universidade federal do amazonas
instituto de ciências exatas
departamento de física
Manual de Física A
manaus - am
2017
MANUAL DE LABORATÓRIO
Autores: Profa. Marta Gusmão Profa. Simara Seixas Prof. Haroldo Guerreiro Prof. Marcelo Brito Prof. Marcílio de Freitas Prof. Waltair Machado Prof. Walter Castro Jr. Profa. Gláucia de Oliveira Prof. Heyrton Bessa
1
aEDIÇÃO
2017
iSumário
1 UNIDADE I 1
1.1 TÍTULO: MEDIDAS FÍSICAS . . . 1
1.2 OBJETIVOS . . . 1
1.3 TEORIA: Ver apêndice A . . . 1
1.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 1
1.4.1 EXPERIMENTO 1 . . . 2
1.4.2 EXPERIMENTO 2 . . . 3
2 UNIDADE II 4 2.1 TÍTULO: ANÁLISE GRÁFICA DE DADOS . . . 4
2.2 OBJETIVO . . . 4
2.3 TEORIA: Ver apêndice B. . . 4
2.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 4
2.4.1 EXPERIMENTO 1 . . . 5
2.4.2 EXPERIMENTO 2 . . . 6
3 UNIDADE III 8
3.1 TÍTULO: QUEDA LIVRE . . . 8
3.2 OBJETIVO . . . 8
3.3 TEORIA . . . 8
3.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 9
4 UNIDADE IV 12 4.1 TÍTULO : LEIS DE NEWTON . . . 12
4.2 OBJETIVO . . . 12
4.3 TEORIA . . . 12
4.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 14
4.4.1 EXPERIMENTO . . . 14
5 UNIDADE V 17 5.1 TÍTULO: OSCILAÇÕES FORÇADAS . . . 17
5.2 OBJETIVO . . . 17
5.3 TEORIA . . . 17
5.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 18
6 UNIDADE VI 20 6.1 TÍTULO: PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES . . . 20
6.2 OBJETIVO . . . 20
6.3 TEORIA . . . 20
6.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 21
7 UNIDADE VII 23 7.1 TÍTULO : DILATAÇÃO TÉRMICA . . . 23
7.2 OBJETIVO . . . 23
7.3 TEORIA . . . 23
7.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 24
8 UNIDADE VIII 26 8.1 TÍTULO : TROCA DE CALOR . . . 26
8.2 OBJETIVO . . . 26 8.3 TEORIA . . . 26 8.4 PARTE EXPERIMENTAL . . . 27 8.4.1 EXPERIMENTO 1 . . . 27 8.4.2 EXPERIMENTO 2 . . . 29 9 Apêndice A 30 9.1 ERROS, DESVIOS E INCERTEZAS . . . 30
9.2 INTRODUÇÃO . . . 30 9.3 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS . . . 30 9.4 ERROS E DESVIOS . . . 32 9.5 INCERTEZAS . . . 35 9.5.1 INCERTEZA ABSOLUTA . . . 35 9.5.2 INCERTEZA RELATIVA . . . 36
9.6 PROPAGAÇÃO DAS INCERTEZAS . . . 36
9.6.1 ERROS ACIDENTAIS . . . 42
10 Apêndice B 44 10.1 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS I . . . 44
10.2 OBJETIVO . . . 44 10.3 INTRODUÇÃO . . . 44 10.4 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS . . . 45 11 Apêndice C 54 11.1 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS II . . . 54 11.2 OBJETIVO . . . 54 11.3 INTRODUÇÃO . . . 54 12 Apêndice D 61 12.1 TÍTULO: INFORMAÇÕES GERAIS . . . 61
12.2 INTRODUÇÃO . . . 61
12.3 OBJETIVOS . . . 62
12.4 ESTRUTURA E FUNCIONAMENTO DO CURSO . . . 62
12.5 O RELATÓRIO . . . 62
UNIDADE
1
UNIDADE I
1.1 TÍTULO: MEDIDAS FÍSICAS
1.2 OBJETIVOS
Aprender a medir grandezas corretamente, usando instrumentos de medidas e a formulação matemática adequada para os erros cometidos.
1.3 TEORIA: Ver apêndice A
1.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO • 1 esfera de aço • 1 régua milimetrada • 1 paquímetro •1 micrômetro •1 balança 1UNIDADE 1. UNIDADE I 2
Figura 1.1: Régua, paquímetro e micrômetro.
1.4.1 EXPERIMENTO 1
OBJETIVOMedir o volume de uma esfera.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Usando a régua milimetrada, meça o diâmetro D da esfera. 2. Repita o procedimento anterior, utilizando o paquímetro. 3. Repita mais uma vez a medida, utilizando agora o micrômetro. TRATAMENTO DE DADOS
1. Calcule o raio (r ± ∆r) e o volume (V ± ∆V ) da esfera para cada uma das medidas. Dado: V = 4
3πr
3.
2. Disponha seus resultados numa tabela, conforme o modelo abaixo:
Instrumento (D ± ∆D) (r ± ∆r) (V ± ∆V ) régua
paquímetro micrômetro
UNIDADE 1. UNIDADE I 3 QUESTÃO
Com quantos algarismos signi cativos estão expressos os valores do volume da esfera, para cada instrumento?
1.4.2 EXPERIMENTO 2
OBJETIVODeterminar a densidade do aço. TRATAMENTO DE DADOS
1. Meça a massa da esfera.
2. Com os dados calculados no experimento anterior, calcule o valor da densidadeρ = m V
correspondente a cada um dos volumes determinados. QUESTÃO
Compare o valor da densidade obtido com o valor tabelado e faça comentários1.
UNIDADE
2
UNIDADE II
2.1 TÍTULO: ANÁLISE GRÁFICA DE DADOS
2.2 OBJETIVO
Determinar leis e grandezas físicas a partir da análise de grá cos de dados experimentais.
2.3 TEORIA: Ver apêndice B.
2.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO • 1 mola de 9 mm de diâmetro • 1 porta-peso de 10 g • 5 massas de 50 g • 1 suporte• 1 cilindro com furo • 1 barbante
• 1 régua milimetrada
UNIDADE 2. UNIDADE II 5
Figura 2.1: Sistema massa mola.
2.4.1 EXPERIMENTO 1
OBJETIVODeterminar a constante elástica a partir da análise de grá cos de dados experimentais. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Prenda uma mola no suporte, com o porta peso.
2. Escolha um ponto de referência (a base do porta-peso, por exemplo) e anote sua posição na régua vertical.
3. Coloque no porta-peso, uma a uma, 5 massas de 50 g, anotando cada uma das novas posições.1
1Este procedimento pode ser feito com outros tipos de mola, por exemplo a de diâmetro igual a 31, no
UNIDADE 2. UNIDADE II 6 TRATAMENTO DE DADOS
1. Construa uma tabela contendo os valores da força (F ± ∆F ) responsável pela elongação da mola e sua respectiva distensão (y ± ∆y). Considere g = (9, 8 ± 0, 2) m/s2, ∆m = 1
g e ∆y = 2 mm. Use o Sistema Internacional de Unidades.
2. Trace um grá co, em papel milimetrado, de F = f (y) e determine a inclinação da reta encontrada.
Obs: Leia atentamente como se constroi grá cos, usando papel milimetrado no apêndice B.
QUESTÕES
1. Se você denominar k a inclinação da reta, que equação exprime a função F = f (y)? 2. Que enunciado você poderia dar à lei expressa por essa função ?
2.4.2 EXPERIMENTO 2
OBJETIVODeterminar a aceleração da gravidade g, através do pêndulo simples. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Utilizando o cilindro com furo, construa um pêndulo de comprimento ` = 400 mm. Fazendo-o oscilar com pequena amplitude, cronometre o tempo t de 10 oscilações.
Importante: Embora o pêndulo simples seja ideal, esta montagem funciona com uma razoável aproximação.
UNIDADE 2. UNIDADE II 7 TRATAMENTO DE DADOS
1. Calcule o período T do pêndulo para cada valor de `. Lembre-se que o período é o tempo de uma oscilação completa.
2. Tabele seus resultados (comprimento e período), usando o Sistema Intenacional de Unidades.
3. Construa um grá co, em papel milimetrado, de T = f (`), grá co 1.
4. Construa um grá co, em papel milimetrado, de T2 = f (`), grá co 2. Determine a
inclinação da reta obtida.
5. Como o período simples é dado por T = 2πr `
g (logo o valor da inclinação da reta encontrada correnponde a 4π2
g , determine o valor da aceleração da gravidade g. QUESTÕES
1. Que tipo de curva você obteve no grá co 1.
UNIDADE
3
UNIDADE III
3.1 TÍTULO: QUEDA LIVRE
3.2 OBJETIVO
Uma esfera cai livremente de distâncias pré-determinadas. Seu tempo de queda é medido e tabelado. A partir destes resultados, tem-se como objetivo determinar a aceleração da gravidade.
3.3 TEORIA
Se um corpo de massa m é acelarado a partir de seu estado de repouso num campo gravita-cional constante (força gravitagravita-cional = m~g), este executa movimento retilíneo uniformemente acelerado.
Através da utilização do sistema de coordenadas, tal que, o eixo y indique a direção do movimento (altura), e resolvendo sua equação unidimensional,
md
2y (t)
dt2 = mg,
UNIDADE 3. UNIDADE III 9 com as seguintes condições iniciais,
y (0) = 0, vy =
dy (0) dt = 0,
obtemos a relação entre altura e tempo dada pela equação abaixo,
y (t) = 1 2gt 2. (3.1)
3.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO • 1 esfera de D'19mm • 1 cronômetro digital • 1 suporte de base • 2 grampos duplos • 1 haste de suporte • 1 régua milimetrada • 1 xador de esfera • 2 cordões de conexão de 750 mm • 2 cordas de conexão de 1500 mm • 1 prato interruptor A montagem é mostrada na Fig.3.1. O prato interruptor é usado para interromper a contagem do cronômetro que mede o tempo de queda da esfera em poucos décimos de um milímetro. O prato deve ser levantado manualmente depois de cada medida.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1. Use a montagem mostrada na Fig.3.1.
2. Coloque a esfera no prato em sua posição levantada, e xe a posição inicial no centro da esfera.
3. Coloque o xador de esfera em uma outra posição (por exemplo 100 mm a partir da posição inicial). Anote esta posição.
UNIDADE 3. UNIDADE III 10
Figura 3.1: Montagem para queda livre.
4. Prenda a esfera no xador, tomando o cuidado de xá-la centralmente. Libere a esfera e anote o tempo de queda. Faça esta medida três vezes e tire a média1.
5. Repita o item 3 para as seguintes alturas: 150, 200, 250, 300, 350 e 400 mm. TRATAMENTO DE DADOS
1. Construa uma tabela com os seus resultados (tempo e altura) no Sistema Internacional. 2. Através de um programa grá co, construa y = f (t).
3. Construa em escala logarítmica: y = f (t) .
4. Use a regressão linear e obtenha a função espaço×tempo. 2
5. Veri que se a função obtida coincide com a função esperada teoricamente, veja a Eq.(3.1), e a partir desta obtenha um valor para g.
1Para obter esse intervalo, use o TIMER da função, com o 2o comando do TRIGGER no cronômetro
digital.
2A regressão linear é somente um artifício para obter a tangente da reta e o valor que a mesma corta o
UNIDADE 3. UNIDADE III 11 QUESTÕES
1. Compare o valor da aceleração da gravidade obtido nesta experiência com o valor adotado, g = 9, 8 m/s2. Calcule a margem de erro usando porcentagem.
2. Em que circunstância o valor da aceleração da gravidade é constante?
UNIDADE
4
UNIDADE IV
4.1 TÍTULO : LEIS DE NEWTON
4.2 OBJETIVO
Usando o trilho de ar, comprovar experimentalmente as Leis de Newton para um movimento unidimensional uniformemente acelerado.
4.3 TEORIA
A equação de movimento de Newton para um ponto material de massa m, na qual é aplicada uma força ~F , é dada por
~ F = m~a, onde ~a = d 2~s dt2 12
UNIDADE 4. UNIDADE IV 13 é a aceleração, ~s o vetor posição e t o tempo.
O vetor velocidade ~v e o vetor posição ~s , obtidos pela aplicação de uma força constante, são dados como função do tempo t pelas seguintes expressões:
~v (t) = F~ mt, ~ s (t) = 1 2 ~ F mt 2,
satisfazendo as condições iniciais ~v (0) = ~s (0) = ~0.
1
1
m
2
m
2Figura 4.1: Mostra o sistema análogo ao estudado nesta experiência.
Para o caso unidimensional particular representado na Fig.4.1, cuja a força é produzida pelo peso de m1, isto é,
~ F = P1 = m1|~g| = m1g,
onde g é a aceleração da gravidade. Se a massa total do bloco 2 é m2, a equação de movimento
é dado por: a(t) = m1g m1 + m2 = F m1+ m2 . (4.1)
UNIDADE 4. UNIDADE IV 14 A velocidade e a posição são dadas por
|~v| = v(t) = m1g m1+ m2 t, (4.2) |~s| = 1 2 m1g m1+ m2 t2. (4.3)
Em nosso experimento a seguir, m1 é a massa do conjunto porta-peso mais massas
adicionais, e m2 é a massa do conjunto planador, anteparo mais massas adicionais. A massa
do conjunto planador + anteparo vale 200 g.
4.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO •1 trilho de ar •1 cronômetro digital •1 compressor de ar •1 polia de precisão •2 barreiras de luz •1 porta-peso de 1g •1 o de seda de 2000 mm • 20 massas de 1 g • 10 massas de 10 g • 2 massas de 50 g • 1 planador • 1 anteparo de 10 mm • 1 anteparo de 100 mm • 6 cordas de conexão A montagem do experimento é como mostra na Fig.4.2. Antes de começar a medir é viável veri car o nivelamento do trilho. O compressor de ar deve estar ligado em seu 5◦volume.
4.4.1 EXPERIMENTO
OBJETIVOUNIDADE 4. UNIDADE IV 15
Figura 4.2: Montagem do experimento para determinação matemática das relações para o movi-mento uniformemente acelerado num trilho de ar.
gravidade.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 1. Coloque uma massa de 10 g no porta-peso.
2. Coloque um anteparo de 10 mm de comprimento no planador. 3. Fixe um ponto inicial, ou seja, s0 = 0 m, v0 = 0 m/s e t0 = 0 s.
4. Fixe outro ponto (por exemplo 200 mm), anote esta distância, e obtenha o tempo que o planador percorre a mesma1. Repita esta medida 3 vezes e tire uma média.
5. Em seguida para o cálculo da velocidade instantânea2, obtenha o tempo de passagem
do anteparo neste ponto. Repita esta medida 3 vezes e tire uma média.
1Para obter esse intervalo, use o TIMER da função, com o 4o
comando do TRIGGER no cronômetro digital.
2Para determinar a velocidade instantânea, é necessário conhecer o período da escuridão do anteparo na
barreira de luz, ∆t. Se ∆S é o comprimento do anteparo então: v (t) ∼=∆S∆t . A aceleração durante o tempo ∆t é negligenciável, se anteparo é muito pequeno (10mm). Para obter esse intervalo, use o TIMER da função, com o 5o
UNIDADE 4. UNIDADE IV 16 6. Repita este procedimento para as distâncias de: 300, 400, 500 e 600 mm.
TRATAMENTO DE DADOS
1. Calcule a velocidade instantânea em cada ponto (com exceção do ponto inicial). 2. Tabele seus resultados (tempo, espaço e velocidade), usando o Sistema Internacional. 3. Através de um programa grá co, construa em escala logarítmica: s = f(t) e v = f(t). 4. Use a regressão linear e obtenha as funções espaço × tempo e velocidade × tempo. 5. Veri que se as funções obtidas coincidem com as funções esperadas teoricamente. 6. Compare sua função obtida para o espaço× tempo com a equação teórica, Eq.(4.3), e
a partir desta obtenha um valor para g.
7. Compare o valor da aceleração da gravidade obtido nesta experiência com o valor adotado, g = 9, 8 m/s2.
UNIDADE
5
UNIDADE V
5.1 TÍTULO: OSCILAÇÕES FORÇADAS
5.2 OBJETIVO
Estudar as características das ondas estacionárias através da ressonância em cordas vibrantes.
5.3 TEORIA
Todo sistema físico que exibe movimento harmônico simples (MHS) é caracterizado por uma (ou mais) frequência natural ν0. Se um desses sistemas encontra-se sob a ação
de uma força externa que varia harmonicamente com uma frequência ν, constata-se que a frequência da força externa se aproxima da frequência natural do sistema, a amplitude de vibração aproxima-se do in nito. Esse fenômeno é conhecido como ressonância.
Se uma corda, xada nas suas extremidades e tracionada por uma força F , for 17
UNIDADE 5. UNIDADE V 18 excitada por um vibrador de frequência qualquer, toda extensão da corda entrará em vibração. São as chamadas oscilações forçadas. Quando a frequência do excitador for igual a uma das frequências naturais da corda, formam-se ondas estacionárias e diz-se que o excitador e a corda estão em ressonância.
Os corpos (corda, coluna de ar, etc.), de um modo geral, possuem uma ou mais frequências naturais, nas quais se observa que eles vibram com maior facilidade, ou seja, com melhor aproveitamento da energia recebida.
5.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO • 1 motor vibrador • 1 porta peso de 10g • 4 massas de 50g • 1 polia• 1 régua milimetrada com dois cursores
• 2 grampos duplos • 1 barbante
• 1 haste de 1m • 1 tripés • 4 grampos
A montagem do experimento é como mostra a Fig.5.1 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. A polia deve está presa na haste e aproximadamente à 60cm acima da mesa. 2. Determine o comprimento e a massa do barbante.
3. Coloque 20g no porta peso da montagem acima, anote a massa responsável pela força de tração no barbante.
4. Ligue o motor vibrador, aumentando a frequência até achar uma onda estacionária. 5. Meça a distância entre os dois nós.
UNIDADE 5. UNIDADE V 19
Figura 5.1: Montagem do experimento sobre oscilações forçadas.
6. Repita este procedimento aumentando os valores da força de tração sobre a corda, acrescentando massa de 10g no porta peso.
TRATAMENTO DE DADOS 1. Calcule as forças de trações F . 2. Tabele os seguintes dados (senα
2, sen 2 α
2 e T ), usando o SI.
3. Usando a expressão v =qF
µ, sendo F a intensidade da força que traciona o barbante e
µ a sua massa especí ca linear, calcule a velocidade de propagação da onda (incidente ou re etida) no barbante, para cada força de tração.
4. Determine a frequência ν = v
λ da onda, para cada velocidade. Lembre-se que a distância
entre dois nós consecutivos corresponde a meio comprimento de onda (λ 2).
5. Tabele seus resultados (força, velocidade, comprimento de onda e frequência). QUESTÕES
1. Quais são as variáveis que in uem na frequência de vibração do barbante? E na de uma corda de violão?
UNIDADE
6
UNIDADE VI
6.1 TÍTULO: PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
6.2 OBJETIVO
Estudo do princípio de Arquimedes e determinação de densidade de sólidos e líquidos.
6.3 TEORIA
Todo corpo, total ou parcialmente mergulhado em um uido, sofre a ação de uma força vertical dirigida para cima, de densidade igual ao peso do uido deslocado pelo corpo (princípio de Arquimedes). Essa força é chamada de Empuxo.
Para calcular a densidade de um sólido, podemos usar a expressão da densidade relativa: ρrel= Pr Pr− Pap , (6.1) 20
UNIDADE 6. UNIDADE VI 21 sendo ρrel a densidade relativa, Pr o peso real do sólido e Papo peso aparente. Esta medida
é adimensional.
Para se obter a densidade do sólido, deve-se relacionar a densidade relativa com a densidade da substância em que foi medido (exemplo: pode-se medir a densidade de um sólido na água, no álcool, no óleo, etc.).
6.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO• 1 recipiente com abertura lateral • 1 proveta graduada • 1 dinamômetro graduado em gf • 1 cilindro de ferro •1 barra de ferro •1 barra de alumínio •1 haste metálica •ganchos e presilhas
A montagem do experimento é como mostra a Fig.6.1
a) b)
Figura 6.1: a) Montagem para medir o peso aparente dos objetos. b) Montagem para medir a água transbordada.
UNIDADE 6. UNIDADE VI 22 PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Usando o dinamômetro determine o peso do cilindro de ferro e seu peso aparente quando totalmente imerso em água, conforme indicado na Fig.6.1(a).
2. Coloque o cilindro de ferro no recipiente com abertura lateral, inicialmente cheio de água. Recolha a água que transbordou e determine o seu peso, veja a Fig.6.1(b). 3. Faça os procedimentos dos itens 1 e 2 substituindo a água pelo álcool.
4. Usando o dinamômetro, determine os pesos das barras de ferro e de alumínio e seus respectivos pesos aparentes quando totalmente imerso na água.
5. Introduzindo a barra de ferro numa proveta graduada contendo água, determine a leitura no dinamômetro quando o líquido é deslocado de 2, 4, 6, 8, 10 e 12ml.
6. Repita o procedimento anterior com a barra de alumínio.
7. Repita o procedimento dos itens 5 e 6, substituindo a água pelo álcool. TRATAMENTO DE DADOS
1. Coloque em tabelas os resultados dos itens 1 e 3.
2. Para os procedimentos dos itens 4 e 6, construa tabelas contendo os valores dos empuxos E e os respectivos volumes V deslocados e trace um grá co E = f(V )2.
QUESTÕES
1. Há algumas relações entre perda de peso, dos objetos quando imerso num determinado líquido, e peso do volume deste que transbordou? Explique.
2. Qual a densidade do ferro e do alumínio em relação à água e em relação ao álcool? 3. Através do grá co E = f(V ), determine a densidade da água e do álcool.
UNIDADE
7
UNIDADE VII
7.1 TÍTULO : DILATAÇÃO TÉRMICA
7.2 OBJETIVO
Determinação do coe ciente de dilatação térmica.
7.3 TEORIA
As variações de temperatura geralmente provocam alterações nos tamanhos dos ob-jetos.
Quando se fornece calor a um corpo, a sua temperatura se eleva, provocando um aumento na intensidade da energia cinética de vibração de suas moléculas, com o consequente aumento da distância média que se separam. Se este corpo é um sólido, aumentam as suas dimensões lineares (comprimento, largura e altura). A variação da dimensão linear de um objeto denomina-se dilatação linear.
UNIDADE 7. UNIDADE VII 24
7.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO • 1 ebulidor • 1 extensômetro • 1 termômetro• tubos de: alumínio, ferro ou latão
A montagem é feita como mostra a Fig.7.1
Figura 7.1: Montagem do experimento.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Examine a montagem esquematizada na Fig.7.1 o tubo é montado com uma das extre-midades xa e a outra móvel, aclopada a um extensômetro. Ao passar uma corrente de vapor d'água pelo tudo, este sofrerá uma dilatação que é registrada pelo extensômetro, em centésimos de milésimos.
UNIDADE 7. UNIDADE VII 25 3. Meça o comprimento do tubo (entre o ponto de xação e o acionador do extensômetro). 4. Zere o extensômetro. Se encontrar di culdades operacionais para zerá-lo, anote a leitura
que ele registra.
5. Ligue o ebulidor até começar a sair vapor de água pela outra extremidade do tubo. Nesta etapa, anote a leitura fornecida pelo extensômetro.
6. Repita os procedimentos anteriores para o tubo de outro material. IMPORTANTE
1. Veri que se o ebulidor está pelo menos, com 2/3 de água.
2. Qualquer choque na montagem, ou mesmo na mesa, pode alterar a aferição da medida. TRATAMENTO DE DADOS
1. Através da expressão α = ∆L/L0∆t, onde ∆L é a variação de comprimento do tubo e
∆t é a variação de sua temperatura, determine o coe ciente de dilatação linear α de 2 dos 3 materiais (alumínio, ferro ou latão).
QUESTÕES
1. Compare os valores obtidos com os valores tabelados e enumere as possíveis fontes de erro do experimento.
UNIDADE
8
UNIDADE VIII
8.1 TÍTULO : TROCA DE CALOR
8.2 OBJETIVO
Determinar o calor especí co de uma substância.
8.3 TEORIA
Se dois sistemas de temperaturas diferentes são colocados em contato, depois de certo tempo eles estarão com a mesma temperatura. Em condições ideais de isolamento com o ambiente, o calor Q1 fornecido pelo sistema mais quente é igual ao calor Q2 recebido pelo sistema mais
frio.
Isto acontece porque, em um sistema que não entra e nem sai calor (sistema ideal), a soma algébrica das transferências internas de calor é zero. Este calor é função da massa m,
UNIDADE 8. UNIDADE VIII 27 do calor especí co c e da variação de temperatura ∆t de cada um dos sistemas:
Q = mc∆t. (8.1)
Então, imaginemos um sistema composto de água quente, água fria e calorímetro, a partir de nossa a rmação, podemos dizer que:
Qágua quente+ Qágua fria+ Qcalorímetro = 0. (8.2) Os calorímetros instrumentos usados para determinar o calor especí co das subs-tâncias, não conseguem reproduzir essas condições ideais. Portanto, há necessidade de se calcular o seu equivalente em água (capacidade térmica C = mc), isto é, a quantidade de água que tem a mesma capacidade calorí ca do calorímetro.
8.4 PARTE EXPERIMENTAL
MATERIAL NECESSÁRIO •1 calorímetro de 500ml •1 termômetro •1 béquer •1 aquecedor de imersão • 1 haste de madeira • 1 balança • 1 cilindro de latão• barras: 1 de ferro e 1 de alumínio Esta montagem é feita somente quando a água for aquecida dentro do calorímetro.
8.4.1 EXPERIMENTO 1
OBJETIVO
UNIDADE 8. UNIDADE VIII 28
Figura 8.1: Montagem do experimento.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Coloque 200g de água no calorímetro e anote a temperatura. 2. Meça 200g de água fria em um béquer.
3. Aqueça a água do calorímetro até uma temperatura entre 70◦ e 80◦. Anote essa medida.
4. Coloque a água fria no calorímetro e, sempre agitando a mistura com uma haste de ma-deira, anote a temperatura de equilíbrio. Essa operação não deve ser muito demorada para que as perdas de calor para o ambiente sejam minimizadas.
TRATAMENTO DE DADOS
1. Disponha todas as medias em uma tabela.
2. Sabendo que, abstraindo-se as perdas, todo o calor cedido pelo sistema água quente + calorímetro foi absorvido pela água fria, determine a capacidade térmica do calorímetro, veja a Fig.8.1.
UNIDADE 8. UNIDADE VIII 29
8.4.2 EXPERIMENTO 2
OBJETIVO
Determinar o calor especí co do latão.
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
1. Derrame a água de seu calorímetro e deixe-o esfriar por uns 10 minutos.
2. Enquanto espera, determine a massa do cilindro de latão, mergulhe-o num béquer com água e ligue o aquecedor até que a água entre em ebulição.
3. Coloque 200g de água fria no calorímetro e anote a sua temperatura.
4. Retire o cilindro de latão da água fervente e coloque no calorímetro. Sempre agitando, espere e anote a temperatura de equilíbrio térmico.
TRATAMENTO DE DADOS
Você a temperatura do metal (100◦) e sua massa, a temperatura da água do calorímetro e sua
massa, tanto no estado inicial como nal, bem como a capacidade térmica do calorímetro. Utilizando esses dados, determine o calor especí co do latão1.
QUESTÕES
Quais as providências que devem ser tomadas para que o resultado obtido seja mais preciso?
1Este procedimento é idêntico ao do experimento 1, porém em vez de usar água quente, usou-se o latão
UNIDADE
9
Apêndice A
9.1 ERROS, DESVIOS E INCERTEZAS
9.2 INTRODUÇÃO
O presente texto apresenta os elementos básicos, necessários ao tratamento dos dados experimentais com os quais você terá que lidar, ao realizar seus experimentos em física básica. É um fato bem arraigado na mente do aluno que, ao tratar teoricamente com gran-dezas, tem a impressão de estar lidando com valores absolutos que independem do experi-mentador ou do instrumento de medidas utilizado para obtê-las.
9.3 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
A escala da Fig.9.1 é a de uma régua graduada em cm. Se dois experimentadores fossem anotar o comprimento assinalado pela seta, poderiam tê-lo feito da seguinte forma:
UNIDADE 9. Apêndice A 31
Experimentador 1 : 4,6 cm Experimentador 2 : 4,7 cm e nenhum deles estaria errado.
Figura 9.1: Régua graduada em cm.
Nos resultados obtidos, vê-se que ambos anotaram o algarismo 4, avaliando porém a fração de forma distinta.
Se um terceiro experimentador tivesse anotado o valor 4,65 cm, ele teria avaliado centésimos da menor divisão da escala da régua, numa precisão absolutamente desnecessária. Se ele não consegue ler os milímetros (não estão marcados na escala), não tem sentido avaliar frações desses mesmos milímetros. Seria um procedimento discutível ou mesmo inaceitável.
Em medições, é costume fazer estimativas com aproximações até décimos da menor divisão do instrumento.
No exemplo da Fig.9.1, a medida 1 (4,6 cm) apresenta 2 dígitos ou algarismos, dos quais o dígito ou o algarismo 6 resultou da fração avaliada da menor divisão da escala do instrumento. E é por esse motivo que nele está a dúvida ou incerteza da medida. Já o dígito 4 é isento de dúvidas, pois a divergência entre os dois experimentos aconteceu na avaliação da fração da menor divisão da escala.
MEDIDA 1: 4, 6 cm MEDIDA 2: 4, 7 cm
↓
UNIDADE 9. Apêndice A 32 Os algarismos signi cativos de uma medida são os algarismos corretos (não duvido-sos) seguidos de um algarismo duvidoso. Preste atenção: somente 1!
Desta forma, ao efetuar-se uma medida qualquer, deve-se apresentar o valor da gran-deza com todos os seus algarismos signi cativos.
Por exemplo, a medida 85,40 g tem 4 algarismos signi cativos; 0,0653 m tem 3 algarismos signi cativos; 1,6.10−19 C tem 2 algarismos signi cativos; 5 cm tem 1 algarismo
signi cativo e ele próprio é duvidoso.
Pode-se escrever o valor de uma medida de várias formas, desde que não se altere o número de seus algarismos signi cativos. Por exemplo, um estudante pode determinar a massa de um objeto e escrevê-la na forma m = 0, 02150 kg, sendo o zero da direita signi -cativo (surgiu de uma avaliação) ao passo que os da esquerda não o são. Pode-se escrever corretamente a medida como:
2,150 . 10−2 kg
21,50 . 10−3 kg
2,150 . 10 g 21,50 g
tendo todas as formas apresentadas acima, 4 algarismos signi cativos. Qualquer representação da medida que altere o número de algarismos signi cativos é incorreto, como por exemplo, escrever-se 2,15 . 10−2 kg. Neste caso o algarismo duvidoso passaria a ser o 5
e a grandeza teria 3 algarismos signi cativos. Uma transformação de unidades não altera o número de algarismo signi cativos da medida de uma grandeza física.
Os dígitos de uma grandeza física contam-se a partir da esquerda para a direita, a partir do primeiro não nulo, e são signi cativos todos os corretos e o primeiro algarismo duvidoso.
UNIDADE 9. Apêndice A 33 Como ilustração tem-se em condições normais de pressão, mediu-se a temperatura da água em ebulição, obtendo-se o valor 98,2◦C. A diferença entre o valor obtido e o valor
considerado verdadeiro (neste caso, 100◦C) desta grandeza é de -1,8◦C.
Em outro experimento, mediu-se com uma régua a aresta de uma mesa e obteve-se o valor 58,75 cm. Será que neste caso é reconhecido o valor real desta grandeza?
Quando se sabe o valor real de uma grandeza e experimentalmente encontra-se um resultado diferente, diz-se que o valor obtido contém um erro.
Erro é a diferença entre o valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor da mesma. Matematicamente: erro = valor medido - valor real.
Mas o valor real ou exato da maioria das grandezas físicas nem sempre é conhecido. Neste caso, estabelece-se o valor mais provável desta grandeza, isto é, o valor adotado que mais se aproxima daquele que pode ser considerado real e, ao efetuar-se uma medida, fala-se em desvios e não em erros.
Desvio é a diferença entre o valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor adotado que mais se aproxima do valor real. Matematicamente:
desvio = valor medido - valor adotado.
Na prática se trabalha, na maioria das vezes, com desvios e não com erros.
Um mesmo operador, ao efetuar uma série de medidas de uma grandeza, utilizando o mesmo instrumento, poderá obter diferentes valores na maioria das vezes, devido a fatores pessoais e acidentais. Quando isto acontece, é possível demonstrar que o valor mais próximo do considerado correto ou real (valor mais provável), é a média aritmética dos valores obtidos. Exemplo: Um operador, ao medir o comprimento de um tubo com uma régua milimetrada, encontrou os seguintes valores (em metros) 1,2314; 1,2315; 1,2314 e 1,2313. O valor mais próximo do real, no caso é:
UNIDADE 9. Apêndice A 34
a = (1, 2314 + 1, 2315 + 1, 2313 + 1, 2314) m
4 = 1, 2314 m
Segundo exemplo: o valor adotado para a aceleração da gravidade no Laboratório de Física é 9,78m/s. Obtém-se experimentalmente no mesmo local 9,50 m/s; o desvio dessa grandeza é dada por 9,50 - 9,78 = - 0,28m/s. O sinal negativo indica que o valor medido é menor que o valor adotado.
Terceiro exemplo: Um operador, ao medir a corrente num circuito com um amperí-metro, encontrou os valores (em Ampères) 1,23; 1,22; 1,23; e 1,24. O valor mais próximo do real, no caso é:
i = (1, 23 + 1, 22 + 1, 23 + 1, 24) A
4 = 1, 24A
Os desvios podem ser apresentados sob duas formas: a) Desvios absoluto - de nido acima.
b) Desvio relativo - é a razão entre o desvio absoluto e o valor adotado como o mais próximo do valor real dessa grandeza.
Utilizando o segundo exemplo tem-se que o desvio absoluto encontrado é 0,28 m/s2
enquanto que o desvio relativo é 0,0286 [(0,28 m/s) / (9,78 m/s) ∼= 0, 0286].
O desvio percentual é obtido multiplicando-se o desvio relativo por 100%. No exemplo acima seria de 2,86%.
Quando um experimentador faz uma medida de uma grandeza física, esta terá um erro se for conhecido o valor real da mesma, e o resultado obtido for diferente deste. Por outro lado, se é conhecido o valor mais provável (valor adotado) da grandeza física e o resultado for diferente deste, utiliza-se o desvio.
No contexto das aulas práticas de física básica, os valores das grandezas físicas me-didas por você serão sempre representados pelo
UNIDADE 9. Apêndice A 35
VALOR MEDIDO ± ERRO OU
VALOR MEDIDO ± DESVIO
quando for conhecido o valor real ou o valor mais provável, respectivamente. Na representa-ção matemática das grandezas físicas obtidas por meio da combinarepresenta-ção de outras grandezas medidas, deve-se omitir a explitação dos erros e dos desvios das mesmas. Esta perda de precisão na representação matemático justi ca-se em medida que são priorizados os aspectos físicos intrínsecos ao problema físico abordado.
9.5 INCERTEZAS
9.5.1 INCERTEZA ABSOLUTA
Ao se medir uma grandeza, seu valor será dado pelos traços ou algarismos efeti-vamente gravados numa escala e por mais um algarismo, avaliado a critério do operador, chamado de duvidoso.
Como geralmente não se sabe se o valor da incerteza é para mais ou para menos, adota-se para esta um valor ± ∆ que cobrirá um intervalo igual a 2 |∆|, em torno do valor medido. O valor ± ∆ é chamado de incerteza absoluta. A amplitude dessa incerteza é xada pelo operador e depende de sua perícia, da segurança desejada, da facilidade de leitura e do próprio aparelho utilizado.
Apesar de não ser norma, costuma-se adotar como incerteza absoluta de uma medida o valor da metade da menor divisão da escala. No exemplo da Fig.9.1, a menor divisão da escala é 1 cm. Se o experimentador 1 tivesse adotado como incerteza absoluta o valor ∆ = ±0, 5cm, a sua leitura seria:
UNIDADE 9. Apêndice A 36 Com isto ele quer dizer que sua leitura é con ável dentro do intervalo 4,1 cm e 5,1 cm, mas que o valor mais provável de sua medida, na sua opinião, é 4,6 cm. Se, por outro lado, o experimentador 2 xa como incerteza absoluta ∆ = ±0, 1 cm, ter-se-ia:
Experimenador 2: (4,7 ± 0,1) cm
indicando que sua leitura é con ável dentro do intervalo 4,6 e 4,8 cm, sendo 4,7 cm o valor mais provável da medida.
9.5.2 INCERTEZA RELATIVA
É a relação entre a incerteza adotada na medição do valor de uma grandeza e este valor. Da mesma forma que o desvio relativo, a incerteza relativa fornece uma apreciação da medida e é frequentemente representada na forma percentual. voltando-se ao exemplo da Fig.9.1, tem-se: EXEMPLO 1: incerteza absoluta = ±0, 5 cm incerteza relativa = ±0, 5 cm 4, 7 cm = ±0, 11 (11%) EXEMPLO 1: incerteza absoluta = ±0, 1 cm incerteza relativa = ±0, 1 cm 4, 7 cm = ±0, 02 (2%)
Vê-se que quando menor é a incerteza relativa, maior é a qualidade da medida.
UNIDADE 9. Apêndice A 37 A medida de uma grandeza física pode ser obtida diretamente (comprimento, massa, tempo, etc.) ou indiretamente (área, velocidade média, momento de inércia, etc.).
Nas medidas indiretas, o valor nal das grandezas irá depender das incertezas de cada uma delas, obtidas direta ou indiretamente, bem como da forma da expressão mate-mática utilizada para obtê-lo. Portanto, é necessário considerar-se as diferentes maneiras de propagação de incertezas. São elas:
a) Soma e Subtração - faz-se medidas de grandezas A, B, C. Ao se efetuar a soma A + B + C, é necessário encontrar a incerteza absoluta resultante.
A = a ± ∆a B = b ± ∆b C = c ± ∆c
onde a, b, c são os valores medidos e ±∆a, ±∆b, ±∆c são as incertezas absolutas. S = A + B + C = a ± ∆a + b ± ∆b + c ± ∆c
ou seja
S = s ± ∆s; s = (a + b + c); ± ∆s = ±∆a ± ∆b ± ∆c.
Considerando que todas as incertezas possuem o mesmo sinal, obtém-se: ±∆s = ± [|∆a| + |∆b| + |∆c|] .
Exemplo 1: Mediu-se o comprimento de uma mesa com uma régua milimetrada, em duas etapas, obtendo-se:
L1 = (1, 0000 ± 0, 0004)m e L2 = (0, 1230 ± 0, 0004)m.
UNIDADE 9. Apêndice A 38 L = ` ± ∆` = L1+ L2 = (1, 1230 ± 0, 0008) m.
b) Outras operações - Há casos em que se deseja calcular a incerteza relativa de uma grandeza F que tem a forma,
F = K · A · Bα · Cβ,
ou seja, F é obtida através do produto, divisão, potenciação e radiciaçãode outras grandezas A, B, C, tais que A = a ± ∆a, B = b ± ∆b, C = c ± ∆c e K é uma constante qualquer.
Demonstra-se teoricamente que a incerteza relativa ±∆f
f pode ser colocada em fun-ção das incertezas relativas que se compoem, através da seguinte expressão:
±∆f f = ± ∆k k + ∆a a + α∆b b + β∆c c onde f = K.a.bα.cβ,já que F = f ± ∆f
A constante k poderá aparecer de duas maneiras diferentes:
1. ser um número formado por quantidade nita de dígitos ( número exato). Neste caso a incerteza absoluta ∆k é zero.
2. ser um número que matematicamente tenha in nitos dígitos (irracional, dízima). Neste caso a incerteza absoluta dependerá da quantidade de dígitos adotado. Assim, adotando-se para π = 3, 14 e admitindo-adotando-se uma aproximação até o valor π = 3, 1416, tem-adotando-se uma incerteza absoluta e positiva de 0,0016.
Exemplo 2: Deseja-se saber a área super cial de um moeda. Para tanto, dispõe-se de uma régua milimetrada e de um paquímetro, cujas leituras di diâmetro foram, respecti-vamente:
UNIDADE 9. Apêndice A 39
D = (22, 6 ± 0, 2) mm, D = (22, 60 ± 0, 5)mm.
À primeira vista pode parecer que o resultado das duas medidas são iguais, o que não é verdade. A medida feita com a régua milimetrada possui 3 algarismos signi cativos, enquanto que a feita com o paquímetro possui 4 algarismos signi cativos. As incertezas relativas são:
régua = 0, 2
22, 6 = 0, 00885 = 0, 89%, paquímetro = 0, 5
22, 60 = 0, 00221 = 0, 22%.
Indicando que a medida feita com o paquímetro é de maior precisão pois a incerteza relativa correspondente é menor.
A Área do cilindro é dada pela expressão: S = πR2, onde R é o raio. Como D = 2R,
tem-se que
S = πD
2
4 . Substituindo o valor medido tem-se,
S = 3, 14 · (22, 6) 2 4 = 400, 94660 mm 2. A expressão S = πD2 4 é da forma F = K · A · B α · Cβ, onde S = F K = π A = 1 B = D α = 2
UNIDADE 9. Apêndice A 40 ±∆f f = ± ∆k k + ∆a a + α∆b b + β∆c c então, ∆s s = ± ∆π π + 0 1 + 2∆d d ∆s s = ± 0, 0016 3, 14 + 2 0, 2 22, 6 = ±0, 018298669 ∆s = ± (0, 018298669) · s = ± (0, 018298669) · (400, 94660) mm2 ou ∆s = ±7, 300703998 mm2
Não tem sentido escrever a grandeza S = s ± ∆s com todos os dígitos
S = (400, 94660 ± 7, 30070) mm2,
pois haveriam 8 algarismos. Lembrando a de nição de algarismo signi cativos, uma grandeza física só pode ter 1 algarismo duvidoso e o resultado acima teria 6 algarismos duvidosos. Portanto, a forma correta de expressar o resultado é:
S = (401 ± 7) mm2. Para o paquímetro, S = 3, 14 · (22, 60) 2 4 = 400, 94660 mm 2 ∆s s = ± 0, 0016 3, 14 + 20, 05 22, 6 = ±0, 004934333 ∆s = ± (0, 004934333) · (400, 94660) mm2 = 1, 978404 mm2 = 2 mm2 S = (401 ± 2) mm2
Exemplo 3: Foram realizados 10 medidas de tempo para determinar a velocidade média de um carro num certo percurso AB, onde XAB = (25, 0 ± 0, 2) m, encontrando-se os
UNIDADE 9. Apêndice A 41
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(t ± 0, 1) s 2,4 2,1 2,2 2,4 2,3 2,1 2,3 2,4 2,2 2,3
A velocidade média é encontrada através da relação v = XAB
t , onde t é o valor médio do tempo (valor mais provável). necessita-se portanto obter t :
t = P tn n = [(2, 4 ± 0, 1) + (2, 1 ± 0, 1) + . . . + (2, 3 ± 0, 1)] s 10 t = 27, 7 ± 0, 1 10 s = (2, 27 ± 0, 1) s A expressão XAB t é da forma F = K.A.B α .Cβ, onde K = 1 A = XAB = x ± ∆x B = t ± ∆t α = −1 β = 0
Logo F = f ±∆f torna-se, neste caso, V = v ±∆v e precisa ser encontrada (lembre-se: K.a.bα
.cβ). v = X
t =
25, 0 m
2, 3 s = 10, 869565522m/s, obtido diretamente de uma calculadora. O que tem que ser calculado agora é ∆v. Lembre-se:
±∆f f = ± ∆k k + ∆a a + α∆b b + β∆c c portanto ±∆v v = ± |0| + ∆x x + −1.∆t t = ± 0, 2 25, 0 + −1.0, 1 2, 3
UNIDADE 9. Apêndice A 42
∆v
v = ±0, 05147826.
Esta ainda é a incerteza relativa. Para a determinação da incerteza absoluta tem-se: ∆v = ±0, 05147826.v = ± (0, 05147826) . (10, 869565522) m/s ou
∆v = ±0, 559546313 m/s
Não tem sentido escrever-se a grandeza V = v ± ∆v com todos os dígitos. A incerteza absoluta deve ser escrita com um dígito signi cativo. Logo ∆v = ±0, 6 m/s. Por uma questão de coerência, deve ser truncado também o valor da medida, para que se igualem as casas decimais. Assim v = 10, 9 m/s. Portanto.
v = (10, 9 ± 0, 6) m/s
Antes de encerrar o exemplo, devem ser comparadas as incertezas relativas das gran-dezas V , XAB e t : ∆v v = 5, 1%; ∆x x ' 0, 8%; ∆t t = 4, 3% Deve-se notar que a maior delas é a de ∆v
v , evidenciando-se assim a propagação das incertezas.
9.6.1 ERROS ACIDENTAIS
Por mais cuidadoso que seja o operador ou o processo de medição de uma grandeza, não se pode deixar de levar em conta certos fatores acidentais que afetam as medidas:
a) Defeitos não sistemáticos de leitura (imperícia do operador).
UNIDADE 9. Apêndice A 43 c) Discrepâncias nos valores referentes à observação de uma mesma grandeza, por vários observadores.
d) As próprias condições dos aparelhos de medidas (erros de paralaxe que variam com a magnitude da grandeza).
e) Re exos variáveis do operador (por exemplo, no caso de acionamento de um cronômetro).
f) Di culdades na obtenção de certas medidas (ajuste de zero de uma escala ou outros tipos de ajustes).
g) Interesse do operador em obter medidas em situações diferentes, com o intuito de conseguir um valor mais representativo de uma grandeza.
h) Outros fatores não intencionais, que podem afetar a medida durante a realização da mesma.
UNIDADE
10
Apêndice B
10.1 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS I
10.2 OBJETIVO
Determinação de leis e grandezas físicas a partir da análise de grá cos de dados experimentais, construídos em papel milimetrado e di-logaritmo.
10.3 INTRODUÇÃO
Uma das técnicas utilizadas por pro ssionais das mais diversas áreas é a construção e interpretação de grá cos. A utilização de grá cos constitui uma maneira muito fácil de se ter uma visualização e um melhor entendimento do comportamento das variáveis do fenô-meno estudado, além dos mesmos possibilitarem a obtenção de muitas outras informações importantes. As técnicas de construção de grá cos são extremamente úteis quando se quer fazer uma comparação entre os dados experimentais e teóricos. Isto pode ser realizado de
UNIDADE 10. Apêndice B 45 duas maneiras:
1) através do grá co traçado a partir de dados experimentais, pode-se estabelecer a relação matemática entre as variáveis e compará-la com a expressão teórica.
2) pode-se traçar a curva teórica e experimental num mesmo sistema de eixo e então compará-las.
É ainda através de grá cos que se determinam com mais facilidade os diversos coe -cientes ligados às propriedades de certos materiais ou se encontram parâmetros para situações particulares.
De acordo com a natureza da relação entre as grandezas envolvidas, os grá cos podem ser feitos em papel milimetrado, mono-log, di-log, além de outros com padrões especiais.
10.4 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
A seguir são apresentados 3 exemplos de como devem ser feitas as construções e análises grá cas de um conjunto de dados experimentais.
Exemplo 1:
Um aluno mediu a velocidade de um objeto em função do tempo e construiu a seguinte tabela:
(t ± 0,1)s 0,5 0,8 1,0 1,3 1,5 1,8 2,1 V(m/s) 4,3 ± 0,5 7,7 8,9 12 ± 1 14 18 20
Tabela B.1
Ele deve fazer um grá co dessas duas grandezas, isto é, distribuir os valores de v e t em eixo horizontal e vertical.
UNIDADE 10. Apêndice B 46 ASPECTOS GERAIS A SEREM CONSIDERADOS NA CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
1. Título:
O grá co tem que conter todas as informações necessária a sua compreensão, evi-tando que se leia todo o texto no qual o mesmo este inserido, para saber do que se trata. Deve ser escolhido um título conciso e ao mesmo tempo bem explicativo.
2. Eixos:
É norma universal colocar a variável independente no eixo das abcissas (eixo x) e a variável dependente no eixo das ordenadas (eixo y). No grá co três coisas precisam estar claras em relação aos eixos;
a) a grandeza física a ser representada no eixo; b) as unidades empregadas;
c) os valores numéricos da grandeza e unidade apropriadas, representadas por inter-valos adequados ao longop dos eixo.
No exemplo da tabela 1, nota-se que v foi medido em função de t, ou seja, v = f(t), sendo v a variável dependente e t a variável independente.
3. Escala:
Deverá estar de acordo com os valores numéricos referentes aos dados das grandezas físicas envolvidas no problema objeto de estudo, sendo escolhida de maneira que facilite a interpolação. Também deve permitir que os pontos experimentais quem contidos no papel, de forma que os mesmos sejam distribuidos na maior parte de sua extensão, isto é, não quem concentrados somente em uma pequena região do mesmo.
UNIDADE 10. Apêndice B 47 Como explicitado no exemplo da tabela 1, inspecionado os valores da velocidade, veri ca-se que o menor deles é 4,3 m/s e o maior 20,0 m/s. Isto signi ca que a variação entre eles é 15,7 m/s. Caso se deseje incluir o valor v = 0, apesar do mesmo não constar na tabela, esta variação será igual a 20 m/s.
Os valores de t expressos nesta mesma tabela, serão representados mais facilmente no grá co se forem escritos em forma de número inteiros (não é obrigatório), expressos como potências de 10, como indicado adiante.
t ×10−1(s) 5 8 10 13 15 18 21
A respectiva variação , ao se incluir o valor t = 0, é de 21 s (não se preocupe com o fator 10−1, por enquanto). Logo, a variação de v é de 20 m/s e a variação de t é de 21 s.
Neste caso as variações são muito próximas, sendo indiferente representar v ou t ao longo do eixo situado no lado maior do papel (o papel milimetrado mais utilizado tem 28 cm×18 cm). Escolhendo os valores de v para o lado maior, ter-se-ia 20 m/s equivalendo a 28 cm, ou seja, 1 cm 0, 701...m/s. O correto seria escolher a escala inteira imediatamente superior, o que daria 1 cm → 1 m/s.
Pelas mesmas razões, se os valores de t, estiverem dispostos em toda extensão do lado menor do papel, 18 cm, resultaria numa representação em que 1cm corresponderia a 1,166...s. A escala inteira imediatamente superior corresponde a 1 cm 2 s, ou seja, 1:2. É importante enfatizar que se deve evitar trabalhar com escalas como 1:3, 1:7, 1:9, etc., pela di culdade na marcação de decimais.
REPRESENTAÇÃO DOS DADOS
Após determinar as escalas em ambos os eixos, localiza-se cada um dos valores numéricos ve t, fazendo-se a seguir a devida correspondência entre eles, conforme mostrado na Fig.10.1. Observe que o fator 10−1 para o tempo é colocado ao longo do eixo t.
UNIDADE 10. Apêndice B 48 COMO TRAÇAR A CURVA RESULTANTE
Ao se observar a distribuição dos pontos, vê-se que a reta é a curva que se melhor se ajusta a esse ponto. Como esses pontos não são perfeitamente colineares (geralmente não o são), chama-se essa reta de reta média. A maneira mais simples de se obter a reta média é com o auxílio de uma régua transparente. Ao traçar a reta que representa o comportamento médios dos dados da tabela B.1, deve-se levar em conta o desvio experimental avaliado que afeta cada ponto medido. A reta deve passar, pelo menos, em 70% das barras de incerteza e de forma que metade dos pontos que acima e metade abaixo da reta. Pode-se estimar a incerteza no coe ciente angular da reta média, traçando-se, além da própria reta, as retas de máxima e de mínima inclinação e ambas devem passar por todas as barras de incerteza. Em seguida, calcula-se os coe cientes angulares das três retas e toma-se o valor absoluto da maior diferença entre o coe ciente angular da reta média e das outras duas. Este valor é a incerteza co coe ciente angular da reta média.
INTERPRETAÇÃO E ANALISE DO GRÁFICO
Conforme mostrado na Fig.10.1, a curva obtida para v = f(t) a reta, cuja equação geral é:
Y = ax + b,
onde y é a variável dependente, x a variável independente, a é a inclinação da reta e b o ponto onde esta corta o eixo y. Para o presente exemplo esta equação corresponde à expressão
v = v0+ At,
onde v0 é a velocidade para t = 0. Para determinar o valor de v0, basta prolongar a reta até
que a mesma encontre o eixo v. Este procedimento recebe o nome de extrapolação.
A inclinação A (neste caso, a aceleração) é determinado através da tangente ao ângulo θ, como mostrado na Fig.10.1. Para isso, mede-se o cateto oposto (BC) e o adjacente
UNIDADE 10. Apêndice B 49 (DC); em suas respectivas escalas, obtendo-se:
a =tgθ = BC DC = (13, 5 ± 0, 8) m/s (1, 4 ± 0, 1) s = 9, 64m/s 2 .
Como A = a ± ∆a, pois resulta de uma operação entre outras duas grandezas que possuem incertezas, temos (consulte o APÊNDICE A):
A = 13, 5 m/s 1, 4 s = 9, 642857143 m/s 2 e ∆a = ∆v v + −1.∆t t .9, 642857143 = 1, 260204082 m/s2. Portanto, a = (10 ± 1) m/s.
UNIDADE 10. Apêndice B 50
UNIDADE 10. Apêndice B 51 Exemplo 2:
Um aluno mediu o período de oscilação de um sistema massa-mola em função da massa colocada na extremidade da mola. Para facilitar a leitura, foi medido o tempo (t) correspondente a 10 oscilações. Com os resultados obtidos, construiu-se a seguinte tabela:
m ·10−3(kg) (t ± 0, 1) s (T ± 0, 01)s 50 ± 0,1 2,0 0,20 100 ± 0,2 2,8 0,28 200 ± 0,3 3,9 0,29 300 ± 0,4 4,9 0,49 400 ± 0,5 5,6 0,50 Tabela B.2
Ele deve fazer um grá co dessas duas grandezas, isto é, distribuir os valores de T e m em eixo horizontal e vertical.
Neste exemplo conforme mostrado na tabela 2, nota-se que T foi medido em função de m, ou seja, T = f(m), onde T é a variável dependente e m é a variável independente. REPRESENTAÇÃO DOS DADOS
Como T = 2πpm/k para o sistema massa mola, se for feito um grá co do tipo T = f(m), em papel milimetrado, a curva obtida não será uma reta, pois o valor da massa esta elevado a 1/2(T α m). Para linearizar esta expressão, aplica-se o logaritmo nos dois lados da igualdade, obtendo-se:
LogT = log2π + (1/2)logm − (1/2)logk,
UNIDADE 10. Apêndice B 52 Chamando y = logT , x = logm e c = log(2π/k) tem-se:
y = (1/2)x + c, que representa uma reta de inclinação 1
2 e de coe ciente linear c.
Portanto, se a tabela dois for refeita tomando-se os logaritmos da massa(m) e o período (T ), o grá co da função y = f(x) será uma reta. No entanto um tipo especial de papel, chamado de di-log, em que os valores de T e m da tabela 2 podem ser lançados diretamente, sem a necessidade de serem tomados os seus logaritmos.
Observando-se o papel di-log, vê-se que o primeiro ponto equivalente a 1, pois log de 10 = 1. Como o menor valor da massa é igual a 50,0×10−9 kg, o início da escala horizontal
deve corresponder a 10,0×10−9 kg. Para período, o começo da escala deve ser em t = 0, 10 s.
Para traçar a curva resultante, repete-se o procedimento utilizado no exemplo 1. INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE DO GRÁFICO
Conforme já dito e como mostrado na Fig.10.2, a curva obtida para T = f(m), em papel di-log é uma reta. Prolongando-se a reta e tomando m = (1, 0 ± 0, 01) kg, tem-se que T = (0, 89 ± 0, 01) s.
Isolando a constante elástica da expressão T = 2πpm/k,resulta:
k = 4π
2m
T2 .
Substituindo-se os valores acima, obtêm-se:
k = 4π
2 × 1, 0
0, 892 = 49, 78N/m.
e
UNIDADE 10. Apêndice B 53
UNIDADE
11
Apêndice C
11.1 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS II
11.2 OBJETIVO
Determinação de leis e grandezas físicas a partir da análise de grá cos de dados experimentais, construídos em um programa grá co em escalas lineares e logarítmicas.
11.3 INTRODUÇÃO
Esse apêndice é um complemento do apêndice B, no entanto, em vez de usar papel milimetrado ou papel di-log, usamos um programa grá co, nessa substituição usamos grá cos em escalas lineares e logarítmicas.
Escala Linear: um grá co construído em um escala linear, equivale ao que zemos em um papel milimetrado, a diferença é somente a troca do papel por um programa grá co em escala linear.
UNIDADE 11. Apêndice C 55 Escala Logarítmica: um grá co construído em escala logarítmica, equivale ao que zemos em um papel di-log, a diferença é somente a troca do papel di-log, por um programa grá co em escala logarítmica.
Podemos usar um artifício chamado regressão linear, tanto em grá cos em escala linear quanto em escala logarítmica, para isso temos que ter uma reta dos pontos de nossos dados.
Regressão Linear: é apenas um artifício para encontrar o valor que corta o eixo y e a tangente da reta, para isso faz-se uma reta média dos pontos dados.
Para ilustrar vamos dar 2 exemplos, um com uso de escala linear, outro com escala logarítmica.
O programa grá co usado neste exemplo, é o ORIGIN, e os comandos indicados são da versão 6.0.
Exemplo 1:
Neste exemplo, vamos mostrar ao aluno como encontrar os seguintes valores da reta: o valor o que corta o eixo y e a tangente da reta, usando um programa grá co em escala linear. Isso é a mesma situação, que ilustramos exemplo 1 do apêndice B, no qual usamos papel milimetrado. Por isso, é de suma importância saber que o programa grá co é apenas uma substituição do papel milimetrado.
Um aluno mediu uma tensão em um resistor em função da corrente e construiu a seguinte tabela, vamos achar a resistência R do resistor:
i (A) V (V) 0,042 2,0 0,085 4,0 0,125 6,0 0,170 8,0 0,215 10,0 0,255 12,0
UNIDADE 11. Apêndice C 56 Tabela C.1. Valores da corrente e da tensão.
Utilizamos o programa grá co ORIGIN, pegamos os valores da corrente e da tensão da Tabela C.1, colocamos os valores da corrente na horizontal (eixo x) e da tensão na vertical (eixo y). Usamos o comando scatter, localizado no Plot, com isso obtemos o gra co de V = f (i) em escala linear, como mostra a Fig.11.1.
Figura 11.1: O grá co mostra V = f(i), tensão em função da corrente, usando os dados da Tabela C.1.
UNIDADE 11. Apêndice C 57 Observamos que obtivemos uma reta do grá co V = f (i), portanto temos:
V = A + Bi.
Onde A é o valor que corta o eixo y e B a tangente média da reta. Podemos encontrar esses valores, usando um artifício que chamamos de regressão linear, que nada mais é traçar uma reta média no grá co e obter o valor que corta o eixo y Ae a tangente da reta B.
Portanto, a regressão linear é feita no programa grá co, usando o comando Fit Linear, localizado em Analysis. A reta obtida pela regressão linear e os pontos A e B estão mostrado na Fig.11.2.
Figura 11.2: Neste grá co mostramos a regressão linear da função V = f(i).
Logo, temos a seguinte função:
V = 0, 064 + 46, 64i.
portanto a resistência é R = 46, 64 Ω. Exemplo 2:
Vamos usar um programa grá co, em escala logarítmica para encontrar a função T = f (m), em seguida a constante da mola k.
UNIDADE 11. Apêndice C 58 Um aluno mediu o período de oscilação T de um sistema massa-mola, para cada massa m, os dados foram colocados na Tabela C.2.
m (kg) T (s) 0,050 0,20 0,100 0,28 0,200 0,29 0,300 0,49 0,400 0,50
Tabela C.2. Valores da massa e do período de um sistema massa mola.
Usando o programa grá co ORIGIN, colocamos os valores da massa na horizontal (eixo x) e os valores do período na vertical (eixo y), usamos scatter localizado no PLOT, e obtivemos o grá co mostrado na Fig.11.3.
Figura 11.3: Grá co do período T = f(m) em escala linear.
Observamos na Fig.11.3 que tivemos a função T = f (m) representada por uma curva, portanto não podemos usar regressão linear.
Portanto, um recurso que podemos usar é colocar em escala logarítmica os dois eixos, obtendo um grá co em escala logarítmica. Para isso, clicamos em cima dos eixos de escala do grá co ( ou ir em format e clicar em Axes), em seguida vamos em scale e mudamos o
UNIDADE 11. Apêndice C 59 tipo de escala (type) de linear para log. Observamos que a função T = f (m) em escala logarítmica, apresenta pontos lineares, logo podemos usar regressão linear para achar o valor que corta o eixo y e a tangente da reta, veja o grá co mostrado na Fig.11.4.
Figura 11.4: Grá co do período T = f(m) em escala logarítmica. Os valoresde A e B são os valores que cortam o eixo y e a tangente da reta respectivamente, eles foram obtidos através da regressão linear.
Interpretação dos resultados:
Vejamos que temos a seguinte função:
T = amB (11.1)
aplicando o logaritmo
log T = log(amB)
aplicando as propriedades do logaritmo,
log T = log a + B log m chamando Y = log T , A = log a e X = log m, temos
Y = A + BX
UNIDADE 11. Apêndice C 60 relacionados com a Eq. (11.1), da seguinte forma.
a = 10A
e o B é o expoente de nossa função, então:
T = 10AmB (11.2)
os resultados da regressão linear da nossa função, são A = −0, 052 e B = 0, 499, logo temos
T = 10−0,052m0,499 (11.3)
ou
T = 0, 887m0,5 (11.4)
esse resultado nos ondica que o período T está variando com a raiz quadrada da massa. Esse resultado experimental condiz com o que esperamos teoricamente, pois
T = 2πr m k (11.5) ou T = √2π km 0,5 (11.6)
comparando nosso resultado experimental, veja Eq.(11.4), com o resultado teórico, expresso na Eq.(11.6), podemos encontrar a constante elástica da mola k.
0, 887 = √2π k logo,
UNIDADE
12
Apêndice D
12.1 TÍTULO: INFORMAÇÕES GERAIS
12.2 INTRODUÇÃO
O conjunto dos experimentos dos laboratórios foram programados de maneira a acompanharem, aproximadamente, o conteúdo das aulas teóricas. No entanto, poderão ocor-rer ocasiões em que você tenha que fazer alguns experimentos sem ainda ter visto a teoria, e outras em que você já teve a aula teórica. Nas duas situações haverá proveito, uma vez que teoria e laboratório se completam:
• O laboratório proporciona ao aluno a vivência de um dado fenômeno, tornando mais fácil a assimilação e compreensão da teoria.
• O conhecimento teórico do aluno pode permitir uma melhor compreensão do fenômeno em estudo no laboratório.
UNIDADE 12. Apêndice D 62
12.3 OBJETIVOS
As práticas experimentais têm como principais objetivos: • Constatações das leis físicas fundamentais.
• Aprendizado no que diz respeito ao manuseio de equipamentos simples, bem como de um conhecimento básico do funcionamento dos mesmos.
• Desenvolvimento de uma metodologia de trabalho experimental.
• Reforço de visualização e entendimento do conteúdo programático apresentado nas aulas teóricas, assim como incentivar importantes aspectos no processo de desenvolvi-mento intelectual do aluno, tais como criatividade, verbalização, síntese e sociabilidade.
12.4 ESTRUTURA E FUNCIONAMENTO DO CURSO
As atividades de laboratório constarão de aproximadamente 5 experimentos obriga-tórios, a serem realizados ao longo do semestre letivo. As aulas terão duração de 2 horas semanais.Para a realização dos trabalhos práticos, os alunos atuarão em equipes de três, que serão responsáveis pelo material fornecido.
12.5 O RELATÓRIO
O relatório do experimento é obrigatório e deverá constar basicamente de 6 partes: 1. TÍTULO DO EXPERIMENTO;
UNIDADE 12. Apêndice D 63 2. INTRODUCÃO - Nesta parte deverá haver uma apreciação sobre o assunto do
experi-mento, demonstrando sua importância e a apresentação dos objetivos;
3. PARTE TEÓRICA - Um resumo da teoria na qual se fundamenta o experimento; 4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL - Uma informação concisa e objetiva de como foi
realizado o experimento. Deverão ser descritos no material e o método utilizado. Essas informações são importantes, pois devem permitir a reprodutibilidade do experimento por outra pessoa;
5. RESULTADOS - Apresentação dos dados experimentais e o tratamento dos mesmos. Para uma otimização das medidas coletadas, procure tabulá-las, não esquecendo de indicar as correspondentes unidades de medidas. Nesta etapa do relatório, devem ser apresentaados os cálculos, grá cos e tabelas;
6. CONCLUSÕES - Nesta parte é feita a apresentação dos resultados do experimento. Através da análise e discussão desses resultados, conclui-se se os objetivos foram alcan-çados, criticam-se as discrepâncias, indicando as prováveis fontes de erros e apresentam--se sugestões sobre o experimento. Ainda nesta parte é que são discutidas as questões propostas.
Para uniformizar a avaliação, as notas para cada ítem do relatório são as seguintes:
Introdução 1 ponto
Parte teórica 1 ponto Procedimento experimental 1 ponto
Resultados 3 pontos
