Alg1- Cap6 - Teoria dos Grupos-p1

Teoria

dos

Grupos

Teoria dos Grupos

O conjunto G, não vazio, munido de uma operação * (fechada) é um grupo se:

i. A operação * for associativa.

ii. ∃e ∈ G tal que e ∗ a = a ∗ e = a ∀a ∈ G iii. ∀a ∈ G, ∃b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e

 Se além disso, a operação * for comutativa, o

grupo é chamado de grupo .

 𝐺𝐿₂={Matrizes 2x2 com determinante não nulo, em

relação ao produto}. e = 1 0

0 1 não é comutativa.

Teoria dos Grupos

O elemento 𝑒 (que aparece no

item ii) é chamado de elemento neutro ou

identidade. O elemento 𝑏 (que aparece no

item iii) é chamado inverso (ou simétrico) de

𝑎.



ℤ, + , (𝑄 , +)

 Anel: (𝐴, +, . )  𝐴, + grupo abeliano  𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑏 . 𝑐; 𝑎. 𝑏 + 𝑐 = 𝑎. 𝑏 + (𝑎. 𝑐)  𝑎 + 𝑏 . 𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐

Exemplos

 ℤ_𝑚 goza das propriedades: (ℤ_𝑚, +) é grupo abeliano  Associativa  Comutativa  0 + 𝑥 = 𝑥  𝑥 + −𝑥 = 0  (ℤ_𝑚∗ , . ) associativa / comutativa / 1 . 𝑥 = 𝑥 / ∀𝑥 ∈ ℤ_𝑚∗ , ∃𝑦 ∈ ℤ_𝑚∗ tal que 𝑥 . 𝑦 = 1

Exemplos



ℤ, +



ℚ, +



(ℝ, +)



(Matriz

_2x2

ℝ , +) = (M

₂

ℝ , +)



Polinômios de grau n na variável x:



(P

_n

(x), +)

Entendendo o S

₃

 S₃ = {id, s₁, s₂, s₃, s₄, s₅}  id = s₀ = 1 2 3 1 2 3  s₁ = 1 2 3 2 3 1 = rotação de 2π 3 rd (120°) ;  s₂ = 1 2 3 3 1 2 = rotação de π 3 60° ;  s₃ = 1 2 3

1 3 2 = simetria em rotação ao eixo 1;

 s₄ = 1 2 3

3 2 1 = simetria em relação ao eixo 2;

 s₅ = 1 2 3

2 1 3 simetria em relação ao eixo 3.

2

1

Composição em S

₃

 𝑠₀ ∘ 𝑠₀ = 𝑠₀ 𝑠₁ ∘ 𝑠₄ = 1 2 3 1 3 2 = 𝑠3  𝑠₀ ∘ 𝑠₃ = 𝑠₃ 𝑠₂∘ 𝑠₃ = 1 2 3 3 2 1 = 𝑠4  𝑠₁ ∘ 𝑠₁ = 1 2 3 3 1 2 𝑠5 ∘ 𝑠5 = 𝑖𝑑 = 𝑠0  𝑠₃ ∘ 𝑠₁ = 1 2 3 3 2 1 = 𝑠4 𝑠3 ∘ 𝑠4 = 1 2 3 2 3 1 = 𝑠1 2 1 3

Propriedades de S

₃

 Associativa - SIM  Comutativa - NÃO  𝑠₀ ∘ 𝑠_𝑖 = 𝑠_𝑖 ∘ 𝑠₀ = 𝑠_𝑖  ∀𝑠_𝑖∈ 𝑆₃ ∃𝑠_𝑗 ∈ 𝑠₃ tal que 𝑠_𝑖 ∘ 𝑠_𝑗 = 𝑠₀ 𝑠_𝑗 ∘ 𝑠_𝑖 = 𝑠₀  𝑠₀ ∘ 𝑠₀ = 𝑠₀ / 𝑠₁ ∘ 𝑠₂ = 𝑠₀ / 𝑠₂ ∘ 𝑠₁ = 𝑠₀ / 𝑠₃ ∘ 𝑠₃ = 𝑠₀  𝑠₄ ∘ 𝑠₄ = 𝑠₀ / 𝑠₅ ∘ 𝑠₅ = 𝑠₀ 𝒔_𝟎 𝒔_𝟏 𝒔_𝟐 𝒔_𝟑 𝒔_𝟒 𝒔_𝟓 𝑠₀ 𝑠₀ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 𝑠₄ 𝑠₅ 𝑠₁ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₀ 𝑠₅ 𝑠₃ 𝑠₄ 𝑠₂ 𝑠₂ 𝑠₀ 𝑠₁ 𝑠₄ 𝑠₅ 𝑠₃ 𝑠₃ 𝑠₃ 𝑠₄ 𝑠₄ 𝑠₀ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₄ 𝑠₄ 𝑠₅ 𝑠₃ 𝑠₂ 𝑠₀ 𝑠₁ 𝑠₅ 𝑠₅ 𝑠₃ 𝑠₄ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₀

Exemplos

 Corpo (𝐾, +, . )

 K é anel {(K − 0 [𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎] , . ) é grupo

abeliano

 Espaço Vetorial

 V espaço vetorial sobre um corpo 𝐾, (𝑉, +) é um

grupo abeliano  . : 𝐾 × 𝑉 → 𝑉  Simplificando a notação  + ∘ ∗ ∙ ; 𝑎. 𝑏 = 𝑎𝑏 ; 𝑠₁ ∘ 𝑠₂ = 𝑠₁. 𝑠₂  No S₃:  𝑠₁−1 = 𝑠₂  𝑠₃−1 = 𝑠₃

Exemplos

 O teorema sobre as propriedades de ℤ_m (cap. 5)

garantem que (ℤ_m,+) é grupo para todo m em ℤ .

 (ℤ_m,+) é grupo abeliano

A soma e o o produto em ℤ_m gozam das seguintes propriedades:

1. Associativa (Comutativa também)

2. 0 + x = x (elemento neutro da soma) 3. x + (−x ) = 0 (elemento simétrico aditivo)

1. (−x ) = m − x

Propriedades

1. O elemento neutro é único:

 Suponha que 𝑒 e 𝑒′ são elementos neutros.  Então: 𝑒 = 𝑒. 𝑒′ = 𝑒′

2. Se 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺, então as equações 𝑎𝑋 = 𝑏 e 𝑌𝑎 = 𝑏 tem

uma única solução

 𝑎𝑋 = 𝑏

 𝑎−1. 𝑎 𝑋 = 𝑎−1𝑏 → eX = a−1b → X = a−1b  Suponha que 𝑥′ e 𝑥′′ são soluções de 𝑎𝑋 = 𝑏

 Logo 𝑎𝑥

′ _{= 𝑏}

𝑎𝑥′′ = 𝑏} ⇒ 𝑎𝑥

′ _{= 𝑎𝑥}′′ _{⇒ 𝑎}−1_{. 𝑎. 𝑥}′ _{= 𝑎}−1_{. 𝑎. 𝑥}′′ _⇒

𝑒𝑥′ = 𝑒𝑥′′ ⇒ 𝑥′ = 𝑥′′

Propriedades

3.

O elemento inverso é único. O elemento

inverso é a solução da equação aX = e

4.

a

−1 −1

= a



a. a

−1

= e

5.

a. b

−1

= b

−1

. a

−1



a. b. b

−1

a

−1

= e

 Testar do outro lado  b−1a−1 ab = ⋯

Subgrupos

Seja 𝐺 um grupo. Um subconjunto

 ≠ 𝐻 ⊂ 𝐺 é um de 𝐺 se 𝐻 for um grupo com a mesma operação de 𝐺.

 Notação: 𝐻 < 𝐺

 Ex: {rotações planas ao triângulo} < 𝑆₃  Ex: ℤ, + < 𝑄, + < 𝑅, + < (𝐶, +)

 𝑄∗ = 𝑄 − {0}  𝑄∗, . ≮ 𝑄, +

 ℤ∗ = ℤ − 0 ; (ℤ∗, . ) ≮ 𝑄∗, . pois (ℤ∗, . ) não é grupo  𝑆𝐿_𝑛 (det = 1) < 𝐺𝐿_𝑛

Subgrupos

Seja 𝐺 um grupo e 𝐻 ⊂ 𝐺.

Então 𝐻 é um subgrupo se, e somente se:

i.

H ≠



Na soma:

ii.

∀a, b ∈ H, ab ∈ H ii.

a, b ∈ H ⇒ a + b ∈ H

 Fechado

iii.

∀a ∈ H, a

−1

∈ H iii.

a ∈ H ⇒ −a ∈ H

Demonstração



Por ii) a operação

 ∙∶ 𝐻 × 𝐻 → 𝐻 é uma operação definida em H. A

propriedade associativa é uma propriedade hereditária.

 Como 𝐻 ≠, tomamos 𝑎 ∈ 𝐻. Pela condição iii)

𝑎−1 ∈ 𝐻. Pela condição ii) 𝑎. 𝑎−1 ∈ 𝐻 i.e. 𝑒 ∈ 𝐻. O inverso está garantido pela condição iii).



Exemplos: 2ℤ = {2. 𝑧, ∈ ℤ} – múltiplos de 2

 2ℤ < ℤ  5ℤ < ℤ

Observação – Exercício

(n) = {múltiplos de n} são todos os

subgrupos de ℤ, + .

 D] Suponha que H  {0} é subgrupo de (ℤ, +). Tome H+=

{aH, a>0}  . Suponha que m  H+ _{é mínimo entre os}

inteiros de H+_.

 Tome n  H+(genérico) e usemos Lema de Euclides:

 n = km + r, com 0  r < m  n – km = r

 Como n,km  H+, então r  H+ e r < m.

Exercícios

1. Considere o conjunto F(IR) das funções de IR em IR.

Verifique se são grupos:

a) (F(IR),+) b) (F(IR),∘) (composição)

2. Demonstre as Leis do Cancelamento para grupos:

a) a*x = a*y  x = y b) x*a = y*a  x = y

3. Verifique que, em S₃, e = 1 2 3

1 2 3 .

4. Mostre que 𝑆𝐿_𝑛 < 𝐺𝐿_𝑛.

5. Mostre que, se H < G, então a identidade (e) de G

pertence a H.

6. Verifique que, num grupo G, seu menor subgrupo é H = {e}. 7. Verifique se 0 , 2 < ℤ₄.

Proposição

Seja G um grupo e H ⊂ G, H

finito. Então H é um subgrupo de G se e

somente se:

i.

H ≠ ∅

ii.

∀a, b ∈ H, a. b ∈ H

(fechado)

Demonstração

 Basta mostra que a condição iii) do resultado anterior

também é válida.

 Seja 𝑎 ∈ 𝐻. Queremos mostrar que 𝑎−1 ∈ 𝐻

 Se 𝑎 = 𝑒, não temos nada a fazer. Sup. então que 𝑎 ≠ 𝑒  Suponha que 𝐻 = {𝑎, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑛}.

 Temos que 𝐻 = {𝑎𝑎, 𝑎𝑎₂, … , 𝑎𝑎_𝑛} , pois pela condição ii)

𝑎𝑎_𝑖 ∈ 𝐻. Além disso 𝑎𝑎_𝑖 = 𝑎𝑎_𝑗 ⇒ 𝑎_𝑖 = 𝑎_𝑗. Como 𝑎 ∈ 𝐻 ⇒ ∃𝑖 tal que 𝑎𝑎_𝑖0 = 𝑎 ⇒ 𝑎_𝑖0 = 𝑒 . Como 𝑒 ∈ 𝐻, ∃𝑗₀ tal que 𝑎𝑎_𝑗0 = 𝑒 , logo 𝑎_𝑗0 = 𝑎−1 ∈ 𝐻.

Proposição



Seja G um grupo, seja a ∈ G . Considere

H = {a

i

, i ∈ ℤ}. Então H < G (H subgrupo de

G)



Fechado: a

i

. a

j

= a

i+j

condição ii) verificado



Inversos: a

i −1

∈ H (?). Com a

i

∈ H, temos que

seu inverso também está em H. Para o inverso

de a

i

_{, temos: a}

i

_{. a}

k

_{= a}

i+k

_{= e = a}

0

_{⇒ a}

k

_{= a}

−i

Definições

𝐻 = {𝑎

𝑖

_{, 𝑖 ∈ ℤ} é chamado subgrupo de}

𝐺 gerado por 𝑎.



Notação 𝐻 = < 𝑎 >



Seja 𝐻 < 𝐺. Se existe 𝑎 ∈ 𝐻 tal que

𝐻 = < 𝑎 > , então 𝐻 é chamado de subgrupo

cíclico (gerado por 𝑎)

Um grupo 𝐺 =< 𝑎 > é cíclico se existe

𝑎 ∈ 𝐺 tal que 𝐺 =< 𝑎 >.

Exemplos de Grupos Cíclicos

1.

ℤ

₄

= 0 , 1 , 2 , 3 , < 1 > = {0 , 1 , 2 , 3 }



< 3 > = 0 , 3 , 2 , 1 , < 2 > = {0 , 2 }

2.

Obtenha os subgrupos gerados pelos elementos

de ℤ

₆

3.

Determinar os subgrupos cíclicos de 𝑆

₃

.

 < 𝑠₀ > 𝑠₀ ; < 𝑠₁ > 𝑠₀, 𝑠₁, 𝑠₂ ; < 𝑠₂ > 𝑠₀, 𝑠₂, 𝑠₁  < 𝑠₃ > 𝑠₀, 𝑠₃ ; < 𝑠₄ > 𝑠₀, 𝑠₄ ; < 𝑠₅ > 𝑠₀, 𝑠₅

Classes Laterais

Seja G um grupo e H < G. Dizemos que a~b se a. b−1 ∈ H

A relação a~b é uma relação de equivalência

 Reflexiva: a~a pois a. a−1 = e ∈ H

 Simétrica: a~b ⇒ a. b−1 ∈ H ⇒ a. b−1 −1 ∈ H ⇒ b−1 −1. a−1 ∈ H ⇒

b. a−1 ∈ H ⇒ b~a

 Transitiva: a~b e b~c ⇒ a. b−1 ∈ H e b. c−1 ∈ H ⇒ a. b−1 . b. c−1 ∈

H ⇒ a b−1. b c−1 ∈ H ⇒ a. c−1 ∈ H ⇒ a~c

 A classe de equivalência do elemento a é chamada

Classes Laterais em ℤ

Considere G = ℤ e H = mℤ

(múltiplos de m)

Ha = {ha; h ∈ H}



D] Considere K= {ha; h ∈ H}

(Ha



K e K



Ha)



Seja b ∈ Ha ⇒ a~b ⇒ a. b

−1

∈ H ⇒ a. b

−1

= b

₁

∈ H

 a = b₁b ⇒ b₁−1. a = b (como b₁−1 ∈ H) ⇒ b ∈ K

. Logo Ha ⊂ K.

Exercícios

1.

Defina 𝑎~

₁

_{𝑏 se 𝑎}

−1

_{. 𝑏 ∈ 𝐻.}

(𝐺 é grupo com 𝐻 < 𝐺)

.

Mostre que ~

₁

é uma relação de equivalência.

a) Mostre que a classe de equivalência de um elemento 𝑎 é

igual ao conjunto 𝑎𝐻. 𝑎𝐻 é chamado classe lateral de 𝑎 à esquerda de 𝐻.

2.

Determinar as classes laterais à direita do

subconjunto 𝐻 = 𝑠

₀

, 𝑠

₃

< 𝑆

₃

Resolução do 2)



𝐻𝑠

₀

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃

. 𝑠

₀

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃

= 𝐻



𝐻𝑠

₁

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃

. 𝑠

₁

= 𝑠

₁

, 𝑠

₄

= 𝐻𝑠

₄ 

𝐻𝑠

₂

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃

. 𝑠

₂

= 𝑠

₂

, 𝑠

₅

= 𝐻𝑠

₄ 

𝐻𝑠

₃

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃

. 𝑠

₃

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃ 

𝑠

₀

𝐻 = 𝑠

₀

. 𝑠

₀

, 𝑠

₃

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃

= 𝐻



𝑠

₁

𝐻 = 𝑠

₀

. 𝑠

₀

, 𝑠

₃

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃ 

𝑠

₂

𝐻 = 𝑠

₀

. 𝑠

₀

, 𝑠

₃

= 𝑠

₀

, 𝑠

₃

Lema

Existe uma bijeção entre duas classes

laterais

(à direita)

 φ: Ha ⟶ Hb

 ha ⟶ hb

 φ é injetora: φ h₁a = φ h₂a ⇒ h₁b = h₂b ⇒ h₁ = h₂ ⇒ h₁a = h₂a  φ é sobrejetora: pois se hb ∈ Hb então hb = φ(ha)

 He = H  eH = H