Araraquara 2011
Maria Helena S. S. Bizelli Sidinéia Barrozo
CÁLCULO
para um Curso de Química Volume 2
Prefácio
Este material foi elaborado para ser o material de apoio aos alunos que cursam a disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, ministrada no segundo semestre dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Química da Unesp, Campus de Araraquara. Estes cursos, assim como os demais cursos de Química da Unesp, concentram o conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral em dois semestres, o que os diferenciam da maioria dos cursos da área de exatas, que normalmente distribui tal conteúdo ao longo de quatro semestres, tratando do Cálculo de uma variável nos dois primeiros semestres e do Cálculo de duas variáveis nos dois semestres subsequentes. Esta particularidade sugere um material mais específico, que contemple os tópicos que devam ser trabalhados e, ao mesmo tempo, os apresentem em uma sequência lógica e harmoniosa, focando a compreensão e a aplicação dos conteúdos. Além disso, é mais motivador ao aluno um material que apresente aplicações voltadas para a área, favorecendo a apreensão do conhecimento adquirido. Assim, com esse intuito, desenvolvemos este material, o qual vem sendo utilizado e reformulado ao longo dos últimos anos e apresentando bons resultados. Esperamos que possa ser útil também a outros cursos de Química.
Gostaríamos de observar que, seguindo a sequência programática da disciplina, este volume contém o estudo de técnicas de integração, equações diferenciais ordinárias, funções de duas variáveis, derivadas parciais, integração múltipla e uma introdução ao estudo do cálculo vetorial, enfatizando a integral de linha.
Maria Helena S.S. Bizelli Sidinéia Barrozo
5 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Sumário
Capítulo 1 – Alguns Métodos de Integração ... 09
Integrais Imediatas ... 11 Mudança de Variáveis ... 13
Outras Substituições ... 15
Integração por Partes ... 19
Integração de Potências e Funções Trigonométricas ... 25
Integração por Substituições Trigonométricas ... 44
Integração por Frações Parciais ... 52 Exercícios Extras ... 59
Capítulo 2 – Equações Diferenciais Ordinárias ... 63
Introdução ... 64
Equações Diferenciais de Primeira ordem ... 66
Problemas de Valor Inicial ... 69
Equações de Primeira Ordem Separáveis... 72
Aplicações ... 79
Equações de Primeira Ordem Lineares ... .. 101
Aplicações ... ... 105
Campo de direções ... 114
Capítulo 3 – Funções de Várias Variáveis ... 140
Introdução... 141
Sistema Tridimensional de Coordenadas ... 142
A fórmula da distância no espaço ... 147
A equação de uma esfera ... 149
Funções de Duas Variáveis ... 155
Gráfico de uma Função de Duas Variáveis ... 161
Curvas de Nível ... 164
Exercícios Extras ... 176
Capítulo 4 – Derivadas Parciais ... 188
Introdução... 189
Derivadas Parciais ... 190
Aplicações das Derivadas Parciais ... 195
Cálculo de Derivadas Parciais ... 198
Função Composta – Regra da Cadeia ... 205
Interpretação Geométrica ... 218
Derivadas Parciais de Segunda Ordem ... 223
Extremos de Funções de Duas Variáveis ... 229
Teste da Segunda Derivada ... 235
Diferencial de uma Função de Duas Variáveis ... 250
Derivação Implícita ... 273
Capítulo 5 – Integrais Múltiplas ... 284
Introdução ... 285
Integrais Duplas ... 285
Integral Dupla sobre uma Região ... 292
Aplicações das Integrais Duplas ... 309
Integrais Triplas ... 318
Coordenadas Polares ... 324
Integrais Duplas em Coordenadas Polares ... 329
Coordenadas Cilíndricas e Esféricas... 333
Exercícios Extras ... 346
Capítulo 6 – Cálculo Vetorial ... 352
Vetor ... 353
Operações com Vetores ... 362
O Produto Escalar ou Produto Interno ... 368
O Produto Vetorial ... 374
Equações Paramétricas de Retas ... 378
Campo Vetorial ... 386 Derivada Direcional ... 388 Integral de Linha ... 400 Algumas Aplicações ... 418 Exercícios Extras ... 446 Apêndice ... 456 Referências Bibliográficas ... 464
Respostas dos Exercícios ... 466
9 CÁLCULO PARA UM CURSO DE QUÍMICA
Capítulo 1
Alguns Métodos de Integração
O QUE VOCÊ VAI ESTUDAR:
• Como determinar a integral indefinida através de outras mudanças de variáveis.
• Como determinar a integral indefinida através do método de integração por partes.
• Como determinar a integral indefinida através do método de potências de funções trigonométricas.
• Como determinar a integral indefinida através do método de substituições trigonométricas.
• Como determinar a integral indefinida através do método das frações parciais.
Alguns Métodos de Integração
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I fizemos uma introdução à integração, onde foram trabalhadas as funções que possuem integrais imediatas ou que podem ser calculadas através de uma substituição simples da variável. Faremos uma breve revisão aqui, a fim de situar o leitor a esse respeito.
O cálculo integral consiste em, conhecendo-se a derivada de uma função, encontrar a função primitiva (ou antiderivada) da qual ela provém; ou seja, significa encontrar uma função F(x) cuja derivada seja conhecida. Assim, se a derivada é representada por f(x), a sua primitiva F(x) deverá satisfazer F´(x) = f(x) para qualquer x onde f esteja definida e seja contínua. Assim, por exemplo, uma primitiva da função f(x) = cos x é F(x) = sen x, pois F´(x) = cos x = f(x). É importante lembrar que a primitiva não é única, pois se tomarmos F(x) = sen x + C, onde C é um número real qualquer, ainda teremos F´(x) = cos x = f(x).
Uma primitiva (ou antiderivada) de uma função y = f (x) será denominada também de integral indefinida de f e representada por
( )
( )
.f x dx F x= +C
∫
A função f(x) a ser integrada é denominada de integrando, x é a
variável de integração, dx é um símbolo que indica em relação a
qual variável a função está sendo integrada e C é a constante de
integração.
A tabela a seguir mostra as primitivas consideradas imediatas, ou seja, que não demandam de cálculos para serem obtidas.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 11
Integrais Imediatas
1 dx= dx x C= +∫
∫
(
)
1 1 1 n n x x dx C n n + = + ≠ − +∫
1dx ln x C x = +∫
sen x dx= −cosx C+∫
∫
cos x dx=sen x C+ 2 sec x dx=tg x C+∫
cossec 2x dx= −cotg x C+∫
secx⋅tg x dx=secx C+∫
∫
cossec cotg x⋅ x dx= −cossec x C+(
)
1 0 e 1 ln x x a dx a C a a a = + > ≠∫
∫
e dx ex = x+CPropriedades
1.
∫
a f x dx a f x dx⋅( )
=∫
( )
onde a é uma constante. 2.∫
f x( )
±g x dx( )
=∫
f x dx( )
±∫
g x dx( )
LEMBRETE:A integral do produto não é o produto das integrais, assim como a integral do quociente também não é o quociente das integrais, ou seja, em geral temos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) f x dx f x f x g x dx f x dx g x dx dx g x g x dx ≠ × ≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Observamos que nem toda função possui primitiva, ou seja, existem algumas funções para as quais não conseguimos escrever suas integrais indefinidas em termos de funções elementares. Um exemplo clássico desse tipo de funções é f x( ) ex2
= que, embora pareça ser uma função bem simples, só pode ser integrada numericamente. Todavia, para calcular as primitivas daquelas funções que são integráveis, nos valemos de vários métodos, cada um deles adequado a um tipo de função. Existem vários deles, porém trataremos aqui somente daqueles que julgamos mais necessários para o desenvolvimento das teorias seguintes, como resolução de Equações Diferenciais, por exemplo. O estudante que tiver necessidade de resolver alguma integral que não tenha sido abordada nesse material, poderá recorrer à bibliografia indicada ou às tabelas de integração apresentadas no final deste material. Observamos ainda que a abordagem dada neste capítulo é mais técnica, preparando o estudante com ferramentas matemáticas que serão utilizadas na resolução de problemas futuros.
Inicialmente faremos uma rápida revisão da mudança de variável estudada no Cálculo I, seguida de outras possibilidades de substituições e, na sequência, estudaremos os métodos de integração por partes, de potências de funções trigonométricas, por meio de substituições trigonométricas e por meio de frações parciais.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Mudança de Variáveis
Este método consiste em tomar uma parte da função a ser integrada e representá-la por outra letra, digamos, a letra u expressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o produto dela por uma constante, também aparece no integrando, multiplicando dx. Com esta mudança, o integrando passa a ser função de u e a integral torna-se simples de ser calculada. Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 1 Calcule
∫
x e dxx2 .Solução
Observe que a função a ser integrada possui o termo x derivada, 2x, também aparece no integrando, multiplicando menos da constante 2. Este é, portanto, um caso típico de função cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois fazendo 2
u x
=
, obtemos 2 1 2 2 du du= x dx ⇒ x dx= = du,ou seja, mudamos adequadamente a variável x para u e, com isso, obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na variável u: 2 x x e dx
∫
= 1 1 2 2 u u e du = e +C∫
.Todavia, não queremos a resposta em u, pois nossa função original é função da variável x. Para retornarmos à variável x, basta substituirmos a variável u da resposta pela sua expressão em seja, basta fazermos a substituição de u por x2 na resposta final obtida. Assim, teremos
2 x x e dx
∫
= 1 2 2 x e +C.ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 13
Este método consiste em tomar uma parte da função a ser u. Esta expressão geralmente é uma parte do integrando cuja derivada, ou o produto dela por uma constante, também aparece no integrando, . Com esta mudança, o integrando passa a ser Vejamos
x2, cuja , também aparece no integrando, multiplicando dx, a típico de função cuja integral se resolve pelo método de mudança de variável, pois
e, com isso, obtemos uma integral mais simples de ser calculada, agora na
, pois nossa função original é , basta da resposta pela sua expressão em x, ou na resposta final
EXEMPLO 2 Calcule tg secx 2x dx
∫
por dois meios diferentes: (i) Fazendo u=tgx;(ii) Fazendo u=secx.
Explique a diferença entre os resultados.
Solução (i) u tgx du sec2x dx = ⇒ = . tg sec2 2 tg2 2 2 u x x x dx u du C C ∴
∫
=∫
= + = + .(ii) u=secx⇒du=sec tgx x dx.
2 2
2 sec
tg sec sec sec tg .
2 2
u x
x x dx x x x dx u du C C
∴
∫
=∫
=∫
= + = +Observamos que para cada escolha de u obtivemos uma solução diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para as soluções, sugere que elas estão relacionadas de algum modo, pois trata-se de potências de funções trigonométricas e sabemos ser verdadeira a identidade tg2x 1 sec2x
+ = , para todo x. Assim, dividindo ambos os lados desta equação por 2 , obtemos
2 2
tg 1 sec
2 2 2
x x
+ = ,
o que implica que
2 2 tg sec 1 2 2 2 x x − = − , ou seja, a função ( ) tg2 2 x
f x = difere da função ( ) sec2 2
x g x = por uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma constante, conforme visto no Cálculo 1.
por dois meios diferentes:
tg secx x dx sec sec tgx x x dx u du C C.
∴ = = = + = +
obtivemos uma solução diferente para a integral. No entanto, um olhar mais cuidadoso para que elas estão relacionadas de algum modo, pois se de potências de funções trigonométricas e sabemos ser . Assim,
por uma constante. Logo, ambas são primitivas de função dada, já que duas primitivas de uma mesma função se diferem apenas por uma
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Outras substituições
As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas no Cálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por um polinômio, uma vez que os polinômios são facilme integráveis. Os exemplos abaixo ilustrarão como isso ocorre.
EXEMPLO 3 Calcule t2 1 t dt
+
∫
.Solução
Observe que não estamos no caso típico de mudança de variável visto no Cálculo 1. Porém, é possível substituir o integrando por uma expressão que não contenha a raiz quadrada, considerando
1 + t = u2. Com isso, teremos
2 1 2 1 e 2
u = +t ⇒ t u= − dt= u du. Substituindo no integrando temos
(
)
(
)
2 4 2 6 4 2 7 5 3 1 2 2 1 2 2 2 2 . 7 5 3 t t dt u u u u du u u u du u u u C + = − + = − + = = − + + ∫
∫
∫
Para retornarmos à variável t, basta substituir a variável solução, pela sua expressão em t, ou seja, por (1 + t )1/2, obtendo
2 1 2(1 )7/2 4(1 )5/2 2(1 )3/2
7 5 3
t +t dt= +t − +t + +t +C
∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 15
As mudanças de variáveis vistas acima foram trabalhadas no Cálculo 1 e apresentadas aqui apenas com o intuito de relembrar um pouco esta técnica. Porém, a situação descrita acima não é a única em que a mudança de variável simplifica a função a ser integrada. Existem outras possibilidades de mudanças de variáveis que facilitam muito o cálculo da integral e, dentre elas, citamos os casos onde aparecem raízes de funções no integrando. A idéia, nestas situações, é fazer uma mudança que possibilite a troca da raiz por um polinômio, uma vez que os polinômios são facilmente
de variável orém, é possível substituir o integrando por
considerando
t +t dt= u − u + u u du= u − u +u du=
a variável u, da , obtendo
EXEMPLO 4 Calcule x5 x2+4dx
∫
.Solução
Por se tratar de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo procedimento adotado no Exemplo 3, ou seja, faremos x2 + 4 = com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos
2 2 4 2 2 4 2 2
u =x + ⇒ x =u − ⇒ x dx= u du ⇒ x dx u du= Substituindo no integrando temos
5 2 4 ( )2 2 2 4 ( 2 4)2 x x + dx= x x + x dx= u − u u du=
∫
∫
∫
7 5 3 4 2 2 6 4 2 ( 8 16) ( 8 16 ) 8 16 7 5 3 u u u u − u + u du= u − u + u du= − + +C=∫
∫
2 7/2 2 5/2 2 3/2 ( 4) ( 4) ( 4) 8 16 7 5 3 x x x C + + + = − + + . EXEMPLO 5 Calcule 3 1 x dx x +∫
. SoluçãoObserve que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta tomarmos para expoente da nova variável, digamos u, o mínimo múltiplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função, ou seja, basta fazermos x = u6, já que 6 = mmc(2,3). Assim, teremos
6 6 5
x u= ⇒ dx= u du. Substituindo no integrando obtemos:
de uma raiz quadrada, aplicaremos o mesmo + 4 = u2 com o objetivo de eliminar a raiz do integrando. Com isso teremos
u x x u x dx u du x dx u du
u − u + u du= u − u + u du= − + +C=
Observe que agora o integrando contém uma raiz quadrada e uma raiz cúbica e seria interessante fazermos uma mudança de variável que eliminasse as duas raízes ao mesmo tempo. Para isso, basta , o mínimo iplo comum entre os índices das raízes que aparecem na função, , já que 6 = mmc(2,3). Assim,
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 3 5 8 2 2 3 6 6 . 1 1 1 x u u u dx du du u u x = + = + +
∫
∫
∫
Aqui temos um novo problema: como calcular a integral resultante acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se
( )
( )
( ) P x H x Q x =onde P e Q são polinômios reais e o grau de Q é menor ou igual que o grau de P, então H é dita uma função racional imprópria. Pa H se torne uma função racional própria é necessário dividir P até que o grau do numerador seja menor que o do denominador. Assim, teremos 8 6 4 2 2 2 1 1 1 1 u u u u u = − + − + u + +
e, substituindo na integral acima, obtemos:
6 4 2 2 3 7 5 3 7/6 5/6 3/6 1/6 1/6 1 6 1 1 1 6 arctg 7 5 3 6 arctg . 7 5 3 x dx u u u du u x u u u u u C x x x x x C = − + − + = + + = − + − + + = = − + − + +
∫
∫
OBS: Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a integral
2
1 1+u du
∫
que ainda não aprendemos como resolver. Sempre que isso ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a apresentada no final desse livro.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 17
como calcular a integral resultante acima. Para resolver este problema precisamos nos lembrar que se
é menor ou igual que é dita uma função racional imprópria. Para que P por Q até que o grau do numerador seja menor que o do denominador.
6 x arctgx C.
= − + − + +
Note que, ao longo da resolução, nos deparamos com a
como resolver. Sempre que isso ocorrer, consulte uma tabela de integração, como a
EXERCÍCIOS 1.1
1. Calcule as seguintes integrais: a)
∫
x(2 3 )+ x2 8dx b) 3 4 x dx x + +∫
c) 4 t t e dt e +∫
d) cos(5∫
x−2)dx e) x2 1+x dx∫
f)∫
x x+ dx1 g)∫
t t−4dt h) xtg( )x dx2∫
i)dx
x
x
x
∫
−
+
− 3 2 1 43
4
j) 3 3 2 4 x dx x +∫
k) 3 1 dx x + x∫
l)∫
x x3 +9dx m) 53 2 x dx x +∫
n) 1 (x+1) x−2 dx∫
o) e3x 1 e dxx +∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Integração por Partes
Quando estamos interessados em calcular integrais que se apresentam na forma
∫
f x g x dx( ) ( ) , onde f é uma função que pode ser derivada repetidamente e g é uma função que pode ser integrada repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato de que o método consiste em separar o integrando em duas partes, digamos, u = f(x) e dv = g(x) dx e, em seguida, aplicar a fórmula( ) ( )
f x g x dx= u dv=uv− v du
∫
∫
∫
,a qual é denominada “fórmula da integração por partes” .
Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte iremos chamar de u e qual parte iremos chamar de dv e esta escolha, embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa dica é sempre chamar de dv a parte do integrando mais complicada que possa ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir no termo que chamou de dv. Após feita a escolha, é necessário calcular a diferencial de u para obter du e a integral de dv para obter v, ambos presentes na fórmula. O exemplo abaixo ilustrará melhor o que está sendo dito:
EXEMPLO 1 Calcule
∫
x e dx2 x .Solução
O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de e daquela que será chamada de dv. Temos várias possibilidades para dv:
dx, x2 dx, ex dx ou x2 ex dx.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 19
Quando estamos interessados em calcular integrais que se é uma função que pode é uma função que pode ser integrada repetidamente, ambas sem dificuldades, podemos nos valer de uma técnica denominada Integração por Partes. Este nome se dá pelo fato r o integrando em duas partes, e, em seguida, aplicar a fórmula
Observe que devemos fazer uma escolha sobre qual parte e esta escolha, embora nem sempre seja fácil, muitas vezes é decisiva para o sucesso da resolução. Não existe uma receita para isso, mas uma boa a parte do integrando mais complicada a ser prontamente integrada. E não se esqueça de incluir dx . Após feita a escolha, é necessário para obter melhor o
O primeiro passo é sempre a escolha da parte que será chamada de u . Temos várias possibilidades para
Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente é ex dx. Portanto, fazemos: 2 1 2 . x x u x du x dx dv e dx v e C = ⇒ = = ⇒ = +
Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos:
2 2 1 1 2 2 2 1 1 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 . x x x x x x x x e dx x e C e C xdx x e C C x xe dx x e xe dx = + − + = + − − = −
∫
∫
∫
∫
Para resolver esta nova integral, aplicamos novamente o método, tomando agora 2. x x du dx u x v e C dv e dx = = ⇒ = + =
Com isso, obtemos:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 . x x x x x x x x x x e dx x e e xdx x e x e C e C dx x e xe xC e xC C = − = − + − + = = − − + + +
∫
∫
∫
(
)
2 x x 2 2 2 x e dx e x x C ∴∫
= − + + . OBS:1. Note que as constantes de integração, C1 e C2, que surgiram ao integrar dv e d v , foram canceladas ao longo do desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste método e, por isso, não será necessário considerar tal constante quando integrar dv. Assim, daqui por diante, a constante de integração de dv será omitida neste texto.
Dentre estas, a mais complexa que sabemos integrar imediatamente
ral, aplicamos novamente o método,
= − = − + − + =
, que , foram canceladas ao longo do desenvolvimento dos cálculos. É possível provar que os termos que contêm estas constantes sempre se anularão neste método e, por isso, não será necessário considerar tal . Assim, daqui por diante, a
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 21
2. Se no início dos cálculos tivéssemos escolhido u = ex e dv = x2 dx, teríamos obtido: 3 2 3 x x du e dx u e x dv x dx v = = ⇒ = = e, portanto, a integral se tornaria:
3 2 1 3 3 3 x x x x x e dx e= − x e dx
∫
∫
que leva a uma integral mais complexa que a original, o que nos indicaria que esta não teria sido uma boa escolha. Do mesmo modo, se decidíssemos mudar a escolha no meio do exercício, ou seja, se ao aplicarmos o método pela segunda vez tivéssemos optado por inverter a escolha das funções, teríamos chego a um resultado inconclusivo, como podemos observar a seguir: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . x x x x x x x x x x du e dx u e x dv xdx v x x x e dx x e e e dx x e dx x e x e x e dx = = ⇒ = = ⇒ = − − ∴ = − +
∫
∫
∫
∫
Observamos novamente, com este exemplo, que o sucesso da resolução depende, muitas vezes, da escolha de u e dv. Todavia, nem sempre acertamos na primeira tentativa. A experiência adquirida ao longo dos estudos certamente nos auxiliará nesta tarefa.
3. Observe que não se trata de uma mudança de variáveis, mas apenas de um recurso intermediário para escrever a integral em uma outra forma, mais fácil de ser calculada. Mantemos a mesma variável independente ao longo de todo o processo, utilizando u, v, du e dv apenas para mudar a forma de escrever a integral.
Este método foi desenvolvido a partir da derivada do produto de duas funções, conforme podemos ver abaixo.
Observe que se u e v são duas funções diferenciáveis na variável x, então
[
( ) ( )]
( ) ( )d dv du
u x v x u x v x
dx = dx+ dx.
Integrando ambos os lados em relação à x, obtemos:
[
( ) ( )]
( ) '( ) ( ) '( ) du x v x dx u x v x dx v x u x dx
dx = +
∫
∫
∫
,de onde segue que:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) u x v x dx u x v x= − v x u x dx
∫
∫
.Quando esta equação é escrita na notação de diferenciais, obtemos:
u dv uv= − v du
∫
∫
,a qual é denominada, como já fora dito, fórmula da integração por partes . Assim, para calcular a integral de uma função que se apresenta na forma f(x) g(x) dx, fazemos u = f(x), dv = g(x) dx e aplicamos a fórmula acima.
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 2 Calcule
∫
xlnx dx.Solução
Como não sabemos calcular a integral de ln x, não devemos escolhê la para compor dv, ou seja, fazemos
2 1 ln , 2 du dx u x x dv x dx x v = = ⇒ = =
já que x é uma função fácil de ser integrada e ln x é uma função fácil de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos: 2 2 2 2 2 1 ln ln ln 2 2 2 2 ln . 2 4 x x x x x x dx x dx x dx x x x x C = − = − = = − +
∫
∫
∫
EXEMPLO 3 Calcule sec x dx3
∫
.Solução
Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma
2
sec secx x dx
∫
, uma vez que a função sec2 x pode ser facilmente integrada. Assim, tomando2 sec sec tg tg sec u x du x x dx v x dv x dx = = ⇒ = =
e aplicando a fórmula de integração por partes, obtemos:
3 2
sec x dx=sec tgx x− sec tgx x dx.
∫
∫
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos bem detalhado na próxima seção, substituímos o termo tg2 x por uma expressão equivalente, através das identidades trigonométricas ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 23
, não devemos
escolhê-é uma função fácil de ser derivada. Substituindo na fórmula de integração por partes,
Neste caso, uma boa estratégia é escrever a integral na forma pode ser facilmente
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, conforme veremos por uma expressão equivalente, através das identidades trigonométricas
conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo
2 2
tg x=sec x−1, obtemos
3 2
sec x dx=sec tgx x− sec (secx x−1)dx=
∫
∫
= sec tgx x secx dx sec3x dx
+
∫
−∫
.Assim, somando o termo sec x dx3
∫
em ambos os lados da igualdade, obtemos3
1
2 sec
∫
x dx=sec tg x x+ln secx+tg x C+ , ou3 1
sec sec tg ln sec tg
2 x dx= x x+ x+ x+C
∫
, onde 1 2 C C = .OBS: A integral sec x dx
∫
pode ser encontrada na tabela de integração, que se encontra no Apêndice desse livro, ou pode ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício nada óbvio, como podemos ver abaixo:sec tg sec sec sec tg ln ln sec tg , x x x dx x dx x x du u C x x C u + = = + = = + = + +
∫
∫
∫
onde 2sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .
u= x+ x du= x x+ x dx
conhecidas, a fim de transformar a função dada em uma outra que propicie alguma facilidade nos cálculos. Assim, fazendo
em ambos os lados da
pode ser encontrada na tabela de , ou pode ser facilmente calculada, após a utilização de um artifício
sec tg e, consequentemente, (sec tg sec ) .
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 25 EXERCÍCIOS 1.2
1) Calcule as seguintes integrais: a) ln x dx
∫
b) x2lnx dx∫
c) x2senx dx∫
d) xsen e x dx∫
e) cossec x dx3∫
f)∫
xe−2xdx g)∫
x senx dx h) arctg x dx∫
i)∫
x lnx dx j)∫
(sen ) ln(cos )x x dx k)∫
xsec tgx x dx l) 3 x x e dx−∫
m)∫
xcos5x dx n) x e dx2 3x∫
o) x2cosx dx∫
2) A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo de uma reta é dada por
v t
( )
=
t e
/
2t m/s. Se o ponto está na origem quanto t = 0, ache sua posição em um instante t qualquer.Integração de potências de funções
trigonométricas
O cálculo de integrais de funções envolvendo potências de funções trigonométricas geralmente é feito a partir da substituição da função por uma equivalente a ela, através das identidades trigonométricas conhecidas, fazendo com que a nova integral possa ser resolvida mais facilmente, na maioria das vezes por meio de uma mudança de variável.
Não trataremos de todos os casos aqui por entendermos que alguns tipos de integrais raramente serão usadas por um estudante de Química, porém, os casos omissos poderão ser encontrados nas tabelas de integrais e nos livros constantes da referência bibliográfica.
O estudo será dividido em casos, de acordo com o tipo da função e do expoente. Porém, antes de iniciá-lo, relembraremos as identidades trigonométricas mais conhecidas, uma vez que a aplicação deste método exige o seu uso constante e certamente muitas delas já caíram no esquecimento de uma boa parte dos estudantes. São elas:
2 2
sen x+cos x=1 cos2 1 cos2 2 x x= + 2 1 cos2 sen 2 x x= − cotg2x+ =1 cossec2x 2 2
tg x+ =1 sec x cos(2 ) cosx = 2x−sen2x
sen(2 ) 2sen cosx = x x sen cos 1
[
sen( ) sen( )]
2x y= x y− + x y+
[
]
1
sen sen cos( ) cos( )
2
x y= x y− − x y+
[
]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 27 1º Caso – Potências de Senos e Cossenos:
senmxcosnx dx
∫
onde m e n são inteiros não negativos.
Existem várias possibilidades para uma integral deste tipo, o que pode ser notado variando as características de m e n, por exemplo. Assim, o fato destes expoentes serem par ou ímpar influencia substancialmente no modo de proceder a busca por uma solução, conforme pode ser visto a seguir.
A) Se a potência do cosseno é ímpar, independente da potência do seno, a sugestão é guardar um fator do cosseno e usar
2 2
cos x= −1 sen x
para expressar os fatores remanescentes em termos de seno. Observe que isso sempre é possível, uma vez que o expoente, sendo ímpar, possibilita escrevermos a função de modo a deixar um termo cos(x) separado e multiplicando o restante, que terá expoente par e, consequentemente, pode ser escrito como potência de 2. Este termo, cos2x, é que será substituído, conforme sugestão acima. Esta nova maneira de escrever possibilita o cálculo da integral através da mudança de variável
u = sen x fl du = cos x dx.
OBS: Note que esta regra poderá ser utilizada sempre que houver uma potência ímpar do cosseno, estando ele sozinho ou multiplicado por qualquer potência positiva de seno.
EXEMPLO 1 Calcule 5
cos x dx
∫
.Solução
Como o expoente é ímpar, o primeiro passo é separar um fator cos no integrando, fazendo com que o restante seja potência de dois:
(
)
25 4 2
cos x dx= cos xcosx dx= cos x cosx dx
∫
∫
∫
.Agora, substituindo cos2x por (1 - sen2x), obtemos
5 2 2
cos x dx= (1 sen ) cos− x x dx
∫
∫
,cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de mudança de variáveis. Portanto, fazendo
u = sen x obtemos du = cos x dx e, substituindo na integral, temos:
3 5 2 2 2 4 (1 ) (1 2 ) 2 3 5 u u u du u u du u C − = − + = − + + =
∫
∫
3 5 2 1sen sen sen
3 5 x− x+ x C+ . EXEMPLO 2 Calcule 4 3 sen xcos x dx
∫
. SoluçãoUtilizando os mesmos procedimentos do Exemplo 1, teremos
4 3 4 2 4 2
sen xcos x dx= sen xcos x cosx dx= sen x(1 sen ) cos− x x dx=
∫
∫
∫
5 7 4(1 2) ( 4 6) 1sen5 1sen7 5 7 5 7 u u u −u du= u −u du= − +C= x− x C+∫
∫
sendo que novamente foi usada a mudança de variável u = sen x. imeiro passo é separar um fator cos x
cuja integral resultante é facilmente resolvida através do método de
e, substituindo na integral, temos:
sen xcos x dx= sen xcos x cosx dx= sen x(1 sen )cos− x x dx=
u −u du= u −u du= − +C= x− x C+ , .
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 3 Calcule 3 5
sen xcos x dx
∫
.Solução
Como temos uma potência ímpar de cos x, continuamos com o mesmo procedimento: 3 5 3 4 3 2 2 3 2 2 3 2 4 4 6 8 3 5 7 4 6 8
sen cos sen cos cos sen (1 sen ) cos
(1 ) (1 2 )
( 2 ) 2
4 6 8
1 1 1
sen sen sen .
4 3 8 x x dx x x x dx x x x dx u u du u u u du u u u u u u du C x x x C = = − = = − = − + = = − + = − + + = = − + +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
B) Se a potência do seno é ímpar, independente da potência do cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar
2 2
sen x= −1 cos x para expressar os fatores remanescentes em termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no caso A), porém a mudança de variável para resolver a integral resultante, neste caso, será u = cos x fl du = -sen x dx. Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 1 Calcule sen x dx3
∫
.Solução
Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores, lembrando apenas de separar um fator sen x na expressão da ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 29
, continuamos com o
3 5 3 4 3 2 2
sen cosx x dx= sen cosx x cosx dx= sen (1 sen ) cosx − x x dx=
= − + = − + + =
, independente da potência do cosseno, você pode guardar um fator do seno e usar
para expressar os fatores remanescentes em termos de cosseno. O raciocínio é exatamente o mesmo aplicado no porém a mudança de variável para resolver a integral . Vejamos
Neste caso, o procedimento é análogo aos exemplos anteriores, na expressão da
função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será substituído por (1 – cos2x). Assim,
3 2 2
3
2 3
sen sen sen (1 cos ) sen
1 (1 ) cos cos 3 3 x dx x x dx x x dx u u du u C x x C = = − = = − − = − + = − +
∫
∫
∫
∫
sendo que a mudança de variável u = cos x foi utilizada.
EXEMPLO 2 Calcule sen3xcos2x dx
∫
. Solução 3 2 2 2 2 2 5 3 2 2 4 2 5 3sen cos sen cos sen
(1 cos )cos sen
(1 ) ( ) 5 3 cos cos . 5 3 x x dx x x x dx x x x dx u u u u du u u du C x x C = = = − = = − − = − = − + = = − +
∫
∫
∫
∫
∫
EXEMPLO 3 Calcule 3 3 sen xcos x dx∫
. SoluçãoNeste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente vamos resolvê-lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a integral pode ser escrita como
função, a fim de sobrar um fator com expoente par, o qual será
= − − = − = − + =
Neste caso, tanto o critério de expoente ímpar de cossenos como de senos pode ser aplicado para solucionar o problema. Inicialmente lo utilizando o expoente ímpar do seno. Então, a
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
3 3 2 3
6 4
2 3 5 3
6 4
sen cos (1 cos ) cos sen
(1 ) ( ) 6 4 1 1 cos cos 6 4 x x dx x x x dx u u u u du u u du C x x C = − = = − − = − = − + = = − +
∫
∫
∫
∫
novamente com a mudança de variável u = cos x.
OBS : A escolha de qual termo será substituído por um equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter resolvido o Exemplo 3 considerando potência ímpar de cosseno, cuja resolução seria:
3 3 2 3 2 3
6 4 5 3
6 4
sen cos (1 sen ) sen cos (1 )
( ) 6 4 1 1 sen sen 6 4 x x dx x x x dx u u du u u u u du C x x C = − = − = = − + = − + + = − = + +
∫
∫
∫
∫
com a mudança de variável u = sen x.
Exercício: Verifique que ambas as resoluções estão corretas
calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções diferem por uma constante.
C) Se as potências de seno e cosseno são pares, usamos as identidades:
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 31
A escolha de qual termo será substituído por um equivalente a ele, não é única. Você poderá optar, em muitos casos, por substituir o seno ou o cosseno, de acordo com sua preferência ou conveniência. Assim, também poderíamos ter iderando potência ímpar de
x x dx= − x x x dx= −u u du=
Verifique que ambas as resoluções estão corretas calculando suas derivadas ou mostrando que as duas soluções
2 1 cos2 sen 2 x x= − e cos2 1 cos2 2 x x= +
OBS: Note que se a função apresenta potências pares e ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge cosseno de arco duplo, uma mudança de variável a mais será necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar este procedimento somente quando apenas expoentes pares de senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos, todos os termos contendo potências pares devem ser substituídos. Vejamos alguns exemplos destes casos.
EXEMPLO 1 Calcule 4
sen x dx
∫
.Solução
Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente escrevemos o integrando como uma potência de sen2x. Em seguida, reescrevemos a função em termos de cossenos e procedemos como nos casos anteriores. Assim, teremos:
Note que se a função apresenta potências pares e ímpares de senos e cossenos, a escolha de qual critério será usado (potência par ou potência ímpar) fica a cargo do estudante. Todavia, como neste critério de potência par surge mudança de variável a mais será necessária durante a resolução. Portanto, uma boa dica é usar este procedimento somente quando apenas expoentes pares de senos e/ou cossenos aparecerem no integrando. Nestes casos, evem ser
Para podermos utilizar a identidade indicada acima, inicialmente . Em seguida, evemos a função em termos de cossenos e procedemos como
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 33
(
)
2 2 4 2 2 2 1 2 1 1 cos 2 sen sen 2 1 (1 2cos 2 cos 2 ) 4 1 1 1 cos 2 cos 2 4 2 4 1 1 1 cos cos , 4 4 8 x x dx x dx dx x x dx x C x dx x dx x C y dy y dy − = = = = − + = = + − + = = + − +∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
onde a mudança de variável y = 2x foi introduzida para simplificar a integral dos dois últimos termos. Observe que as integrais resultantes são mais simples, porém a última ainda não é imediata e, para resolvê-la, nos valemos novamente deste método de potências pares, agora de cossenos. Vamos resolvê-la separadamente a fim de facilitar a compreensão: 2 2 2 3 1 cos 2 1 cos (1 cos 2 ) 2 2 1 1 cos 2 4 1 1 sen2 , 2 4 y y dy dy y dy y C z dz y C y C + = = + = = + + = = + + +
∫
∫
∫
∫
onde a mudança z = 2y foi utilizada no cálculo da última integral. Retomando agora a integral inicial, teremos
4 1 1 1
sen ( sen ) sen 2 ,
4 8 2 4
y
x dx= x− y + + y+C
∫
onde C engloba todas as constantes que surgiram ao longo dos cálculos. Substituindo y por 2x teremos o resultado final esperado:
4 1 1 2 1
sen ( sen 2 ) sen 4
4 8 2 4 3 1 1 sen2 sen4 . 8 4 32 x x dx x x x C x x x C = − + + + = = − + +
∫
EXEMPLO 2 Calcule sen4xcos2x dx
∫
.Solução
Neste caso, os dois expoentes são pares e, portanto, fazemos as substituições em ambos os termos. Assim, a integral torna-se:
(
)
(
)
2 4 2 2 3 2 3 1 cos 2 1 cos 2 sen cos 2 2 11 cos 2 cos 2 cos 2 8
1
1 cos cos cos ,
16 x x x x dx dx x x x dx y y y dy − + = = = − − + = = − − +
∫
∫
∫
∫
onde a mudança de variável y = 2x fl dx = dy/2 foi utilizada.
A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as duas primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são potências de cosseno, necessitando portando, dos métodos vistos acima para calculá-las. Para simplificar o entendimento, novamente vamos resolvê-las separadamente:
2 1 1 cos2 1 cos sen 2 2 2 4 y y y dy= + dy= + y C+
∫
∫
.pares e, portanto, fazemos as
A nova integral obtida é a soma de quatro parcelas, sendo que as primeiras são facilmente integráveis e as duas últimas são itando portando, dos métodos vistos las. Para simplificar o entendimento, novamente
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
(
)
3 2 3 2 3 2 2cos (1 sen ) cos
1 1 sen sen , 3 3 y dy y y dy z z dz z C y z C = − = = − = − + = − +
∫
∫
∫
onde a mudança de variável z = sen y foi utilizada .
Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente os cálculos, temos
(
)
4 2 2 3 3 3 1sen cos 1 cos cos cos
16
1 1 1
sen sen 2 sen sen
16 2 4 3 1 1 1 sen 2 sen 16 2 4 3 x x dx y y y dy y y y y y y C y y y C = − − + = = − − − + − + = = − − + =
∫
∫
3 3 1 2 1 1 sen 4 sen 2 16 2 4 3 1 1 1 sen 4 sen 2 , 16 4 3 x x x C x x x C = − − + = = − − + onde C = C1 + C2 + C3, sendo que C3 é a constante correspondente à primeira parte da integral.
2º Caso – Potências de Tangentes e Secantes:
tgmxsecnx dx
∫
onde m e n são inteiros não negativos.
Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 35
1 sen sen ,
Retomando do ponto onde havíamos interrompido temporariamente
3 y y y y y C = − − − + − + = é a constante correspondente à Potências de Tangentes e
Análogo ao caso dos senos e cossenos, o fato dos expoentes serem par ou ímpar interferem fortemente no processo de calcular a
integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com tangentes, cotangentes, secantes e cossecantes são todos análogos aos utilizados para trabalhar com senos e cossenos.
A)Se a tangente aparece sozinha no integrando, independente de seu expoente ser par ou ímpar, separe um fator tg2x e escreva-o em termos de sec2x, através da identidade tg2x sec2x 1
= − ; em seguida, utilize a mudança de variável u=tg x ⇒du=sec2x dx
para resolver o problema.
EXEMPLO 1 Calcule tg5 . x dx
∫
Solução 5 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 4 2 3 4 2 tg tg tg tg (sec 1) tg sec tg tg sec tg (sec 1) tg sec tg sec tg tg ln sec 4 2 1 1 tg tg ln sec , 4 2 x dx x x dx x x dx x x dx x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x dx u u u du u du x dx x C x x x C = = − = = − = = − − = = − − = = − − = − − + = = − − +∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
sendo que a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
integral. Por isso, serão novamente divididos em casos. Vale ressaltar que os procedimentos adotados para trabalhar com ecantes são todos análogos
, independente de o em ; em
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO EXEMPLO 2 Calcule 4 tg x dx.
∫
Solução 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 tg tg tg tg (sec 1) tg sec tg tg sec (sec 1) tg sec sec sec tg 3 1 1 tg tg ln sec , 4 2 x dx x x dx x x dx x x dx x dx x x dx x dx x x dx x dx dx u u du x dx dx x x C x x x C = = − = = − = = − − = = − + = = − + = − + + = = − − +∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
onde a novamente a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
B) Se a potência da secante é par, independente do expoente da tangente, você pode guardar um fator de sec2x e usar
2 2
tg x+ =1 sec x para expressar os fatores remanescentes em termos de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que
2
(tg ) sec
d x x
dx = . Vejamos os exemplos abaixo.
EXEMPLO 1 Calcule sec x dx4
∫
.Solução
4 2 2 2 2
sec x dx= sec xsec x dx= (1 tg ) sec+ x x dx=
∫
∫
∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 37
foi utilizada.
, independente do expoente da e usar para expressar os fatores remanescentes em termos de tangente. Isso possibilitará calcular a integral pelo método de mudança de variáveis, a exemplo dos casos anteriores, uma vez que
3 2 1 3 (1 ) tg tg 3 3 u u du u C x x C + = + + = + +
∫
,onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
EXEMPLO 2 Calcule 5 4 tg secx x dx
∫
. Solução(
)
5 4 5 2 2 5 2 2 6 8 5 2 5 7 6 8tg sec tg sec sec tg 1 tg sec
1 1 (1 ) ( ) tg tg , 6 8 6 8 x x dx x x x x x x dx u u u u du u u du C x x C = = + = + = + = + + = + +
∫
∫
∫
∫
∫
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
EXEMPLO 3 Calcule tg4xsec4x dx
∫
. Solução 4 4 4 2 2 5 7 4 2 5 7 tg sec tg (1 tg )sec 1 1 (1 ) = tg tg , 5 7 5 7 x x dx x x x dx u u u u du C x x C = + = + = + + + +∫
∫
∫
onde a mudança de variável u = tg x foi utilizada.
C) Se a potência da tangente é ímpar e ela aparece multiplicando a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar um fator de sec tgx x e usar tg2x=sec2x−1 para expressar os
fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a mudança de variável u=secx ⇒ du=sec tg x x dx.
(1 ) ( ) tg tg ,
u u du u u du C x x C
= = + =
e ela aparece multiplicando a secante, independente do expoente da secante, você pode guardar para expressar os fatores remanescentes em termos de secante. Neste caso, use a
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 1 Calcule
∫
tg5xsec3x dx.Solução 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 2 7 5 3 7 5 3
tg sec (tg ) sec tg sec
(sec 1) sec tg sec
( 1) ( 2 )
2
7 5 3
1 2 1
sec sec sec ,
7 5 3 x x dx x x x x dx x x x x dx u u du u u u du u u u C x x x C = = = − = = − = − + = = − + + = = − + +
∫
∫
∫
∫
∫
onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada.
EXEMPLO 2 Calcule tg5xsec4x dx.
∫
Solução 5 4 2 2 3 2 2 3 2 2 3 7 5 3 8 6 4 8 6 4tg sec (tg ) sec tg sec
(sec 1) sec tg sec
( 1) ( 2 )
2
8 6 4
1 1 1
sec sec sec ,
8 3 4 x x dx x x x x dx x x x x dx u u du u u u du u u u C x x x C = = = − = = − = − + = = − + + = = − + +
∫
∫
∫
∫
∫
onde a mudança de variável u = sec x foi utilizada.
OBS: Note que esta última integral já foi calculada pelo procedimento sugerido no item B), apresentando a resposta em termos de tg x. Isso ocorre pela mudança de variável ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 39
Note que esta última integral já foi calculada pelo , apresentando a resposta . Isso ocorre pela mudança de variável
escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas, conforme você pode verificar, derivando-as. Este é um caso típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora de resolver a integral.
D) Se a potência da tangente é par e da secante é ímpar ou se potência da secante é ímpar e ela aparece sozinha, utilize integração por partes.
EXEMPLO 1 Calcule
∫
sec x dx3 .Solução
Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que se escrevermos a integral na forma
∫
sec secx 2x dx, e utilizarmos2 sec sec tg tg sec u x du x x dx v x dv x dx = = ⇒ = =
teremos, pela fórmula de integração por partes:
3 2
sec x dx=sec tgx x− sec tgx x dx.
∫
∫
Para efetuarmos o cálculo desta última integral, fazemos
2 2
tg x=sec x−1, e teremos
3 2
3
sec sec tg sec (sec 1)
sec tg sec sec .
x dx x x x x dx x x x dx x dx = − − = = + −
∫
∫
∫
∫
escolhida. No entanto, ambas as respostas estão corretas, as. Este é um caso típico onde podemos escolher qual procedimento usar na hora
ou se a utilize
Este exemplo já foi feito quando estudamos o método de integração por partes, porém, como esta integral aparecerá muitas vezes daqui por diante, entendemos ser válido relembrar sua resolução. Note que
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Assim, somando o termo sec x dx3
∫
em ambos os lados da igualdade, obtemos3
1
2 sec
∫
x dx=sec tg x x+ln secx+tg x +C , ou3 1
sec sec tg ln sec tg
2
x dx= x x+ x+ x+C
∫
, onde C = C1EXEMPLO 2 Calcule tg2xsec3x dx
∫
.Solução
Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma que seja fácil visualizar qual termo chamaremos de u
chamaremos de dv. Lembre-se que u deve ser facilmente derivável e dv deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios, podemos fazer 2 2 3 2 3 5 sen 1 sen tg sec sen .
cos cos cos
x x
x x dx dx x dx
x x x
= =
∫
∫
∫
Fazendo agora a escolha
5 4 sen cos sen 1 cos 4 cos u x du x dx x dv dx v x x = ⇒ = = ⇒ =
e aplicando a fórmula de integração por partes, teremos
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 41
em ambos os lados da
1/2.
Análogo ao que foi feito no Exemplo 1, precisamos reescrever a função a ser integrada de modo que ela se apresente em uma forma e qual deve ser facilmente derivável e deve ser facilmente integrável. Assim, segundo estes critérios,
2 3 4 4 4 3 3 4 4 4 sen 1 cos tg sec 4cos 4 cos sen 1 1 4cos 4 cos sen 1 sec 4cos 4 sen 1 1 sec tg ln sec tg 4cos 4 2 sen 1 sec tg ln sec tg . 4cos 8 x x x x dx dx x x x dx x x x xdx x x x x x x C x x x x x x C x = − = = − = = − = = − + + + = = − + + +
∫
∫
∫
∫
OBS: Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes e cossecantes, conforme veremos nos exemplos a seguir.EXEMPLO 1 Calcule cotg3xcossec4x dx.
∫
Solução 3 4 3 2 2 3 2 2 3 2 5 3 6 4 6 4cotg cossec cotg cossec cossec cotg (cotg 1) cossec
( 1) ( ) cotg cotg , 6 4 6 4 x x dx x x x dx x x x dx u u du u u du u u x x C C = = = + = = − + = − + = = − − + = − − +
∫
∫
∫
∫
∫
onde a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec2x dx foi utilizada.
= − + + + =
Todos estes procedimentos utilizados para tangentes e secantes também se aplicam, de modo análogo, à cotangentes
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
EXEMPLO 2 Calcule cotg4x dx.
∫
Solução 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2cotg cotg cotg (cossec 1) cotg
cossec cotg cotg
cossec cotg (cossec 1)
cotg cossec cotg , 3 x dx x x dx x x dx x x dx x dx x x dx x dx x u du x dx dx x x C = = − = = − = = − − = = − − + = − + + +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
onde novamente a mudança de variável u = cotg x, du = -cossec dx foi utilizada.
EXEMPLO 3 Calcule cossec3x dx.
∫
Solução
Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no cálculo da integral de sec3x:
3 2
2 2
3
cossec cossec cossec
cossec cotg cossec cotg
cossec cotg cossec (cossec 1)
cossec cotg cossec cossec .
x dx x x x x x x dx x x x x dx x x x dx x dx = = = − − = = − − − = = − − +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Assim, 3 32 cossec cossec cotg ln cossec cotg , ou seja,
1
cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
2 x dx x x x x C x dx x x x x C = − + − + = − + − +
∫
∫
ALGUNS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO 43
cossec cotg ,
u du x dx dx x x C
= = − =
= − − + = − + + +
cossec2x
Procedemos de modo inteiramente análogo ao que foi feito no
cossec cotg cossec (cossec 1)
cossec cotg cossec cossec .
x x x x dx
x x x dx x dx
= − − − =
2 cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
cossec cossec cotg ln cossec cotg ,
x dx x x x x C
x dx= − x x+ x− x C+
