Óptica Gaussiana
Pedro Henrique Cook – 10728397
Introdução
O efeito de difração da luz faz com que um feixe de laser não seja perfeitamente colimado. Com isso, maioria dos feixes podem ser descritos por meio do denominado modo Gaussiano fundamental, ou 𝑇𝐸𝑀00.
O objetivo é contruir a solução da equação paraxial de Helmholtz, e discutir as características de importância da mesma para aplicações as experimentais, de grande interesse para físicos.
Para encontrar o modo fundamental, será necessário assumir que o feixe possui dimensões transversais pequenas o suficientes para considerar-se um regime paraxial.
Será adotado um fator de simetria cilíndrica, assim como a separação do campo elétrico em uma parte temporal e outra espacial.
3 𝐸(𝑟,𝑧,𝑡) = 𝐸(𝑟,𝑧)𝑒−𝑖𝜔𝑡 (1) 𝛻2= 𝛻𝑇2 + ∂² ∂z² (2) 𝛻𝑇2= ∂² ∂𝑟² + 1 𝑟 ∂ ∂𝑟 4 𝛻2𝐸 + 𝑘2𝐸 = 0
Feixe Gaussiano
2Supõe-se uma solução para a (Eq.4) da forma, além de desprezar os termos de segunda ordem em relação z (∂²/ ∂z²). Chegando as equações:
Outra suposição é feita, agora para o termo 𝜓(𝑟,𝑧). Por ortogonalidade, a (Eq.8) deve valer para qualquer r, chegando a duas equações independentes. 6 𝛻𝑇2𝜓 − 2𝑖𝑘𝜓′ = 0 7 𝜓(𝑟,𝑧) = 𝜓0exp −𝑖 𝑃 𝑧 + 𝑞(𝑧)𝑟² 2 5 𝐸(𝑟,𝑧) = 𝜓(𝑟,𝑧)𝑒−𝑖𝑘𝑧 9 𝑞2 + 𝑘𝑞′ = 0
13 𝑧𝑅 = 𝜋𝜔0 2 𝜆 12 𝜔(𝑧) = 𝜔0 1 + 𝑧𝜆 𝜋𝜔02 2 14 𝑅(𝑧) = 𝑧 1 + 𝜋𝜔0 2 𝜆𝑧 2 15 𝜂(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝜆𝑧 𝜋𝜔02 11 𝐸(𝑟,𝑧) = 𝐸0 𝜔0 𝜔(𝑧) 𝑒 − 𝑟2 𝜔(𝑧)2 𝑒 −𝑖 𝑘𝑧 − 𝜂(𝑧)+ 𝑘𝑟 2 2𝑅(𝑧)
Solução final para o campo elétrico:
O beam waist é o parâmetro físico de maior importância no feixe Gaussiano. Definição: valor mínimo de r = w(z) t.q a amplitude do campo decai em um fator 1/e, a irradiância decai 1/e², em relação a origem. Caracteriza o local em que a frente de onda é plana (foco).
Parâmetros: Cintura do feixe (𝜔
0
)
16 𝐸(𝑟,𝑧) ∝ 𝑒 − 𝑟2 𝜔(𝑧)2 17 𝐼(𝑟,𝑧) ∝ 𝐸(𝑟,𝑧) 2 ∝ 𝑒 −2𝑟2 𝜔(𝑧)2
Perfil de amplitude do campo elétrico ao longo do eixo z de propagação.
O ângulo de divergência mede o grau de colimação de um feixe. No limite em que z → ∞, a (Eq.12) pode ser aproximada a um comportamento linear, fornecendo (Eq.18).
Parâmetros: Ângulo de divergência (𝜃)
18 𝜔(𝑧) ≅ 𝑧𝜆 𝜋𝜔0
19 𝑡𝑎𝑛𝜃 ≈ 𝜃 = 𝜆
É o termo imaginário responsável por medir a curvatura da frente de onda. Pode ser subdividido em três regiôes:
• z = 0;
• z = 𝑧𝑅;
• z → ∞.
Parâmetros: Raio de curvatura (𝑅
(𝑧)
)
20 𝐸(𝑟,𝑧) ∝ 𝑒 −𝑖
𝑘𝑟2 2𝑅(𝑧)
Figura 4
O fator 𝑧𝑅 mede a distância de colimação de um feixe. Quantitivamente, representa o ponto de crescimento da cintura do feixe em um fator de 2.
Descreve uma mudança de fase de 𝜋 quando o feixe passa pela cintura do feixe (o valor exato 𝜋 ocorreria no percurso de z: −∞ → ∞).
21 𝐸(𝑟,𝑧) ∝ 𝑒 −𝑖𝑛(𝑧)
Figura 6
10
De acordo com o sistema óptico (lentes, telescópios, lasers, etc), há casos em que o comportamento do feixe Gaussiano difere do usual (Feixes astigmáticos ortogonais e Feixes astigmáticos não ortogonais, por exemplo). Algumas das principais mudanças que podem ocorrer são:
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Feixe Gaussiano 3D
Figura 9 (Fonte [11])
• Tamanho para as cinturas do feixe independentes
entre os eixos transversais, ocasionando um perfil de amplitude elíptico;
• Posição de 𝜔0 diferente para cada um dos eixos
Perfil de amplitude do campo elétrico ao longo do eixo z de propagação, para um feixe elíptico.
As leis que regem a propagação de um feixe Gaussiano não respeitam a óptica geométrica em consequência da difração. Um maneira de lidar com o problema é por meio das relações (Eq.22) e (Eq.23).
Uma conclusão é de que as discussões acerca do comportamento do feixe devem ser feitas a partir de 𝜔(𝑧) 𝑒 𝑅(𝑧), não sendo necessário utilizar a expressão geral (Eq.11) do campo elétrico.
22 𝑞(𝑧) = 𝑧 + 𝑖𝑧𝑅 23 1 𝑞(𝑧) = 1 𝑅(𝑧) − 𝑖𝜆 𝜋𝜔(𝑧)2 14
Lei ABCD
As contas podem ser feitas através de matrizes, por meio da Lei ABCD. Este método permite calcular, para diversos sistemas ópticos, as transformações que um feixe Gaussiano sofre ao passar por estes. Para cada caso (atravessar uma lente fina, focalização de um feixe, viajar pelo vácuo, por exemplo) haverá uma matriz ABCD diferente definida pelo sistema (algumas vezes, estes fatores sim são definidos pela óptica geométrica). 24 𝑋2 𝑋′2 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑋1 𝑋′1 25 𝑞2 = 𝐴𝑞1 + 𝐵 𝐶𝑞1 + 𝐷
É possível decompor um feixe paraxial coerente por meio dos modos de Hermite-Gauss. Em (Eq.26) os índices l e m são números inteiros arbitátrios que fornecem o modo do feixe (𝑇𝐸𝑀𝑙𝑚). 𝐻𝑖 representa o polinômio de Hermite de grau i.
Os feixes de alta ordem são gerados principalmente por lentes, e outros jogos ópticos. Além disso, é interessante destacar que todos os parâmetros são os definidos para o modo fundamental.
26 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝐸𝑙,𝑚 𝜔0 𝜔(𝑧) 𝐻𝑙 2𝑥 𝜔(𝑧) 𝐻𝑚 2𝑦 𝜔(𝑧) 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥2 + 𝑦2 𝜔(𝑧)2 𝑒𝑥𝑝 −𝑖 𝑘𝑧 + 𝑘𝑟2 2𝑅(𝑧) − 1 + 𝑙 + 𝑚 𝜂(𝑧) 16
Os 12 primeiros modos da equação paraxial.
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Conclusão
O
modo fundamental pode ser considerado uma solução simples para a equação paraxial de Helmholtz, da qual definimos parâmetros físicos de extrema importância, como a cintura do feixe e o comprimento de Rayleigh, para trabalhar-se em sistemas ópticos com o uso de lasers.Concluiu-se também que o manejo de outras soluções para a equação paraxial exigem apenas pequenas mudanças a partir das já conhecidas características do TEM00, sendo que este pode até mesmo ser
• [1] Gaussian Beam Optics, Vol. 2, Issue 1 (CVI Melles Griot Technical Guide, 2009).
• [2] J. Alda, Laser and Gaussian Beam Propagation and Transformation, Marcel Dekker, Inc (2003). • [3] S. C. ZILIO, Óptica Moderna: Fundamentos e Aplicações (Instituto de Física de São Carlos, 2009).
• [4] H. Gross, Physical optics, Lecture 12: Gaussian Beams, Institute of Applied Physics, Friedrich-Schiller-Universität Jena (2018).
• [5] R. Photonics, Enciclopédia online, disponível em https://www.rp-photonics.com/gaussian_beams.html, último acesso em 29 de novembro de 2020.
• [6] J. L. V. et al, Loading and compression of a single twodimensional Bose gas in an optical accordion, PRA 95, 013632 (2017).
• [7] Edisciplinas, Plataforma online de ensino. disponível em: https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/5123439/mod_
resource/content/0/feixesgaussianos–exp5.pdf, último acesso em 29 de novembro de 2020.
• [8] A. E. Siegman, Lasers (University Science Books, 1986).
• [9] H. Kogelnik and T. Li, Laser Beams and Resonators, Vol. 5, No 10 (Applied Optics, 1966).
• [10] Wikipedia, Enciclopédia online, disponível em https://en.wikipedia.org/wiki/gaussian_beam#/media/file:hermite-gaussian.png, último acesso em 29 de novembro de 2020.
• [11] S. D. Léséleuc, Digital Micromirro Device (Swiss Federal Institute of Technology in Zurich 2014)
