Radiciação
Na raiz , temos:
Na raiz , temos:
= b
= b
A radiciação é a operação inversa da
A radiciação é a operação inversa da
potenciação.
potenciação.
Ex.
Ex.
n
n
a
a
O número n é chamado
O número n é chamado
índice
índice
;
;
O número a é chamado
O número a é chamado
radicando
radicando
;
;
O número b é chamado
O número b é chamado
raiz
raiz
;
;
é um
é um
radical
radical
.
.
n na
a
is
is
Raiz Quadrada
Raiz quadrada de um número positivo
“a”
é o número
positivo que elevado ao quadrado dê
“a”
.
Exemplos:
9
3
49
7
81 9
1 1
0
0
1, 21 1,1
6, 25
2,5
1
1
4
2
0, 04
0, 2
6
36
5
3
25
9
100
10
b
a
n
Radical Radicando Raiz enézima de aA Raiz Enézima de a
Para a e b reais não negativos e n natural maior que 1.
Quando n é impar, a e b podem ser negativos.
Propriedades da Radiciação
:r n m :r n m p n. m . p n m n na
a
a
a
)
a
a)
ou
b
a
n natural maior que 1;
Sendo a real não negativo, se n é par;
a real qualquer, se n é impar.
Sendo n, p e r natural maior que 1;
r divisor comum de n e m.
Propriedades da Radiciação
0)
(b
b
a
b
a
d)
b
a
ab
)
n n n n n n c
n natural maior que 1;
Sendo a e b real não negativo, se n é par;
a e b real qualquer, se n é impar.
n natural maior que 1;
Sendo a real não negativo e b real positivo, se n é par;
a real qualquer e b real não nulo, se n é impar.
Propriedades da Radiciação
n
m n m n m n ma
a
f)
a
a
e)
Sendo n e m natural maior que 1;
n n n
a
b
a
b
a
)
Se
a
R
,
b
R
,
m
Z
,
n
N
,
p
N
,
temos
:
p n m p n ma
a
b
)
)
0
(
)
b
b
a
b
a
c
n n n
na
m na
md
)
n
p
p n
a
a
e
)
3 3 3 35
2
5
2
10
6 4 2 3 2.2 3 25
5
5
4 4 43
5
3
5
8
2
2
32
8
5 5 3 3 5 3 3 5
37
3
27
67
Aplicação das propriedades dos
radicais
21952
28
7
2
2
7
2
2
7
2
2
2195
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Cálculo de raízes exatas
2
2
2
2
2
2
7
7
7
10976
5488
2744
686
1372
343
49
7
1
EX:
Simplificando Radicais
2
12
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
288
b)
2
2
2
2
8
a)
2
2
2
2
2
2
2
3
6
3
3
6
3
6
Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão
mais simples.
Redução de radicais ao mesmo
índice
12
12
12
3
12
2
3
4.
1.
3
2
6.
1.
2
4
6
125
e
4
5
2
5
2
5
e
2
a)
e eExemplos:
Mmc (6,4) = 12
10
10
10
2
10
5
2
5.
1.
2
5
2.
1.
5
5
400
e
243
20
3
20
3
20
e
3
b)
e eMmc (2,5) = 10
Radicais Semelhantes
Dois ou mais radicais são semelhantes,
quando possuem o mesmo índice e mesmo
radicando
3
2
7
3
35
4
6
35
e
e
RADICIAÇÃO
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades: ou
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.
De modo geral, definimos:
, com a IR,m,n, IN, a >0, n>0, m>0
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário, isto é,val também a volta.
O exercício que foi resolvido anteriormente na multiplicação, pode também agora ter esta resolução: 60 13 2 60 133 60 133 5 4 4 3 3 2 5 4 4 3 3 2 5 4 4 3 3 2
.
.
.
.
.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
RADICIAÇÃO
Potência com expoente racional
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para
os expoentes inteiros.
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais,
temos que:
m n m n m n m n m n m q p n m q p n m q p n m q p n ma
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
a
a
.
.
.
RADICIAÇÃO
“Introdução” de um fator no radical
2
.
37
32
3.
37
32
3.
7
356
Processo prático: 3 3 3 356
7
.
2
7
2
4 4 4 43
10
.
3
30000
10
180
5
.
6
5
6
2
500
5
.
10
5
10
2
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Adição e Subtração
Exemplo 1: Efetue:
Resolução: Os três radicais são semelhantes, pois possuem o mesmo índice 2 e
o mesmo radicando 3. Adicionando algebricamente os coeficientes, podemos
escrever:
3 7 3 3 3
1
3
7
2
3
3
3
7
3
3
3
Exemplo 2: Efetue:
Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os
simplificarmos, perceberemos que eles são verdadeiramente semelhantes.
Simplificando cada um dos radicais, teremos:
18
4
32
8
3
2
14
2
12
2
4
2
6
2
3
.
4
2
2
2
2
.
3
3
.
2
4
2
2
2
3
3
5
2
2
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Adição e Subtração
Exemplo 3: Efetue:
Resolução: Os três radicais aparentemente não são semelhantes, mas se os
simplificarmos, perceberemos que eles são semelhantes dois a dois.
Simplificando cada um dos radicais, teremos:
8 6 4
400
125
81
75
5
3
6
3
5
5
.
2
3
5
3
5
5
.
2
5
.
3
2
4 4 2
6 3
8 4
2
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Multiplicação
Exemplo 1:
2
.
5
Resolução:
Os dois são homogêneos, pois possuem o mesmo índice 2. Multiplicando os radicandos e conservando o índice, podemos escrever:2
.
5
2
.
5
10
Exemplo 2:
Efetue: 3 2 4 3 5 4.
.
a
a
a
Resolução:
Os três radicais são heterogêneos, pois possuem índices diferentes. Reduzindo-os ao mesmo índice, teremos: 3 2 4 3 5 4 60 40 60 45 60 48 60 40 45 48 60 133.
.
.
.
.
.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
RADICIAÇÃO
Operações com Radicais:
Potenciação
5 3 5 5 5 5 5 3 58
2
2
.
2
.
2
2
.
2
.
2
2
Logo,
5 3 3.1 3 5 1.
2
2
7 3 2 7 3 7 3 7 3 3 7 65
5
.
5
5
.
5
5
Logo,
7
3
2
7
6
2
.
3
.
5
5
n r m n r ma
a
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar
o radicando àquele expoente.
Radiciação
RADICIAÇÃO
2
64
2
8
64
3 6 3
e
Logo,
3 264
664
2
.
3
3
81
3
9
81
e
4
Logo,
2 2 481
81
2
.
2
2
8
64
4096
3 3 3
2
2
4096
4096
12 12 12 3
ou
De modo geral, satisfeitas as condições de existência dos radicais
envolvidos, podemos indicar a radiciação de um radical assim:
n
m
n m
a
a
.
Expressões
RADICIAÇÃO
3 3 39
84
18
5
4
84
18
25
4
84
18
3
27
9
18
81
18
3
84
18
3 3 3 3
3 3 325
4
125
14
25
11
15
125
14
25
11
5
3
125
14
5
4
125
64
125
50
14
5
2
125
14
3 3 3
352
:
313
.
316
352
:
13
.
16
34
.
16
364
4
2
2 1 3 . 7 . 2 3 . 7 3 . 7 . 2 3 . 2 3 . 5 7 . 3 . 2 3 . 2 5 . 3 588 12 75 2 2 2 2
RADICIAÇÃO
Desenvolvendo Produtos Notáveis
2
2
2
2
2
.
2
2
4
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
6
4
2
3
6
.
3
6
3
2
3
.
6
3
.
6
6
2
3
6
3
10 3
2 10 3
. 10 3
10 2 10. 3 10. 3 3 2 102. 303132. 30RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Em alguns cálculos, você pode se deparar com raízes no denominador da fração, o que a torna irracional. Para que você possa prosseguir com os cálculos, é conveniente que você elimine essas raízes do denominador, esse processo chamado de racionalização de denominadores. Isto é, transforma-se um denominador irracional em racional, para que assim possamos trabalhar com tranquilidade com a fração que agora teremos
o denominador é um número irracional e deve ser eliminado.
Atenção: o importante é eliminar a raiz (que pode ser quadrada, cúbica, etc), mantendo uma fração "equivalente", ou seja, que representa o mesmo valor.
Uma dica é multiplicar tanto o numerador (parte de cima), quanto o denominador pelo mesmo número, o que não interfere na igualdade. Se a fração anterior for multiplicada em cima e em baixo por ficará:
RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Prosseguindo:
RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Raízes não-quadradas
Para eliminar raízes cúbicas, ou de outros índices diferentes de 2 (lembre-se: raiz quadrada é, na verdade, uma raiz de índice 2), é necessário utilizar um artifício.
Multiplique, no numerador e no denominador, por uma raiz de mesmo radicando (o número dentro da raiz) e cujo índice seja equivalente ao índice da raiz original, e o expoente do radicando seja o valor do índice menos um. Por exemplo:
é o fator racionalizante de
RADICIAÇÃO
Racionalização de Denominadores
Soma de raízes no denominador
Veja:
Deve-se multiplicar por
Isso porque a multiplicação de por é, na verdade, a multiplicação de (a + b). (a - b), um produto notável, cujo resultado é (a2 - b2), isto é, os radicais
somem!
é o fator racionalizante de é o fator racionalizante de
