TERCEIRO CICLO 9.º ANO. Duarte Bastos Miguel Ramos. Matemática

(1)

PROVA

FINAL

PREPARAR A

Duarte Bastos Miguel Ramos TERCEIRO CICLO

9.º ANO

Matemática

D

PPFM9_20193263_TEXTO_P001_030_1P.indd 1 06/07/2020 09:56

(2)

ÍNDICE

1. PREPARAR A PROVA FINAL

I. NÚMEROS E OPERAÇÕES

1. NÚMEROS REAIS 6 Exercícios resolvidos 14 Exercícios propostos 15 2. POTÊNCIAS E OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS 16 Exercícios resolvidos 17 Exercícios propostos 19 3. NÚMEROS IRRACIONAIS 21 Exercícios resolvidos 22 Exercícios propostos 22 4. INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS 23 Exercícios resolvidos 24 Exercícios propostos 24 Exercícios de revisão 26

II. ÁLGEBRA

1. EQUAÇÕES DO 1.º GRAU 32 Exercícios resolvidos 37 Exercícios propostos 37 2. MONÓMIOS E POLINÓMIOS 40 Exercícios resolvidos 47 Exercícios propostos 47 3. EQUAÇÕES LITERAIS 49 Exercícios resolvidos 51 Exercícios propostos 52 4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1.º GRAU 53 Exercícios resolvidos 59 Exercícios propostos 61 5. EQUAÇÕES DO 2.º GRAU 65 Exercícios resolvidos 68 Exercícios propostos 71 6. INEQUAÇÕES 73 Exercícios resolvidos 75 Exercícios propostos 78 7. FUNÇÕES 81 Exercícios resolvidos 88 Exercícios propostos 91 8. PROPORCIONALIDADE DIRETA 95 Exercícios resolvidos 97 Exercícios propostos 99 9. PROPORCIONALIDADE INVERSA 101 Exercícios resolvidos 103 Exercícios propostos 104 10. FUNÇÕES DO TIPO y = ax2_(a_{0 0)} ₁₀₉ Exercícios resolvidos 111 Exercícios propostos 112 11. SEQUÊNCIAS E REGULARIDADES 117 Exercícios resolvidos 119 Exercícios propostos 120 Exercícios de revisão 123 I S B N 9 7 8 - 9 8 9 - 7 6 7- 5 6 4 - 5 ©AREAL EDIT ORES 2 PPFM9_20193263_TEXTO_P001_030_1P.indd 2 02/07/2020 15:56

(3)

©AREAL EDIT

ORES

I S B N 9 7 8 - 9 8 9 - 7 6 7- 3 2 5 - 2

III. GEOMETRIA E MEDIDA

1. FIGURAS GEOMÉTRICAS 142 Exercícios resolvidos 149 Exercícios propostos 150 2. PARALELISMO, CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA 153 Exercícios resolvidos 154 Exercícios propostos 156 3. TEOREMA DE PITÁGORAS 159 Exercícios resolvidos 161 Exercícios propostos 162 4. ISOMETRIAS 164 Exercícios resolvidos 168 Exercícios propostos 169 5. POSIÇÃO RELATIVA DE RETAS

E PLANOS 170

Exercícios resolvidos 173 Exercícios propostos 174

6. ÁREAS E VOLUMES DE SÓLIDOS 175

7. CIRCUNFERÊNCIA 183

Polígonos inscritos numa circunferência 191 Exercícios resolvidos 193 Exercícios propostos 194 8. LUGARES GEOMÉTRICOS 195 Exercícios resolvidos 199 Exercícios propostos 199 9. TRIGONOMETRIA 202 Exercícios resolvidos 207 Exercícios propostos 210 Exercícios de revisão 215

IV. ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO

DE DADOS

1. PLANEAMENTO ESTATÍSTICO E TRATAMENTO 236 Exercícios resolvidos 240 Exercícios propostos 241 2. PROBABILIDADE 242 Exercícios resolvidos 248 Exercícios propostos 254 Exercícios de revisão 259

2. PROVAS-MODELO

PROVAS FINAIS

Formulário 272 Tabela trigonométrica 273 Prova-modelo 1 274 Prova-modelo 2 278 Prova-modelo 3 281 Prova-modelo 4 284 Prova-modelo 5 288 Prova-modelo 6 291 Prova-modelo 7 295 Prova-modelo 8 300 Prova-modelo 9 304 Prova-modelo 10 307

Prova final – 1.a_{fase – 2017} ₃₁₂

SOLUÇÕES 317

3

(4)

POLINÓMIOS

Um polinómio é uma soma algébrica de dois ou mais monómios.

Exemplo: x2_{+ 5x - 3 é um polinómio que resulta da adição algébrica dos monómios x}2_{, 5x e}_{- 3.} Grau de um polinómio é o maior grau dos seus

mo nómios-parcelas. Exemplos:

Polinómio Monómio de maior grau Grau do polinómio

x2_{+ 5x - 3} _x2 ₂

7x4_{+ 3} _7x4 ₄

- 9xyz + 3x2_z4 _3x2_z4 ₆

É habitual apresentar-se os polinómios com os termos ordenados por ordem decrescente dos seus graus.

Exemplo: Em vez de 5x _{+ x}2_{- 3, apresenta-se x}2_{+ 5x - 3.}

Operações entre um monómio e um polinómio

Multiplicação

O produto de um monómio por um polinómio é um

polinó-mio. Obtém-se adicionando o produto da multiplicação do monómio por cada monómio do polinómio.

Exemplo: 3x 2_{× ( x}2_{+ 5x − 3) = ( 3x}2_{× x}2₎_{+ ( 3x}2_{× 5x) + ( 3x}2_×

₍

_{− 3}

₎

) = _{= 3x}4_{+ 15x}3_{− 9x}2

Operações entre polinómios

Polinómio simétrico

O polinómio simétrico de um polinómio dado é o polinómio cujos termos são os simétricos dos

termos do polinómio dado. Exemplo: _{− ( x}2 _{+ 5x − 3) = − x}2 _{− 5x + 3} Nota que: Os monómios-parcelas de um polinómio também se designam termos. Nota que:

Um polinómio com dois termos chama-se binómio.

Um polinómio com três termos chama-se trinómio.

Exemplos:

- 2x2_{+ 3 é um binómio;}

x2_{+ 5x - 3 é um trinómio.}

Nota que:

Aos polinómios multiplicador e multiplicando chamam-se fatores, tal como a monómios que se multiplicam.

42

©AREAL EDIT

ORES

(5)

Adição

A soma de dois polinómios é um polinómio cujos termos são a

soma algébrica dos termos de ambos os polinómios. Em geral, simplifica-se o polinómio soma, adicionando-se todos os monó-mios semelhantes, se existirem.

Exemplo: ( x 2

_{+ 5x − 3) + ( 3x}2 _{− 2x) =}

(

1 _{+ 3}

)

x 2 ₊

(

5 _{− 2}

)

x _{− 3 = 4x}2 _{+ 3x − 3} Subtração

A diferença de dois polinómios é um polinómio obtido pela adição do polinómio aditivo com o simétrico do polinómio subtrativo. Exemplo: ( x 2

_{+ 5x − 3) − ( 3x}2 _{− 2x) = ( x}2 _{+ 5x − 3) + (− 3x}2 _{+ 2x) =} ₌

(

1 _{− 3}

)

x 2 ₊

(

5 _{+ 2}

)

x _{− 3 = − 2x}2 _{+ 7x − 3}

Multiplicação

O produto de dois polinómios é um polinómio que se obtém multiplicando cada monómio do

mul-tiplicador pelo multiplicando. Em geral, simplifica -se o polinómio produto, adicionando-se todos os monómios semelhantes, se existirem.

Exemplo: ( 3x 2

_{− 2x) × ( x}2 _{+ 5x − 3) = 3x}2 _{× ( x}2 _{+ 5x − 3) − 2x × ( x}2 _{+ 5x − 3) =} _{= 3x}4 _{+ 15x}3 _{− 9x}2 _{− 2x}3 _{− 10x}2 _{+ 6x = 3x}4 _{+ 13x}3 _{− 19x}2 _{+ 6x} Casos notáveis da multiplicação de polinómios

Por serem muito utilizados, há três casos de multiplicação que merecem destaque, sendo, por isso, habitual-mente designados por “casos notáveis da multiplicação de polinómios”.

Quadrado de uma soma Quadrado de uma diferença Diferença de quadrados

Expressão algébrica (a _{+ b)}2_{= a}2_{+ 2ab + b}2 _(a_{- b)}2_{= a}2_{- 2ab + b}2 _(a_{- b)(a + b) = a}2_{- b}2

Exemplo (3x _{+ 2)}2₌ = (3x)2_{+ 2 * (3x) * 2 + 2}2₌ = 9x2_{+ 12x + 4} (3x _{- 2)}2₌ = (3x)2_{- 2 * (3x) * 2 + 2}2₌ = 9x2_{- 12x + 4} (3x _{+ 2) (3x - 2) =} = (3x)2_{- 2}2₌ = 9x2_{- 4} Obtenção da expressão algébrica (a _{+ b)}2_{= (a + b) . (a + b)} = a2_{+ ab + ba + b}2 = a2_{+ 2ab + b}2 (a _{- b)}2_{= (a - b) . (a - b)} = a2_{- ab - ba + b}2 = a2_{- 2ab + b}2 (a _{- b)(a + b) =} = a2_{+ ab - ba - b}2 = a2_{- b}2 Nota que:

A adição e a multiplicação de dois polinó-mios pode ser facilitada dispondo os poli-nómios segundo o esquema dos algorit-mos numéricos, nos quais os monómios do mesmo grau devem ficar alinhados verticalmente. Nestas operações, contra-riamente às operações numéricas respe-tivas, não existe transporte entre classes.

5x2 _{+ 2x - 3} + - 2x2 _{- 14x} 3x2 _{- 12x - 3} x2 _{+ 5x - 3} * 3x2 _{- 2x} - 2x3 _{- 10x}2 _{+ 6x} + 3x4 _{+ 15x}3 _{- 9x}2 3x4 _{+ 13x}3 _{- 19x}2 _{+ 6x} Nota que: (_{- a - b)}2_{= (a + b)}2 Por exemplo, (- 3x - 2)2= (3x + 2)2= 9x2+ 12x + 4 (_{- a + b)}2_{= (a - b)}2 Por exemplo, (- 3x + 2)2= (3x - 2)2= 9x2- 12x + 4 II – ÁLGEBRA 43 ©AREAL EDIT ORES PPFM9_20190575_TEXTO_P031_064_3P.indd 43 15/07/2019 17:01

(6)

2.

Considera as sequências (un) e (vn) definidas, respetivamente, por u n = − 2n + 13 e v n = n + 2 _____

3 .

2.1.

Determina os três primeiros termos da sequência (un).

u1= - 2 * 1 + 13 = 11; u2= - 2 * 2 + 13 = 9; u3= - 2 * 3 + 13 = 7

2.2.

Determina o 5.º e o 10.º termos da sequência (vn).

v 5 = 5 + 2 _

3 = 7 _ 3 ; v 10 = 10 + 2 _ 3 = 4

2.3.

Averigua se 13 é termo da sequência (un) e se 61 é termo da sequência (vn).

Se 13 for termo da sequência (un), significa que existe uma ordem, n, tal que un= 13. Resolve-se, portanto, a

equação _{- 2n + 13 = 13 § n = 0. Como n å N, pode concluir-se que 13 não é termo da sequência (u}n).

Se 61 for termo da sequência (vn), significa que existe uma ordem, n, tal que vn = 61.

Resolve-se, portanto, a equação n + 2 _

3 = 61 ⇔ n + 2 = 183 ⇔ n = 181 , ou seja, u181= 61.

2.4.

Para que valores de n se tem un> vn?

Resolve-se a inequação _{− 2n + 13 > n + 2}_

3 ⇔ − 6n + 39 > n + 2 ⇔ − 7n > − 37 ⇔ n < 37 _ 7 ≃ 5,3 . Logo, un> vn quando n for menor ou igual a 5,3 (aproximadamente), isto é, se n å {1, 2, 3, 4, 5}.

Exercícios propostos

153.

Completa cada uma das tabelas.

153.1.

ordem do termo 1 2 3 4 5 … n termo n _{+ 2}

153.2.

ordem do termo 1 2 3 4 5 … n termo 2n _{- 5}

153.3.

ordem do termo 1 2 3 4 5 … n termo 1 _{- n}2

153.4.

ordem do termo 1 2 3 4 5 … n termo 3n _{- n}2

153.5.

ordem do termo 1 2 3 4 5 … n termo … ____ n + 1 2

153.6.

ordem do termo 1 2 3 4 5 … n termo … n ____ + 7 n 120 ©AREAL EDIT ORES PPFM9_20190575_TEXTO_P081_140_3P.indd 120 15/07/2019 17:02

(7)

154.

Considera os cinco primeiros termos de cada uma das seguintes sequências de 100 termos: (A)4, 5, 6, 7, 8, … (B)3, 6, 9, 12, 15, … (C) 3, 5, 7, 9, 11, … (D)– 3, – 2, – 1, 0, 1, … (E)1, 8, 27, 64, 125, … (F)0, 3, 8, 15, 24, … (G)

1 __ 2 , 1 __ 5 , 1 ___ 10 , 1 ___ 17 , 1 ___ 26 , … (H)

0,5; 0; − 0,5; − 1; − 1,5; … (I)

3, 3 __ 2 , 1, 3 __ 4 , 3 __ 5 , … (J)– 2, 2, – 2, 2, – 2, …

154.1.

Para cada uma das sequências dadas escreve os três termos seguintes.

154.2.

Indica o termo geral de cada uma das sequências.

155.

Considera a sequência cujos cinco primeiros termos são: 7, 2, _{- 3, - 8, - 13.} Qual das expressões seguintes permite gerar esta sequência de números?

(A)5n _{+ 2} (B)5n _{- 12} (C)5n _{+ 12} (D)_{- 5n + 12}

156.

Observa as três primeiras figuras de uma determinada sequência.

156.1.

Representa a quarta e a quinta figuras desta sequência.

156.2.

Supõe que este processo se repete e que wn corresponde ao número de quadrículas

sombrea-das da n-ésima figura. Escreve o termo geral desta sequência.

156.3.

Averigua se 91 é termo da sequência (wn).

156.4.

58 é termo da sequência (wn). Qual é a sua ordem?

157.

Na figura estão representados os quatro primeiros termos de uma sequência de figuras, constituídas por quadrados geometricamente iguais, que segue a lei de formação sugerida.

1.º termo 2.º termo 3.º termo 4.º termo

II – ÁLGEBRA

121

©AREAL EDIT

ORES

(8)

É permitido o uso de calculadora.

1.

Na tabela, os valores de a e os valores de b correspondentes são inversamente proporcionais e sabe-se que a constante de proporcionalidade é 12.

a 6 1 __

2

b 4 12

1.1.

Completa a tabela.

1.2.

Define, por meio de uma expressão algébrica, uma função que relacione a e b.

2.

Num jornal pode ler-se o anúncio seguinte:

Determina a altura máxima a que a escada pode chegar.

3.

Na figura está representado um obelisco de granito constituído por uma pirâmide quadrangular assente num prisma quadrangular, por sua vez assente num cilindro. Sabe-se que:

• a base da pirâmide e do prisma são iguais e que a base do prisma está inscrita na base do cilindro;

• o diâmetro do cilindro é 8 m e a altura 5 m; • a altura do prisma é 17 m e a da pirâmide 3 m.

3.1.

Utilizando as letras da figura, indica, respetivamente, duas retas e dois planos concorrentes não perpendiculares.

3.2.

Determina a massa do obelisco, em toneladas, sabendo que 1 m3_{tem 2,7 t de granito. Considera}

p = 3,14.

4.

Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O, em que: • [CE] _{Y [AB];}

• ‾ AB _{= 24 cm ;}

• ‾ CD _{= 6 cm .}

4.1.

Justifica que ‾ AD _{= ‾}DB .

4.2.

Calcula o perímetro da circunferência (com 2 c.d.), considerando p = 3,14.

PROVA-MODELO 5

Magirus Deutz Modelo 170D 12 Autoescada (Bombeiros, do ano de 1976, com 15 000 km, bom estado). Tem 239 cv e 1,5 m de altura, escada com 30 m, 65° de inclinação máxima, com guincho. Tem cesto com comandos.

(9)

5.

Na figura, sabe-se que:

• POQ

̂

_{= 60º;} • ‾ OQ _{= 6 cm .}

5.1.

Considera a homotetia de centro em O que aplica P em R. a) Calcula o valor da razão dessa homotetia.

b) Indica como determinarias Q’, o transformado de Q por essa homotetia.

5.2.

Calcula a área do triângulo [ORQ’].

Não é permitido o uso de calculadora.

6.

A Batalha Naval é um jogo entre dois jogadores em que cada um deles coloca num tabuleiro quadrado, secretamente, os seus barcos, representados com quadrículas pintadas. O objetivo consiste em afun-dar toda a frota inimiga através de uma sequência de tiros cada um deles representado pelas coorde-nadas de uma quadrícula do tabuleiro. O Alberto e a Beatriz jogam à Batalha Naval. É a vez da Beatriz jogar e deu o primeiro tiro.

6.1.

Qual a probabilidade de ter afundado um submarino?

6.2.

Sabendo que a Beatriz jogou para a linha C, qual a probabilidade de ter acertado num barco?

7.

Considera a equação 2 _[

(

3 _{− x}

)

2 _{− 5}_] _{= 0 .}

Qual das equações seguintes é equivalente à equação dada, no conjunto dos números reais?

(A) 4 _{- x}2_{= 0} _{(B) x}2_{+ 6x + 4 = 0} _{(C) x}2_{- 6x + 4 = 0} _{(D) x}2_{- 4 = 0}

8.

A Ângela, a Beatriz e a Sara são três amigas que moram no mesmo prédio e que estudam na escola de Vila de Cima. Todas as manhãs fazem percursos idênticos na ida para a escola, embora possam sair a horas diferen-tes. Hoje, a Ângela saiu atrasada e teve de correr em algumas partes do percurso, a Bea-triz foi a pé e a Sara foi de bicicleta.

8.1.

Faz corresponder a cada gráfico uma das alunas, explicando as tuas opções.

8.2.

Seguindo o gráfico respetivo, descreve cada um dos percursos.

PROVA-MODELO 5

R P Q O 1 A B C D E F G H 2 3 4 5 6 7 8 Legenda: Porta-aviões Submarino Corveta Couraçado Distância Horas 8:00 8:05 8:10 8:15 8:20 8:25 8:30 PPFM9-19 2 – PROVAS-MODELO ©AREAL EDIT ORES 289 PPFM9_20190575_TEXTO_P271_316_3P.indd 289 15/07/2019 17:01