EXISTˆENCIA, UNICIDADE E DECAIMENTO DE SOLUC¸ ˜OES DE UMA EQUAC¸ ˜AO N ˜AO LINEAR SOBRE UMA VARIEDADE
SEILA BARBOSA DE LIMA
Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a
Mestrado em Ciˆencias Matem´aticas
Orientadora: Val´eria Neves Domingos Cavalcanti
Maring´a - Pr 2002
Aos meus pais Augustinho e Rosa. Ao meu esposo Edison. Aos meus filhos, Daniela e Jo˜ao Pedro.
AGRADECIMENTOS
Agrade¸co primeiramente `a Deus, por dar-me for¸cas para superar os obst´aculos nessa longa caminhada.
Agrade¸co aos professores que me ajudaram durante este curso de mestrado. De maneira muito especial a professora Val´eria Neves Domingos Cavalcanti, orientadora acadˆemica, que por sua excelente orienta¸c˜ao, amizade e dedica¸c˜ao, tornou poss´ıvel a realiza¸c˜ao deste trabalho.
Agrade¸co aos meus familiares pela carinhosa colabora¸c˜ao dada no decorrer deste curso. E ainda a Elizˆangela minha secret´aria do lar.
Agrade¸co aos meus amigos de turma, que sempre me incentivaram e me apoiaram, Angela, Bernadete, Edvania, Emerson, Erasmo, Magda e Maur´ıcio. E ainda a Regiani e Viviane.
Agrade¸co a L´ucia, secret´aria do mestrado pela sua constante dedica¸c˜ao. Agrade¸co a Wilson G´oes pelo excelente trabalho de digita¸c˜ao.
Existˆ
encia, unicidade e decaimento de solu¸c˜
oes de uma
equa¸c˜
ao n˜
ao linear sobre uma variedade
SEILA BARBOSA DE LIMA
Disserta¸c˜ao submetida ao corpo docente do Centro de Ciˆencias Exatas da Univer-sidade Estadual de Maring´a - UEM - Pr, como parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias.
Aprovada por
Profa. Val´eria Neves Domingos Cavalcanti - UEM (Orientadora)
Prof. Manuel Milla Miranda - IM - UFRJ
Prof. Marcelo Moreira Cavalcanti - UEM
Maring´a - Pr 2002
RESUMO
Neste trabalho estudamos a existˆencia de solu¸c˜oes fortes e fracas do seguinte problema n˜ao linear u = 0 sobre Γ1 K(x, t)utt+ α(x, t)ut+ ∂u ∂ν + F (u, ut) = 0 sobre Γ0 u(x, 0) = u0(x); u t(x, 0) = u1(x) sobre Γ,
onde Γ ´e a fronteira regular de um dom´ınio limitado Ω do Rn, n ≥ 1; Γ = Γ
0 ∪ Γ1,
Γ0 e Γ1 s˜ao fechados e disjuntos e Γ0 possui medida positiva.
ABSTRACT
In this work we study the existence of strong and weak solutions to the following nonlinear problem u = 0 on Γ1 K(x, t)utt+ α(x, t)ut+ ∂u ∂ν + F (u, ut) = 0 on Γ0 u(x, 0) = u0(x); u t(x, 0) = u1(x) on Γ.
Where Γ denotes the regular boundary of a bounded domain Ω, Ω ⊂ Rn, n ≥ 1;
Γ = Γ0∪ Γ1, Γ0 and Γ1 are closed and disjoint sets and Γ0 possesses positive measure.
CONTE ´UDO
Introdu¸c˜ao . . . 1
CAP´ITULO I – Preliminares . . . 2
I.1 – Nota¸c˜oes B´asicas . . . 2
I.2 – Resultados Auxiliares . . . 16
I.3 – O Operador A . . . 20
CAP´ITULO II – Existˆencia e Unicidade . . . 25
II.1 – Introdu¸c˜ao . . . 25
II.2 – Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes Fortes . . . 29
II.3 – Existˆencia de Solu¸c˜oes Fracas . . . 62
II.4 – Apˆendice . . . 75
CAP´ITULO III – Comportamento Assint´otico . . . 86
INTRODUC¸ ˜AO
Neste trabalho obt´em-se a existˆencia, unicidade e comportamento assint´otico do pro-blema (1) u = 0 sobre Γ1 K(x, t)utt+ α(x, t)ut+ ∂u ∂ν + F (u, ut) = 0 sobre Γ0 u(x, 0) = u0(x); u t(x, 0) = u1(x) sobre Γ.
A motiva¸c˜ao para o estudo do problema (1) encontra-se em J.L. Lions [13, pp. 134-140] e consiste em relacionar o problema acima com um problema el´ıptico em Ω, de modo a reduzi -lo `a um modelo canˆonico da F´ısica Matem´atica.
Mais ainda, com o estudo do problema (1) buscou-se generalizar o problema estu-dado em M.M. Cavalcanti e V.N. Domingos Cavalcanti [7] onde os autores consideraram
F (u, ut) = |u|γu + |ut|ρut, com 0 < γ, ρ ≤
1
n − 2 se n > 2 ou γ, ρ > 0 se n = 1, 2.
Para a obten¸c˜ao de existˆencia de solu¸c˜oes fez-se uso do M´etodo de Galerkin, enquanto que a prova do decaimento uniforme ´e obtido considerando-se o M´etodo da Perturba¸c˜ao da Energia conforme A. Haraux e E. Zuazua [11].
Este trabalho est´a organizado como segue: No Cap´ıtulo I introduzimos as nota¸c˜oes e os resultados preliminares necess´arios ao desenvolvimento do nosso estudo; no Cap´ıtulo II estudamos a existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes do problema acima descrito; no Cap´ıtulo III estabelecemos o decaimento exponencial das solu¸c˜oes fortes obtidas no Cap´ıtulo II.
CAP´ITULO I PRELIMINARES
Apresentaremos neste cap´ıtulo os resultados b´asicos que ser˜ao utlizados nos cap´ıtulos posteriores e especificaremos as nota¸c˜oes que aparecer˜ao no decorrer deste trabalho.
I.1 - Nota¸c˜oes B´asicas
Dado α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn e (x1, x1, . . . , xn) ∈ Rn representamos por Dα o
operador de deriva¸c˜ao de ordem α definido por
∂|α|
∂xα1
1 ∂xα22 . . . ∂xαnn
onde |α| = |α1| + |α2| + · · · + |αn|.
Seja Ω um subconjunto aberto do Rn. Por C∞
0 (Ω) representaremos o espa¸co vetorial
das fun¸c˜oes reais definidas em Ω, infinitamente diferenci´aveis e com suporte compacto contido em Ω. Por D(Ω) denotaremos o espa¸co C∞
o (Ω) munido da seguinte no¸c˜ao de
convergˆencia. Dizemos que uma sucess˜ao {ϕν}ν∈N⊂ D(Ω) converge para zero se:
i) Todas as fun¸c˜oes ϕν possuem suportes contidos em um mesmo compacto fixo K.
ii) As sucess˜oes {ϕν} e {Dαϕν}, α ∈ Nn, convergem uniformemente para zero em K.
Se ϕ ∈ C∞
0 (Ω) e {ϕν}ν∈N ´e uma sucess˜ao de fun¸c˜oes de C0∞(Ω), dizemos que ϕν
converge para ϕ em D(Ω) se a sucess˜ao {ϕν− ϕ}ν∈N converge para zero no sentido acima
mencionado. D(Ω) assim definido ´e denominado espa¸co das fun¸c˜oes testes em Ω.
Uma distribui¸c˜ao sobre Ω, segundo Laurent Schwartz, ´e uma forma linear T sobre
sucess˜ao {ϕν}ν∈N de D(Ω) convergente para zero no sentido definido em D(Ω) temos que
a sucess˜ao num´erica {hT, ϕνi}ν∈N tamb´em converge para zero.
A derivada de ordem α de T , DαT , definida por
hDαT, ϕi = (−1)|α|hT, Dαϕi, ∀ ϕ ∈ D(Ω)
tamb´em ´e uma distribui¸c˜ao sobre Ω.
O conjunto de todas as distribui¸c˜oes constitui um espa¸co vetorial, o qual represen-tamos por D0(Ω). Neste espa¸co, dizemos que uma sucess˜ao {T
ν}ν∈N de elementos de
D0(Ω) converge para zero em D0(Ω) quando para toda fun¸c˜ao teste ϕ a sucess˜ao num´erica
{hTν, ϕi}ν∈N converge para zero.
Um espa¸co vetorial normado, e completo em rela¸c˜ao `a norma definida nesse espa¸co, ´e denominado espa¸co de Banach. Quando a norma for proveniente de um produto interno ele ser´a denominado espa¸co de Hilbert.
Seja X um espa¸co de Banach, seja X0seu dual dotado da norma dual ||f || = sup x∈X ||x||≤1
|hf, xi|
e seja X00 seu bidual, isto ´e, o dual de X0 dotado da norma ||ξ|| = sup f ∈X0
||f ||≤1
|hξ, f i|.
Conside-remos a inje¸c˜ao canˆonica J : X → X00 definida como segue. Seja x ∈ X fixo. A aplica¸c˜ao
f 7→ hf, xi de X0 em R ´e uma forma linear e cont´ınua sobre X0. Assim, temos que a
aplica¸c˜ao Jx dada por hJx, f iX00,X0 = hf, xiX0,X, ∀ x ∈ X, ∀ f ∈ X0 ´e tal que J : X → X00
definida por x → Jx ´e linear e ´e uma isometria, isto ´e, ||Jx||X00 = ||x||X para todo x ∈ X.
Dizemos que X ´e reflexivo se J(X) = X00.
Um espa¸co m´etrico E ´e dito separ´avel se existe um subconjunto D ⊂ E, tal que D ´e enumer´avel e denso.
Para 1 ≤ p < +∞, denotamos por Lp(Ω) o espa¸co das (classes) de fun¸c˜oes reais u,
espa¸co de Banach munido da norma ||u||Lp(Ω) = µZ Ω |u(x)|pdx ¶1/p .
Quando p = +∞, L∞(Ω) denotar´a o espa¸co das fun¸c˜oes reais, mensur´aveis e
essen-cialmente limitadas em Ω. Munido da norma
||u||L∞(Ω) = sup ess
x∈Ω
|u(x)| = inf{λ ∈ R; u(x) ≤ λ q.s.}, L∞(Ω) se torna um espa¸co de Banach.
Quando p = 2 temos que L2(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert munido do produto interno
(u, v) = Z Ω u(x)v(x) dx e norma induzida ||u||L2(Ω) = µZ Ω |u(x)|2dx ¶1/2 .
Temos que Lp(Ω) ´e reflexivo para todo 1 < p < ∞ e que ¡Lp(Ω)¢0 = Lq(Ω) onde
1 p+ 1 q = 1. Se p = 1 temos que ¡ L1(Ω)¢0 = L∞(Ω) e se p = ∞ temos ¡L∞(Ω)¢0 ) L1(Ω).
Al´em disso, Lp(Ω) ´e separ´avel para 1 ≤ p < ∞.
Por Wm,p(Ω), 1 ≤ p < +∞ representaremos o espa¸co de Sobolev de ordem m, isto ´e,
o espa¸co de todas as fun¸c˜oes reais u ∈ Lp(Ω) tais que Dαu ∈ Lp(Ω), ∀ |α| ≤ m. Munido
da norma ||u||Wm,p(Ω) = X |α|≤m Z Ω |Dαu(x)|pdx 1/p , Wm,p ´e um espa¸co de Banach.
Quando p = 2 o espa¸co Wm,2(Ω) ser´a denotado por Hm(Ω) que munido do produto
interno (u, v)Hm(Ω) = X |α|≤m Z Ω Dαu(x) Dαv(x) dx
e da norma induzida ||u||Hm(Ω) = X |α|≤m Z Ω |Dαu(x)|2dx 1/2
´e um espa¸co de Hilbert.
Por W0m,p(Ω) representamos o fecho de D(Ω) em Wm,p(Ω), 1 ≤ p < +∞, e por Hm
0 (Ω)
representamos o fecho de D(Ω) em Hm(Ω). O dual topol´ogico de Hm
o (Ω) ´e representado
por H−m(Ω).
Seja u ∈ L1(Rn). A transformada de Fourier de u, denotada por ˆu, ´e uma fun¸c˜ao
definida sobre todo o Rn pela f´ormula
ˆ u(ξ) = Z Rn e−2πihx,ξiu(x) dx; i =√−1 onde hx, ξi = Pn i=1
xiξi ´e o produto interno usual em Rn.
Por S, representaremos o espa¸co de Schwartz ou espa¸co das fun¸c˜oes rapidamente decrescentes, definido por
S = ½ ϕ ∈ C∞(Rn) | lim ||x||→+∞||x|| kDαϕ(x) = 0; ∀ k ∈ N e α ∈ Nn ¾ .
Por S0, representaremos o espa¸co das distribui¸c˜oes temperadas, definido por
S0 = {T : S → K; T ´e linear e cont´ınuo}.
A seguir definiremos os espa¸cos Hs(Rn), s ≥ 0 real.
Tomando, em particular, p = 2 e Ω = Rn temos que
Hm(Rn) = {u ∈ L2(Rn); Dαu ∈ L2(Rn), ∀ α ∈ Nn; |α| ≤ m} munido do produto interno
(1.1) ((u, v))m = X
|α|≤m
(Dαu, Dαv) L2(Rn).
Consideremos o seguinte espa¸co, definido para todo m ∈ N, ©
u ∈ S0(Rn); (1 + ||x||2)m/2u ∈ Lˆ 2(Rn)ª,
onde ˆu designa a transformada de Fourier da fun¸c˜ao u, munido do produto interno
(1.2) (((u, v))) = ³
(1 + ||x||2)m/2u,ˆ ¡1 + ||x||2¢m/2 vˆ´
L2(Rn),
∀ m ∈ N.
Mostra-se, para todo m ∈ N que
Hm(Rn) = nu ∈ S0(Rn); ¡1 + ||x||2¢m/2 u ∈ Lˆ 2(Rn)o,
onde as normas provenientes dos produtos internos (1.1) e (1.2) s˜ao equivalentes. Motivados pelo conjunto acima definimos para s ≥ 0 real
Hs(Rn) = n
u ∈ S0(Rn); ¡1 + ||x||2¢s/2 u ∈ Lˆ 2(Rn) o
munido do produto interno
(u, v)Hs(Rn) = Z Rn ¡ 1 + ||x||2¢s u(x)ˆˆ v(x) dx, para todo s ∈ R, s ≥ 0.
O espa¸co Hs(Rn) possui as seguintes propriedades:
• Hs(Rn) ´e um espa¸co de Hilbert.
• Definindo H−s(Rn) = (Hs(Rn))0, dual topol´ogico de Hs(Rn), obtemos que
H−s(Rn) =nu ∈ S0(Rn); ¡1 + ||x||2¢−s/2 u ∈ Lˆ 2(Rn)o
munido da seguinte norma
||u||H−s(Rn) = ·Z Rn ¡ 1 + ||x||2¢−s |ˆu(x)|2dx ¸1/2 .
Definiremos, agora, os espa¸cos Hs(Ω); s ≥ 0.
Diremos que o aberto Ω ´e bem regular se sua fronteira Γ ´e uma variedade de classe C∞
de dimens˜ao n − 1, Ω estando localmente do mesmo lado de Γ. Para maiores detalhes ver M.M. Cavalcanti e V.N. Domingos Cavalcanti [5, pp. 178-179].
Seja Ω ⊂ Rn, um aberto limitado com fronteira Γ bem regular ou o semi-espa¸co Rn
+.
Considere a aplica¸c˜ao rΩ, linear e cont´ınua, dada por rΩ: L2(Rn) → L2(Ω)
u 7→ rΩu = u|Ω.
Como Dα(r
Ωu) = rΩ(Dαu), para todo α ∈ Nn, a aplica¸c˜ao rΩ: Hm(Rn) → Hm(Ω)
u 7→ rΩu = u|Ω
´e cont´ınua e sobrejetora qualquer que seja m ∈ N. A partir de rΩ podemos ent˜ao escrever
Hm(Ω) = {r
Ωu; u ∈ Hm(Rn)}.
Estamos, assim, motivados a definir Hs(Ω) para todo s ∈ R, s ≥ 0 onde Ω ⊂ Rn ´e
um aberto limitado bem regular ou o semi-espa¸co Rn
+, como segue Hs(Ω) = {v|
Ω; v ∈ Hs(Rn)}.
Seja u ∈ Hs(Ω). Temos que ∃ v ∈ Hs(Rn) tal que u = v|
Ω. Como Hs(Rn) ⊂ L2(Rn)
temos que v|Ω ∈ L2(Ω) e portanto u ∈ L2(Ω). Assim, Hs(Ω) ⊂ L2(Ω).
Desta forma fica bem definida a aplica¸c˜ao
rΩ: Hs(Rn) → Hs(Ω) v 7→ rΩv = v|Ω.
O nosso intuito ´e definir uma topologia para Hs(Ω) de modo que para todo s ∈ N a
topologia coincida com a topologia de Hm(Ω).
Para todo u ∈ Hs(Ω) existe, por defini¸c˜ao, v ∈ Hs(Rn) tal que u = v|
Ω. Seria natural
pensarmos em definir uma aplica¸c˜ao
Hs(Ω) → R
u 7→ ||v||Hs(Rn).
Contudo tal aplica¸c˜ao n˜ao define uma norma pois se u = 0 em Hs(Ω) ent˜ao u = v|
Ω = 0
em Hs(Ω), isto ´e, v = 0 quase sempre em Ω. Mas isso n˜ao implicaria que v = 0 quase
sempre em Rn.
Como o Ker(rΩ) ´e um subespa¸co fechado de Hs(Rn) temos que a aplica¸c˜ao: || · || : Hs(Rn)±Ker(rΩ) → R+ [v] 7→ ||[v]|| onde, ||[v]|| = inf n ||w||Hs(Rn); w ∈ [v] o = inf n ||w||Hs(Rn); w ∈ v + Ker rΩ o
´e uma norma.
Lembremos que o conjunto quociente Hs(Rn)±Ker(r
Ω) ´e dado por
©
v + Ker(rΩ); v ∈ Hs(Rn)
ª
=©[v]; v ∈ Hs(Rn)ª.
Al´em disso, Hs(Rn)±Ker(r
Ω) munido desta norma ´e um Espa¸co de Banach.
Por outro lado, para cada v ∈ Hs(Rn) temos
©
pois para qualquer w ∈ Hs(Rn) podemos escrever
w ∈ v + Ker(rΩ) ⇔ w − v ∈ Ker(rΩ) ⇔ rΩ(w − v) = 0 ⇔ rΩw = rΩv.
Logo, para todo v ∈ Hs(Rn)
||[v]||Hs(Rn)/ Ker(r Ω) = inf n ||w||Hs(Rn); w ∈ v + Ker(rΩ) o = inf n ||w||Hs(Rn); w ∈ [v] o = inf n ||w||Hs(Rn); rΩw = rΩv o .
Como rΩ: Hs(Rn) → Hs(Ω) ´e sobrejetiva temos que a aplica¸c˜ao
¯
rΩ: Hs(Rn)
±
Ker(rΩ) → Hs(Ω) definida por ¯rΩ([v]) = rΩv ´e sobrejetiva e, mais al´em,
injetiva.
Estamos, agora aptos a definir a norma em Hs(Ω) pra todo s ∈ R, s ≥ 0, como
segue: ||u||Hs(Ω) = ||rΩv||Hs(Ω)= ||[v]||Hs(Rn)/ Ker(r Ω) = inf n ||w||Hs(Rn); rΩw = u o . Ent˜ao, ||u||Hs(Ω) = inf n ||w||Hs(Rn); w ∈ [v] o = inf n ||w||Hs(Rn); rΩw = u o .
Temos os seguintes resultados acerca dos espa¸cos Hs(Ω) para todo s ∈ R
+ onde
Ω ⊂ Rn ´e um aberto limitado com fronteira bem regular.
• Hs(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert munido da norma acima definida.
• D(Ω) ´e denso em Hs(Ω), Hs
0(Ω) = D(Ω)
Hs(Ω)
e H−s(Ω) = (Hs
Hs
0(Ω).
• Se 0 ≤ s1 ≤ s2 ent˜ao Hs2(Ω) ,→ Hs1(Ω), onde ,→ designa a imers˜ao cont´ınua de um
espa¸co no outro.
Finalmente, definiremos os espa¸cos Hs(Γ).
Seja Ω ⊂ Rn um aberto limitado com fronteira Γ bem regular.
Considere o sistema {(U1, ϕ1), (U2, ϕ2), . . . , (Uk, ϕk)} de cartas locais para Γ. A
cober-tura aberta Ω, U1, U2, . . . , Uk de Ω determina uma parti¸c˜ao C∞ da unidade subordinada
`a mesma, isto ´e, existem fun¸c˜oes θ0, θ1, θ2, . . . , θk ∈ C0∞(Rn) satisfazendo supp(θ0) ⊂ Ω;
supp(θi) ⊂ Ui, i = 1, 2, . . . , k e k
P
i=0
θi(x) = 1 ∀ x ∈ Ω com 0 ≤ θi ≤ 1, i = 1, 2, . . . , k.
Seja u definida sobre Γ. Ent˜ao u(x) = Pk
i=1
θi(x)u(x), para quase todo x ∈ Γ.
Definamos para i = 1, 2, 3, . . . , k.
ui(y) = (uθi) ◦ ϕ−1i (y), ∀ y ∈
X = (0, 1)n−1. Notemos que S(uθi) = n x ∈ Γ; (uθi)(x) 6= 0 o .
Como u est´a definida sobre Γ e supp θi ⊂ Ui
S(uθi) ⊂ supp(θi) ∩ Γ ⊂ Ui∩ Γ
e portanto S(uθi) ´e um compacto do Rn.
Temos tamb´em que S(ui) = ϕi(S(uθi)) e como ϕi ´e cont´ınua vem que S(ui) ´e um
compacto do Rn−1.
Al´em disso, como supp(ui) ⊂ S(ui) ⊂
P
podemos estender ui a uma fun¸c˜ao ˜ui como
segue ˜ ui(y) = (uθi) ◦ ϕ−1i (y) se y ∈ P 0 se y ∈ Rn−1\P.
Observemos que ˜ui herdar´a as mesmas caracter´ısticas da fun¸c˜ao ui e, portanto, como
u ´e integr´avel ent˜ao ˜ui ´e integr´avel e
Z Rn−1 ˜ ui(y) dy = Z P(uθi) ◦ ϕ −1 i (y) dy = Z Ui∩Γ u(x)θi(x)Ji(x) dΓ onde Ji ∈ C∞(Ui∩ Γ).
Reciprocamente, se ˜ui for, para todo i = 1, . . . , k, integr´avel em Rn−1ent˜ao u tamb´em
o ser´a e Z Γ u(x)dΓ = k X i=1 Z Γ (uθi)(x)dΓ = k X i=1 Z Rn−1 ˜ ui(y)J(y)dy.
Designaremos por Lp(Γ), 1 ≤ p ≤ ∞ o espa¸co das fun¸c˜oes Lp som´aveis sobre Γ com
medida superficial ∂Γ e muniremos tal espa¸co com a norma
||v||Lp(Γ) = µZ Γ |v(x)|pdΓ ¶1/p se 1 ≤ p < ∞ ou ||v||L∞(Γ) = sup ess x∈Γ ||u(x)|| se p = +∞.
Usando a parti¸c˜ao da unidade {θi}, i = 0, 1, 2, . . . , k, introduzida anteriormente, temos que Lp(Γ) = ½ v : Γ → K; ˜vi =(vθ^i) ◦ ϕ−1i ∈ Lp(Rn−1), i = 1, 2, . . . , k ¾ e a norma ||v||Lp(Γ)= Ã K X i=1 ||˜vi||pLp(Rn−1) !1/p
´e equivalente a dada anteriormente.
Seja m ∈ N. Representaremos por Cm(Γ) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes u : Γ → K de
classe Cm e por D(Γ) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis sobre Γ.
Da mesma forma temos
Cm(Γ) = ½ v : Γ → K; ˜vi =(vθ^i) ◦ ϕ−1i ∈ Cm(Rn−1); i = 1, 2, . . . , k ¾ e D(Γ) = ½ v : Γ → K; ˜vi =(vθ^i) ◦ ϕ−1i ∈ Cm(Rn−1), ∀ m ∈ N e i = 1, 2, . . . , k ¾ Definamos a aplica¸c˜ao φi: D(Γ) → D(Rn−1) u 7→ φiu = ˜ui =(uθ^i) ◦ ϕ−1i .
Como φi ´e cont´ınua e D(Γ) ´e denso em D0(Γ) ent˜ao podemos estender φi a uma
aplica¸c˜ao, que ainda denotaremos por φi, tal que
φi: D0(Γ) → D0(Rn−1).
Estamos assim, motivados a definir Hs(Γ) para todo s ∈ R onde Γ = ∂Ω com Ω ⊂ Rn
um aberto limitado bem regular como segue
Hs(Γ) =©u; φ
iu ∈ Hs(Rn−1)
dotado da norma ||u||Hs(Γ) = Ã k X i=1 ||φiu||2Hs(Rn−1) !1/2 .
Observe que a defini¸c˜ao acima depende do sistema {Ui, ϕi, θi}.
O espa¸co Hs(Γ) definido acima goza das seguintes propriedades:
• Hs(Γ) ´e um espa¸co de Hilbert.
• D(Γ) ´e denso em Hs(Γ).
• Hs(Γ) independe da escolha do sistema de cartas locais {U
i, ϕi} e da parti¸c˜ao da
unidade {θi} subordinada.
Dado X um espa¸co de Banach e T > 0 um n´umero real, representaremos por Lp(0, T ; X),
1 ≤ p < +∞ o espa¸co de Banach das (classes) fun¸c˜oes vetoriais u : ]0, T [ → X que s˜ao fortemente mensur´aveis e ||u(t)||X ∈ Lp(0, T ) munido da norma
||u||Lp(0,T ;X)= µZ Ω ||u(t)||pXdt ¶1/p .
Por L∞(0, T ; X) representamos o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes vetoriais u : ]0, T [ → X
que s˜ao fortemente mensur´aveis e ||u(t)||X ∈ L∞(0, T ), munido da norma
||u||L∞(0,T ;X) = sup ess
t∈ ]0,T [
||u(t)||X.
Se 1 ≤ p < +∞, ent˜ao o dual topol´ogico de Lp(0, T ; X) se identifica com o espa¸co
Lq(0, T ; X0) onde 1
p +
1
q = 1. Al´em disso, se X for reflexivo (respectivamente separ´avel)
e 1 < p < +∞ (respectivamente 1 ≤ p < +∞) ent˜ao Lp(0, T ; X) ´e reflexivo
(respectiva-mente separ´avel). Com esta identifica¸c˜ao, temos
hu, viLq(0,T ;X0);Lp(0,T ;X) =
Z T
0
hu(t), v(t)iX0,Xdt.
Denotamos por D0(0, T ; X) o espa¸co das distribui¸c˜oes vetoriais S sobre ]0, T [ com
valores em X. Definimos sua derivada de ordem k, S(k) da seguinte forma hS(k), θi = (−1)khS, θ(k)i, ∀ θ ∈ D(0, T ).
Seja u ∈ Lp(0, T ; X) 1 ≤ p < +∞, e definamos a transforma¸c˜ao S u de D(0, T ) em X dada por hSu, θi = Z T 0 u(t)θ(t) dt, ∀ θ ∈ D(0, T ),
onde a integral ´e entendida no sentido de Bochner. Su assim definida ´e linear e cont´ınua e
portanto Su ∈ D0(0, T ; X). Al´em disso, como Su ´e univocamente definida por u, podemos
identificar Su com u dizendo simplesmente a distribui¸c˜ao u ao inv´es de Su. Portanto, u0
designar´a a derivada de u no sentido de D0(0, T ; X), ou seja,
hu0, θi = −hu, θ0i = −
Z T
0
u(t)θ0(t) dt, ∀ θ ∈ D(0, T ).
Representamos por Wk,p(0, T ; X), 1 ≤ p < +∞, o espa¸co de Banach
Wk,p(0, T ; X) = ©u ∈ Lp(0, T ; X); u(j)∈ Lp(0, T ; X), 0 ≤ j ≤ kª
onde u(j)representa a j-´esima derivada de u no sentido das distribui¸c˜oes vetoriais, munido
da norma ||u||Wk,p(0,T ;X) = Ã k X j=0 ||u(j)||p Lp(0,T ;X) !1/p , ou da norma equivalente, k X j=0 ||u(j)|| Lp(0,T ;X).
Quando p = 2 e X ´e um espa¸co de Hilbert o espa¸co Wk,2(0, T ; X) ´e denotado por
Hk(0, T ; X), que ´e um espa¸co de Hilbert munido do produto interno
(u, v)Hk(0,T ;X) = k X j=0 ¡ u(j), v(j)¢ L2(0,T ;X) a norma induzida ||u||Hk(0,T ;X)= Ã k X j=0 ||u(j)||2 L2(0,T ;X) !1/2 .
Por D(0, T ; X) denotamos o espa¸co das fun¸c˜oes que s˜ao infinitamente diferenci´aveis em [0, T [ , com valores em X e com suporte compacto em ]0, T [ .
Por W0k,p(0, T ; X) denotamos o fecho de D(0, T ; X) em Wk,p(0, T ; X) e por Hk
0(0, T ; X)
o fecho de D(0, T ; X) em Hk(0, T ; X). Demonstra-se que o espa¸co Hk
0(0, T ; X) ´e um espa¸co de Hilbert e Hk 0(0, T ; X) = © u ∈ Hk(0, T ; X); u(j)(0) = u(j)(T ) = 0, 0 ≤ j ≤ k − 1ª. O dual topol´ogico de Hk
0(0, T ; X) ´e representado por H−k(0, T ; X).
Denotaremos por C0([0, T ]; X) o espa¸co de Banach das fun¸c˜oes u : ]0, T [ → X que s˜ao
cont´ınuas, munido da norma
||u||C0([0,T ];X) = m´ax
0≤t≤T||u(t)||X.
Se u ∈ Lp(0, T ; X) e u
t ∈ Lp(0, T ; X) com 1 ≤ p < +∞ ent˜ao obtemos que u ∈
C0([0, T ]; X).
Conforme explicitado em L.A. Medeiros e P.H. Rivera [16] e M.M. Cavalcanti e V.N. Domingos Cavalcanti [6] existe uma ´unica aplica¸c˜ao
γ : Hm(Ω) → m−1Y
j=0
Hm−j−1/2(Γ)
u 7→ γu = {γ0u, γ1u, . . . , γm−1u},
denominada aplica¸c˜ao tra¸co; que ´e linear, cont´ınua, sobrejetiva, com n´ucleo Hm
0 (Ω), ve-rificando γu = µ u|Γ,∂u ∂ν ¯ ¯ ¯ ¯ Γ , . . . ,∂ m−1u ∂νm−1 ¯ ¯ ¯ ¯ Γ ¶ ; ∀ u ∈ D(Ω)
e admitindo uma inversa `a direita Λ linear e cont´ınua, isto ´e, existe uma aplica¸c˜ao linear
Λ :
m−1Y j=0
que ´e cont´ınua e satisfaz
γ(Λξ) = ξ, ∀ ξ ∈
m−1Y j=0
Hm−j−1/2(Γ).
Tomando, em particular, m = 1 temos a aplica¸c˜ao
γ0: H1(Ω) → H1/2(Γ) u 7→ γ0u = u|Γ
que ´e denominada aplica¸c˜ao tra¸co de ordem zero.
Consideremos H1(Ω) = {u ∈ H1(Ω); ∆u ∈ L2(Ω)} munido do produto interno
(u, v)1 = ((u, v))H1(Ω)+ (∆u, ∆v)L2(Ω)
que o faz um espa¸co de Hilbert. A aplica¸c˜ao γ1: D(Ω) → H−1/2(Γ) u 7→ γ1u = ∂u ∂ν ¯ ¯ ¯ ¯ Γ
prolonga-se, por continuidade, a uma ´unica aplica¸c˜ao linear e cont´ınua γ1: H1(Ω) → H−1/2(Γ), posto que D(Ω) ´e denso em H1(Ω).
I.2 – Resultados Auxiliares
Proposi¸c˜ao 1.1 (Lax-Milgran). Seja a(u, v) uma forma bilinear, cont´ınua e coerciva definida em um espa¸co de Hilbert H, isto ´e, existe α0 > 0 tal que a(v, v) ≥ α0||v||2H, ∀ v ∈ H. Ent˜ao para todo funcional L linear e cont´ınuo definido sobre H, existe um ´unico u ∈ H tal que
e, al´em disso, a aplica¸c˜ao L → u de H0 em H ´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao: Ver H. Br´ezis [2] ou P.A. Raviart e J.M. Thomas [18].
Proposi¸c˜ao 1.2 (Aubin-Lions). Sejam B0, B, B1 trˆes espa¸cos de Banach tais que B0 ,→
c B ,→ B1
onde B0, B1 s˜ao reflexivos, ,→ denota imers˜ao cont´ınua e a imers˜ao de B0 em B ´e
compacta e definamos W = ½ v; v ∈ Lp0(0, T ; B 0), v0 = dv dt ∈ L p1(0, T ; B 1) ¾ , onde 1 < p0, p1 < +∞ e T < +∞. Munido da norma ||v||Lp0(0,T ;B 0)+ ||v 0|| Lp1(0,T ;B1),
W ´e um espa¸co de Banach.
Ent˜ao, a imers˜ao de W em Lp0(0, T ; B) ´e compacta.
Demonstra¸c˜ao: Ver J.L. Lions e E. Magenes [14].
Lema 1.3 (Lions). Seja (gν) uma sucess˜ao de fun¸c˜oes Lq(Q) e 1 < q < +∞. Se
(i) gν → g quase sempre em Q
(ii) ||gν||Lq(Q)≤ c, ∀ ν ∈ N;
ent˜ao, gν * g fraco em Lq(Q).
Demonstra¸c˜ao: Ver J.L. Lions [13].
Proposi¸c˜ao 1.4 (F´ormula de Green). Seja Ω um aberto limitado bem regular do Rn.
Se u, v ∈ H1(Ω), ent˜ao para 1 ≤ i ≤ n temos que
Z Ω u ∂v ∂xi dx = − Z Ω ∂u ∂xi vdx + Z Γ (γ0u)(γ0v)νidΓ,
onde ν = (ν1, ν2, . . . , νn) e ν denota o vetor normal unit´ario exterior `a Γ. Se u ∈ H2(Ω) e v ∈ H1(Ω) temos que Z Ω ∇u∇v dx = − Z Ω ∆ uv dx + Z Γ v ∂u ∂ν dΓ.
Demonstra¸c˜ao: Ver S. Kesavan [12].
Proposi¸c˜ao 1.5 (2a
¯ F´ormula de Green Generalizada). Para todo u ∈ H1(Ω) e todo v ∈ H1(Ω) tem-se
(∆u, v)L2(Ω)+ (∇u, ∇v)L2(Ω) = hγ1u, γ0viH−1/2(Γ0);H1/2(Γ0).
Demonstra¸c˜ao: Ver M.M. Cavalcanti e V.N. Domingos Cavalcanti [6].
Proposi¸c˜ao 1.6 (Desigualdade de H¨older). Sejam u ∈ Lp(Ω) e v ∈ Lq(Ω) com
1 < p < +∞ e 1 p+ 1 q = 1. Ent˜ao uv ∈ L 1(Ω) e Z Ω |uv| dx ≤ ||u||Lp(Ω)||v||Lq(Ω).
Demonstra¸c˜ao: Ver H. Br´ezis [2].
Proposi¸c˜ao 1.7 (Desigualdade de H¨older Generalizada - Corol´ario da Desigual-dade de H¨older). Sejam f1, f2, . . . , fk fun¸c˜oes tais que fi ∈ Lpi(Ω), 1 ≤ i ≤ k, onde
1 p = 1 p1 + 1 p2 + · · · + 1 pk ≤ 1. Ent˜ao o produto f = f1f2f3. . . fk∈ Lp(Ω) e ||f ||Lp(Ω) ≤ ||f1||Lp1(Ω)||f2||Lp2(Ω). . . ||fk||Lpk(Ω).
Lema 1.8 (Gronwall). Seja m ∈ L1(0, T ) tal que m ≥ 0 quase sempre em ]0, T [ e seja a ≥ 0. Considere ϕ uma fun¸c˜ao cont´ınua de [0, T ] em R verificando
ϕ(t) ≤ a +
Z t
0
Ent˜ao,
ϕ(t) ≤ a · eR0tm(s)ds, para todo t ∈ [0, T ].
Demonstra¸c˜ao: Ver H. Br´ezis [2].
Proposi¸c˜ao 1.9. Seja (xn) uma suces˜ao em E. Se verificam as seguintes asser¸c˜oes:
i) xn * x fraco em σ(E, E0) ⇔ hf, xni → hf, xi, ∀ f ∈ E0.
ii) Se xn → x forte, ent˜ao xn * x fraco em σ(E, E0).
3i) Se xn * x fraco em σ(E, E0), ent˜ao ||xn|| ´e limitado e ||x|| ≤ lim inf ||xn||.
4i) Se xn * x fraco em σ(E, E0) e se fn→ f forte em E0 ent˜ao hfn, xni → hf, xi.
Demonstra¸c˜ao: Ver H. Br´ezis [2].
Temos resultados an´alogos a proposi¸c˜ao anterior para a convergˆencia fraco-*.
Proposi¸c˜ao 1.10. Seja E um espa¸co de Banach separ´avel e seja (un) uma sucess˜ao
limitada em E0. Ent˜ao existe uma subsucess˜ao (u
nk) que converge na topologia fraco-*.
Demonstra¸c˜ao: Ver H. Br´ezis [2].
Proposi¸c˜ao 1.11 (Desigualdade de Young). Sejam 1 < p, q < +∞ tais que 1
p+ 1 q = 1. Ent˜ao, a b ≤ 1 pa p+1 qb q, ∀ a ≥ 0, ∀ b ≥ 0.
Demonstra¸c˜ao: Ver L.A. Medeiros e E.A. Mello [15].
Proposi¸c˜ao 1.12 (Desigualdade de Minkowski). Sejam 1 ≤ p < +∞ e
f, g ∈ Lp(Ω). Ent˜ao
Demonstra¸c˜ao: Ver L.A. Medeiros e E.A. Mello [15].
I.3 - O Operador AAA
Seja ϕ ∈ H1/2(Γ
0) e considere o problema el´ıptico
(1.13) ∆w = 0 em Ω w = 0 em Γ1 w = ϕ em Γ0.
Temos que (1.13) admite uma ´unica solu¸c˜ao w ∈ V = {v ∈ H1(Ω); v = 0 em Γ 1} tal
que ∆w ∈ L2(Ω).
Com efeito, como ϕ ∈ H1/2(Γ
0) e a aplica¸c˜ao tra¸co γ0: H1(Ω) → H1/2(Γ) ´e sobrejetora
ent˜ao existe u0 ∈ V tal que γ0(u0) = ϕ.
Definamos a : H1 0(Ω) × H01(Ω) → R (u, v) 7→ a(u, v) = Z Ω ∇u∇v dx. Assim, |a(u, v)| ≤ Z Ω
|∇u| |∇v| dx e aplicando a desigualdade de H¨older temos para
todo u, v ∈ H1 0(Ω)
|a(u, v)| ≤ |∇u|L2(Ω)|∇v|L2(Ω) ≤ ||u||H1
0(Ω)||v||H01(Ω).
Obtendo, assim, a continuidade da aplica¸c˜ao a(u, v).
Claramente, temos que a(u, v) ´e bilinear. E pelo fato das normas |∇u|L2(Ω) e ||u||H1 0(Ω)
serem equivalentes em H1
Consideremos o funcional linear e cont´ınuo L definido por
L(v) = hL, vi = a(−u0, v), ∀ v ∈ H01(Ω).
Por Lax-Milgram temos que existe um ´unico u ∈ H1
0(Ω) que verifica, L(v) = a(u, v), ∀ v ∈ H01(Ω), isto ´e a(−u0, v) = a(u, v).
Conseq¨uentemente, a(u0+ u, v) = 0, ∀ v ∈ H01(Ω). Considere w = u0+ u. Como u0 ∈ V
e u ∈ H1
0(Ω) segue que w ∈ V . Logo a(w, v) = 0, ∀ v ∈ H01(Ω). Consideremos ϕ ∈ D(Ω).
Em particular, a(w, ϕ) = 0, ∀ ϕ ∈ D(Ω), isto ´e, Z
Ω
∇w ∇ϕ dx = 0, ∀ ϕ ∈ D(Ω).
Logo, h∆w, ϕi = 0, ∀ ϕ ∈ D(Ω) e conseq¨uentemente, ∆w = 0. Al´em disso, γ0w = γ0(u0+ u) = γ0u0+ γ0u = 0 em Γ1 ϕ em Γ0.
Tamb´em, pelo Teorema de Lax-Milgran, temos que a aplica¸c˜ao L 7→ u de H−1(Ω) em
H1
0(Ω) ´e cont´ınua, isto ´e, ||u||H1
0(Ω) ≤ c1||L||H−1(Ω). Mas, ||L||H−1(Ω) = sup v6=0 v∈H1 0(Ω) |hL, vi| ||v||H1 0(Ω) ≤ sup v6=0 v∈H1 0(Ω) |∇u0| |∇v| ||v||H1 0(Ω) ≤ c2|∇u0| sup v6=0 v∈H1 0(Ω) ||v||H1 0(Ω) ||v||H1 0(Ω) = c2|∇u0| ≤ c3||u0||V .
Ent˜ao, temos que ||u||H1
Assim, ||w||V ≤ ||u||V + ||u0||V ≤ c4||u||H1
0(Ω)+ ||u0||V ≤ c5||u0||V .
Assim, fica provada a existˆencia de uma fun¸c˜ao w = u0+ u ∈ V que satisfaz (1.13).
Al´em disso, temos que w ∈ V ´e ´unico. De fato, sejam w1, w2 ∈ V tais que satisfa¸cam
o problema (1.13). Ent˜ao w = w1− w2 satisfaz
∆w = 0 em Ω w = 0 em Γ
e, portanto w = 0 em Ω. Segue que w1 = w2.
Como ∆w ∈ L2(Ω) temos que w ∈ H1(Ω) = {u ∈ H1(Ω); ∆u ∈ L2(Ω)}. Ent˜ao, pela
defini¸c˜ao da aplica¸c˜ao tra¸co de 1a
¯ ordem temos o operador linear e cont´ınuo dado por: γ1: H1(Ω) → H−1/2(Γ0) w 7→ γ1w = ∂w ∂ν · Conseq¨uentemente, ∂w ∂ν ∈ H −1/2(Γ
0) e, portanto est´a bem definido o operador A : H1/2(Γ
0) → H−1/2(Γ0) ϕ 7→ Aϕ = ∂w
∂ν ,
onde w ´e a solu¸c˜ao do problema (1.13) associado `a ϕ.
A seguir mostraremos que ||Aϕ||H−1/2(Γ0) ≤ c||ϕ||H1/2(Γ0). Com efeito, dado ϕ ∈
H1/2(Γ
0) existe uma ´unica u ∈ V que satisfa¸ca (1.13). Assim, o operador γ0: V → H1/2(Γ
0) que ´e sobrejetivo, associado ao problema (1.13), tamb´em ´e injetivo. Ent˜ao a
aplica¸c˜ao Λ : H1/2(Γ
0) → V que ´e a inversa `a direita de γ0: V → H1/2(Γ0) tamb´em ´e a
sua inversa `a esquerda e, portanto, Λ(ϕ) = Λ(γ0u) = u.
Da continuidade de Λ vem que existe c > 0 tal que ||Λϕ||V ≤ c||ϕ||H1/2(Γ0), ou seja,
Por outro lado, como γ1 ´e linear e cont´ınuo e u ∈ H1(Ω) vem que ° ° ° °∂u∂ν ° ° ° ° H−1/2(Ω) ≤ c1||u||H1(Ω) = c1 ³ ||u||H1(Ω)+ |∆u|L2(Ω) ´ = c1||u||H1(Ω) ≤ c2||u||V . Portanto, (1.15) ° ° ° °∂u∂ν ° ° ° ° H−1/2(Γ0) ≤ c2||u||V . De (1.14) e (1.15) deduzimos que ° ° ° °∂u∂ν ° ° ° ° H−1/2(Γ 0) ≤ c||ϕ||H1/2(Γ0), ou ainda, ||Aϕ||H−1/2(Γ0)≤ c||ϕ||H1/2(Γ0),
como era o desejado.
Provaremos, a seguir, que o operador A : H1/2(Γ
0) → H−1/2(Γ0) ´e auto adjunto. Com
efeito, sejam ψ, ϕ ∈ H1/2(Γ
0) e assim temos que existem ´unicos w1, w2 ∈ V tais que
∆w1 = 0 em Ω w1 = 0 em Γ1 w1 = ϕ em Γ0 onde Aϕ = ∂w1 ∂ν e ∆w2 = 0 em Ω w2 = 0 em Γ1 w2 = ψ em Γ0 onde Aψ = ∂w2 ∂ν ·
Mas, pela f´ormula de Green Generalizada, temos que Z Ω −∆w1w2dx = Z Ω ∇w1∇w2dx − ¿ ∂w1 ∂ν , γ0w2 À Γ0 . Conseq¨uentemente, Z Ω ∇w1∇w2dx = hAϕ, ψiΓ0.
Analogamente, obtemos que Z
Ω
Logo,
hAϕ, ψiΓ0 = hϕ, AψiΓ0, ∀ ϕ, ψ ∈ H1/2(Γ 0).
Tamb´em, pela f´ormula de Green Generalizada temos que se w ´e solu¸c˜ao de (1.13): 0 = Z Ω (−∆w)w dx = Z Ω ∇w∇w dx − ¿ ∂w ∂ν, w À Γ0 . Segue que Z Ω |∇w|2dx = hAϕ, ϕi Γ0, ou ainda, |∇w|2 L2(Ω) = hAϕ, ϕiΓ0
onde h ·, · i representa a dualidade H−1/2(Γ
0) × H1/2(Γ0). Como a aplica¸c˜ao γ0: V → H1/2(Γ
0) ´e cont´ınua, obtemos que hAϕ, ϕiΓ 0 = |∇w| 2 L2(Γ0)= ||w||2V ≥ c2||γow||2H1/2(Ω), isto ´e, hAϕ, ϕiΓ 0 ≥ c2||ϕ|| 2 H1/2(Γ0). CAP´ITULO II
EXISTˆENCIA E UNICIDADE
II.1 - Introdu¸c˜ao
Considere o seguinte problema de evolu¸c˜ao
(2.1) u = 0 sobre Γ1× ]0, +∞ [ ∂u
∂ν + K(x, t)utt+ α(x, t)ut+ F (u, ut) = 0 sobre Γ0× ]0, +∞ [ u(x, 0) = u0(x); u
onde Γ ´e a fronteira regular de um dom´ınio limitado Ω do Rn, n ≥ 1; Γ = Γ
0 ∪ Γ1,
Γ0 e Γ1 s˜ao fechados e disjuntos e Γ0 possui medida positiva.
Denotaremos por ν o vetor normal, unit´ario e exterior `a fronteira Γ e por ∂u
∂ν a derivada
normal de u.
Consideremos F : R2 → R uma fun¸c˜ao de classe C1 e o coeficiente K(x, t) uma fun¸c˜ao
n˜ao-negativa definida em Γ0× [0, +∞ [.
No Cap´ıtulo I definimos o operador linear A : H1/2(Γ
0) → H−1/2(Γ0), ϕ 7→ ∂w
∂ν , onde w ∈ V ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema el´ıptico
∆w = 0 em Ω w = 0 em Γ1 w = ϕ em Γ0,
e verificamos que o operador A assim definido ´e cont´ınuo, satisfaz
hAϕ, ψiΓ
0 = hϕ, AψiΓ0, ∀ ϕ, ψ ∈ H
1/2(Γ 0)
e verifica a seguinte condi¸c˜ao de coercividade
(2.2) Au, u®H−1/2(Γ0),H1/2(Γ0)≥ β||u||2H1/2(Γ0), ∀ u ∈ H1/2(Γ0),
para algum β > 0.
Assim sendo, a existˆencia de solu¸c˜oes do problema (2.1) est´a relacionada `a existˆencia de solu¸c˜oes do problema abaixo
(2.3) ∆u = 0 em Ω× ]0, +∞ [ u = 0 sobre Γ1× ]0, +∞ [
K(x, t)utt+ α(x, t)ut+ Au + F (u, ut) = 0 sobre Γ0× ]0, +∞ [ u(x, 0) = u0(x); u
De modo a encontrar solu¸c˜oes para o problema (2.3) vamos impor as hip´oteses necess´arias sobre as fun¸c˜oes envolvidas.
(A.1) Hip´oteses sobre os coeficientes
Vamos supor que os coeficientes K e α perten¸cam `a seguinte classe
(H.1) K ∈ W1,∞(0, ∞; L∞(Γ
0)) e α ∈ W2,∞(0, ∞; L∞(Γ0)).
Suponhamos, ainda, que exista δ > 0 tal que (H.2) α(x, t) − 1
2|Kt(x, t)| ≥ δ > 0 para quase todo (x, t) ∈ Γ0× ]0, ∞[ Al´em disso, que exista d > 0 tal que
K(x, 0) ≥ d > 0 para quase todo x ∈ Γ0
(H.3)
(A.2) Hip´oteses sobre as condi¸c˜oes iniciais
As seguintes hip´oteses ser˜ao feitas sobre as condi¸c˜oes iniciais (H.4) u0 ∈ H =©u ∈ H1/2(Γ
0); Au ∈ L2(Γ0)
ª
(H.5) u1 ∈ H1/2(Γ0)
(A.3) Hip´oteses sobre a fun¸c˜ao FFF
Consideremos F : R2 → R uma fun¸c˜ao de classe C1(R2).
Sejam γ, ρ verificando as seguintes desigualdades (2.4) 0 < γ, ρ ≤ 1
n − 2 se n > 2 ou γ, ρ > 0 se n = 1, 2.
Assumiremos que existam constantes Mi; i = 1, 3, . . . , 6 tal que M1, M4, M5, M6 > 0
e M2, M3 ≥ 0 verificando (H.6) F (u, v)ξ ≥ M1v ξ + M2|v|ρv ξ + M3|u|γu ξ para todo u, v, ξ ∈ R e [F (u1, v1) − F (u2, v2)] [ξ1− ξ2] ≥ M4(v1− v2)(ξ1− ξ2) (H.7) − M5(|u1|γ+ |u2|γ)|u1− u2| |ξ1− ξ2| + M6(|v1|ρv1− |v2|ρv2)(ξ1− ξ2) para todo u1, u2, v1, v2, ξ1, ξ2 ∈ R.
Al´em disso, consideremos que exista M7 > 0 de modo a satisfazer uma das condi¸c˜oes
abaixo
F (0, 0) = 0 e |F (u1, v1) − F (u2, v2)|
(H.8)
para todo u1, u2, v1, v2 ∈ R se γ, ρ ≤ 1
ou
(H.9) |F (u, v)| ≤ M7
¡
|u| + |v| + |u|γ+1+ |v|ρ+1¢ para todo u, v ∈ R, se γ, ρ s˜ao quaisquer verificando (2.4).
Suponhamos ainda que
(H.10) Fv(u, v) ≥ 0 para todo u, v ∈ R e que para algum M8 > 0 tenhamos
(H.11) |Fu(u, v)| ≤ M8(1 + |u|γ) para todo u, v ∈ R.
Um exemplo de fun¸c˜ao que satisfaz as condi¸c˜oes acima F (u, ut) = C1|u|γu + C2|ut|ρut,
com 0 < γ, ρ ≤ 1
n − 2 se n > 2 ou γ, ρ > 0 se n = 1, 2.
Observa¸c˜ao 2.1. ´E conveniente observarmos que de acordo com as imers˜oes de Sobolev temos que
(2.5) H1/2(Γ) ,→ L2n−2n−2(Γ), n > 2 e H1/2(Γ) ,→ Lp(Γ); 1 ≤ p < +∞, n = 1, 2.
Portanto, da hip´otese (2.4) conclu´ımos que
H1/2(Γ
0) ,→ L2(γ+1)(Γ0) e H1/2(Γ0) ,→ L2(ρ+1)(Γ0),
(2.6)
onde as imers˜oes s˜ao cont´ınuas e densas.
Observa¸c˜ao 2.2. Para obtermos solu¸c˜oes fortes para o problema (2.3) usaremos o M´etodo de Galerkin e para tal necessitamos das hip´oteses (A.2) feitas sobre os dados iniciais, posto que precisamos de estimativas adicionais de modo a passar o limite no problema aproximado e n˜ao podemos utilizar bases especiais, como por exemplo aquelas formadas por autovetores do operador A. Al´em disso, devido `a possibilidade de K(x, t) se anular n˜ao nos ´e poss´ıvel aplicar as propriedades dos operadores de proje¸c˜ao para obtermos
a limita¸c˜ao do termo |pK(t) u00(t)|
Γ0 como feito em J.L. Lions [13]. Estamos aptos a
estabelecer nossos principais resultados.
Teorema 2.3. Sob as hip´oteses (A.1)–(A.3) o problema (2.1) possui uma ´unica solu¸c˜ao forte u : Γ× ]0, +∞[ → R satisfazendo (2.7) u ∈ L∞ loc ¡ 0, ∞; H1/2(Γ 0) ¢ ; u0 ∈ L∞ loc ¡ 0, ∞; H1/2(Γ 0) ¢ (2.8) √K u00 ∈ L∞loc¡0, ∞; L2(Γ0) ¢ ; u00 ∈ L2loc¡0, ∞; L2(Γ0) ¢
(2.9) K(x, t)u00+ α(x, t)u0 + Au + F (u, u0) = 0 em Γ
0× ]0, +∞[
(2.10) u(0) = u0; u0(0) = u1
Teorema 2.4. Sob as hip´oteses (A.1) e (A.3) e dados {u0, u1} ∈ H1/2(Γ
0) × L2(Γ0) o
problema (2.1) admite pelo menos uma solu¸c˜ao fraca satisfazendo
(2.11) u ∈ L∞ loc ¡ 0, ∞; H1/2(Γ 0) ¢ ; u0 ∈ L2 loc ¡ 0, ∞; L2(Γ 0) ¢ (2.12) √K u0 ∈ L∞ loc ¡ 0, ∞; L2(Γ 0) ¢ .
II.2 - Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes Fortes
Neste par´agrafo, provaremos a existˆencia de solu¸c˜ao do problema (2.3). Inicialmente, transformaremos (2.3) num problema equivalente com condi¸c˜ao inicial nula, o mesmo argumento j´a foi considerado pelos autores M.M. Cavalcanti e V. N. Domingos Cavalcanti em [7]. Ent˜ao, fazendo a mudan¸ca de vari´aveis
onde φ(x, t) = u0+ t u1; (x, t) ∈ Γ
0× ]0, T [ nos fornece o problema equivalente em v
(2.14) Kv00+ αv0+ Av + F (v + φ, v0+ φ0) = G em Γ0× ]0, T [ v(0) = v0(0) = 0 onde (2.15) G = −α φ0− Aφ.
Representaremos por (wj)j∈N uma base para HΓ1/20 (Γ) que ´e completa em L
2
Γ0(Γ) e por
Vm o subespa¸co de HΓ1/20 (Γ) gerado pelos m primeiros vetores w1, w2, . . . , wm. Podemos
supor sem perda da generalidade que (wj) ´e ortonormal em L2(Γ0) bastando, para isto,
utilizarmos o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt. Definimos, ainda, para cada
ε > 0, (2.16) Kε = K + ε e vεm(t) = m X j=1 gεjm(t) wj,
onde vεm(t) ´e a solu¸c˜ao do seguinte problema de Cauchy:
(2.17) (Kε(t)vεm00 (t), wi)Γ0 + (α(t)vεm0 (t), wi)Γ0 + hAvεm(t), wiiΓ0 +(F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t)), wi)Γ0 = hG(t), wiiΓ0; 1 ≤ i ≤ m vεm(0) = vεm0 (0) = 0
O sistema aproximado (2.17) ´e um sistema finito de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias que possui solu¸c˜ao no intervalo [0, tεm[ , tεm < T . A demonstra¸c˜ao de tal fato se encontra
no Apˆendice do Cap´ıtulo II. A extens˜ao dessas solu¸c˜oes a todo o intervalo [0, T ] ´e uma conseq¨uˆencia da Primeira Estimativa a Priori que iremos estabelecer abaixo e do Corol´ario do Teorema de Carath´eodory que se encontra enunciado no Apˆendice do Cap´ıtulo II.
Estimativas a Priori APrimeira Estimativa
Considerando Wi = vεm0 (t) em (2.17) vem que
(Kεvεm00 (t), vεm0 (t))Γ0 + (αv 0 εm(t), vεm0 (t))Γ0 + hAvεm(t), v 0 εm(t)iΓ0+ (F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t)), v0εm(t))Γ0 = hG(t), v 0 εm(t)iΓ0 ou ainda, 1 2 d dt n |pkε(t)vεm0 (t)|Γ20 + hAvεm(t), vεm(t)iΓ0 o + Z Γ0 µ α(t) − 1 2K 0(t) ¶ |v0 εm(t)|2dΓ + (F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t)), v0εm(t) + φ0(t))Γ0 − (F (vεm(t) + φ(t), v0εm(t) + φ0(t)), φ0(t))Γ0 = d dthG(t), vεm(t)iΓ0 − hG 0(t), v εm(t)iΓ0.
No entanto, pela (H.2) obtemos
(2.18) 1 2 d dt n |pkε(t)vεm0 (t)|Γ20 + hAvεm(t), vεm(t)iΓ0 o + δ|vεm0 (t)|2Γ0 + (F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t)), v0εm(t) + φ0(t))Γ0 ≤ d dthG(t), vεm(t)iΓ0 + (F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t)), φ0(t))Γ0 − hG 0(t), v εm(t)iΓ0 An´alise de I1 = (F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t)), vεm0 (t) + φ0(t))Γ0 = Z Γ0 F (vεm(t) +
φ(t), v0εm(t) + φ0(t))(v0εm(t) + φ0(t))dΓ. Pela hip´otese (H.6) obtemos
I1 ≥ Z Γ0 ½ M1|v0εm(t) + φ0(t)|2+ M2|vεm0 (t) + φ0(t)|ρ+2 + M3|vεm(t) + φ(t)|γ(vεm(t) + φ(t))(vεm0 (t) + φ0(t)) ¾ dΓ ou ainda, (2.19) I1 ≥ M1|vεm0 (t) + φ0(t)|2Γ0 + M2||v0εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0 + M3 γ + 2 d dt||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0.
An´alise de I2 = (F (vεm(t) + φ(t), v0εm(t) + φ0(t)), φ0(t))Γ0 =
Z
Γ0
F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) +
φ0(t))φ0(t)dΓ. Para esta an´alise temos 2 casos a considerar.
1o
¯ Caso: Pela hip´otese (H.8) temos γ, ρ ≤ 1 e al´em disso F (0, 0) = 0. Assim,
(2.20) I2 ≤ Z Γ0 |F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t))| |φ0(t)|dΓ = Z Γ0 |F (vεm(t) + φ(t), v0εm(t) + φ0(t)) − F (0, 0)| |φ0(t)|dΓ ≤ Z Γ0 M7(1 + |vεm(t) + φ(t)|γ+ vεm0 (t) + φ0(t)|ρ)||(vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t))|| |φ0(t)|dΓ ≤ Z Γ0 M7(|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)| + |vεm0 (t) + φ0(t)| |φ0(t)| + |vεm(t) + φ(t)|γ+1|φ0(t)| + |vεm0 (t) + φ0(t)|ρ+1|φ0(t)| + |vεm(t) + φ(t)|γ|vεm0 (t) + φ0(t)| |φ0(t)| + |vεm0 (t) + φ0(t)|ρ|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|)dΓ.
Analisemos, separadamente as parcelas acima obtidas. Pela desigualdade de Young,
obte-mos Z Γ0 M7|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ ≤ 1 2|vεm(t) + φ(t)| 2 Γ0 + M2 7 2 |φ 0(t)|2 Γ0. Considerando a inequa¸c˜ao ab ≤ 1 2ηa2+ η 2b2, η > 0 decorre que Z Γ0 M7|vεm0 (t) + φ0(t)| |φ0(t)|dΓ ≤ η 2|v 0 εm(t) + φ0(t)|2Γ0 + M2 7 2η |φ 0(t)|2 Γ0.
Agora, notando que 1
p1 + 1 p2 = 1 e 1 q1 + 1 q2 = 1 onde p1 = γ + 2 γ + 1 ; p2 = γ + 2; q1 = ρ + 2 ρ + 1
e q2 = ρ + 2 podemos aplicar a desigualdade de Young e pela Observa¸c˜ao 2.1, obtemos Z Γ0 M7(|vεm(t) + φ(t)|γ+1|φ0(t)| + |vεm0 (t) + φ0(t)|ρ+1|φ0(t)|)dΓ ≤ γ + 1 γ + 2 ||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 + c1||φ 0(t)||γ+2 H1/2(Γ 0) +η 2||v 0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0 + c2||φ 0(t)||ρ+2 H1/2(Γ0).
Substituindo as desigualdades acima obtidas em (2.20), usando o fato de que u1 ∈ H1/2(Γ
0), (H.5) e que H1/2(Γ0) ,→ L2(Γ0) temos que
(2.21) I2 ≤ c + 1 2|vεm(t) + φ(t)| 2 Γ0 + η 2|v 0 εm(t) + φ0(t)|2Γ0 + γ + 1 γ + 2||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 +η 2||v 0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0 + Z Γ0 M7|vεm(t) + φ(t)|γ|vεm0 (t) + φ0(t)| |φ0(t)|dΓ + Z Γ0 M7|v0εm(t) + φ0(t)|ρ|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ.
Por outro lado, como 1
p1 + 1 p2 + 1 p3 = 1, onde p1 = ρ + 2 ρ , p2 = ρ + 2 e p3 = ρ + 2,
podemos aplicar a desigualdade de H¨older generalizada e obtermos que Z Γ0 M7|v0εm(t) + φ0(t)|ρ|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ ≤ M7|| |v0εm(t) + φ0(t)|ρ||ρ+2 ρ ,Γ0||vεm(t) + φ(t)||ρ+2,Γ0||φ 0(t)|| ρ+2,Γ0 = M7||vεm0 (t) + φ0(t)||ρρ+2,Γ0||vεm(t) + φ(t)||ρ+2,Γ0||φ 0(t)|| ρ+2,Γ0 ≤ η 2ρ+3||v 0 εm(t) + φ0(t)||2ρρ+2,Γ0 + c||vεm(t) + φ(t)|| 2 ρ+2,Γ0||φ 0(t)||2 ρ+1,Γ0,
onde a ´ultima desigualdade decorre da desigualdade de Young. Novamente, pela hip´otese (H.5) e que H1/2(Γ
0) ,→ L2(Γ0) podemos reescrever a desigualdade anterior
Z Γ0 M7|vεm0 (t) + φ0(t)|ρ|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ ≤ η 2ρ+3||v 0 εm(t) + φ0(t)||2ρρ+2,Γ0 c1||vεm(t) + φ(t)||2ρ+2.Γ0 ≤ η 2ρ+3 ³ 1 + ||v0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2,Γ0 ´2ρ + c1||vεm(t) + φ(t)||2ρ+2.Γ0.
Al´em disso, pelo fato de ρ ≤ 1 segue que 2ρ ≤ ρ + 2 e assim, obtemos que Z Γ0 M7|vεm0 (t) + φ0(t)|ρ|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ ≤ η 2ρ+3 ¡ 1 + ||vεm0 (t) + φ0(t)||ρ+2,Γ0¢ρ+2 + c1||vεm(t) + φ(t)||2ρ+2,Γ0 ≤ η 2+ η 2||v 0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0+ c1||vεm(t) + φ(t)|| 2 ρ+2,Γ0.
Devido `a Observa¸c˜ao 2.1 temos que
(2.22) Z Γ0 M7|v0εm(t) + φ0(t)|ρ|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ ≤ η 2 + η 2||v 0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0 + c2||vεm(t) + φ(t)|| 2 H1/2(Γ0)
Analogamente, segue que
(2.23) Z Γ0 M7|vεm(t) + φ(t)|γ|vεm0 (t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ ≤ c3+ η 2|v 0 εm(t) + φ0(t)|2Γ0 + c4||vεm(t) + φ(t)|| 2 H1/2(Γ0)
Substituindo (2.22) e (2.23) em (2.21) segue que
I2 ≤ c5+ 1 2|vεm(t) + φ(t)| 2 Γ0 + η|v 0 εm(t) + φ0(t)|2Γ0 + γ + 1 γ + 2||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 + η||v0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0 + c6||vεm(t) + φ(t)||2H1/2(Γ0) Da imers˜ao H1/2(Γ 0) ,→ L2(Γ0) obtemos (2.24) I2 ≤ c5+ c||vεm(t) + φ(t)||2H1/2(Γ0)+ η|v0εm(t) + φ0(t)|2Γ0 +γ + 1 γ + 2||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 + η||v 0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0 2o
I2 ≤ Z Γ0 |F (vεm(t) + φ(t), vεm0 (t) + φ0(t))| |φ0(t)|dΓ ≤ Z Γ0 M7(|vεm(t) + φ(t)| + |v0εm(t) + φ0(t)| + |vεm(t) + φ(t)|γ+1 + |v0εm(t) + φ0(t)|ρ+1)|φ0(t)|dΓ = Z Γ0 M7|vεm(t) + φ(t)| |φ0(t)|dΓ + Z Γ0 M7|vεm0 (t) + φ0(t)| |φ0(t)|dΓ + Z Γ0 M7|vεm(t) + φ(t)|γ+1|φ0(t)|dΓ + Z Γ0 M7|vεm0 (t) + φ0(t)|ρ+1|φ0(t)|dΓ
e utilizando os c´alculos anteriores, temos que
(2.25) I2 ≤ c6+ c7||vεm(t) + φ(t)||2H1/2(Γ 0)+ η|v 0 εm(t) + φ0(t)|2Γ0 +γ + 1 γ + 2||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 + η||vεm0 (t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0
Sendo assim, substituindo (2.19) e (2.24) (ou (2.25)) em (2.18) e considerando η suficien-temente pequeno, deduzimos que
(2.26) d dt ½ 1 2| p Kε(t)v0εm(t)|2Γ0 + 1 2 Avεm(t), vεm(t) ® Γ0 + M3 γ + 2||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 ¾ + δ|v0 εm(t)|2Γ0 + (M1 − η)|v 0 εm(t) + φ0(t)|2Γ0 + (M2 − η)||v 0 εm(t) + φ0(t)||ρ+2ρ+2,Γ0 ≤ c5+ c||vεm(t) + φ(t)||2H1/2(Γ0)+ γ + 1 γ + 2||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 + d dthG(t), vεm(t)iΓ0 − hG 0(t), v εm(t)iΓ0.
Integrando (2.26) de 0 a t. Notando que vεm(0) = v0εm(0) = 0 e considerando (2.2), temos
(2.27) 1 2| p Kε(t)vεm0 (t)|2Γ0 + β 2||vεm(t)|| 2 H1/2(Γ0)+ M3 γ + 2 ||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 δ Z t 0 |v0 εm(s)|2Γ0ds + (M1− η) Z t 0 |v0 εm(s) + φ0(s)|2Γ0ds + (M2 − η) Z t 0 ||v0 εm(s) + φ0(s)||ρ+2ρ+2,Γ0ds ≤ M3 γ + 2 ||u 0||γ+2 γ+2,Γ0 cT + hG(t), vεm(t)iΓ0 + c1 Z t 0 ||vεm(s) + φ(s)||2H1/2(Γ 0)ds +γ + 1 γ + 2 Z t 0 ||vεm(s) + φ(s)||γ+2γ+2,Γ0ds − Z t 0 hG0(s), v εm(s)iΓ0ds. Pelo fato de φ(x, t) = u0(x) + tu1(x) e u0 ∈ H e u1 ∈ H1/2(Γ 0) segue que (2.28) c1 Z t 0 ||vεm(s) + φ(s)||2H1/2(Γ0)ds ≤ c + c2 Z t 0 ||vεm(s)||2H1/2(Γ0)ds.
Al´em disso, pela desigualdade de Young temos
− Z t 0 hG0(s), v εm(s)iΓ0ds ≤ Z t 0 |hG0(s), v εm(s)iΓ0|ds ≤ 1 2 Z t 0 ||G0(s)||2 H−1/2(Γ0)ds + 1 2 Z t 0 ||vεm(s)||2H1/2(Γ0)ds. Como G0(t) = −α0u1− Au1 e A : H+1/2(Γ
0) → H−1/2(Γ0) ´e um operador cont´ınuo vem
que ||G0(s)||2 H−1/2(Γ0) ≤ n ||α0u1|| H−1/2(Γ0)+ ||Au1||H−1/2(Γ0) o2 ≤ 2||α0u1||2H−1/2(Γ0)+ 2||Au1||2H−1/2(Γ0) ≤ c3 e conseq¨uentemente (2.29) − Z t 0 hG0(s), vεm(s)iΓ0ds ≤ c4+1 2 Z t 0 ||vεm(s)||2H1/2(Γ0)ds. Tamb´em, hG(t), vεm(t)iΓ0 ≤ |hG(t), vεm(t)iΓ0| ≤ ||G(t)||H−1/2(Γ0)||vεm(t)||H1/2(Γ0)
e considerando η > 0, obtemos hG(t), vεm(t)iΓ0 ≤ 1 4η ||G(t)|| 2 H−1/2(Γ0)+ η||vεm(t)||2H1/2(Γ0).
Usando a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao G(t) e procedendo de maneira an´aloga `a obten¸c˜ao de (2.29) segue que
(2.30) hG(t), vεmiΓ0 ≤ c + η||vεm(t)||2H1/2(Γ 0).
Agora, substituindo (2.28), (2.29) e (2.30) em (2.27) decorre que 1 2| p Kε(t)vεm0 (t)|2Γ0 + µ β 2 − η ¶ ||vεm(t)||2H1/2(Γ 0)+ M3 γ + 2||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 + δ Z t 0 |v0 εm(s)|2Γ0ds + (M1− η) Z t 0 |v0 εm(s) + φ0(s)|2Γ0ds + (M2− η) Z t 0 ||v0 εm(s) + φ0(s)||ρ+2ρ+2,Γ0ds ≤ c6+ c7 Z t 0 ||vεm(s)||2H1/2(Γ0)ds +γ + 1 γ + 2 Z t 0 ||vεm(s) + φ(s)||γ+2γ+2,Γ0ds.
Tomando η suficientemente pequeno e M > 0 definido como
M = m´ın ½ 1 2, β 2 − η, M3 γ + 2, δ, M1− η, M2− η ¾ . Segue que |pKε(t)vεm0 (t)|2Γ0 + ||vεm(t)|| 2 H1/2(Γ 0)+ ||vεm(t) + φ(t)|| γ+2 γ+2,Γ0 + Z t 0 |v0 εm(s)|2Γ0ds + Z t 0 |v0 εm(s) + φ0(s)|2Γ0ds + Z t 0 ||v0 εm(s) + φ0(s)||ρ+2ρ+2,Γ0ds ≤ c6 M + c7 M Z t 0 ||vεm(s)||2H1/2(Γ0)ds + γ + 1 M(γ + 2) Z t 0 ||vεm(s) + φ(s)||γ+2γ+2Γ0ds.
