CP 6 - PROTENDIDO CONTEUDO 06 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

EXERCÍCIOS

RESOLVIDOS

1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS

1.1 - Introdução

Este capítulo é uma coletânea de exercícios aplicados em provas do curso de concreto

protendido.

Os problemas de dimensionamento quanto aos Estados Limites de Utilização devem ser

complementados com a verificação do Estado Limite Último, obrigatória por norma.

1.2 - Formulário: Combinações da NBR- 8681

COMBINAÇÕES DE UTILIZAÇÃO  Combinações quase-permanentes m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =1  Combinações freqüentes _{m n} F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+



₁

F

_Q1,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =2  Combinações raras m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+ F

_Q1,k

+





_1j

F

_Qj,k

i =1 j =2 COMBINAÇÕES ÚLTIMAS  Combinações últimas normais m n

F

_d

=



_gi

F

_Gi,k

+



_{q [}

F

_Q1,k

+





_0j

F

_Qj,k]

i =1 j =2



_{0 ,}



_{1 e}



₂

: conforme tabela 5 da NBR-8681

2 - DIMENSIONAMENTO

2.1 - Exercício 1

A estrutura abaixo representa uma laje, de seção transversal constante, em balanço, submetida às ações:

g = peso próprio, com



_{c = 25 kN/m³} q = 2 kPa (carga acidental distribuída) G = 50 kN (carga concentrada permanente) Q = 20 kN (carga concentrada acidental)

A laje deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção de engastamento (A). Dimensionar a armadura de protensão, na seção de engastamento (A), com protensão completa, seguindo as diretrizes da NBR-7197.

seção transversal (A)

A B A cabos A (distribuída)_p vista lateral modelo de cálculo DADOS COMPLEMENTARES

· Utilizar um número inteiro de cabos · f

_ck

= 32 MPa ; f

_ctk

= 2 MPa

· Adotar CG dos cabos a 5 cm da borda superior : Y

_o

= 0,05 m

· Fatores de utilização :

· Tensões máximas para os Estados Limites :

a) Características geométricas A

_c

= 3,00  0,45 = 1,35 m² I

_c

= 3,00  (0,45)3 _{/ 12 = 0,02278 m}4 W

_csu

= W

_cin

= 0,02278 / 0,225 = 0,10124 m³ b) Ações externas g = 1,35 25 = 33,75 kN / m q = 2  3 = 6,00 kN / m G = 50 kN Q = 20 kN

c) Esforços solicitantes na seção (A) M

_g,A

= 33,75 (10)2 _{/ 2 = 1687,5 kN.m}

M

_q,A

= 6,00  (10)2 _{/ 2 = 300 kN.m}

M

_G,A

= 50  10 = 500 kN.m M

_Q,A

= 20 10 = 200 kN.m

d) Tensões normais devidas às ações externas

g :



_csu,g

= -



_cin,g

= 1687,5 / 0,10124 = 16668 kPa q :



_csu,q

= -



_cin,q

= 300 / 0,10124 = 2963 kPa G :



_csu,G

= -



_cin,G

= 500 / 0,10124 = 4939 kPa Q :



_csu,Q

= -



_cin,Q

= 200 / 0,10124 = 1975 kPa

e) Tensões normais devidas à protensão de 4 15,2 a tempo  na seção (A) e

_p

= 0,225 - 0,05 = 0,175 m

P



= 4  (- 150) = - 600 kN / cabo



c



_su,NP



_{= (-600 / 1,35) - [-600} _{(-0,175) / 0,10124] = - 444,44 - 1037,14 = - 1481,58 kPa}



c



_in,NP



_{= - 444,44 +1037,14 = 592,70 kPa}

f) Dimensionamento: Protensão Completa 1 - Combinações freqüentes : (descompressão) Na fibra superior : 16668 + 4939 + 0,7  2963 + 0,5  1975 + m'  (- 1481,58) = 0 m' = 16,65  adotado 17 cabos

Verificação da fibra inferior com 17 cabos

17  592,70 - ( 16668 + 4939 + 0,7  2963 + 0,5  1975) = - 14592,70 | 14592,70 | < 19200  OK 2 - Combinações raras : (formação de fissuras) Na fibra superior : 16668 + 4939 + 2963 + 0,6  1975 + m''  (- 1481,58)  2400 m'' = 15,76  adotado 16 cabos

Verificação da fibra inferior com 16 cabos

16  592,70 - (16668 + 4939 + 2963 + 0,6  1975) = - 16271,80 | 16271,80 | < 19200  OK

Resposta: m = 17 cabos de 4 15,2 , distribuidos na largura de 3 m, na parte superior, a cada ~17 cm.

O pilar central de uma passarela, construído com formas deslizantes, com seção transversal constante, foi protendido segundo a direção vertical (protensão centrada), conforme indica a figura.

Ações atuantes, além da protensão:

G = 2000 kN reação da superestrutura, representando as cargas permanentes H = 180 kN força horizontal acidental (com



₁

= 0,6)

G

₁

peso próprio do pilar com



= 25 kN / m³

Sabendo-se que o pilar foi projetado com 8 cabos, determinar o número de cordoalhas por cabo para se ter protensão total na seção de engastamento bloco

x

pilar. A força de protensão, após todas as perdas, é P



= - 110 kN.

DADOS COMPLEMENTARES

· Características: I

_c

= (



/ 64)  (D4 _{- d}4_{) , W}

_c

_{= I}

_c

_{/ (D / 2)}

· Utilizar concreto com f

_ck

= 34 MPa e f

_ctk

= 3 MPa

· Os cabos devem conter igual número de cordoalhas · Desprezar efeitos de 2ª ordem e cisalhamento

Combinações de Utilização  Combinações freqüentes m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+



₁

F

_Q1,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =2  Combinações raras m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+ F

_Q1,k

+





_1j

F

_Qj,k

i =1 j =2 RESOLUÇÃO a) Características A

_c

= 0,7854  [(1,60)2 _{- (1,10)}2_{] = 1,0603 m²} I

_c

= (



/ 64)  [(1,60)4 _{- (1,10}4_{)] = 0,2498 m}4 W

_c

= 0,2498 / 0,80 = 0,3123 m³

b) Ações externas, no engastamento G = 2000 kN G

₁

= 1,0603  20  25 = 530,15 kN M

_H

= 180  20 = 3600 kN.m c) Tensões externas devido G 



_G

= - 2000 / 1,0603 = - 1886,26 kPa devido G

₁





_G1

= - 530,15 / 1,0603 = - 500,00 kPa

devido M

_H





_MH,máx,min

=

±

3600 / 0,3123 =

±

11527,38 kPa d) Tensões devidas à protensão de 1 cordoalha

1 - Combinações freqüentes

Fibra mais tracionada:



_c,P



+ G + G

₁

+



₁

F

_Q1

 0 m'  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 0,6  11527,38  0 m'  43,7 cordoalhas  adotado m

₁

= 48 cordoalhas

Fibra mais comprimida:



_c,P



+ G + G

₁

+



₁

F

_Q1

 | 0,6 f

_ck

| 48  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 0,6  11527,38 = - 14282,21 | 14282,21 | < | 0,6  34000 | = | 20400 |  OK

2 - Combinações raras

Fibra mais tracionada:



_c,P



+ G + G

₁

+ F

_Q1

 1,2 f

_ctk

m''  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 + 11527,38  1,2  3000 m''  53,41 cordoalhas  adotado m

₂

= 56 cordoalhas Fibra mais comprimida:



_c,P



+ G + G

₁

+ F

_Q1

 | 0,6 f

_ck

|

56  (- 103,74) - 1886,26 - 500,00 - 11527,38 = - 19723,08 | 19723,08 | < | 20400 |  OK

f) Representação gráfica: combinações freqüentes e raras

Resposta: Adotado 56 cordoalhas (8 cabos de 7 cordoalhas cada).

-449,35

+3.331,68

2.3 - Exercício 3

Dimensionar a armadura de protensão, da viga abaixo esquematizada, com protensão completa, segundo as recomendações da NBR - 7197.

DADOS COMPLEMENTARES

· Utilizar cordoalhas de 12,7 mm

· Força útil de protensão após todas as perdas: N_ = - 115 kN / cordoalha

· Adotar igual número de cordoalhas por cabo · Número de cabos = 4

· I = b  h3 _{/ 12 ; W = I / y}

· M

_g1

= 400 kN.m

· M

_q1

= 300 kN.m



₁

= 0,8



₂

= 0,6

· M

_Q2

= 200 kN.m



₁

= 0,8



₂

= 0,6

· Concreto : f

_ck

= 30 MPa ; f

_ctk

= 2,0 MPa

 Combinações freqüentes m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+



₁

F

_Q1,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =2  Combinações raras _{m n} F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+ F

_Q1,k

+





_1j

F

_Qj,k

i =1 j =2 RESOLUÇÃO a) Características geométricas A

_c

= 0,50  1,00 = 0,50 m² I

_c

= 0,50  (1,00)3 _{/ 12 = 0,0417 m}4 W

_csu

= W

_cin

= 0,0417 / 0,5 = 0,0833 m³ b) Carregamentos externos M

_g1

= 400 kN.m M

_q1

= 300 kN.m M

_Q2

= 200 kN.m

c) Tensões normais externas

devido g

₁





_cin,g1

= -



_csu,g1

= 400 / 0,0833 = 4800 kPa devido q

₁





_cin,q1

= -



_csu,q1

= 300 / 0,0833 = 3600 kPa devido Q

₂





_cin,Q2

= -



_csu,Q2

= 200 / 0,0833 = 2400 kPa

d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo  Y

_o

= 0,10 m ; e = 0,50 - 0,10 = 0,40 m ; N

_P

_ = - 115 kN



_c

(o)

_su,NP



_{= - 115 / 0,50 + 115}  _{0,40 / 0,0833 = -230 + 552 = 322 kPa}

e) Dimensionamento com protensão completa 1 - Combinações freqüentes (descompressão)

Na fibra inferior



_cin,P



+ g

₁

+



₁

_q1

+



₂

_Q2

= 0 (- 782)  m

₁

+ 4800 + 0,8  3600 + 0,6  2400 = 0 m

₁

= 11,66 cordoalhas (: 4 = 2,92)

 adotado 3  4 = 12 cordoalhas de 12,7 mm

Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm 12  322 - 4800 - 0,8  3600 - 0,6  2400 < |18000| - 5256 < |18000|  OK

2 - Combinações raras (formação de fissuras)

Na fibra inferior



_cin,P



+ g

₁

+

_q1

+



₁

_Q2

 2400 (- 782)  m

₁

+ 4800 + 3600 + 0,8  2400  2400 - 782  m

₁

 2400 - 10320

- 782  m

₁

 - 7920

m

₁

 10,13  adotado 12 cordoalhas de 12,7 mm Verificação da fibra superior com 12 cordoalhas de 12,7 mm

12  322 - 4800 - 3600 - 0,8  2400 < |18000| - 6456 < |18000|  OK

A estrutura abaixo representa uma viga de seção transversal constante, biapoiada, submetida às ações g

₁

(peso próprio), g

₂

(sobrecarga permanente distribuída) e Q (carga concentrada acidental). A viga deverá ser protendida com cabos de 4 cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 150 kN por cordoalha, na seção central de momento máximo. Dimensionar a seção central, com protensão limitada, seguindo as diretrizes da NBR-7197, utilizando-se um número inteiro de cabos.

DADOS COMPLEMENTARES · A

_c

= 0,65 m² · I

_c

= 0,1695 m4 · f

_ck

= 32 MPa ; f

_ctk

= 2,2 MPa · = 20 m · g

₂

= 34 kN / m · Q = 300 kN ·



_c

= 25 kN / m³

· Adotar CG dos cabos em Y

_o

= 0,10 m

· Fator de utilização para Q:



₁

= 0,7 e



₂

= 0,6

Combinações de Utilização  Combinações quase-permanentes _{m n} F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =1  Combinações freqüentes m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+



₁

F

_Q1,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =2 Tensões Limites RESOLUÇÃO a) Características geométricas A

_c

= 0,65 m² W

_csu

= W

_cin

= 0,226 m³ I

_c

= 0,1695 m4 _Y

_csu

_{= Y}

_cin

_{= 0,75 m}

b) Carregamentos: momentos fletores na seção central

g

₁

= 0,65  25 = 16,25 kN / m M

_g

1 = 16,25  (20)2 / 8 = 812,50 kN.m

g

₂

= 34 kN / m M

_g

2 = 34  (20)2 / 8 = 1700,0 kN.m

Q = 300 kN M

_Q

= 300  20 / 4 = 1500,0 kN.m

c) Tensões normais devidas às ações externas

devido g

₁

:



_cin,g

1 = -



csu,g

1 = 812,50 / 0,226 = 3595,13 kPa

devido g

₂

:



_cin,g

2 = -



csu,g

2 = 1700,0 / 0,226 = 7522,12 kPa

1 cabo = N

_P

_ = 4  (- 150) = - 600 kN e

_p

= 0,75 - 0,10 = 0,65 m



c

(o)

_in,N

_{P = [(- 600) / 0,65] + [(- 600)}  _{0,65 / 0,226] = - 923,08 - 1725,66 = - 2648,74 kPa}



_c

(o)

_su,N

_{P = - 923,08 + 1725,66 = 802,58 kPa}

e) Número de cabos: protensão limitada 1 - Combinações quase permanentes

Na fibra inferior:



_cin

(g

₁

+ g

₂

+ P



) +



₂

Q = 0

3595,13 + 7522,12 + 0,6  6637,17 + m'  (- 2648,74) = 0 m' = 5,70  adotado m' = 6 cabos

Na fibra superior com m' = 6 cabos

6  802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,6  6637,17) = - 10284,07 kPa | 10284,07 | < 0,6  30000 = 19200 kPa  OK

2 - Combinações freqüentes

Na fibra inferior:



_cin

(g

₁

+ g

₂

+ P



) +



₁

Q  1,2 f

_ctk

3595,13 + 7522,12 + 0,7  6637,17 + m''  (2648,74) = 2640 m'' = 4,95  adotado m'' = 6 cabos

Na fibra superior com m'' = 6 cabos

6  802,58 - (3595,13 + 7522,12 + 0,7  6637,17) = - 10947,79 kPa | 10947,79 | < 19200 kPa  OK

2.5 - Exercício 5

Uma viga de seção transversal em forma de T, conforme detalhe a seguir, deverá resistir aos seguintes esforços solicitantes:

M

_g1

= 280 kN.m devido ao peso próprio M

_g2

= 60 kN.m devido ao revestimento g

₂

M

_q1

= 400 kN.m sobrecarga 1



₁

= 0,6



₂

= 0,4 M

_q2

= 220 kN.m sobrecarga 2



₁

= 0,3



₂

= 0,2

A viga será protendida com cabos de cordoalhas de 15,2 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 160 kN / cordoalha.

a) Considerando-se as Normas NBR-7197 (Concreto Protendido) e a NBR-8681 (Ações e segurança), descrever os tipos de protensão quanto aos Estados Limites de Utilização.

b) Dimensionar a seção, ou seja, calcular o número mínimo de cordoalhas para que se tenha, segundo a NBR-7197, protensão limitada.

DADOS COMPLEMENTARES · A

_c

= 0,335 m² · I

_c

= 0,01803 m4 · Y

_csu

= 0,28 m · Y

_cin

= 0,52 m · W

_csu

= 0,0644 m³ · W

_cin

= 0,0347 m³

· Y

_o

= 0,08 m (posição do CG dos cabos)

 Combinações quase-permanentes _{m n} F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =1  Combinações freqüentes m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+



₁

F

_Q1,k

+





_2j

F

_Qj,k

i =1 j =2  Combinações raras m n F

_d,uti

=



F

_Gi,k

+ F

_Q1,k

+





_1j

F

_Qj,k

i =1 j =2 Tensões Limites RESOLUÇÃO

a) Tipos de protensão segundo os Estados Limites de Utilização (NBR-7197 e 8681)

Nas classificações são utilizadas as combinações quase-permanentes, as freqüentes e as raras. Os estados limites de utilização estão associados à fissuração do concreto podendo ser de descompressão, formação de fissuras e abertura de fissuras.

As protensões podem ser completa, limitada e parcial, conforme a seguinte sinopse:

b) Dimensionamento da seção 1 - Esforços solicitantes M

_g1

= 280 kN.m M

_g2

= 60 kN.m M

_q1

= 400 kN.m M

_q2

= 220 kN.m

2 - Tensões normais devidas às ações externas

devido g

₁

:



_cin,g

1 = 8069,16 kPa



csu,g

1 = - 4347,83 kPa

devido g

₂

:



_cin,g

2 = 1729,17 kPa



csu,g

2 = - 931,68 kPa



1



2

devido q

₁

:



_cin,q

1 = 11527,38 kPa



csu,q

1 = - 6211,18 kPa 0,6 0,4

devido q

₂

:



_cin,q

2 = 6340,06 kPa



csu,q

2 = - 3416,15 kPa 0,3 0,2

3 - Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha a tempo  Y

_o,in

= 0,08 m

e

_p

= 0,52 - 0,08 = 0,44 m



c

(o)

in,

P = [(- 160) / 0,335] + [(- 160)  0,44 / 0,0347] = - 477,62 - 2028,82 = - 2506,44 kPa



c

(o)

su,

P = [(- 160) / 0,335] - [(- 160)  0,44 / 0,0644] = - 477,62 + 1093,17 = 615,55 kPa

4 - Determinação do número de cordoalhas com protensão limitada i) Para combinações quase-permanentes



_csu,

P +



g +





2j

F

Qj,k

 |



c

|



_cin,

P +



g +





2j

F

Qj,k

= 0 · Na fibra inferior





_cin,

P +



g +





2j

F

Qj,k

= 0 m'  (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,4  11527,38 + 0,2  6340,06 = 0 m' = 6,25  adotado 7 cordoalhas



csu,

P +



g +





2j

F

Qj,k

 0,6  30000 = 18000

7  615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,4  (- 6211,18) + 0,2  (- 3416,15) = - 4138,36 | 4138,36 | < | 18000 |  OK

ii) Para combinações freqüentes



csu,

P +



g +



1

F

Q1,k

+





2j

F

Qj,k

 |



c

|



_cin,

P +



g +



1

F

Q1,k

+





2j

F

Qj,k

= 2520 · Na fibra inferior





_cin,

P +



g +



1

q

1

+





2

q

2

= 2520 m''  (- 2506,44) + 8069,16 + 1729,17 + 0,6  11527,38 + 0,2  6340,06 = 2520 m'' = 6,17  adotado 7 cordoalhas

· Na fibra superior com 7 cordoalhas



_csu,

P +



g +



1

q

1

+



2

q

2

 18000

7  615,55 - 4347,83 - 931,68 + 0,6  (- 6211,18) + 0,2  (- 3416,15) = - 5380,60 | 5380,60 | < | 18000 |  OK

2.6 - Exercício 6

A estrutura abaixo representa uma viga-calha de cobertura de um galpão industrial, com seção transversal constante, biapoiada, submetida às seguintes ações externas:

g

₁

peso próprio com



= 25 kN / m³ g

₂

ação permanente (telhas)

q ação variável (água e sobrecarga) Q ação variável concentrada (talha)

A viga deverá ser dimensionada com protensão através de 4 cabos, simetricamente distribuidos, com igual número de cordoalhas. As cordoalhas serão de 12,7 mm, com força útil de protensão, após todas as perdas, de 115 kN / cordoalha, na seção central (seção mais solicitada).

Dimensionar a armadura de protensão, com protensão limitada, segundo as recomendações da NBR-7197.

10,2

· f

_ck

= 30 MPa · f

_ctk

= 2,04 MPa · = 16,00 m · q = 14,00 kN / m · g

₂

= 18,00 kN / m · Q = 60,00 kN

· Desprezar engrossamentos junto aos apoios

· Não há necessidade, para simplificar, da verificação da execução e Estado Limite Último

Fatores de Utilização

Tensões Máximas para os Estados Limites

RESOLUÇÃO

a) Características geométricas

A

_c

= 0,15  1,20  2 + 0,20  0,30 = 0,42 m²

I

_c

= 2  0,15  (120)3 _{/ 12 + 0,30}  _(0,20)3 _{/ 12 = 0,0434 m}4

b) Carregamentos externos (momentos fletores) = 16,00 m g

₁

= 0,42  25 = 10,50 kN / m g

₂

= 18,00 kN / m q = 14,00 kN / m Q = 60,00 kN M

_g

1 = 10,50  (16,00)2 / 8 = 336,00 kN.m M

_g

2 = 18,00  (16,00)2 / 8 = 576,00 kN.m M

_q

= 14,00  (16,00)2 _{/ 8 = 448,00 kN.m} M

_Q

= 60  16,00 / 4 = 240,00 kN.m c) Tensões normais externas

devido g

₁

:



_cin,g

1 = -



csu,g

1 = 336,00 / 0,07233 = 4645,38 kPa

devido g

₂

:



_cin,g

2 = -



csu,g

2 = 576,00 / 0,07233 = 7963,50 kPa

devido q :



_cin,q

= -



_csu,q

= 448,00 / 0,07233 = 6193,83 kPa devido Q :



_cin,Q

= -



_csu,Q

= 240,00 / 0,07233 = 3318,13 kPa

d) Tensões normais devidas à protensão de 1 cordoalha de 12,7 mm, a tempo  Y

_o

= 0,10 + 0,051 = 0,151 m

e = 0,60 - 0,151 = 0,449 m N

_P



= - 115 kN



_c

(o)

_su,N

_{P = [(- 115) / 0,42] + [115}  _{0,449 / 0,07233] = - 273,81 + 713,88 = 440,07 kPa}



_c

(o)

_in,N

_{P = -273,81 - 713,88 = - 987,69 kPa}

e) Dimensionamento com Protensão Limitada 1 - Combinações quase-permanentes

4645,38 + 7963,50 + 0,6  6193,83 + 0,4  3318,13 + m  (- 987,69)  0 m  17,87 cordoalhas  adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas

Na fibra superior com 20 cordoalhas:

- 4645,38 - 7963,50 + 0,6  (- 6193,83) + 0,4  (- 3318,13) + 20  440,07 = - 8851,03 | 8851,03 | < 18000  OK

2 - Combinações freqüentes

Na fibra inferior:



_cin,Np

_ + g

₁

+ g

₂

+



_{1 q}

+



_{2 Q}

 1,2 f

_ctk

4645,38 + 7963,50 + 0,8  6193,83 + 0,4  3318,13 + m'  (- 987,69)  2448 m  16,65 cordoalhas  adotado 4 x 5 = 20 cordoalhas

Na fibra superior com 20 cordoalhas:

- 4645,38 - 7963,50 + 0,8 (-6193,83) + 0,4 (-3318,13) + 20 (440,07) = - 10089,80 | 10089,80 | < 18000  OK

3 - ESTADO LIMITE ÚLTIMO

3.1 - Exercício 1

Verificar se, no Estado Limite Último de ruptura sob solicitações normais, a seção transversal abaixo indicada está satisfatória, considerando-se as armaduras ativas adotadas.

DADOS COMPLEMENTARES

· Concreto: f

_ck

= 30 MPa

· Aço CP190 RB : f

_ptk

= 1900 MPa f

_pyk

= 1710 MPa f

_pk

o = 1197 MPa

· A

_p

(o) _{= 1,40 cm² por cordoalha}

· E

_p

= 200 000 MPa ·



_pi

= 6 ‰ (pré-alongamento) Coeficientes de ponderação:  

_s

= 1,15  

_c

= 1,4  

_g

= 

_q

= 1,4

M

_g

= 12800 kN.m (permanente) M

_q

1 = 7600 kN.m (acidental variável)

M

_q

2 = 4000 kN.m (acidental variável)

Fatores de combinação das ações:

Diagrama (



_p

x



_p

) e (



_pd

x



_pd

) do aço CP 190 RB

No intervalo 0 



_pd

 5,20 ‰ 



_pd

= E

_p





_pd

No intervalo 5,20 ‰ 



_pd

 9,43 ‰ 



_pd

= curva indicada No intervalo



_pd

9,43 ‰ 



_pd

= f

_pyk

/ 

_s

RESOLUÇÃO

a) CG dos cabos:

Y

_o

= 0,20 m d

_p

= 2,75 - 0,20 = 2,55 m

b) Momento de cálculo solicitante (M

_sd

)

M

_sd

= 1,4  (12800) + 1,4 (7600 + 0,6  4000) = 31920 kN.m

c) Equilíbrio da seção transversal

Adotando-se inicialmente



_pd

= f

_pyk

/ 

_s

= 1710 / 1,15 = 1486,96 MPa Força de tração na armadura protendida

N

_pd

= A

_p





_pd

= 4  18  1,40  (10)-4 _1486,96  ₍₁₀₎3 _{= 14988,56 kN}

Área comprimida da seção de concreto:



_cd

= (30 / 1,4)  0,85 = 18,214 MPa

N

_cd

= A

_cc





_cd

= N

_pd

 A

_cc

= N

_pd

/



_cd

= 14988,56 / 18,214  (10)3 _{= 0,823 m²} Posição da LN  y = A

_cc

/ b = 0,823 / 1,2 = 0,686 < 0,85  OK LN na mesa x = y / 0,8 = 0,686 / 0,8 = 0,857 m Deformação



_p

:



_p

= [(dp - x) / x]  3,5 ‰ = [(2,55 - 0,857) / 0,857]  3,5 = 6,913 ‰ Alongamento total:



_pd

=



_p

+



_pi

= 6,913 + 6,00 = 12,913 ‰



pd

= 12,913 ‰ >



''

_p

= 9,43 ‰





_pd

= 1486,96 MPa confirmada d) Momento resistente de cálculo (M

_Rd

)

z

_p

= 2,55 - y / 2 = 2,55 - 0,686 / 2 = 2,207 m

M

_Rd

= N

_pd

 z

_p

= 14988,56  2,207 = 33079,75 kN.m e) Verificação

M

_Rd

= 33079,75 kN.m > M

_sd

= 31920 kN.m

Dimensionar a armadura de protensão, no estado limite último, para a seção abaixo esquematizada: DADOS COMPLEMENTARES · Concreto f

_ck

= 34 MPa · Aço CP 190 RB ·



_c

=



_g

=



_q

= 1,4 · Pré-alongamento da armadura



_pi

= 5,0 ‰ ·



_cd

= 0,85  f

_cd

· y = 0,8  x ·



_x

= x / d Ações Permanentes | M

_g1

= 2500 kN.m | M

_g2

= 1000 kN.m Ações Variáveis | M

_q1

= 2000 kN.m



₀

= 0,7 | M

_q2

= 500 kN.m



₀

= 0,6  Combinações últimas normais

m n

F

_d

=



_gi

F

_Gi,k

+



_{q [}

F

_Q1,k

+





_0j

F

_Qj,k]

i =1 j =2

RESOLUÇÃO

a) Momento de cálculo solicitante (M

_sd

)

M

_sd

= 1,4  (2500 + 1000) + 1,4  (2000 + 0,6  500) = 8120 kN.m M

_sd

= 8,120 MN.m

b) Momento absorvido pela flange superior (M

_sd,f

)

M

_sd,f

= b

_f

 y 



_cd

 (d - y / 2) b

_f

= 1,0 - 0,2 = 0,80 m y = h

_f

= 0,30 m x = 0,30 / 0,8 = 0,375 M

_sd,f

= 0,80  0,30  0,85  (34 / 1,4)  (1,40 - 0,30 / 2) M

_sd,f

= 6,193 MN.m



x,f

= x / d = 0,375 / 1,40 = 0,268  Tabela



_z

= 0,888



_pi

= 9,45 ‰



_pd

= 9,45 + 5,00 = 14,45 ‰ 



_pd

= 1500 MPa A

_p,f

= (M

_sdf

104_{) / (}



_z

 _d 



_pd

_{) = (6,193}  ₁₀4_{) / (0,888}  _1,40 _{1500) = 33,21 cm²}

c) Momento absorvido pela alma



M

_d

= M

_sd

- M

_sd,f

= 8,120 - 6,193 = 1,927 MN.m K

₆

= b d2 _/



_M

_d

_{= 0,20}  _(1,40)2 _{/ 1,927 = 0,203} K

₆

= 0,203  Tabela



_x

= 0,34











z

= 0,859



_pd

= 6,794 ‰



_pd

= 6,794 + 5,00 = 11,794 ‰ 



_pd

= 1486 MPa A

_s,



_Md

= (1,927  104_{) / (0,859}  _1,40  _{1486) = 10,78 cm²} d) Armadura final A

_p

= A

_p,f

+ A

_s,



_Md

= 33,21 + 10,78 = 43,99 cm²  43,99 / 1,40 = 31,42 32 cordoalhas de 15,2 mm

Dimensionar a seção abaixo esquematizada, sabendo-se que nela atuam os seguintes momentos fletores:

Ações (momentos fletores) atuantes:

Ação permanente Mg1 = 1.800 kN.m Ação permanente Mg2 = 1.230 kN.m

Ação acidental principal Mq1 = 1.000 kN.m _{o = 0,7} Ação acidental Mq2 = 780 kN.m _{o = 0,6} 2,60 m 1,00 m Mgi, Mqi 0,90 0,10 0,10 0,50 0,30 1,00 0,30 0,50 Utilizar cordoalhas 15,2 mm Pré-alongamento da armadura = 5,5 ‰  _pi A = 1,40 cm² / cordoalhap(o)

OBS: Utilizar apenas armadura ativa Ap

(número par de cordoalhas) Materiais

CONCRETO:

fck = 34 MPa

AÇO:

· Aço ativo CP190 RB :

Ep = 200.000 MPa

Coeficientes de ponderação:



_{s = 1,15}



_{c = 1,4}



_{g =}



_{q = 1,4}

Dados complementares: 

_cd

= 0,85 f

_cd

y = 0,8 x x x d 

 Combinações últimas normais

m n

Fd =



gi FGi,k +



q [FQ1,k +





0j FQj,k]

i =1 j =2

RESOLUÇÃO

a) Momento de cálculo solicitante

Msd= 1,4* (1.800+1.230) + 1,4 * (1.000 + 0,6 * 780) = 6.297,20 kN.m Msd= 6,2972 MN.m

b) Momento absorvido pela flange superior Msd,f= bf * hf * σcd * ( d – hf/2) Msd,f= 2,00 * 0,10 * 0,85 * 34/1,4 * ( 0,90 – 0,10/2) Msd,f= 3,509 MN.m x = y / 0,80 = 0,10/0,80 = 0,125



_x

= x/d = 0,125/0,90 = 0,139 TABELA



_z

= 0,949



_pd

= 10,00 ‰



_pd

= 10,00 + 5,50 = 10,50 ‰ TABELA 

_pd

= 1.510 MPa Ap,f = Msd,f * 104 / (



_z

* d * 

_pd

) = (3,509 * 104) / (0,949 * 0,90 * 1.510) = 27,21 cm2 c) Momento absorvido pela alma (Msd, alma = ΔMd)

ΔMd = Msd – Msd,f = 6,2972 – 3,509 = 2,7882 MN.m K

₆

= b * d2 / ΔMd = 0,60 * (0,90)2 / 2,7882 = 0,174 K

₆

= 0,174 TABELA



_x

= 0,42











z

= 0,825



pd

= 4,83 ‰ x = 

_x

 d = 0,42  0,90 = 0,378 m



pd

= 4,83 + 5,50 = 10,33 ‰ TABELA



pd

= 1.490 MPa Ap,alma = (2,7882 * 104) / (0,825 * 0,90 * 1.490) = 25,20 cm2 d) Armadura final A

_p

= A

_p,f

+ A

_p,alma

= 27,21 + 25,20 = 52,41 cm² Ap( )0 1 40, cm2  52,41 / 1,40 = 37,4 Resposta: A

_p

 38  15,2 mm.

Verificar se, no estado limite último de ruptura sob solicitações normais, a seção a seguir indicada apresenta condições satisfatórias de segurança, considerando-se as armaduras ativas e passivas. 2,40 m 0,70 2,70 m 0,30 0,05 0,15 0,30 0,30 0,60 Armadura ativa (4 cabos) Armadura passiva (8 barras) E = E = 200 000 MPa_{p s} = 5,0 ‰ (pré-alongamento) _pi

ARMADURA ATIVA: 4 cabos com 28 cordoalhas de 15,2 mm cada

· A

_p

(o) _{= 1,40 cm² / cordoalha}

ARMADURA PASSIVA: 8  16 mm

· A

_s

(o) _{= 2,00 cm² / barra}

MATERIAIS

· Concreto: f

_ck

= 30 MPa

· Aço ativo CP190 RB : f

_ptk

= 1900 MPa f

_pyk

= 1710 MPa f

_pk

o = 1197 MPa

Coeficientes de ponderação:



 

_s

= 1,15

 

_c

= 1,4

 

_g

= 

_q

= 1,4

Momentos fletores atuantes: M

_g1

= 10 000 kN.m M

_g2

= 8 000 kN.m

M

_q1

= 18 000 kN.m 

_o

= 0,8 M

_q2

= 8 000 kN.m 

_o

= 0,6 Combinações últimas normais

         





  n j oj K Q q m i gi d F F 2 K Qj, , 1 K Gi, 1 F F





Diagrama (



_p

x



_p

) e (



_pd

x



_pd

) do aço CP 190 RB No intervalo 0 



_pd

 5,20 ‰ 



_pd

= E

_p





_pd

No intervalo 5,20 ‰ 



_pd

 9,43 ‰ 



_pd

= curva indicada No intervalo



_pd

9,43 ‰ 



_pd

= f

_pyk

/ 

_s

a) Momento solicitante de cálculo (M

_sd

)

M

_sd

= 

_g

 (M

_g1

+ M

_g2

) + 

_q

(M

_q1

+ 

_o

 M

_q2

)

M

_sd

= 1,4  (10000 + 8000) + 1,4 (18000 + 0,6  8000) = 57120,0 kN.m = 57,12 MN.m b) Equilíbrio da seção transversal

b

₁

) Força de tração resultante: R

_T

= R

_st

+ R

_pt

 Armadura passiva: A

_s

= 8  16 = 8  2,0 = 16,00 cm²

 Armadura ativa: A

_p

= 4  28  15,2 = 4  28  1,40 = 156,80 cm²

Tensões adotadas nas armaduras

  sd y k s f   500  1 15, 434 78, MPa   pd py k s f  1710 1 15, 1486 96, MPa R

_std

= A

_p





_sd

= 16,00  (10)-4 _434,78  ₍₁₀₎3 _{= 695,65 kN} R

_pd

= A

_p





_pd

= 156,80  (10)-4 _1486,96  ₍₁₀₎3 _{= 23315,53 kN} R

_Td

= 695,65 + 23315,53 = 24011,18 kN

b

₂

) Área de concreto comprimida:

  cd ck c f 0 85 0 8530   1 4 18 2143 , , , , MPa 18214,29 kPa R

_Td

= R

_ccd

R

_ccd

= A

_cc





_cd

 Acc Rccd cd     24011 18 18214 29 1 3183 , , , m 2 b = b

_f

= 2,40 m y A b h cc f  1 3183     2 40 0 5493 0 70 , , , m , m OK (LN na mesa ) x y   0 8 0 5493 0 8 0 6866 , , , , m

b

₃

) Deformações:





01 , 10 5 , 3 6866 , 0 6866 , 0 05 , 0 70 , 2 5 , 3         x x ds sd



‰ 

_sd

confirmada !







50 , 9 5 , 3 6866 , 0 6866 , 0 15 , 0 70 , 2 5 , 3          x x dp p



‰



_pi

= 5,0 ‰



_pd

=



_p

+



_pi

= 9,5 + 5,0 = 14,5 ‰ 

_pd

confirmada !

c) Momento resistente de cálculo (M

_Rd

)











 















 





2

2

y

z

R

y

z

R

M

Rd std s pd p













_

















_





2

5493

,

0

55

,

2

53

,

23315

2

5493

,

0

65

,

2

65

,

695

Rd

M

M

_Rd

= 1652,41 + 53050,99 = 54703,40 kN.m = 54,70 MN.m d) Comparação M

_sd

: M

_Rd

M

_sd

= 57,12 MN.m > M

_Rd

= 54,70 MN.m

4.1 - Exercício 1

 Desenho esquemático do cabo

Para o cabo acima desenhado determinar:

a) A equação geométrica do traçado sabendo-se que os trechos curvos são parábolas do 2º grau com equação



= a



² (tg



= d



/ d



).

Determinar a ordenada



da abcissa



= 10 m.

b) As perdas por atrito, alongamento teórico e as perdas por acomodação da ancoragem, com os seguintes dados:

· A

_p

= 12  1,40 = 16,80 cm² · E

_p

= 200 000 MPa · Aço CP 190 RB : f

_ptk

= 1900 MPa f

_pyk

= 1710 MPa ·



= 0,22 (coeficiente de atrito) · K = 0,01



·



w = 3 mm (escorregamento da ancoragem) DADOS COMPLEMENTARES

A é uma ancoragem passiva e D é ativa.



_Pi

= 0,77 f

_ptk

ou 0,86 f

_pyk

(o menor valor) P

_i

= A

_p





_Pi

(força aplicada junto ao macaco) P

_o

(x) = P

_i

 e

-[



+ kx]





2 Y

_i

/ l

_i

x



_l,x

= (1 / E

_p

A

_p)



P

_o

(x) dx : considerar as projeções horizontais e folga de 20 cm em D

o

____________

w =



w E

_p

A

_p

/



p  20,00 m , com



p = coeficiente angular da reta P

_o

(x)

RESOLUÇÃO

a) Traçado geométrico

Equação da curva AB ou CD :



= a



² , origem em B ou C para



= 20,00 



= 2,40 m  a = 2,40 / (20,00)² = 0,006

Equação da curva :



= 0,006



² para



= 10,00 



= 0,6 m para



= 20,00 



= 2,40 m

d



/ d



= 0,012



(d



/ d



)

_D

= 0,012  20,00 = 0,24 rd (13,49º) b) Perdas por atrito

Força inicial de protensão (P

_i

)

0,77 f

_ptk

= 0,77  1900 = 1463 MPa (adotada) 0,86 f

_pyk

= 0,86  1710 = 1470 MPa P

_i

= A

_p





_Pi

= 16,80  (10)-4 ₁₄₆₃  ₍₁₀₎3 _{= 2457,84 kN} ponto D : P

_o

(x=0) = 2457,84 kN (D) trecho DC :





= 2  2,40 / 20 = 0,24 rd ponto C : P

_o

(x=20) = 2457,84  e -[0,22  0,24 + 0,01  0,22 _{20] = 2231,07 kN (C)} trecho CB :





= 0,24 + 0 = 0,24 rd ponto B : P

_o

(x=30) = 2457,84  e -[0,22  0,24 + 0,01  0,22 _{30] = 2182,53 kN (B)} trecho BA :





= 0,24 + 0 + 0,24 = 0,48 rd ponto A : P

_o

(x=50) = 2457,84  e -[0,22  0,48 + 0,01  0,22 _{50] = 1981,16 kN (A)}

c) Alongamento teórico A

_l,total

= [1 / 200000  (10)3 _16,80  ₍₁₀₎-4 _] _[20,0  _{2081,845 +} + 10,00  2206,80 + 20,2  2344,455] = 0,33 m (ou 6,58 mm/m) d) Encunhamento :



p (trecho DC) = 11,338 kN / m _________________________________________ w =



3  (10)-3 ₂₀₀₀₀₀  ₍₁₀₎3 _16,80  ₍₁₀₎-4 _{/ 11,338 = 9,43 m < 20,00 m}  _OK P

_o

(x=w) = P

_o

(x=9,43) = 2457,84 - 9,43 11,338 = 2350,92 kN P

_o

(x=0) = 2457,84 - 2  9,43 11,338 = 2244,00 kN

4.2 - Exercício 2

 Traçado em Elevação:

Para o cabo acima esquematizado, determinar:

a) TRAÇADO GEOMÉTRICO

a

₁

) Equação da curva que representa o eixo do cabo no trecho AB. a

₂

) Ordenada do cabo no ponto x = 6,00 m.

a

₃

) Ordenada do cabo no ponto x = 12,00 m.

b) PERDAS IMEDIATAS: ATRITO E CRAVAÇÃO

b

₁

) Calcular as perdas por atrito.

b

₂

) Calcular as perdas por cravação da ancoragem. b

₃

) Traçar o diagrama das perdas.

c) ALONGAMENTO TEÓRICO

Ponto A : ancoragem ativa Ponto F : ancoragem passiva

Aço CP 190 RB : F

_ptk

= 1900 MPa F

_pyk

= 1700 MPa

E

_p

= 200 000 MPa



_Pi

= 0,77 f

_ptk

ou 0,86 f

_pyk

(o menor valor) P

_i

= A

_p





_Pi



= a 





² P

_o

(x) = P

_i

 e

-[



+ Kx]



= 2 Y

_i

/ l

_i

(por trecho) ____________ w =



w E

_p

A

_p

/



p w  18,00 m

x



_l,x

= (1 / E

_p

A

_p)



P

_o

(x) dx · utilizar projeção horizontal para os comprimentos

o

· acrescentar 30 cm em A



= 0,20 K = 0,01





w = 6,0 mm A

_p

= 16,80 cm² RESOLUÇÃO a) Traçado Geométrico







= a



² Trecho AB:



= 1,30 - 0,15 = 1,15 m



= 3  6,00 = 18,00 m a =



/



2



_{= 1,15 / (18)}2 _{= 0,00355}

Ordenada para x = 12,0 m



= 6,0 m



= 0,128 m y_(x=12) = 0,278 m y

_o

= 0,15 m Ordenada para x = 6,0 m



= 12,0 m



= 0,511 m y(x=6) = 0,661 m y

_o

= 0,15 m b) Perdas Imediatas

b

₁

) Força inicial de protensão (P

_i

)

0,77 f

_ptk

= 0,77  1900 = 1463 MPa 0,86 f

_pyk

= 0,86  1710 = 1470,6 MPa







_Pi

= 1463 MPa

P

_i

= A

_p





_Pi

= 16,80  (10)-4 ₁₄₆₃  ₍₁₀₎3 _{= 2457,8 kN}

b

₂

) Perdas por atrito

Trecho AB y

_i

= 1,30 - 0,15 = 1,15 m l

_i

= 18,00 m



= 2  1,15 / 18,00 = 0,1278 (7,3 º) Trecho BC y

_i

= 0 l

_i

= 3,00 m



= 0 Trecho CD y

_i

= 1,40 - 0,15 = 1,25 m l

_i

= 12,00 m



= 2  1,25 / 12,00 = 0,2083 (11,9 º) Trecho DE y

_i

= 0,40 m l

_i

= 3,00 m



= 2  0,40 / 3,00 = 0,2667 (15,3 º) Trecho EF y

_i

= 0 l

_i

= 12,00 m



= 0

P

_o

(x) = P

_i

 e

-[



+ Kx]

P

_i

= 2457,8 kN













= 0,20 K = 0,01



= 0,002 Ponto A : x = 0 P

_o

(x=0) = 2457,8 kN Ponto B : x = 18,00 m P

_o

(x=18) = 2457,8  e -[0,20  0,1278 + 0,002  18]



= 0,1278 P

_o

(x=18) = 2311,06 kN Ponto C : x = 21,00 m P

_o

(x=21) = 2457,8  e -[0,20  0,1278 + 0,002  21]



= 0,1278 P

_o

(x=21) = 2297,24 kN Ponto D : x = 33,00 m P

_o

(x=33) = 2457,8  e -[0,20  0,3361 + 0,002  33]



= 0,3361 P

_o

(x=33) = 2151,24 kN Ponto E : x = 36,00 m P

_o

(x=36) = 2457,8  e -[0,20  0,6028 + 0,002  36]



= 0,6028 P

_o

(x=36) = 2027,30 kN Ponto F : x = 48,00 m P

_o

(x=48) = 2457,8  e -[0,20  0,6028 + 0,002  48]



= 0,6028 P

_o

(x=48) = 1979,23 kN b

₃

) Perdas por acomodação das ancoragens

Hipótese: w  18,00 m



w = 6,0 mm



p = (2457,8 - 2311,06) / 18,00 = 8,1522 kN / m ____________ w =



w E

_p

A

_p

/



p _________________________________________ w =



6  (10)-3 ₂₀₀₀₀₀  ₍₁₀₎3 _16,80  ₍₁₀₎-4 _{/ 8,1522 = 15,72 m < 18,00 m}  _OK P

_o

(x=15,72) = P

_i

- w 



p = 2457,8 - 8,1522 15,72 = 2329,65 kN P

_o

(x=0) = P

_i

- 2  w 



p = 2457,84 - 2  8,1522 15,72 = 2201,50 kN

c) Alongamento Teórico do Cabo

l = 48,00 + 0,30 = 48,30 m

x



l,x

= (1 / E

_p

A

_p)



P

_o

(x) dx

o

Trecho P

_{o (médio)}



l

P

_{o (médio)}





l

AB 2384,43 18,30 43635,07 BC 2304,15 3,00 6912,45 CD 2224,24 12,00 26690,88 DE 2089,27 3,00 6267,81 EF 2003,26 12,00 24039,12 ______________



= 107545,33



l total

= [1 / 200000  (10)3 _16,80  ₍₁₀₎-4_]  _{107545,33 = 0,32 m}



l total

= 32,0 cm = 320 mm

A viga a seguir detalhada, é protendida longitudinalmente com aderência posterior, com 4 cabos de 10



1,2 mm, sendo solicitada, além da protensão, pelos seguintes esforços externos:

M

_g1

= 1320 kN.m momento fletor devido ao peso próprio M

_g2

= 3680 kN.m momento fletor devido aos revestimentos M

_Q,max

= 3000 kN.m devido às ações variáveis

Determinar as perdas de protensão no cabo



situado na 2ª camada, devidas à retração e fluência do concreto, sabendo-se que:

1- A força inicial aplicada em cada cabo foi: Pi = - 2048,20 kN

2 - A protensão dos 4 cabos é efetuada em uma única operação aos 21 dias (idades fictícias para a retração = 30 dias e para a fluência = 55 dias)

3 - As forças de protensão atuantes na seção, descontadas as perdas imediatas, são as seguintes:

· cabo 1 : P

_o1

= - 1800 kN · cabo 2 : P

_o2

= - 1700 kN

5 - Área de 1 cabo de 10



1,2 mm = 14,0 cm²

6 - Idades do concreto nos instantes da aplicação dos carregamentos:

t = 21 dias : protensão + g

₁

t = 30 dias (fictícia) para a retração t = 55 dias (fictícia) para a fluência t = 60 dias : carregamento g

₂

t = 130 dias (fictícia) para a fluência

7 - Coeficientes para retração e fluência



_cs

(



, 30) = -12,0  (10)-5



(



, 55) = 1,88



(



, 130) = 1,42

8 -



_Po

= P

_o

/ A

_p

: tensão inicial no aço de protensão, descontadas as perdas imediatas, no instante da protensão (valor > 0)

9 - Expressão para determinação das perdas por retração e fluência (tensão média)



_Pc+s

=



_cs

(



, 30)  E

_p

+







(



, 55)  [



c,Po +



c,g1] +







(



, 130) 



c,g2

_______________________________________________________________________________

1 -



 [



_c,Po /



_c,g1]  [1 +



(



, 55) / 2]

OBS: A expressão acima pode ser aplicada, com os devidos ajustes, para cada um dos dois tipos

de cabos.

10 - Perda de força de protensão



P



(c+s) =



_P

c+s A

p

RESOLUÇÃO

a) Tensões provocadas pelos carregamentos permanentes na fibra adjacente ao cabo



devido g

₁

:



_c,g1

= M

_g1

 Y

_{,cabo 2}

/ I

_c

= 1320  (0,90 - 0,20) / 0,3488 = 2649,08 kPa devido g

₂

:



_c,g2

= M

_g2

 Y

_{,cabo 2}

/ I

_c

= 3680  0,70 / 0,3488 = 7385,32 kPa

4





P

_oi

= 2  (- 1800 - 1700) = - 7000 kN i = 1 4





P

_oi

 e

_pi

= 2  (- 1800  0,80 - 1700  0,70) = - 5260 kN.m i = 1

_



_c,Po

= - 7000 / 0,96 - 5260  0,7 / 0,3488 = - 7291,67 - 10556,19 = - 17847,86 kPa c) Tensão



_Po

do cabo



_



_Po

= - 1700 / 14,0  10-4 _{= 1214,3 MPa}

d) Cálculo das perdas {NUMERADOR} = -12,00 10-5_{200 000 000 + 6,50} _1,88 _{(-17 847,86 + 2 649,08) + 6,50} _1,42 _{7 385,32} = - 24 000,00 - 185 729,09 + 68 166,50 = - 141 562,59 kPa {DENOMINADOR} = 1 - 6,50 (- 17 847,86 / 1 214 300,00)  (1 + 1,88 / 2) = 1,185

_





_Pc+s

= - 141 562,59 / 1,185 = - 119 462,10 kPa e) Perda da força de protensão do cabo











P



(c+s) =



_P

c+s A

p

= - 119 462,10  14,0  10-4 = -167,25 kN

% de perda: (167,25 / 1700)  100 = 9,83 %

Força após fluência e retração = - (1700 - 167,25) = - 1532,75 kN

% de perda em relação a Pi: [(2048,20 - 1532,75) / 2048,20]  100 = 25,17 %