Cálculo automático do coeficiente de acoplamento pelo método de Newland

SIDNEY PORCIONCULA COSTA

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇAO DOS PROGRAMAS DE PÕS GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

(Presidente) JULES GISLAIN SLAMA

-~···

ARTHUR PALMEIRA

AGALHAEi MARTINS FERREIRA

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL NOVEMBRO 1978

COSTA, SIDNEY PORCIGNCULA

Cãlculo automãtico do coeficiente de acopla mento pelo Metodo de NEWLANQJRio de Janeiro! 1978. 29,7cm (COPPE-UFRJ,M.Sc., Engenharia Mecânica, 1978)

Tese - Universidade Federal do Rio de Ja neiro. COPPE

1.Transmissão de energia mecânica vibracio nal entre subsistemas acoplados, através da -formulação do Statistical Energy Analysis.Cãl culo automãtico dos coeficientes de acoplamen to. I.COPPE/UFRJ. II.Cãlculo automãtico -dos coeficientes de acoplamento.

no sistema

RESUMO

Neste trabalho sao propostas modificações e SAP IV, a fim de tornar possivel a utilizaçâo

adições do mes mo, no cãlculo automãtico dos coeficientes de acoplamento de sub sistemas vibrantes levemente amortecidos e fracamente acoplados. No texto ê apresentado uma explanaçâo teõrica sobre o SEA e sâo ainda apresentados trabalhos sobre utilizaçâo do SAP IV e pesquisas sobre magnitude de acoplamento.

ABSTRACT

ln this work we propose modifications and additions to ''SAP IV-structural Analisys System", to make it possible the single run calculations of the coupling factors for

vibrating systems with both weak coupling and internai damping and submited to a broad band spectral density excitation.

We presenta theoretical explanation about "SEA -Statistical Energy Analisys'' and some results of research in coupling magnitudes.

TNDICE

FICHA CATALOSRIIFICA ... .

RESUMO ... .

CAP.

I - INTRODUÇ/10 ... .

CAP.

II - HISTORICO DA LITERATURA ... .

CAP. III - DESCRIÇ/10 GERAL DO MtTODO

CAP.

111.1 - A necessidade de novos métodos no es tudo das vibrações randÔmicas . • . . • . . III .2 - A idéia básica . . . .

IV - ESTUDO DO ACOPLAMENTO ENTRE SUBSISTEMAS

DE

OSCILADORES SIMPLES ... .

IV.1 - A analogia entre o problema térmico e o problema das vibrações randÔmi-cas . . . .

IV.2 - A proporcionalidade entre o fluxo de potência e a diferença de nível ener-gético médio de dois osciladores

sim-p 1 e s ...•...••••••.•••.•••••••••••. IV.3 - O fluxo de potência entre dois

osci-ladores acoplados . . . . IV.3.1 -O equacionamento do problema

IV.3.2 -Cálculo do fluxo de potência e da di ferença energética . . . • . . . • . . . • IV,4 - Balanço e distribuição de energia

en-tre dois osciladores acoplados . . . . IV.5 - A equipartição entre as energias

me-dias temporais cinética e potencial , para o caso de um oscilador submetido a excitação ruído branco . . . .

IV.6 - Extensão dos resultados a N

oscilado-res lineaoscilado-res iguais . . . .

i i iii-iv 2 4 4 4 7 7 7 8 8 1 O 1 4 1 7 21

CAP. V

CAP. VI

-IV.6.1 - Analise conceituai para o caso de N osciladores iguais acoplados por elementos iguais

IV.6.2 - Demonstração de que os osciladores i # m # n, não contribuem para o fluxo médio temporal de potência entre p •••••••••••••••••••••••

mn

ESTUDO DA APLICAÇAO DO SEA AOS SISTEMAS CONT!.

NU OS ... .

V,l - A idéia de grupos modais acoplados

den-tro do mesmo sistema . . • • . . . V.1.2 - O problema de vibrações randÕmicas

estacionárias em estruturas comple-xas sob o método do SEA , , , , , , , , , , , , V.2 - Analise dos problemas de ligação entre

a prática e a teoria com as equações do SEA . . . , , . . . , , , , , , , , , , . . . , . , V.2.1 - A equação da dissipação de potência

devidri ao amortecimento interno .•••. V.2.2 - A equação do fluxo de potência .•••. V.2.3 - Utilização prática das equações do SE A . . . · . . . , , , .. .

CÃLCULO DO FATOR DE ACOPLAMENTO ENTRE DOIS

SUBSISTEMAS PELO MtTODO DA ONDA

TRANSMITI-D A •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

VI.l - Breve apresentação . . . . VI.2 - O método da onda transmitida . . . . VI.2.1 - As equações de sistemas acoplados ..

-

*

-VI.2.2 - O calculo de n1 2 medio entre dois

modos

VI.3 - Exemplo de cálculo do fator de acopl~ mento entre dois subsistemas, utili

-zando o método da onda transmitida . . .

21 22 24 24 24 27 27 29 30 33 33 33 33 35 37

CAP. VII -

O MtTODO DE NEWLAND PARA CÃLCULO DO FATOR DE

ACOPLAMENTO

...

VII.l - Antecedentes . . . . VII.2 - Fluxo de potência entre osciladores

acoplados por rigidez . . . . VII.3 - Extensão para osciladores acoplados

por massa e rigidez

VII.3.1 - Fluxo de potência entre dois gru-pos de osciladores . . . . VII.3.2 - Comparação com outros trabalhos .. . VII.3.3 - Equações de osciladores acopla-d os . . . • . . VII.3.4 - Freqllências naturais dos

oscilado-re s . . . . G • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

VII.4 - Comentãrios . . . ..

CAP.VIII -

O CÃLCULO AUTOMÃTICO DO FATOR DE ACOPLAMEN

-TO ... .

VIII.l - A utilização dos computadores . . • . . VIII.1.1- O fluxo de trabalho seguido para o

objetivo em vista . • . . . • . . VIII.1.2 -O sistema SAP IV - descrição

sumâ-r ia . . . .

VIII.1.2.1 - O fluxograma geral do sistema SAP IV . . . • . . . • • . . . . VIII.1.2.2 - O fluxograma geral do sistema SAP IV modificado, para cálculo automãtico do fator de aco -plamento

VIII.2 - Modificações propostas no sistema

S AP IV • . . . . • . . . VIII.3 - Sub-rotinas a serem inseridas no

SAP IV . . . • . . . . 44 44 44 45 47 51 53 54 57 59 59 59 60 63 64 65 66

CAP.

IX

- RELATORIO SOBRE TRtS PROBLEMAS RESOLVIDOS COM

AUXILIO DO COMPUTADOR DURANTE A FASE DE

PES-QUISAS...

70

CAP.

X

-IX.l - Sumário

...

IX.2 - Cálculo do fator de acoplamento de

sistemas vibrantes acoplados pelo me-to do de NEWLAND . . . • . . . • . , . . . . IX.2.1 - Breve Introdução Teórica • • . . . IX.3 - Primeiro problema - Duas vigas acopl~

das por torçao . . . • . . . .

IX.4 - Solução do primeiro problema . . . . lJ{,5 - Segundo problema - Duas placas

aco-pladas por torção e flexão . . . . IX.6 - Solução . . . . IX.7 - Terceiro problema - Duas placas aco-pladas por mola helicoidal . . . . IX.8 - Comentãrios sobre os proble~as resol-vi dos . . . .

CONCLUSÕES,, ... .

X.l - Comentários finais e resultados

espera-d os . . . .

X.2 - Sugestoes para pesquisas . . • • . • . . • . • . .

ELEMENTOS DE COMPLEMENTAÇÃO DE TESE

BIBLIOGRAFIA • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

APfNDICE A - cálculo dos parámetros estatísticos neces-sários à obtenção dos resultados do

CAPÍTU-70

70

70

73 73 75 75

77

80 90 90 91 92 LO IV • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 9 6

APfNDICE B - Problema introdutório para apresentação e treinamento de utilização do sistema SAP

A categoria dos engenheiros mecânicos, ligados aos probl~ mas de fabricação e projetos, sempre teve nas vibrações uma fon te constante de problemas prejudiciais ao seu trabalho. Com o objetivo de superã-los, estuda seus fenômenos e apos conseguir algum conhecimento sobre o assunto e forçada a concluir que o de senvolvimento matemãtico clãssico e de difícil ligação com os ca ~os reais, e apenas problemas muito simples podem ser equacion!

dos e resolvidos com segurança. Problemas vibratórios mais com plexos, tais como os que normalmente ocorrem, podem ser teorica-mente resolvidos, mas exigem tal volume de trabalho, que ate me~ mo os computadores de alta velocidade e memória podem ser inope-rantes.

Na fase de obtenção dos creditas para o grau de mestre em ciências, procurei indagar de meus mestres sobre o assunto e to-mei conhecimento de pesquisas sobre novos metadas de abordagem do problema. Fiquei bastante entusiasmado com o ''SEA - Statisti cal Energy Analysis'', que realmente abre um novo caminho para o estudo das vibrações randômicas de alta freqUência em estruturas complexas.

Orientado pelo professor Jules Slama, iniciei pes~uisa bi bliogrãfica com o objetivo de recolher material para a presente tese sobre o SEA.

Logo ao início da fase de estudos, jã era evidente a no tãvel abertura que o SEA oferece para os problemas jã citados. Dos diversos trabalhos publicados sobre o assunto,alguns dedicam-se especificamente a apresentar modalidades de calculo de um coeficiente de transmissão de potência entre dois siste -mas acoplados. Um destes processos, devido a Newland abre Õti-mas perspectivas para aplicação de computadores digitais, com pequeno esforço de programação. A partir daí, meu trabalho pr~ põe a modificação do sistema SAP IV, para calcular a distribui -ção de energia vibratõria em um sistema complexo a partir do co nhecimento do sistema e da excitação randômica.

CAPÍTULO II

HISTÕRICO DA LITERATURA

A primeira utilização provável do mêtodo estatistico ener gêtico aparece em trabalho de LYONl em 1956. Ele estuda a res-posta de cordas excitadas por campos de ruidos aleatórios. Em 1958, outros autores, destacando-se POWELL2

' 3, SKUDRZYK4

formu-lam teorias sobre a resposta de uma estrutura a campos de ruido aleatório.

Em meados dos anos 60, a analise estatistica energêtica e aplicada mais seguidamente em problemas acústicos por LYON e MAIDANIK5

, SMITH6 e outros.

Em 1962, LYON e MAIDANIK analisaram o fluxo de _potência entre dois osciladores excitados independentemente supondo que havia fraco acoplamento linear entre os mesmos. Eles constata -ram que para um acoplamento conservativo, a transmissão de potê~ eia ê proporcional

ã

diferença entre as energias modais dos dois sistemas. Esta concepção foi aplicada ao fluxo de potência en tre uma estrutura e campos acústicos reverberantes desenvolvendo se dai um principio básico para a analise estatistica energêtica. No mesmo ano,

uma excitação

SMITH mostrou que a resposta de uma estrutura a acústica reverberante ê dada por uma relação liga~ do o amortecimento estrutural e a densidade modal, propriedades que são independentes de todas as outras caracteristicas da es-trutura. Utilizando os resultados obtidos por SMITH, MAIDANIK 7 deduziu a resistência ã excitação sonora de painêis nervurados e de um sistema poste-placa. A analise estatistica foi utilizada para calcular a redução de ruido em um recinto retangular tendo uma parede flexivel e a excitação sonora proveniente de um

fixado por uma placa por LYON8

' 9 • Em 1964 e 1965, LYON1

º,

LER11

e SCHARTON12

estudaram as relações entre as energias

poste EICH me-dias dos sistemas acoplados e as teorias gerais que consideravam aplicável a cada caso que estudaram.

Na metade dos anos 60, a analise estatistica energética ê adotada para determinar a resposta de uma estrutura aeroespacial a um ambiente acústico e a transmissão do som e das vibrações dentro da estrutura, por LYON13

a-cústica arquiteturial por POWELL14_{e WHITE}15 _{entre outros.}

PRICE 16

, CROCKER17, WHITE18 , MAIDANIK19e outros publicam·

trabalhos sobre aplicação do SEA em vãrios problemas acústicos. Em 1968, SHARTON e LYON22 _{estudam o equilíbrio de potê~}

eia e a partição de energia entre dois sistemas oscilantes exci-tados por fonte de ruTdo branco e confirmam que o fluxo de potê~ eia mêdio temporal entre dois sistemas ê proporcional a diferen-ça entre as energias medias temporais dos referidos sistemas.

Presentemente outros pesquisadores estão utilizando a ana lise estat,stica energêtica em ensaios visando confirmar sua va-lidade. Em 1971 GRANDALL e LOTZ23 _{estudaram o coeficiente de}

a-coplamento definido pelo SEA e concluíram que sob a hipótese de fraco acoplamento, o fator de acoplamento pode ser calculado pe-los mêtodos da onda progressiva de SCHARTON e LYON ou pelo mêto-do mêto-dos desvios das freqüências próprias de NEWLAND24 _.POPE25 _{, SZf}

CHENY26 utilizaram a anãlise estatística energêtica para estudar a transmissão do som através de uma câmara cilíndrica. SZECHENY avaliou as

cil,ndrico

densidades modais e os fatores de ligação de um corpo e com a ajuda desses parâmetros, estudou a

são do som atravês de uma parede cilíndrica. Entre os

transmis últimos trabalhos sobre o SEA, estão livro publicado por LYON - "Statis tical Energy Analysis of Dynamical Systems: Teory and Applicati-ons'' Cambridge, Mass., The Mit Press (1975), que parece ser a primeira e unica obra espec1fica sobre o assunto.

CAPfTULO III

DESCRIÇÃO GERAL DO M~TODO

III.l - A necessidade de novos metadas no estudo das randômicas.

vibrações

A complexidade do problema vibratorio conduz os engenhe~ rosa procurarem novos processos de solução.

Talvez, a ideia bãsica mais tentadora ê a de subdividir o sistema em partes mais simples, estudar o comportamento isola do de cada parte e sua iteração com as partes vizinhas e a se-guir formular as leis de ligação entre as que reconstituem o sis tema complexo original.

O estudo da transferência de calor entre sistemas jã uti liza este principio.

A tentativa de aplicar o mêtodo ao estudo das vibrações, esbarra em alguns fatos inibidores como por exemplo:

a. O processo clãssico trata o sistema como um todo sen do em principio menos susceptivel a erros.

b. O processo clãssico aparenta necessitar menor esforço de cãlculo.

c. Analisar a iteração entre as partes e as leis de lig~ ção entre as mesmas esbarra com dificuldades matemãti cas, intransponiveis em termos atuais, se ambicionar-mos uma solução geral.

Os primeiros fatos inibidores perdem o sentido em prese~ ça do elevado esforço computacional exigido pelos mêtodos clãss~ cos, e o terceiro é contornado pelo abandono da ambição de uma solução geral em troca de uma solução particular.

III.2 - A ideia básica

Suponhamos um sistema resultante do acoplamento de va rios subsistemas mais simples, a,b,c, ... i, ... n, conforme mostra a figura III-1, e que estamos interessados em conhecer as leis de transferência de propriedades entre os subsistemas.

G .. =K .. (F.

1 J 1 J 1 J

em que G .. representa a transferência de uma propriedade quadrãti

lJ

-ca de um subsistema para outro, (em nosso -caso específico,energia ou potência), F i, F j representa um aspecto do comportamento, ou seja, uma das variãveis quadrãticas da configuração resposta per-manente de cada subsistema ãs solicitações exteriores, e K .. repre

lJ

-senta a qualidade e quantidade de ligação física entre os subsis-temas.

Supondo ainda que ocorre linearidade no comportamento fí sico do sistema complexo, podemos montar o sistema típico de equ~ ções.

(III-2) cuja solução sera

A equaçao (III-3) ê de uma simplicidade tentadora. A rea lidade física contudo não ê tão simples, e conseguir utilização real para a equação (III-3) vai exigir fortes restrições que con-duzirão a solução a ser vãlida (como veremos adiante) apenas p~ ra os problemas randômicos estacionãrios, lineares, com excitação de largo espectro,fraco amortecimento interno de cada subsistema e fraco acoplamento entre os mesmos.

Essas limitações contudo, não impedem que uma importante categoria de problemas vibratõrios que estão surgindo com o desen volvimento tecnolÕgico atual, se enquadre no método. São as vibra ções geradas em estruturas complexas imersas em um ambiente exci-tante randômico de alta freqUência. A estrutura de uma aeronave ou espaçonave sendo excitada pelo ruído-de seus motores e um exem plo típico de problema que poderã ser abordado da forma simples proposta, pois satisfaz a todas as restrições impostas acima.

Apresentada a ideia bâsica e feita a antecipação das pri~ cipais restrições, passemos a desenvolver considerações sobre a equação {III-1).

A transferência de calor, utiliza uma equação bãsica do tipo

(III-4) onde:

012 é quantidade de calor que flui do sistema l para o 2 estando os mesmos nas temperaturas T₁ e T₂ respectivamente.

K₁₂ ê o coeficiente de película entre os sistemas l e 2 e representa a maior ou menor facilidade da ocorrência do fluxo de calor.

A equaçao (III-1) é de mesma natureza que (III-4) e a com paração das duas conduz

ã

seguinte interpretação:

T. é a temperatura do sistema i, e fisicamente é um nume

l

roque representa a energia vibracional mêdia das moléculas do sistema.

Qij e o fluxo de calor o que significa em termos dimensio nais um fluxo de potência entrei e j.

kij é um coeficiente que torna vãlida a relação (III-4) e em geral ê determinado experimentalmente sendo independente de

\·

As grandezas de (III-1 ), se forem de mesma natureza físi-ca, satisfazem perfeitamente ao problema mas para isto ocorrer de vemos ter:

temas

F. deve representar o nível de energia do subsistema i.

l

Gij tem que representar o fluxo de energia entre os subsis e j.

K .. é um fator de acoplamento entre os subsistemas e deve

l J

ser independente dos níveis energéticos F. e F.

l J .

A definição em termos do problema vibratõrio, do que vem a ser nível energético, fluxo de potência e coeficiente de acopl~ mento é nosso objetivo seguinte.

CAPITULO IV

ESTUDO DO ACOPLAMENTO ENTRE SUBSISTEMAS DE OSCILADORES SIMPLES

IV.I - A analogia entre o problema térmico e o problema das

vi-brações randÔmicas.

A equação (Ill-4) segundo a teoria o fluxo de potência entre as partes 1 e 2

cinêtica, representa de um sistema em que T1 e T2 representam o nível energético médio vibracional das

mo-léculas das partes 1 e 2.

Uma analogia direta entre os problemas térmicos e mecâni-cos, exige que para os sistemas mecânicos seja vâlida uma rela-ção do tipo:

(IV-1) onde:

Q l 2

volvidos.

seja o fluxo de energia entre os subsistemas en

-U1 e U2: representam os níveis energéticos médios vibra

cionais.

8 seja a constante de ligação entre os subsistemas de-vendo ainda ser independente de U.

i

çao apenas dos parâmetros físicose

e das excitações e ser fun-de ligação dos subsistemas. A demonstração de que a relação (IV-1) existe, a concei-tuação exata de seus termos, o domínio e o contradomínio deva-lidade, são fatos que ainda não estão completamente assegurados, mas os resultados obtidos atê o presente são muito promissores e podemos assegurar que para determinados problemas, a confiabi-lidade do SEA jã é compativel com as necessidades da engenharia.

IV.2 - A proporcionalidade entre o fluxo de potência e a

diferen-ça de nível energético médio entre dois osciladores simples

Os estudos de SCHARTON e LYON 2 2 , demonstraram a exi stên-ci a e validade da relação (IV-1) para dois osstên-ciladores elemen-tares, acoplados linearmente por inercia, rigidez e

elemen-tos giroscõpico5 e ainda fizeram a projeção dos resultados para subsistemas mais complexos,

Considerando que os resultados acima sao importantes para este trabalho, apresentamos um estudo sobre os mesmos, usando as mesmas técnicas da bibliografia 22.

IV.3 - O fluxo de potência entre dois osciladores acoplados

Nesta seção, vamos demonstrar que o fluxo mêdio temporal de potência <P,2) entre dois osciladores lineares acoplados por elementos lineares de inércia, rigidez e rotação, excitados por fontes independentes de ruído branco, obedecem a relação.

( IV-2)

onde <E,) e <E2) sao as médias temporais de energia dos osci -ladores. No seguimento da seção definiremos a energia total E de um oscilador acoplado e calcularemos o fator de proporcio-nalidade B, mostrando que o mesmo depende exclusivamente dos parâmetros físicos do oscilador e dos elementos acoplantes.

IV.3.1 - O equacionamento do problema

Considere os dois osciladores mostrados na Figura IV.l. As forças F1(t) e F2(t) são processos randÕmicos

esta-cionârios com mêdia zero. Eles têm espectro com densidade espectral S1 e S 2. As forças

branco desde -oo +oo

F,(t) e F2(t) são es tatisticamente independentes, o que conduz a:

( F 1(t) F z(t-8)) = ( F ,(t)) (F z(t-8)) = O ( IV-3)

Sejam x1 e x2 os deslocamentos das massas l e 2 a pa~

tir de suas posições de repouso. As duas massas estão acopladas por forças que dependem da posição, velocidade e aceleração. As equações de movimento sao:

(M2 + _{Mc/4} X2} + _C2

x

2 + (K2 + Kc) x 2 +

(Mc/4) X1

O fluxo mêdio temporal de potência do oscilador l para cada um dos três elementos acoplantes ê:

(IV-6)

( IV-7)

(IV-8)

Da mesma maneira o fluxo mêdio temporal de 2 para os e-lementos acoplantes ê:

<

_P2C) =

<

Kc(X2-xi) X2)

(IV-9)

(IV-10)

(IV-11)

Na situação de estado permanente, a derivada temporal da energia cinética mêdia temporal de todas as massas e nula.

Idem para a energia potencial de todas as molas. Dessas condições segue-se que:

(IV-12)

(IV-13)

(IV-14)

Desde que os acopladores nao acumulam nem dissipam a mêdia temporal de energia, o fluxo temporal mêdio de potência do

oscilador 1 para os acopladores é igual ao fluxo temporal médio de potência do oscilador l para o 2( P12). Um conceito similar aplica-se para ( P2 1 ). Portanto, a soma das equações ( IV-6) a

(IV-8) e (IV-9) a (IV-11) conduz a:

(IV-15) O nível energético de cada oscilador pode ser definido de diversas maneiras, dependendo de como a energia dos acopla-dores é considerada. Neste trabalho ela é definida como sendo a energia cinética mais potencial de deformação do oscilador 1 mais acopladores, quando o oscilador 2 estã bloqueado.

Desta forma, a energia cinética e potencial do oscila-dor 1 e definida como:

2

T 1 = (M1+Mc/4) Xi/2 (IV-16)

2

V 1 = (K 1+Kc) X1/2 (IV-17)

As energias do oscilador 2 sao: 2

T2 = (M 2+Mc/4} X2/2 (IV-18)

2

V2 = _{(K 2+Kc) X2/2 (IV-19)}

IV.3.2 - Cálculo do fluxo de potência e da diferença energética

Comecemos definindo os parâmetros.

M; = M1 + Mc/4 ),=M1/M2

* *

*

* *

M2 = M2 + M /,4 \J (Mc/4)/ M1M2 c

*

* *

K1 = K 1 + Kc J =G / M1M2

*

*

*

K2 = K2 + Kc K= Kc/ M1M2

*

*

;,, 1 = 1l1W1 = C1/M1 f1= F1/M1

*

*

;,, 2 = 1l2W2 = C2/M2 f2=F2/M2 2 *

*

Wj = K1/M1 w~ = K2/M2

* *

Com a utilização desses parâmetros as equações de movi• mento podem ser escritas como:

.

2 [µx2

.

•KX2]=f1 X1 + 61 X 1 + W1 X1 + (l /À

l

- ) X 2 (IV-20) . . 2 [µx1

.

KX1] X2 + 6 2

x

2 + W2X2 + /1 + J X1 + .: f2 (IV-21)

Para demonstrar a existência da proporcionalidade en-tre o fluxo mêdio temporal de potência e a distribuição de ener-gia entre dois osciladores, calculamos primeiro o fluxo mêdio temporal (IV-15), utilizando os parâmetros definidos e as densi-dades espectrais de excitação 5_{1 e} S_2. Depois, calcularemos a diferença mêdia temporal nas energias totais mêdias temporais dos osciladores e comparamos este ao resultado do fl~xo de ~o-t ê n c i a . Os v a l o r e s (

x

I x 2 ) , (

x

1

x

2 ) , (

x

1

x

2 ) , ( x 1 ) , (

x

1 ) ,

2 2

( x2 ) e (

x

2) necessirios ao calculo do fluxo mêdio temporal de potência e diferença nas energias mêdias temporais são apre· sentados no Apêndice A.

Quando os valores (

x

1x2), ( x1x2) e ( x1l?2) são subs titutdos na equação (IV-15) obtemos:

(P12)=

(IV-22) onde: a = [616,/(l-µ 2)d]{µ 2[61Wi +62Wj + 6162 (61W~ + 62wi)J + () 2 + 2µK) [ 61W~ + 62Wi] + K 2 [6 1 + 6 2

J }

(

IV -2 3 ) d = 6162 [(wf - w0 2 + (61 + 62) (61w~ + 62wi)J + (IV-24)

A energia mêdia temporal total de um oscilador desaco -plado, sujeito a excitação ruído branco com densidade espectral S, ê um resultado jâ bem conhecido como:

(E) = 115/Mll (IV-25)

onde Me li sao as massas e largura de ressonância do oscilador Vamos definir a energia total desacoplada do oscilador l como a energia total do oscilador l e acopladores quando o oscilador l estâ sujeito a excitação ruído branco de densidade espectral 51 e o oscilador 2 estâ bloqueado (x2 = x2 = O). Da mesma forma para o oscilador 2. Segue-se então da equação (IV-22) que o flu-xo mêdio temporal de potência entre os osciladores acoplados de-saparecerá se as fontes de excitação S, e 52 sao tais que as energias totais mêdias temporais desacopladas são iguais.

Desde que a na equação (IV-23) ê sempre positivo, vemos da equação (IV-22) que a potência mêdia temporal sempre flui do oscilador de mais alta energia total mêdia temporal desacoplada para o oscilador de mais baixa.

Calculamos agora a diferença das energias totais medias temporais dos osciladores l e 2. Em vez de calcular esta dife-rença diretamente, calculamos as difedife-renças nas energias poten-ciais e cinéticas temporais mêdias, separadamente. Aplicando

(xt) e (x~) nas equações ( IV-17) e ( IV-19) achamos: ( V 1) -

<

v

2)= ll1ll2

2d

[( w

i

-wO

+ (ll,+ll,} (J'qW~ +ll2Wi )] X

{ 115 1 115 2 } (IV-26)

M

~

li 1 M~ll2

Substituindo (xy) e (~~)nas equaçoes (IV-16) e (IV-18) achamos:

+

Estas duas Õltimas equaçoes apresentam como resultado que as diferenças de energias medias temporais cinêticas e po-tenciais são iguais. Aproveitando este fato, podemos escrever ;

No item IV.5,apresentamos uma demonstração da igualdade de:

(V2)= (T2)

independente da força dos acopladores mas restrito aos sistemas lineares com acoplamentos conservativos.

Observando as equações (IV-26) e (IV-27) vemos que a diferença nas energias totais medias temporais e proporcional a diferença na energia media temporal desacoplada. Segue-se que , se as energias desacopladas são iguais, então as energias medias temporais totais permanecem iguais durante o acoplamento. Se as energias desacopladas são diferentes, a introdução do acoplamen-to reduz esta diferença, mas o sentido da mesma permanece imutã-vel. Chega-se a mesma conclusão observando a equação (IV-22).

A combinação das equações (IV-22) com as equações (IV-27) e (IV-28) resulta na relação de proporcionalidade procurada.

8 = {µ2 [L'qWi + 62Wj + 6162 (61w~ + 62wn] + ( } 2 + 2µK) _{[61W~ + 62wf ] + K}2 _{[61 +62]} 7}

{(1-µ2)

[

(wf-wO 2 + (61+62) (6 1w~ + 62wfl]

}

(IV-29) Observe-se que 8 e função apenas de parâmetros do osci-lador e acoposci-ladores.

A equação (IV-29), demonstra a proporcionalidade entre o fluxo medio temporal de potência e a diferença das energias to tais medias temporais de dois osciladores acoplados.

IV,4 - Balanço e distribuição de energia entre dois osciladores acoplados

As equações para balanço de sistemas como os que estio em discussio, sio obtidas a partir das equações de movimento quando multiplicadas por

x

1 e

x

2 respectivamente que resultam em:

(IV-30)

d(E 2)/dt + 262T2 + P2c = Pz (IV-31)

onde:

Pr

tes de

e P2 representam o fluxo d~ potencia recebido das fon-excitaçio pelos osciladores.

e _{T2 as energias cinéticas.}

e E2 as energias totais como definidas pelas equações (IV-16) a (IV-19).

P2c o fluxo de potencia de cada oscilador para os e-lementos acopladores.

A equaçao (IV-30) estabelece que o fluxo de energia da fonte para o oscilador l, igual a soma da energia dissipada no amortecedor mais a energia desviada para o elemento acoplador. A equaçio (IV-31) é analisada de modo similar.

Tomando a media estatistTca dos termos das equaçoes (IV-30)e (IV-31), obtemos:

(IV-32) (P2) = (P2c) + 262 ( T 2)

Como jã vimos devido ao acoplamento conservativo

(IV-34) ( IV-35)

<P12)= (Pie>= s[<EI) • (E,>] (Pie)= w1n12 [<E1) - (E,)]

Utilizando a equaçao (IV-28) obtemos:

Utilizando ainda a relação t,. ₁ = w-n· _{1 1}

Aplicando em

(IV-32)

teremos:

(IV-36) (IV-38) (IV-39)

(IV-40I

(IV-41)

( IV-42)

Procedendo da mesma forma com a equação

(IV-31)

chegamos

a :

As equações

{IV-42)

e

{IV-43)

podem ser facilmente rela -cionadas para a situação vãlida de ( P2

)=

O quando

( IV-44)

=

Esta relação ê de uma força incomum, pois se conhecermos a energia vibracional de um dos asciladores e os parãmetros n. e

1

n .. , podemos calcular 1J

primeiro seja o unico

o nível energético do excitador do segundo.

outro, desde que o

t

bom lembrar que este caso ê muito comum em problemas de vibração. Desde que o fator de acoplamento n,1 e o fator de dissipação interna sao sempre positivos, vemos na equação

(IV-44)

que a energia do os

-cilador l é sempre maior que a de 2, A energia cinética da QS• cilador conduzido, tende a se aproxtmar da energia cinética do oscilador condutor quando o fator de dissipação interna fica pe~ queno em relação ao fator de acoplamento n2J,

Observe pela equação (lV•2~1 e pela relação

(IV.45)

que n21 é grande quando as freqfiénctas naturais w, e w2 dos os-ciladores são aproximadamente iguais e os parâmetros acoplados

µ, J e K são grandes, Portanto, as condições que favorecem a

equipartição da média temporal das energias cinêticas dos oscila dores são:

a. pequena diferença nas freqQéncias naturais. b. forte acoplamento.

c. fraco amortecimento do oscilador conduzido.

Observe-se ainda, que desde que o fator de acoplamento permaneça finito enquanto o fator de dissipação interna tende P! ra zero, (caso hipotético em que o oscilador conduzido nao tem amortecimento) as médias temporais energéticas ( T_{1 )} e ( T2) se igualarão, independente das diferenças nas freqQéncias naturais dos osciladores ou da força do acoplamento.

Esta tendência a equipartição, para o caso da excitação rufdo branco, contrasta com o comportamento dos osciladores qua~ do a excitação é senoidal. No caso da excitação senoidal, a mé-dia temporal de fluxo de potência entre os osciladores permanece proporcional a diferença das médias temporais das energias cinê-ticas dos osciladores, mas o fator de proporcionalidade pode ser positivo ou negativo, dependendo da freqQência de excitação e dos parâmetros dos osciladores. Quando o fator de proporcionall dade é negativo, a média temporal de fluxo de potência ocorre no sentido de oscilador de baixa energia para o de mais alta.Obser-ve na equação (IV-44) a qual é vãlida também para excitação se-noidal que, quando o fator de acoplamento ê negativo a mêdia tem poral de energia cinética do oscilador conduzido excede a média

temporal de energia cinética do oscilador condutor e, tende pa~a o infinito quando a freq~incia senoidal de excitação iguala a sua freq~incia natural e o mesmo tem fraco amortecimento. Oca, so de excitação senoidal não apresenta a tendincfa de equiparti-ção entre osciladores.

IV.S - A equipartição entre as ener~ias ca e potencial para o caso de UilJ

médias temporais. cinéti~ oscilador subilJetido a excitação ruído branco~

Seja o oscilador da figura

IY-2,

onde; F(t) ê excitação ruido branco.

A equaçao especifica de movimento e: X+

2tw

i

+

w

2X = f(t)

n n

(IV-46)

A expressao da energia cinêtica média temporal e:

(T)= 1

(x

2 )

2

(IV-47)

E a energia potencial média temporal

( V

)

= Wn 2 ( x•)

2

(IV-48)

Precisamos demonstrar que

( x •)

= wn•

<

X 2

)

_(IV-49)

Do estudo clássico das vibrações randômicas, temos o

re-32

sultado bem conhecido, publicado por exemplo em , que:

(x

2

)=

r:;x(w)dw

_(IV-50)

(IV-51)

(IV-52)

Aplicando (IY-51} e (IV-52) em (IV-4il, chegamos a

(IV-53)

que passa a ser o novo objetivo da demonstração. Sabemos que: (32, 33 e outrosI

S x

Cw l

=

1

H ( w)

1

2

S f ( w) (IV-54)

sendo Sf(wI a densidade espectral da excitação. No caso geral, temos:

F (1") x(t)

OSCILADOR

IN OUT

( DIA. JV-3)

Quando F(t) e ruido branco, temos:

X ( t) OSCILADOR IN OUT (DIA. IV- 4) Sendo x(t) = eiwt (w2-w2)+ i2i;w w n n

(IV-55)

Como x(t) = H(w) eiwt

(IV-56)

H ( w) = l

_(IV-57)

(w 2-w 2) + i2i;w w n n [H(w)[2= 1 _{2 2} (w2-w2) +(2i;w w) n n

(IV-58)

Como para ruido branco Sf(_w)_

=

l, resulta da em (IV-54). S (w} = f H(úl) f 2 X aplicação (IV-59) A equação (IV-59) aplicada em (IV-51) e (IV-52) conduzirã

a : + 00

f

w2 [H{w) [ 2dw - 00

l

+oo = w~[H(w)[ 2dro - 00 (IV-60)

que e a igualdade a ser demonstrada.

A igualdade (IV-60) ê complexa e para conseguir as inte-grações de variãveis complexas, utilizamos as regras de integraçao que vamos apresentar, a seguir, numa transcrição da biblio -grafia 3 2 . A integral da forma onde: H ( w) = n n-1 +(iw) Bn-1 . n +{1w) An ( IV-61) ( IV-62)

ê obtida de resultados previamente conhecidos e publicados entre os quais, destacamos CRANDALL, S.H. and MARK, W.D., Randon Vi-bration in Mechanical Systems, Academic Press, New York, 1963.

O sistema, cuja mêdia quadrãtica estã sendo calculado, de ve ser estãvel, o que ocorrerã quando as raizes de sua equaçao caracteristica tenham parte real negativa.

Satisfeita esta condição, são encontradas diversas fórmu-las, cada uma adequada a um determinado valor de n.

I 2 -=

B _O + i wB 1

TI {A₀Bf+ A₂Bõ}

A

0

A

1

A

2

Para a função w2 IH(w)l 2 teremos:

-íw

(w2_{-w 2 ) +i2i;w w}

n n

= lwH(w)

1'

= H21(w)

1

2

Para a função w2 _IH(w)

12 , teremos: n H22(w) = w 2. n (w2-w2) + i2i;w w n n (IV-63) . . (IV-64) (IV-65) ( IV-66)

A aplicação de (IV-64) em (IV-65) e (IV-66) leva a: Para H2 i(w) onde,

obtemos: I z 1 = =-l;A 0 'JT 2/;w n Para H22(w) onde, = w_n' 2• A1 = 21; w · _n' A2 = B o = 1 ; B 1 = O ; A o = Wn; A 1 = 2 i;wn A 2 = obtemos: I 2 2 = (IV-67) ( IV-68) A igualdade de (IV-67) e (IV-68) demonstra a equipartição entre as energias cinéticas e potencial media, para um oscilador

simples excitado por ruído branco.

IV.6 - Extensão dos resultados a N osciladores li1;;ares iguais

E importante analisar a v~lidade da proporcionalidade en tre o fluxo de potência e a diferença de energia em sistemas de mais de dois osciladores. Desafortunadamente, o mêtodo usado p~ ra o estudo do caso de dois osciladores acoplados ê por demais complexo para o estudo de apenas 3 osciladores acoplados. A pr~ porcionalidade para o caso de N osciladores iguais e com acopla-mentos iguais foi demonstrada por SCHARTON, mesmo para o caso de forte acoplamento. Na prõxima seção, mostramos uma anâlise dos argumentos que justificam a proporcionalidade para o caso de N

osciladores.

IV.6.1 - Análise conceitual para o caso de N osciladores iguais, acoplados por elementos acoplantes iguais.

Seja cada um dos N osciladores consistindo de uma massa conectada a uma fundação rígida por uma mola e um amortecedor em paralelo, acoplados a cada outra massa por uma mola e uma massa acoplante e excitados por fontes independentes de ruído branco.

A medi a temporal de fluxo de potência ( Pmn) do osci-1 ador m para o oscilador n quando N osciladores são excitados por fontes de ruído branco com densidade espectral S₁ , S

2 , S3 , • • • ,

sn,

e dada por

i=N

( P rnn ) =

~

<

_Pm:) (IV-69)

i=l

onde ( Prn~) e a media temporal de fluxo de potência do oscila-dor m para o oscilaoscila-dor n, quando o oscilaoscila-dor i e excitado e to-dos os outros osciladores vibram livremente. O segundo membro da equação (IV-69) pode ser aceito como a soma das contribuições de cada fonte de excitação atuando sozinha em um problema linear com independência estatística das fontes. De acordo com a de-monstração que segue no item IV.6.2,

( P rn~) = O , par a to d o i / m f. n

De modo semelhante, a diferença nas medias temporais de energia dos osciladores me n, quando os N osciladores são ex

citados por um conjunto de N fontes de ruido branco pode ser es crita como: i=N =

L

(IV-70)

i=l i

onde (E ) , e a medi a temporal de energia do o sei la dor m quan-m

do apenas i ê excitado e os outros vibram livremente.

Observe-se que o primeiro termo da equação

(IV-69)

e o segundo termo da equação

(IV-70)

para o caso dei = m, são ambos

proporcionais a densidade espectral S da fonte atuante sobre m

m sendo portanto ligados pela constante

s

que ê independente de

s .

_m

A mesma lÕgica

ê

aplicãvel aos termos remanescentes das mesmas equações e chegamos a relação de proporcionalidade.

( P mn)

(IV-71)

IV.6.2 - Demonstração de que os osciladores i # m # n, nao

-

con-tribuem para o fluxo médio temporal de potência entre

p

-mn

Por simplicidade usemos um conjunto de 3 osciladores montados conforme mostra a figura

IV-3.

Supondo que P₂ =

cias para cada oscilador.

<

p 1} 1 = ( p 12) + 1

o

=-(P12) + 1

o

=-(P13)

P₃ = O, façamos um balanço de

potên-1 1 (P13)+ ( p 1 DISS)

(IV-72)

1 1 (P23}+ ( p 2 DISS}

(IV-73)

1 1 ( P23} + ( P 3

nrss}

(IV-74)

Somando membro a membro obtemos:

(IV-75)

Como estamos abordando um problema em que todos os asei ladores são iguais, ocorrerã simetria na distribuição de potên

-eia a partir do oscilador 1. Para o regime permanente teremos:

= ( P13) 1 (IV-76)

Sob o ponto de vista energêtico, os osciladores 2 e 3 comportam-se como vimos na figura (IV-4).

De acordo com a mesma podemos escrever:

= ₊ = + Como

jã

sabemos, = = ( p 23 13

>

{ P ₃

inss)

( P ₂

b1ss}

{IV-77)

devido a simetria, logo:

O que significa que nao ocorre troca de potência entre os osciladores 2 e 3, quando o 1 ê excitado.

CAP!TULO V

ESTUDO DA APLICAÇÃO DO SEA AOS SISTEMAS CONTÍNUOS

V.l - A idêia de grupos modais acoplados dentro do mesmo siste-ma.

Justificada a existência da promissora proporcionalidade (IV-1) passamos a uma anãlise mais apurada de seus termos, jã utilizando uma modelização adequada aos sistemas contínuos por serem os de maior interesse na vida real.

A utilização dos modos naturais de um sistema contínuo como osciladores elementares ê a idéia mais intuitiva que surge quando tentamos aproveitar os resultados jã obtidos para os sis-temas discretos. A dificuldade principal, estã em que os modos naturais de um subsistema contínuo se modificam ao ser o mesmo acoplado a um outro para formar um terceiro mais complexo. Em termos prãticos significa que não conseguimos ter dois grupos de modos naturais acoplados entre si como foi a modelização usada nos estudos precedentes. E importante observar que o SEA tem co mo variãvel independente o fluxo mêdio de potência entre subsis-temas acoplados e como jã vimos anteriormente, é necessãrio con-siderar que osciladores do mesmo grupo tenham nível energético mêdio igual e isto conduzirã ao fato õbvio de que não ocorre fl~ xo de potência entre osciladores do mesmo grupo. Este fato fa vorece a utilização dos modos naturais de um sistema complexo como osciladores elementares desde que seja possível se conside-rar dois grupos de modos naturais com comportamento independente um do outro, dentro do conjunto total de modos naturais.

V, l. 2 O problema de vibrações randômicas estacionárias em estruturas complexas, sob o método do SEA.

Tomando por base o artigo de MULHOLLAND e FUJII27

• Su

ponhamos vibrações difusas dentro de uma faixa unitãria de fre -qOência, criadas em uma estrutura devido a excitação randõmica estacionãria externa. A energia Es da estrutura é o produto da densidade modal ns pela energia modal média Us. A energia de vi-bração da estrutura, correspondente a faixa de vibrações difusa sera:

E

.s

onde:

n • U

s s ( V - l )

( x;)

e a velocidade RMS da estrutura para uma faixa unitãria n e o numero de modos naturais dentro da faixa unitãria

s

ou ainda rieste caso especial, a densidade modal,

U e

a

energia modal média, s

M e a massa total da estrutura.

s

Com aux{lio da figura

V-1,

acompanhemos um balanço de energia vibrat6ria de dois sistemas independentes mas acoplados entre si.

onde:

P₁₁N A potência de excitação que é absorvida pelo sistema l, para que o mesmo se mantenha em regime permanente de vibraç6es com freqOéncias nas faixa de largura b e valor central w.

P,DISS

p l 2

a potência dissipada pelo sistema l. a potência que flui de para 2

p 2.IN ra de 2.

mesma conceituação que P

1 IN para a fonte

excitado-P,nrss

idem

P,nrss

As grandezas descritas podem ser expressas pelas rela-çoes a seguir, cuja 16gica de formação seri apresentada em se-çoes seguintes:

Pinrss=

p. . = 1J onde:

-wn . E. 1 1 wn · · n · b - -1

-(

E'

1 J 1 b n. 1

E')

J. n.b J (V-2) ( V - 3)

E. e a energia total de sistema i, correspondente a soma

1

excitaçio rand6mtca considerada,

n. e a densidade modal do sistema i.

1

n. e o coeficiente de dissipaçio de energia dei.

1

b e a largura da faixa de freqUências considerada. n.. ê o coeficiente de acoplamento de i e j. 1J P 1 2 = w

n

1 2

n

1 b

CU

1 • U 2 ) (V-4) A reciprocidade assegura: P~2 = P21 que leva a: (V-5)

Para o caso de um sistema excitado por outro.

Se o sistema 2 deixa de receber excitaçio exterior, a potência dissipada pelo mesmo tem que ser fornecida por l e qua~ do o estado permanente for atingido teremos:

A aplicaçio das equaçoes anteriores conduz a: w n,2n,b(U,-U2)=w n2E2 n2E2 _{= n2,n2b ( E, - E 2 )} n 1 b n2b E2 _Q__u ₌ n2 n2 5...!_ E2 n 1 n2 E2 n 2 , n2 =--= .lG. n2+n2, E , U 1 n, (V-6) (IV-44)

E2 _{n2 +n21} E1 n1 (V-7) •2 •2 n21 n2 M1 X1 X2 = (V-8) n2+n21 n1 Mz •2

onde M1 e M2 sao as massas dos sistemas 1 e 2, e Xz e suas velocida des RMS.

A equaçao (V-7) mostra com bastante clareza toda a for-ça do SEA.

Supondo, por exemplo, que dois osciladores metãlicos

(n

₁ < .1),

e

que os d oi s sejam i g uai s ( n2 =n ₁₎ temos :

onde: K

Quando E1 ê conhecido, caso comum em problemas vibracio nais, o conhecimento de E2 ê imediato e a partir do mesmo calcula mos outras variãveis de interesse na engenharia, tais como:

des-locamentos, velocidades e acelerações.

V.2 .,- Análise dos problemas de ligação entre a prática e a ria com as equações do SEA.

teo-V.2.1 - A equação da dissipação de potência devido ao

amortecimen-to interno.

p iDISS = WT]

i (E.) l

(V-2)

Quando um oscilador linear desacoplado e levemente amort~ cido, estã submetido a excitação randômica com densidade espec -tral larga e achatada, a potência media recebida da fonte para a manutenção do regime permanente ê proporcional a energia total do oscilador.

Suponhamos um oscilador simples, levemente amortecido excitado por fonte harmônica. Nessas condições, chamemos de wi a freqUência natural do oscilador e de ni a um fator de dissipa-ção de potência devido ao amortecimento interno.

perdas por atrito interno e radiação para o exterior, constitui~ do ambos uma dissipação de potência que deve ser suprida por fo~ te externa e cujo valor pode ser calculado facilmente como segue:

Seja a equaçao de movimento do oscilador simples + + = F. ( t)

1 (V-10)

Multiplicando ambos os termos por xi' chegamos a equaçao do balanço de potência instantânea.

+

Re-arrumando os termos teremos: + 2 W· 1 x2 ]

+)

+ Tomando a media estatistica

[ m 2 _w~

:i

~

d

(~

+ 1

= o

dt 2 (2m.f;. W· _Xi)

=

_(Fi~i) 1 1 1 pi OISS

=

PIN pi DISS

= (

2mi ç.w.x~) _{1 1 1}

Pi

orss=

2 çi (mixi)

De (IV -28) conclui mos ( E i )

= (

2Ti)

= (

mixi) Aplicando (V-18) em (V-17) pi DISS

=

2 çi wi ( E i)

F.x.

1 1 (V-11) (V-12) (V-13) (V-14) (V-15) (V-16) (V-17) (V-18) (V-19)

Comparando

(V-19)

com

(V-2)

Podendo ni ser obtido através a medida do decremento loga-ritimico ou de tempo de reverberação.

Para uma faixa de freqllências temos que: numero de modos = n ( w) /J.w

sendo n ( w) a densidade modal unitãria:

W·

l E /J.w

--

W· l "' w

p DISS =

[

pi DISS = [n-l w. l ( Ei)

=

ii

~

(E)

n (w) /J.w

l l

P DISS = n w (

E)

Potência dissipada por um conjunto de dissipação médio n, energia vibracional média qllência central da faixa /J.w.

osci 1 adores com fator de (E) e sendo w a fre

V.2.2 - A equação do fluxo de potência

P. . = wn ..

l.J l.J n.b ]. E

n-:o

_].

n-:o

E

J

com relação a equaçao

(V-3),

podemos fazer as seguintes raçoes:

(V-3)

conside-Quando um sistema contêm mais de um oscilador, ê usual se parar as trocas de energia entre os osciladores da radiação para o mundo exterior.

No ano de

1962,

R.H.LYON e G.MAIDANIK5

, estudaram o fluxo

de potência entre dois osciladores excitados randômica e independe~ temente e ainda sujeitos a leve acoplamento, concluindo que:

onde:

p ..

]. J n .. wn.b (U.-U.) l.J ]. ]. J

P.. e o fluxo médio de potência entre i e j. ]. J

n.. _{]. J} e o fator de acoplamento entre i e j

w e a freqllência central da excitação.

U. . sao as energias medias modais.

1 J J

A quantidade n ... w, depende dos parâmetros dinâmicos

1]

dos osciladores e da forma pela qual estão acoplados, mas e in-dependente da intensidade das forças de excitação conforme foi demonstrado por T.D.SCHARTON e R.H.LYON22

•

A classe de problemas que temos em vista apresenta uma situação comum envolvendo vibração randômica estacionaria provoc~ da por fonte de excitação ruido branco com largura de faixa b e freqüência central w. No sistema vibrante, dois distintos gru-pos de osciladores (no caso os modos naturais dos subsistemas podem ser identificados. Cada modo do grupo l estã fracamente~ coplado a cada modo do grupo 2. Todos os modos são levemente a-mortecidos e têm suas freqüências naturais dentro da faixa de freqüência da excitação difusa. As informações sobre os grupos modais podem ser apenas de natureza estatistica ou baseadas em conhecimentos anteriores empiricos ou clássicos. Sob estas con-siderações LYON e MAIDANIK 5

, estenderam os conhecimentos obtidos

para dois osciladores modais simples chegaram a equação (V-3) e posteriormente a (V-4), cuja nomenclatura e significado dos ter-mos ja foi apresentado.

Com base nas equações (V-2), (V-3) e (V-4) cuja lÕgica acabou de ser apresentada, foram obtidas as equações (V-5),(V-7) e (V-8). Vamos agora analisar estas equações sob o ponto de vis

ta de utilização pratica.

V.2.3 - Utilização prática das equações do SEA

A equação (V-4) isoladamente não tem grande aplicação prática, mas as equações (V-7) e (V-8) conduzem rapidamente a im portantes resultados. Vejamos a equação (V-7).

Nesta, E2 e a energia total do grupo modal 2, e a

incõg-nita do problema.

n12 ê um fator de acoplamento entre um modo do grupo l

com todos os modos do grupo 2. Este parâmetro, atê agora desco-nhecido, sera abordado com mais cuidado em parte vindoura do tra balho.

jã conceituado anteriormente.

n são as densidades modais dos dois grupos modais. Es

1 , 2

te parâmetro pode ser conhecido com muita facilidade para alguns tipos de subsistemas, mas pode ser de dificil obtenção para ou-tros. Um fato no entanto, aumentarã incrivelmente a potenciali-dade do SEA sob o aspecto de minimizar a dificulpotenciali-dade de obtenção das densidades modais, é o fato de as freqUéncias e modos natu -rais tenderem para um valor e tipo independentes das condições nas regiões de alta freqUéncia. Ora, isto vai fazer com que possamos usar valores de densidades modais calculados para sub-sistemas do mesmo tipo mas com condições de contorno simples e utilizarmos estes valores em casos mais complexos com resultados dentro de tolerâncias aceitáveis. Evitaremos assim um grande es forço de cãlculo com os parãmetrosn1,2·

E1 é a energia total do grupo modal 1, que no caso, e o sistema excitador do grupo modal 2.

Pelo que ficou visto, a aplicação das equaçoes (V-7) e (V-8), implicam no conhecimento de parâmetros de conceituação simples exceção feita ao coeficiente de acoplamento n21 que jã foi dito serã alvo de exame mais acurado.

A lÕgica da obtenção da equação (V-7) aparenta que seu u so se limite ao caso em que um sistema vibrante serve de excita-dor para outro. Como exemplo prãtico deste tipo de problema te-mos:

a. Placa metãlica excitada pelo ambiente sonoro em que es tã colocada.

b. Uma viga submetida a vibrações forçadas de densidade espectral achatada e larga, fracamente acoplada com outra viga ou qualquer outro sistema mecânico livre de excitação.

Problemas mais complexos contudo podem ser abordados as imposições de linearidade e a constância dos parâmetros osciladores asseguram validade de uso da mesma em qualquer ço coerente de energia.

pois dos

balan-Suponhamos, por exemplo, que trés grupos modais l, 2 e 3 sendo o grupo 1 constituido dos modos naturais de um ambiente re verberante e os grupos 2 e 3 dos modos de dois sistemas mecâni -cos fracamente acoplados entre si e imersos no ambiente

reverbe-rante de grupo modal 1 conforme mostra a figura V.2.

P,orss

=

P,,

+ p 1 3

(V-22)

(V-23) Usando as equações anteriores e colocando em forma ma-tri c i \ chegamos a expressão abaixo:

n,,

=U1n1

-n, ,n,

u

3

Observamos aqui novamente a confirmação de que se puder-mos obter valores confiãveis para

caminho fãcil para o cãlculo dos que e a resposta em amplitude da vi dos.

os n. , n. e n. . te remos um

1 1 1. J

U. e consequentemente de x;

1 1

vibração dos subsistemas

envol-Os valores de n sao calculãveis ou medidos sem

i maiores

dificuldades.

Os valores de n ..

1J

sem maiores estudos, pois

nao podem ser estimados ou calculados sao funções dos parâmetros dinâmicos dos subsistemas envolvidos.

CAPÍTULO VI

CÃLCULO DO FATOR DE ACOPLAMENTO ENTRE DOIS SUBSISTEMAS, PELO M~TODO DA ONDA TRANSMITIDA

VI.1 ,.Breve apresentação

.

Embora o SEA seja muito promissor ficar a solução, na realidade oculta uma

sob o aspecto de simpl! dificuldade ainda nao dimensionada. E a de se calcular o fator de acoplamento

dois subsistemas.

entre

Vãrios pesquisadores têm se dedicado ao problema de meto-dizar o câlculo de nij e entre vârios métodos jâ apresentados es tão o da onda transmitida e dos desvios de NEWLAND.

O processo da onda transmitida foi primeiro apresentado em trabalho de LYON e MAIDANIK5

, e aparenta ser bastante simples

quando aplicado a sistemas estruturalmente pouco complexos.

O método de NEWLAND e mais complexo sob o aspecto de ela boração, mas abre um caminho importante para a metodização do cãlculo de nij através do uso de computadores, fato que pretend! mos apresentar como ponto central desta tese.

O método de NEWLAND, devido a sua importância neste traba lho, sera apresentado em capitulo exclusivo.

VI.2 - O método da onda transmitida

VI.2.1 - As equaçoes de sistemas acoplados Síntese das referências 5, 22, 23.

Seja S um sistema estruturalmente complexo.

Sejam S1 e S2 dois subsistemas de S, cuja união e o sistema S.

Considerando que os subsistemas S1 e S2 estejam desacoplados, suas equações de movimento serão do tipo:

onde:

D1(X1) = f,{t) D2{X2) = f2{t)

D1, D2 são operadores diferenciais.

(VI-1) ( V I - 2 )

D (x2) = f1(t)

Cl (Vl-3)

(Vl-4)

*

*

onde D1 e D2 sao os operadores diferenciais de cada subsistema

modificados pelos acoplamentos e Dc₁ Dc₂ os operadores diferen-ciais que representam a atuação de um sistema sobre o outro atra vês dos parâmetros de acoplamento.

A solução do sistema formado pelas equaçoes (Vl-3) e (VI-4) ê uma forma trivial de cãlculo para n12. Ocorre que

ra-ras vezes esta solução ê poss1vel.

Uma importante simplificação ocorre quando consideramos que cada modo de um susbsistema estã acoplado com apenas um modo do outro subsistema estando os dois dentro de uma faixa bem defi ni da de freqQênci a 5

•

Esta situação nao ê real, pois quando um conjunto de modos ê excitado por um componente do espectro de excitação, to-dos respondem com maior ou menor intensidade dependente de suas curvas de admitância.

Se os modos forem fortemente ressonantes e tiverem pe-queno amortecimento, sua curva de admitância mostra que ares -posta ê fortemente concentrada em torno da freqQência natural sendo quase desprezível para as freqílências fora da faixa deres sonância.

Se os osciladores satisfizerem essas restrições, a su-posição de acoplamento apenas entre modos compreendidos em fai-xas definidas ê razoavelmente aceitável.

Se os afastamentos modais forem grandes, a hipõtese de acoplamento modo a modo correspondente se fortalece tornando- se aceitável, pois a i nfl uênci a de um modo excita dor sobre

fora da sua faixa de ressonância ê quase desprezível.

outros Com esta simplificação as equações (Vl-3) e (VI-4)tran~ formam-se em n sistemas de duas equações diferenciais do _mesmo tipo cujas variáveis são os deslocamentos modais de dois modos correspondentes. A solução desses sistemas conduz a fatores de acoplamentos entre modos correspondentes.

nao ê prático, e a utilização do conceito

Este método contudo de onda transmitida vai possibilitar melhor utilização das simplificações acima.

*

-VI.2.2 - O cálculo de n12 medio entre dois modos.

O fator de acoplamento pode ser estimado pela conside-raçao do fluxo de potência atravês do elemento acoplante devido a uma onda senoidal mõvel, de freqüência w (central de uma faixa) que se propaga sem perdas e sem reflexões nos contornos não aco plados. Observadas as restrições citadas nas seçoes anteriores, podemos considerar que apenas os modos proximos de w

significativamente no processo.

interveem

transformada para

vai servir de ponto bãsico para o mêtodo.

(Vl-5) (Vl-6)

O processo apresenta uma seria limitação quando impõe que as reflexões

Esta imposição ê

nos contornos não sejam devido a pertubação que

sentidos pelo sistema . estas ondas

processo de solução matemãtica. O sistema so admite

produzem no reflexão de onda no proprio acoplador e isto vai limitar o processo a siste-mas muito simples em que o acoplamento se efetue em uma unica re gião, pois do contrãrio, teremos vãrias ondas refletidas pertu -bando o processo matemãtico.

Seja o deslocamento do sistema 1, expresso pela relação (VI-7) onde:

A.

e a amplitude mãxima da onda incidente.

1

A

e a amplitude mãxima da onda refletida.

r

A•

e a amplitude mãxima da onda evanescente.

r

k 1 e o numero de onda correspondente a freqüência W,

do sistema 1.

O deslocamento do sistema 2, quando o mesmo nao excitação externa ê dado por:

+ A, -k2v) -iwt

t e e

onde:

A

e a amplitude mãxima da onda transmitida.

t

A•

e a amplitude mãxima da onda evanescente nas

t

xi midades do acoplamento.

sofre

(Vl-8)

pro-k2 e o numero de onda do sistema 2, correspondente a freqaência w.

v a coordenada local.

A aplicação das relações (Vl-7) e (Vl-8) nas equaçoes vetoriais (Vl-3) e (Vl-4), juntamente com negligenciamento das parcelas

conduz a

baixo:

devidas ã A' e A' devido a

t r

relações entre as amplitudes

serem pouco A.,A,At.

1 r

importantes

As expressões gerais de P12 , U1 , U2 , serao dos tipos a

p 1 2 ₌ {K} ( A ) z (l) t (Vl-9) U 1 ₌ l {M 1 } w z (A~ + A z) 1 r (Vl-10) 2 U2 ₌ {M 2} (l) 2 A2 t {Vl-11) 2

onde {K} e o vetor dos parãmetros de rigidez do sistema 2. {M1 } e {M2} são os vetores com os parãmetros de massa

dos dois sistemas.

A aplicação das equações (Vl-6) e a utilização das

(VI-9), (Vl-10), {Vl-11),

equaçao relações entre A., A,

*

1 t

A r

dem conduzir a uma forma explícita de n12 função apenas dos

rãmetros físicos dos sistemas, dos acopladores e de w. O processo tem sido bastante usado na obtenção de para sistemas estruturalmente bastante simples tais como, vigas, viga-placa, viga-poste, etc. com bons resultados.

na po- pa-n, 2 duas

*

n,

2 (VI-12)

A equação Vl-12, estabelece a ligação entre o coefi -ciente de acoplamento modo a modo como ê conceituado por NEWLANO.

Uma fraqueza do mêtodo estã na impossibilidade de ser aplicado para subsistemas mais complexos estruturalmente, embora o aumento da complexidade estrutural implique em aumento no amor tecimento estrutural comprometendo toda a teoria do SEA. De qual quer forma o método da onda transmitida, com suas simplificações

conceituais e dificuldade de metodização para aplicação em com-putadores, fica em seria desvantagem com o metada dos

de NEWLAND que apresentaremos no capítulo que segue:

desvios

VI.3 - Exemplo de cálculo do fator de acoplamento entre dois sub-sistemas, utilizando o método da onda transmitida

O problema a ser resolvido e o mesmo apresentado no tulo IX,item JX·.3representado pela figura IX-1 e tendo os tros físicos fornecidos pela Tabela !.

capí

-param~

As equações de movimento são:

{Vl-13) (Vl-14) Com as seguintes condições de contorno:

-L

1< x <

O

y 1 (0) = O (Vl-15) y₁{-L₁ ) = O _(VI-16) y"{-L)=O _(VI-17) 1 1 (VI-18) 0 < X< L2 y (O) = O 2 (Vl-19) y (L ) = O 2 2 (VI-20) y"(L)=O 2 2 (Vl-21) (VI-22) sendo K a constante torcional do acoplador.

T

senoidal sera:

y,(x) = (a.ejk,x + a e-jk,x

i r

(VI-23)

sendo:

_ª·

i a amplitude mãxima da onda incidente a idem da onda refletida

r

a' idem da onda evanescente r

O deslocamento na viga 2, devido a propagaçao da onda transmitida pelo acoplamento sera:

sendo: a a amplitude mãxima da onda transmitida t

a' idem da onda evanescente t

(VI-24)

A

aplicação de

(VI-23)

e

(VI-24)

nas equaçoes

(IV-15)

a

(VI-22)

gera a seguinte seqü~ncia de resultados:

y

=-jw(a .ejk,x + a e-jk1x ₊ a 'ek1x)e-jwt

_(VI-25)

i r r

ºk _e-jk1x a'ek1x)e-jwt

y =-w2_{(a .eJ ,x + a +}

_(VI-26)

i r r (jk ₁a .ejk,x _{j k 1 a} - j k X k a' ek1x)e-jwt

_(VI-27)

y l = - e , + i r 1 r

y 1~ = kf(-a.ejk,x - a e-jk 1x + a' ek1x ) e - j wt

(VI-28)

i r r

Yiv

= k4(a ejk,x + a e-jk1x _{+ a' ek} 1x)e-jwt

_(VI-29)

1 •

i r r

(Vl-30)

y~

(Vl-31)

A

aplicação dos resultados citados em

(Vl-18)

e

(Vl-22)1~

va a: E I k2( , )e-jwt - 1 1 1 a. + a -a = i r r + j(a.-a ))- k (-a' 1 r 2 t - j wt e

(Vl-32)