A resolução de problemas como metodologia de ensino para a aprendizagem significativa de conceitos matemáticos.

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A resolução de problemas como metodologia de

ensino para a aprendizagem significativa de

conceitos matemáticos.

Prof. Dr. Héctor José García Mendoza

https://w3.dmat.ufrr.br/hector 1

Universidade Federal de Roraima

XIV Semana da Matemática

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Aprendizagem Significativa

Aquisição de novos significados pressupõe uma tendência para a aprendizagem significativa e uma tarefa de aprendizagem potencialmente significativa (ou seja, uma tarefa que pode ser substancialmente e não arbitrariamente relacionada com o que o aluno já sabe) (Ausubel, 1999, p.538)

(Ideia Estabelecida)

(Conhecimento prévio) (Aluno já sabe)

(Ideia Nova) (Novo conhecimento) (Tarefa potencialmente

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Aprendizagem Significativa

A aprendizagem significativa é um tipo de aprendizagem cognitiva, que está relacionada com as estruturas cognitiva do sujeito, que é entendida como a organização hierárquica de ideias ou conceitos numa área de conhecimentos.

A aprendizagem é considerada como a incorporação das novas informações a estrutura cognitiva do sujeito, na qual Ausubel divide em

significativa e mecânica

3

(conhecimento prévio) (aluno já sabe)

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Aprendizagem Significativa

Na teoria da aprendizagem significativa durante o processo de assimilação é necessário uma interação substantiva e não arbitraria entre o novo conhecimento e o prévio.

Aprendizagem mecânica é quando a nova informação não tem ou tem pouca interação com o conhecimento existente na estrutura cognitiva do sujeito.

Aprendizagem Significativa não é sinônimo de aprendizagem CORRETA.

(conhecimento prévio) (aluno já sabe)

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Que fazer quando os conhecimentos prévios

não adequados?

Pode acontecer que os subsunçores não sejam apropriados

para a aprendizagem das novas informações então é

necessário dos

organizadores prévios

, definido como um

recurso instrucional apresentado em um nível mais alto de

abstração, generalidade e inclusividade em relação ao

material de aprendizagem.

Os organizadores prévios podem ser um organizador

expositivo

ou

comparativo

, o primeiro deve ser utilizado

quando os subsunçores não existem e o segundo quando

existe familiaridade com o novo material.

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Como organizar a aprendizagem?

O ensino pode ser organizado através de uma

aprendizagem

por recepção

ou

por descobrimento

.

A aprendizagem

por recepção

é o mais utilizado na

atualidade é quando o aprendiz recebe a informação

em sua forma final,

por descoberta

ele tem que

descobrir o que vai aprender.

Ambas podem ser aprendizagem significativa ou

mecânica.

A

resolução de problemas

é um tipo de

aprendizagem

por descoberta

.

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Tipos de Aprendizagem Significativo

Existem três tipos de aprendizagem significativa que são

aprendizagem

representacional

,

conceitual

e

proposicional

.

• A aprendizagem representacional

está dada pelo

significado de signos ou símbolos formado culturalmente.

• A aprendizagem

conceitual

é quando o aprendiz

separa as características essenciais ou regularidade do

objeto que passa a ser representado por símbolos.

• A aprendizagem proposicional

implica dar significado a

novas ideias expressas na forma de proposição.

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Conceito (Ausubel, 1999, p. 538)

São objetos, eventos, situações ou propriedades

que têm atributos comuns (apesar da diversidade

de outras dimensões ou atributos) e que são

designados

por

algum

símbolo,

e/ou

normalmente uma palavra com significado

genérico.

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Etapas consecutivos de aquisição de conceito

(Ausubel, 1999, p 96 -97)

1) A análise discriminativa de diferentes padrões de estímulo.

2) A formulação de hipóteses sobre os elementos comuns abstraídos. 3) Teste subsequente dessas hipóteses em situações específicas.

4) A designação seletiva deles, e uma categoria geral ou conjunto de atributos comuns, sob os quais todas as variantes podem ser incluídas com sucesso.

5) A relação deste conjunto de atributos com as ideias de ancoragem relevantes da estrutura cognitiva.

6) A generalização dos atributos dos critérios do novo conceito para todos os membros da classe.

7) A generalização dos atributos dos critérios do novo conceito para todos os membros da classe.

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Ausubel (1999, p. 478) descreve segundo Dewey os

princípios de a resolução de problema.

1º- Um estado de dúvida, perplexidade cognitiva, frustação ou consciência da dificuldade; 2º- Uma tentativa para identificar o problema, incluindo uma designação um tanto não específica dos fins procurados, das lacunas a serem preenchidas, ou alvo a ser alcançado, como definido pela situação que propõe o problema;

3º- Relacionar estas proposições de colocação do problema à estrutura cognitiva, desta forma ativando ideias de fundo relevante e soluções de problemas previamente alcançadas; o que por sua vez é reorganizado sob a forma de proposições de solução de problemas ou hipóteses;

4º- Comprovação sucessiva das hipóteses e reformulação do problema, se necessário;

5º- Incorporação da solução bem sucedida na estrutura cognitiva (compreendê-la) e sua posterior aplicação ao problema à mão e a outros tipos do mesmo problema.

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Itens Descrição Texto da tarefa potencialmente

significativa. No lançamento de um dado qual é a medida de chance de sair uma face em 1000 lançamentos? Ideia(s) estabelecida(s)

(conhecimento(s) prévio(s))

 Dado está formado por seis faces  Cada lançamento sai uma face  São realizado 1000 lançamento  Cálculo de porcentagem – Regra três  𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑖𝑣𝑒𝑙 → 100%

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 → 𝐶ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 %

Ideia(s) nova(s)

(conhecimento(s) novo(s)) Probabilidade de um evento =

número de resultados favorável número total de eventos.

Relação substantiva e não arbitraria entre os

conhecimentos

 1000 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 100%

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 3 → 𝐶ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 3 %  1000 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 1

𝑛º 𝐹3 →? % (1 sempre ocorre e 0 nunca ocorre)  ? % =𝑛º𝐹3

1000

 Realizar o experimento

 Repetir o processo para as faces 1,2,4,5,6  ? % =𝑛º𝐹𝑛

1000

Formulação de hipóteses

 H₁=𝑛º𝐹3₁₀₀₀

 Repetir para as hipóteses seguintes  H₂=𝑛º𝐹1₁₀₀₀  H₃=𝑛º𝐹2₁₀₀₀  H₄=𝑛º𝐹4 1000  H₅=𝑛º𝐹5 1000  H₆=𝑛º𝐹6₁₀₀₀

Comprovação das hipóteses Realizar o experimento

Outras informações contextualizada

Para alcançar o conhecimento novo se propõe a resolução de problema como metodologia de ensino, forma de AS superordenada, uma combinação da AS por recepção e descoberta utilizando a diferenciação progressiva e reconciliação progressiva

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Tarefa: No lançamento de um dado qual é a medida de chance de sair uma face em 1000 lançamentos?

1º. Um estado de dúvida, perplexidade cognitiva, frustação ou consciência da dificuldade; 2º Uma tentativa para identificar o problema, incluindo uma designação um tanto não específica dos fins procurados, das lacunas a serem preenchidas, ou alvo a ser alcançado, como definido pela situação que propõe o problema;

Identificar o problema

• O dado está formado por quantas faces? • Quantas vezes deve ser lançando o dado?

• De cada lançamento quantas faces podem sair?

• Que conceito matemático se relaciona com a medida da chance de sair o número de uma face em 1000 lançamentos?

Determinar que porcentagem representa a quantidade de evento uma face em relação a 1000 lançamentos?

Conhecido Prévio: Dados da tarefa e Cálculo de Porcentagem

Alvo a ser alcançado: Medir a chance uma face quando um dado é lançado 1000 vezes.

Lacunas a serem preenchida: Método do cálculo de porcentagem para medir a chance de uma face quando um dado é lançado 1000 vezes

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3º. Relacionar estas proposições de colocação do problema à estrutura cognitiva, desta forma ativando ideias de fundo relevante e soluções de problemas previamente alcançadas; o que por sua vez é reorganizado sob a forma de proposições de solução de problemas ou hipóteses;

Analises cada item com atenção e calcule o procurado:

a) 60% de 35 = ? 35 → 100% ? → 60% -> ?=(60x35)/100 = 21 b) 40% de ? = 14 ? → 100% 14 → 40%-> ?=(14x100)/40=35 c) ?% de 60 = 33 60 → 100% 33 → ? %-> ?%=(33x100)/60=55% 13 Hipóteses ?%=nºF3/1000

Resolução de Problema em Probabilidade

 _{𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑒 3 → 𝐶ℎ𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑒 3 %}1000 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 100%  1000 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 1 𝑛º 𝐹3 →? % (1 sempre ocorre e 0 nunca ocorre  ? % =𝑛º𝐹3 1000  Realizar o experimento

 Repetir o processo para as faces 1,2,4,5,6  ? % = 𝑛º𝐹𝑛

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4º- Comprovação sucessiva das hipóteses e reformulação do problema, se necessário;

Hipóteses:?%=nºF3/1000

Material. 10 dados comuns e papel milimetrado ou Planilha Eletrônica Instruções. - Os lançamentos. A proposta aqui é fazer 1000

lançamentos. Para facilitar, no entanto, utilize um truque: em vez de fazer um lançamento por vez, faça 10 lançamentos em cada rodada, usando 10 dados idênticos. A cada vez que lançar os 10 dados imagine que lançou um único dado 10 vezes. Assim, você só precisará fazer, de fato, 100 lançamentos. Durante os lançamentos, anote os resultados numa tabela. Depois, com os resultados anotados, faça um gráfico.

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Instruções - a tabela. A tabela deve ser montada do seguinte jeito. Ela deve ter 4 colunas e

100 linhas. Cada linha corresponderá a uma rodada de lançamento simultâneo de 10 dados. Conteúdo das colunas:

• 1ª: Indicação das rodadas: 1-10, 11-20, 21-30, até 991-1000;

• 2ª: Número de dados que saíram com a face 3 voltada para cima, na rodada correspondente à linha anotada;

• 3ª: Total de vezes que a face 3 saiu desde o começo até a rodada correspondente à linha anotada;

• 4ª: Que porcentagem representa a quantidade da face 3 em relação ao quantidade de lançamentos. 15 Rodada NºF3 Total ? 1-10 11-20 21-30 999-1000 ? = NºF3/10 ? = NºF3/20 ? = NºF3/30 ? = NºF3/1000 10 → 1 𝑛º 𝐹3 → ? 20 → 1 𝑛º 𝐹3 → ? 30 → 1 𝑛º 𝐹3 → ? 1000 → 1 𝑛º 𝐹3 → ?

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Instruções - o gráfico.

Depois de 100 rodadas você terá um experimento real com 1000 dados jogados. Aí poderá fazer um gráfico dos valores da quarta coluna em função da primeira. Use um papel milimetrado: tire cópias do papel fornecido ou compre um bloco numa papelaria. Deite o papel e construa o eixo das abscissas (o horizontal).

Você deve escolher a escala de acordo com o número de lançamentos e o tamanho do papel. Usando 1mm por rodada, as 1000 rodadas ocuparão 10cm. No exemplo mostrado aqui, usamos uma escala de 2mm, que vai ocupar 20cm. Na ordenada (eixo vertical) seria interessante representar apenas os valores entre 0,1 e 0,2 que aparecem na quarta coluna (se o número estiver fora dessa faixa, simplesmente não coloque o ponto no gráfico). Se usar 10 cm para esse intervalo, então cada centímetro corresponderá a 0,01, e cada mm a 0,001 a olho nu, até 0,0005 é distinguível, sendo

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17 Rodada F # 1 Total P(F1) 1 10 2 2 0,2000 11 20 2 4 0,2000 21 30 0 4 0,1333 31 40 0 4 0,1000 41 50 2 6 0,1200 51 60 2 8 0,1333 61 70 1 9 0,1286 71 80 2 11 0,1375 81 90 2 13 0,1444 ... ... 981 990 2 162 0,1636 991 1000 1 163 0,1630 0,0800 0,1000 0,1200 0,1400 0,1600 0,1800 0,2000 0,2200 1 4 7 ₁₀ ₁₃ ₁₆ ₁₉ ₂₂ ₂₅ ₂₈ ₃₁ ₃₄ ₃₇ ₄₀ ₄₃ ₄₆ ₄₉ ₅₂ ₅₅ ₅₈ ₆₁ ₆₄ ₆₇ ₇₀ ₇₃ ₇₆ ₇₉ ₈₂ ₈₅ ₈₈ ₉₁ ₉₄ ₉₇ 100

Chance de sair a Face nº3

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5º- Incorporação da solução bem sucedida na estrutura cognitiva (compreendê-la) e sua posterior aplicação ao problema à mão e a outros tipos do mesmo problema.

Observa-se que os valores da fração começam oscilando os valores, mas quando vai aumentando a rodadas o valores começam a estabilizar-se em 0,1630.... Pode-se concluir que a possibilidade de sair a face 3 posterior a 1000 rodada é 0,1630.

Portanto é possível medir a chance de a vezes de sair a face 3 que é dada pela razão entre a frequência de acontecer o evento entre o total de lançamento. Essa medida é o ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelo que deem os resultados prováveis ou os chances de determinado resultados.

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Tarefa n°2: No lançamento de um dado qual é a medida de chance de sair o número da face 1 em 1000 lançamentos?

Tarefa n°3: No lançamento de um dado qual é a medida de chance de sair o número da face 2 em 1000 lançamentos?

Tarefa nº4: No lançamento de um dado qual é a medida de chance de sair o número da face 4 em 1000 lançamentos?

Tarefa nº7: Qual foi a probabilidade de sair um número maior que 4? Tarefa nº8: Qual foi a probabilidade de sair um número par?

Diferenciação Progressiva vs Reconciliação Progressiva

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Rodada F # 1 Total P(F1) F # 2 Total P(F2) F # 3 Total P(F3) F # 4 Total P(F4) F # 5 Total P(F5) F # 6 Total P(F6) 1 10 2 2 0,2000 0 0 0,0000 0 0 0,0000 4 4 0,4000 3 3 0,3000 1 1 0,1000 11 20 2 4 0,2000 2 2 0,1000 2 2 0,1000 2 6 0,3000 2 5 0,2500 0 1 0,0500 21 30 0 4 0,1333 1 3 0,1000 2 4 0,1333 2 8 0,2667 2 7 0,2333 3 4 0,1333 31 40 0 4 0,1000 2 5 0,1250 3 7 0,1750 2 10 0,2500 2 9 0,2250 1 5 0,1250 41 50 2 6 0,1200 0 5 0,1000 3 10 0,2000 2 12 0,2400 1 10 0,2000 2 7 0,1400 51 60 2 8 0,1333 0 5 0,0833 5 15 0,2500 2 14 0,2333 0 10 0,1667 1 8 0,1333 61 70 1 9 0,1286 2 7 0,1000 2 17 0,2429 2 16 0,2286 1 11 0,1571 2 10 0,1429 71 80 2 11 0,1375 1 8 0,1000 0 17 0,2125 1 17 0,2125 3 14 0,1750 3 13 0,1625 81 90 2 13 0,1444 3 11 0,1222 0 17 0,1889 1 18 0,2000 3 17 0,1889 1 14 0,1556 ... ... 981 990 2 162 0,1636 3 150 0,1515 2 161 0,1626 1 177 0,1788 1 172 0,1737 1 168 0,1697 991 1000 1 163 0,1630 4 154 0,1540 2 163 0,1630 0 177 0,1770 2 174 0,1740 1 169 0,1690

No lançamento de um dado qual é a medida da possibilidade de sair o número da face 1, 2, 3, 4, 5, 6 posterior a 1000 lançamentos?

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21 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4000 0,4500 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 P(F1) P(F2) P(F3) P(F4) P(F5) P(F6)

Probabilidade de um evento = numero de resultados favorável / número total de eventos.

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Formação de conceito

(Ausubel, 1999, p. 540)

Aquisição dos significados de novos

conceitos por meio de um processo

de descoberta semi-indutiva de seus

atributos de critérios a partir de

múltiplas cópias do conceito

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Que é resolução de problema na teoria de

Aprendizagem Significativo de Ausubel?

Resolução de problemas

é uma forma de atividade

ou

pensamento

dirigido

em

que

tanto

a

representação cognitiva da experiência quanto os

componentes de uma situação problema atual são

organizados, transformados ou recombinados para

atingir um objetivo designado.

Envolve a geração de estratégias de resolução de

problemas que transcendem a mera aplicação de

princípios para exemplos evidentes.

(Ausubel, 1999, p. 542)

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Criatividade (Ausubel, 1999, p. 539)

O êxito na resolução de problemas que envolvam a aplicação

de conhecimentos à problemas exclusivamente novos ou

remotamente relacionados ao nível da própria vida do

indivíduo ou a geração de estratégias para a resolução de

problemas correspondentes; existe em um continuo que é

qualitativamente ininterrupto, exceto naquele ponto crítico

defendido como uma "pessoa criativa"

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Diferenciação Progressiva

A medida que a nova informação é incluída dentro de um conceito ou proposição dada, aquela se aprende e o conceito ou proposição se modifica. Este processo de inclusão, ao ocorrer uma ou mais vezes, conduz a

diferenciação progressiva do conceito ou proposição incluído.

Moreira (2012, p 20) explica que através de sucessivas interações, um dado subsunçor vai, de forma progressiva, adquirindo novos significados, esse faz capaz de servir de ancoradouro para nova aprendizagem significativa.

A diferenciação progressiva está relacionada com aprendizagem subordinada.

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Reconciliação Integradora

Na aprendizagem superordenada ou combinatório, as ideias estabelecidas nas estruturas cognoscitivas podem-se reconhecer ao encontrar sua relação no curso da nova aprendizagem.

Portanto os elementos existentes na estrutura cognoscitiva podem assumir uma

nova organização e, com elo, um novo significado.

A esta recombinação dos elementos que existem na estrutura cognoscitiva se denomina reconciliação integradora.

Esta se apresenta mais efetiva quando as possíveis fontes de confusão são eliminadas pelo professor e/ou pelos materiais didáticos e pode ajudar aos alunos a resolver o que parecer uma inconsistência ou conflito entre conceito e preposições.

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Assimilação Obliteradora

Posteriormente

à

aprendizagem

começa

o

esquecimento que é uma consequência natural da

aprendizagem

significativa

conhecida

como

assimilação obliteradora,

ou seja, a

perda progressiva

da dissociabilidade

dos novos conhecimentos em

relação

aos

conhecimentos

que

lhes

deram

significados, que serviram de ancorados cognitivos

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Conclusões

A interação entre novos significados potenciais e ideias relevantes na estrutura cognitiva do aprendiz dá origem a significados verdadeiros ou psicológicos. Devido à estrutura cognitiva de cada aprendiz ser única, todos os novos significados adquiridos são, também eles, obrigatoriamente únicos.

A aprendizagem por descoberta é tipo de aprendizagem utilizado nos métodos científico, mas muito útil nas estratégias de resolução de problema e pode ser usado como metodologia para a aprendizagem.