Planejamento em Inteligência Artificial Capítulo 3 Complexidade do Planejamento Clássico

(1)

José de Jesús Pérez-Alcázar

MAC 5788 - IME/USP

segundo semestre de 2005

Planejamento em

Inteligência Artificial

Capítulo 3

Complexidade do

Planejamento Clássico

(2)

Revisão: Representação Clássica

● _{Linguagem L de primeira ordem livre de funções}

● _{Declaração de um problema de planejamento clássico: P}

= (s

₀

, g, O)

● _s

₀

_{: estado inicial - um conjunto de átomos ground de L}

● _{g: fórmula meta - um conjunto de literais}

● _{Operador: (nome, pre-condições, efeitos)}

● _{Problema de Planejamento Clássico: P = (}

σ

_,s

(3)

Revisão: Representação de Teoria de

Conjuntos

● _{Como a representação clássica, mas restrita à lógica}

proposicional

● _{Estado: um conjunto de proposições que}

correspondem a átomos ground

◆ _{{on-c1-pallet, on-c1-r1, on-c1-c2, …, at-r1-l1, at-r1-l2, …}}

● _{Não há operadores, só ações}

take-crane1-loc1-c3-c1-p1

precond: belong-crane1-loc1, attached-p1-loc1,

empty-crane1, top-c3-p1, on-c3-c1

delete: empty-crane1, in-c3-p1, top-c3-p1, on-c3-p1

add: holding-crane1-c3, top-c1-p1

Poder representacional mais fraco que a clássica

(4)

Revisão: Representação de variáveis de

estado

● _{Uma variável de estado é como uma estrutura de registro num programa}

de computador

◆ _{no lugar de}

_on(c1,c2)

_{nós deveríamos escrever}

_cpos(c1)=c2

● _Operadores

Carregue e

Descarregue:

Potência equivalente à representação clássica

◆ _{Cada representação precisa de uma quantidade de espaço similar}

◆ _{Cada uma pode ser traduzido na outra em tempo polinomial}

● _{Representação clássica é mais popular, principalmente por razões}

históricas. Na prática, a representação de variáveis de estado é

provavelmente a mais conveniente

(5)

Motivação

● _{Lembremos que no planejamento clássico, mesmo}

problemas simples podem ter espaços de busca muito

grandes

◆ _Exemplo:

»

DWR com cinco locações, três

pilhas, três robots, 100 contenedores

==> 10

277 _estados

»

Estimativa de partículas no universo: cerca de 10

87

● _{Porque é tão difícil resolver problemas de planejamento}

clássico?

loc ation 1loc ation 2

(6)

Tópicos da aula

● _{Fundamentos sobre análise de complexidade}

● _{Restrições (e algumas generalizações) do planejamento}

clássico

● _{Decidibilidade e indecibilidade}

● _{Tabelas de resultados de complexidade}

◆ _{Representação clássica}

◆ _{Representação de teoria de conjuntos}

◆ _{Representação de variáveis de estado}

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Análise de Complexidade

● _{Análises de complexidade tradicionalmente são focados}

nos problemas de reconhecimento de linguagens

◆ _{Uma linguagem é um conjunto L de strings de algum}

alfabeto A

◆ _{Procedimento de reconhecimento para L}

»

Um procedimento R(x) que retorna ''yes'' sse o string

x está em L

»

Se x não está em L, então R(x) pode retornar ''no'' ou

pode falhar para terminar

● _{Traduzir o planejamento clássico em um problema de}

reconhecimento de linguagens.

● _{Verificar a complexidade do problema de reconhecimento}

(8)

Planejamento como um problema de

Reconhecimento de Linguagens

● _{Dado um conjunto D de declarações de problemas de}

planejamento

● _{Nós consideraremos dois problemas de reconhecimento de}

problemas:

PLAN-EXISTENCE(D)

= {P : P

∈

D é a declaração de um problema de

planejamento que tem uma solução}

PLAN-LENGTH(D)

= {(P,n) : P

∈

D é a declaração de um problema de

planejamento que tem uma solução de tamanho ? n}

● _{Verificar a complexidade de EXISTENCE e}

PLAN-LENGTH sob diferentes condições (D pode ser o conjunto

de todos os problemas de planejamento clássico)

(9)

Complexidade dos problemas de

reconhecimento de linguagens

● _{Suponha que R é um procedimento de reconhecimento para D}

● _{Complexidade de R}

◆ T

_R

(n) = pior caso em tempo para R sobre strings em D de

tamanho n

◆ S

_R

(n) = pior caso em requerimentos de espaço para R sobre

strings em D de tamanho n

● _{Complexidade de D}

◆ T

_D

= melhor complexidade em tempo asintótico

de qualquer procedimento de reconhecimento para D

◆ S

_D

= melhor complexidade

em espaço asintótico de qualquer procedimento de

reconhecimento para D

(10)

Classes de Complexidade

● _{Classes de complexidade :}

NLOGSPACE (procedimento não-determinístico, espaço logarítmico)

⊆

P

(procedimento determinístico, tempo polinomial)

⊆

NP

(procedimento não-determinístico, tempo polinomial)

⊆

PSPACE

(procedimento determinístico, espaço polinomial)

⊆

EXPTIM E

(procedimento determinístico, tempo exponencial)

⊆

NEXPTIM E (procedimento não-determinístico, tempo exponencial)

⊆

EXPSPACE (procedimento determinístico, espaço exponencial)

● _{Seja C uma classe de complexidade e p um problema de reconhecimento}

de linguagens

◆ _{p é C-difícil se para todo problema q em C, q pode ser reduzido a p em}

tempo polinomial

»

NP-difícil, PSPACE-difícil, etc.

◆ _{p é C-completo se p is C-difícil e p é também em C}

(11)

● _{Nós damos os operadores como entrada ao algoritmo}

de planejamento, ou os estabelecemos de antemão?

● _{Permitimos estados iniciais infinitos?*}

● _{Permitimos símbolos funcionais?*}

● _{Permitimos efeitos negativos?}

● _{Permitimos pré-condições negativas?}

● _{Permitimos mais de uma pre-condição?}

● _{Permitimos que os operadores tenham efeitos}

condicionais?*

◆ _{i.e., efeitos que ocorrem unicamente quando}

pré-condições adicionais são verdadeiras

*

Estes estão fora do planejamento clássico.

(12)

Decidibilidade

Problema de Decisão: um problema com uma resposta

sim/não ex:. ''N é primo''

● _{Decidível: Se existe um programa (ex: uma Máquina de}

Turing ) que toma qualquer instância e para corretamente

com uma resposta ''sim'' ou ''não''.

● _{Semi-decidível: Se o programa para com a resposta certa}

num dos casos ( ''sim'' ou ''não'') mas não no outro caso

(não para)

● _{Indecidível: Não existe algoritmo para resolver o}

(13)

Hierarquia das classes de complexidade

P

NP

PSPACE

EXPSPACE

EXP

NEXP

P =? NP

PSPACE = NPSPACE

Decidable

P

⊂

EXP

PSPACE

⊂

EXPSPACE

P

⊆

NP

⊆

PSPACE

Undecidable

(14)

Decidibilidade de Planejamento

A seguir: análise de complexidade para os

casos decidíveis.

Problema da

Parada

Pode sair da

busca em tota

trajetória de

tamanho n

Proposição 3.1

(15)

Decidibilidade de Planejamento

● _{Proposição 3.1. Para o caso clássico o problema}

PLAN-EXISTENCE é decidível

∈

o número de possíveis estados é

finito, um algoritmo de força bruta pode achar uma solução.

● _{Proposição 3.2. Se estendemos o planejamento clássico (ou}

variáveis de estado) para permitir símbolos funcionais, então

PLAN-LENGTH é ainda decidível

∈

podemos encurtar a

busca quando se chegue a um plano de tamanho k.

● _{Proposição 3.3. Se estendemos o planejamento clássico (ou}

variáveis de estado) para permitir símbolos funcionais,

PLAN-EXISTENCE é semi-decidível

∈

para uma declaração

P = (s

₀

, g, O) os algoritmos de busca (ex:

lifted-backward-search(P)) terminará se existir uma solução para P. Para

(16)

Resultados de decidibilidade

[Erol et al. 94]

● _{Explora o relacionamento entre planejamento e programação}

em lógica.

● _{Podemos transformar um problema de planejamento sem}

listas delete (efeitos negativos) ou pré-condições negativas a

um programa em lógica (e vice-versa) em tempo polinomial:

◆ _{R1: a}

←

_b1

∧

_b2

∧

_b3

◆ _{Op_R1: [pre: {b1, b2, b3} add: {a} del: {}]}

● _{Símbolos funcionais}

∈

_{não decidível}

◆ _{A menos que existam condições de acyclicity e}

boundedness.

● _{Se não existem símbolos funcionais e o estado inicial é finito}

(17)

Resultados da Complexidade

● _{Como é apresentado na tabela a complexidade computacional}

para os problemas de planejamento clássico (teoria de

conjuntos e variáveis de estado) pode ser constante ou até

EXPSPACE-completo dependendo das restrições.

● _{Nau et. al. (2004) demonstram que o caso comúm de}

planejamento clássico é EXPSPACE-completo (primeira linha

da tabela). Eles reduzem um conhecido problema de

reconhecimento de linguagens EXPSPACE-completo, o

problema da máquina de Turing EXPSPACE-limitado ao

problema de planejamento clássico.

(18)

Outros resultados:

Estados, operadores, planos.

Quantos, Que tão grande?

● _{Assumindo estados finitos, n objetos, m predicados com aridade r, e}

o operadores (com s variáveis max cada) e que não existem símbolos

funcionais:

◆ _{Possíveis átomos: p = m n}

r

=> Cada estado precisa espaço exponencial

◆ _{Possíveis estados = Powerset{p} = 2}

p

=> O espaço de estados é double exponential

(19)

Outros resultados

● _{Sem restrições: uma instância de operador precisaria aparecer várias}

vezes no mesmo plano

∈

busca a través de todos os estados; cada

estado consome um espaço exponencial

∈

PLAN-EXISTENCE

pode ser resolvido em EXPSPACE.

● _{Sem efeitos negativos: operadores unicamente precisam aparecer uma}

só vez; como o número de operadores é exponencial assim será sua

escolha

∈

PLAN-EXISTENCE pode ser resolvido em NEXPTIME.

● _{Se restringimos ainda para não ter pré-condições negativas}

∈

nenhum operador pode remover as pré-condições dos outros

∈

a

ordem dos operadores não importa

∈

PLAN-EXISTENCE pode ser

resolvido em EXPTIME.

● _{A pesar das restrições}

∈

_{PLAN-LENGTH permanece NEXPTIME.}

● _{Se cada operador é restrito a uma pré-condição no máximo}

∈

_fácil

(20)

PLAN-Outros resultados

● _{Se restringimos todos os átomos para serem ground, o número}

de instâncias de operadores e o tamanho de cada estado é

reduzido de exponencial a polinomial. Os resultados de

complexidade para este caso (ex: teoria de conjuntos) são

usualmente mais baixos. Colocando límites sobre a aridade

dos predicados e o número de variáveis dos operadores

consegue-se resultados equivalentes.

● _{Se o conjunto de operadores é fixado de antemão, então a}

aridade dos predicados e o número de variáveis de cada

operador são limitadas por uma cte.

∈

complexidade de

planejamento equivalente ao da teoria de conjuntos.

(21)

Propriedades interessantes achadas

● _{Estender os operadores de planejamento para permitir efeitos}

condicionais não afeta os nossos resultados.

● _{Comparando a complexidade de PLAN-EXISTENCE no caso de}

teoria de conjuntos com o caso clássico revela um padrão regular: em

muitos casos, a complexidade do primeiro é um nível menos difícil

que o segundo.

● _{Se efeitos negativos são permitidos}

∈

_{PLAN-EXISTENCE é}

EXPSPACE-completo mas PLAN-LENGTH é somente

NEXPTIME-completo. Isso não é normal. Isto acontece porque o

tamanho do plano pode às vezes ser doblemente exponencial com

relação ao tamanho da entrada. Em PLAN-LENGTH é dado um

límite k que nos limita a planos de tamanho no máximo exponencial

em termos da entrada.

(22)

Propriedades interessantes achadas

● _{PLAN-LENGTH tem a mesma complexidade sem}

considerar se pré-condições negadas ou não, são

permitidas

∈

dificuldade de mexer com as interações

entre condições habilitadas.

● _{Efeitos negativos são mais poderosos que as}

(23)

Complexidade de

Planejamento

no máximo tem1 pré-condição

PSPACE-completo ou

NP-completo para algúns

(24)

● _{Advertência: estes são resultados no pior caso}

◆ _{Domínios de planejamento Individuais podem ser muito mais fáceis}

● _{Exemplo: tanto DWR como o mundo dos blocos coloridos, estão aqui, no}

entanto, com complexidade menor. Para eles, PLAN-EXISTENCE está em P e

PLAN-LENGTH é NP-complete.

(25)

Aqui, PLAN-LENGTH é mais fácil que PLAN-EXISTENCE pela

mesma razão que na tabela de decidibilidade

(26)

Equivalências

● _{A representação de teoria de conjuntos e a representação clássica com}

termos ground são basicamente idênticas

◆ _{Para os dois casos, há explosão combinatória no tamanho da}

entrada

◆ _{Assim, a complexidade diminui em função do tamanho da entrada}

● _{As representações clássica e de variáveis de estado são equivalentes,}