Departamento de Eletrônica e Computação Centro de Tecnologia ELC1115 Sinais e Sistemas Prof. Fernando DeCastro

Transformada de Fourier no Tempo Discreto (DTFT

– Discrete Time Fourier Transform) ‐ análise

espectral no domínio frequência angular 𝜔 de

sinais não‐periódicos no domínio tempo discreto

Departamento de Eletrônica e Computação

Centro de Tecnologia

ELC1115 – Sinais e Sistemas

Prof. Fernando DeCastro

DTFT (Discrete Time Fourier Transform

)

Transformada de Fourier no domínio tempo discreto

Vimos no Cap III.2 das notas de aula que uma sequencia periódica 𝑥[𝑛] de período 𝑁 pode ser representada por uma superposição de exponenciais complexas :

𝑥[𝑛] = ෍ 𝑘=𝑛₀ 𝑛₀+𝑁−1

𝑐_𝑥 𝑘 𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑛 𝑁Τ (1)

(2) onde 𝑛0 é um valor inteiro e arbitrário, sendo usualmente adotado 𝑛0 = 0 e onde os coeficientes 𝑐𝑥 𝑘 , que definem o espectro discreto de 𝑥[𝑛], são dados por:

𝑐_𝑥 𝑘 = 1 𝑁 ෍

𝑛=0 𝑁−1

𝑥 𝑛 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑛 𝑁Τ

No Cap III.3 partimos da SF exponencial de um sinal periódico 𝑥𝑇(𝑡) de período 𝑇 conforme (3) abaixo, com coeficientes espectrais 𝑐𝑥 𝑘 dado por (4):

𝑥_𝑇 𝑡 = ෍ 𝑘=−∞ ∞ 𝑐_𝑥 𝑘 𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑡 𝑇Τ = ෍ 𝑘=−∞ ∞ 𝑐_𝑥 𝑘 𝑒𝑗𝑘𝜔𝑡 𝜔= 2𝜋 𝑇Τ (3) 𝑐_𝑥 𝑘 = 1 𝑇න_𝑡 0 𝑡₀+𝑇 𝑥_𝑇 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑡 𝑇Τ 𝑑𝑡 = 1 𝑇න_{−𝑇 2Τ} Τ 𝑇 2 𝑥_𝑇 𝑡 𝑒−𝑗𝑘𝜔𝑡𝑑𝑡 ₍₄₎ sendo 𝑋 𝜔 = ℱ 𝑥(𝑡) = න −∞ ∞ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝑥 𝑡 = ℱ−1 𝑋 𝜔 = 1 න ∞ 𝑋 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 (5)

E, mediante um procedimento analítico que converte o domínio frequência discreto para contínuo adaptamos (3) e (4) para representar um sinal 𝑥𝑇(𝑡) para 𝑇 → ∞ de modo que as componentes espectrais resultem com uma separação infinitesimal entre si no domínio frequência (ver slides 14 a 17 do Cap III.3). Especificamente, o referido procedimento analítico adapta as equações (3) e (4) para que possam representar um sinal 𝑥 𝑡 aperiódico (i. e. , 𝑇 → ∞), representação que define a transformada de Fourier direta 𝑋 𝜔 = ℱ 𝑥(𝑡) e inversa 𝑥 𝑡 = ℱ−1 𝑋 𝜔 , conforme (5) e (6):

DTFT (Discrete Time Fourier Transform

)

Transformada de Fourier no domínio tempo discreto

A semelhança entre as equações (1) e (3) sugere que é possível aplicar a (1) e (2) o mesmo procedimento analítico referido no slide anterior aplicado a (3) e (4) para converter o domínio frequência discreto para contínuo. O procedimento adapta (1) e (2) para representar uma sequencia 𝑥[𝑛] de período 𝑁 infinito, i.e. aperiódica, situação em que as componentes espectrais resultam com uma separação infinitesimal entre si no domínio frequência. Aplicando então o referido procedimento às equações (1) e (2) obtemos a representação que define a DTFT direta𝑋 𝜔 = ℱ 𝑥 𝑛 e inversa𝑥 𝑛 = ℱ−1 𝑋 𝜔 , conforme (7) e (8):

𝑋 𝜔 = ℱ 𝑥 𝑛 = ෍ 𝑛=−∞ ∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 𝑥 𝑛 = ℱ−1 𝑋 𝜔 = 1 2𝜋න_𝜔 𝑜 𝜔_𝑜+2𝜋 𝑋 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 (7) (8)

onde𝜔0 é um valor arbitrário, sendo usualmente adotado𝜔0= −𝜋. Note que os limites de integração em (8) implicamque 𝑿 𝝎 é

periódica de período 𝟐𝝅 no domínio frequência 𝝎. Esta periodicidade decorre da periodicidade de 𝑒−𝑗𝜔𝑛 em (7), cujo período em função do argumento 𝜔𝑛 é 2𝜋, sendo 𝑛 inteiro. Para evidenciar a representação através de exponenciais complexas de periodicidade2𝜋 é usual adotar a notação 𝑋 𝑒𝑗𝜔 _{para representar𝑋 𝜔 quando então (7) e (8) podem ser reescritas na forma}

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ 𝑥 𝑛 = ෍ 𝑛=−∞ ∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 𝑥 𝑛 = ℱ−1 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 1 2𝜋න_−𝜋 𝜋 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 (9) (10)

A equação (9) é a DTFT (Discrete Time Fourier Transform) da sequência 𝑥 𝑛 e é uma expressão que computa o espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 , ou seja, a amplitude e a fase de cada senoide que constrói a sequência 𝑥 𝑛 no tempo, lembrando que o conceito de espectro já foi discutido em capítulos anteriores. Especificamente, 𝑋 𝑒𝑗𝜔 expressa a magnitude e a fase de cada componente espectral no domínio frequência requerida para sintetizar 𝑥 𝑛 no domínio tempo discreto por meio da equação (10), que é a DTFT inversa de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 . Pelo fato de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 representar amplitude e fase de cada senoide que constrói o sinal digitalizado 𝑥 𝑛 no tempo, diz-se que 𝑋 𝑒𝑗𝜔 representa oespectro de frequências angulares digitais𝝎 que constroem a sequência𝑥 𝑛 no tempo.

▪ Note que, na DTFT, o domínio tempo n é discreto, mas o domínio frequência



é contínuo.

▪ Mais à frente, em capítulo posterior, estudaremos a Transformada Discreta de Fourier (DFT), em

que tanto o domínio tempo n quanto o domínio frequência 𝑘 são discretos.

▪ A DFT é adotada quando a sequência 𝑥 𝑛 não é definida para todo 𝑛 mas, sim, para um número

limitado de amostras 𝑛.

▪ A DTFT é adotada quando a sequência 𝑥 𝑛 é definida para todo 𝑛.

▪ Se o sinal 𝑥[𝑛] existe em todo o tempo, a separação das componentes espectrais no domínio

frequência é infinitesimal e, portanto, o espectro 𝑋 𝑒

𝑗𝜔

é contínuo.

DTFT inversa (síntese de 𝑥[𝑛] no

domínio tempo discreto)

DTFT direta (análise espectral de 𝑥[𝑛]

no domínio frequência contínuo)

DTFT (Discrete Time Fourier Transform)Transformada de Fourier no domínio tempo discreto

𝑥 𝑛 = ℱ

−1

𝑋 𝑒

𝑗𝜔

=

1

2𝜋

න

_−𝜋 𝜋

𝑋 𝑒

𝑗𝜔

𝑒

𝑗𝜔𝑛

𝑑𝜔

𝑋 𝑒

𝑗𝜔

= ℱ 𝑥 𝑛

= ෍

𝑛=−∞ ∞

𝑥 𝑛 𝑒

−𝑗𝜔𝑛

Como já observado para todas as representações espectrais discutidas em capítulos anteriores, o espectro

𝑋 𝑒

𝑗𝜔 resultante da DTFT – equação (9) – é uma função complexa de :

DTFT (Discrete Time Fourier Transform)Transformada de Fourier no domínio tempo discreto

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ 𝑥 𝑛 = ෍ 𝑛=−∞ ∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 (9)

𝑋 𝑒

𝑗𝜔

= ℱ 𝑥 𝑛

= Re 𝑋 𝑒

𝑗𝜔

+𝑗 Im 𝑋 𝑒

𝑗𝜔

= 𝑋

_R

𝑒

𝑗𝜔

+ 𝑗𝑋

_I

𝑒

𝑗𝜔

=

=

𝑋

_R2

𝑒

𝑗𝜔

_{+ 𝑋}

I2

𝑒

𝑗𝜔

𝑒

𝑗 atan 𝑋I 𝑒 𝑗𝜔 𝑋R 𝑒𝑗𝜔

= 𝑋 𝑒

𝑗𝜔

𝑒

𝑗∢𝑋 𝑒𝑗𝜔 (11) magnitude do espectro fase do espectro

𝑋 𝑒

𝑗𝜔

=

𝑋

_R2

𝑒

𝑗𝜔

_{+ 𝑋}

I2

𝑒

𝑗𝜔

∢𝑋 𝑒

𝑗𝜔

= atan

𝑋

I

𝑒

𝑗𝜔

𝑋

_R

𝑒

𝑗𝜔 (12) (13)

Consideremos um sistema LTI em que é aplicado um impulso 𝛿[𝑛] à sua entrada 𝑥 𝑛 , de modo que a saída 𝑦 𝑛 do sistema

represente a resposta ao impulso ℎ[𝑛] do sistema.

Interação do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 com a função de transferência 𝐻 𝑒𝑗𝜔 do sistema discreto

ℎ[𝑛] 𝑥[𝑛] 𝑦[𝑛] 𝐻 𝑒𝑗𝜔 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑌 𝑒𝑗𝜔 𝑦 𝑛 = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] 𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝐻 𝑒𝑗𝜔 LTI [𝑛] ℎ[𝑛]  𝑛 = ቊ0, 𝑛 ≠ 0, 1, 𝑛 = 0.

Como vimos no Cap II.3 das notas de aula anteriormente, podemos determinar a saída 𝑦 𝑛 deste sistema, para uma entrada 𝑥 𝑛 , através da convolução de 𝑥 𝑛 com a resposta ao impulso ℎ[𝑛] do sistema.

Com base na propriedade “Convolution” da Transformada de Fourier (que, pela similaridade da representação, também vale para a DTFT) , conforme slide 27 do Cap III.3, temos

Da equação (40) slide 32 do Cap III.3 e da equação (9) obtemos

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = ℱ ℎ[𝑛] = ෍ 𝑛=−∞ ∞ ℎ 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 (14) (15) (16)

𝐻 𝑒𝑗𝜔 ℎ[𝑛]

𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑌 𝑒𝑗𝜔 𝑌 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝐻 𝑒𝑗𝜔

Interação do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 com a função de transferência 𝐻 𝑒𝑗𝜔 do sistema discreto

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ  𝑛 = ෍ 𝑛=−∞ ∞  𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 _{= 𝑒}−𝑗𝜔0 _{= 1} 𝑥[𝑛] 𝑦[𝑛] De (15), temos (17) (18) ℱ 𝑥 𝑛 = ෍ 𝑛=−∞ ∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 ℱ 𝑦 𝑛 = ෍ 𝑛=−∞ ∞ 𝑦 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 (15) (14) 𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑌 𝑒 𝑗𝜔 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ 𝑦 𝑛 ℱ 𝑥 𝑛 onde, de (9), temos (19)

Note que se a excitação 𝑥 𝑛 do sistema é um impulso 𝛿[𝑛], i.e. 𝑥 𝑛 = 𝛿[𝑛], de modo que a resposta 𝑦 𝑛 é a resposta ao impulso ℎ 𝑛 , então resulta de (9) que

𝑦 𝑛 = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] (20) 𝑌 𝑒𝑗𝜔 = ℱ ℎ 𝑛 = ෍ 𝑛=−∞ ∞ ℎ 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 (21)

Substituindo (20) e (21) em (17) obtemos o mesmo resultado que (16):

𝐻 𝑒𝑗𝜔 = 𝑌 𝑒 𝑗𝜔 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = σ_𝑛=−∞∞ ℎ 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 1 = ෍ 𝑛=−∞ ∞ ℎ 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛

De (17) fica evidenciada a importante propriedade de que a função de transferência

𝑯 𝒆𝒋𝝎 de um sistema LTI discreto é dada pela razão entre os espectros de saída e entrada, ou equivalentemente pela razão entre as DTFTs entre as sequências de saída e entrada no domínio tempo discreto.

A DTFT de uma sequência 𝑥 𝑛 só existe se a sequência for somável em valor absoluto. Ou seja, se 𝑥 𝑛 for somável para

− ∞ < 𝑛 < ∞, então𝑋 𝑒𝑗𝜔 = σ_𝑛=−∞∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛 existe.

Isto equivale a considerar que a DTFT existe quando a soma infinita 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = σ_𝑛=−∞∞ 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝜔𝑛converge, ou seja,

𝑋 𝑒𝑗𝜔 < ∞ para todo 𝜔.

Condições para existência da DTFT

(22)

Dado que uma sequência 𝑥 𝑛 estável é, por definição, absolutamente somável, todas as sequências estáveis terão DTFT e, portanto, pode-se afirmar que qualquer sistema estável (BIBO – bounded input bounded output – ver

https://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability) terá uma resposta finita e contínua em frequência.

No entanto, há casos em que 𝑥 𝑛 não é somável para −∞ < 𝑛 < ∞ , i.e., a soma não converge para um valor finito, mas ainda assim é possível determinar a DTFT. A tabela abaixo mostra alguns destes casos.

Propriedades de Simetria da DTFT

As propriedades de simetria da Transformada de Fourier são úteis por, para determinadas situações, simplificarem a solução de problemas.

Uma sequênciaconjugada simétrica 𝒙𝒆[𝒏]é definida como uma sequência para a qual

𝑥𝑒 𝑛 = 𝑥𝑒∗[−𝑛]

Uma sequênciaconjugada antissimétrica 𝒙𝒐[𝒏]é definida como uma sequência para a qual

𝑥𝑜 𝑛 = −𝑥𝑜∗[−𝑛]

onde (*) denota a operação complexo conjugado.

(23)

(24)

Qualquer sequência 𝑥 𝑛 pode ser expressa como a superposição de uma sequência conjugada simétrica 𝑥𝑒 𝑛 e de uma sequência conjugada antissimétrica 𝑥𝑜 𝑛 . Especificamente,

onde

Uma sequência real que é conjugada simétrica, tal que 𝐱_𝐞 𝐧 = 𝐱_𝐞[−𝐧], é denominada sequência par (even), e uma sequência realque é conjugada antissimétrica, tal que 𝐱𝐨 𝐧 = −𝐱𝐨[−𝐧], é denominada sequência ímpar (odd).

(25)

(26)

De maneira similar, um espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 pode ser expresso como a superposição de um espectro conjugado simétrico 𝑋𝑒 𝑒𝑗𝜔 e de um espectro conjugado antissimétrico 𝑋𝑜 𝑒𝑗𝜔 . Especificamente,

onde

Propriedades de Simetria da DTFT

(28)

Um espectro conjugado simétrico 𝑋𝑒 𝑒𝑗𝜔 obedece a condição . Um espectro conjugado antissimétrico 𝑋𝑜 𝑒𝑗𝜔 obedece a condição .

e

(29) (30)

Exemplo: Consideremos a resposta 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛𝑢[𝑛], com 𝑎 ∈ ℜ, resultante na saída de um sistema LTI discreto quando o sistema é excitado com um impulso 𝛿[𝑛] aplicado à sua entrada. Pede-se: (a) Plote a resposta ao impulso 𝑥 𝑛 do sistema para 𝑎 = 0.5 e para 𝑎 = 0.9. (b) Determine a expressão analítica da resposta em frequência 𝑋 𝑒𝑗𝜔 do sistema através de

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ x 𝑛 (c) Verifique se 𝑋 𝑒𝑗𝜔 obtida em (b) obedece a propriedade 7 da tabela de propriedades de simetria

do slide anterior. (d) Plote 𝑋 𝑒𝑗𝜔 , ∢𝑋 𝑒𝑗𝜔 , Re 𝑋 𝑒𝑗𝜔 e Im 𝑋 𝑒𝑗𝜔 para 𝑎 = 0.5 e para 𝑎 = 0.9. (e) Verifique quais propriedades de simetria da tabela do slide anterior são obedecidas pelos espectros 𝑋 𝑒𝑗𝜔 , ∢𝑋 𝑒𝑗𝜔 , Re 𝑋 𝑒𝑗𝜔 e Im 𝑋 𝑒𝑗𝜔 obtidos em (d).

Propriedades de Simetria da DTFT - Exemplo

0.5 𝑛𝑢[𝑛] 0.9 𝑛𝑢[𝑛] Solução: (a) 𝑛 𝑛 A DTFT de

𝑥 𝑛

é obtida de (9): se ou Condição para o somatório convergir

𝑋 𝑒

𝑗𝜔

= ℱ 𝑥 𝑛

= ෍

𝑛=−∞ ∞

𝑥 𝑛 𝑒

−𝑗𝜔𝑛 Ver Apêndice C (b)

Propriedades de Simetria da DTFT - Exemplo

Conjugando 𝑋 𝑒𝑗𝜔 obtido em (b) e trocando o sinal de 𝜔 observa-se que a expressão não se altera:

(propriedade 7) 𝑋 𝑒𝑗𝜔 é simétrica conjugada.

(c)

(d&e)

(propriedade 10)

Resposta em frequência do sistema . Magnitude, 𝑎 > 0;

Curva sólida, 𝑎 = 0.9; Curva tracejada, 𝑎 = 0.5.

(propriedade 11)

Resposta em frequência do sistema . Fase, 𝑎 > 0;

Curva sólida, 𝑎 = 0.9; Curva tracejada, 𝑎 = 0.5.

Fase de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 é ímpar.

(propriedade 9)

Resposta em frequência do sistema. Parte imaginária, 𝑎 > 0;

Curva sólida, 𝑎 = 0.9; Curva tracejada, 𝑎 = 0.5.

Parte imaginária de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 é ímpar.

Propriedades de Simetria da DTFT - Exemplo

(propriedade 8)

Resposta em frequência do sistema. Parte real, 𝑎 > 0;

Curva sólida, 𝑎 = 0.9; Curva tracejada, 𝑎 = 0.5.

𝒙 𝒏 = 𝓕−𝟏 𝑿 𝒆𝒋𝝎

𝒚 𝒏 = 𝓕−𝟏 𝒀 𝒆𝒋𝝎

Propriedades gerais da DTFT

decorrentes das equações (9) e (10)

𝑿 𝒆𝒋𝝎 = 𝓕 𝒙 𝒏 𝒀 𝒆𝒋𝝎 = 𝓕 𝒚 𝒏 Linearidade Deslocamento no tempo Deslocamento em frequência Reversão no tempo Propriedade Diferenciação em frequência Convolução Multiplicação (modulação de 𝑦[𝑛] por 𝑥[𝑛]) Conservação da energia no tempo e em frequência

𝒙 𝒏 = 𝓕−𝟏 𝑿 𝒆𝒋𝝎 𝑿 𝒆𝒋𝝎 = 𝓕 𝒙 𝒏

Pares comuns de DTFTs inversa 𝓕

−𝟏

∙ e direta 𝓕 ∙

decorrentes das equações (9) e (10)

𝒙 𝒏 = 𝓕−𝟏 𝑿 𝒆𝒋𝝎 𝑿 𝒆𝒋𝝎 = 𝓕 𝒙 𝒏

Pares comuns de DTFTs inversa 𝓕

−𝟏

∙ e direta 𝓕 ∙

decorrentes das equações (9) e (10)

Teorema de Parseval:

Se

então,

A função 𝑋 𝑒𝑗𝜔 2 é denominada Densidade Espectral de Energia, porque determina como a energia da sequencia 𝑥 𝑛 é distribuída no domínio frequência.

O Teorema de Parseval nos diz que determinar a energia da sequência 𝑥 𝑛 no domínio tempo equivale a determinar a energia do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de 𝑥 𝑛 no domínio frequência. Ou seja, a energia do sinal é conservada ao passarmos o sinal do domínio tempo para o domínio frequência e vice-versa.

Necessariamente, a Densidade Espectral de Energia é definida unicamente para sinais cuja energia é finita. Propriedades gerais da DTFT (observações)

Convolução:

Seja 𝑥[𝑛] o sinal aplicado à entrada de um sistema LTI discreto, e seja ℎ 𝑛 a resposta ao impulso do sistema. Então, temos que a relação domínio tempo/domínio frequência é dada por

e

e a saída 𝑌 𝑒𝑗𝜔 no domínio frequência do sistema é

A interpretação aqui é a mesma do caso contínuo no tempo já visto no Cap III.3: a convolução entre a entrada 𝑥[𝑛] do sistema e a sua resposta ao impulso ℎ[𝑛] é equivalente à multiplicação do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 do sinal de entrada 𝑥[𝑛] pela função de transferência 𝐻 𝑒𝑗𝜔 do sistema.

(𝐻 𝑒𝑗𝜔 também é conhecida como a resposta em frequência do sistema)

A saída 𝑦[𝑛] no domínio tempo do sistema é

Propriedades gerais da DTFT (observações)

Generalizando, o Teorema da Convolução estabelece que a convolução entre duas sequências 𝑥[𝑛] e 𝑦[𝑛] no domínio tempo é equivalente à multiplicação das correspondentes Transformadas de Fourier de Tempo Discreto 𝑋 𝑒𝑗𝜔 e 𝑌 𝑒𝑗𝜔 no domínio frequência (respectivos espectros de 𝑥[𝑛] e 𝑦[𝑛]):

Teorema da Modulação (ou teorema do Janelamento):

Se e

e se

então

A equação (31) acima é uma convolução periódica, isto é, uma convolução de duas funções periódicas, com os limites de integração se estendendo somente sobre um período.

Comparando o Teorema da Convolução com o Teorema da Modulação, nota-se que:

▪ a convolução no tempo discreto de duas sequências é equivalente à multiplicação dos correspondentes espectros no domínio frequência,

▪ a multiplicação no tempo discreto de duas sequências é equivalente à convolução periódica dos correspondentes espectros no domínio frequência.

Propriedades gerais da DTFT (observações)

Exemplo 1: Consideremos o filtro passa baixa ideal com frequência de corte 𝜔𝑐 cuja resposta ao impulso no domínio tempo discreto é (ver par 8 slide 17)

A resposta em frequência 𝐻𝑙𝑝 𝑒𝑗𝜔 deste filtro é obtida ao aplicarmos a DTFT à sequência ℎ𝑙𝑝[𝑛]. Na prática, para efeito da implementação de ℎ𝑙𝑝[𝑛] em hardware, o número de amostras na resposta ao impulso é limitado a um intervalo finito −𝑀 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀. Pede-se: (a) Plote ℎ𝑙𝑝[𝑛] para 𝜔𝑐 = 1 rad/s. (b) Plote 𝐻𝑙𝑝 𝑒𝑗𝜔 e avalie o efeito de 𝑀 = 1, 3, 7, 19 na fidelidade de 𝐻_𝑙𝑝 𝑒𝑗𝜔 em representar a resposta em frequência deste filtro passa baixa ideal.

DTFT - exemplos Solução: (a) ℎ_𝑙𝑝(𝑛) = sin 𝜔𝑐𝑛 𝜋𝑛 = 𝜔_𝑐 𝜋 sinc 𝜔𝑐𝑛 (32) (33)

onde sinc 𝑢 = sin 𝑢 𝑢

ℎ_𝑙𝑝(𝑛)

Note que, à medida que 𝑀 aumenta, a distorção de Gibbs (discutida no Cap III.1 para o domínio tempo) na banda de passagem e na banda de rejeição do filtro varia mais rapidamente, mas a amplitude da oscilação não diminui em 𝜔 = 𝜔𝑐.

Mas note que, no limite quando 𝑀 → ∞, 𝐻𝑀 𝑒𝑗𝜔 se aproxima da resposta em frequência de um filtro passa baixa ideal com frequência de corte 𝜔𝑐.

Plotando (34) para 𝑀 = 1, 3, 7, 19 no intervalo −𝜋 < 𝜔 < 𝜋, temos 𝐻𝑀 𝑒𝑗𝜔 = ෍ 𝑛=−𝑀 𝑀 sin 𝜔𝑐𝑛 𝜋𝑛 𝑒 −𝑗𝜔𝑛

De (9), aplicando a DTFT a ℎ𝑙𝑝[𝑛] dada por (32) e delimitando ℎ𝑙𝑝[𝑛] ao intervalo −𝑀 ≤ 𝑛 ≤ 𝑀 obtemos a resposta em frequência 𝐻𝑙𝑝 𝑒𝑗𝜔 do filtro passa baixa ideal:

(34)

distorção de Gibbs

(a) Plote o gráfico da sequência 𝑥[𝑛] no intervalo 0 ≤ 𝑛 ≤ 64.

(b) Plote o gráfico do módulo e da fase do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de frequências angulares digitais de 𝑥[𝑛] no intervalo −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋, assumindo que o conversor A/D esteja ligado desde 𝑡 = −∞, isto é, assuma que a componente do regime transitório já se extinguiu e que só haja a componente do regime permanente.

(c) Plote os gráficos obtidos em (b) com o eixo da abscissa representando o intervalo de frequências analógicas − Τ𝑓𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤ Τ𝑓𝑠 2 (Nyquist).

Exemplo 2: Um conversor A/D com frequência de amostragem 𝑓𝑠 = 64𝑘𝐻𝑧 digitaliza um sinal analógico de áudio dado por 𝑥 𝑡 = 𝑎1cos 2𝜋𝑓1𝑡 + ∅1 + 𝑎2cos 2𝜋𝑓2𝑡 + ∅2 , sendo 𝑎1 = 3, 𝑓1= 4𝑘𝐻𝑧, ∅1 = 30, 𝑎2 = 1, 𝑓2= 8𝑘𝐻𝑧, ∅2 = −60. Seja 𝑥[𝑛] a sequência na saída do conversor A/D resultante da digitalização de 𝑥[𝑡]. Pede-se:

DTFT - exemplos Solução:

(a) Gráfico da sequência 𝑥[𝑛] no intervalo 0 ≤ 𝑛 ≤ 64:

Para discretizar 𝑥 𝑡 = 𝑎1cos 2𝜋𝑓1𝑡 + ∅1 + 𝑎2cos 2𝜋𝑓2𝑡 + ∅2 substituímos 𝑡 por 𝑛𝑇s = 𝑛 1

𝑓_𝑠 onde 𝑇s é o intervalo entre amostras no sinal digitalizado:

(ver slide 17)

(b) Gráfico do módulo e da fase do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de frequências angulares digitais de 𝑥[𝑛] no intervalo −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋, assumindo que o conversor A/D esteja ligado desde 𝑡 = −∞, isto é, assumindo que a componente do regime transitório já se extinguiu e que só haja a componente do regime permanente:

DTFT - exemplos

DTFT - exemplos

De (35) no slide anterior os gráficos do módulo e da fase do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de frequências angulares digitais de 𝑥[𝑛] no intervalo −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 resultam em

DTFT - exemplos

(c) Gráficos obtidos em (b) com o eixo da abscissa representando o intervalo de frequências analógicas − Τ𝑓𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤ Τ𝑓𝑠 2 .

Portanto, cada k-ésimo cosseno de amplitude A_k , fase ϕ_ke frequência f_k no domínio tempo contínuo gerou um espectro

formado por dois impulsos complexos de amplitude A_kπ no domínio frequência, ambos respectivamente ocorrendo em – f_ke +f_k, com fase de cada impulso respectivamente sendo - ϕ_ke + ϕ_k.

𝑥 𝑡 = 𝑎1cos 2𝜋𝑓1𝑡 + ∅1 + 𝑎2cos 2𝜋𝑓2𝑡 + ∅2 (sinal analógico na entrada do conversor A/D) DTFT - exemplos

Refaça o Exemplo 2 (ver slide 23) para uma frequência de amostragem 𝑓𝑠 = 32𝑘𝐻𝑧 . Homework

Pede-se:

(a) Plote o gráfico da sequência 𝑥[𝑛] para ∆𝑡 = 10 𝑓Τ 𝑠 no intervalo 0 ≤ 𝑛 ≤ 20;

(b) Plote o gráfico do módulo e da fase do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de frequências angulares digitais de 𝑥[𝑛] no intervalo −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋;

(c) Plote os gráficos obtidos em (b) com o eixo da abscissa representando o intervalo de frequências analógicas − Τ𝑓_𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤ Τ𝑓_𝑠 2;

(d) Repita (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ5 𝑓𝑠; (e) Repita (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ2 𝑓𝑠; (f) Repita (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ1 𝑓𝑠;

(g) Estabeleça conclusões a partir dos resultados encontrados de (a)-(f). DTFT - exemplos

Exemplo 3: Um conversor A/D com frequência de amostragem 𝑓𝑠 = 64𝑘𝐻𝑧 digitaliza um sinal analógico 𝑥(𝑡) que é um pulso retangular de amplitude 𝐴 = 1, iniciando em 𝑡 = 0 e de duração ∆𝑡, conforme mostra a figura.

Seja 𝑥[𝑛] a sequência na saída do conversor A/D resultante da digitalização de 𝑥(𝑡).

∆𝑡 𝑡

(a) Gráfico da sequência 𝑥[𝑛] para ∆𝑡 = 10 𝑓Τ _𝑠 no intervalo 0 ≤ 𝑛 ≤ 20:

𝑥[𝑡] é um pulso retangular de amplitude 𝐴 = 1, iniciando em 𝑡 = 0, e de duração ∆𝑡 = 10 𝑓Τ 𝑠, 𝑓𝑠 = 64𝑘𝐻𝑧. DTFT - exemplos

(b) Gráfico do módulo e da fase do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de frequências angulares digitais de 𝑥[𝑛] no intervalo −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋:

DTFT - exemplos

(c) Gráficos obtidos em (b) com o eixo da abscissa representando o intervalo de frequências analógicas − Τ𝑓𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤𝑓𝑠Τ2:

(d) Repetindo (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ5 𝑓_𝑠:

DTFT - exemplos

DTFT - exemplos

Os gráficos de módulo e fase

de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ 𝑥[𝑛] com o eixo da

abscissa representando o intervalo de

frequências analógicas − Τ𝑓𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤

Τ

(e) Repetindo (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ2 𝑓𝑠 :

DTFT - exemplos

DTFT - exemplos

Os gráficos de módulo e fase

de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ 𝑥[𝑛] com o eixo da

abscissa representando o intervalo de

frequências analógicas − Τ𝑓𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤

Τ

𝑓𝑠 2, são conforme apresentados ao

(f) Repetindo (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ1 𝑓_𝑠:

Os gráficos de módulo e fase de

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = ℱ 𝑥[𝑛] com o eixo da

abscissa representando o intervalo de

frequências analógicas − Τ𝑓𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤

Τ

𝑓𝑠 2, são conforme apresentados ao

lado:

(g) Conclusões a partir dos resultados encontrados de (a)-(f):

Quanto menor for a duração ∆𝑡 do pulso no domínio tempo contínuo antes do conversor A/D menor será a magnitude (=módulo = amplitude) do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 no domínio frequência digital 𝜔 após o conversor A/D . Simultaneamente, maiores serão as magnitudes das componentes espectrais de alta frequência no domínio frequência 𝜔 necessárias para construir o pulso no domínio tempo.

Ou seja, quanto mais rápida for a variação no tempo do sinal (= quanto mais estreito for um pulso de duração ∆𝑡), mais largo será o espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 resultante no domínio frequência digital 𝜔.

No limite, quando o pulso se torna um impulso, conforme descrito no item (f), 𝑋 𝑒𝑗𝜔 resulta em uma constante, indicando que todas as frequências 𝜔 no intervalo −𝜋 < 𝜔 < 𝜋 são necessárias para construir no domínio tempo uma variação tão rápida como é o impulso.

Por exemplo, conforme discutido no Cap I das notas de aula, descargas elétricas atmosféricas (relâmpagos) interferem as comunicações de rádio em uma ampla faixa de frequências. Isto ocorre porque um relâmpago pode ser aproximado por um impulso, e, portanto, o espectro resultante é extremamente largo, interferindo os sinais de rádio nas faixas de VLF, LF, MF, HF e VHF.

Pede-se:

(a) Plote o gráfico da sequência 𝑥[𝑛] para ∆𝑡 = Τ8 𝑓𝑠 no intervalo 0 ≤ 𝑛 ≤ 20;

(b) Plote o gráfico do módulo e da fase do espectro 𝑋 𝑒𝑗𝜔 de frequências angulares digitais de 𝑥[𝑛] no intervalo −𝜋 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋;

(c) Plote os gráficos obtidos em (b) com o eixo da abscissa representando o intervalo de frequências analógicas − Τ𝑓_𝑠 2 ≤ 𝑓 ≤ Τ𝑓_𝑠 2;

(d) Repita (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ8 𝑓𝑠; (e) Repita (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ4 𝑓𝑠; (f) Repita (a), (b) e (c) para ∆𝑡 = Τ2 𝑓𝑠;

(g) Estabeleça conclusões a partir dos resultados encontrados de (a)-(f).

Homework

Um conversor A/D com frequência de amostragem 𝑓𝑠 = 32𝑘𝐻𝑧 digitaliza um sinal analógico 𝑥(𝑡) que é um pulso retangular de amplitude 𝐴 = 1, iniciando em 𝑡 = 0 e de duração ∆𝑡, conforme mostra a figura.

Seja 𝑥[𝑛] a sequência na saída do conversor A/D resultante da digitalização de 𝑥[𝑡].

∆𝑡 𝑡