Afirmação. Dados os pontos A e B, o ponto médio dos dois é

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1 Teoria e lista de exerc´ıcios introdut´orios

Veremos problemas básicos de Geometria anal´ıtica que tenham rela¸cão com os conceitos básicos de GA. Como come¸camos por coordenadas de pontos na reta, no plano e no espa¸co tridimensional, veremos primeiro estes problemas.

Devemos nos lembrar das fórmulas básicas e dos critérios básicos. Afirma¸cão. Dados os pontos A e B, o ponto médio dos dois é

M = A + B

2 .

A afirma¸cão acima vale na reta, no plano e no espa¸co tridimensional. Se temos em r coordenadas de pontos e A tem coordenada −1 e B coordenada 3, então o ponto médio tem coordenada −1+3₂ = 1.

Se temos no plano A(1, 3) e B(7, 3), ent˜ao o ponto m´edio tem coorde-nadas (1+7₂ ,3+3₂ ) = (4, 3).

Se temos no espa¸co A(−1, 3, 7) e B(5, 1, 3), ent˜ao o ponto m´edio deles tem coordenadas (−1+5₂ ,3+1₂ ,7+3₂ ) = (2, 2, 5).

Afirma¸cão. A distância entre dois pontos é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferen¸cas de suas coordenadas.

Alguns exemplos: a distância entre os pontos A e B de coordenadas −2 e 3 na reta r é |3 − (−2)| = 5. Observe que é igua a

p

(3 − (−2))2 ₌ √_{25 = 5.}

Mais exemplos: A(1, 2), B(4, 6), d(A, B) = p(4 − 1)2 _{+ (6 − 2)}2 ₌

√

(2)

Outro: A(1, 2, 3), B(3, 4, 4), d(A, B) = p(3 − 1)2 _{+ (4 − 2)}2 _{+ (4 − 3)}2 ₌

√

4 + 4 + 1 = 3.

Problema 1. Encontre a fórmula do simétrico de B em rela¸cão a A. Resposta: 2A − B.

2 Pontos em um segmento

Agora, vejamos qual ´e a regra para que um ponto C esteja no segmento AB.

C = (1 − t)A + tB, t ∈ [0, 1]. Al´em disso,

d(A, C) = td(A, B). d(B, C) = (1 − t)d(A, B).

Portanto, o coeficiente de B mostra a propor¸c˜ao entre AC e AB, e o coeficiente de A mostra a propor¸c˜ao entre BC e AB.

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3 Pontos em uma reta

E pontos numa reta em geral, quer dizer, C ∈ rAB?

Se C está em rAB, à direita de B, então B = (1 − t)A + tC, t ∈ (0, 1).

Logo,

tC = B − (1 − t)A ⇒ C = (1 − 1

t)A + ( 1 t)B.

Observe que se t ∈ (0, 1) então 1_t > 1 e 1 − 1_t < 0. Logo, C também é combina¸cão linear de A e B, mas com um coeficiente maior que 1, o de B, e um negativo, o de A.

Um exemplo é o simétrico S de A em rela¸cão a B: S = 2B − A. O coeficiente do B nessa combina¸cão é a propor¸cão entre d(A, S) e d(A, B), AS é o dobro de AB. E o −1 em módulo é a propor¸cão de BS e AB, que têm o mesmo comprimento.

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Analogamente, se o ponto C está à esquerda de A, isto é, fora de AB, mas mais próximo de A, temos

C = (1 − α)A + αB,

Exemplo 1. Os pontos do segmento AB são escrito da forma (1−t)A+tB, com t entre zero e um. Vamos observar que os pontos de fora do segmento são dessa forma também, mas agora por meio de exemplos. Se C está fora de AB, à direita de B, então B pertence a AC. Suponha B = 2₃A + 1₃C. Então

B = 2

3A + 1

3C ⇒ 3B = 2A + C ⇒ C = 3B − 2A.

Do mesmo modo, suponha D na reta rAB `a esquerda de A, e, portanto, A

no interior de DB, com A = 3₄D + 1₄B. Assim, A = 3 4D + 1 4B ⇒ 4A = 3D + B ⇒ D = 4 3A − 1 3B.

Problema 2. Na figura acima temos os pontos dispostos de tal maneira que DA = AB = BC = CF = F E. Encontre express˜oes para:

1. D em fun¸cão de A e B; 2. D em fun¸cão de A e C; 3. E em fun¸cão de A e B; 4. F em fun¸cão de A e B;

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5. A em fun¸c˜ao de E e F ; 6. C em fun¸c˜ao de D e E.

Resposta: vou fazer a segunda para ilustrar: C − A = 2(A − D); logo,

C − A = 2A − 2D ⇒ 2D = 3A − C ⇒ D = 3

2A − 1 2C.

Observe que a ordem deve ser respeitada e que DA = AB = BC = CF = F E implica A − D = B − A = C − B = F − C = E − F. 1. D = 2A − B; 2. D = 3₂A − 1₂C; 3. E = 4B − 3A; 4. F = 3B − 2A; 5. A = 4F − 3E; 6. C = 2₅D + 3₅E.

Problema 3. Seja C na reta rAB tal que a raz˜ao entre AC e AB ´e 5 e

BC e AB é 4. Expresse o ponto C como combina¸cão linear de A e B. Ele está mais próximo de A ou de B?

Resposta: C = 5B − 4A.

4 Segmentos paralelos e compara¸c˜ao de sentidos

Vamos primeiro comparar segmentos que estão em retas distintas. Lem-bremos que dois segmentos paralelos estão contidos no mesmo plano, então podemos resolver o problema no plano que os contém.

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Há três situa¸cões poss´ıveis para segmentos paralelos.

A primeira, AB e CD têm a mesma dire¸cão e o mesmo sentido e com-primentos diferentes. Assim, AB e CD formam um trapézio cujos lados são AC, o segmento que une os extremos iniciais, e BD, o segmento que une os extremos finais. Como eles têm comprimentos diferentes, existe E fora do trapézio onde se cruzam as retas rAC e rBD. Assim,

         A = (1 − t)E + tC, B = (1 − s)E + sD, t, s ∈ [0, 1].

Além disso, t = s pois AB k CD e portanto os triângulos EAB e ECD são semelhantes, assim, AB corta os lados EC e ED na mesma propor¸cão.

Portanto

A − tC = (1 − t)E = B − tD ⇒ B − A = t(D − C), t ∈ [0, 1].

Observe que nesse caso a propor¸cão entre B − A e C − D é um número positivo.

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A segunda é quando AB e CD têm a mesma dire¸cão, mesmo sentido e mesmo comprimento. Nesse caso AB e CD formam um paralelogramo de lados AC e BD. Como as diagonais de um paralelogramo se cruzam num ponto que as divide ao meio, temos

A + D

2 =

B + C

2 ⇒ B − A = D − C.

Logo, a raz˜ao entre B − A e C − D ´e 1.

A terceira é quando AB e CD têm sentidos opostos. Nesse caso, AC e BD são diagonais de um trapézio e se cruzam num ponto E. Como a razão de AE para AC e BE para BD são a mesma, vale

         E = (1 − t)A + tC, E = (1 − t)B + tD, t, s ∈ [0, 1].

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Logo,

(1 − t)A + tC = (1 − t)B + tD ⇒ B − A = − t

1 − t(D − C).

Assim, a propor¸cão entre B−A e D−C é um número negativo. Podemos enunciar o critério de compara¸cões da seguinte forma:

i. AB e CD com a mesma dire¸cão se e só se B − A e D − C são propor-cionais;

ii. AB e CD com mesma dire¸cão e mesmo sentido se e só se B − A e D − C proporcionais com razão positiva;

iii. AB e CD com mesma dire¸cão e sentidos opostos se e só se B − A e D − C proporcionais com razão negativa;

iv. AB e CD com mesma dire¸cão, mesmo sentido e mesmo comprimento se e só se B − A e D − C proporcionais com razão 1.

Problema 4. Dados AB e CD paralelos, AB com mesmo sentido de CD e o dobro de seu tamanho, encontre D em fun¸c˜ao de A, B e C.

Resposta: D = C + 1₂B − 1₂A.

Problema 5. Dados A, B e C que não estão na mesma reta, encontre D tal que ABCD é paralelogramo de diagonais AC e BD.

Resposta: D = A + C − B.

Problema 6. Encontre D tal que ABCD ´e trap´ezio de bases paralelas AB e CD e diagonais AD e BC, sendo AB a base menor e CD o triplo de AB.

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5 Rec´ıproca do crit´erio

Na verdade, afirmamos o crit´erio de compara¸c˜ao de segmentos de reta sem demonstrar a rec´ıproca, sem mostrar que B − A e D − C proporcionais implica AB e CD paralelos.

Podemos dividir essa demonstra¸c˜ao em dois casos:

Primeiro: B − A = D − C. Ou seja, raz˜ao de proporcionalidade 1 (o caso −1 ´e praticamente igual). Nesse caso, vale A + D = B + C, o que, por sua vez, implica

A + D

2 =

B + C

2 .

Assim, se estão em retas diferentes, formam um quadrilátero cujas diago-nais têm pontos médios coincidentes. Assim, esse quadrilátero tem que ser um paralelogramo e AB paralelo a CD. Se AB e CD não estão em retas diferentes não há nada para se provar.

Segundo: D − C = t(B − A), t 6= ±1. Isso implica

D + tA = C + tB ⇒ 1 1 + tD + t 1 + tA = 1 1 + tC + t 1 + tB.

Vamos definir E = _1+t1 D + _1+tt A. Ent˜ao E ∈ rAD e E ∈ rBC. Se s˜ao

a mesma reta, então terminou, eles são paralelos. Se não são, então os triângulos EAB e ECD são semelhantes e, portanto, AB paralelo a CD.

6 Pontos interiores a um triˆangulo

Sabemos que um ponto C no segmento AB pode ser escrito como C = (1 − t)A + tB,

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com t ∈ [0, 1]. E um ponto no interior do triˆangulo ABC, de v´ertices A, B e C?

Um ponto P no interior do triˆangulo ABC pode ser visto como um ponto no segmento AD, sendo D no segmento BC, lado oposto a A:

         P = (1 − t)A + tD, D = (1 − s)B + sC, t, s ∈ [0, 1]. Logo P = (1 − t)A + t(1 − s)B + tsC.

Assim, P no interior de ABC pode ser escrito como média ponderada dos vértices, já que os coeficientes de A, B e C na igualdade acima somam 1.

Observe que t = 1₂ e s = 2₃ nos d˜ao

P = 1 3A + 1 3B + 3 C, o baricentro, encontro das medianas de ABC.

Problema 7. Dados A, B e C formando um triˆangulo e P = 1₄A + 1₂B +

1

4C, encontre a ceviana que parte de A e cont´em P , isto ´e, encontre o

segmento que parte de A at´e o lado oposto BC que cont´em P , encontrando o extremo desse segmento que pertence a BC.

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7 Vetor

Agora, dado um segmento AB, sabemos que várias informa¸cões a respeito dele dependem só da diferen¸ca das coordenadas do extremo final e do extremo inicial. Que informa¸cões podemos tirar de um segmento AB?

1. seu comprimento: d(A, B);

2. sua dire¸c˜ao: a da reta que cont´em A e B;

3. seu sentido: se A para B (o sentido oposto, de B para A, sendo o do segmento BA).

Como lidamos com essas informa¸c˜oes com base na diferen¸ca de coorde-nadas? Dados um segmento AB:

1. o comprimento ´e: |B − A|;

2. a dire¸cão é a da reta dos pontos P = (1 − t)A + tB, t número real; 3. o sentido transparece melhor na compara¸cão entre segmentos paralelos.

Como podemos comparar essas informa¸c˜oes a respeito de um segmento e de outro? Primeiro, dados AB e CD,

1. eles são paralelos se e só se D − C e B − A são proporcionais, isto é, existe k número real tal que D − C = k(B − A);

2. eles têm o mesmo sentido se k é positivo, têm sentidos opostos se k é negativo.

3. o valor absoluto de k mede o quanto um é maior do que o outro, embora possamos comparar comprimentos mesmo quando não são paralelos.

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Sabendo que a diferen¸ca de coordenadas dos extremos contém as in-forma¸cões a respeito do comprimento, dire¸cão e sentido, podemos reunir num mesmo conjunto aqueles segmentos que têm mesmo comprimento, dire¸cão e sentido. Esse conjunto é que é o vetor. Portanto, vetor é o con-junto de segmentos orientados equipolentes. Logo, AB e CD pertencem ao mesmo vetor se e só se B − A = D − C:

~

AB = {CD : D − C = B − A}.

O vetor ~AB ´e o conjunto dos segmentos orientados CD que s˜ao equipo-lentes a AB. Assim,

~

AB = ~CD ⇔ D − C = B − A.

Ao vetor ~AB podemos atribuir coordenadas, exatamente as coordenadas da diferen¸ca B − A.

Algumas propriedades:

i. A rela¸cão de equipolência é uma rela¸cão de equivalência e todo vetor ´

e uma classe de equivalˆencia;

ii. Dado um vetor v, sempre h´a um segmento orientado que come¸ca em A e pertence a v;

iii. Em particular, todo vetor v tem um representante que parte da origem, e o extremo final desse representante tem as mesmas coordenadas de v.

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Dados os pontos A(1, 2), B(3, 5), C(−1, 3), D(1, 6), B − A = (2, 3), D − C = (2, 3). Portanto, o vetor v = (2, 3) ´e representado por AB e CD, e, portanto, v = ~AB = ~CD. Se quisermos um representante desse vetor que parte da origem, se chamamos o ponto de coordenadas (2, 3) de E, OE representa v, e, assim, v = ~OE.

Problema 8. Fazer a mesma figura acima para o vetor u = (3, 1) e os pontos A(2, 1), C(2, 0), isto ´e, ache B, D e E tais que u = ~AB = ~CD =

~ OE.

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8 Soma de vetores

Defini¸cão. Sejam dois vetores u e v, a soma de u + v é um vetor cujas coordenadas são as somas das coordenadas de u e v. Se são vetores no plano, u = (xu, yu) e v = (xv, yv), então u + v = (xu+ xv, yu+ yv). Se são

vetores no espa¸co tridimensional, u = (xu, yu, zu) e v = (xv, yv, zv), ent˜ao

u + v = (xu+ xv, yu+ yv, zu+ zv).

Propriedades. 1. dados dois vetores quaisquer u e v, u + v = v + u; 2. dados trˆes vetores quaisquer u, v e w, u + (v + w) = (u + v) + w; 3. existe um vetor ~0 tal que u + ~0 = u para todo vetor u;

4. dado u qualquer, existe um vetor −u tal que u + (−u) = ~0;

Como podemos ver na figura acima, a soma de vetores geometricamente ´e uma concatena¸c˜ao de caminhos retos. Ir de A para B e depois de B para C equivale a ir de A para C. Em coordenadas:

(15)

   u = B − A, v = C − B, ⇒ u + v = C − A ⇒ u + v = ~AC.

Problema 9. Ver as propriedades acima nos casos em que conhecemos os representantes de u e v, isto ´e, fazendo desenhos no plano coordenado. Por exemplo, se u = ~AB, o vetor −u da propriedade 4 ´e o vetor ~BA, e u + (−u) = ~AB + ~BA = ~AA = ~0.

9 Multiplica¸c˜ao por um escalar

Defini¸cão. Seja o vetor u e o número real m, a multiplica¸cão de u pelo es-calar m é mu, um vetor cujas coordenadas são as de u multiplicadas por m. Se é vetores no plano, u = (xu, yu) e então mu = (mxu, myu). Se é vetor

no espa¸co tridimensional, u = (xu, yu, zu) e ent˜ao mu = (mxu, myu, mzu).

Propriedades. 1. 0 · u = ~0; 2. 1 · u = u;

3. (−1) · u = −u;

4. dados dois n´umeros reais m e n quaisquer e um vetor u, (m + n)u = mu + nu;

5. dados dois n´umeros reais m e n quaisquer e um vetor u, m(nu) = (mn)u;

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Geometricamente, a multiplica¸cão por um escalar gera os vetores para-lelos ao vetor u que é multiplicado pelo escalar em questão.

Observe que AB e CD paralelos equivale a D −C e B −A proporcionais, que, por sua vez, equivale a D − C = m(B − A), que tamb´em equivale a

~

CD = m ~AB.

Também observe que no caso da figura acima AC = m ~~ AB equivale a C − A = m(B − A), que equivale a C = (1 − m)A + mB, que é a caracteriza¸cão dos pontos que pertencem à reta que passa por A e B.

Desse modo, os crit´erios de paralelismo e colinearidade podem ser escri-tos da seguinte maneira:

1. A, B e C colineares equivale a ~AC e ~AB m´ultiplos um do outro, isto ´

e, existe m n´umero real tal que ~AC = m ~AB;

2. AB e CD segmentos paralelos se e só se ~AB e ~CD são múltiplos um do outro.

(17)

Problema 10. Observe na figura acima que CD = 2 ~~ AB e que os seg-mentos são paralelos. Encontre as coordenadas dos pontos, calcule as dos vetores e encontre a rela¸cão entre eles. Você pode concluir da´ı o parale-lismo, mas também pode tentar mostrar pela figura, sem uso de vetores, que os segmentos são paralelos.

10 Produto escalar

O produto escalar é uma opera¸cão que procura enxergar o ângulo entre dois vetores u e v. Vamos fazer um teste.

Sejam u = AB e v =~ AC vetores no plano de coordenadas (x~ u, yu)

e (xv, yv), eles geram um triângulo retângulo ABC de ângulo de 90o no

v´ertice A se d(B, C)2 = d(A, B)2 + d(A, C)2. Logo,

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(xv − xu)2 + (yv − yu)2 = x2u+ y 2 u+ x 2 v + y 2 v ⇒ x2_v − 2xvxu+ x2u+ y 2 v − 2yuyv + yu2 = x 2 u+ y 2 u+ x 2 v + y 2 v ⇒ xuxv + yuyv = 0.

O mesmo vale pro caso tridimensional (fa¸ca as contas como exerc´ıcio): se u e v geram um triângulo retângulo então

xuxv + yuyv + zuzv = 0.

Problema 11. Tanto no caso do plano quanto do espa¸co, dados u = ~AB e v = ~AC, mostre que d(A, B)2+ d(A, C)2− d(B, C)2 _´_{e duas vezes a soma}

dos produtos das coordenadas de u e v.

Vamos definir então uma opera¸cão de produto escalar: dados u e v, u · v é um número real cujo valor é a soma dos produtos das coordenadas de u e v.

Ou seja, no plano

u · v := xuxv + yuyv

e no espa¸co

u · v = xuxv + yuyv + zuzv.

Com essa defini¸c˜ao, temos as seguintes propriedades: Propriedades. 1. u · v = v · u;

2. (u + v) · w = u · w + v · w; 3. (mu) · v = m(u · v) = u · (mv); 4. u · u = |u|2;

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A rela¸cão com ângulos: já vimos que, se u = ~AB e v = ~AC, d(A, B)2 + d(A, C)2 − d(B, C)2 _´_{e o dobro do produto escalar. Mas, diz a lei dos}

cossenos que

2d(A, B)d(A, C)cos ˆA = d(A, B)2 + d(A, C)2 − d(B, C)2.

Como u = ~AB e v = ~AC, d(A, B) = |u| e d(A, C) = |v|. Assim, temos

2|u||v|cos ˆA = 2u · v ⇒ cos ˆA = u · v |u||v|.

Outra maneira de calcular o ângulo entre os dois vetores é utilizar a fórmula do cosseno da diferen¸ca de dois ângulos. Pela figura acima, se α é o ângulo de u com o eixo horizontal, e β o ângulo de v com o horizontal, temos cos(α) = xu

|u| e cos(β) = xv

|v|. Usando a f´ormula:

cos(α − β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β) = xu |u| xv |v| + yu |u| yv |v|.

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11 Exerc´ıcios

Problema 12. Dada a figura acima, calcule o ˆangulo entre ~AB e ~CD. Problema 13. Dados os vetores u = (1, 2, −2) e v = (7, 4, 4), calcule o ˆ

angulo entre eles.

Problema 14. Dada a figura acima, encontre o ponto H no lado AC tal que BH ´e altura do triˆangulo ABC.

(21)

Problema 15. Dados os pontos A, B e C da figura acima, encontre D o ponto mais pr´oximo a C e que pertence `a reta que passa por A e B.

Problema 16. Primeiro, encontre G o baricentro de ABC. Depois, en-contre D em AC o ponto mais pr´oximo de G e que pertence `a reta que passa por A e C.

Problema 17. Pela mesmo figura do exerc´ıcio anterior, encontre E no lado AC tal que BE divida o ˆangulo ˆB ao meio.

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12 Versor

Os problemas de divisão ao meio de ângulos entre vetores podem ser re-solvidos com o conceito de versor. Dado um vetor u qualquer, que não seja o vetor nulo, o versor de u, Vu, é o vetor unitário de mesma dire¸cão e

mesmo sentido de u. Vetor unitário é todo aquele que tem módulo 1. Se Vu tem a mesma dire¸cão de u, então é múltiplo de u: Vu = mu; se

tem a mesma dire¸cão, é múltiplo positivo de u: m > 0. Se Vu é unitário,

então: 1 = |Vu| = |mu| ⇒ m|u| = 1 ⇒ m = 1 |u| ⇒ Vu = u |u|. Por exemplo,      u = (3, 4), então Vu = ( 3 5, 4 5), v = (1, 2, 2), então Vv = ( 1 3, 2 3, 2 3). ´

E um propriedade que distingue os losangos a de ter as diagonais como bissetrizes dos ângulos internos. Quando tra¸camos a diagonal do losango, ela o divide em dois triângulos isósceles congruentes, de modo que os ˆ

angulos divididos pelas diagonais são divididos ao meio. Se tra¸camos a diagonal de um paralelogramo que não é losango, que não tem os quatro lados congruentes, a diagonal o divide em dois triângulos congruentes mas não isósceles, de modo que os ângulos internos não são divididos ao meio.

(23)

Como podemos usar essa propriedade para dividir ângulos ao meio? Dados dois vetores u e v, eles formam um paralelogramo. Se tiverem módulos iguais, formam um losango, tipo especial de paralelogramo. Logo, se formamos o losango a partir dos versores de u e v, encontramos o vetor que divide o ângulo entre u e v em dois ângulos iguais.

A figura acima mostra o paralelogramo formado por u e v e o formado por Vu e Vv. Veja que as diagonais dos dois paralelogramos n˜ao

necessari-amente tˆem a mesma dire¸c˜ao.

Quando temos um triˆangulo ABC e queremos achar a bissetriz do ˆangulo ˆ

A, isto é, quando queremos achar D no lado oposto BC tal que AD divide o ângulo Â ao meio, podemos procurar o vetor ~AD múltiplo da soma de versores de ~AB e ~AC.

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Se D est´a no segmento BC ent˜ao D = (1 − t)B + tC e, portanto, D − A = (1 − t)(B − A) + t(C − A). Assim,

D − A = (1 − t)(B − A) + t(C − A) ⇒ ~AD = (1 − t) ~AB + t ~AC. Al´em disso, ~AD deve ser m´ultiplo da soma dos versores de ~AB e ~AC:

~ AD = m( ~ AB | ~AB| + ~ AC | ~AC|) = m | ~AB| ~ AB + m | ~AC| ~ AC.

Pela primeira equa¸cão vemos que ~AD é a combina¸cão linear de ~AB e ~

AC cuja soma de coeficientes ´e um, pela segunda vemos que a soma de coeficientes ´e m

| ~AB| + m

| ~AC|, que deve ser um, e assim encontramos o valor de

m: m | ~AB| + m | ~AC| = 1 ⇒ m = | ~AB|| ~AC| | ~AB| + | ~AC| ⇒ ~ AD = | ~AC| | ~AB| + | ~AC| ~ AB + | ~AB| | ~AB| + | ~AC| ~ AC. Do mesmo modo:

(25)

D = | ~AC|

| ~AB| + | ~AC|B +

| ~AB|

| ~AB| + | ~AC|C.

Problema 18. Utilize a fórmula anterior para mostrar que se |AB| = |AC|, isto é, se o triângulo é isósceles, então a mediatriz é bissetriz. Problema 19. Dado o triângulo ABC com A(0, 0), B(3, 4) e C(4, 0), encontre D tal que AD é bissetriz de Â.

Resposta: D = 4 9B + 5 9C = ( 32 9 , 16 9 ). 13 Observa¸c˜oes

Podemos resolver o exerc´ıcio 19 de outro modo, usando o produto escalar. Vou resolvˆe-lo por esse outro m´etodo.

Se D está em BC, então D = (1 − t)B + tC = (3(1 − t) + 4t, 4(1 − t)) = (3+t, 4−4t). Agora, se AD divide Â ao meio, então, se usarmos o produto escalar para ver o ângulo que AD faz com AB e AC, que vou chamar de α e β respectivamente, temos: cos(β) = ~ AD. ~AC | ~AD|| ~AC| = 12 + 4t 4| ~AD| = 3 + t | ~AD|, cos(α) = ~ AD. ~AB | ~AD|| ~AB| = 3(3 + t) + 4(4 − 4t) 5| ~AD| = 25 − 13t 5| ~AD| ,

Se igualamos os dois termos, | ~AD| desaparece, n˜ao precisa ser calculado, e achamos o valor de t:

(26)

3 + t | ~AD| = 25 − 13t 5| ~AD| ⇒ 15 + 5t = 25 − 13t ⇒ 18t = 10 ⇒ t = 5 9. Com o valor de t, achamos D:

D = (1 − 5 9)B + 5 9C = 4 9B + 5 9C = ( 32 9 , 16 9 ).

Da mesma forma se quisermos encontrar H em BC tal que AH é a altura de ABC, devemos procurar o quê? Devemos procurar H de modo que ~AH⊥ ~BC, isto é, ~AH · ~BC = 0. Lembrando que H, por estar em BC, é do tipo (3 + t, 4 − 4t). Portanto: 0 = ~AH · ~BC = (3 + t, 4 − 4t) · (1, −4) = 3 + t − 16 + 16t ⇒ t = 13 17. Logo, t = 13 17 ⇒ H = (3 + 13 17, 4(1 − 13 17)). 14 Equivalências

Podemos traduzir v´arios dos problemas anteriores para a linguagem dos vetores:

• A, B e C colineares se e só se ~AB e ~AC múltiplos um do outro; • AB k CD se e só se ~AB e ~CD múltiplos um do outro;

• AB e CD congruentes se e s´o se | ~AB| = | ~CD|; • AB e CD equipolentes se e s´o se ~AB = ~CD;

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Problema 20. Dados A(0, 0) e B(3, 4), encontre C e D tais que ABCD é quadrado com vértices de segundas coordenadas não negativas.

Resposta: C(−1, 7) e D(−4, 3).

Problema 21. Dados A(0, 0) e B(6, 8), encontre C e D tais que ABC e ABD são triângulos equiláteros.

Resposta: (3, 4) ± √ 3 2 (−8, 6) = (3, 4) ± (−4 √ 3, 3√3).

A idéia de como resolver esses dois últimos problemas é a seguinte: no plano, dada uma dire¸cão existe somente uma ortogonal a ela, e dado um vetor existem somente dois ortogonais a ele que tenham o mesmo módulo que ele. Quais seriam?

Dado u = (a, b) existe v = (−b, a) (poderia ser −v = (b, −a)) tal que

(28)

Al´em disso, v = (−b, a) tem o mesmo m´odulo de u = (a, b).

Em particular, dados A e B, se v é ortogonal a ~AB, então A + v e B + v são vértices de um quadrado de lado AB. O outro quadrado seria dado pelos outros dois vértices A − v e B − v.

No caso do triângulo equilátero, como a altura dele é ortogonal à base e mede

√ 3

2 vezes a base, e como essa altura toca a base no ponto m´edio

dela, então, se esse ponto médio é M , podemos chegar ao terceiro vértice do triângulo equilátero de base AB fazendo M +

√ 3 2 v (ou M − √ 3 2 ), já que a solu¸cão não é única). 15 Produto vetorial

Há outros produtos entre vetores. O segundo deles é o produto vetorial. Se o primeiro, o escalar, tem utilidade no cálculo de ângulos, o produto vetorial tem utilidade no cálculo de áreas. Vejamos sua defini¸cão.

O produto vetorial de u e v é uma opera¸cão que, dados dois vetores no espa¸co tridimensional, devolve um terceiro vetor u × v. O cálculo das coordenadas de u × v em fun¸cão das de u = (xu, yu, zu) e v = (xv, yv, zv) é

dado pelo c´alculo do seguinte determinante: i j k xu yu zu xv yv zv

onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), isto é, i é o vetor unitário cuja dire¸cão é a do primeiro eixo e o sentido o de crescimento das coorde-nadas do primeiro eixo; o mesmo vale para j e k com respeito aos segundo

(29)

e terceiro eixos, respectivamente.

Observe que (xu, yu, zu) = xui + yuj + zuk. Assim, o determinante acima

será uma combina¸cão linear de i, j e k e, portanto, um vetor. Por exemplo, se u = (1, 2, 0) e v = (2, 0, −1), então:

u × v = i j k 1 2 0 2 0 −1 = (−2, 1, −4).

Agora, observe que 





u · (−2, 1, −4) = (1, 2, 0) · (−2, 1, −4) = −2 + 2 = 0, v · (−2, 1, −4) = (2, 0, −1) · (−2, 1, −4) = −4 + 4 = 0.

Nesse caso, u × v é um vetor ortogonal a u e a v ao mesmo tempo. Isso é consequência direta da expressão de u × v como determinante.

Se u = (a, b, c) = ai + bj + ck e v = (d, e, f ), então u · v = ad + be + cf , a expressão do produto escalar é a mesma de u = ai + bj + ck trocando i, j e k pelas coordenadas de v. Logo,

u · (u × v) = xu yu zu xu yu zu xv yv zv = 0. Do mesmo modo, v · (u × v) = xv yv zv xu yu zu xv yv zv = 0,

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As propriedades dos determinantes implicam muitas propriedades do produto vetorial: 1. v × u = −u × v; 2. (mu) × v = m(u × v) = u × (mv); 3. (u + v) × w = u × w + v × w; 4. |u × v|2 + (u · v)2 = |u|2|v|2_.

A ´ultima n˜ao sai de propriedades de determinantes, sai do fato de que

|u × v|2 + (u · v)2 = (yuzv − yvzu)2+ (xuzv − xvzu)2+ (xuyv − xvyu)2 + (xuxv + yuyv + zuzv)2 = y_u2z_v2+y_v2z_u2−2yuyvzuzv+x2uz 2 v+x 2 vz 2 u−2xuxvzuzv+x2uy 2 v+x 2 vy 2 u−2xuxvyuyv+ x_u2x2_v + y2_uy_v2 + z_u2z_v2 + 2xuxvyuyv + 2xuxvzuzv + 2yuyvzuzv = x2_u(x2_v + y_v2 + z_v2) + y_u2(x2_v + y2_v + z_v2) + z_u2(x2_v + y2_v + z_v2) = (x2_u+ y_u2 + z_u2)(x_v2 + y_v2 + z_v2) = |u|2|v|2.

A consequˆencia, ao substituirmos u · v por |u||v|cos(α), ´e:

|u|2|v|2 = |u × v|2 + (u · v)2 = |u × v|2 + |u|2|v|2cos2(α) ⇒ |u × v|2 = |u|2|v|2 − |u|2|v|2cos2(α) = |u|2|v|2(1 − cos2(α)) =

|u|2|v|2sen2(α) ⇒ |u × v| = |u||v|sen(α).

A figura abaixo mostra que a área do paralelogramo gerado por u e v é |u||v|sen(α), sendo α o ângulo entre os dois vetores, e, portanto, a área é |u × v|.

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Lembrando das propriedades, se v = mu para algum n´umero real m, temos:

u × v = u × (mu) = m(u × u) = −m(u × u) = ~0.

Logo, se u e v são paralelos, o produto vetorial é o vetor nulo. A rec´ıproca é verdadeira: se u × v = ~0, então eles formam um paralelogramo de área nula, e, portanto, devem ser paralelos. O critério de paralelismo ganha, assim, uma nova equivalência:

• u k v

• u e v m´ultiplos um do outro; • u × v = ~0.

Problema 22. Calcule a área do triângulo de vértices A(1, 0, 1), B(2, 2, −1) e C(3, 2, 1).

Resposta: 3.

Observe que a área de um triângulo de lados AB e AC é metade da área do paralelogramo gerado por ~AB e ~AC.

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Problema 23. Explique porque ~AB × ~AC = ~0 equivale a A, B e C coli-neares.