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f(x) =e x sin =0. (3.1)

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Academic year: 2021

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Cap´ıtulo 3

etodo da Bisse¸

ao

Na maior parte dos casos a solu¸c˜ao de f (x) = 0 s´o ´e poss´ıvel numericamente, assim, os algoritmos para determina¸c˜ao de ra´ızes devem fazer parte do repert´orio de programa¸c˜ao de qualquer f´ısico computacional. O m´etodo que veremos aqui ´e bem simples e segue o esquema que usar´ıamos se fˆossemos achar essas ra´ızes graficamente. Para entendˆe-lo, vamos considerar as ra´ızes da seguinte equa¸c˜ao transcedental

f (x) = e−x− sinπx 2



= 0. (3.1)

A primeira coisa que devemos fazer ´e uma an´alise qualitativa da fun¸c˜ao na regi˜ao de interesse. Isso pode ser feito de v´arias maneiras, pelo gr´afico da fun¸c˜ao, pela an´alise de pontos especiais tais como pontos de extremos e inflex˜ao ou singulares, pelo comportamento assint´otico ou pela combina¸c˜ao de todas essas informa¸c˜oes.

Esta etapa inicial ´e crucial para o sucesso do m´etodo num´erico. Uma inspe¸c˜ao r´apida do gr´afico da

Figura 3.1: (a) Gr´afico de f (x) = e−x− sin πx 2



. Nesta escala podemos estimar as ra´ızes como estando entre 0.4 e 0.5, e entre 1.9 e 2.0; (b) Amplia¸c˜ao do intervalo 0.2- ≤ x ≤ 0.50. Agora podemos localizar melhor a primeira raiz: ela est´a no intervalo 0.44 ≤ x ≤ 0.46. A amplia¸c˜ao permitiu escrever a raiz com mais um algarismo significativo.

Fig. 3.1.(a) mostra que h´a duas ra´ızes entre 0 e 2.0, uma entre 0.4 e 0.5 e outra entre 1.9 e 2.0. Chegamos a essa conclus˜ao observando que f (x) muda de sinal nesses intervalos, usaremos tamb´em essa observa¸c˜ao no m´etodo num´erico. Para melhorar a estimativa da posi¸c˜ao da raiz, devemos fazer um zoom nesses intervalos. Vamos nos fixar na primeira raiz, entre x = 0.4 e x =0.5. Agora podemos construir o gr´afico com x variando apenas nesse intervalo (Fig. 3.1.(b)). Nossa estimativa melhorou muito, sabemos que a raiz est´a entre x = 0.44 e x = 0.46. Poder´ıamos agora refinar esse intervalo e seguir at´e que estiv´essemos satisfeitos com a acur´acia obtida. Este ´e um m´etodo perfeitamente v´alido e ´util em muitos casos. Entretanto, `as vezes temos uma situa¸c˜ao muito mais complicada e usar o m´etodo gr´afico pode ser invi´avel. O m´etodo da bisse¸c˜ao faz o que fizemos acima de forma sistem´atica, ou seja, localiza a raiz pela mudan¸ca de sinal da fun¸c˜ao e refina o intervalo at´e uma tolerˆancia pr´e-definida. Vamos ver como isso pode ser feito.

(2)

CAP´ITULO 3. M ´ETODO DA BISSEC¸ ˜AO 23 Vamos considerar uma fun¸c˜ao gen´erica f (x). Suponha que sabemos atrav´es de uma an´alise inicial que a raiz est´a entre x = a e x = b, ou seja, a fun¸ao muda de sinal nesse intervalo. Isto significa que f (a)f (b) < 0. Por simplicidade vamos supor que h´a apenas uma raiz no intervalo e que f (x) ´e cont´ınua no intervalo. Definimos agora xe = a e xd = b (extremos esquerdo e direito do intervalo respectivamente), e xm =

0.5(xe+ xd) (ponto do meio do intervalo). A primeira pergunta ´e: Em que metade do intervalo est´a a raiz?

Suponha que esteja na metade direita. Substituimos o intervalo todo pela metade onde est´a a raiz, xe → xm

xd → xd

xm = 0.5 (xe+ xd) (3.2)

e refazemos a pergunta. Depois de determinar em que metade est´a a raiz, novamente o intervalo ´e sub-stiu´ıdo por essa metade. Esse processo continua at´e que encontramos a raiz dentro da acur´acia previamente determinada; o valor da raiz ser´a associado a um dos extremos do intervalo, ou a seu ponto intermedi´ario.

Para determinar o n´umero de vezes que faremos a bisse¸c˜ao, seguimos o caminho inverso, estimando qual a acur´acia que desejamos para o resultado. Sabemos que ao associar a raiz a um xe, xd ou xm estaremos

cometendo um erro da ordem de |xd− xe|. Como cada vez o intervalo ´e dividido por dois, ap´os n bisse¸c˜oes,

o tamanho do intervalo contendo a raiz ser´a (b − a)/2n. Se queremos achar uma raiz dentro de uma acur´acia δ, isto ´e, |x − raiz| < δ, o n´umero de itera¸c˜oes necess´arias pode ser determinado atrav´es da express˜ao

(b − a)

2n < δ (3.3)

Por exemplo, para a fun¸c˜ao que analisamos graficamente a = 0.4 e b = 0.5, (b − a) = 0.1. Para uma raiz com acur´acia δ = 10−5,

0.1 2n < 10 −5 ou 2n> 104, ent˜ao, n > log(10 4) log(2) > 13.

Considera¸c˜oes finais

Este m´etodo sup˜oe que h´a apenas uma raiz no intervalo, por isso ´e importante que uma an´alise pr´evia defina corretamente o intervalo inicial. Este processo de localiza¸c˜ao ´e chamado bracketing. Os erros do m´etodo da bisse¸c˜ao em geral s˜ao erros de bracketing, como os indicados a seguir.

• Uma fun¸c˜ao que pode trocar de sinal num intervalo por causa de uma singularidade, sem que haja uma raiz. Por exemplo, considere a fun¸c˜ao tg(x) nas vizinhan¸cas de x = π/2 (Figura 3.2(a)).

• O zero pode ser tamb´em um ponto de extremo, como na figura 3.2(b). Neste caso, o m´etodo indicaria ausˆencia de raiz no intervalo.

• Caso o intervalo contenha mais de uma raiz, o m´etodo indica inicialmente que h´a apenas uma, para um n´umero ´ımpar de raizes, como na Fig. 3.2(c), ou que n˜ao h´a raizes, para um n´umero par delas.

3.1

Exerc´ıcios

1. Use o m´etodo da bisse¸c˜ao para encontrar as ra´ızes de f (x) = tanh(ax)−a para a = 1.05, 1.1, 1.2, 1.5, 2.0 e 3.0, e x entre -1.0 e 1.0, com acur´acia de 10−5. Fa¸ca o gr´afico da raiz positiva em fun¸ao de a.

2. Neste problema vocˆe vai aprender a construir a isoterma de equil´ıbrio para a transi¸c˜ao l´ıquido-vapor de um g´as de van der Waals.

A isotermaaobservada experimentalmente para essa transi¸ao tem a aparˆencia da curva na Fig. 3.3(a)b.

Partindo da fase vapor, comprimimos o g´as a T constante. `A medida que o volume diminui, a press˜ao

aCurva press˜ao P versus volume V , para temperatura T constante.

bOs gr´aficos da Fig. 3.3 est˜ao constru´ıdos em termos de grandezas adimensionais, definidas em fun¸ao de seu ponto cr´ıtico

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Figura 3.2: Alguns problemas que podem ocorrer com a localiza¸c˜ao equivocada do intervalo inicial: (a) A fun¸c˜ao tem uma singularidade, n˜ao um zero no intervalo especificado; (b) A fun¸c˜ao tem um zero que ´e tamb´em um extremo; (c) A fun¸c˜ao tem mais de um zero no intervalo.

aumenta, e o reservat´orio t´ermico recebe uma quantidade de calor equivalente ao trabalho de com-press˜ao realizado. Quando o volume Vv ´e atingido, a subseq¨uente diminui¸c˜ao de volume n˜ao mais

provoca um aumento de press˜ao, mas faz com que uma parte do vapor torne-se l´ıquido. A passagem de uma certa quantidade de massa de vapor para l´ıquido libera calor latente ao reservat´orio t´ermico. En-quanto diminuimos o volume nessa regi˜ao de coexistˆencia com press˜ap Pcoexconstante, vapor torna-se

l´ıquido, at´e que o volume Vl´e atingido. Nesse ponto, o recipiente cont´em apenas l´ıquido. A diminui¸c˜ao

do volume a partir da´ı torna-se muito dificil, j´a que a compressibilidade do l´ıquido ´e bem menor que a do vapor, resultando numa maior inclina¸c˜ao da isoterma. Em sua tese de doutorado, em 1873, van

Figura 3.3: (a) Isoterma observada na transi¸c˜ao l´ıquido-vapor. (b) Isoterma de van der Waals. (c) Isoterma de van der Waals com a constru¸c˜ao de Maxwell.

der Waalsc propˆos um modelo para essa transi¸c˜ao, incorporando a existˆencia de um volume m´ınimo j´a prevista por Clausius, e uma intera¸c˜ao atrativa entre as mol´eculas, `a equa¸c˜ao de estado do g´as ideal [6]. O resultado ´e a conhecida equa¸c˜ao de estado de van der Waals, que tem a forma

P = nRT

V − nban2

V2, (3.4)

onde n ´e o n´umero de moles, a ´e uma medida da atra¸c˜ao entre as mol´eculas, e nb do volume m´ınimo. Esta equa¸c˜ao pode ser escrita numa forma adimensional, em fun¸c˜ao das vari´aveis reduzidas ˜P = 27b2P/a, ˜T = 27bRT /8a e ˜V = V /3nb como

˜ P = 8 ˜T 3 ˜V − 1 − 3 ˜ V2. (3.5)

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CAP´ITULO 3. M ´ETODO DA BISSEC¸ ˜AO 25 O gr´afico de (3.5), para ˜T = 0.9, pode ser visto na Fig. 3.3(b). A regi˜ao de coexistˆencia, com press˜ao constante, n˜ao aparece nessa isoterma, e isso ´e um problema. A solu¸c˜ao desse impasse foi proposta por Maxwell alguns anos depois, e consiste em incorporar ao modelo de van der Waals a equivalˆencia de estabilidade entre as fases vapor e l´ıquido para um dado valor de press˜ao. Detalhes de como ´e feito esse c´alculo foge dos objetivos destas notas, mas podem ser vistos em qualquer livro de termodinˆamica no n´ıvel de gradua¸c˜ao [6, 7]. A condi¸c˜ao de Maxwell pode ser expressa matematicamente pela igualdade das ´areas compreendidas entre a isoterma de van der Waals, e a linha P = Pcoex. Em outras palavras,

a press˜ao de coexistˆencia deve ser tal que limita duas ´areas de igual valor. Diz-se ent˜ao que a isoterma de equil´ıbrio (ou seja, a que ser´a observada), ´e aquela obtida pela substitui¸c˜ao da parte central da curva de van der Waals pela reta P = Pcoex. van der Waals ganhou o prˆemio Nobel de f´ısica em 1910

por sua teoria.

A determina¸c˜ao de Pcoex s´o pode ser feita numericamente, use o m´etodo da bisse¸c˜ao, e a constru¸c˜ao

das ´areas iguais para encontrar seu valor, seguindo os passos abaixo.

(a) Escreva o c´odigo de um programa que construa uma tabela de press˜ao em fun¸c˜ao do volume (usando as vari´aveis reduzidas) a partir da equa¸c˜ao (3.5) para ˜V entre 0.6 e 2.0, para ˜T = 1.1, 1.0, 0.95 e 0.90. Use Gnuplot para tra¸car as quatro isotermas num mesmo gr´afico.

(b) Para a isoterma com ˜T = 0.90, use o m´etodo da bisse¸c˜ao para localizar os pontos de interse¸c˜ao da isoterma com a linha ˜P = P0, onde P0´e um valor qualquer na regi˜ao entre os pontos de extremo.

Ou seja, encontre os zeros de f ( ˜V ) = ˜P ( ˜V ) − P0, com ˜P ( ˜V ) dada pela express˜ao (3.5). Identifique

os valores que seriam de Vl e Vv se P0 fosse a press˜ao de coexistˆencia.

(c) Mostre que, de acordo com a nota¸c˜ao da Fig. 3.3, a diferen¸ca entre as ´areas pode ser escrita como ∆A = A1− A2= P0(Vv− Vl) + 8T 3 ln 3V l− 1 3Vv− 1  + 3 1 Vl − 1 Vv  . (3.6)

(d) Verifique se o valor de P0 foi estimado corretamente usando a constru¸c˜ao de Maxwell, ou seja,

verificando o valor de ∆A. Se ∆A < 0, A1< A2, ou seja, P0< Pcoex (Fig 3.4(a)). E o oposto se

∆A > 0 (Fig. 3.4(b)). A condi¸ao ∆A = 0 dificilmente ser´a satisfeita, mas podemos garantir que as ´areas s˜ao iguais dentro de uma faixa de erro. Considere que as ´areas s˜ao iguais se

A1− A2 A1 ≤ 10−2. A1 A2 P (b) (a) A2 A1

Figura 3.4: Isoterma do g´as de van der Waals para ˜T = 0.90 com estimatima de press˜ao de coexistˆencia. (a) Pcoexfoi subestimada, e ∆A = A1− A2< 0. (b)Pcoex foi superestimada, e ∆A = A1− A2> 0.

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Bibliografia

[1] Intel Coprporation. IA-32 Intel Architecture Software Developer s Manual.

http://support.intel.com/design/Pentium4/documentation.htm, 2004.

[2] Winn L. Rosch. The Winn L. Rosch Hardware Bible (6th Edition). Que, 2003. [3] http://computer.howstuffworks.com/computer-memory.htm.

[4] http://arstechnica.com/paedia/r/ram guide/ram guide.part1-1.html. [5] H. Moys´es Nussenzveig. Curso de F´ısica B´asica 2. Edgard Blucher, 1983. [6] Kittel e Kroemer. Thermal Physics. W.H. Freeman and Company, 1980. [7] S. R. A. Salinas. Introdu¸c˜ao `a F´ısica Estat´ıstica. Edusp, 1997.

Referências

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