Fluxo de potência numericamente robusto via método de Levenberg-Marquardt de ordem superior.

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA ELÉTRICA

Fluxo de Potência Numericamente

Robusto via Método de

Levenberg-Marquardt de Ordem Superior

Guilherme Souto Chagas

(2)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA ELÉTRICA

Guilherme Souto Chagas

Fluxo de Potência Numericamente

Robusto via Método de

Levenberg-Marquardt de Ordem Superior

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica como parte dos requisitos para obtenção do Título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Área de Concentração: Métodos de Análise, Plane-jamento e Operação de Sistemas Elétricos

Orientador: Prof. Dr. Robson Pires

16 de agosto de 2018

Itajubá

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA ELÉTRICA

Fluxo de Potência Numericamente

Robusto via Método de

Levenberg-Marquardt de Ordem Superior

Guilherme Souto Chagas

Dissertação aprovada

por banca examinadora

em 13 de Agosto de 2018, conferindo ao autor o

título de Mestre em Ciências em Engenharia

Elétrica.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Carlos Alberto de Castro Junior

Prof. Dr. Antonio Carlos Zambroni De Souza

Prof. Dr. Robson Pires (Orientador)

Itajubá

2018

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Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Robson Pires, pela confiança, pela oportunidade de trabalhar ao seu lado, pela paciência, empenho e dedicação com que sempre me orientou neste trabalho, sempre me corrigindo quando necessário sem nunca me desmotivar.

Aos Profs. Drs. Carlos Castro (UNICAMP) e Antônio Carlos Zambroni, que aceitaram compor minha banca de defesa.

Ao Prof. Dr. Luiz Carlos Pereira da Silva (UNICAMP) por me acolher como ouvinte na disciplina que foi a base e a motivação para todo este trabalho.

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), pela bolsa de estudos e auxílio financeiro que possibilitou a dedicação integral ao programa e a realização deste trabalho.

Ao Henrique Farias e à Olívia Maria, cuja amizade é um porto seguro para todas as horas. Obrigado por acreditarem em mim.

À Raquel Miguez, além de grande amiga, uma grande inspiração a quem me espelho em meu desenvolvimento acadêmico.

Aos meus pais pelo suporte e apoio incondicional, por lutarem tanto para garantir minha educação.

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"Não há perguntas tolas e nenhum homem será um tolo até que ele pare de fazer perguntas” (Charles Proteus Steinmetz)

(6)

Resumo

Este trabalho apresenta um algoritmo robusto por Levenberg-Marquardt de ordem superior no plano complexo para resolver problemas de fluxo de potência de siste-mas bem e mal condicionados numericamente, exibindo uma taxa de convergência biquadrática e desempenho superior quando comparado com os procedimentos tra-dicionais. Uma vez que os modelos de fluxo de potência são não lineares, o cálculo de Wirtinger é aplicado no desenvolvimento de algoritmos baseados em expansões em séries de Taylor de funções não lineares de variáveis complexas e complexas conjugadas. Poucas alterações no código do algoritmo de Newton-Raphson são ne-cessárias para transformá-lo no algoritmo de Levenberg-Marquardt, que é então diretamente desenvolvido no plano complexo. O presente trabalho demonstra que o domínio complexo se apresenta mais versátil e natural para incorporar a modela-gem de novas tecnologias smart grids como os dispositivos FACTS. Demonstrações e análises são feitas sobre os sistemas testes bem condicionados IEEE14, 30, -57 e -188 barras, além do sistema interligado nacional brasileiro SIN-1916 barras. Para os sistemas mal condicionados ou sem solução, o desempenho do algoritmo proposto é comparado com o desempenho do método de fluxo de potência base-ado no multiplicbase-ador otimizbase-ado. Para estas últimas análises foram testbase-ados os já conhecidos sistemas mal condicionados IEEE-11, -13 e -43 barras.

Palavras-chaves: Análise de fluxo de potência no plano complexo; Newton-Raphson

e Levenberg-Marquardt no sistema de coordenadas conjugadas; coordenadas retan-gulares; propriedade de convergência biquadrática.

(7)

Abstract

This work deals with a high-order complex-values Levenberg-Marquardt robust algorithm for solving well- and ill-conditioned power flow problems, exhibiting a biquadract convergence rate and superior performance as compared to the usual procedures. Because power flow models are nonlinear, the Wirtinger calculus is applied to develop iterative algorithms based on Taylor series expansions of non-linear functions of complex variables and their complex conjugates. Few changes in the codes are required to transform the Newton-Raphson power flow algorithm into the Levenberg-Marquardt power flow one, which is directly derived in com-plex domain in this work. Furthermore, it is shown that a power flow algorithm in complex domain lends itself well to modeling new smart grid technologies, e.g., FACTS devices. The proposed algorithm performances are demonstrated and ana-lyzed on the well-conditioned IEEE-14, -30, -57 and -118 bus systems, besides the Brazilian Southern equivalent system termed SIN-1916 bus. For the ill-conditioned systems the performance of the proposed algorithm is compared to the optimized multiplier based power flow method. Aiming these latter analysis the testbed are the well know ill-conditioned systems IEEE-11, -13 and -43 bus.

Key-words: Complex-valued power flow analysis; the Newton-Raphson and

Levenberg-Marquardt algorithms in the conjugate coordinates system; rectangular coordi-nates; biquadratic convergence property.

(8)

Lista de ilustrações

Figura 1 – Gráfico de contornos da função real escalar de variável complexa. 19

Figura 2 – Sistema Exemplo 3 Barras. . . 36

Figura 3 – Estrutura de esparsidade da matriz Jacobiana no plano real (a) e no plano complexo (b) do sistema teste IEEE 14-barras. . . . 40

Figura 7 – Estrutura de esparsidade da matriz Jacobiana no plano real (a) e no plano complexo (b) do sistema brasileiro SIN 1916-barras.. 42

Figura 8 – IEEE-14 Barras: perfil de tensão e ângulo. . . 45

Figura 12 – SIN-1916 Barras: perfil de tensão e ângulo. . . 47

Figura 13 – IEEE-11 Barras: diagrama monofásico. . . 49

Figura 14 – IEEE-11 barras: variáveis de estado sob primeiro cenário. . . 50

Figura 15 – IEEE-11 barras: evolução do máximo mismatch sob primeiro cenário. . . 50

Figura 16 – IEEE-11 barras: variáveis de estado sob segundo cenário. . . 51

Figura 17 – IEEE-11 barras: evolução do máximo mismatch sob segundo cenário. . . 51

Figura 18 – IEEE-43 barras: variáveis de estado. . . 53

(9)

Lista de tabelas

Tabela 1 – Especificações das Barras. . . 35

Tabela 2 – Especificações das Linhas. . . 36

Tabela 3 – Vetor de correção. . . 37

Tabela 4 – Variáveis de Estado. . . 38

Tabela 5 – Vetor de Mismatches. . . . 38

Tabela 6 – Resultados Fluxo de Potência CV . . . 38

Tabela 7 – Propriedades dos sistemas bem condicionados . . . 39

Tabela 8 – Análise Numérica e de Esparsidade . . . 43

Tabela 9 – Diferença máxima entre variáveis de estados resultantes e sua localização . . . 44

Tabela 10 – Propriedades dos sistemas mal condicionados . . . 47

Tabela 11 – Análise Numérica . . . 48

Tabela 12 – IEEE-11 Barras - variáveis de estado e injeções de potência. . . 52

Tabela 13 – IEEE-11 Barras - dados das barras. . . 57

Tabela 14 – IEEE-11 Barras - dados dos ramos. . . 58

Tabela 15 – IEEE-43 Barras - dados das barras. . . 59

(10)

Lista de abreviaturas e siglas

CV Complex-Valued

CV-LMPFA Complex-Valued Levenberg-Marquardt Power Flow CV-NRPFA Complex-Valued Newton-Raphson Power Flow CV-PFA Complex-Valued Power Flow Analysis

FACTS Flexible AC Transmissions System HVDC High-Voltage Direct Current

IEEE Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos

LM Levenberg-Marquardt

NR Newton-Raphson

OLTC On-Load-Tap-changer

PFA Power Flow Analysis

PSSE Power System State Estimation

RV Real-Valued

RV-LMPFA Real-Valued Levenberg-Marquardt Power Flow Analysis RV-NRPFA Real-Valued Newton-Raphson Power Flow Analysis

RV-OMPFA Real-Valued Newton-Raphson with Optimal Multiplier Power Flow Analysis

RV-PFA Real-Valued Power Flow Analysis SIN Sistema Interligado Nacional VSC Voltage-Source Converter

(11)

Lista de símbolos

𝑥 Variável de estado complexa

𝑥* Variável de estado complexa conjugada

ℜ{·} Parte real de uma variável complexa

ℑ{·} Parte imaginária de uma variável complexa

J Matriz Jacobiana no plano complexo

𝑥_𝑐 Vetor de variáveis de estado no sistema de coordenadas conju-gadas

𝑀 Vetor de mismatches em valores complexos || · ||2 _{Quadrado da norma Euclidiana}

|| · ||∞ Norma infinita

(12)

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . 14

1.1 Considerações Iniciais . . . 14

1.2 Organização do trabalho . . . 15

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . 16

2.1 Diferenciabilidade de Funções de Variáveis Complexas . . . . 16

2.2 Cálculo de Wirtinger ou CR-Calculus . . . 17

3 ANÁLISE DE FLUXO DE POTÊNCIA NO PLANO COM-PLEXO . . . . 21

3.1 Equação Nodal . . . 21

3.2 Equações de Fluxo de Potência no Plano Complexo . . . 22

3.3 Cálculo de Wirtinger Aplicado às Equações de Fluxo de po-tência . . . 22 3.4 Modelos de Barras . . . 25 3.4.1 Barra Slack . . . 25 3.4.2 Barra PQ . . . 25 3.4.3 Barra PV . . . 26 3.4.4 Barra PQV . . . 28 3.5 Solução Iterativa . . . 29

3.5.1 O Algoritmo Levenberg-Marquardt de Quarta Ordem Aplicado ao CV-PFA . . . 29

3.5.2 Estrutura da Matriz Jacobinana . . . 33

4 RESULTADOS NUMÉRICOS . . . . 35

4.1 Pequeno exemplo: CV-PFA . . . 35

4.2 Sistemas bem condicionados: sistemas teste IEEE e sistema real brasileiro . . . 39

4.3 Sistemas mal condicionados ou insolúveis: sistemas teste IEEE 47 4.3.1 Sistema teste IEEE-11 Barras . . . 49

(13)

4.3.2 Sistema teste IEEE-43 Barras . . . 52

4.4 Conclusões Parciais . . . 52

5 CONCLUSÕES GERAIS. . . . 55

5.1 Artigo sob Revisão . . . 55

APÊNDICES

56

APÊNDICE A – SISTEMAS MAL CONDICIONADOS . . . 57

A.1 Sistema IEEE-11 Barras . . . 57

A.2 Sistema IEEE-43 Barras . . . 58

(14)

14

1 Introdução

1.1 Considerações Iniciais

A solução numérica dos aplicativos de análise de redes em sistemas elétri-cos de potência é usualmente desenvolvida no domínio de números reais. Como exemplos clássicos, citam-se a Análise de Fluxo de Potência (PFA - Power Flow Analysis) e o Estimador de Estados em Sistemas de Potência (PSSE - Power Sys-tem State Estimator), entre outros. Apesar da prática usual dos algoritmos de solução numérica de sistemas de equações algébricas lineares e não-lineares serem derivados no domínio de números reais, esta estratégia não é a representação na-tural de fasores de tensão e corrente, que sobejamente são grandezas que emergem do plano complexo [1].

Na literatura técnica recente, várias propostas de algoritmos iterativos e não-iterativos derivados no plano complexo podem ser encontradas. Como exem-plos citam-se [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] para métodos iterativos e [9, 10] para métodos não-iterativos. A análise de fluxo de potência no domínio complexo é abordado por Wang [2,3,4,5] e por Nguyen e Vu [8]. Este último não contém o registro de que a contribuição fizera uso do cálculo de Wirtinger [11]. Além das aplicações em siste-mas de potência, destacam-se ainda outras aplicações recentes em processamento de sinais [12,13,14,15,16], teoria de controle, redes neurais [17], biomedicina, en-tre muitas outras. Basicamente, todas as aplicações ora mencionadas fazem uso da principal propriedade do cálculo de Wirtinger, ou seja, se uma função de variável complexa é analítica no espaço vetorial real, isto é, ℜ{𝑓 (𝑥)} e ℑ{𝑓 (𝑥)} são diferen-ciáveis, então esta mesma função é analítica no plano complexo, isto é: 𝑓 (𝑥, 𝑥*) é analítica ou holomorfa. Destaca-se que a notação (𝑥, 𝑥*) é conhecida como sistema de coordenadas conjugadas ou simplesmente referida como 𝐶𝑅 − 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑢𝑠.

Este trabalho acadêmico objetiva dissertar sobre o comportamento do al-goritmo de Levenberg-Marquardt de ordem superior quando aplicado ao problema de fluxo de potência em redes numericamente bem e mal condicionadas. Para as

(15)

Capítulo 1. Introdução 15

redes numericamente bem condicionadas, seu desempenho será comparado ao de-sempenho do algoritmo de Newton-Raphson clássico [18], derivado nos domínios de números reais (em coordenadas polares e retangulares) e complexo (somente em coordenadas retangulares), ambos tomados como referência para a análise compa-rativa pretendida. Por outro lado, para as redes numericamente mal condicionadas, o algoritmo tomado como referência é baseado no multiplicador otimizado de Iwa-moto [19, 20, 21]. Este último, derivado somente no espaço vetorial de números reais, em coordenadas retangulares.

Como principais características do algoritmo proposto neste trabalho com-paradas àquelas dos algoritmos tradicionais, citam-se: i) a matriz Jacobiana possui propriedades de esparsidade mais atraentes; ii) o algoritmo proposto é natural-mente formulado em coordenadas retangulares; iii) ele possui maior robustez nu-mérica quando a rede elétrica é significativamente estressada em termos de carre-gamento ou apresenta ramos com elevada relação R/X [4,20,21,22,23,24,25,26]; iv) apresenta a propriedade de convergência biquadrática [27,28], que é claramente superior à taxa de convergência quadrática do algoritmo de Newton-Raphson. Adi-cionalmente, outras contribuições sobre as questões mencionadas anteriormente podem ser encontradas em [29, 30, 31].

1.2 Organização do trabalho

A fundamentação teórica da proposta é baseada no Cálculo de Wirtinger conforme se apresenta no Capítulo2. No Capítulo3os modelos de barras são deri-vados da maneira como são aplicados na análise de fluxo de potência, bem como no modelo de Levenberg-Marquardt de ordem superior no plano complexo, incluindo a matriz Jacobiana correspondente. O Capítulo4mostra a operacionalização do al-goritmo proposto fazendo uso de um pequeno exemplo numérico seguido de várias simulações em sistemas testes bem, mal condicionados ou sem solução do IEEE-11; -14; -30; -43; -57 e -118 barras, além de um sistema real de 1916-barras que é um equivalente extraído do Sistema Interligado Nacional referido como SIN-1916. Por fim, no Capítulo 5registram-se as conclusões mais relevantes do trabalho.

(16)

16

2 Fundamentação Teórica

2.1 Diferenciabilidade de Funções de Variáveis Complexas

Uma função complexa é definida como sendo

𝑓 (𝑥) = 𝑢(𝑎, 𝑏) + 𝑗 𝑣(𝑎, 𝑏), (2.1) onde 𝑥 = 𝑎 + 𝑗 𝑏; 𝑢(𝑎, 𝑏) e 𝑣(𝑎, 𝑏) são funções reais, 𝑢, 𝑣 : R2 _{→ R. Geralmente,}

as funções como definidas em (2.1) são funções complexas, porém podem ser fun-ções reais em alguns casos. Por exemplo, cita-se a função custo que é usualmente uma função quadrática do erro em problemas de otimização, isto é: 𝐽 (|e2_{|). A}

definição de diferenciabilidade de funções de variáveis complexas requer que as derivadas sejam expressas como sendo o limite independente da direção na qual Δ𝑥 se aproxima de 0 no plano complexo, tal como

𝑓′(𝑥0) = lim Δ𝑥→0

𝑓 (𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓 (𝑥)

Δ𝑥 . (2.2)

Para isto, as condições de Cauchy-Riemann devem ser satisfeitas, ou seja:

𝜕𝑢 𝜕𝑎 = 𝜕𝑣 𝜕𝑏, 𝜕𝑣 𝜕𝑎 = − 𝜕𝑢 𝜕𝑏. (2.3)

Estas são as condições necessárias e suficientes para que a função 𝑓 (𝑥) seja di-ferenciável no plano complexo. Se as funções reais 𝑢(𝑎, 𝑏) e 𝑣(𝑎, 𝑏) são contínuas por todo seu domínio, então as derivadas parciais dessas funções também o serão. Assim sendo, a função complexa 𝑓 (𝑥) é uma função analítica ou também denomi-nada de função holomorfa [32]. Como exemplo considere 𝑓 (𝑥) = 𝑥2 _{uma função}

complexa, sendo 𝑥 = 𝑎 + 𝑗 𝑏. Logo,

𝑓 (𝑥) = 𝑥2 _{= 𝑎}2_{− 𝑏}2 ⏟ ⏞ =𝑢 + 𝑗 2𝑎𝑏 ⏟ ⏞ =𝑣 = 𝑦,

(17)

Capítulo 2. Fundamentação Teórica 17 𝜕𝑢 𝜕𝑎 = 2𝑎 = 𝜕𝑣 𝜕𝑏 = 2𝑎; 𝜕𝑢 𝜕𝑏 = −2𝑏 = − (︁_𝜕𝑣 𝜕𝑎 = 2𝑏 )︁ .

Esses resultados mostram que as equações de Cauchy-Riemann se satisfa-zem e, portanto, 𝑓 (𝑥) = 𝑦 = 𝑥2 _{é uma função analítica ou holomorfa.}

2.2 Cálculo de Wirtinger ou CR-Calculus

Introduzido por Wilhelm Wirtinger em 1927 [11], o Cálculo de Wirtinger também é conhecido como CR-Calculus. Esta metodologia permite contornar o problema de funções de variáveis complexas não-analíticas ou não-holomorfas. No entanto, a metodologia desenvolvida por Wirtinger somente é aplicável às funções

𝑓 (𝑥) como expressas em (2.1), se e somente se, as funções reais 𝑢(𝑎, 𝑏) e 𝑣(𝑎, 𝑏) forem diferenciáveis em ordem a 𝑎 e 𝑏, resultando em

𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝜕𝑓 𝜕𝑎 𝜕𝑎 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑏 𝜕𝑏 𝜕𝑥. (2.4)

Dado que as seguintes relações de funções são válidas:

𝑎 = (𝑥 + 𝑥 *₎ 2 , 𝜕𝑎 = (𝜕𝑥 + 𝜕𝑥*) 2 , (2.5) 𝑏 = 𝑗 (𝑥 *_{− 𝑥)} 2 , 𝜕𝑏 = 𝑗 (𝜕𝑥* − 𝜕𝑥) 2 , (2.6)

e definindo 𝜕𝑥_𝜕𝑥* como zero, então a seguinte equivalência de funções pode ser esta-belecida: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 1 2 (︃ 𝜕𝑓 𝜕𝑎 − 𝑗 𝜕𝑓 𝜕𝑏 )︃ . (2.7)

Observe que as condições de Cauchy-Riemann para que 𝑓 (·) seja analítica em 𝑥 podem ser expressas de maneira compacta utilizando a definição de gradiente, i.é,

𝜕𝑓

𝜕𝑥* = 0, ou ainda, 𝑓 (·) é função somente de 𝑥.

Similarmente, quando se toma a derivada de 𝑓 (·) em ordem a 𝑥*, isto é:

𝜕𝑓 𝜕𝑥* = 𝜕𝑓 𝜕𝑎 𝜕𝑎 𝜕𝑥* + 𝜕𝑓 𝜕𝑏 𝜕𝑏 𝜕𝑥*. (2.8)

(18)

Capítulo 2. Fundamentação Teórica 18

Ao definir _𝜕𝑥𝜕𝑥* como zero, obtém-se

𝜕𝑓 𝜕𝑥* = 1 2 (︃ 𝜕𝑓 𝜕𝑎 + 𝑗 𝜕𝑓 𝜕𝑏 )︃ . (2.9)

Analogamente, as condições de Cauchy-Riemann para que 𝑓 (·) seja ana-lítica em 𝑥* podem ser igualmente expressas de maneira compacta utilizando a definição de gradiente, i.é, 𝜕𝑓_𝜕𝑥 = 0, ou seja, 𝑓 (·) é função somente de 𝑥*.

Diante do exposto nas equações (2.8-2.9) pode-se concluir que o operador gradiente (analogamente, gradiente conjugado) age como a derivada parcial da função em ordem a 𝑥 (analogamente, a 𝑥*), tratando 𝑥* (analogamente, 𝑥) como uma constante. Analiticamente, tem-se

𝜕𝑓 (𝑥𝑐) 𝜕𝑥 = 𝜕𝑓 (𝑥,𝑥*) 𝜕𝑥 ⃒ ⃒ ⃒_𝑥*_{=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡} = 1 2 (︁_𝜕𝑓 𝜕𝑎 − 𝑗 𝜕𝑓 𝜕𝑏 )︁ , (2.10) 𝜕𝑓 (𝑥𝑐) 𝜕𝑥* = 𝜕𝑓 (𝑥,𝑥*) 𝜕𝑥* ⃒ ⃒ ⃒_{𝑥=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡} = 1 2 (︁_𝜕𝑓 𝜕𝑎 + 𝑗 𝜕𝑓 𝜕𝑏 )︁ . (2.11)

Assim sendo, considere como exemplo a função:

𝑓 (𝑥𝑐) = 𝑓 (𝑥, 𝑥*) = 𝑥* 𝑥= ‖𝑥‖2=𝑎2+ 𝑏2,

ou seja, uma função real escalar de variável complexa, cujo valor é o quadrado da distância Euclidiana da variável, 𝑥 = 𝑎 + 𝑗 𝑏, em relação origem do sistema de coordenadas cartesianas. Logo, a verificação das condições de Cauchy-Riemann, resulta: 𝑓 (𝑥𝑐) = 𝑓 (𝑥, 𝑥*) = 𝑥*𝑥 = 𝑎2+ 𝑏2 ⏟ ⏞ =𝑢 + 𝑗 (𝑎𝑏 − 𝑎𝑏) ⏟ ⏞ 0=𝑣 = 𝑦.

Dado que na verificação mostrada acima, 𝑣 = 0, conclui-se que as equações de Cauchy-Riemann não se satisfazem. Portanto, 𝑓 (𝑥𝑐) = 𝑓 (𝑥, 𝑥*) = 𝑥*𝑥 é uma

função não-analítica, ou não-holomorfa.

Para contornar esta aparente dificuldade, ao se aplicar o Cálculo de Wir-tinger, resulta:

(19)

𝜕𝑓 (𝑥𝑐)

𝜕𝑥 = 𝑥

*_; 𝜕𝑓 (𝑥𝑐)

𝜕𝑥* = 𝑥,

o que sugere a interpretação geométrica mostrada na Fig. 1.

Figura 1 – Gráfico de contornos da função real escalar de variável complexa. Sua análise permite inferir que:

1. Os círculos ou contornos da função 𝑓 (·) apresentados na figura representam o escalar 𝑎2_{+ 𝑏}2_{, que é o quadrado da distância Euclidiana da função. Então,}

ao imaginarmos a existência de um terceiro eixo centrado na origem do plano complexo, os contornos ou círculos descrevem a figura de um paraboloide; 2. A direção de máxima taxa de variação da função objetivo é dada pelo

gradi-ente conjugado definido em (2.11). Observe que sua direção positiva aponta para o máximo da função (seta tracejada) enquanto que a direção oposta mostra o mínimo da função custo, usualmente, a minimização de erros. Esta peculiaridade especial do cálculo de Wirtinger vai permitir explorar sua apli-cação vantajosa à família dos algoritmos baseados no método do gradiente conjugado [33].

(20)

Finalmente, há de se registrar que quando o Cálculo de Wirtinger for es-tendido ao espaço vetorial, i.é, caso de multivariáveis, as regras básicas para o caso escalar permanecem inalteradas.

(21)

21

3 Formulação do Problema de Fluxo de

Potência no Plano Complexo

Neste capítulo é apresentado a derivação de um fluxo de potência no plano complexo (complex-valued power flow analysis - CV-PFA), derivado diretamente do trabalho de Wirtinger [11], em contraste com a abordagem dada em [6, 7]. Primeiramente, toda a modelagem do fluxo de potência começa baseada na clássica equação nodal como apresentada em [34]. Numa segunda abordagem o modelo analítico é derivado através das equações gerais de fluxo de potência. A razão principal para esta última opção é o modelo de transformadores com tap fora da posição nominal, incluindo deslocadores de fase [35, 36]. Discussões adicionais sobre esta questão são abordadas ao longo da derivação das abordagens.

3.1 Equação Nodal

Esta abordagem requer construir a matriz nodal de admitância, e.g.,

𝐼 = Ybus 𝑉 , (3.1)

portanto a potência nodal complexa pode ser expressa como

𝑆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑉 ) 𝐼*, (3.2)

ou

𝑆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑉 ) Y*_𝑏𝑢𝑠 𝑉*. (3.3)

Assim, a potência nodal complexa na barra 𝑘, i.é, 𝑆𝑘, é dada por

𝑆𝑘 = 𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑘* 𝑉 * 𝑘 + 𝑉𝑘 𝑁 ∑︁ 𝑚=0 𝑚̸=𝑘 𝑌_𝑘𝑚* 𝑉_𝑚*, (3.4)

(22)

Capítulo 3. Análise de Fluxo de Potência no Plano Complexo 22

onde 𝑁 + 1 é o número de nós da rede, e o nó 0 é atribuído como o nó slack.

3.2 Equações de Fluxo de Potência no Plano Complexo

As equações de fluxo de potência no plano complexo que modelam qual-quer tipo de ramo em uma rede elétrica, i.é, incluindo linhas de transmissão e transformadores de fase e de deslocamento de fase, são como abaixo:

𝑆𝑘𝑚 = 𝑉𝑘 (︃ 𝑦*_𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑎*𝑘𝑚 − 𝑗 𝑏𝑠ℎ 𝑘𝑚 )︃ 𝑉_𝑘*− 𝑉𝑘 𝑦𝑘𝑚* 𝑎* 𝑘𝑚 𝑉_𝑚*, (3.5) 𝑆𝑚𝑘 = 𝑉𝑚 (𝑦𝑘𝑚* − 𝑗 𝑏 * 𝑘𝑚) 𝑉 * 𝑚− 𝑉𝑚 𝑦*_𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚 𝑉_𝑘*. (3.6) e 𝑆_𝑘𝑚* = 𝑉_𝑘* (︃ 𝑦𝑘𝑚 𝑎*_𝑘𝑚𝑎𝑘𝑚 + 𝑗 𝑏𝑠ℎ_𝑘𝑚 )︃ 𝑉𝑘− 𝑉𝑘* 𝑦𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚 𝑉𝑚, (3.7) 𝑆_𝑚𝑘* = 𝑉_𝑚* (︁𝑦𝑘𝑚+ 𝑗 𝑏𝑠ℎ𝑘𝑚 )︁ 𝑉𝑚− 𝑉𝑚* 𝑦𝑘𝑚 𝑎* 𝑘𝑚 𝑉𝑘. (3.8)

No grupo de equações (3.5-3.8), o modelo geral de transformador de tap fora do nominal é composto por um transformador ideal com relação complexa de espiras 𝑎𝑒𝑗𝜔 _{: 1 em série com sua admitância e impedância [35]. Note que este}

grupo de equações são derivadas em coordenadas retangulares.

3.3 Cálculo de Wirtinger Aplicado às Equações de Fluxo de

potência

Primeiramente, assuma-se que as injeções complexas de potência, 𝑆𝑘 e 𝑆𝑚,

sejam iguais aos fluxos de potência 𝑆𝑘𝑚 e 𝑆𝑚𝑘, respectivamente. Então,

aplicando-se o cálculo de Wirtinger à equação complexa de fluxo de potência dada por (3.5), temos:

(23)

Capítulo 3. Análise de Fluxo de Potência no Plano Complexo 23 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = (︃ 𝑦_𝑘𝑚* 𝑎𝑘𝑚𝑎*𝑘𝑚 − 𝑗 𝑏𝑠ℎ 𝑘𝑚 )︃ 𝑉_𝑘*− 𝑦 * 𝑘𝑚 𝑎*_𝑘𝑚𝑉 * 𝑚, (3.9) 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑘 (︂ _𝑦* 𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚𝑎𝑘𝑚* − 𝑗 𝑏𝑠ℎ 𝑘𝑚 )︂ , (3.10) 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, (3.11) 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉𝑘 𝑦*_𝑘𝑚 𝑎*_𝑘𝑚, (3.12) 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑎𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎*_𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉𝑘 (︃ 𝑦_𝑘𝑚* 𝑎2 𝑘𝑚𝑎 * 𝑘𝑚 )︃ 𝑉_𝑘*, (3.13) 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑎*_𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉𝑘 (︃ 𝑦*_𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚(𝑎*𝑘𝑚)2 )︃ 𝑉_𝑘*+ 𝑉𝑘 𝑦_𝑘𝑚* (𝑎*_𝑘𝑚)2𝑉 * 𝑚. (3.14) e por (3.6) temos 𝜕𝑆𝑚 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = (︁𝑦_𝑘𝑚* − 𝑗 𝑏𝑠ℎ 𝑘𝑚 )︁ 𝑉_𝑚* − 𝑦 * 𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚 𝑉_𝑘*, (3.15) 𝜕𝑆𝑚 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑚 (︁ 𝑦_𝑘𝑚* − 𝑗 𝑏𝑠ℎ_𝑘𝑚)︁, (3.16) 𝜕𝑆𝑚 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, (3.17) 𝜕𝑆𝑚 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉𝑚 𝑦_𝑘𝑚* 𝑎𝑘𝑚 , (3.18) 𝜕𝑆𝑚 𝜕𝑎𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎* 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑚 𝑦_𝑘𝑚* 𝑎2 𝑘𝑚 𝑉_𝑘*, (3.19) 𝜕𝑆𝑚 𝜕𝑎*_𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0. (3.20) e por (3.7) temos

(24)

Capítulo 3. Análise de Fluxo de Potência no Plano Complexo 24 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉_𝑘* (︃ 𝑦𝑘𝑚 𝑎*_𝑘𝑚𝑎𝑘𝑚 + 𝑗 𝑏𝑠ℎ_𝑘𝑚 )︃ , (3.21) 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = (︃ 𝑦𝑘𝑚 𝑎*_𝑘𝑚𝑎𝑘𝑚 + 𝑗 𝑏𝑠ℎ_𝑘𝑚 )︃ 𝑉𝑘− 𝑦𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚 𝑉𝑚, (3.22) 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉_𝑘* 𝑦𝑘𝑚 𝑎𝑘𝑚 , (3.23) 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, (3.24) 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑎𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎*_𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉_𝑘* (︃ 𝑦𝑘𝑚 𝑎*_𝑘𝑚𝑎2 𝑘𝑚 )︃ 𝑉𝑘+ 𝑉𝑘* 𝑦𝑘𝑚 𝑎2 𝑘𝑚 𝑉𝑚, (3.25) 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑎*_𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉_𝑘* (︃ 𝑦𝑘𝑚 (𝑎*_𝑘𝑚)2_𝑎 𝑘𝑚 )︃ 𝑉𝑘. (3.26)

e finalmente por (3.8) temos

𝜕𝑆_𝑚* 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = − 𝑉_𝑚* 𝑦𝑘𝑚 𝑎* 𝑘𝑚 , (3.27) 𝜕𝑆_𝑚* 𝜕𝑉* 𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, (3.28) 𝜕𝑆_𝑚* 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 =𝑉_𝑚* (︁𝑦𝑘𝑚+ 𝑗 𝑏𝑠ℎ𝑘𝑚 )︁ , (3.29) 𝜕𝑆_𝑚* 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = (︁𝑦𝑘𝑚+ 𝑗 𝑏𝑠ℎ𝑘𝑚 )︁ 𝑉𝑚− 𝑦𝑘𝑚 𝑎*_𝑘𝑚𝑉𝑘, (3.30) 𝜕𝑆_𝑚* 𝜕𝑎𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎* 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, (3.31) 𝜕𝑆_𝑚* 𝜕𝑎*_𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉_𝑚* 𝑦𝑘𝑚 (𝑎*_𝑘𝑚)2 𝑉𝑘. (3.32)

(25)

3.4 Modelos de Barras

3.4.1 Barra Slack

A tensão complexa na barra slack é conhecida, uma vez que sua magnitude e ângulo de fase são valores especificados para a barra de referência.

3.4.2 Barra PQ

Com a demanda de potência ativa e reativa especificadas para um nó PQ, pode-se expressar as seguintes funções de mismatches complexos

𝑀𝑘= 𝑆𝑘− (𝑃𝑘𝑠+ 𝑗 𝑄𝑘𝑠), (3.33)

𝑀_𝑘* = 𝑆_𝑘*− (𝑃𝑘𝑠− 𝑗 𝑄𝑘𝑠), (3.34)

onde 𝑃𝑘𝑠 e 𝑄𝑘𝑠 são as injeções de potência ativa e reativa especificadas em um nó

𝑘, respectivamente.

Visando derivar o algoritmo de Newton-Raphson no domínio complexo, os elementos da matriz Jacobiana na forma complexa correspondentes a cada barra

PQ são formados baseados nas derivadas de 𝑀𝑘 e 𝑀𝑘* com respeito às magnitudes

das tensões nodais complexas e complexa conjugadas, obtendo-se

𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑁 ∑︁ 𝑚 ∈ Ω𝑘 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.35) 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉* 𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑁 ∑︁ 𝑚 ∈ Ω𝑘 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑉* 𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.36) 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, (3.37) 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑁 ∑︁ 𝑚 ∈ Ω𝑘 𝜕𝑆𝑘 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.38)

(26)

Capítulo 3. Análise de Fluxo de Potência no Plano Complexo 26 e 𝜕𝑀_𝑘* 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑁 ∑︁ 𝑚 ∈ Ω𝑘 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.39) 𝜕𝑀_𝑘* 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑁 ∑︁ 𝑚 ∈ Ω𝑘 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.40) 𝜕𝑀_𝑘* 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑁 ∑︁ 𝑚 ∈ Ω𝑘 𝜕𝑆_𝑘* 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.41) 𝜕𝑀_𝑘* 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0. (3.42)

onde Ω𝑘em (3.35-3.42) é o conjunto de barramentos vizinhos conectados à barra 𝑘

e 𝑁 é o número total de barras. Além do mais, em (3.37-3.38) e (3.41-3.42), 𝑚 ̸= 0 e 𝑚 ̸= 𝑘. Ressaltamos que o lado direito de (3.40) é a corrente complexa nodal no nó 𝑘 enquanto que o lado direito de (3.35) é o complexo conjugado da corrente nodal no nó 𝑘.

3.4.3 Barra PV

Como a geração de potência ativa e a magnitude da tensão terminal em uma barra PV são ambas especificadas, i.é, 𝑃𝑘𝑠 e 𝑉𝑘𝑠, respectivamente, a soma de

𝑀𝑘 em (3.33) com 𝑀𝑘* em (3.34) resulta na função residual complexa 𝑀𝑘𝑔, que é

relacionado com a restrição de potência ativa:

𝑀𝑘𝑔 = 𝑀𝑘+ 𝑀𝑘*,

= 𝑆𝑘+ 𝑆𝑘*− 2 × 𝑃𝑘𝑠.

(3.43)

A segunda função residual complexa 𝐸𝑘𝑔 para um nó gerador 𝑘 é dada usando a

restrição de magnitude da tensão dada por

|𝐸𝑘𝑔| = |𝑉𝑘|2− |𝑉𝑘𝑠|2, (3.44)

(27)

Como |𝑉𝑘|2 = 𝑉𝑘 𝑉𝑘*, (3.44) pode ser expressa no domínio complexo como

𝐸𝑘𝑔 = 𝑉𝑘 𝑉𝑘*− |𝑉𝑘𝑠|2,

= 𝑒2

𝑘+ 𝑓𝑘2 − |𝑉𝑘𝑠|2,

(3.45)

onde 𝑒𝑘 e 𝑓𝑘 são, respectivamente, a parte real e imaginária de 𝑉𝑘. Portanto vale

notar que a derivação da atual formulação no plano complexo é como o da formu-lação retangular no plano real, i.é, se requer uma equação extra para cada barra PV no sistema devido à necessidade de se manter a magnitude da tensão especifi-cada (3.45). Consequentemente, a formulação retangular tem um maior número de equações e variáveis em relação à formulação polar relativo ao número de barras PVs no sistema. Então os elementos da matriz jacobiana associados com um nó ge-rador 𝑘 são obtidos ao tomar as derivadas parciais das funções residuais complexas em (3.43) e (3.45) com respeito a 𝑉𝑘 e 𝑉𝑘*, obtendo-se

𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝜕𝑀 * 𝑘 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.46) 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝜕𝑀 * 𝑘 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.47) 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝜕𝑀 * 𝑘 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.48) 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝜕𝑀 * 𝑘 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 , (3.49)

onde em (3.48-3.49), 𝑚 ̸= 0 e 𝑚 ̸= 𝑘. Além disso, note que o lado direito das equações (3.46-3.49) é definido em (3.35-3.42). Por outro lado, as derivadas parciais de 𝐸𝑘𝑔 em (3.45) com respeito a 𝑉𝑘 e 𝑉𝑘* são expressas como

𝜕𝐸𝑘𝑔 𝜕𝑉𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉_𝑘*, (3.50) 𝜕𝐸𝑘𝑔 𝜕𝑉_𝑘* ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑘=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑘, (3.51)

(28)

e as derivadas parciais com respeito a 𝑉𝑚 e 𝑉𝑚* são dadas por

𝜕𝐸𝑘𝑔 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, for 𝑚 ̸= 0 and 𝑚 ̸= 𝑘, (3.52) 𝜕𝐸𝑘𝑔 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 0.0, for 𝑚 ̸= 0 and 𝑚 ̸= 𝑘, (3.53)

3.4.4 Barra PQV

Este tipo de barra se refere ao modelo de comutador de derivação em carga (On-Load-Tap-Changer - OLTC), que pode ser um transformador de fase para regulação de tensão em barras locais e próximas ou um transformador de mudança de fase para controlar a potência ativa transmitida sobre uma linha [37]. Também se encaixa ao modelar uma conexão DC de um conversor de fonte de tensão [38, 39]. Como as demandas de potência ativa e reativa são especificadas, as funções complexas de mismatches, como declaradas em (3.33) e (3.34), são empregadas. No entanto, vale lembrar que a posição do tap do OLTC nos permite regular a magnitude da tensão seja da barra 𝑘 seja da 𝑚. Assuma que a tensão da barra 𝑚 será regulada, obtemos as seguintes funções de mismatches:

𝑀𝑚 = 𝑎𝑘𝑚− 𝑎*𝑘𝑚− 2 × ℑ{𝑎𝑘𝑚}, (3.54)

𝐸𝑚 = 𝑉𝑚 𝑉𝑚* − |𝑉𝑚𝑠|

2

, (3.55)

Aqui ℑ{𝑎𝑘𝑚} é a parte imaginária do valor complexo especificado do tap,

e.g., para um transformador de fase, tem-se ℑ{𝑎𝑘𝑚} = 0.0; caso contrário, tem-se

um transformador de deslocamento de fase e, ao invés de (3.54), (3.43) é usada. Em (3.55), 𝑉𝑚𝑠 é a tensão especificada no nó 𝑚, i.é, a tensão nodal regulada. Logo,

(29)

Capítulo 3. Análise de Fluxo de Potência no Plano Complexo 29 𝜕𝑀𝑚 𝜕𝑎𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎* 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 1.0, (3.56) 𝜕𝑀𝑚 𝜕𝑎*_𝑘𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑎 𝑘𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = −1.0, (3.57) e 𝜕𝐸𝑚 𝜕𝑉𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉* 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉_𝑚*, (3.58) 𝜕𝐸𝑚 𝜕𝑉* 𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒_𝑉 𝑚=𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑉𝑚. (3.59)

Quando (3.43) é usada, as correspondentes derivadas parciais são as defi-nidas em (3.13-3.14) e (3.25-3.26).

3.5 Solução Iterativa

3.5.1 O Algoritmo Levenberg-Marquardt de Quarta Ordem Aplicado

ao CV-PFA

Quando a barra slack é excluída, o vetor de variáveis de estados composto se torna x_𝑐 = [𝑉1, 𝑉2, . . . , 𝑉𝑁 −1, 𝑉1*, 𝑉 * 2, . . . , 𝑉 * 𝑁 −1] 𝑇_, _(3.60)

e o vetor de mismatches se reduz a

𝑀 (x_𝑐) = [𝑀1, 𝑀2, . . . , 𝑀𝑁 −1, 𝑀1*, 𝑀 * 2, . . . , 𝑀 * 𝑁 −1] 𝑇_. _(3.61)

Caso o nó 𝑘 (para 𝑘 = 1, 2, . . . , 𝑁 − 1) seja uma barra PV ou uma PQV, o par de elementos 𝑀𝑘e 𝑀𝑘*em (3.61) são substituídos por 𝑀𝑘𝑔e 𝐸𝑘𝑔como em (3.43)

e (3.45) ou substituídos por 𝑀𝑚 e 𝐸𝑚 como em (3.54) e (3.55), respectivamente.

Aqui, o objetivo é calcular x_𝑐 que satisfaça

(30)

No estado da arte da análise numérica, muitas propostas podem ser encon-tradas visando resolver sistemas de equações não lineares mal condicionadas, como em [40, 41, 42, 43, 44], para citar alguns. Na análise de sistemas de potência, os métodos de Brown e de Brent tem sido aplicado para resolver sistemas mal condi-cionados [23, 24, 25,26,21,45]. No entanto, em [4] pesquisadores têm empregado a proposta de Yang [28], que é baseada no algoritmo Levenberg-Marquardt, que geralmente é derivado para problemas de otimização [15].

Após checar incansavelmente a robustez numérica apresentada em [27, 28, 46, 47], fazendo uso de equações de sistemas não lineares no domínio real, como as funções teste de Rosebrok, Brown 1 e 2, Brown-Conte e de Powell extraídos de [44], o algoritmo proposto por Fan [27] e por Yang [28] tem apresentado a melhor performance e facilidade de implementação. Neste trabalho, a proposta de Yang é apresentada e aplicada ao CV-PFA. No entanto, como o objetivo é aumentar a robustez numérica, assume-se o formato de equação de Barel [15] uma vez que é baseado na Jacobiana ao invés da matriz Ganho como relatado em [28], que visava principalmente acelerar a busca de uma solução.

Vale lembrar que a ideia principal da proposta de Yang é melhorar o con-dicionamento da matriz de coeficientes durante as atualizações dos estados no decorrer dos processos iterativos, i.é

Δx(𝜈)_𝑐 = − ⎛ ⎝ J(𝜈) √ 𝜂𝜈 𝐼 ⎞ ⎠ † ⎛ ⎝ 𝑀(︁x_c(𝜈))︁ 0 ⎞ ⎠, (3.63)

onde J é a matriz Jacobiana no plano complexo; I é a matriz identidade de dimen-são 2𝑛 × 2𝑛; o operador (·)† é definido como a pseudo-inversa de Moore-Penrose [48]; 𝜂𝜈 > 0 é o parâmetro de regularização de Levenberg-Marquardt (LM) que

influencia na extensão e na direção das correções a serem aplicadas nas variáveis de estado a cada iteração visando acelerar o alcance da solução. Como mostrado na Fig. 1, a direção do caminho da solução é definida por −𝜕𝑓 (𝑥𝑐)

𝜕𝑥* , i.é, a direção

oposta do gradiente conjugado complexo. Este importante recurso será explorado em problemas de fluxo de potência e também em estimação de estados de sistemas de potência. Atualmente, estas investigações são a motivação parcial para futuros trabalhos.

(31)

Perceba que se 𝜂𝜈 = 0 no primeiro passo de LM, dado por (3.63), então

o algoritmo de LM se torna o clássico método Newton-Raphson. Mas no caso do LM, calcula-se 𝜂𝜈 = 𝜇𝜈 ⃦ ⃦ ⃦𝑀 (︁ 𝑥(𝜈)_𝑐 )︁⃦⃦ ⃦ 𝛿 , (3.64)

onde o valor inicial de 𝜇(𝜈=1) é normalmente definido como 10−5 e 𝛿 é escolhido

dentro de um intervalo entre 1 ≤ 𝛿 ≤ 2, sendo 𝛿 = 1 um valor recomendado [28]. Agora, ao invés de utilizarmos somente um passo LM como apresentado em (3.63), dois passos aproximados adicionais são computados utilizando a mesma matriz Jacobiana. O segundo passo de correção portanto é

Δy(𝜈) 𝑐 = − ⎛ ⎝ J(𝜈) √ 𝜂𝜈 𝐼 ⎞ ⎠ † ⎛ ⎝ 𝑀(︁y_c(𝜈))︁ 0 ⎞ ⎠, (3.65)

assumindo y_c(𝜈) = x_c(𝜈+1) = x_c(𝜈)+ Δx(𝜈)_𝑐 . E o terceiro passo é

Δz(𝜈)_𝑐 = − ⎛ ⎝ J(𝜈) √ 𝜂𝜈 𝐼 ⎞ ⎠ † ⎛ ⎝ 𝑀(︁z_c(𝜈))︁ 0 ⎞ ⎠, (3.66) onde z_c(𝜈) _{= y} c (𝜈+1) _{= y} c (𝜈)_{+ Δy}(𝜈)

𝑐 . Sendo assim, a checagem de convergência

deve ser feita sobre o último passo de aproximação, sendo então:

⃦ ⃦ ⃦Δz (𝜈) 𝑐 ⃦ ⃦ ⃦_∞≤ 𝑡𝑜𝑙 (≈ 10 −3 ). (3.67)

Se (3.67) for satisfeita, pare e imprima os resultados. Se não for, calcule a razão da dedução de erro 𝑒𝑟𝑟𝜈 = 𝐴𝑟𝑒𝑑𝜈/𝑃 𝑟𝑒𝑑𝜈, onde

𝐴𝑟𝑒𝑑𝜈 = ⃦ ⃦ ⃦𝑀 (︁ x_c(𝜈))︁⃦⃦ ⃦ 2 −⃦⃦ ⃦𝑀 (︁ x_c(𝜈)+ Δx_c(𝜈)+ Δy c (𝜈)_{+ Δz} c(𝜈) )︁⃦ ⃦ ⃦ 2 , (3.68)

(32)

Capítulo 3. Análise de Fluxo de Potência no Plano Complexo 32 Pred𝜈 = ⃦ ⃦ ⃦𝑀 (︁ x_c(𝜈))︁⃦⃦ ⃦ 2 −⃦⃦ ⃦𝑀 (︁ x_c(𝜈))︁_{+ J}(𝜈) _Δx(𝜈) 𝑐 ⃦ ⃦ ⃦ 2 + ⃦ ⃦ ⃦𝑀 (︁ y_c(𝜈))︁⃦⃦ ⃦ 2 −⃦⃦ ⃦𝑀 (︁ y_c(𝜈))︁_{+ J}(𝜈) _Δy(𝜈) 𝑐 ⃦ ⃦ ⃦ 2 + ⃦ ⃦ ⃦𝑀 (︁ z_c(𝜈))︁⃦⃦ ⃦ 2 −⃦⃦ ⃦𝑀 (︁ z_c(𝜈))︁_{+ J}(𝜈) _Δz(𝜈) 𝑐 ⃦ ⃦ ⃦ 2 . (3.69)

E, neste caso, o vetor de estados é atualizado da seguinte forma:

x_c(𝜈+1)= ⎧ ⎨ ⎩ xc(𝜈)+ Δx(𝜈)𝑐 + Δy(𝜈)_𝑐 + Δz(𝜈)𝑐 , se err𝜈 > 𝑝0 x_c(𝜈), do contrário. (3.70) onde 𝑝0 é um parâmetro escolhido entre 0 e 1. Finalmente, o parâmetro 𝜇𝜈 é

atualizado como abaixo:

𝜇𝜈+1 = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4 𝜇𝜈 if err𝜈 < 𝑝1 𝜇𝜈 if err𝜈 ∈ [𝑝1, 𝑝2] max {︂_𝜇 𝜈 4 , ¯𝜆 }︂ if err𝜈 > 𝑝2 (3.71)

onde 0 < 𝑝0 ≤ 𝑝1 ≤ 𝑝2 < 1 e 𝜂𝜈 > ¯𝜆 > 0. Agora o contador de iterações é

atualizado, i.é, 𝜈 = 𝜈 + 1 e checa-se se o número máximo de iterações foi atingido. Se este for o caso, termina-se o algoritmo e os resultados são imprimidos; caso contrário, o processo começa novamente a partir da equação (3.63).

Note que a matriz Jacobiana J é calculada apenas uma vez a cada iteração

𝜈, o que é uma propriedade atraente para uma convergência biquadrática da

abor-dagem proposta. Convergência essa facilmente provada pelos teoremas mostrados em [28]. Note que o cálculo da matriz Jacobiana consome considerável tempo para sistemas de grande escala, porém, graças à taxa de convergência biquadrática da abordagem proposta, o número de iterações é reduzido significativamente. Por ou-tro lado, o erro da linearização da equação não linear é compensado através dos dois passos LM adicionais aproximados, o que aprimora a robustez numérica da abordagem proposta notavelmente quando sob condições extremas de operação ou com ramos com elevada relação R/X.

(33)

Finalmente, note que há vários parâmetros a serem ajustados antes de se iniciar o algoritmo CV-PFA baseado em LM. Dentre os parâmetros, o valor inicial de 𝜇, 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2 e ¯𝜆. O valor inicial de 𝜇, geralmente 10−5, tem pouco impacto no

processo iterativo, uma vez que sofre atualizações, enquanto que para 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2 e

¯

𝜆, estes estão ajustados como 𝑝0 = 10−4, 𝑝1 = 0.25, 𝑝2 = 0.75 e ¯𝜆 = 0.65, como

recomendado em [28]. Este ajuste dos parâmetros funciona bem para diferentes sistemas teste.

3.5.2 Estrutura da Matriz Jacobinana

A matriz Jacobiana do fluxo de potência no plano complexo possui a se-guinte estrutura: J = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉𝑘 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉𝑚 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑎𝑘𝑚 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉𝑘 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉𝑚 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑎𝑘𝑚 0.0 0.0 𝜕𝑀𝑚 𝜕𝑎𝑘𝑚 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉* 𝑘 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑉* 𝑚 𝜕𝑀𝑘𝑔 𝜕𝑎* 𝑘𝑚 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉_𝑘* 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑉* 𝑚 𝜕𝑀𝑘 𝜕𝑎*_𝑘𝑚 0.0 0.0 𝜕𝑀𝑚 𝜕𝑎* 𝑘𝑚 𝜕𝐸𝑘𝑔 𝜕𝑉𝑘 0.0 0.0 𝜕𝑀* 𝑘 𝜕𝑉𝑘 𝜕𝑀* 𝑘 𝜕𝑉𝑚 𝜕𝑀* 𝑘 𝜕𝑎𝑘𝑚 0.0 𝜕𝐸𝑚 𝜕𝑉𝑚 0.0 𝜕𝐸𝑘𝑔 𝜕𝑉* 𝑘 0.0 0.0 𝜕𝑀_𝑘* 𝜕𝑉_𝑘* 𝜕𝑀_𝑘* 𝜕𝑉* 𝑚 𝜕𝑀_𝑘* 𝜕𝑎*_𝑘𝑚 0.0 𝜕𝐸𝑚 𝜕𝑉* 𝑚 0.0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (3.72)

Em (3.72), as derivadas parciais da primeira e da quarta linha correspon-dem às barras PVs, as que estão na segunda e quinta linha corresponcorrespon-dem às barras PQs e as que estão na terceira e sexta, às barras PQVs. Visando fatorar a matriz Jacobiana composta complexa (3.72), dois algoritmos QR são considerados e in-vestigados em [49, 50], sendo este último escrito em coordenadas polares. Ambos são extensões do já conhecido algoritmo em números reais descrito em [51], que já foi aplicado com sucesso a Estimadores de Estado de Sistemas de Potência por [52, 53, 54]. Note que o algoritmo QR deve ser aplicado a uma matriz

(34)

aumen-Capítulo 3. Análise de Fluxo de Potência no Plano Complexo 34

tada visando evitar armazenar explicitamente a matriz Q. Com isto em mente, a transformação QR é aplicada a uma matriz Ja dada por

Ja(𝜈) = [︁

J(𝜈) 𝑀(︁x(𝜈)_𝑐 )︁]︁. (3.73) Por outro lado, verifica-se que se guardarmos a sequência de rotações na forma compacta, a matriz Jacobiana no plano complexo pode se manter constante, implicando que somente o vetor do lado direito é atualizado nas iterações finais. Portanto, a solução sobre os três passos do algoritmo de LM dados por (3.63-3.66) pode ser feita com uma simples substituição inversa à fatoração de (3.73), levando a

̃︀

J(𝜈)_a = [︁Tc M̃︁_𝑐 ]︁

. (3.74)

onde Tc é a matriz triangular superior composta de dimensão 4𝑛 × 2𝑛 eM̃︁_𝑐inclui

as linhas correspondentes no vetor atualizado do lado direito, de dimensão 4𝑛 × 1, para 𝑛 = 𝑁 − 1. então, (3.63) pode ser expressa através de

(35)

35

4 Resultados Numéricos

Neste capítulo apresenta-se uma descrição detalhada da Análise de Fluxo de Potência CV por Newton-Raphson de um sistema de potência 3-barras. Em seguida comparamos a performance deste algoritmo com seu correspondente por Levemberg-Marquardt para os sistemas bem condicionados IEEE-14, -30, -57 e -118 barras, o sistema interligado nacional (SIN) 1916 barras e para os sistemas mal condicionados, ou insolúveis, IEEE-11 e -43 barras. Estes algoritmos foram desenvolvidos em Matlab utilizando-se de técnicas de esparsidade, ordenação e rotação QR. Os testes numéricos foram executados usando-se um Intel Core i5-4200 CPU @ 1.60Hz 2.30 GHz; 6GB de RAM e sistema operacional 64-bits. A condição de flat start é utilizada para as variáveis de estado em todas as simulações. Durante os processos iterativos o algoritmo utiliza-se de técnicas de esparsidade, método de ordenação de colunas e fatoração QR sobre a matriz Jacobiana.

4.1 Pequeno exemplo: CV-PFA

Na sequência a modelagem CV-PFA pelo método de Newton Raphson é aplicada a um pequeno sistema exemplo cujo diagrama é mostrado na Fig.2

Tabela 1 – Especificações das Barras.

Barra Grandezas Especificadas em pu

Tipo 𝑃𝑔 𝑉 𝑃𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑄𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎

PV-2 1.0000 1.0000 0.2160 0.0918

PQ-3 2.700 1.620

A matriz de admitância nodal, i.é, 𝑌𝑏𝑢𝑠, é dada como

𝑌𝑏𝑢𝑠= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 213.3474 − 𝑗 380.8922 −205.1282 + 𝑗 358.9744 −8.2192 + 𝑗 21.9178 −205.1282 + 𝑗 358.9744 205.2414 − 𝑗 359.3821 −0.1132 + 𝑗 0.6037 −8.2192 + 𝑗 21.9178 −0.1132𝑙 + 𝑗 0.6037 8.3324 − 𝑗 22.3256 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(36)

Capítulo 4. Resultados Numéricos 36

Figura 2 – Sistema Exemplo 3 Barras. Tabela 2 – Especificações das Linhas.

Linha Série Shunt

𝑖 → 𝑗 R X Carregamento Y/2

pu pu MVAr pu

1-2 0.0012 0.0021

1-3 0.0150 0.0400

2-3 0.3000 1.6000 39.2 0.196

Todo o conjunto dos resultados intermediários através do processo iterativo é apresentado a seguir. 𝐽(𝜈=1) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 205.24 − 𝑗 359.58 −0.11 + 𝑗 0.60 205.24 + 𝑗 359.58 −0.11 − 𝑗 0.60 −𝑗 0.20 −0.11 − 𝑗 0.60 8.33 + 𝑗 22.33 1.00 1.00 −0.11 + 𝑗 0.60 8.33 − 𝑗 22.33 𝑗 0.20 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 𝐽(𝜈=2) ₌ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 205.30 − 𝑗 360.35 −0.11 + 𝑗 0.60 205.30 + 𝑗 360.35 −0.11 − 𝑗 0.60 −2.68 − 𝑗 1.64 −0.15 − 𝑗 0.54 9.41 + 𝑗 19.48 1.00 − 0.01 1.00 + 0.01 −0.15 + 𝑗 0.54 9.41 − 𝑗 19.48 −2.68 + 𝑗 1.64 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(37)

Capítulo 4. Resultados Numéricos 37 𝐽(𝜈=3) ₌ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 205.30 − 𝑗 360.34 −0.11 + 𝑗 0.60 205.30 + 𝑗 360.34 −0.11 − 𝑗 0.60 −2.85 − 𝑗 2.10 −0.15 − 𝑗 0.52 9.24 + 𝑗 19.02 1.00 − 0.01 1.00 + 0.01 −0.15 + 𝑗 0.52 9.24 − 𝑗 19.02 −2.85 + 𝑗 2.10 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Assim como no domínio real, os elementos da matriz Jacobiana no plano complexo permanecem praticamente inalterados após a segunda iteração, o que sugere que podemos mantê-la constante a partir de então. Além do mais, a com-putação de algumas das entradas podem ser evitadas pois estas seriam as comple-xas conjugadas de outros valores da matriz, com exceção dos casos associados às barras PVs.

Os valores numéricos das correções das variáveis de estado, as variáveis e os vetores de mismatches calculados no domínio complexo são mostrados nas Tabelas 3-5. Perceba que são os mesmos valores como os calculados no domínio real. Consequentemente, os valores das injeções de potência e os fluxos de carga calculados no domínio real e no complexo também serão os mesmos; estes são mostrados na Tabela 6.

Tabela 3 – Vetor de correção.

𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎 : ‖Δ𝑋‖_∞< 𝑡𝑜𝑙. ≈ 10−3 Δ𝑋 Δ𝑋(𝜈=1) Δ𝑋(𝜈=2)×10−2 _Δ𝑋(𝜈=3)_×10−4 Δ𝑉2 0.00 + 𝑗 0.20 −0.0002 − 𝑗 0.0007 0.00 − 𝑗 0.0017 Δ𝑉3 −0.0961 − 𝑗 0.08435 −2.04 − 𝑗 0.0002 −5.4852 + 𝑗 0.0154 Δ𝑉₂* 0.00 − 𝑗 0.20 −0.0002 + 𝑗 0.0007 0.00 + 𝑗 0.0017 Δ𝑉₃* −0.0961 + 𝑗 0.08435 −2.04 + 𝑗 0.0002 −5.4852 − 𝑗 0.0154 ‖Δ𝑋‖_∞ 0.1278 0.0204 5.4852 × 10−4

(38)

Tabela 4 – Variáveis de Estado.

𝑋 |𝑋|(𝜈=0) |𝑋|(𝜈=1) |𝑋|(𝜈=2) |𝑋|(𝜈=3)

𝑉2 1.0000 + 𝑗 0.0 1.0000 + 𝑗 0.002 1.0000 + 𝑗 0.002 1.0000 + 𝑗 0.002

𝑉3 1.0000 + 𝑗 0.0 0.9039 − 𝑗 0.0843 0.8835 − 𝑗 0.0842 0.8829 − 𝑗 0.0842

𝑉₂* 1.0000 − 𝑗 0.0 1.0000 − 𝑗 0.002 1.0000 − 𝑗 0.002 1.0000 − 𝑗 0.002

𝑉₃* 1.0000 − 𝑗 0.0 0.9039 + 𝑗 0.0843 0.8835 + 𝑗 0.0842 0.8829 + 𝑗 0.0842

Tabela 5 – Vetor de Mismatches.

𝑀 𝑀 (𝑋)(𝜈=0) 𝑀 (𝑋)(𝜈=1) 𝑀 (𝑋)(𝜈=2) 𝑀 (𝑋)(𝜈=3)× 10−5

𝑀2𝑔 −1.5680 + 𝑗 0.0000 0.0015 + 𝑗 0.0000 0.0000 + 𝑗 0.0000 0.0000 + 𝑗 0.0000

𝑀3 2.7000 + 𝑗 1.4240 0.1363 + 𝑗 0.3648 0.0035 + 𝑗 0.0093 0.2507 + 𝑗 0.6717

𝑀_2𝑔* 0.0000 − 𝑗 0.0000 0.0000 + 𝑗 0.0000 0.0000 + 𝑗 0.0000 0.0000 + 𝑗 0.0000

𝑀₃* 2.7000 − 𝑗 1.4240 0.1363 − 𝑗 0.3648 0.0035 − 𝑗 0.0093 0.2507 − 𝑗 0.6717

Tabela 6 – Resultados Fluxo de Potência CV

𝐶𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑆𝑘 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑃 𝑜𝑙𝑎𝑟 (𝑃𝑘± 𝑗 𝑄𝑘) |𝑆𝑘| × 𝑒±𝑗 𝜙 𝑆1 +2.0901 + 𝑗 2.2845 3.0964 × 𝑒+𝑗 47.545 𝑆2 +0.7840 − 𝑗 0.5448 0.9468 × 𝑒−𝑗 34.793 𝑆3 −2.7000 − 𝑗 1.6199 3.1487 × 𝑒−𝑗 149.036 𝑆𝑘𝑚 (𝑃𝑘𝑚± 𝑗 𝑄𝑘𝑚) |𝑆𝑘𝑚| × 𝑒±𝑗 𝜃𝑘𝑚 𝑆12 −0.7180 + 𝑗 0.4112 0.8274 × 𝑒+𝑗 150.198 𝑆21 +0.7188 − 𝑗 0.4098 0.8274 × 𝑒−𝑗 29.687 𝑆13 +2.8081 + 𝑗 1.8733 3.3676 × 𝑒+𝑗 33.707 𝑆31 −2.6372 − 𝑗 1.4175 2.9940 × 𝑒−𝑗 151.741 𝑆23 +0.0652 − 𝑗 0.1350 0.1498 × 𝑒−𝑗 64.217 𝑆32 −0.0628 − 𝑗 0.2025 0.2120 × 𝑒−𝑗 107.232

(39)

4.2 Sistemas bem condicionados: sistemas teste IEEE e

sis-tema real brasileiro

Uma gama de algoritmos aplicados à análise de fluxo de potência foram utilizados para comparação e avaliação da performance de nossa proposta. Cada algoritmo utilizado será identificado como:

X𝑅𝑉 −𝑁𝑅𝑃 𝐹 𝐴(𝑝.𝑟)_{: Real-Valued Newton-Raphson, em coordenadas polar}

e retangular;

X𝑅𝑉 − 𝐿𝑀𝑃 𝐹 𝐴(𝑝)_{: Real-Valued Levenberg-Marquardt, em coordenada}

polar;

X𝑅𝑉 −𝑂𝑀 𝑃 𝐹 𝐴(𝑟): Real-Valued Newton-Raphson com multiplicador ótimo, em coordenada retangular;

X𝐶𝑉 − 𝑁𝑅𝑃 𝐹 𝐴(𝑟): Complex-Valued Newton-Raphson, em coordenada re-tangular;

X𝐶𝑉 − 𝐿𝑀𝑃 𝐹 𝐴(𝑟)_{: Complex-Valued Levenberg-Marquardt, em}

coorde-nada retangular.

Na tabela 7 tem-se os parâmetros dos sistemas testes bem condicionados IEEE 14, 30, 57 e 118 barras, além dos parâmetros do sistema interligado nacional (SIN) brasileiro 1916 barras. As Figs. 3-7 mostram as estruturas de esparsidade das matrizes Jacobianas no domínio complexo dadas por (3.72) em comparação com as derivadas no domínio real.

Tabela 7 – Propriedades dos sistemas bem condicionados

Sistemas teste IEEE / SIN- -14 -30 -57 -118 -1916

No. de barras PV (𝑁𝑃 𝑉) 4 5 6 53 163

No. de barras PQ (𝑁_{𝑃 𝑄}) 9 24 50 64 1753

No. de transformadores 3 4 15 9 835

No. de linhas de transmissão + shunt 21 43 83 200 3197

R-Valued:𝑛 = (𝑁𝑃 𝑉 + 2 × 𝑁𝑃 𝑄) 22 53 106 181 3669

(40)

(a) (b)

Figura 3 – Estrutura de esparsidade da matriz Jacobiana no plano real (a) e no plano complexo (b) do sistema teste IEEE 14-barras.

(a) (b)

Claramente, os blocos diagonais da matriz Jacobiana no plano complexo são praticamente matrizes diagonais, o que acelera sua fatoração. A Tabela 8 mostra o número de iterações, o condicionamento numérico e o número de elementos não nulos associados às matrizes Jacobianas no plano real e complexos, em coordenadas polar e retangular.

(41)

(a) (b)

(42)

(a) (b)

Figura 7 – Estrutura de esparsidade da matriz Jacobiana no plano real (a) e no plano complexo (b) do sistema brasileiro SIN 1916-barras.

Os resultados mostrados na Tabela 8 permitem inferir que o algoritmo de análise de fluxo de potência no plano complexo para sistemas bem condicio-nados tem propriedades de convergência e condicionamento numérico da matriz Jacobiana muito similares a seu equivalente em números reais. No plano com-plexo se requer basicamente o mesmo número de iterações para alcançar a solução (𝑡𝑜𝑙. ∼ 10−3), porém se apresenta melhor esparsidade da matriz Jacobiana. Por ou-tro lado, apesar de que o tempo computacional dos algoritmos 𝑅𝑉 − 𝐿𝑀 𝑃 𝐹 𝐴(𝑝)

e 𝐶𝑉 − 𝐿𝑀 𝑃 𝐹 𝐴(𝑟) _{serem maiores que os dos algoritmos 𝑅𝑉 − 𝑁 𝑅𝑃 𝐹 𝐴}(𝑝) _e

𝐶𝑉 − 𝑁 𝑅𝑃 𝐹 𝐴(𝑟)_{, respectivamente, eles requerem em média somente 2 iterações}

para alcançar a solução em todos os casos de sistemas bem condicionados testados. Perceba que na Tabela 8 ambas abordagens de Newton Raphson no plano real, polar e retangular (𝑅𝑉 − 𝑁 𝑅𝑃 𝐹 𝐴(𝑝,𝑟)_{), são utilizadas como tempo por iteração de}

referência. Ainda analisando os dados dos tempo por iteração da Tabela8, percebe-se também que, para sistemas de grande porte, o tempo gasto nas iterações dos algoritmos pelo método de Levenberg-Marquardt são consideravelmente maiores. Isto é devido ao fato de que, com a inserção do parâmetro de regularização, a matriz Jacobiana passa a ser uma matriz redundante com o dobro do número de linhas, o que faz que seja necessário a utilização da operação da pseudo-inversa

(43)

Tabela 8 – Análise Numérica e de Esparsidade

IEEE- / SIN- -14 -30 -57 -118 -1916 No. de iterações: X RV-NRPFA(𝑝) 3 3 4 4 5 X RV-LMPFA(𝑝) 1 2 2 2 3 X RV-NRPFA(𝑟) 3 4 4 4 6 X RV-OMPFA(𝑟) 3 3 4 4 6 X CV-NRPFA(𝑟) 3 4 4 4 6 X CV-LMPFA(𝑟) 2 2 2 2 3 Condicionamento numérico: X RV-NRPFA(𝑝) 96.6 473.2 826.1 3166.9 879611 X RV-LMPFA(𝑝) 96.6 461.4 823.4 3166.1 856274 X RV-NRPFA(𝑟) 99.5 483.3 814.7 3127.7 810551 X RV-OMPFA(𝑟) 99.5 483.3 814.7 3127.7 810551 X CV-NRPFA(𝑟) 111.4 487.9 827.9 3276.8 804012 X CV-LMPFA(𝑟) 110.6 487.9 827.6 3276.2 803913

No. de elementos não nulos:

X RV-NRPFA(𝑝) 128 353 654 1035 22366 X RV-LMPFA(𝑝) ₁₂₈ ₃₅₃ ₆₅₄ ₁₀₃₅ ₂₂₃₆₆ X RV-NRPFA(𝑟) 176 410 772 1486 22743 X RV-OMPFA(𝑟) 176 410 772 1486 22743 X CV-NRPFA(𝑟) ₁₂₄ ₂₆₄ ₅₁₆ ₁₁₆₀ ₁₆₉₃₈ X CV-LMPFA(𝑟) 124 264 516 1160 16938

Tempo [pu] por iteração:

X RV-NRPFA(𝑝) 1 1 1 1 1 X RV-LMPFA(𝑝) 2.10 2.75 2.33 2.30 7.42 X RV-NRPFA(𝑟) ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ X RV-OMPFA(𝑟) 2.31 2.11 2.26 2.64 1.91 X CV-NRPFA(𝑟) 1.50 1.09 1.13 1.49 1.16 X CV-LMPFA(𝑟) _1.91 _1.68 _1.95 _2.31 _23.52