CAPÍTULO 5 - EIXOS E
CAPÍTULO 5 - EIXOS E ÁRVORES DE TRANSMISSÃOÁRVORES DE TRANSMISSÃO
5.1 - Introdução 5.1 - Introdução
Eix
Eixo o é é um um eleelemenmento to mecmecânânico ico rotrotatiativo vo ou ou estestacacionionáriário o (co(condindiçãção o estestátiática) ca) de de secsecçãoção usualmente circular onde são montados outros elementos mecânicos de transmissão tais usualmente circular onde são montados outros elementos mecânicos de transmissão tais com
como: o: engengrenrenageagens, ns, polpoliasias, , veventintiladladoreores, s, rodrodas as cecentrntradadas, as, ententre re outoutrosros. . Os Os eixeixos os sãsãoo sup
suportortadoados s (ap(apoiaoiadosdos) ) em em manmancaicais, s, de de desdeslizlizameamento nto ou ou rolrolameamentonto, , tentendo do sesecçãcção o quaquasese sempre mássica e variável, com rasgos de chavetas para fixação de componentes. A FIG. 1 sempre mássica e variável, com rasgos de chavetas para fixação de componentes. A FIG. 1 mostra uma iluminação de um
mostra uma iluminação de um eixo.eixo.
FIGURA 1 – Eixo. FIGURA 1 – Eixo.
Os eixos são elementos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção, que Os eixos são elementos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção, que atuam individualmente de forma combinada. Para a segurança do sistema em que o eixo está atuam individualmente de forma combinada. Para a segurança do sistema em que o eixo está inserido, este deve ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito inserido, este deve ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito baixa)
baixa) ou ou dinâmica dinâmica (altas (altas rotações). rotações). Este Este dimensionamdimensionamento ento leva leva em em conta conta a a resistência resistência dodo material de que foi confeccionado, comparam-se as tensões que atuam no mesmo com os material de que foi confeccionado, comparam-se as tensões que atuam no mesmo com os limites de resistência do material, estáticos (Sy ou Su) ou dinâmicos (Se – fadiga).
limites de resistência do material, estáticos (Sy ou Su) ou dinâmicos (Se – fadiga).
Em certos sistemas mecânicos, o nível de deflexão do eixo pode constituir um parâmetro Em certos sistemas mecânicos, o nível de deflexão do eixo pode constituir um parâmetro crítico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexão. Em outras palavras, a crítico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexão. Em outras palavras, a geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitáveis de deflexão, antes da análise geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitáveis de deflexão, antes da análise das
das tensões/resistêtensões/resistências.ncias.
5.2 - Materiais
5.2 - Materiais para eixos e árvorespara eixos e árvores
Há uma grande variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores. De Há uma grande variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores. De ac
acordordo o cocom m o o serserviçviço o devdevem em ter ter altalta a resresististêncência ia e e baibaixa xa sesensinsibilbilidaidade de aoaos s efeefeitoitos s dada concentração de tensão.
concentração de tensão.
Para se obter, em um cálculo, diâmetros menores e grandes resistências, pode-se usar Para se obter, em um cálculo, diâmetros menores e grandes resistências, pode-se usar aços-liga, em geral tratados termicamente. Estes aços, porém, têm
liga, em geral tratados termicamente. Estes aços, porém, têm a desvantagem de serem caros ea desvantagem de serem caros e de maior sensibilidade às concentrações de tensões. Além disso, o diâmetro é muitas vezes de maior sensibilidade às concentrações de tensões. Além disso, o diâmetro é muitas vezes
subordinado a certas deformações admissíveis, tornando o aço-liga contra-indicado, já que o subordinado a certas deformações admissíveis, tornando o aço-liga contra-indicado, já que o problema não é m
problema não é mais de resistêncais de resistência.ia.
Os aços-carbono, de baixo e médio teor, são muito usados na fabricação de eixos e árvores. Os aços-carbono, de baixo e médio teor, são muito usados na fabricação de eixos e árvores. Aços muito empregados são os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 2340, Aços muito empregados são os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 2340, 2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e
2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140.5140. Como vemos, uma grande variedade de material existe para
Como vemos, uma grande variedade de material existe para a confecção de eixos e árvores. Aa confecção de eixos e árvores. A seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e características seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e características especiais por ventura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista deve procurar especiais por ventura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista deve procurar sempre maiores conhecimentos, pois, praticamente qualquer material ferroso, não-ferroso ou sempre maiores conhecimentos, pois, praticamente qualquer material ferroso, não-ferroso ou não metálico pode ser usado, por uma razão qualquer, na execução de um eixo ou uma não metálico pode ser usado, por uma razão qualquer, na execução de um eixo ou uma árvore.
árvore.
TABELA 1 TABELA 1
Características dos materiais para eixos Características dos materiais para eixos
Número Número SAE/AISI SAE/AISI
C
Coonnddiiççããoo TTeemmppeerraattuurraa
ºC ºC Tensão de Tensão de escoamento escoamento MPa MPa Tensão de Tensão de ruptura ruptura MPa MPa Alongamento Alongamento % % Redução de Redução de Área Área % % Dureza Dureza Brinell Brinell 11003300 TT&&R R T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R Normalizado Normalizado Recozido Recozido 205 205 315 315 425 425 540 540 650 650 925 925 870 870 848 848 800 800 731 731 669 669 586 586 521 521 430 430 648 648 621 621 579 579 517 517 441 441 345 345 317 317 17 17 19 19 23 23 28 28 32 32 32 32 35 35 47 47 53 53 60 60 65 65 70 70 61 61 64 64 495 495 401 401 302 302 255 255 207 207 149 149 137 137 1040 1040 T&R T&R T&R T&R Q&T Q&T Normalizado Normalizado Recozido Recozido 205 205 425 425 650 650 900 900 790 790 779 779 758 758 634 634 590 590 519 519 593 593 552 552 434 434 374 374 353 353 19 19 21 21 29 29 28 28 30 30 48 48 54 54 65 65 55 55 57 57 262 262 241 241 192 192 170 170 149 149 1050 1050 T&R T&R T&R T&R T&R T&R Normalizado Normalizado Recozido Recozido 205 205 425 425 650 650 900 900 790 790 1120 1120 1090 1090 717 717 748 748 636 636 807 807 793 793 538 538 427 427 365 365 99 13 13 28 28 20 20 24 24 27 27 36 36 65 65 39 39 40 40 514 514 444 444 235 235 217 217 187 187 11006600 TT&&R R T&R T&R T&R T&R Normalizado Normalizado Recozido Recozido 425 425 540 540 650 650 900 900 790 790 1080 1080 965 965 800 800 776 776 626 626 765 765 669 669 524 524 421 421 372 372 14 14 17 17 23 23 18 18 22 22 41 41 45 45 54 54 37 37 38 38 311 311 277 277 229 229 229 229 179 179 11009955 TT&&RR 331155 11226600 881133 1100 3300 337755
T&R T&R T&R T&R T&R T&R Normalizado Normalizado Recozido Recozido 425 425 540 540 650 650 900 900 790 790 1210 1210 1090 1090 896 896 1010 1010 658 658 772 772 676 676 552 552 500 500 380 380 12 12 15 15 21 21 99 13 13 32 32 37 37 47 47 13 13 21 21 363 363 321 321 269 269 293 293 192 192 11114411 TT&&R R T&R T&R 315 315 540 540 1460 1460 896 896 1280 1280 765 765 99 18 18 32 32 57 57 415 415 262 262 44113300 TT&&R R T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R Normalizado Normalizado Recozido Recozido 205 205 315 315 425 425 540 540 650 650 870 870 865 865 1630 1630 1500 1500 1280 1280 1030 1030 814 814 670 670 560 560 1460 1460 1380 1380 1190 1190 910 910 703 703 436 436 361 361 10 10 11 11 13 13 17 17 22 22 25 25 28 28 41 41 43 43 49 49 57 57 64 64 59 59 56 56 467 467 435 435 380 380 315 315 245 245 197 197 156 156 4140 4140 4140 4140 T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R T&R Normalizado Normalizado Recozido Recozido 205 205 315 315 425 425 540 540 650 650 870 870 815 815 1770 1770 1550 1550 1250 1250 951 951 758 758 1020 1020 655 655 1640 1640 1430 1430 1140 1140 834 834 655 655 655 655 417 417 88 99 13 13 18 18 22 22 18 18 26 26 38 38 43 43 49 49 58 58 63 63 47 47 57 57 510 510 445 445 370 370 285 285 230 230 302 302 197 197 44334400 TT&&R R T&R T&R T&R T&R T&R T&R 315 315 425 425 540 540 650 650 1720 1720 1470 1470 1170 1170 965 965 1590 1590 1360 1360 1080 1080 855 855 10 10 10 10 13 13 19 19 40 40 44 44 51 51 60 60 486 486 430 430 360 360 280 280 Observação: T&R significa Temperado e Revenido.
Observação: T&R significa Temperado e Revenido. Fonte: SAE Handbook, Society of
Fonte: SAE Handbook, Society of Automotive Engineers, Warrendale,,2000.Automotive Engineers, Warrendale,,2000.
5.3 -
5.3 - Carregamento estáticoCarregamento estático
A determinação das dimensões de uma árvore é muito simples quando sujeita somente a A determinação das dimensões de uma árvore é muito simples quando sujeita somente a ca
carrerregamgamentento o estestátiático, co, priprincincipapalmelmente nte se se comcomparparado ado a a quaquando ndo se se tem tem carcarregregameamentonto dinâmico. E mesmo com carregamento dinâmico, muitas vezes é necessário se ter uma boa dinâmico. E mesmo com carregamento dinâmico, muitas vezes é necessário se ter uma boa noção das dimensões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se noção das dimensões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se antes uma análise como se o
antes uma análise como se o carregamento fosse estático.carregamento fosse estático.
5.3.1 - Carregamento estático sujeito à flexão,
5.3.1 - Carregamento estático sujeito à flexão, torção e esforço axialtorção e esforço axial
As tensões em um ponto na superfície de uma árvore de diâmetro (d), sujeita a flexão, torção As tensões em um ponto na superfície de uma árvore de diâmetro (d), sujeita a flexão, torção e carregamento axial, são:
e carregamento axial, são:
2 2 3 3 4 4 32 32 d d F F d d M M x x ∗∗ ∗∗ + + ∗∗ ∗∗ = = π π π π σ σ (1)(1)
3 16 d T xy
∗
∗
=
π τ (2)Onde a componente axial (F) de σxpode ser positiva ou negativa. Nós observamos que há três
carregamentos. Momento (M), força (F) e torque (T) aparecem na seção, contendo o ponto específico na superfície.
Usando o círculo de Mohr, podemos mostrar que as 2 principais tensões não nulas são:
( ) 2 1 2 2 2 − + ± = ∗ xy x x b a τ σ σ σ σ (3)
Estas tensões podem ser combinadas de forma a obter a máxima tensão de cisalhamento (τmax)
e a tensão de Von Mises (σ’); dando em:
= − = 2 max b a σ σ τ ( ) 2 1 2 2 2 + xy x τ σ (4)
(
)
(
)
2 1 2 2 2 1 2 2 3 ' xy x b b a a σ σ σ σ τ σ σ=
−
∗
+
=
+
∗
(5)Substituindo as equações (1) e (2) em (4) e (5) teremos:
(
) ( )
[
]
2 1 2 2 3 max 8 8 2 T D F M d
∗
∗
+
∗
+
∗
∗
=
π τ (6)(
)
[
]
2 1 2 2 3 8 48 4 ' M F d T d∗
∗
+
∗
+
∗
∗
=
π σ (7)Estas equações nos permitem determinar τmax ou σ’ quando o diâmetro (d) é dado ou
determinar o diâmetro quando tivermos posse das tensões.
Se a análise ou projeto da árvore for baseada na teoria da máxima tensão de cisalhamento, então τmaxé: n S n S Sy y all
∗
=
=
2 τ (8)As equações (6) e (8) são úteis para a determinação do fator de segurança (n), se o diâmetro for conhecido, ou para determinar o diâmetro se o coeficiente de segurança for conhecido. Uma análise similar pode ser feita levando-se em conta a teoria da energia de distorção para falhas, onde a tensão de Von Mises é:
n S y
all =
'
τ (9)
5.3.2 - Carregamento estático sujeito à flexão e torção
Em várias aplicações, a componente axial (F) das equações (6) e (7) é próxima de zero ou tão pequena em relação às outras que pode ser desconsiderada. Daí terão:
2 1 2 2 3 max ( ) 16 T M d + ∗ ∗ = π τ (10)
(
)
∗ + ∗ ∗ ∗ = 2 1 2 2 3 4 3 16 ' M T d π σ (11)É mais fácil resolver estas equações para se encontrar o diâmetro. Substituindo as equações (8) e (9) temos:
(
)
3 1 2 1 2 2 32 + ∗ ∗ ∗ = M T S n d y π (12)Usando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, se o diâmetro for conhecido, calcula-se n da seguinte forma:
(
)
2 1 2 2 3 32 1 T M S d n = π ∗ ∗ y ∗ + (13)Se usarmos como base a teoria de energia de distorção, teremos:
(
)
3 1 2 1 2 2 3 4 16 ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ = M T S n d y π (14)(
)
2 1 2 2 3 4 3 16 1 T M S d n y ∗ + ∗ ∗ ∗ = π (15) Onde: n = fator de segurança. n = 1,5 a 2,0 Sy = limite de escoamento do material M = momento Máximo no eixoT = torque máximo
5.4 – Exercícios resolvidos - carregamento estático sujeito à flexão e torção
1. Qual o diâmetro de um eixo mostrado na FIG. 2, feito de um aço AISI 1035 laminado?
= = rpm n kW Motor N F 1750 73 , 3 700 I) Torque: n H T . . 10 30 3 π × =
, onde H=> Potência em KW, tem-se:
m N T T . 35 , 20 1750 . 73 , 3 . 10 30 3 = × = π II) Momento: m N M L F M . 5 , 52 2 3 , 0 . 2 700 2 . 2 = = = III) Material:
Pela Tabela => S y = 462 MPa IV) Segurança: Usar n=2. V) Diâmetro:
(
)
(
)
mm d d T M Sy n d 54 , 13 35 , 20 5 , 52 10 462 . 2 . 32 . 32 3 1 2 1 2 2 6 3 1 2 1 2 2 = + × = + = π π2. Do exercício anterior visto, tem-se:
mm d 13,47 2 n 462MPa S 20,35N.m T 52,5N.m M y
=
=
=
=
=
MPa 5 , 551 S 462MPa S 20,35N.m T 52,5N.m M u y = = = = è Se=
Ka.Kb.Kc.K d.Ke.Kf.Se'170,1MPa Se ) 10 551,5 . ,504 1)(1)(1)(0 5)(0,923)( (0,78)(0,8 Se 1,0 Kf 1,0 Ke 1,0 Kd 1520MPa) 0,923(S Kc 0,85 Kb 0,78 Ka 6 u = × = = = = < = = = mm d d 50 , 18 10 5 , 551 35 , 20 10 1 , 170 5 , 52 2 . 32 3 1 2 1 2 6 2 6 = × + × = π
5.5 - Dimensionando Eixos pela Norma ASME
Observação: a norma ASME para Eixo de Transmissão: - Não considera fadiga
- Não considera concentração de tensão
Segundo a norma ASME – as máximas tensões são cisalhantes:
yt d =0,30.S τ ut d =0,18.S τ (16) d
τ = máxima tensão cisalhante admissível =
yt
S tensão escoamento admissível
= u
S tensão de ruptura admissível
As normas prevêem que se as concentrações de tensões estiverem presentes devido ao entalhe em chavetas, a tensão máxima admissível deve ser diminuída em 25%. A máxima tensão cisalhante em um eixo submetido à flexão-torção é dada por:
2 2 max 2 xy a τ σ τ + = (17) 3 4 . . 32 2 . 64 . . d M d d M y I M x π π σ
=
=
=
3 4 . . 16 2 . 64 . . d T d d M y I T x π π τ=
=
=
logo, 2 3 3 max . . 16 . . 32 . 4 1 + = d T d M x π π τ 2 2 3 min . 16 T M d + = π τ = x=
xy
τ
tensão de torção (MPa)
=
M momento de flexão (N.mm)
T = momento de torção (N.mm) d = diâmetro dp eixo (mm)
Segundo o critério da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de correção devido a choques e fadiga.
2 2 3 . . . 16 T M d T d
=
+
π τ →(
2) ( )
2 3 . . . . 16 T C M C d T t m d=
+
π τ → Fórmula da ASME (19)para diâmetro de eixos baseado na teoria da máxima tensão cisalhante. Fatores C m e Ct dados
na tabela.
5.6 - Eixos e árvores sujeitos à fadiga
Qualquer árvore girante que sofre momento de flexão e torção fixas está sujeita a uma inversão, reversão completa da tensão causada pelo giro da árvore, mas a tensão de cisalhamento permanecerá a mesma.
3 32 d M a xa ∗ ∗ = π σ (20) 3 16 d T m xym
∗
∗
=
π τ (21) onde:σxa= Tensão de Amplitude Alternada
τxym= Tensão de Cisalhamento Constante
Estas duas tensões podem ser manipuladas usando dois círculos de Mohr. Se estivermos usando a teoria de máxima tenção de cisalhamento, teremos:
a a τ σ =2∗ (22) m m τ σ =2∗ (23) Se estivermos usando a teoria da energia de distorção, teremos:
xa a σ σ = (24) xym m τ σ = 3∗ (25)
5.6.1 - Critério de fadiga – Goodman
Para qualquer eixo carregado com um momento de flexão e torção fixa, estará submetido a uma flexão reversa provocando tensões alternadas e torção estacionária, provocando tensões médias. Assim, tem-se:
3 32 d M a ax π σ = 3 16 d T m mxy π τ
=
(26)Usando estas expressões e a equação da linha de Goodman: 1 = + u m e a S S σ σ (27) Pode-se obter, após desenvolvimento analítico:
3 1 2 1 2 2 32 + = u m e a S T S M n d π (28)
5.6.2 – Critério de fadiga - Soderberg
Utilizando o teorema da máxima tensão cisalhante:
3 . . 16 d T xy π τ
=
3 . . 32 d M x π σ=
Para qualquer plano fazendo um ângulo α com o plano horizontal, tem-se:
α π τ α .cos2. . . 16 3 d T m
=
→ valor médio α π τ α . 2. . . 16 3 sen d Ma
=
→ (amplitude da componente alternativa) Por meio da geometria analítica, tem-se que:2 2 3 . 16 . + = se sy S M S T d n π (29) 3 1 2 1 2 2 . . 16 + = se sy S M S T n d π (30)
Para o critério da máxima tensão cisalhante (usada):
3 1 2 1 2 2 . . 32 + = e y S M S T n d π (31) sendo que: S sx =0,5.S x
=
n Fator de segurança. = y S Tensão de escoamento. = eS Limite de resistência à fadiga.
Para casos mais gerais usar equação:
3 1 2 1 2 2 2 2 . . 32 + + + = y am e a y m e a S M S M S M S T n d π (32) onde:
= a T Torque (amplitude)
=
m T Torque médio = a M Momento (amplitude) = am M Momento médio5.7 - Exercícios resolvidos - critério de fadiga por Soderberg
1. Um eixo usinado é fabricado de um aço com Sut = 550 MPa. Calcular n. Dado: T = 6,0 KN 500 . 175 1 F R =
→
500 . 325 1 F R = = a σ tensão alternada 2 min max σ σ σ a=
−
=σ max a e S n σ=
MPa c I M a = =100 σ mm N F L R M .200 420 . 500 . 175 . 1 = = = 64 .d 4 I =π onde: 32 . 3 d c I π = e 2 d c = c I M K F a=
. σ e e d c b a e K K K K K S S = . . . ´ u e S S ´ =0,504. b u a a S K=
.→
a = 4,51 e b = -0,265 847 , 0 550 . 51 , 4 0,265=
=
− a K 841 , 0 62 , 7 1133 , 0 = = − d K b 1 = = d c K K f e K K = 1 = f K =0,0857 d r → 72 , 1 = t K → =1,428 d D( 1)) 1,58 0,80 . 1
+
−
=
→
=
=
q K q K f t logo, 0,633 58 , 1 1 = = e K logo, MPa S e =124,4 25 , 1 08 , 99 4 , 124=
=
=
a e S n σ2. A transmissão representada na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de indução, trifásico, com potência P= 3,7 kW e rotação n= 1140 rpm. Dimensionar o diâmetro da árvore 2, sabendo-se que a árvore é maciça e o material utilizado possui Su = 700 MPa, Sy = 630 MPa e o fator de projeto é 1,8, com as engrenagens enchavetadas no eixo (adotar K f = 2,8). As engrenagens são cilíndricas (ECDR) e
possuem as seguintes características geométricas:
Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 dentes; m= 2,5 mm e ângulo de pressão 20º.
FIGURA 3 - Exercício resolvido 1.
Calculemos o torque na árvore 1
1 2 2 . . 3000 Z Z n P M T π
=
A potência do motor - P = 3700 W Portanto, 23 49 . 1140 3700 . 3000 2 π = T M→
M T 2=
66.030 N .mm Esforços na transmissão: Força tangencial (FT)Força tangencial (no primeiro par) Diâmetro primitivo
2 2 0 . 2 d M F T
=
T 49 . 5 , 2 . 2 02=
mZ=
d→
d 122,5mm 2 0 = 5 , 122 66030 2 x F T =→
F T =1.078N Diâmetro primitivo: 28 . 5 , 2 . 3 03=
m Z=
d→
d 03 =70mm 70 66030 2 x F T =→
F T =1.887NForça radial no primeiro par
º 20 .tg F F R
=
T º 20 . 1078 tg F R =→
F R =392NForça radial no segundo par
º 20 .tg F F R
=
T º 20 . 1887 tg F R =→
F R =687N Momento fletor Plano vertical 100 . 392 500 . 687 . 600 0+
=
=
Σ
V B A R M N R BV =638 687 392 0+
=
+
=
Σ
BV V A y R R F N R AV =441FIGURA 4 – Forças cisalhantes, diagrama de momento fletor no plano vertical.
400 . 392 500 . max = R AV − M mm N M max =63.700 . Plano Horizontal 500 . 1887 100 . 1078 . 600 0
−
=
=
Σ
H B A R MN R B H =−1393 1887 1087 0
−
=
+
=
Σ
BH H A y R R F N R A H =584 2 2 max M H M V M = + 2 2 max = 63700 +139300 M mm N M max =153.174 .FIGURA 5 - Forças cisalhantes, diagrama de momento fletor no plano horizontal.
Cálculo do diâmetro considerando cargas estáticas TMTC: 3 1 2 1 2 2 ) .( . . 32 + = M T Sy n d π 3 1 2 1 2 2 ) 66030 153174 .( 630 . 8 , 1 . 32 + = π d
→
d =16,95mm TED 3 1 2 1 2 2 ) . 3 . 4 .( . . 16 + = M T Sy n d π→
d =16,99mmCálculo do diâmetro, considerando carregamento dinâmico:
u e S S ' =0,504. 700 . 504 , 0 ' = e S
→
S e 352,8MPa ' = b u a a S K=
.→
a = 4,51 e b = -0,265 784 , 0 700 . 51 , 4 0,265 = = − a K 1133 , 0 62 , 7 − = d K b 91 , 0 62 , 7 93 , 16 0,1133 = = − b K 1 = = d c K K f e K K = 18 , 2 = f K
→
K e =0,357 ' . . . . . b c d e e a e K K K K K S S=
8 , 352 357 , 0 1 1 91 , 0 784 , 0 x x x x x S e=
Cálculo do diâmetro pelo critério de Goodman:
3 1 2 1 2 2 . . 32 + = Su Tm Se Ma n d π 3 1 2 1 2 2 700 66030 86 , 84 3 , 155215 . 8 , 1 . 32 + = π d
→
d 32,15mm=
5.8 – Chavetas / pinosChavetas e pinos são dispositivos mecânicos usados para fixar no eixo engrenagens, polias e outros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido através dele. Os pinos são usados com duplo propósito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos.
FIGURA 6 – Chavetas e Pinos.
5.9 - União de eixos com cubos
O cubo é a parte central do elemento (polia, engrenagem etc.) onde é realizado um rasgo para a fixação da chaveta.
FIGURA 7 – União de eixos com chavetas cúbicas.
A chaveta é uma peça que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente, fazendo a união dos mesmos.
Os principais tipos de chavetas, as mais usadas, são definidas por normas (padrões). Estas chavetas são do tipo:
• Chaveta meia-lua (woodruff ); • Chaveta plana;
• Chaveta inclinada.
A FIG. 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do rasgo. Observar que os rasgos das chavetas meia-lua são usinados com fresa circular; e as chavetas planas e inclinadas, com fresa circular e de topo.
Para exemplificar os padrões de chavetas, tem-se:
• Uniões por adaptação de forma.
• Uniões por adaptação de forma com pretensão. • Uniões por atrito.
• Chaveta meia-lua.
FIGURA 8 – Tipos de Chavetas.
5.10 - Dimensionamento de chavetas
Como já foi visto anteriormente, as chavetas são tabeladas quanto à sua secção. O dimensionamento da chaveta consiste em determinar o seu comprimento mínimo (L), como é o caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas).
FIGURA 9 – Dimensionamento das chavetas.
FIGURA 10 – Tensões atuantes nas chavetas.
Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmissão de potência do eixo para a polia força a chaveta de forma inclinada. Esta força (F) tende a cisalhar (rasgar) a seção AA’
da chaveta. Logo: L t F A F .
=
=
τ Modelo Matemático (33)Comparando-se com o limite de resistência cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator de segurança n, tem-se: n S L t F n S sy sy
=
⇔
=
. τ (34)5.11 – Exercícios resolvidos – chavetas
1. Um eixo de aço AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40 mm e uma engrenagem, que transmitirão 22,38 KW a uma rotação de 1100 rpm. Usar fator de segurança n = 3,0.
2 d T F = => Força na chaveta mm R d R 20 2 40 2 = ⇒ = = Como: n H T . . 10 30 3 π ×
FIGURA 11 – Aplicação de chaveta. m N T T 194,2 . 1100 . 38 , 22 . 10 30 3 = ⇒ × = π Logo: N F F 9713 10 20 2 , 194 3
⇒
=
×
=
−Para a chaveta, temos:
mm L L S n t F L n S L t F sy sy 7 , 19 10 185 3 . 008 , 0 9713 . . . 6 = × = = =
è Observar que o comprimento mínimo é L = 19,7 mm como a geometria do cubo é
maior do que o diâmetro do eixo, e como as chavetas têm o comprimento do cubo, pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada é:
mm L≥ 40
5.12 - Vibração de eixos
A FIG. 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em um eixo, na metade da distância entre os mancais. A massa do eixo será considerada desprezível se comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de precisão há, contudo, uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relação ao eixo de rotação. Por causa da excentricidade, a força centrífuga ocasionada pela rotação do eixo faz com que este sofra uma deflexão r. Visto pela extremidade do eixo como na FIG. 12, o centro O do disco parece estar girando em torno do eixo de rotação sobre uma circunferência de raio r. A força de inércia causada por este movimento forçado é Fo = M(r + e) w2. Pela equação do
2 0 ( ) 0 F M r e w kr = + − =
∑
(35)FIGURA 12 - Rotor com disco,Fonte: H.H.Mabie,Dinâmica das Máquinas, p.547
Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equação (35) da seguinte forma:
(
)
2 2 ew r k w M=
−
(36)Quando a velocidade ω do eixo for igual a k M / , o denominador da equação (36) se anulará
e r atingirá valores intoleravelmente grandes. A rotação do eixo assim defletido parece com uma viga em vibração quando vista do lado onde somente se pode observar a projeção do movimento. Portanto, pode-se considerar k M / do eixo rotativo como a freqüência circular natural ωn da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibração.
Pode-se escrever a equação (36) na forma adimensional:
2 2 ( / ) 1 ( / ) n n w w r e
=
−
w w (37)Quando ω for igual a ωn= k M / ,tem-se a condição crítica de rotação, devido às amplitudes
muito grandes da vibração do eixo. Na condição crítica, chama-se ω de ωc e a velocidade de
60 60 2 2 c c n n w w π π = = (38)
onde ω n = k M / normalmente é expresso em rad/s. Assim, nc é a velocidade crítica em
rotação por minuto, k está em Newtons por metro e M em quilogramas. Pode-se calcular a constante k da mola através da deflexão estática δest do eixo devido ao peso do rotor. Assim, k
= Mg/δest e quando substituído na equação (38) a velocidade crítica será expressa pela
seguinte equação: 1 30 c est n δ = (39)
.A velocidade crítica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga pode ser calculada em termos das dimensões do eixo e do módulo de elasticidade E do material do eixo. 4 3 46 c Ed n Pl = (40)
De acordo com a equação (40), pode-se alterar o material e as dimensões do eixo, assim como o peso, de modo que a velocidade crítica nc seja superior ou inferior à velocidade de
projeto n na qual se deseja operar. Caso n/nc for menor do que 0,707 ou maior do que 1,414, r
será menor do que o dobro da excentricidade e. É interessante observar que em velocidades muito acima da crítica (ω/ωn>>1,0), o valor de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de
massa de M estará no eixo de rotação. Neste caso a massa não estará oscilando, porém o eixo oscilará em torno do centro de massa de M.
No caso da massa do eixo ser grande o bastante para não ser desprezada, e o eixo ter diâmetro constante, deve-se somar à massa M 50 por cento da massa m do eixo,determinando-se a freqüência circular natural.
( 0,5 ) n k w M m = + (41)
Conforme mostra a FIG. 12, supõe-se que os mancais do eixo sejam rígidos. Em certos casos, pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o δest da equação
(39) deverá incluir a deflexão estática dos apoios assim como a deflexão do eixo.
5.13 - Freqüência natural e velocidade crítica
Pode-se ter uma variedade muito grande de configurações de rotores desde que sejam usadas diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de diâmetros variáveis. Embora as curvas do fator de amplificação sejam difíceis de serem obtidas matematicamente, as
velocidades críticas dos eixos são determinadas com relativa facilidade através de cálculos de freqüência natural.
5.14 - Freqüência natural de eixos com diversas massas
Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a FIG. 13a, pode-se determinar a freqüência circular natural ωn do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem amortecimento,
após uma deflexão inicial no primeiro modo de vibração.
Considerando que o sistema vibratório é conservativo, a soma da energia potencial e da cinética é constante em qualquer fase da vibração. Na fase em que todas as massas estão simultaneamente nos máximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente no eixo é igual à energia potencial ∑ FY/2. Nesta fase, a energia cinética é zero porque todos os pontos do sistema estão com velocidade zero. A energia potencial será então:
1 1 2 2 ... 2 2 2 n n F Y F Y F Y EP
= + + +
(42)As forças F são as necessárias para a deflexão do eixo, como se fosse uma mola, até ficar com a conformação mostrada nesta fase. O produto força-deslocamento determina energia potencial.
Durante a vibração, o eixo passa pela fase de repouso (não deformada) na qual a energia potencial é zero, mas a energia cinética é máxima porque as velocidades das massas são
máximas. Considerando que as massas têm movimento harmônico simples, a energia cinética do sistema será então dada pela equação (43).
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 ... 1 1 2 2 ... 2 2 n n n n n n w w EC M Y M Y M Y PY P Y P Y g = + + + = + + + (43)
(a) Flexão dinâmica
d 1 d 2 d 3 W1 W2 W3 (b) Flexão estática
FIGURA 13 – Flexão,conforme Mabie, Dinâmica das Máquinas, pg.550
Considerando que os deslocamentos Y da vibração são proporcionais às deflexões δ da deformação estática, então
1 2 1 2 ... n n Y Y Y δ
=
δ= =
δ (44)A equação resultante que dá a freqüência circular natural será:
[
1 1 2 2]
2 2 2 2 1 1 2 2 ... ... n n n n n P P P w g P P P δ δ δ δ δ δ + + + = + + + 2 2 n P w g P δ δ =∑
∑
(45)e a velocidade crítica pode-se determinar de nc= 60 ωn /2π.
A equação de Rayleigh, equação (45), é uma expressão utilizada para determinar a freqüência natural fundamental de muitos tipos de rotores. As fórmulas de deflexão de vigas, para inúmeros casos, estão disponíveis em livros-texto de resistência dos materiais e em manuais. Pode-se aplicar o método da área do diagrama de momento fletor e outros, em casos gerais. Dispõe também de métodos gráficos, para a determinação das deflexões estáticas de rotores com eixos de diâmetros variáveis.
Para inclusão da massa do eixo nos cálculos, deve-se dividi-lo em diversos comprimentos, cada um tratado como se fosse uma massa adicional.
A equação (45) não é estritamente uma avaliação exata da freqüência natural porque a curva das deflexões estáticas não é proporcional à curva deflexões dinâmicas, como foi considerado. Entretanto, o resultado obtido na equação é somente um ou dois por cento superior à freqüência natural verdadeira.. A deflexão dos apoios pode ter uma influência maior sobre as velocidades críticas e devem ser acrescidas as deflexões do eixo.
A freqüência natural dada pela equação (45) é a fundamental, ou a mais baixa freqüência do sistema de massas. É desejável, portanto, se possível, projetarem-se as dimensões de um eixo de tal modo que a velocidade crítica mais baixa seja superior à velocidade de projeto.
Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na FIG. 14a, deve-se inverter os sentidos dos pesos como indica a FIG. 14b na determinação das deflexões estáticas.
(b)
FIGURA 14 – Freqüência natural da estrutura
5.15 – Exercícios resolvidos – vibrações em eixos- Fonte: Mabie,H. Dinâmica das Máquinas.
1. Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina de 15 kg são montados em um eixo de aço conforme mostra a FIG. 13a. O eixo deve operar à velocidade prevista de 10.000 rpm. Empregando a equação de Rayleigh (47), determine o diâmetro do eixo mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade crítica fundamental de 12.000 rpm, com uma margem de segurança de 2.000 rpm.
(d)
FIGURA 15 – Aplicação de vibrações em um eixo.Fonte: H.H.Mabie,Dinämica das Máquinas, p553.
(a)
(a)
(b)
Conforme a FIG. 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de deflexão
com o formato do uma meia-onda simples. As FIG. 15c e 15d mostram a forma da viga deformada sob a ação de cada carga atuando independentemente, conduzindo assim a dois casos cuja fórmula deflexão estática mostrada a seguir encontra-se em livros-texto de resistência dos materiais. Pelo método da superposição, pode-se determinar as deflexões δ 1 e
δ2: 3 2 1 2 1 1 1 3 2 48 16 1 25 0, 50 15 0, 50 0, 25 0,12369 48 16 A A A A Pl P l a EI EI EI EI δ = + = δ ′ δ ′′ + = × × × = + = 2 2 1 2 2 2 2 ( ) 0,322 16 A 3 A A Pl a P a l a EI EI EI δ =δ ′ +δ ′′ = + + = Usando-se a equação (47), 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 25 0,12369 15 0,332 25 0,12369 15 0,332 n A P P w g gEI P P δ δ δ δ + × + × = = + × + × Para g= 9,81m/s² e E= 2,1 x 1010 kg/m² 2 10 10 2 81, 678 10 0,012243 10 n A A n w I I − w = × = × Para nc= 12.000 rpm 2 1260 rad/s 60 c n n w = π =
Portanto, o momento de inércia necessário do eixo é:
10 2 0, 012243 10 1260 A I
=
×
−×
Como IA= πd4/64, 4 64 -10 395973, 4762 10 A d I π=
=
×
0,0793 79,9 d=
m=
mmDeve-se usar um diâmetro de 80 mm.
2. Os apoios do rotor do exemplo 1, FIG. 15a, foram considerados como rígidos. Determine a velocidade crítica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer uma deflexão de 0,14/EIAsob um carregamento estático. Use IA= 1,84 x 10-6 m4e E =
Devido à flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 terão uma deflexão adicional.
Conforme indica a FIG. 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para baixo e o da direita para cima. Como se pode ver, não há influência sobre a deflexão
da carga P1, porém o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexões
estáticas totais são:
1 0,12369 A EI δ
=
2 0,332 0, 28 0, 612 A A A EI EI EI δ=
+
=
. Substituindo estes valores na equação (47),2 774602 880,1 rad/s 60 60 (880) 8404 rpm 2 2 n n c n w w n w π π
=
=
=
=
=
5.16 - Eixos escalonadosA equação (45) para velocidade crítica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na FIG. 15a, no qual o diâmetro varia em degraus Entretanto, como IA é variável em tais casos, não
se derivam com facilidade para as deflexões estáticas. Pode-se usar um dos diversos métodos gráficos, tal como o seguinte:
FIGURA 16 – Eixos escalonados.
Deve-se recordar da resistência dos materiais, que para se determinar a deflexão estática deve-se resolver a equação diferencial básica:
2 2 d dx A y M EI = (46)
Nesta equação y é a deflexão, M é o momento fletor como função de x, e IA é o momento de
inércia da seção reta do eixo, como função de x. Integrando-se duas vezes a equação (46),
0,14 A EI 0,14 A EI 0,28 A EI
obtém-se a deflexão da viga. A primeira integração conduz a dy/dx, inclinação da curva elástica da viga deformada. Além disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de duas integrações para a obtenção do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de quatro integrações para se obterem as deflexões a partir do carregamento conhecido.
Como o processo de integração é o somatório de áreas sob as curvas, pode-se empregar um método gráfico para um somatório para vigas complexas que têm funções com numerosas descontinuidades. O método gráfico exige que as curvas sejam traçadas em escala a fim de que as áreas sob as curvas possam ser avaliadas através da medição de quadrados.
A FIG. 17a mostra um rotor de aço com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de três diâmetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A FIG. 17a é um diagrama de carregamento a partir do qual se pode determinar o diagrama de esforço cortante mostrado na FIG. 17b através de métodos convencionais (a primeira integração). Obtém-se o diagrama de momento fletor da FIG. 17c através das áreas do diagrama de esforço cortante (a segunda integração). Deve-se levar em conta o sinal de cada área. Deve-se multiplicar as áreas em milímetros quadrados pelo fator de conversão apropriado obtido das escalas do diagrama de esforço cortante, afim de que as ordenadas do diagrama de momento fletor sejam em N/mm.
(a)
(b)
(c)
(e)
(f)
FIGURA 17 – Deflexões em um eixo de carregamento conhecido.,Fonte: Mabie,H. Dinâmica das Máquinas,p.556.
Após as integrações ,transforma-se o diagrama de momento fletor no diagrama M/EIA,
conforme exigido pela equação (46). Divide-se cada ordenada do diagrama de momento fletor pelo valor adequado de EIA para obtenção das ordenadas M/EIAda FIG. 17d. Obtêm-se
as ordenadas da FIG. 17 e representando a inclinação dy/dx da elástica (terceira integração) através das áreas do diagrama M/EIA. As ordenadas traçadas a partir do eixo x' são todas
positivas. Entretanto, sabe-se do formato esperado da elástica que as inclinações são negativas perto da extremidade da esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas proximidades do meio da viga há uma inclinação nula. Assim, traça-se o eixo x escolhido
arbitrariamente de tal modo que as áreas negativas sejam aproximadamente iguais às positivas, na FIG. 17e. Faz-se a quarta integração usando-se as áreas da FIG. 17e para obtenção das ordenadas da deflexão estática y na FIG. 17f. As ordenadas da deflexão estática são negativas porque as áreas da curva dy/dx são negativas na extremidade da esquerda, onde se inicia a integração.
Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores:
2 2 6 2 c 2,94 0,0385 0,794 10 865 rad/s 60(865) n 8260 rpm 2 n n Py N mm Py mm Py w g Py w π
=
×
=
×
=
=
×
=
=
=
∑
∑
∑
∑
5.17 - Velocidades críticas de ordem superior
Para rotores que têm eixos de diâmetros variáveis, como no item precedente, a determinação da segunda velocidade crítica e das velocidades de ordem superior quanto à flexão é
relativamente mais complexa do que o cálculo da velocidade crítica fundamental da equação (45). O livro-texto de Timoshenko apresenta métodos para rotores com tais eixos e para um número de rotores com eixos uniformes com e sem massas concentradas. No caso de vigas uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes em balanço para as quais a fórmula seguinte (47) calcula as diversas freqüências naturais:
3 A n n EI g w C Pl
=
(47)onde Cn é o coeficiente que indica a n-ésima freqüência natural P e o peso total da viga em
kg, e / e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmissão do automóvel e eixo de bobina são exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de
compressores e de turbinas são exemplos aproximados de vigas uniformes em balanço.
5.18 - Eixos escalonados
Quando o eixo tem os diâmetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados na FIG. 18, a constante da mola torcional é variável. Pode-se determinar uma constante equivalente k t em função das constantes individuais k l, k 2, k 3...K n. Para molas em série, o
torque instantâneo T em cada seção do eixo é o mesmo. Entretanto, os ângulos de torção são diferentes. O ângulo total de torção Φté a soma de todos os ângulos individuais de torção.
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ... ... 1 1 1 1 1 ... 1 1 n t n t n t T T T T T k k k k k k k k k k k k φ φ φ φ
= + + + +
φ= + + + +
= + + + +
=
∑
(48)Para o rotor com dois discos e com eixos de diâmetro variável, pode-se substituir k t,
determinado pela equação (48).
FIGURA 18 - Eixo e mancais. Fonte: Mabie, Dinâmica das Máquinas, p.568.
1. O eixo da figura suporta uma engrenagem cilíndrica de dentes retos para uma rotação de 315 rpm. O diâmetro primitivo da engrenagem é de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm, t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem é enchavetada no eixo. A carga total atuando no eixo é de 15 KN.
FIGURA 19 - Exercício proposto 1.
2. Um eixo é fabricado com aço AISI 1137, laminado a frio, e é usado em um cortador de grama. A potência é suprida ao eixo por uma correia plana à polia A. Em B, uma corrente de rolos exerce uma força vertical e em C uma correia trapezoidal também exerce uma força vertical. Nas condições de operação a correia transmite 35 HP a 425 rpm, das quais 25 HP são transmitidas ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas seções do eixo são unidas por um acoplamento flexível em D e as polias são todas enchavetadas no eixo. Decida qual serão os diâmetros dos eixos, utilizando a teoria de falhas de Von Mises e o critério de Goodman.
FIGURA 20 - Exercício proposto 2.
3. Um eixo S de aço AISI 1137, laminado a frio, transmite potência que recebe de um eixo W, que gira a 2000 rpm através de uma engrenagem E de 125 mm de diâmetro à engrenagem A de 375 mm de diâmetro. A potência é transmitida de uma engrenagem C para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante uma rotação de do eixo S. O projeto leva em conta as tensões variáveis e a teoria da máxima tensão cisalhante TMT|C e o critério de Goodman. Para um fator de projeto n=1,8, calcule o diâmetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras.
FIGURA 21 - Exercício proposto 3.
4. Idêntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem também ser consideradas, todas as engrenagens com ângulo de pressão 20o.
5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da engrenagem C.
6. Um pequeno eixo é fabricado com aço SAE1035, laminado a quente, recebe potência de 30 HP a 300 rpm, através de uma engrenagem de 300 mm de diâmetro, sendo esta potência transmitida a outro eixo através de um acoplamento flexível. A engrenagem é enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ângulo de pressão 20 o, fator de
segurança n=1,5.
(a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o diâmetro do eixo.
