Planejamento e Otimização de Experimentos

Planejamento e Otimização

de Experimentos

Planejamentos Fatoriais

Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira

anselmo.quimica.ufg.br anselmo.disciplinas@gmail.com

Fatores e Níves

Fatores ou Variáveis

• Temperatura

• Pressão

• Concentração

• Tempo

• Solvente

• Fluxo/Vazão

• Agitação/Rotação

• Catalisador

Níveis

• 25 e 50

o

_C

• 1, 5 e 10 atm

• ppm, % e m/v

• 1 min, 2 e 6 h

• Puro ou mistura

• 10 e 20 mL/h

• 100 e 200 rpm

• A, B, ...

• Selecionar um número fixo de

níveis

para uma

das variáveis (

fatores

)

• Experimentos com todas as combinações

possíveis

– Exemplo

• n

₁

= 2

• n

₂

= 3

• n

₃

= 5

Fatorial 𝑛

₁

× 𝑛

₂

× 𝑛

₃

= 2 × 3 × 5 = 30 experimentos

𝑛

₁

= 𝑛

₂

= 𝑛

₃

= 2



Fatorial 2

3

_{= 8 experimentos}

Exemplo: planta piloto

Variáveis Quantitativas

•

Temperatura, T

160 o_{C (-)} 180 o_{C (+)} •

_{Concentração, C}

20% (-) 40% (+)

Variáveis Qualitativas

•

Catalisador, K

A (-) B (+) •

_Resposta

Rendimento químico

Variáveis

• T /

o

_C

• C /%

• K

-

• 160

• 20

• A

+

• 180

• 40

• B

Níveis

• Fatorial 2

N

_{, com N o número de variáveis}

N = 3



Fatorial 2

3



_{8 experimentos}

• Matriz de Planejamento

experimento Temperatura T /o_C Concentração C /% Catalisador K Rendimento

𝒚

/g 1 160 20 A 60 2 180 20 A 72 3 160 40 A 54 4 180 40 A 68 5 160 20 B 52 6 180 20 B 83 7 160 40 B 45 8 180 40 B 80

•

Distribuição Normal

–

Amostra

•

aleatória

•

representativa

•

Planejamento Fatorial

•

aleatoriedade

– experimentos realizados de modo aleatório

•

representatividade

– combinação de todos os possíveis níveis dos fatores

Matriz de Contrastes do Planejamento

experimento Temperatura

T /o_C Concentração _{C /%} Catalisador _K Rendimento

_𝒚

_/g

1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80

Rendimento

𝒚

/g

(1)

60

a

72

b

54

ab

68

c

52

ac

83

bc

45

abc

80

existem quatro medidas dos efeitos da temperatura

Efeitos Principais: Temperatura

Efeito

de uma fator é a mudança na resposta quando

passamos no nível

-

para o nível

+

desse fator

experimento C K 𝒚 - - - - 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 T - + 1 2

diferença nos rendimentos

depende apenas da temperatura

60 72

• Medidas individuais dos efeitos quando a

temperatura muda de 160 para 180

o

_C

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 72 – 60 = 12 68 – 54 = 14 83 – 52 = 31 80 – 45 = 35

•

Efeito principal da temperatura

aumentando a temperatura de

160 para

180

o

_{C, o}

rendimento da reação aumenta 23 g, em média

𝑇 = 23

experimento

_T

C K 𝒚 1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 +12 +14 +31 +35 efeito mais acentuado

O efeito da temperatura depende do tipo do catalisador

Efeitos Principais: Concentração

• Medidas individuais dos efeitos quando a

concentração muda de 20 para 40%

existem quatro medidas dos efeitos da concentração experimento T K 𝒚 - - 2 + - - 72 - - 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 C - + 1 3

diferença nos rendimentos depende apenas da

concentração

60 54

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 𝟓𝟒 − 𝟔𝟎 = −𝟔 𝟔𝟖 – 𝟕𝟐 = −𝟒 𝟒𝟓 – 𝟓𝟐 = −𝟕 𝟖𝟎 – 𝟖𝟑 = −𝟑

•

Efeito principal da concentração

aumentando a concentração de 20 para 40%,

o rendimento da reação diminui 5 g, em média

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 −𝟔 −𝟒 −𝟕 −𝟑

os efeitos individuais da concentração não indicam efeito

sinérgico

Efeitos Principais: Catalisador

•

Medidas individuais dos efeitos quando o

catalisador muda de A para B

existem quatro medidas dos efeitos do catalisador experimento T C 𝒚 - - 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 - - 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 K - + 1 5

diferença nos rendimentos depende apenas do tipo de catalisador

60

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 𝟓𝟐 – 𝟔𝟎 = −𝟖 𝟖𝟑 – 𝟕𝟐 = +𝟏𝟏 𝟒𝟓 – 𝟓𝟒 = −𝟗 𝟖𝟎 – 𝟔𝟖 = +𝟏𝟐

•

Efeito principal do catalisador

a mudança do catalisador de A para B aumenta o

rendimento da reação em 1,5 g, em média

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80

os efeitos individuais do catalisador indicam que há efeito

sinérgico com a temperatura

-8

+11

-9

Diferença entre duas médias

Efeito principal = 𝑦

₊

− 𝑦

₋

resposta média para o nível + resposta média para o nível –

•

Efeito da temperatura

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 y₁ 2 + - - 72 y₂ 3 - + - 54 y₃ 4 + + - 68 y₄ 5 - - + 52 y₅ 6 + - + 83 y₆ 7 - + + 45 y₇ 8 + + + 80 y₈

•

Efeito da concentração

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 y₁ 2 + - - 72 y₂ 3 - + - 54 y₃ 4 + + - 68 y₄ 5 - - + 52 y₅ 6 + - + 83 y₆ 7 - + + 45 y₇ 8 + + + 80 y₈

•

Efeito do catalisador

experimento T C K 𝒚 1 - - - 60 y₁ 2 + - - 72 y₂ 3 - + - 54 y₃ 4 + + - 68 y₄ 5 - - + 52 y₅ 6 + - + 83 y₆ 7 - + + 45 y₇ 8 + + + 80 y₈

• Efeitos principais

T = 23

C = -5

K = 1,5

Efeitos de interação

•

Entre dois fatores

T = 23, porém o efeito da temperatura é muito

maior com o catalisador B do que com o A

variáveis temperatura e catalisador não se

comportam aditivamente



INTERAGEM

INTERAÇÃO = diferença entre o efeito médio da temperatura

com o catalisador A e com o catalisador B

Temperatura



Catalisador

•

Interação entre a temperatura e o catalisador, TK

experimento T C K 1 - - - 60 2 + - - 72 3 - + - 54 4 + + - 68 5 - - + 52 6 + - + 83 7 - + + 45 8 + + + 80 +12 +14 +31 +35

•

Vimos que um efeito é uma diferença entre médias

usar como nível + os resultados aonde a temperatura e o catalisador

apresentam os mesmos níveis

experimento T C K 1 - - - 60 y₁ 2 + - - 72 y₂ 3 - + - 54 y₃ 4 + + - 68 y₄ 5 - - + 52 y₅ 6 + - + 83 y₆ 7 - + + 45 y₇ 8 + + + 80 y₈

usar como nível – os resultados aonde a temperatura e o catalisador

Temperatura



Concentração

usar como nível + os resultados aonde a temperatura e a concentração

apresentam os mesmos níveis

experimento T C K 1 - - - 60 y₁ 2 + - - 72 y₂ 3 - + - 54 y₃ 4 + + - 68 y₄ 5 - - + 52 y₅ 6 + - + 83 y₆ 7 - + + 45 y₇ 8 + + + 80 y₈

usar como nível – os resultados aonde a temperatura e a concentração

apresentam níveis diferentes

Concentração



Catalisador

usar como nível + os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam os mesmos níveis experimento T C K 1 - - - 60 y₁ 2 + - - 72 y₂ 3 - + - 54 y₃ 4 + + - 68 y₄ 5 - - + 52 y₅ 6 + - + 83 y₆ 7 - + + 45 y₇ 8 + + + 80 y₈

usar como nível – os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam

níveis diferentes

Efeitos de interação

•

Efeitos secundários

TK = 10

TC = 1,5

CK = 0

efeito caracteriza o sinergismo entre as variáveis Temperatura e Catalisador

efeitos caracterizam a falta de sinergismo entre a variável Concentração e as variáveis Temperatura e Catalisador

Interação entre três fatores

•

De modo similar ao que pode ser aplicado para o

cálculo de qualquer efeito, o nível

+

para o efeito

médio resulta dos produtos dos contrastes de cada

fator, em cada experimento, com resultado

+

•

Idem para o nível –

- - +  +

- - -  -

•

interação entre temperatura, concentração e

catalisador

experimento T C K 1 - - - 60 y₁ 2 + - - 72 y₂ 3 - + - 54 y₃ 4 + + - 68 y₄ 5 - - + 52 y₅ 6 + - + 83 y₆ 7 - + + 45 y₇ 8 + + + 80 y₈

Representação Gráfica

+12 -9 +11 -8 -3 -4 -7 -6 +35 +14 +31 +12 (-) (+) temperatura (o_C) 160 180 (+) (-) A B (-) (+) con cen tr açã o ( % ) 20 40

60

(1)

54

(3)

45

(7)

₈₀

₍₈₎

68

(4)

83

(6)

72

(2)

52

(5)

Interpretação dos Resultados

•

Média = 64,25

•

T = 23

•

C = -5

•

K = 1,5

•

TC = 1,5

•

TK = 10

•

CK = 0

•

TCK = 0,5

o efeito principal de uma variável deve ser

interpretado individualmente apenas quando

há evidência de que a variável não interage

com outras variáveis

o efeito médio da concentração, C, é

o de reduzir o rendimento em cerca

de 5 g

•

Os efeitos da temperatura, T, e do catalisador, K, não

podem ser avaliados separadamente devido à grande

interação TK (= 10).

–

Esse efeito decorre da sensibilidade à mudança de temperatura

pelos dois catalisadores

(-) (+) ca talisador A B temperatura (o_C) (-) (+) 160 180

48,5

81,5

57

+13

70

+33 -8,5 +11,5

A troca do catalisador A por B,

a 160

o

_{C, levará a conclusões}

diferentes se esse mesmo

experimento for conduzido a

180

o

_C:

• 160

o

_{C: A melhor que B}

• The regression model representation

𝑦 = 𝛽

₀

+ 𝛽

₁

𝑥

₁

+ 𝛽

₂

𝑥

₂

+ 𝛽

₁₂

𝑥

₁

𝑥

₂

+ 𝜖

– The variables 𝑥

₁

and 𝑥

₂

are defined on a coded scale

from −1 to +1 (the low and high level of A and B),

and 𝑥

₁

𝑥

₂

represents the interaction between 𝑥

₁

and

𝑥

₂

– The parameter estimates in this regression model turn

out to be related to the effect estimates

• Ex: A = 21, B = 11, AB = 1, and Mean = 35.5

𝛽

₁

= 21/2, 𝛽

₂

= 11/2, 𝛽

₁₂

= 1/2 and 𝛽

₀

= 35.5

𝑦 = 35.5 + 10.5𝑥

₁

+ 5.5𝑥

₂

+ 0.5𝑥

₁

𝑥

₂

Since the interaction coefficient (𝛽

₁₂

= 0.5) is small relative to

the main effect coefficients 𝛽

₁

and 𝛽

₂

Surface plot

Contour plot

>> X1 = -1:.1:1 >> X2 = X1 >> [x1,x2] = meshgrid(X1,X2); >> y = 35.5 + 10.5*x1 + 5.5*x2; >> surf(x1,x2,y)

>> xlabel("x1"); ylabel("x2"); zlabel("x3"); >> contour(x1,x2,y)

Cálculo dos Erros

•

Efeitos significativos

–

Variações entre os experimentos realizados nas

mesmas condições experimentais

–

Variabilidade total que afeta os experimentos

realizados em diferentes condições

experimentais

–

Aleatoriedade da ordem de realização dos

•

Experimento

etapas

1

2

3

4

. .

.

Repetição de um experimento genuíno

experimentos genuínos

n-ésima replicata do experimento i

graus de liberdade

experimento y₁ y₂ 𝒚_𝒊 1 59 61 60 2 74 70 72 3 50 58 54 4 69 67 68 5 50 54 52 6 81 85 83 7 46 44 45 8 79 81 80 𝒔_𝒊𝟐 2 8 32 2 8 8 2 2 𝝂_𝒊 1 1 1 1 1 1 1 1 8 𝝂_𝒊𝒔_𝒊𝟐 2 8 32 2 8 8 2 2 64 64 soma  8

com



= 8 graus

de liberdade

as replicatas também são realizadas de modo aleatório

𝒔

𝟐

=

𝟏

O que interessa é o erro dos efeitos

Efeito principal = 𝑦

₊

− 𝑦

₋

resposta média para o nível + resposta média para o nível –

Assumindo que os erros são independentes

• cada termo é uma média de 8 observações (replicatas)

• variância da média é 𝑠_{𝑚é𝑑𝑖𝑎}2 ₌ 𝜎2 𝑁

usando s2 _{(= 8) como estimativa de} s2

𝒔

_{𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐}

𝟐

= 𝒔

𝟐

𝒚

₊

± 𝒚

₋

= 𝒔

𝟐

𝒚

₊

+ 𝒔

𝟐

𝒚

₋

𝒔

_{𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐}

𝟐

=

𝝈

𝟐

𝟖

+

𝝈

𝟐

𝟖

=

𝝈

𝟐

𝟒

𝒔

_{𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐}

𝟐

=

𝟖

𝟒

= 𝟐

Logo, o erro estimado para cada efeito é

Para a média, a variância da média é 𝑠

_{𝑚é𝑑𝑖𝑎}

2

₌

𝜎

2

𝑁

N = 8 x 2 = 16

s

= s = 2,8

(estimativa conjunta da variância)

𝒔

_{𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐}

= 𝟐 = 𝟏, 𝟒

𝒔

_{𝒎é𝒅𝒊𝒂}𝟐

=

𝟐, 𝟖

M

= 64,25  0,7

T

= 23  1,4

C

= -5,0  1,4

K

= 1,5  1,4

TC

= 1,5  1,4

TK

= 10,0  1,4

CK

= 0,0  1,4

TCK

= 0,5  1,4

exceto T, C e TK os outros

efeitos podem ser gerados

por ruídos

Riccardo Manzini, Mauro Gamberi, Alberto Regattieri, (2005) "Design and control of a flexible order-picking system (FOPS): A new integrated approach to the implementation of an expert system", Journal of

Analysis of Variance

Effects A B C AB AC BC ABC (1) - - - + + + - a + - - - - + + b - + - - + - + c - - + + - - + ab + + - + - - - ac + - + - + - - bc - + + - - + - abc + + + + + + +

2

3

_{factorial design:}

𝑛 replicates 𝐴 = 1 4𝑛 − 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 𝐵, 𝐶, … 𝑆𝑆_𝐴 = 1 8𝑛 − 1 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 2 𝑆𝑆𝐵, 𝑆𝑆𝐶, … 𝑆𝑆_𝑇 = 𝑦_{𝑖𝑗𝑘𝑙}2 𝑛 𝑙=1 2 𝑘=1 2 𝑗=1 2 𝑖=1 −𝑦…. 2 8𝑛 𝑆𝑆𝐸 is obtained by subtraction

exp A B C AB AC BC ABC y1 y2 Total 1 (1) -1 -1 -1 1 1 1 -1 59 61 120 2 a 1 -1 -1 -1 -1 1 1 74 70 144 3 b -1 1 -1 -1 1 -1 1 50 58 108 4 ab 1 1 -1 1 -1 -1 -1 69 67 136 5 c -1 -1 1 1 -1 -1 1 50 54 104 6 ac 1 -1 1 -1 1 -1 -1 81 85 166 7 bc -1 1 1 -1 -1 1 -1 46 44 90 8 abc 1 1 1 1 1 1 1 79 81 160 -120 -120 -120 120 120 120 -120 144 -144 -144 -144 -144 144 144 -108 108 -108 -108 108 -108 108 136 136 -136 136 -136 -136 -136 -104 -104 104 104 -104 -104 104 166 -166 166 -166 166 -166 -166 -90 90 90 -90 -90 90 -90 160 160 160 160 160 160 160

effect 23 -5 1.5 1.5 10 0 0.5 Total Error

SS 2116 100 9 9 400 0 1 2699 64

DF 1 1 1 1 1 1 1 15 8

MS 2116 100 9 9 400 0 1 8

F 264.5 12.5 1.125 1.125 50 0 0.125

The Addition of Center Points to the 2

k

_Design

• Assumption of linearity

• Interaction terms represent some curvature in the response function 𝑦 = 𝛽₀ + 𝛽_𝑗𝑥_𝑗 𝑘 𝑗=1 + 𝛽_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗 𝑗 𝑖< + 𝜖 >> X1=-1:.1:1 >> X2=X1 >> [x1,x2]=meshgrid(X1,X2); >> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2; >> subplot(2,2,1),surf(x1,x2,y) >> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x2; >> subplot(2,2,2),surf(x1,x2,y) >> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1; >> subplot(2,2,3),surf(x1,x2,y) >> y=35.5+10.5*x1+5.5*x2+8*x1.*x1-7*x2.*x2; >> subplot(2,2,4),surf(x1,x2,y)

• When curvature is not adequately modeled by the first-order model 𝑦 = 𝛽₀ + 𝛽_𝑗𝑥_𝑗 𝑘 𝑗=1 + 𝛽_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑥_𝑗 𝑗 𝑖< + 𝛽_𝑗𝑗𝑥_𝑗𝑗2 𝑘 𝑗=1 + 𝜖

A method that will provide protection against curvature from second-order effect as well as allow an independent estimate of error to be obtained consists of adding center points to the 2k _design

(- -) (+ -) (- +) (+ +)

(0 0)

Suppose that the curvature test is significant so that we will have to assume a second-order model such as

𝑦 = 𝛽₀ + 𝛽₁𝑥₁ + 𝛽₂𝑥₂ + 𝛽₁₂𝑥₁𝑥₂ + 𝛽₁₁𝑥₁2 + 𝛽₂₂𝑥₂2 + 𝜖 There are six parameters to estimate and the 22

design and center points have only five independent runs

⟹ augment the 2k _{design with four axial runs}

Blocagem

•

Blocking

2 x 4

2

3

_{= 8 experimentos}



_{mistura homogênea}

um reagente/material não é suficiente para a

realização dos 8 experimentos

experimento 1 2 3 4 5 6 7 8 1 - + - + - + - + 2 - - + + - - + + 3 - - - - + + + + 123 - + + - + - - +

Bloco I

123

= -

experimento 1 2 3 1 - - -4 + + -6 + - + 7 - + + experimento 1 2 3 2 + - -3 - + -5 - - + 8 + + +

Bloco II

123

= +

experimento 1 2 3 1 - - -4 + + -6 + - + 7 - + + experimento 1 2 3 2 + - -3 - + -5 - - + 8 + + +

a idéia é confundir (confounding) a

interação entre os três fatores,

com a diferença nas misturas

variável 4



Blocagem

Operação Evolucionária (EVOP)

planta piloto

grande escala

condições ótimas

quando as mudanças não são grandes, ou bruscas

EVOP

pequenas mudanças no nível de operação das variáveis

2K _{pontos (centrado}

na melhor condição experimental)

ciclo: após uma medida em cada

ponto vários ciclos

efeitos e interações podem apresentar um efeito significativo na resposta mudar as condições de operação para melhorar a resposta fase é completada quando a melhoria nas condições é completada

k fatores



2

k

_experimentos

alguns efeitos são desprezíveis

•

É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou

o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos

principais e de interação

•

Pode ser projetado em planejamentos maiores no

subconjunto dos fatores significativos

•

É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,

planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,

um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e

das combinações de interesse.

Redundância em um Planejamento

k = 7



2

7

_{= 128 experimentos}

Quantos efeitos resultam?

combinações simples de n elementos tomados

k a k, sem repetição (elementos distintos)

𝑛

𝑘

=

𝑛!

média = 1

efeitos principais (n = 7, k = 1)

efeitos secundários (n = 7, k = 2)

efeitos terciários (n = 7, k = 3)

n = 7, k = 4

n = 7, k = 5

n = 7, k = 6

n = 7, k = 7

128 efeitos

7

1

= 7

7

2

= 21

7

3

= 35

7

4

= 35

.

.

.

7

7

= 1

Redundância e o Número de Efeitos

• se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à

redundância em um fatorial 2

k

• Fatorial 2

3-1

– Três fatores, dois níveis

• 2

3

_{= 8 experimentos}

– Possível: 4 experimentos

• 2

3-1

_{= 4 experimentos}

experimento 1 2 3 4 5 6 7 8 A - + - + - + - + B - - + + - - + + C - - - - + + + + ABC - + + - + - - + I + + + + + + + + experimento ABC 1 -4 -6 -7 -experimento ABC 2 + 3 + 5 + 8 +

Gerador

ABC



gerador

•

ABC =

+

•

ABC =

-

Efeitos p/ gerador I = ABC

efeitos principais

experimento 2 a 3 b 5 c 8 abc I + + + + A + - - + B - + - + C - - + + AB - - + + AC - + - + BC + - - + ABC + + + +

efeitos de interação

não se pode diferenciar entre

–

A e BC

–

B e AC

–

C e AB

•

estimativas

o

A = 𝓁

_A

+ 𝓁

_BC o

B = 𝓁

_B

+ 𝓁

_AC o

C = 𝓁

_C

+ 𝓁

_AB

ou

o

𝓁

_A

 A + BC

o

𝓁

_B

 B + AC

o

𝓁

_C

 C + AB

alias

Meia Fração

relação de definição I = ABC

multiplicando por A pela esquerda

A.I = A.ABC

A = A

2

_BC

_A

2

_{= I}

A = BC

Efeitos p/ gerador I = -ABC

calcule os efeitos principais e os de interação

experimento 1 (1) 4 ab 6 ac 7 bc I + + + + A - + + - B - + - + C - - + + AB + + - - AC + - + - BC + - - + ABC - - - -

Construção das meias frações: 2

3-1

1. Montar o planejamento completo 2

k-1

fatorial 22 experimento A B 1 - - 2 + - 3 - + 4 + + fatorial 23-1 _{; I = ABC} A B C = AB - - + + - - - + - + + + fatorial 23-1 _{; I =} -_ABC A B C = -AB - - - + - + - + + + + -

2.

Adicionar o k-ésimo fator de

acordo com o gerador

Resolução

I = ABC



planejamento de resolução III, 2

_𝐼𝐼𝐼3−1

I = ABCD



planejamento de resolução IV, 2

_𝐼𝑉4−1

I = ABCDE



planejamento de resolução V, 2

_𝑉5−1

...

Em geral, é o tamanho da menor palavra na

relação de definição

Projeção de frações em fatoriais

Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução

R, contém planejamentos fatoriais completos em

qualquer subconjunto R-1 de fatores

existem vários fatores de interesse potencial, mas acredita-se que apenas

R-1 desses fatores têm efeitos

importantes

Exemplo:

velocidade de filtração

A = temperatura

B = pressão

C = concentração de formaldeído

D = taxa de agitação

resposta: velocidade de filtração (gal/h)

experimento 𝒚 (1) 45 a 71 b 48 ab 65 c 68 ac 60 bc 80 abc 65 d 43 ad 100 bd 45 abd 104 cd 75 acd 86 bcd 70 abcd 96

A = 21,625

C = 9,875

D = 14,625

AC = -18,125

AD = 16,625

•

Planejamento Fatorial Completo 2

4

experimento A B C 1 - - -2 + - -3 - + -4 + + -5 - - + 6 + - + 7 - + + 8 + + + D = ABC y - 45 (1) + 100 ad + 45 bd - 65 ab + 75 cd - 60 ac - 80 bc + 96 abcd

–

efeitos principais

A.I = A.ABCD A = A2_BCD A = BCD B.I = B.ABCD B = AB2_CD B = ACD C.I = C.ABCD C = ABC2_D C = ABD D.I = D.ABCD D = ABCD2 D = ABC

• 2

4-1

_{com gerador I = ABCD, 𝟐}

𝑰𝑽

𝟒−𝟏

–

interações de dois fatores

AB.I = AB.ABCD AB = A2_B2_CD AB = CD AC.I = AC.ABCD AC = A2_BC2_D AC = BD AD.I = AD.ABCD AD = A2_BCD2 AD = BC

fatorial 2

3

_{= 7 efeitos}

o 3 principais o 3 de 2ª ordem o 1 de 3ª ordem

fatorial 2

4-1

_{= 7 efeitos}

o 4 principais o 3 de 2ª ordem

estimativa do efeito principal A

estimativa do efeito de interação AB

𝑦

45

(1)

100

ad

45

bd

65

ab

75

cd

60

ac

80

bc

96

abcd



𝓁

_A

= 19



_𝓁

_B

= 1,5



_𝓁

_C

= 14



_𝓁

_D

= 16,5



_𝓁

_AB

= -1



_𝓁

_AC

= -18,5



𝓁

_AD

= 19

como o efeito de B é pequeno (𝓁

_B

), espera-se pouca interação

entre B e A, C e D. Logo 𝓁

_AC



AC e 𝓁

_AD



AD

Fatorial 2

4

•

A = 21,625

•

C = 9,875

•

D = 14,625

•

AC = -18,125

•

AD = 16,625

Assim, tem-se um fatorial 2

4-1

_{projetado em um}

fatorial 2

3

_{, com os fatores A, C e D}

(-) (+)

A

(+) (-)

D

(-) (+)

C

45 80 75 96 60 100 65 45 AC: A(-)  A(+) • C(-)  45  65 • C(+)  80  60 AD: A(-)  A(+) • D(-)  45  65 • D(+)  45  100

com base na tabela do planejamento, como fica o cubo de respostas? 𝑦 45 (1) 100 ad 45 bd 65 ab 75 cd 60 ac 80 bc 96 abcd

•

Modelo

𝑦 = 𝛽

₀

+ 𝛽

_𝐴

𝐴 + 𝛽

_𝐶

𝐶 + 𝛽

_𝐷

𝐷 + 𝛽

_𝐴𝐷

𝐴𝐶 + 𝛽

_𝐴𝐷

𝐴𝐷

𝑦 = 𝛽

₀

+ 𝛽

₁

𝑥

₁

+ 𝛽

₃

𝑥

₃

+ 𝛽

₄

𝑥

₄

+ 𝛽

₁₃

𝑥

₁

𝑥

₃

+ 𝛽

₁₄

𝑥

₁

𝑥

₄

𝑦 = 70.75 +

19

2

𝑥

1

+

14

2

𝑥

3

+

16.5

2

𝑥

4

−

18.5

2

𝑥

1

𝑥

3

+

19

2

𝑥

1

𝑥

4

𝑦 = 70.75 + 8.5𝑥

₁

+ 7𝑥

₃

+ 8.25𝑥

₄

− 9.25𝑥

₁

𝑥

₃

+ 9.5𝑥

₁

𝑥

₄ >> x1=-1:.1:1; >> x3=x1; x4=x1; >> [X1,X3,X4]=meshgrid(x1,x3,x4); >> Y=70.75+8.5*X1+7*X3+8.25*X4-9.25*X1.*X3+9.5*X1.*X4; >> slice(X1,X3,X4,Y,[-1. 1.],[-1. 1.],[-1. 1.]) >> xlabel("X1-Temperatura"); >> ylabel("X3-Concentracao Formaldeido"); >> zlabel("X4-Taxa de Agitacao"); >> colorbar on

Velocidade de filtração (gal/h)

Fatorial Fracionário 2

k-p

2

k-p

_{experimentos =}

1 2𝑝

fração do planejamento 2

k

2

k-2

_{experimentos =}

1 2



2

=

1 4

fração de 2

k

•

p geradores independentes

•

a relação de definição completa consiste de todas as

colunas que são iguais à coluna identidade, I

ex: k = 6, p = 2



2

6-2

geradores:

I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF

geradores:

I = ABCE (E = ABC)

I = BCDF (F = BCD)

I = ADEF

•

para A

A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF

A = A

2

_{BCE = ABCDF = A}

2

_DEF

A = BCE = ABCDF = DEF

•

para AB

AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF

AB = A

2

_B

2

_{CE = AB}

2

_{CDF = A}

2

_BDEF

AB = CE = ACDF = BDEF

experimento

A

B

C

D

1

-

-

-

-2

+

-

-

-3

-

+

-

-4

+

+

-

-

   

E = ABC

F = BCD

-

-+

-+

+

-

+





Summary tables of useful fractional factorial designs