Oficina Porcentagem e Juros

Oficina – Porcentagem e Juros

Esta oficina está dividida em duas partes. A primeira consiste em uma breve revisão, de caráter mais teórico, sobre o conceito de porcentagem e juros. Na segunda parte, os alunos deverão aplicar os conceitos vistos na primeira parte em situações-problema práticas da vida financeira. Esta parte deve ser realizada no laboratório de informática ou em algum ambiente em que os alunos possam usar computadores.

Todas essas etapas têm o objetivo de desenvolver as seguintes habilidades:

 H2 – Efetuar cálculos nos campos aditivos e multiplicativos envolvendo os números reais.  H63 – Calcular juros simples/compostos apresentados em situações do contexto financeiro.

1ª parte – Revisão teórica

Falar para os alunos que esta primeira parte tem o objetivo de relembrar os conceitos de porcentagem e juros. Como é um assunto que os alunos do Ensino Médio já devem conhecer (a oficina deve vir logo depois das aulas 37 e 38), essa revisão deve ser breve. O monitor é livre para pular alguma parte que ache desnecessária.

a) Porcentagem

Propor a seguinte pergunta: O que tem mais água, uma uva ou uma banana?

Caso os alunos se apressem em responder, lembrar que para responder corretamente são necessárias algumas informações. Fornecer a eles os seguintes dados:

- Em uma uva de 5 g, há cerca de 4 g de água.

- Em uma banana de 100 g, há cerca de 75 g de água.

Mostrar aos alunos que há duas interpretações possíveis para a pergunta. Uma possível resposta é que há mais água na banana (75 g, contra 4 g na uva). Nesse caso, estão sendo comparados os valores absolutos de água na banana e na uva.

Entretanto, uma segunda interpretação refere-se aos valores relativos de água, isto é à proporção, ou à parte que a água ocupa em cada fruta. Perguntar aos alunos como eles calculariam essas partes. Conduzir a discussão para a representação fracionária das partes de água em cada fruta:

- Em cada 5 g de uva há 4 g de água. Portanto, a fração de água na uva é 4₅.

Mas a pergunta permanece: qual fração é maior? Lembrar que para comparar frações, é mais fácil deixá-las no mesmo denominador. Para achar uma fração equivalente a 4₅ que tenha denominador 100, por exemplo, basta multiplicar numerador e denominador por 20, chegando à fração ₁₀₀80. Assim, fica fácil concluir que há proporcionalmente mais água na uva do que na banana (₁₀₀80 contra ₁₀₀75). Relembrar os alunos que as frações de denominador 100, que apareceram no problema acima, são chamadas de porcentagens, que são representadas pelo símbolo %:

80

100 = 80% 75

100 = 75%

Mostrar que o termo “por cento” tem exatamente o mesmo significado de centésimo. Assim, as porcentagens são usadas para representar partes, ou proporções, tomando como referência (denominador) o número 100. Portanto, quando se diz que o percentual de água na uva é 80%, isso significa que de cada 100 partes (em massa) da uva, 80 correspondem a água.

Como veremos adiante, porcentagens são muito usadas para quantificar juros. Retomar a representação decimal de porcentagens.

80% = ₁₀₀80 = 0,8 1% = ₁₀₀1 = 0,01

110% = 110₁₀₀ = 1,1 (comentar que esta é uma parte maior do que a unidade, e que isso é perfeitamente possível)

Mostrar aos alunos que existem dois tipos básicos de problemas que envolvem porcentagens: Problema Tipo 1: calcular uma dada porcentagem de um número.

Exemplo: calcular 80% de 5 g

Resolução: devemos multiplicar a porcentagem (na forma decimal é mais simples) pelo número dado.

0,8 ∙ 5 = 4 g.

Problema Tipo 2: calcular qual a porcentagem que um número representa de outro.

Exemplo: O salário mínimo era de R$ 510,00 e passou para R$ 545,00. Qual foi o aumento porcentual?

Reforçar o ponto fundamental: porcentagens são frações de denominador 100!

Resolução:

Primeiramente, deve-se identificar que a questão pede o aumento porcentual. Como o aumento foi de R$ 35.00, deve-se descobrir que porcentagem 35 representa de 510. Para isso, basta dividir 35 por 510.

35

510 = 0,0686...  0,069 = 6,9%.

O quadro abaixo sistematiza a forma de resolver ambos os tipos de problema.

Tipo 1 Calcular x% de y Multiplicar ₁₀₀x por y* Tipo 2 Calcular a porcentagem

que x representa de y Dividir x por y**

* Frequentemente, o cálculo torna-se mais simples se ₁₀₀x for escrito na forma decimal (exemplo 8% =

8

100 = 0,08)

**Dividindo-se x por y na calculadora, o resultado sai na forma decimal. O valor do porcentual é obtido multiplicando o resultado dessa divisão por 100, conforme o exemplo acima.

Exercícios:

- Calcular 12,5% de R$ 500,00. (resposta: 0,125 · 500 = R$ 62,50)

- Calcular que porcentagem 12 representa de 60 (resposta: 12₆₀ = 0,2 = 20%).

b) Juros

Uma boa conceituação de juros encontra-se na enciclopédia Wikipedia. Ler o texto abaixo com os alunos e explicar, caso eles tenham dúvidas no conceito.

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência). Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Juro

A comparação com o aluguel é muito esclarecedora. Quando uma família aluga (toma emprestado) um imóvel, ela se compromete a devolver para o proprietário, após um tempo determinado, o imóvel mais um valor em dinheiro, referente ao aluguel. Nessa lógica, o próprio dinheiro também pode ser visto como um bem a ser usado, assim como um imóvel. Quando alguém aluga esse bem, deve pagar/receber por isso.

Mostrar que na vida cotidiana, há basicamente dois tipos de situações que envolvem pagamento de juros:

- dívidas contraídas (empréstimos bancários, crediários etc) - rendimento de aplicações financeiras (poupança, fundos etc).

Argumentar que em praticamente todas as situações, os juros são calculados como uma porcentagem do valor devido/aplicado. Por isso é muito importante estar familiarizado com os cálculos de porcentagem (daí a revisão sobre o assunto que fizemos inicialmente).

Discutir ambas as situações (aplicações e dívidas) e a “lógica” da cobrança de juros.

Dívidas: Quando, por exemplo, se retira de uma conta bancária mais dinheiro do que realmente há nela, ela fica “no negativo”, ou “no vermelho”. Esse valor negativo é uma dívida adquirida pelo correntista para com o banco, isto é, um empréstimo dado pelo banco ao correntista. Sobre esse valor emprestado é cobrado um “aluguel” – os juros. Os juros são sempre calculados a partir de uma porcentagem sobre o valor da dívida, chamada taxa de juros. Veja as taxas de juros médias cobradas em algumas modalidades de empréstimo bancário, em março de 2011 (valores aproximados):

Cheque especial (dívidas em conta corrente): 9% ao mês Crédito pessoal : 5% ao mês

Cartão de crédito: 11% ao mês

Crédito direto ao consumidor: 3% ao mês

Explicar o significado da taxa de juros na forma porcentual. Por exemplo, se uma pessoa ficou com um saldo negativo de R$ 1.000,00 na conta corrente, ela deverá pagar ao final do mês, além desse valor, R$ 90,00 de juros do cheque especial para quitar sua dívida (9% de 1.000 = 0,09 · 1.000 = 90). Rendimento: Quando um cliente deposita uma quantia em uma aplicação financeira, é como se ele estivesse emprestando dinheiro ao banco. Por esse empréstimo, o banco paga um “aluguel”, os juros da aplicação, que também é dado por uma porcentagem do valor aplicado. A caderneta de poupança, por exemplo, tem uma taxa de juros de aproximadamente 0,6% ao mês. Isso significa que se uma pessoa aplicar R$ 1.000,00 na poupança, após 1 mês ela terá direito aos R$ 1.000,00 originais mais os juros de 0,6% sobre eles. 0,6% de 1.000 = 0,006 · 1.000 = 6. Ou seja, ela terá direito a resgatar R$ 1.006,00. Outras aplicações apresentam taxas um pouco maiores. Veja alguns valores de março de 2011: CDB: 0,88% ao mês CDI: 0,92% ao mês Poupança: 0,62% ao mês Renda fixa: 0,93% ao mês Fonte: www.brasileconomico.com.br/noticias/aplicacao-em-bolsa-lidera-rendimentos-em-marco_99962.html

Reforçar a explicação do significado da taxa de juros na forma porcentual. Se uma pessoa aplicar R$ 1.000,00 na poupança, após 1 mês ela terá direito a resgatar os R$ 1.000,00 MAIS juros de 0,62% de R$ 1.000,00, ou seja, R$ 1.000,00 mais R$ 6,20.

É muito interessante discutir com os alunos sobre as diferenças entre as taxas de juros que os bancos cobram para os empréstimos e as taxas de juros que eles pagam para as aplicações. Eles cobram uma taxa muito maior do que pagam! É essencialmente por esse motivo que os bancos têm um dos negócios mais lucrativos que existem.

Exercício:

Um cliente investe R$ 1.000,00 em uma aplicação financeira cuja taxa de juros é de 1% ao mês. Quanto ele terá após um mês? Quanto ele terá após 2 meses? (obs: lembrar que os juros do 2º mês são calculados sobre o valor ao final do 1º mês, e não sobre os R$ 1.000,00 iniciais, ou seja, trata-se do regime de juros compostos).

Resposta:

Ao final do 1º mês ele terá 1.000 + 1% de 1.000 = 1.000 + 10 = 1.010 Ao final do 2º mês ele terá 1.010 + 1% de 1.010 = 1.010 + 10,10 = 1.020,10

2ª parte – Atividade no computador

A segunda parte da oficina envolve alguns cálculos e simulações, em computador, de situações de dívidas e aplicações financeiras com o uso de uma planilha eletrônica bastante conhecida, o MS-Excel. É possível que muitos alunos da EJA nunca tenham visto uma planilha, e alguns nem mesmo usado o computador. Porém, vale lembrar que um dos papéis da escola é justamente promover a inclusão digital. Há duas atividades propostas. Na atividade 1, os alunos aprenderão a escrever e trabalhar com fórmulas, o que desenvolve as habilidades ligadas ao pensamento algébrico. Na atividade 2, eles farão uma simulação de capitalização em uma aplicação financeira.

Atividade 1: Cálculos simples de porcentagem usando fórmulas no Excel

Esta primeira atividade tem como objetivo familiarizar os alunos com o uso de uma planilha. Mostrar que a planilha nada mais é do que uma tabela com linhas e colunas. A unidade básica da planilha é a célula, que é uma posição (ou “casa”) na tabela, identificada por suas coordenadas (letra para coluna, número para linha). Assim, na figura abaixo, as células A1 e A2 estão preenchidas pelos números 12 e 13.

Ensinar como fazer uma operação simples: a soma de dois números. Pedir que eles digitem dois números quaisquer nas células A1 e A2 (no exemplo abaixo, os números digitados foram 12 e 13). Em seguida, posicionar o cursor sobre a célula A3 e digitar:

=A1+A2

Explicar aos alunos a lógica da operação. Ao escrever o sinal de “=”, estamos indicando que o conteúdo da célula A3 será calculado por meio de uma fórmula. A sequência “A1+A2” indica o resultado que será calculado: a soma dos números que estão nas células A1 e A2. Veja na figura:

Mostrar que se os números 12 e 13 forem modificados, o resultado da soma muda automaticamente, pois a fórmula permanece a mesma (soma de ambos os números).

Fazer outros exemplos, agora envolvendo cálculos de porcentagem. Mostrar que além de números podem ser inseridos textos nas células, para organizar e deixar claro o que está sendo calculado em cada célula. Mostrar os exemplos abaixo, discutindo detalhadamente as fórmulas usadas, pois é nelas que está a matemática. Caso os alunos estejam demonstrando entendimento da lógica de funcionamento das fórmulas, os exemplos podem ser propostos como problemas. Isto é, o monitor pode, antes de apresentar as respostas, perguntar como os alunos escreveriam as fórmulas para calcular o que se pede (ver nos exemplos abaixo).

Antes de começar, ensinar como se escrevem os sinais operatórios no MS-Excel: + (adição), – (subtração), * (multiplicação) e / (divisão).

Exemplo 1: Cálculo de uma porcentagem dada. Cá

Atividade 2: Simulação de uma aplicação financeira

Mudar o número da célula B1 e verificar que o resultado na célula B2 muda automaticamente. Por exemplo, se substituirmos 154 por 180, automaticamente o 53,9 é substituído por 63.

Como dito anteriormente, este exemplo pode ser proposto como um problema. O monitor perguntaria aos alunos: “Que fórmula vocês escreveriam na célula B2 para que o resultado fosse 35% do número da “célula B1?

Exemplo 2: Cálculo da porcentagem que um número representa de outro.

No exemplo acima, 6 representa 25% (0,25) de 24. Atenção para a representação decimal da porcentagem: 0,25 = 25%!

Mudar os números das células B1 e B2 e verificar que o resultado da célula B3 muda automaticamente. Por exemplo, substituindo 6 por 7 e 24 por 21, o resultado (₂₁7) mudará para 0,3333..., ou seja, 7 representa aproximadamente 33,3% de 21.

Novamente, como citado anteriormente, o exemplo pode ser proposto com um problema. A pergunta seria: “que fórmula podemos escrever na célula B3 para que o resultado nos dê a porcentagem que o número da célula B1 representa do número da célula B2?”

Exemplo 3: Cálculo da variação porcentual de um número para outro

No exemplo acima, o aumento de 120 para 174 foi de 45% (0,45). Um aumento de 54 (174 – 120) em 120 corresponde a 45% pois ₁₂₀54 = 0,45.

É interessante observar que a variação porcentual pode ser negativa. Observe o exemplo abaixo, com a mesma fórmula do exemplo anterior:

Exemplo 4: Cálculo de uma porcentagem a ser definida. Este exemplo é parecido com o Exemplo 1, porém podemos definir qual a porcentagem a ser calculada (no exemplo 1 ela estava fixada em 35%).

O exemplo mostra que 30% de 130 é igual a 48.

O monitor é livre para escolher outros exemplos de cálculos com porcentagem que julgue interessantes. Mais uma vez, é interessante propor a escrita da fórmula como um problema para os alunos.

Atividade 2: Simulação de uma aplicação financeira

A atividade 2 consiste em elaborar duas planilhas que simulam capitalizações em aplicações financeiras. A primeira simula uma situação em que um correntista aplica um valor inicial e deixa o capital render, sem efetuar novos depósitos. A segunda simula uma situação semelhante, porém com depósitos mensais.

a) Apenas depósito inicial

Propor que os alunos montem uma planilha como a da figura a seguir:

Atenção este 30 indica 30%. Por isso na fórmula do resultado (célula B3) ele aparece dividido por 100!

As células de cor laranja devem ser preenchidas inicialmente com os dados do problema: o valor da aplicação inicial, a taxa mensal de juros e o número de meses (n) para o qual se pretende calcular o montante da aplicação (linha 17 da planilha). Esses valores podem ser escolhidos livremente.

A fórmula da célula B17, do cálculo do montante da aplicação após um número qualquer de meses (n), é a que aparece na aula 37, página 20, do livro do Novo Telecurso (Matemática – Ensino Médio – vol. 2), que é a seguinte:

Cn = C0∙(1+i)n Nesta fórmula:

Cn é o capital após n meses (que será calculado na célula B17) C0 é a aplicação inicial (valor informado na célula B3)

i é a taxa mensal de juros (valor informado na célula E3)

n é o número de meses para o qual se deseja calcular o montante da aplicação (valor informado na célula E4)

Assim, a fórmula na célula B17 deve ser

OBS: o acento circunflexo indica a operação de potenciação no Excel.

Para preencher as demais células (B4 a B15) com os montantes dos 12 primeiros meses, deve-se multiplicar continuamente o valor do mês anterior pelo fator (1+E3). Por exemplo, na célula B4, deve-se ter a fórmula:

= B3*(1+E3) Na célula B5, deve-se ter a fórmula:

= B4*(1+E3) Na célula B6, deve-se ter a fórmula:

= B5*(1+E3) e assim por diante.

Para não ter que digitar as fórmulas de cada célula uma por uma, existe um “atalho”. Basta escrever a primeira fórmula na célula B4 da seguinte maneira:

= B3*(1+$E$3)

Em seguida, seleciona-se a célula B4 com um clique simples, posiciona-se o cursor no canto inferior direito da célula, clica-se nele com o botão esquerdo do mouse e, mantendo-se o botão pressionado, “arrasta-se” o cursor até a célula B15. Quando se arrasta uma célula com uma fórmula, as células vão sendo acrescidas de uma unidade (B3 muda para B4, depois B5, B6 etc). Com a célula E3 isso não acontece por causa dos cifrões colocados na fórmula, que “congelam” essa célula.

Após a montagem da planilha com todas as fórmulas, é interessante ficar “brincando” com os números da aplicação inicial, da taxa mensal de juros e do número de meses (células B3, E3 e E4). Os valores em cada mês são calculados automaticamente. Pode-se comparar o efeito da taxa de juros após 12 meses, alternando-a de 0,005 (0,5%) para 0,01 (1%), por exemplo.

b) Depósito inicial seguido de outros mensais

A segunda simulação é a da aplicação de um valor inicial seguida de depósitos regulares mensais, todos de mesmo valor. Para isso, os alunos devem montar uma planilha muito parecida com a primeira:

Novamente, as células laranjas devem ser preenchidas com as informações iniciais: B3: valor inicial a ser investido

E3: taxa de juros mensal

E4: valor a ser depositado mensalmente

Neste caso, as fórmulas são praticamente as mesmas do exemplo anterior. A única diferença é o acréscimo do valor da célula E4 todos os meses.

Assim, a primeira célula (B4) deve ser preenchida com a seguinte fórmula: =B3*(1+$E$3)+$E$4

Em seguida, basta efetuar o procedimento de arrastar a célula, como descrito no exemplo anterior. Novamente, interessante fazer simulações variando a taxa mensal de juros e o valor do depósito mensal para ver o efeito dessas variáveis nos montantes de cada mês.

Em caso de dúvida sobre a montagem das planilhas e fórmulas, segue junto com esse plano um arquivo do MS-Excel com ambas as planilhas prontas, com alguns valores iniciais de taxa de juros, aplicação inicial etc.