ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 4
MODELAGEM DOS COMPONENTES DE SISTEMA DE POTÊNCIA
Para o estudo de um sistema elétrico de potência, devemos definir o modelo de simulação adequado de cada componente da rede
LINHA DE TRANSMISSÃO
Uma L.T. pode ser considerada como a associação de um número infinito de impedâncias série e capacitâncias em derivação ligadas conforme esquema da figura 1.
Figura 1 - Linha de Transmissão
As linhas de transmissão serão representadas, em todas as seqüências, por um modelo equivalente, independentemente do tipo de estudo de regime permanente em que se estiver interessado.
MODELO PARA SEQÜÊNCIA POSITIVA (DIRETA) E NEGATIVA (INVERSA)
As LT’s são normalmente representadas através de modelo p ou T com os parâmetros concentrados.
Admitiremos as equações sem demonstração, pois não é o objetivo da disciplina.
Assim, admita-se que toda L.T possa ser representada por um quadripolo com entrada VI e II e saída VF e IF, conforme a figura 2
As equações de linha longa em forma matricial para uma L.T. sem reatores são: ú û ù ê ë é ú ú û ù ê ê ë é = ú û ù ê ë é F F c c I I I V Z Z I V & & l l l l & & ) cosh( ) senh( ) senh( ) cosh( g g g g
com VI, II, VF e IF definidos conforme a
figura 3
Figura 3 – Convenção de tensões e correntes para L.T. sem reatores ℓ = comprimento da L.T. (km) Zc = impedância característica da L.T = y z (W) z = impedância série (r + jx) (W/km) y = admitância de derivação (g + j wc) (S/km) g = constante de propagação da L.T. = z. (kmy -1)
Para o caso da existência de reatores de linha, as convenções são representadas na figura 4, e as equações relacionando as tensões e correntes na entrada e no extremo receptor têm que levar em conta a presença dos reatores.
Figura 4 – L.T com reatores
As equações em forma matricial, para caso mais geral são: ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é F F I I I V D C B A I V & & & &
que constituem as equações de um quadripolo, no qual estão incluídos os reatores, com entradas VI e II e saídas VF e IF.
As constantes do quadripolo podem ser calculadas simplesmente pela associação série dos três quadripolos parciais indicados na figura 5 que se segue.
Figura 5 – Associação série de quadripolos parciais
Cada um dos quadripolos parciais possui constantes A, B, C, D parciais, das quais já conhecemos as relativas à L.T.
As constantes do quadripolo representando um reator são obtidas, lembrando-se que: 0 2 1 2= = I V V A && 0 2 1 2= = V I V B && 0 2 1 2= = I V I C && 0 2 1 2= = V I V D &&
sendo V1 e I1 as grandezas na entrada e V2 e I2 as de saída.
Para o caso reator em derivação, temos: A = D = 1 B = 0 e C = Y Escrevendo as equações para cada quadripolo da figura 5, resulta:
ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é S S r I I I V Y I V & & & & 1 0 1 1 úû ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é R R L L L L S S I V D C B A I V & & & & ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é F F rF R R I V Y I V & & & & 1 0 1 que resulta: ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é F F rF L L L L r I I I V Y D C B A Y I V & & & & 1 0 1 1 0 1 1
Efetuando os produtos de matrizes, obtemos:
A = AL + BL.YrF C = Yr1.AL + CL + YrF.Yr1.BL + DL.YrF
B = BL D = DL + BL.Yr1
As constantes AL, BL, CL e DL representam o quadripolo da linha de
transmissão excluindo os reatores, valem: AL = cosh (gℓ) BL = Zc.senh(gℓ) CL =
Zc )
senh(gl D = cosh(gℓ)
conhecidas as constantes do quadripolo total, pode-se obter um circuito equivalente, muito útil em algumas aplicações, na forma indicada na figura 7
A demonstração é simples, bastando equacionar o circuito da figura 6 onde se representa a linha de transmissão por um circuito equivalente.
Figura 6 – Circuito equivalente de L.T Da figura 6, podemos escrever,
I I F F F I F F F F I V Y V Y I I V Y I Z V V & & & & & & & & + + = + + = ( ) î í ì + + + + = + + = F I F F I F I F F F I I ZY V Z Y Y Y Y I I Z V ZY V & & & & & & ) 1 ( ) ( ) 1 ( 1 Daí, temos o sistema:
B Z A ZYF = = + 1 D Z Y C Z Y Y Y Y I F I F I = + = + + 1 Das duas primeiras vem:
B A
YF = -1 e da segunda e última resulta
B D YI = -1
No caso de reatores de linhas diferentes nas extremidades, deve-se adotar o modelo p assimétrico, como mostra a figura 7
Figura 7 - Circuito p-equivalente de uma L.T
Em geral as LT’s são representadas por modelos em função do comprimento, como curta, média e longa, conforme mostra a figura 8
MODELO PARA A SEQÜÊNCIA ZERO
O modelo de seqüência zero de L.T. é um modelo análogo ao da seqüência direta e inversa, com a única diferença de que os valores de impedância série Z e admitância de derivação Y são diferentes, o que acarreta constantes A, B, C, D do quadripolo equivalente daquelas de seqüências diretas e inversa, e consequentemente parâmetros do circuito também diferentes.
TRANSFORMADORES
Apresentaremos os modelos de seqüência direta e zero dos transformadores de dois e três enrolamentos.
Serão discutidos a influência da derivação na representação dos modelos de transformadores e a flexibilidade obtida admitindo-se derivação na alta e baixa tensão.
A obtenção do modelo para o transformador é feita de forma análoga ao procedimento adotado para linhas de transmissão, ou seja, o transformador é estudado como um quadripolo com constantes A, B, C e D.
TRANSFORMADOR DE DOIS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA DIRETA
Um transformador pode ser representado com razoável precisão, por um circuito equivalente, conforme representado na figura 9
Figura 9 - Circuito equivalente do transformador de dois enrolamentos Onde R = resistência dos enrolamentos do transformador
X = reatância de dispersão
RP = resistência de perdas no ferro
Xm = reatância de magnetização
O modelo de seqüência direta para simulação em computador é obtido por simplificação do esquema da figura 9, desprezando-se o ramo magnetizante, como mostra o modelo da figura 10.
Figura 10 – Circuito do transformador para simulação
O modelo da figura 10 é valido quando o transformador está na derivação nominal.
Para um transformador operando fora da derivação nominal, a sua representação pode ser por impedância ou admitância, ligada em série com um autotransformador, conforme a figura 11.
Figura 11 – Circuito equivalente para transformador fora da derivação
Um circuito p-equivalente pode ser obtido desta representação com vista aos estudos em regime permanente de um sistema. Os elementos do circuito p-equivalente, que representam um quadripolo, podem então ser tratados da mesma forma que os elementos de linha.
O circuito adotado para simulação do modelo de transformador é o da figura 12
Figura 12 - Circuito p-equivalente do transformador de dois enrolamentos – seqüência direta
Onde cada admitância pode ser escrita, em termos dos parâmetros do transformador, como: b a p = ÷ ø ö ç è æ -= ÷ ø ö ç è æ -= = A Y A Y Y A A Y A Y Y T F T I T série 1 1 1 1 1
DEMONSTRAÇÃO
Consideremos o transformador mostrado na figura 13, com derivações na alta e na baixa tensão
Figura 13 – Transformador de dois enrolamentos fora de derivação Consideremos inicialmente o transformador em vazio, o que implica II = IS = IF = 0 e temos A V V S I = = b a Sejam a V V V V pu pu BS BI Spu Ipu = = = b a b a
Sendo assim, podemos substituir o transformador da figura 10 por um autotransformador de relação de transformação a :1 desde que adotado a representação em pu
A figura 14 mostra o exposto, devendo-se notar que todos os valores de corrente e tensão indicados são valores em pu nas bases do sistema.
Figura 14 – Autotransformador equivalente à figura 10 – valores em pu
Da figura vem ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é S S a I I i v a i v & & & & 1 0 0
Relacionando a corrente e tensão do secundário do autotransformador ideal com as grandezas correspondentes do secundário real, vem:
ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é F F y S S i v i v T & & & & 1 0 1 1 logo ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é F F y a I I i v a i v T & & & & 1 0 1 0 0 1 1 portanto ú û ù ê ë é ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é F F a ya I I i v a i v T & & & & 1 0 Que em termos de constantes A, B, C e D de um quadripolo, temos:
a D y a B C a A T 1 0 = = = =
Utilizando as relações obtidas à partir da figura 6, obtemos:
T F T I T série T y a B A y y a a B D y a y y ou y a z ÷ ø ö ç è æ -= -= ÷ ø ö ç è æ -= -= = = 1 1 1 1 1 1 1 p p
que são as relações que queríamos demonstrar
Um cuidado que se deve tomar é quanto ao valor da admitância (ou impedância) série do transformador que deve estar em pu nas bases do sistema do lado secundário.
A representação de transformadores de dois enrolamentos, com derivação na alta e baixa tensão, possibilita uma razoável flexibilidade em estudos de sistemas de potência, pois já é comum o uso de transformadores com tap fixo e um dos enrolamentos e variador de derivação automático sob carga no outro enrolamento
TRANSFORMADOR DE DOIS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA ZERO
O modelo para representar a seqüência zero dos transformadores leva em consideração a forma de ligação do transformador, enquanto o modelo de seqüência direta independe deste fator, para a seqüência zero ele é determinante no modelo adotado conforme a tabela 1
Tabela 1 – Transformadores de dois enrolamentos – Modelos para seqüência zero onde ZGP e ZGQ são eventuais impedâncias de aterramento presentes nos
centro-estrêla dos enrolamentos P e Q.
TRANSFORMADOR DE TRÊS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA DIRETA E INVERSA
A utilização de transformadores de três enrolamentos em sistemas elétricos de potência é bastante difundida.
O modelo deve ser suficientemente versátil para permitir a representação de taps em qualquer dos enrolamentos.
A derivação de circuito equivalente é feita a partir dos dados de impedância obtidos a partir de ensaios de curto-circuito, realizados entre cada par de enrolamentos.
Consideremos o circuito da figura 15-a, onde se representa uma das fases de um transformador de três enrolamentos
Figura 15 – Transformador de três enrolamentos (representação em kV, W) Na figura 15-b, os valores das impedâncias indicadas estão em (W) referidas ao primário.
Consideremos inicialmente os taps em seu valor nominal, e a realização dos ensaios de curto-circuitos.
Os valores de impedância obtidas em função dos valores indicados na figura 15 são:
Z’PS = ZP + ZS (impedância do primário para o secundário)
Z’PT = ZP + ZT (impedância do primário para o terciário)
Z’ST = ZS + ZT (impedância do secundário para o terciário)
De onde se obtém as relações já conhecidas:
(
)
(
)
(
PT ST PS)
T PT ST PS S ST PT PS P Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ' ' ' 2 1 ' ' ' 2 1 ' ' ' 2 1 -+ = -= = -+ =Calculando os valores de ZP, ZS e ZT em pu nas bases do sistema e
considerando os taps em seus valores nominais, os quais admitiremos coincidentes com os valores de tensão de base adotados para cada uma das barras terminais de cada enrolamento. Admitindo ainda que os valores das impedâncias ZP, ZS e ZT
estão referidas ao primário e VNP = tensão nominal do primário.
) ( 2 pu V S Z z NP Base P P = V2 (pu) S Z z NP Base S S = V2 (pu) S Z z NP Base T T =
De posse dos valores de impedância em pu nas bases do sistema, os seguintes circuitos equivalentes são válidos para o caso geral em que se considere tap fora da Nominal nos três enrolamentos.
A impedância em estrela da figura 16 pode ser transformada em D conforme mostra a figura 17
Figura 16 – Circuito equivalente em pu para transformador de três enrolamentos com derivação fora do valor nominal nos três enrolamentos
Figura 17 – figura 16 após uma transformação U - D.
Utilizando as fórmulas de transformação estrela - triângulo, obtemos:
÷÷ø ö ççè æ + + = ÷÷ø ö ççè æ + + = ÷÷ø ö ççè æ + + = T S P T S ST T S P T P PT T S P S P PS z z z z z z z z z z z z z z z z z z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
e analisando as figuras 16 e 17, temos PN TP V V = a = tap do primário em pu SN TS V V = b = tap do secundário em pu TN TT V V = g = tap do terciário em pu
Para efeito de simulação em computador, é conveniente transformar o circuito da figura 17 no circuito da figura 18.
Figura 18 – circuito equivalente modificado Na figura 18, temos:
a = a/b = relação de transformação primário/secundário em pu b = g/a = relação de transformação terciário/primário em pu c = b/g = relação de transformação secundário/terciário em pu
e as impedâncias são valores em pu referidos aos valores dos transformadores ideais.
PS
PS z
z = a2 (pu) zPT = zPTa2 (pu) zST =zSTa2 (pu)
A vantagem do circuito da figura 18 no tocante à simulação digital é agora evidente, pois o transformador de três enrolamentos com derivações diferentes do valor nominal nos três enrolamentos foi substituído por três transformadores de dois enrolamentos que já sabemos equacionar.
A aplicação repetida às equações da página 6 fornece os parâmetros dos p’s equivalentes dos três transformadores, que resulta o modelo da figura 19, onde cada autotransformador da figura 18 foi substituído por seu modelo p equivalente.
Para os parâmetros de cada um dos p’s equivalentes, temos os seguintes valores: p1
(
)
ï ï ï ï ï ï ï î ïï ï ï ï ï ï í ì -= -= -= ÷÷ø ö ççè æ -= ÷ ø ö ç è æ -= -= ÷÷ø ö ççè æ ÷÷ø ö ççè æ -= ÷ ø ö ç è æ -= = = = = 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 . ) . . ( ) ( ) ( 1 1 1 . . 1 1 1 1 . . P PS PS PS PS S PS PS PS P PS PS PS PS Y a z a z z y a Y z z y a a Y z z z a z a Z b a a a b b a a a b b b a a b a a b b a b a b a b b a b pDe modo análogo, vem:
p2: p3 ï ï î ïï í ì -= -= = 2 2 2 . . . 1 . . . 2 S T ST S ST Y c Y z Y z Z l b b b g bg p ï ï î ïï í ì -= -= = 3 3 3 3 . . . 1 . . . P T PT P PT Y b Y z Y z Z g a g g a ag p
TRANSFORMADORES DE TRÊS ENROLAMENTOS – SEQÜÊNCIA ZERO
De forma análoga ao transformador de dois enrolamentos, para obtermos os modelos para simulação em computadores digitais devemos levar em consideração a forma de ligação do primário, secundário e terciário, que, ao contrário da seqüência direta, é fator preponderante na determinação do circuito equivalente.
A tabela 2 representa os tipos mais comuns de ligações para transformadores de três enrolamentos. Outras formas de ligação pouco usuais são apresentadas na tabela 3.
Nota. Os valores de impedância indicados devem corresponder à impedância de seqüência zero. Tais valores serão iguais aos de seqüência direta para bancos de transformadores monofásicos ou transformadores trifásicos com núcleo magnético do tipo envolvente, sendo um valor inferior para transformadores trifásicos com núcleo envolvido.
Nos casos em que o aterramento do centro estrela não for sólido, os modelos de seqüência zero devem incluir as impedâncias de aterramento.
Assim, se ZGi for a impedância de centro estrela do enrolamento i deve-se
adicionar aos modelos vistos a impedância 3ZGi em série com a impedância Zi do
Tabela 3 – Transformador de três enrolamentos – seqüência zero – tipos de ligação pouco usuais
GERADORES SÍNCRONOS
Apresentaremos os modelos adotados para simulação digital dos geradores síncronos para as seqüências direta, inversa e zero. O gerador é representado, para os problemas em análise como uma tensão constante atrás de uma determinada reatância.
MODELO DE SEQÜÊNCIA DIRETA
O modelo adotado para simulação digital da seqüência direta é o da figura 20
Figura 20 – Modelo de seqüência direta do gerador.
A reatância X utilizada no modelo adotado pode assumir diversos valores em função do tipo de estudo a ser feito.
1. No caso de desejarmos obter o valor eficaz da componente senoidal da corrente de curto-circuito no instante imediatamente após a ocorrência do defeito, o valor de X passa a ser: X = X”d , onde X”d = reatância subtransitória do gerador, segundo
eixo direto.
2. Se quisermos obter a corrente de curto alguns instantes após o defeito temos: X = X’d , onde X’d = reatância transitória do gerador, segundo eixo direto.
3. Por fim, se quisermos a corrente de curto para a rede em regime temos: X = Xd
onde Xd = reatância não saturada segundo eixo direto do gerador.
Resumindo o apresentado, temos a tabela 4
MODELO DE SEQÜÊNCIA INVERSA
Na rede de seqüência inversa, os geradores serão simulados pela sua reatância de seqüência, definida pela equação que se segue:
Z2 = jX’2 = j ½ (X”d + X”q) onde Z2 = impedância de seqüência inversa e X”q =
reatância subtransitória segundo eixo em quadratura.
Figura 21 – Geradores – Modelo de seqüência inversa
MODELO DE SEQÜÊNCIA ZERO
Para simulação da seqüência zero dos geradores, adotamos, modelo análogo ao da seqüência inversa, como mostra a figura 22, só que incluindo também a eventual impedância de aterramento.
Figura 22 - Modelo de seqüência zero.
REATORES, BANCO DE CAPACITORES E CARGAS
Para representarmos reatores, banco de capacitores e cargas, na seqüência direta, inversa e zero, adotamos o modelo da figura 23, ou seja, todos eles podem ser simulados como um estático de barra (impedância constante Z ligada à terra).
Para seqüência Zero devemos verificar o tipo de ligação, ou seja, caso haja ligação com a terra, utilizarmos o modelo da figura 23; caso contrário, temos um circuito aberto.
Figura 23 – modelo para seqüência direta, inversa e zero
REATORES E BANCO DE CAPACITORES
n n Q V Z 2 =
onde Qn = potência reativa nominal do reator/banco de capacitores
CARGAS
Em alguns tipos de estudos, as cargas do tipo P, Q constantes serão transformadas em impedância constante.
A formulação necessária, imediatamente dedutível, resume-se em:
ï ï ï î ï ï ï í ì ÷ ø ö ç è æ = = + = + = P Q arctg Z Q P V Z jQ P S j | | | 2 2 2 ANEXO
RELAÇÕES IMPORTANTES – FUNÇÕES HIPERBÓLICAS
SENDO: gl=al+ jbl l l l l l l l a b a b a b
g cosh( ) cosh .cos senh .sen
cosh = + j = + j l l l l l l l a b a b a b
g senh( ) senh .cos cosh .sen
senh = + j = + j
(
l l)
l l b l b l b a + = a | + -a | -2 1 ) cosh( j e e(
al+ bl)
=(
al |bl- -al |-bl)
2 1 senh j e e l l l g g g senh 1 cosh 2 -= tgh 1 senh cosh2gl- 2gl=CONVERSÃO DE CIRCUITO p-NOMINAL EM p-EQUIVALENTE
Z E Y – CIRCUITO p-NOMINAL
Z’ E Y’ – CIRCUITO p-EQUIVALENTE
Zc = IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA DA L.T. = z.y
z = impedância série por unidade de comprimento
y = admitância de derivação por unidade de comprimento
l l l g g g senh senh ' Z Z Z = c = 2 2 2 2 1 2 ' l l l g g g = çèæ ÷øö = tgh Y tgh Z Y c
