurística esteja tambem reservado um futuro'

Paul

Bernays