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Conjuntos numéricos II: números racionais, irracionais e reais

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Academic year: 2021

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

Conjuntos numéricos II:

números racionais,

irracionais e reais

Ricardo Ferreira Paraizo

Aula

(2)

Aula 3 Conjun tos n uméri cos II: núm er os r aci on ais , irr aci on ais e r eais 53

Meta

Apresentar os conjuntos numéricos racionais, irracionais e reais.

Objetivos

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: 1. identificar e representar na reta numerada os

números racionais;

2. determinar a fração geratriz de uma dízima periódica;

3. reconhecer os números irracionais;

4. relacionar os conjuntos numéricos já estudados com o conjunto dos números reais;

5. reconhecer e representar intervalos numéricos.

Pré-requisitos

Para melhor compreensão desta aula, você deverá rever os conceitos sobre conjuntos e operações com números inteiros. É importante também ter em mãos uma calculadora básica.

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Aula 3 Conjun tos n uméri cos II: núm er os r aci on ais , irr aci on ais e r eais 53

Conhecendo mais alguns números

Na aula passada, trabalhamos com os conjuntos dos números naturais e inteiros, você se lembra? A quantidade de animais criados na fazenda do Zé e o número de lâmpadas da sua casa são representados por números naturais ¥. Já a temperatura do congelador e o saldo ou débito de uma conta corrente são representados em números inteiros ¢.

Será que podemos resolver todos os nossos problemas só com os números naturais e inteiros? Não saberíamos calcular, por exemplo, o preço de 1,5 litro de gasolina ou o preço de 2,5 kg de batata. A temperatura passaria de 38ºC para 39ºC, não teríamos 38,5°C de febre. Talvez não existisse o minuto, que é uma parte da hora. Por isso o homem sentiu a necessidade de desenvolver outros conjuntos numéricos.

Raciocinando em conjunto com os racionais

Pense em algo do seu cotidiano que é fracionário. Você já imaginou o caos que seria o mundo se o homem não tivesse criado o conceito de frações para representar quantidades que nem o conjunto ¥ nem o ¢ podiam representar? Como pode ver, a descoberta dos números racionais veio a calhar no nosso cotidiano. Você pode falar, por exemplo: “Comi metade de uma maçã” ou “Comi um quarto de uma pizza.”

Fonte: www.sxc.hu

Figura 3.1: Os alimentos também ajudam a entender a matemática.

Jay Simm

on

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Os números inteiros, em conjunto com os fracionários, são chamados de racionais (). O termo racional significa que esses números são razões entre números

inteiros. Ou seja, todo número racional pode ser escrito na forma de uma razão entre dois números inteiros. Simbolicamente temos:

 = {x/x =qp , p, q ∈ ¢, q ≠ 0}

Lê-se: um número racional é qualquer x, tal que x é igual à RAZÃO entre p e q, onde

p e q pertencem ao conjunto dos números inteiros, com q diferente de zero.

Vamos pensar nas frases a seguir: (i) Todo número natural é racional. (ii) Todo número inteiro é racional.

No caso (i), podemos exemplificar com o número 7, que é um número natural, mas também podemos representá-lo pela razão 14

2 ou 28

4 . Assim, é possível escrever

todos os números naturais em forma de fração. Portanto, todo número natural é racional.

No caso (ii), podemos pensar no número – 12, que é um número inteiro e que também é representado pela razão 36

3 ou − 72

6 . Com isso, podemos escrever

todos os números inteiros em forma fracionária.

Com essas informações, você vai perceber que os conjuntos dos naturais e inteiros estão contidos no conjunto dos números racionais.

RAZÃO

Divisão entre dois números inteiros.

¢ ¥

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 54 Aula 3 Conjun tos n uméri cos II: núm er os r aci on ais , irr aci on ais e r eais 55

Mas será que os conceitos usados para os números naturais e inteiros também podem ser aplicados no conjunto dos números racionais? Preste atenção na conversa do Eugênio com o professor e veja as novidades.

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Então, descobriu alguma novidade? Você saberia representar o conjunto dos números racionais não negativos? É importante saber que também podemos usar essa representação para os números inteiros. Os conjuntos dos números inteiros não negativos e não positivos são representados por ¢+ e ¢-, respectivamente.

Agora, veja os números racionais dispostos na reta:

Fonte: www.sxc.hu

Figura 3.2. Uma ferramenta muito útil!

Uma ferramenta

Byron H

ardy

Observe que entre dois números racionais existem infi nitos outros números racionais. Ou seja, entre 0 e 1

3 existem, por exemplo, 1 6, 1 5 0,22222..., 1 4 e

outros. Ainda, considerando o zero como origem, podemos verifi car a simetria dos racionais. Por exemplo, o simétrico de −4

5 é 4 5.

Mas o número 0,22222... está no lugar errado, você não acha? Cuidado! 0,22222... é uma dízima periódica. O que é dízima periódica?

Um número racional diferente

Como já vimos anteriormente, os números como 1,5; 3,7; 8,9 e –15,25 são números decimais exatos. Todos podem ser escritos em forma de fração ab. E o número 0,5555... é racional? Será que podemos escrever esse número em forma de fração? Veja outros números interessantes:

0,77777... 0,88888... 0,12121212...

Será que são também números racionais? Antes de tirar qualquer conclusão, pegue uma calculadora e divida 5 por 9, 7 por 9, 8 por 9 e 12 por 99. O que está notando nos resultados?

–1,35 ... 4 5 – ... 0,35 ... 0 ... 1 3 ... 1 ... 5 4 ... 7 2

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 56 Aula 3 Conjun tos n uméri cos II: núm er os r aci on ais , irr aci on ais e r eais 57

Você viu que:

5 9 = 0,55555... 8 9 = 0,88888... 7 9 = 0,777777... 12 99 = 0,12121212...

Os números como 0,555555... e todos os outros citados anteriormente são chamados de dízimas periódicas. O algarismo ou grupo de algarismos que se repete é chamado de período da dízima. Nos casos anteriores temos:

0,5555... → O período é 5. 0,77777... → O período é 7. 0,88888... → O período é 8. 0,12121212... → O período é 12. Toda dízima periódica pode ser escrita na forma p

q. Podemos afirmar, então, que toda dízima periódica é um número racional. A fração que origina uma dízima periódica é denominada fração geratriz da dízima. Assim, 5

9 é a fração geratriz de

0,555555... Também é muito comum representar uma dízima periódica colocando um traço sobre o período do número, ou seja, 0 4, é equivalente a 0,4444444...

Determinando a fração geratriz

Nada melhor que um exemplo para explicar o processo de determinação da fração geratriz, a partir de uma dízima periódica. Vamos determinar a fração geratriz do número 1,231313131... Preste bastante atenção:

1º passo: vamos chamar de x o número 1,23131313131...

2º passo: decompor esse número como uma soma de infinitos números decimais

da forma: x = 1,2 + 0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...

3º passo: manipule a soma infinita como se fosse um número comum, passando a

parte que não se repete para o primeiro membro da igualdade, obtendo: x – 1,2 =

0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...

4º passo: multiplique a soma infinita por 100; o período tem 2 algarismos. Se

o período tivesse 3 algarismos, multiplicaríamos por 1000, e assim por diante, obtendo: 100 (x – 1,2) = 100 (0,031 + 0,00031 + 0,0000031+ ...) e, com isso, temos: 100x – 120 = 3,1 + 0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...

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5º passo: observe que, nos passos 3 e 4, as expressões em destaque são iguais.

Agora, tome a equação encontrada no 4º passo e subtraia membro a membro da equação encontrada no 3º passo: (100x – 120) – (x – 1,2) = (3,1 + 0,031 +

0,00031 + 0,0000031 + ...) – (0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...)

Manipulando a equação: 100x – 120 – x + 1,2 = 3,1 + (0,031 + 0,00031 +

0,0000031 + ...) – (0,031 + 0,00031 + 0,0000031 + ...)

E ainda: 100x – x – 120 + 1,2 = 3,1 Para obter: 99x – 118,8 = 3,1

6º passo: para evitar os números decimais, multiplicamos toda a equação por dez:

10 (99x – 118,8) = 10 (3,1) Com isso, temos: 990x – 1188 = 31 Manipulando: 990x = 31 + 1188 E, ainda, 990x = 1219

Para obter a fração geratriz: x = 1219

990

E, para finalizar, verifique, usando sua calculadora, se essa fração gera mesmo o número 1,231313131...

Precisa de mais um exemplo? Então, vamos mostrar por que a fração geratriz do número 0,3333333... é 1

3.

1º passo: seja S a dízima periódica 0,3333333... Observe que o período tem apenas

1 algarismo. Iremos escrever esse número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ...

2º passo: multiplicando essa soma “infinita” por 10 (o período tem 1 algarismo),

obtemos:

10S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

3º passo: observe que as duas últimas expressões, que aparecem em destaque nos

passos 1 e 2, são iguais! Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos: 10S – S = 3 Daí, 9S = 3 Simplificando, temos: S = 3 9 1 3 =

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Observou que, no segundo exemplo, só usamos 3 passos? Primeiro, porque a dízima é mais simples; o período tem apenas 1 algarismo. E também, no final do processo, não precisamos usar o 6° passo para evitar os números decimais. Agora, depois de tantas informações sobre os números racionais, pratique um pouco nas próximas atividades. A construção do seu conhecimento, em relação ao conteúdo estudado até aqui, é de fundamental importância para o entendimento de tudo o, que ainda vem pela frente.

Atende ao Objetivo 1

Atividade

1

Dentre os números a seguir, identifique e represente na reta os números racionais: −10 2 – 2,98654... – 0,8 0,3333... 6 2 5,299 8,01001... -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Atende ao Objetivo 2 Atividade

2

Você é capaz de determinar a fração geratriz do número 0,7777777...? Tenho certeza que sim! Mãos à obra!

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O que não é racional é irracional

Avançando um pouco na história da matemática, vamos chegar ao famoso Teorema de Pitágoras. Calma! Ainda não é o momento de estudarmos a fundo esse teorema. Posso adiantar que, lançando mão de tal conhecimento, é possível determinar o comprimento de um dos lados de qualquer TRIÂNGULORETÂNGULO.

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Polígono de três lados que possui um ângulo igual a 90° (ângulo reto) e os outros dois ângulos são menores que 90° (ângulos agudos).

cateto1 cateto 2 hipotenusa

ângulo reto 90 graus

Saiba mais...

O Teorema de Pitágoras

É provavelmente o mais célebre dos teoremas da matemática. Enunciado pela primeira vez por filósofos gregos chamados de pitagóricos, estabelece uma relação simples entre o comprimento dos lados de um triângulo retângulo:

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Se “a” designar o comprimento da hipotenusa (o maior lado) e “b” e “c” os comprimentos dos catetos (os outros dois lados), o teorema afirma que:

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Depois dessa breve explicação, imagine um triângulo retângulo com os catetos medindo 1 metro (m) de comprimento. Usando o Teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado, a hipotenusa, vale 2.

E quanto é 2? Não podemos dizer exatamente. O que sabemos é que não é possível representá-lo em forma de fração, pois há infinitas casas depois da vírgula e não é uma dízima periódica.

Com isso, houve a necessidade de criar mais um conjunto, o Conjunto dos Números Irracionais. Tal conjunto é formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, não podem ser representados por uma fração. Simbolizamos esse conjunto por .

Observe que a hipotenusa é o lado do quadrado maior; o mesmo acontece com os outros dois lados do triângulo ABC. Portanto, a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados. Essa figura ilustra bem o Teorema. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b a c 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

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Como você pode perceber, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa. Por isso, representamos os conjuntos separados. Números como π e raízes não exatas, como 2, 3 e 5, são irracionais. A representação deles é infinita e não periódica.

¥ ¢

Saiba mais...

O π virou número

O π é a 16ª letra do alfabeto grego e corresponde ao som fonético “p” no alfabeto latino. Ele é, também, a inicial da palavra grega periphéreia, que significa circunferência. Por isso, passou a ser usado para designar a divisão (razão) entre o comprimento (C) da circunferência e o seu diâmetro (d), que é o comprimento da reta que atravessa o seu centro.

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Se pegarmos vários objetos circulares (moedas, botões, pratos), medirmos com uma corda o tamanho da sua circunferência e dividirmos pelo diâmetro do objeto, sempre vamos obter um número bastante próximo a 3,14159. Assim, o comprimento da circunferência é obtido pela aplicação da fórmula C = π.d.

Fonte: www.sxc.hu

Aar

on W

oehler

O matemático Arquimedes (cerca de 280 a.C. a 211 a.C.) foi o primeiro a estabelecer o valor do π. O que ele não conseguiu descobrir é que era um número irracional, ou seja, tem um número indefinido de casas decimais (sabe-se hoje que passam de duas mil). Quem descobriu isso foi o cientista alemão Johann Heinrich Lambert, em 1766.

(Adaptado da revista Superinteressante, edição 105, Junho de 1996.)

π

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Conjunto dos números reais

Observe a representação dos conjuntos estudados até aqui. Atende ao Objetivo 3

Atividade

3

Descubra qual é a regra de formação usada para escrever cada um dos números a seguir e continue escrevendo, no mínimo, mais seis algarismos para cada número:

a. 0,010010001 ... b. 0,1020030004 ... c. 0,202200303300404400 ... Agora responda indicando uma alternativa correta. Os números que você acabou de completar são:

( ) Naturais ( ) Inteiros

( ) Dízimas periódicas

( ) Nenhuma das alternativas anteriores

¥ ¢

 ¡

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Você percebeu que há um novo conjunto envolvendo os racionais e irracionais? É o conjunto dos números reais, simbolizado por ¡. O conjunto dos reais é a união do conjunto dos números racionais () com os irracionais ( ). Podemos representar assim: ¡ =  ∪ . Em outras palavras, o conjunto dos reais é formado por todos os números que estudamos até aqui, ou seja, os naturais, inteiros, racionais e irracionais. Também podemos representá-lo sem o zero (¡*), assim como podemos representar apenas o conjunto dos reais não negativos (¡+) e o

conjunto dos reais não positivos (¡-).

Saiba mais...

A raiz quadrada de um número negativo é real?

Consegue descobrir a –16? Cuidado! Existe algum número x que, elevado ao quadrado (x2), seja igual a –16? Vamos pensar um pouco! Elevar um número ao

quadrado é o mesmo que multiplicar esse número duas vezes, ou seja, 32=3.3=9;

42=4.4=16.

Você pode até pensar em elevar ao quadrado o –4. Vejamos: (–4)2=(–4).(–4).

Como é uma multiplicação de números inteiros, temos de usar a regra de sinal. Assim, (–4)2=(–4).(–4)=16, e não –16. Com isso, –16 não pertence ao

conjunto dos números reais.

Será que o mesmo acontece com a 38? Observe que (–2)3=(–2).(–2).(–2)=–8.

Com isso, é possível determinar a 38, que é igual a –2.

Portanto, podemos dizer que uma raiz de índice par de qualquer número negativo não pertence ao conjunto dos números reais. Por exemplo:

4

4 IR e 16IR ou 2n–xIR, onde n, x ∈ ¥.

Mas como você representaria um subconjunto dos números reais? Lembre-se de que entre dois números inteiros existem infinitos números racionais. Os números inteiros e racionais fazem parte do conjunto dos reais. Com isso, concluímos que entre dois números reais também existem infinitos números reais.

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O conjunto dos números reais, assim como todos os outros conjuntos estudados até aqui, também pode ser ordenado em uma reta. E, para representar os subconjuntos dos reais, podemos trabalhar com intervalos numéricos.

-2 -1 0 1 2

-0,6 0,73

Atende ao Objetivo 4

Atividade

4

Veja o conjunto L = [–10; 9] representado na régua a seguir:

x ≥ -10 x ≤ 9

Responda os seguintes itens:

a. Escreva os elementos deste conjunto em ¥:

b. Escreva os elementos deste conjunto em ¢:

c. Cite 5 elementos pertencentes ao conjunto dos números reais (¡):

2

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Intervalos numéricos

Um exemplo bem simples, que faz parte do seu dia-a-dia, é a previsão do tempo. O repórter informa a previsão do tempo para o dia seguinte: “Amanhã, a temperatura mínima será de 19,2°C e a máxima de 29°C.” Isso quer dizer que a temperatura pode oscilar entre 19,2°C e 29°C.

Multimídia

Se você gosta de filmes, aproveite a nossa sugestão e conheça o poder dos números em nossa vida.

Pi

O filme Pi conta a história de um jovem gênio da matemática e da computação, chamado Max (Sean Gullette), que vive escondido da luz do sol, que lhe causa constantes dores de cabeça, e evita o contato com outras pessoas. Max conseguiu construir um supercomputador que lhe permitiu descobrir o número completo do Pi (π), o que fez ainda com que compreendesse toda a existência da vida na Terra.

Se você quiser assistir a este filme, procure-o em uma locadora e alugue o DVD. Você não vai se arrepender!

Assim, um intervalo numérico é o espaço intermediário, contendo todos os números reais, entre os limites numéricos (superior e inferior). No caso da previsão do tempo para o dia 01/10, o limite inferior é 19,2°C e o limite superior é 29°C.

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Você sabe representar um intervalo númerico? Existem alguns detalhes importantes. Veja os intervalos representados na reta:

a.

b.

Saiba mais...

Cuidados com os intervalos numéricos

Quando um conjunto numérico é representado por um intervalo, no qual o mesmo é um subconjunto dos números reais, signifi ca que existem infi nitos números reais entre os limites superior e inferior. Observe a reta:

Em primeiro lugar, quando os limites do intervalo estão cheios (pintados), signifi ca que pertencem ao intervalo. Quando estão vazios (não pintados), não pertencem ao referido intervalo.

-2 1

2 5 10

-2 1

Você já sabe que esse é um intervalo fechado, ou seja, os extremos 2 e 10 fazem parte do conjunto. A fi gura também mostra o número 5, que está entre o 2 e o 10, por isso pertence ao intervalo. E como se lê 2 < 5 < 10?

Podemos ler de duas maneiras:

(i) 2 é menor que 5 e 5 é menor que 10; (ii) 5 é maior que 2 e 5 é menor que 10.

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E como representar intervalos em linguagem matemática? Os exemplos anteriores podem ser representados da seguinte maneira:

Exemplo (a)

{x ∈¡/–2 ≤ x ≤ 1} Vamos chamar este conjunto de A.

Leitura do conjunto A: x pertencente ao conjunto dos números reais, tal que x é maior ou igual a –2 e x é menor ou igual a 1.

Esse conjunto pode ser imaginado numa régua numerada com números positivos e números negativos. Veja a representação do conjunto A = {x∈¡/–2 ≤ x ≤ 1} em uma régua especial:

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Relembrando a aula anterior, você saberia representar o conjunto dos números naturais (¥) contido nesse intervalo? É fácil!

No conjunto dos números naturais (¥) → E = {0, 1}. E o conjunto dos números inteiros, saberia representá-lo? No conjunto dos números inteiros (¢) → F = {–2, –1, 0, 1}.

Já no conjunto dos números reais (¡) seria impossível situar todos os elementos do conjunto A na régua, mas poderíamos representar alguns elementos desse conjunto, dentre os quais:

G= −2 −14 − − − 9 3 2 1 1 4 0 1 4 1 2 7 ,... ,... ,... ,..., ,... ,..., ,..., ,..., 99,..., 1      .

O conjunto A também pode ser representado da seguinte forma: [–2,1], onde os colchetes voltados para os números indicam um intervalo fechado, ou seja, os números –2 e 1 estão incluídos no conjunto.

(20)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 70 Aula 3 Conjun tos n uméri cos II: núm er os r aci on ais , irr aci on ais e r eais 71 Exemplo (b) {x ∈¡/x ≤ –2 ou x > 1} Vamos chamar este conjunto de B.

Leitura do conjunto B: x pertencente ao conjunto dos números reais, tal que x é menor ou igual a –2 ou x é maior do que 1.

Vamos ver a representação do conjunto B = {x ∈¡/x ≤ –2 ou x > 1} na régua:

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−∞ +∞

Neste caso, teríamos de imaginar uma régua infinitamente grande, pois quando escrevermos x ≤ –2 a reta não vai parar em –10, como está aparecendo na régua; teremos outros números menores, como –11, –12, –1000, –10000, –12678909 etc.

O conjunto B = {x ∈¡/x ≤ –2 ou x > 1} também pode ser representado da seguinte forma: ]-∞ , –2] ∪]1 , +∞[ , onde o colchete voltado para o número significa um intervalo fechado (aqui o número –2 está incluído no conjunto) e os colchetes contrários aos números indicam intervalos abertos. No exemplo, o elemento 1 não faz parte do conjunto.

Os símbolos +∞ (mais infinito) e –∞ (menos infinito) são usados para indicar que o conjunto não tem fim, tanto a parte positiva quanto a negativa. E claro que estes não fazem parte do conjunto, ou seja, ]–∞, 9], [100, +∞[ ou ] –∞, +∞[. Aqui, mais uma vez, é o momento de testar seus conhecimentos. Faça com muita calma e atenção a atividade proposta.

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e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 70 Aula 3 Conjun tos n uméri cos II: núm er os r aci on ais , irr aci on ais e r eais 71

Nesta aula, você aprendeu os conjuntos numéricos que completam os naturais e inteiros. É importante saber que o estudo sobre os conjuntos numéricos, que foi bastante explorado, não se esgotou. No entanto, a maior parte das atividades em agropecuária faz uso dos números reais.

Atende ao Objetivo 5

Atividade

5

Representar na régua um intervalo finito que seja simétrico em relação ao ponto zero, onde os limites estão fora do intervalo.

Depois disso, utilize duas formas matemáticas para representar esse intervalo.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

• O conjunto dos números racionais () é constituído por números inteiros e fracionários (pedaços). Por exemplo: 1 pizza, 1

8 da pizza...

• Toda dízima periódica é um número racional (), porque pode ser representada por uma fração, denominada fração geratriz. Por exemplo: 0,333333... é igual a 1

3.

• O conjunto dos números irracionais ( ) é formado por todos aqueles que não podem ser representados por frações, ou seja, números não racionais. Por exemplo: 17, 3,141592654...

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Informação sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos aprender a trabalhar com frações.

• O conjunto dos números reais (¡) é a união dos racionais () e dos irracionais ( ), ¡ =  ∪ .

• O conjunto dos números reais (¡), assim como todos os outros estudados até aqui, também pode ser representado em uma reta. Como existem infi nitos números reais, por exemplo, entre 0 e 1, utilizamos intervalos para representação dos subconjuntos.

Atividade 1

Observe que os números –2,98654... e 8,01001... não pertencem ao conjunto dos racionais. Por isso não foram representados da régua.

Respostas das Atividades

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 2 10 2

Atividade 2

Para determinar a fração geratriz, basta seguir estes passos:

1º passo: seja D a dízima periódica 0,777777... Observe que o período tem apenas

1 algarismo. Iremos escrever esse número como uma soma de infi nitos números decimais da forma: D = 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + ...

2º passo: multiplicando essa soma “infi nita” por 10 (o período tem 1 algarismo),

obteremos: 10D = 7 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007 + ...

-1 -1

-1

(23)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal 72 Aula 3 Conjun tos n uméri cos II: núm er os r aci on ais , irr aci on ais e r eais 73

3º passo: observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem

em destaque! Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos: 10D – D = 7 ⇒ 9D = 7. Portanto, a fração geratriz é D = 7

9.

Atividade 3

a. 0,010010001000010000010000001... b. 0,1020030004000050000060000007...

c. 0,202200303300404400505500606600707700...

Percebeu que esses números possuem infinitas casas decimais? Com isso, não podem ser naturais e nem inteiros; também não são dízimas periódicas, pois não possuem períodos, ou seja, não são racionais.

Portanto, a resposta é: Nenhuma das alternativas anteriores; todos os números são irracionais.

Atividade 4

a. Os elementos deste conjunto em g: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. b. Os elementos deste conjunto em ¢:

{–10, –9, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

c. Um conjunto com alguns elementos pertencentes ao conjunto dos números reais (¡) tirados da reta: resposta pessoal. Exemplo: − −

    88 9 2 0 1 25 9 , , , ,

Atividade 5

Esta é outra resposta pessoal. Você poderia escolher, por exemplo, um intervalo em que o limite inferior é igual a –3 e o superior é 3.

(24)

e-T ec Br asil – M atemáti ca In strum en tal

74 Sendo assim, existem duas formas para representar matematicamente esse intervalo:

1. ] –3; 3 [

2. { x∈¡/ –3 < x < 3}

Referências bibliográficas

GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, Roberto. Uma nova abordagem. São Paulo: Ed. FTD, 2000, v.1, p.102.

MORI, Iracema e ONAGA, Dulce Satiko. Matemática – Idéias e desafios. São Paulo: Ed. Saraiva, 2006, 5ª série.

PAIVA, Manuel. Matemática. São Paulo: Ed. Moderna, 1997, v.1. Revista Superinteressante, edição 105, Junho de 1996.

Referências

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