Resumo --Este trabalho apresenta um processo automático de identificação de impressões digitais usando mapa de coeficientes no espectro de potência baseado no filtro de Gabor. O núcleo da impressão digital é encontrado pela técnica de vizinhança de pixels. A imagem original é dividida em quadrantes em torno do núcleo da impressão digital. De tais quadrantes são extraídas informações sobre orientação de textura das imagens em 3 diferentes direções do filtro de Gabor. Os resultados experimentais mostram a eficiência da metodologia para imagens de impressões digitais de boa qualidade.
Palavras chave—Biometria, datiloscopia, filtro de Gabor, impressões digitais, processamento de imagens digitais.
I. INTRODUÇÃO
Biometria é a tecnologia que estuda a identificação de pessoas baseada em características individuais. Tais atributos podem ser fisiológicos, como íris, face, geometria das mãos, ou comportamental, como voz e assinatura. Cientificamente, a Biometria pode ser definida como uma aplicação de métodos quantitativos e estatísticos, suportada por fatores biológicos e análise matemática destes dados.
Teoricamente, qualquer característica humana, quer seja fisiológica ou comportamental pode ser usada como uma identificação pessoal quando satisfaz os requisitos de universalidade, unicidade, imutabilidade e coletabilidade. Universalidade significa que todo indivíduo deve ter a característica em estudo, por exemplo, todos os humanos têm impressões digitais. Unicidade quer dizer que não existem dois indivíduos com o mesmo padrão. Imutabilidade significa que a característica não muda com o tempo. Coletabilidade indica que a característica pode ser mensurada.
Sistemas de identificação são importantes para uma série de transações diárias no mundo contemporâneo, por exemplo, os controles de acessos a ambientes ou uso de máquinas específicas. A principal vantagem da Biometria baseada nas características fisiológicas é que esta não pode ser falsificada facilmente, nem esquecida, como senhas. Ainda força o
Este trabalho foi em parte financiado pela FAPERJ.
S. L. Gonzaga de O. é doutorando no Instituto de Computação da Universidade Federal Fluminense, Rua Passo da Pátria, 156, Bl. E, 24210-240, Niterói, RJ (sgonzaga@ic.uff.br).
J. T. de Assis é doutor pesquisador trabalhando no Instituto Politécnico da Universidade Estadual do Rio de Janeiro, Rua Alberto Rangel, s/n, 28630-050, Nova Friburgo, RJ, (joaquim@iprj.uerj.br).
indivíduo a estar fisicamente presente no local de identificação, diminuindo ou eliminando problemas de fraudes. Na prática, outros importantes requisitos são desempenho, aceitabilidade e circunvenção [1]. Desempenho refere-se à correta identificação, isto é, está ligado aos recursos para se alcançar uma identificação aceitável e precisa. Este item também está ligado aos fatores ambientais que afetam a correta identificação. Aceitabilidade indica o nível de aceitação do sistema biométrico. Circunvenção refere-se à dificuldade de se fraudar o sistema.
Este trabalho é organizado da seguinte forma. Após esta breve introdução à Biometria, a Seção 2 faz uma breve introdução sobre impressões digitais, a Seção 3 aborda o filtro de Gabor, a Seção 4 relata a metodologia utilizada, a Seção 5 reporta o desenvolvimento do algoritmo, a Seção 6 apresenta os resultados experimentais e a Seção 7 explana algumas conclusões.
II. IMPRESSÕESDIGITAIS
A identificação por impressões digitais é uma das mais conhecidas e usadas das tecnologias biométricas. Esta Biometria atende em alto grau todos os requisitos necessários para a identificação pessoal. O recente progresso na tecnologia de aquisição de imagens de impressões digitais e a melhoria na capacidade computacional de processamento auxiliam na escolha por esta Biometria.
As linhas e vales da pele das falangetas de cada dedo humano representam a textura das impressões digitais. As principais minúcias de Galton são as terminações e as bifurcações [1]. As terminações são as finalizações de linhas e as bifurcações ocorrem quando a linha se divide em duas ou mais linhas. Todas as demais minúcias derivam destas duas. As estruturas topológicas das linhas e vales e as minúcias de Galton formam um padrão único para cada dedo humano. Peritos em impressões digitais consideram e tratam estes padrões utilizando uma classificação especial. Este trabalho usa a classificação formalizada por Vucetich: arco, verticilo, presilha interna e externa [2]. As Figuras 1-4 mostram exemplos dos principais tipos de impressões digitais segundo a classificação adotada.
A localização das minúcias é uma tarefa bastante complexa, mesmo se as informações das direções das linhas e as distâncias entre elas estejam preservadas, logo, é preciso um processo, neste caso com o uso de um filtro, para colaborar com a realização da identificação, como descrito a seguir.
Uma
Metodologia de Identificação de Imagens
de
Impressões Digitais pelo Filtro de Gabor
Sanderson L. Gonzaga de Oliveira e Joaquim Teixeira de Assis
Fig. 1. Impressão digital tipo arco
Fig. 2. Impressão digital tipo verticilo
Fig. 3. Impressão digital tipo presilha externa
Fig. 4. Impressão digital tipo presilha interna
III. FILTRO DEGABOR
O filtro de Gabor fornece informações sobre as texturas das imagens de impressões digitais com a utilização de ângulos direcionais adequados, bem como espessura das linhas e vales das impressões digitais. Tais informações são únicas para cada imagem e são tratadas neste trabalho no domínio das freqüências. O filtro foi desenvolvido por Dennis Gabor em 1946 [3]. O filtro tem sido aplicado com sucesso na segmentação de imagens, reconhecimento de faces, reconhecimento de assinaturas, melhoria e identificação de impressões digitais. Isto devido às suas características, especialmente as representações de freqüência e orientação, que são similares ao do sistema visual humano [4]. Além disso, o filtro tem propriedades de localização espacial, orientação seletiva e seletividade espaço-freqüêncial [5].
A filtragem de imagens de impressões digitais usando o filtro de Gabor pode melhorar as estruturas das linhas e vales. O filtro também pode isolar as informações peculiares das impressões digitais, contidas nos padrões das imagens.
A forma geral do filtro de Gabor é apresentada em (1) [6]. ] 2 2 [ ) ( 2 2 2 2 2
)
,
,
,
,
(
x y y x x jke
k
y
x
h
σ σ π θ θ θσ
θ
=
− + (1)onde
j
=
−
1
,xθ = cosx θk+ysenθkeyθ =−ysenθk+xcosθk,sendo x,y as coordenadas espaciais da imagem e k a freqüência da onda no plano senoidal. Usando um valor muito grande para esta freqüência, ruídos podem ser criados na imagem filtrada; se for muito pequeno, as linhas podem ser entrelaçadas. Este trabalho usa k = 1 / K = 0,5, onde K é a média da largura dos vales e estabelecido empiricamente.
A distribuição Gaussiana bidimensional é proporcional ao desvio padrão σ e determina a faixa do canal usado [5]. O filtro de Gabor é um filtro passa-faixa que possui ótima resolução nos domínios espacial e espaço-freqüêncial [7]. Como as impressões digitais possuem linhas e vales localmente paralelos, com uma orientação local espaço-freqüêncial bem definida, ruídos podem ser reduzidos, devido ao efeito resultante no plano senoidal. A orientação do filtro é dada porθ= 0, 45 e 90 graus.
O desvio padrão da distribuição Gaussiana bidimensional, representado porσ, é relacionado com a largura da Gaussiana que modula o filtro. Se este é muito grande, o filtro é mais robusto a ruídos, mas não captura os detalhes das linhas. Se for muito pequeno o filtro não remove ruídos, mas captura os detalhes das linhas. Neste trabalho, é empiricamente usado comoσ=σx=σy= 0,5.
IV. METODOLOGIA
Este trabalho propõe uma metodologia baseada no filtro de Gabor usando três ângulos direcionais do filtro e divide a imagem em quadrantes. Primeiramente, é realizado um pré-processamento da imagem, seguido da localização do núcleo da impressão digital. O núcleo é o centro de referência da impressão digital. Uma área é definida em torno deste ponto central para o processo ser invariante em relação a translações
e rotações das imagens de impressões digitais a serem comparadas.
Para obtenção do filtro de Gabor, foi utilizada a máscara
15≤x,y≤15, ou seja, uma matriz de 31x31 elementos, calculada
pela equação (1). Esta matriz é colocada no centro de uma imagem de mesma resolução da imagem de impressão digital a ser avaliada. A seguir, é determinado o espectro de freqüência da imagem que contém o filtro, isto para cada um dos três ângulos direcionais do filtro de Gabor anteriormente descritos (0, 45 e 90 graus). Estas três imagens no espectro de freqüências são convoluídas com os quadrantes da imagem de impressão digital de entrada.
Filtros por convolução são muito utilizados em processamento de imagens. O conceito de filtragem por convolução é aplicado no domínio de freqüência, usando-se os conceitos da Transformada de Fourier. A operação de aplicar uma máscara pixel a pixel sobre uma imagem e calcular a quantidade predefinida em cada pixel, é o fundamento da convolução. Supondo que F(u,v) e H(u,v) denotem as transformadas de Fourier de f(x,y) e h(x,y), respectivamente, o teorema da convolução diz que f(x,y) * h(x,y) e F(u,v)H(u,v) (esta permite que a convolução seja realizada mais rapidamente) constituem um par de transformadas de Fourier. Isto é formalmente escrito como [8]
)
,
(
)
,
(
)
,
(
*
)
,
(
x
y
h
x
y
F
u
v
H
u
v
f
⇔
(2)O espectro de Gabor é obtido ao convoluir as imagens no espectro de freqüência. A convolução da imagem de entrada e o filtro é realizada nos quadrantes em torno do núcleo. Em seguida, o espectro de potência é calculado. O maior coeficiente e um mapa de coeficientes em torno deste maior coeficiente são encontrados no espectro de potência. Isto é realizado para cada quadrante nas direções 0o, 45o e 90o do filtro de Gabor. O processo fornece 12 valores que identificam cada imagem de impressão digital. A Figura 5 mostra um exemplo de imagem de impressão digital dividida em quadrantes em torno do núcleo, indicado na imagem.
Fig. 5. Imagem dividida em quadrantes em torno do núcleo
Os testes foram realizados em imagens de impressões digitais capturadas pelo método por tinta, imagens sintéticas e de banco de dados formados de imagens digitalizadas por equipamentos específicos.
Duas imagens são consideradas de uma mesma origem se a comparação de todos os identificadores de ambas as imagens têm uma taxa de erro menor que 5%. As comparações são realizadas entre os identificadores das imagens, tais quais os exemplificados na Tabela I, pela fórmula (3), avaliando o erro relativo.
100
*
I
I
I
2 2 1−
(3) onde I1 = Identificador[Imagem1(Quadrante/Ângulo)] e I2 = Identificador[Imagem2(Quadrante/Ângulo)]. A comparação usa a fórmula (3) para cada um dos 12 identificadores (quadrante/ângulo) da imagem de impressão digital.TABELAI
VALORES QUE IDENTIFICAM A IMAGEMPAD1DA FIGURA1 Quadrantes Imagem Ângulo 1 2 3 4 0o 3,16 3,1 3,17 3,08 45o 3,64 3,57 3,66 3,56 PAD1 90O 3,23 3,23 3,29 3,28
Quatro tipos de testes são descritos. Primeiramente, os quatro principais tipos de impressões digitais, como mostrado nas Figuras 1-4, foram comparados entre si. Testes também foram realizados em diferentes imagens de uma mesma impressão digital. É apresentada a influência da rotação em imagens de impressões digitais. Finalmente, são considerados testes gerais entre impressões digitais distintas para a verificação se o método diferencia tais imagens.
V. DESENVOLVIMENTO DO ALGORITMO
Para a localização do núcleo das impressões digitais, o algoritmo desenvolvido neste trabalho explora a técnica de vizinhança de pixels [8], isto é, as linhas e vales são seguidos para a verificação das características do núcleo. A rotina para encontrar o núcleo da impressão digital trata um valor limite entre as linhas e vales através dos níveis de cinza da imagem. Este valor é encontrado empiricamente e é bastante próximo à média dos tons de cinza da imagem. A rotina procura seqüencialmente a área onde, provavelmente, o núcleo deve estar localizado. Isto independe da resolução espacial, já que a procura é em nível de pixels. Para cada terminação encontrada, é verificado se está interna a círculos concêntricos de linhas. Quando a terminação está envolta em círculos concêntricos, esta é determinada como um núcleo. Podem ocorrer dois núcleos próximos, se a imagem tiver dois núcleos. A inclinação da linha da terminação, à esquerda ou à direita determina se a impressão digital é presilha interna ou externa.
Quando o núcleo não é uma terminação, como a imagem de impressão digital da Figura 1, uma nova procura é feita, desta vez verificando pelos vales, da mesma forma que o efetuado para as linhas, se o núcleo não for encontrado, o algoritmo determina a imagem como do tipo arco.
A identificação da impressão digital é considerada através da análise do espectro de Gabor, isto é, a convolução do filtro de Gabor e a imagem de entrada. No espectro de potência, o valor de máximo é localizado e os coeficientes em torno deste são sumarizados. Isto é realizado para cada quadrante e cada um dos ângulos de 0o, 45o e 90o do filtro de Gabor, o que resulta em 12 valores que identificam unicamente a imagem. Um exemplo destes 12 valores é mostrado na Tabela I.
Cada imagem de impressão digital a ser avaliada terá estes 12 valores que a identificam. Ao se comparar com outra imagem, se o erro de comparação dos 12 valores entre as duas imagens for menor que 5%, as imagens são considerados oriundos da mesma impressão digital.
O algoritmo proposto neste trabalho contém nove passos: 1) Localização do núcleo da imagem de impressão digital; 2) Determinação de uma área relevante considerando somente a área com impressões digitais em torno do núcleo (as áreas brancas não são tratadas);
3) A área com informações da impressão digital do passo 2 é dividida em quadrantes (conforme Figura 5);
4) É utilizada a janela espacial do filtro de Gabor
h(-15≤x,y≤15;σ=0,5; k=0,5) para as orientações 0o, 45oe 90oe realizado a convolução no domínio das freqüências com cada quadrante da imagem de impressão digital;
5) O espectro de potência é obtido para cada convolução do passo 4;
6) O elemento de máximo é determinado para cada espectro de potência;
7) Uma área, chamada mapa de coeficientes, é definida (com um raio de 40 coeficientes) em torno do número de máximo;
8) A sumarização destes coeficientes é realizada;
9) O ponto de máximo divide o resultado do passo 8; o resultado é um dos 12 valores que identificam a imagem (3 ângulos para cada quadrante como o exemplo da Tabela I).
No item 7 foi determinado empiricamente um raio de 40 coeficientes a partir do ponto de máximo para o mapa de coeficientes. Esse número poderia ser maior para uma melhor precisão. No entanto, nos testes foi verificado que esse número atendeu aos objetivos buscados. A área da borda da imagem é ignorada, porque inconsistências aglomeram-se nessa área. Os resultados experimentais demonstram que três ângulos direcionais do filtro de Gabor são suficientes para identificar corretamente as imagens de impressões digitais, segundos os testes realizados.
VI. RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Foi utilizada a linguagem computacional C++ para a codificação do processo. Os testes foram realizados em uma máquina Pentium 3 com 256 Mb de RAM executando sobre o sistema operacional Windows 98. As imagens de entrada dos testes foram de 256 níveis de cinza no formato BMP.
Os testes realizados foram de quatro tipos: comparação entre as imagens padrão (Figuras. 1-4), comparação entre as imagens padrão e outras, comparação entre imagens
rotacionadas e finalmente, comparação aleatória entre imagens. As imagens dos testes foram de 256 e 512 escalas de cinza.
As imagens das impressões digitais padrões das Figuras 1-4 são de diferentes tipos e denominadas PAD1, PAD2, PAD3 e PAD4, respectivamente. Estas impressões digitais sintéticas têm mesma resolução, contraste e iluminação.
A Tabela II mostra os erros na comparação entre os identificadores das imagens padrões (Figuras 1-4). Pode ser percebido nesta tabela que o erro relativo entre as imagens PAD1 e PAD2 é maior que 6% no quarto quadrante. Comparando as imagens PAD1 e PAD3, o erro relativo é maior que 12% no primeiro quadrante. O erro relativo é maior que 17% no segundo e quarto quadrantes comparando os identificadores das imagens PAD1 e PAD4.
TABELAII
ERRO RELATIVO DOS IDENTIFICADORES DAS IMAGENS DASFIGURAS1-4 Erro/Quadrante (%) Imagens Âng. 1 2 3 4 0o 1,61 4,32 1,28 5,23 45o 2,41 5,80 5,43 6,56 PAD1 e PAD2 90o 2,42 0,94 3,24 1,86 0o 5,39 1,90 3,59 3,01 45o 12,92 9,16 6,87 3,00 PAD1 e PAD3 90o 1,82 0,62 1,79 1,50 0o 7,87 10,92 5,37 11,49 45o 14,75 17,93 12,02 17,78 PAD1 e PAD4 90o 1,22 3,00 0,00 3,24 0o 2,62 9,20 8,66 14,08 45o 2,11 9,66 5,53 15,24 PAD2 e PAD3 90o 0,61 2,40 1,82 1,77 0o 9,33 6,90 11,58 6,61 45o 12,65 12,87 6,97 12,01 PAD2 e PAD4 90o 1,22 3,90 3,34 5,01 0o 7,40 2,47 2,24 8,00 45o 12,06 3,69 1,55 3,67 PAD3 e PAD4 90o 0,60 1,56 1,47 3,42
Comparando os identificadores das imagens PAD2 e PAD3, o erro relativo é maior que 15% no quarto quadrante. A Tabela II mostra um erro relativo maior que 12% no terceiro quadrante na comparação das imagens PAD2 e PAD4. O erro relativo entre os identificadores das imagens PAD3 e PAD4 é maior que 12% no primeiro quadrante. Estes erros relativos são no ângulo direcional de 45º.
A Figura 6 mostra duas imagens diferentes de um mesmo indivíduo e são denominadas de IND1a e IND1b, respectivamente.
A Tabela III mostra que o erro relativo é igual ou menor que 5%, margem de erro máxima tolerada pelo método. A comparação entre as imagens da Figura 7 resulta em um erro relativo superior a 10%. Para o erro relativo ficar menor que a margem de erro permitida neste trabalho de 5%, 6º é a máxima rotação tolerada. A Figura 7 mostra imagens de uma mesma impressão digital rotacionadas em 15º. Estas imagens são
denominadas IND2a e IND2b, respectivamente.
Fig. 6. Duas imagens de um mesmo indivíduo capturadas em momentos diferentes
TABELAIII
ERRO RELATIVO DOS IDENTIFICADORES DAS IMAGENSIND1A-B Erro/Quadrante (%) Imagens Ângulo 1 2 3 4 0o 2,41 0,68 3,87 2,70 45o 3,19 0,94 5,00 3,14 IND1a e IND1b 90o 2,06 0,67 3,23 2,38
Fig. 7. Imagem original (IND2a) e rotacionada em 15o(IND2b)
A Tabela IV mostra alguns outros exemplos dos testes realizados. O ângulo direcional de 45º é o mais sensível às rotações. Geralmente, em imagens capturadas em um digitalizador específico para impressões digitais, não há rotações das imagens maiores que 6º.
TABELAIV
ERRO RELATIVO COM DIFERENTES ROTAÇÕES
Rotação Maior erro (%) Quadrante Ângulo
6o 4,27 4 45o
7o 5,61 4 45o
8o 6,48 4 45o
10o 7,24 3 45o
15o 10,02 4 45o
O método identifica como diferente as imagens IND1b, mostrada na Figura 6 e as imagens padrões PAD1-4 mostradas nas Figuras. 1-4, respectivamente. A comparação entre seus identificadores apresentou erro relativo bastante grande.
Nos testes realizados em diferentes pares de imagens capturadas de mesmos indivíduos, a comparação dos identificadores resultou numa margem de erro menor que 5% em todos os casos. A Figura 8 mostra o percentual máximo de erro quando o método é aplicado para imagens de impressões digitais oriundas de um mesmo indivíduo. Segundos os resultados dos testes experimentais, na maioria das comparações realizadas, as maiores taxas de erros entre os 12 identificadores ficaram com taxa entre 2% e 3%, seguido de taxas entre 1% e 2%. As maiores taxas de erro das demais comparações ficaram distribuídas entre 3% e 5% e taxas menores que 1%.
Fig. 8. Taxa percentual do maior erro entre os 12 identificadores na comparação entre impressões digitais de um mesmo indivíduo
A Figura 9 mostra o percentual de erro quando o método é aplicado para imagens de impressões digitais distintas. Um total de 46 impressões digitais foi utilizado neste teste.
Fig. 9. Taxa percentual de erro entre os 12 identificadores na comparação entre imagens de impressões digitais distintas
VII. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os trabalhos anteriores que utilizam o filtro de Gabor buscam a identificação das impressões por 16 ou 32 ângulos direcionais do filtro. Com os testes realizados verificou-se que o método de identificação pessoal por mapa de pixels, com três direções do filtro de Gabor e divisão da imagem de impressão digital em apenas quadrantes é possível realizar a identificação de indivíduos e o fato de explorar a característica de simetria do filtro forneceu boa velocidade à rotina desenvolvida.
O filtro de Gabor realça informações sobre quantidade de linhas e vales de uma impressão digital, bem como suas orientações e espessuras. Com estas informações, o espectro de potência resultante do método é único para cada impressão digital. O método consegue captar esta individualidade e reconhece imagens diferentes de impressões digitais do mesmo indivíduo, bem como consegue distinguir impressões digitais diferentes.
Se as imagens de impressões digitais, capturadas em momentos diferentes de um mesmo dedo, tiverem mesma resolução, iluminação e contraste, as discrepâncias entre as imagens são diminuídas no espectro de Gabor. Portanto, tais números identificadores serão bastante semelhantes para as imagens de impressões digitais oriundas de um mesmo dedo. E bastante diferentes em imagens capturadas de dedos distintos.
Ao se convoluir a imagem com o filtro de Gabor, o espectro de Gabor resultante é único para cada impressão digital. A determinação do espectro de potência, a localização do maior coeficiente e o mapa de coeficientes são realizados para que ocorram números que identifiquem a impressão digital. Ou seja, é um método para caracterizar o espectro de Gabor. Logo, o mapa de coeficientes no espectro de potência é único para cada imagem. Desta forma, com menor número de ângulos direcionais do filtro de Gabor conseguiu-se resultados satisfatórios nas comparações das impressões digitais.
O método foi testado com imagens transladadas e rotacionadas, ainda com imagens de diferentes indivíduos com as mesmas características na fase de digitalização. Com isto, para que duas imagens de impressões digitais do mesmo indivíduo contenham os mesmos identificadores, a digitalização de ambas as imagens deve ser feita da mesma forma, ou seja, mesma resolução, mesma iluminação e contraste.
O ponto de referência deve ser encontrado com exatidão, pois o método é sensível à variação tanto dos valores de níveis de cinza quanto à localização destes na imagem.
O processo forneceu bons resultados e indica que pode ser explorado em um sistema automático para identificação pessoal quando utilizadas imagens de impressões digitais de boa qualidade. Em trabalhos futuros, o custo computacional do algoritmo será avaliado, bem como o método será analisado de forma mais detalhada através do uso de diferentes conjuntos de imagens.
VIII. REFERÊNCIAS
[1] Jain, A., Hong, L., Pankanti, S., Bolle, R., 1997. An identity-authentication system using fingerprints. Proceedings of the IEEE, v. 85, n. 9, pp. 1365-1388.
[2] Gonzaga, S. L. de O., 2004. Desenvolvimento de um Algoritmo Baseado no Filtro de Gabor para Identificação de Impressões Digitais. 2004. 46 f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional) – Instituto Politécnico, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Nova Friburgo.
[3] Gabor, D., 1946. Theory of communication. Journal of the Institute of Electrical Engineers, v. 93, n. 26, pp. 429-457.
[4] Lee, C. J., Wang, S. D., 1999. Fingerprint feature extraction using Gabor filters. Electronic Letters, v. 35, n. 4, pp. 288-290.
[5] Lee, C. J., Wang, S. D., Wu K. P., 2001. Fingerprint recognition using principal Gabor basis function. In Proceedings International Symposium on Intelligent Multimedia, Video and Speech Processing, 2001, Hong Kong: s.n. pp. 393-396.
[6] Lee, C. J., Wang, S. D., 1999. A Gabor filter-based approach to fingerprint recognition. In Proceedings IEEE Workshop on Signal Processing Systems - SiPS, 1999. pp. 371-378.
[7] Horton, M., Meenen, P., Adhami, R., Cox, P., 2002. The costs and benefits of using complex 2-D Gabor filters in a filter-based fingerprint-matching system. In Proceedings Southeastern Symposium On System Theory, 34, 2002. pp. 171-175.
[8] Gonzalez, R. C., Woods, R. E. 2002. Digital image processing. 2.ed. New Jersey: Prentice Hall.
IX. BIBLIOGRAFIAS
Sanderson L. Gonzaga de Oliveira graduou-se em
Computação na Pontifícia Universidade do Paraná/PUC-PR em 1995 e concluiu o mestrado em Modelagem Computacional na Universidade do Estado do Rio de Janeiro/UERJ em 2002. Atualmente é doutorando em Ciência da Computação na Universidade Federal Fluminense/UFF. Seus interesses de pesquisa são nas áreas de Matemática Computacional e Processamento de Imagens Digitais.
Joaquim Teixeira de Assis recebeu o título de
doutor em Engenharia Nuclear pela Universidade Federal do Rio de Janeiro/UFRJ em 1992. Atualmente é pesquisador e professor na Universidade do Estado do Rio de Janeiro/UERJ em Nova Friburgo, estado do Rio de Janeiro, Brasil. Seus interesses de pesquisa são Processamento de Imagens Digitais, Tomografia e técnicas de raios-X.
