pessoa que se encontra. O espac¸o de resultados associado ´e S = {Feminino, Masculino}.
(b) Experiˆencia aleat´oria, em que o fen´omeno aleat´orio em estudo ´e o n´umero de caras que se observam em 10 lanc¸amentos. O espac¸o de resultados associado ´e S = {0, 1, . . . , 10}.
(c) N˜ao ´e uma experiˆencia aleat´oria, pois n˜ao est´a perfeitamente especificado o que se pretende.
(d) Experiˆencia aleat´oria, em que o fen´omeno aleat´orio em estudo ´e o n´umero de carros que passam entre as 17h e as 18 h, num dia escolhido ao acaso. O espac¸o de resultados associado ´e S = {0, 1, 2, 3, . . . }.
(e) Experiˆencia aleat´oria, em que o fen´omeno aleat´orio em estudo ´e o n´umero de bilhetes vendidos. O espac¸o de resultados associado ´e S = {0, 1, 2, 3, . . . , n}, onde n ´e o node bilhetes dispon´ıveis para venda.
(f) Experiˆencia aleat´oria, em que o fen´omeno aleat´orio em estudo ´e qual o tipo de transmiss˜ao que se obt´em. O espac¸o de resultados associado ´e S = m´usica, not´ıcias, an´uncios, outra programac¸˜ao.
(g) Experiˆencia aleat´oria, em que o fen´omeno aleat´orio em estudo ´e o n´umero de alunos do 10o ano inscritos. O espac¸o de resultados associado ´e S =
{0, 1, 2, 3, . . . }.
(h) Experiˆencia aleat´oria, em que o fen´omeno aleat´orio em estudo ´e o n´umero de doentes atendidos. O espac¸o de resultados associado ´e S = {0, 1, 2, 3, . . . }. (i) N˜ao ´e uma experiˆencia aleat´oria.
(j) N˜ao ´e uma experiˆencia aleat´oria.
(k) Experiˆencia aleat´oria, em que o fen´omeno aleat´orio em estudo ´e o n´umero de sementes que germinaram. O espac¸o de resultados associado ´e S = {0, 1, 2, 3, . . . , n}, onde n ´e o n´umero de sementes da embalagem.
2. Espac¸o de resultados:
S = (solteiro, solteiro), (solteiro, casado), (solteiro, vi´uvo), (solteiro, divorciado), (casado, solteiro), (casado, casado), (casado, vi´uvo), (casado, divorciado), (vi´uvo, solteiro), (vi´uvo, casado), (vi´uvo, vi´uvo), (vi´uvo, divorciado), (divorciado, sol-teiro), (divorciado, casado), (divorciado, vi´uvo), (divorciado, divorciado)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) A uni˜ao dos acontecimentos B e C constitui o espac¸o de resultados (B ∪ C = S), e como os dois acontecimentos s˜ao disjuntos ou incompat´ıveis (B ∩ C = ∅), s˜ao complementares um do outro.
(f) A intersecc¸˜ao dos acontecimentos A e B ´e o acontecimento imposs´ıvel, pois aqueles dois acontecimentos n˜ao tˆem resultados comuns.
3. Seja A o acontecimento ter filho Rapaz. Tratam-se de acontecimentos independen-tes pelo que:
P (A1∩ A2∩ A3) = 1 2 × 1 2× 1 2 = 1 8.
4. Consideremos os dois resultados poss´ıveis do lanc¸amento da moeda: Coroa (C) e Face (F). Vamos construir um diagrama em ´arvore para exemplificar os sucessivos lanc¸amentos:
(a) S = CC, CFCC, CFCF,. . . , FFFC, FFFF (b) A = CC, CFCF, CFFC, FCC, FCFC, FFCC
(c) B = CC, CFCC, CFCF, CFFC, FCC, FCFC, FFCC
(d) C = CC, CFCF, CFFC, CFFF, FCC, FCFC, FCFF, FFCC, FFCF, FFFC, FFFF
5. Utilizando os simbolos de uni˜ao (∪) e intersecc¸˜ao (∩), e a notac¸˜ao overlineA para o complementar de A, temos (a) A ∪ B ∪ C (A ou B ou C). (b) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C); (c) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) (d) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) (e) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
6. Sejam os acontecimentos: A, B, C respectivamente Receber Muito bom Sal´ario, N˜ao tem Formac¸˜ao Matem´atica, Receber Bom Sal´ario.
Bom sal´ario Muito bom sal´ario Tem formac¸˜ao matematem´atica 144 336
N˜ao tem formac¸˜ao matem´atica 168 152
Com base nos dados da tabela, calcule a probabilidade de:
(a) P (A) = 336 + 152 144 + 336 + 168 + 152 = 488 800 = 0.61. (b) P (A|B) = 152 168 + 152 = 152 320 = 0.475 ou P (A|B) = P (A ∩ B) P (B) = 152/800 320/800 = 0.475. (c) P (B|C) = 168 144 + 168 = 168 312 = 0.538 ou P (B|C) = P (B ∩ C) P (C) = 168/800 312/800 = 0.538.
7. Considere a experiˆencia aleat´oria e os acontecimentos relativos ao lanc¸amento de um mesmo dado. (a) A = {2, 4, 6}, B = {3, 6} e C = {2, 3, 5}. (b) P (A) = 3 6 = 1 2, P (B) = 2 6 = 1 3 e P (C) = 3 6 = 1 2. (c) A ∩ B = {6} e A ∩ C = {2} . (d) P (A ∩ C) = 1 6. (e) P (B|A) = P (A ∩ B) P (A) = 1/6 1/2 = 1 3.
(f) P (B|A) = P (B), logo A e B s˜ao independentes. Por outro lado
P (A ∩ C) = 1 6 6= P (A).P (C) = 1 2× 1 2 = 1 4 logo A e C n˜ao s˜ao independentes.
8. Como P (A|B) = 0.25 6= P (A) = 0.35, os acontecimentos A e B n˜ao s˜ao inde-pendentes, logo os resultados apresentados n˜ao se podem verificar.
9. Um grupo de crianc¸as tem dez camisolas dentro de um saco, 3 verdes, 3 brancas, 3 pretas e 1 amarela (Exame 16/06/2009):
(a) S ={Verde, Verde, Verde, Branca, Branca, Branca, Preta, Preta, Preta, Ama-rela}.
(b) Seja A o acontecimento de tirar uma camisola amarela. A probabilidade de tirar a camisola amarela na primeira da 3 ´e dada por
P (A)×P ( ¯A|9 cam., 0 amarelas)×P ( ¯A|8 cam., 0 amarelas) = 1 10× 9 9× 8 8 = 1 10. A probabilidade de tirar a camisola amarela na segunda vez ´e dada por
P ( ¯A)×P (A|9 cam., 1 amarela)×P ( ¯A|8 cam., 0 amarelas) = 9 10× 1 9× 8 8 = 1 10. A probabilidade de tirar a camisola amarela na terceira vez ´e dada por
P ( ¯A)×P ( ¯A|9 cam., 1 amarela)×P (A|8 cam., 1 amarela) = 9 10× 8 9× 1 8 = 1 10. Assim somando as trˆes probabilidades anteriores, temos que a probabilidade pedida ´e 3/10 = 0, 3.
(c) Seja V o acontecimento de tirar uma camisola verde. Como existem apenas 3 camisolas verdes em 10, temos que a probabilidade ´e dada por
P (V )×P (V |9 cam., 2 verdes)×P (V |8 cam., 1 verde) = 3 10×
2 9×
1
8 = 0.008(3).
(d) As ´unicas possibilidades s˜ao as trˆes serem verdes, as trˆes serem brancas ou as trˆes serem pretas. Como a probabilidade de estes trˆes acontecimentos ´e igual (pois existem 3 camisolas destas cores) e j´a foi calculada na al´ınea anterior, a probabilidade pedida ´e o triplo da obtida na al´ınea anterior, ou seja, ´e dada por 0.025.
10. Temos a tabela seguinte
Homem Mulher Total Reformado 12 9 21
No ativo 8 6 14
Total 20 15 35
Seja A o acontecimento de ser Homem e B o acontecimento de ser reformado.
(a) P (A) = 20
(b) P (B|A) = 12
20 = 0, 6. Outra hip´otese de reoluc¸ao seria
P (B|A) = (B ∩ A) P (A) = 12/35 20/35 = 0, 6. (c) P (A ∩ B) = 1235 = 0, 343. (d) Como P (A∩B) = 12 35 = 0, 343 e P (A)×P (B) = 20 35× 21 35 = 4 7× 3 5 = 12 35 = 0, 343 os acontecimentos ”Reformado”e ”Homem”s˜ao independentes.
(e) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 20 35+ 21 35 − 12 35 = 29 35 = 0, 829. 11. Seja A o acontecimento de ser Homem e B o acontecimento de ser fumador. Temos
ent˜ao, pelo enunciado que
P (B) = 0, 35; P (A) = 0.55; P ( ¯B|A) = 0, 4;
(a) P (B|A) = 1 − P ( ¯B|A) = 1 − 0, 4 = 0, 6;
(b) P (A ∩ B) = P (B|A) × P (A) = 0, 6 × 0, 55 = 0, 33.
(c) Como P (B|A) = 0, 6 6= P (B) = 0, 35 os acontecimentos A e B n˜ao s˜ao independentes. Outra hip´otese para tirar a mesma conclus˜ao seria reparar que P (A ∩ B) = 0, 33 6= P (A) × P (B) = 0, 55 × 0, 35 = 0, 1925. (d) Como P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) = 0, 55 − 0, 33 = 0, 22 e P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B) = 0, 35 − 0, 33 = 0, 02 e ainda P ( ¯A ∩ ¯B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B)) = 1 − (0, 55 + 0, 35 − 0, 33) = 0, 43
(e) Conforme calculado na al´ınea anterior, P ( ¯A ∩ ¯B) = 0, 43 logo a afirmac¸˜ao ´e falsa. A percentagem de mulheres n˜ao-fumadoras sobre o total de emprega-dos ´e 43%.
12. Seja o acontecimento A ter casa pr´opria e o acontecimento B ter tido cr´edito banc´ario. Temos ent˜ao que
P (A) = 0, 6; P (B|A) = 0, 9; P ( ¯A|B) = 0, 28.
(a) P (A|B) = 1 − P ( ¯A|b) = 1 − 0, 28 = 0, 72.
(b) P (A ∩ B) = P (B|A) × P (A) = 0, 6 × 0, 9 = 0, 54. (c) P (B) = P (A∩B)P (A|B) = 0,540,72 = 0, 75.
(d) Como P (B) = 0, 75 6= P (B|A) = 0, 9 os acontecimentos n˜ao s˜ao indepen-dentes. (e) Como P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B) = 0, 6 − 0, 54 = 0, 06 e P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B) = 0, 75 − 0, 54 = 0, 21 e ainda P ( ¯A ∩ ¯B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − (P (A) + P (B) − P (A ∩ B)) = 1 − (0, 6 + 0, 75 − 0, 54) = 0, 19
(f) Conforme calculado na al´ınea anterior P ( ¯A ∩ ¯B) = 0, 19, logo cerca de 20% das pessas n˜ao tiveram cr´edito banc´ario e n˜ao tˆem casa pr´opria. Para ser mais exato, esta percentagem ´e de 19%.
