Estudo dos modelos de risco de mercado na crise do Brasil

(1)

FUNDAC

¸ ˜

AO GET ´

ULIO VARGAS

ESCOLA DE MATEM ´

ATICA APLICADA

CURSO DE GRADUAC

¸ ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA APLICADA

Estudo dos modelos de risco de mercado

na crise do Brasil

por

Helder Rezende

Rio de Janeiro 2016

FUNDAÇ ÃO GET ÚLIO VARGAS

(2)

FUNDAC

¸ ˜

AO GET ´

ULIO VARGAS

ESCOLA DE MATEM ´

ATICA APLICADA

CURSO DE GRADUAC

¸ ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA APLICADA

Estudo dos modelos de volatilidade

na crise do Brasil

”Declaro ser o único autor do presente projeto de monografia que refere-se ao plano de trabalho a ser executado para continuidade da monografia e ressalto que não recorri a qualquer forma de colaboração ou aux´ılio de terceiros para realizá-lo

a n˜ao ser nos casos e para os fins autorizados pelo professor orientador”

Helder Rezende

Orientador: Yuri Fahham Saporito

Rio de Janeiro 2016

(3)

HELDER REZENDE

Estudo dos modelos de volatilidade

na crise do Brasil

“Monografia apresentada à Escola de Matemática Aplicada como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel

em Matem´atica Aplicada”

Aprovado em de de .

Grau atribuido ao Projeto de Monografia: .

Professor Orientador: Yuri Fahham Saporito Escola de Matem´atica Aplicada

(4)

(5)

Conte ´udo

1 Introdução 4 1.1 Estat´ıstica básica . . . 4 1.1.1 Valor Esperado . . . 4 1.1.2 Variância . . . 4 1.1.3 Desvio Padrão . . . 4 1.1.4 Covariânca e Correlação . . . 4 2 Séries temporais 4 2.1 Introdução . . . 4 2.1.1 Tipos de processos . . . 5 2.2 AR . . . 5 2.3 MA . . . 5 2.4 ARMA . . . 5 2.5 Conceito de Risco . . . 5 2.6 VaR . . . 7 2.6.1 Limitações do VaR . . . 7 2.6.2 Distribuição Normal . . . 8 2.6.3 Log-Retorno . . . 8 3 Metodologia 9 3.1 Modelos de Volatilidade . . . 9 3.1.1 Histórico . . . 9 3.1.2 EWMA . . . 9 3.1.3 GARCH . . . 10 3.2 Modelos de VaR . . . 10 3.2.1 Simulação Histórica . . . 10 3.2.2 Paramétrico . . . 10 3.2.3 Cópulas . . . 11 4 Resultados 14 4.1 Introdução . . . 14 4.2 Backtesting . . . 15 5 Conclusão 17 5.1 Trabalhos futuros . . . 17

(6)

Resumo

De acordo com Phillipe Jorion dos pioneiros do VaR(Value at Risk), uma boa estimação é fundamental para o gerenciamento de risco. Portanto, o trabalho investi-gará os principais modelos de VaR. O modelo de cópulas, por ser o mais complexo, será tratado com um maior foque no trabalho.

Nesse contexto, é importante analisar também os principais modelos de volatili-dade tais como média histórica, EWMA e GARCH. Será implementado os modelos de VaR com diferentes modelos de volatilidade e, para finalidade de teste, os res-pectivos backtesting no per´ıodo volátil no Brasil - devido a incertezas no cenário econômico e pol´ıtico. Para isso, será usado as cotações histórica das principais ações da bovespa e, com uma sólida argumentação estat´ıstica, avaliar as principais de-ficiências dos modelos propostos.

Palavras chave: VaR, modelos de risco, modelos de volatilidade, c´opulas, back-testing.

(7)

1 Introduc¸˜ao

1.1 Estat´ıstica b´asica

Antes de falar sobre risco de mercado e séries temporais, é importante definir con-ceitos estat´ısticos básicos.

1.1.1 Valor Esperado

O valor esperado, E(X ) de uma variável aleatória x é o valor média da sua população. Podemos escrever o valor esperado de x como µ tal que E(X ) = µ

1.1.2 Variˆancia

A variância de uma variável aleatória é o valor esperado da diferença ao quadrado entre a variável e a sua média:

var(X ) = E[(X − µ)2] .

1.1.3 Desvio Padr˜ao

O desvio padrão de uma variável aleatória x é a raiz quadrada da variância de x.

std(X ) =pvar(X )

1.1.4 Covariânca e Correlação

A covariância de duas variáveis aleatória x e y com valores esperado µxe µy é dado

por:

Cov(X ,Y ) = E[(X − µx)(Y − µy)]

Para que tenha a mesma escala, foi definido como correlac¸˜ao:

ρ(X ,Y ) =Cov(X ,Y ) σXσY

2 S´eries temporais

2.1 Introduc¸˜ao

O objetivo de uma série temporal consiste em elaborar um modelo estat´ıstico que descreva adequadamente a procedência de uma série. Com o modelo estimado, podemos usá-lo para prever a evolução futura ou entender a relação dos componentes. Existem diversos modelos, o mais famosos são: modelo autoregressivo AR de ordem p, a Média móvel MA de ordem q e a mistura dos dois modelos ARMA de ordem p e q. Estes mo-delos têm como objetivo explicar a correlação de uma variável. Para as séries financeiras, esses modelos tentam estimar a média dos retornos.

(8)

Entretanto, esses modelos não levam em consideração que as séries financeiras apre-sentam heterocedasticidade, ou seja, a variância não é constante ao longo do tempo. Nesta finalidade, os modelos ARCH e sua variação GARCH conseguem modelar essa mudança na variância.

2.1.1 Tipos de processos

Um processo estocástico Xt é estacionário quando as propiedades estat´ısticas de

qualquer sequência finita x1, x2, ..xnsão semelhantes às sequências x1+h, x1+h, ..., xn+h.

Já o processo não estácionário é quando as propriedades estat´ısticas como a variância, por exemplo, de uma sequência finita é diferente de uma sequência posterior.

2.2 AR

Dada um modelo s´erie temporal, {xt}, o modelo AR(p) ´e:

x_t= α1xt−1+ ... + αpxt−p+ wt = p

∑

i=1

α1xt−i+ wt

tal que wt ´e chamado de ru´ıdo branco e αp6= 0 para uma ordem p.

2.3 MA

Dada um modelo s´erie temporal, {xt}, o modelo MA(q) ´e:

xt= wt+ β1wt−1+ ... + βqwt−q

onde wt ´e ruido branco com E(wt) = 0 e variˆancia σ2.

2.4 ARMA

Dada um modelo s´erie temporal, {xt}, o modelo ARMA(p, q) ´e:

x_t= α1xt−1+ α2xt−2+ ... + wt+ β1wt−1+ β2wt−2+ βqwt−q

onde {wt} ´e ruido branco com E(wt) = 0 e variˆancia σ2.

2.5 Conceito de Risco

De acordo com Jorion [1], risco pode ser definido como a volatilidade dos resultados inesperados. Existem diversos tipos de risco, os principais s˜ao:

1. Risco de cr´edito 2. Risco operacional 3. Risco de liquidez 4. Risco de mercado

(9)

Dentre os quatro, o foco será no risco de mercado na crise brasileira de 2015 a 2016 e que envolve, principalmente, ativos negociados na BM&F e Bovespa. O risco de mercado é o risco de ter uma perda devido a variação de preço de um ativo financeiro. Com as grandes perdas que aconteceram no mercado financeiro nas principais crises financeiras, o risco de mercado, principalmente, ganhou a sua importância.

Ao analisar a cotação histórica do ´ındice bovespa entre 2001 e metade de 2016, percebe-se que entre 2008 e 2009 o ´ındice teve uma brusca queda. Nesse per´ıodo, acon-teceu uma grande recessão causado pela crise dos subprimes dos Estados Unidos.

Da mesma forma que aconteceu em outras crises financeiras, muitas instituições financeiras tiveram uma grande perda. Ou seja, ter uma gestão de risco eficiente, com um modelo que possa, de fato, calcular o risco real é de real importância. Nesse sentido, ter um bom modelo de value at risk (VaR), teste de stress e um modelo eficiente para calcular a volatilidade são fundamentais.

(10)

2.6 VaR

No final dos anos 80, Lesley Daniels, principal gestor de risco do JP Morgan definiu a principal medida de risco no mercado financeiro ,o VaR (Value at Risk).

O VaR descreve o quantil da projeção de ganhos e perdas dado um horizonte. Se o n´ıvel de confiança for 95%, por exemplo, o VaR corresponde a 5% das piores perdas que podem acontecer.

Por exemplo, o método mais simples de calcular o VaR é o chamado VaR histórico. Para o cálculo do VaR histórico de um ativo, utiliza-se os retornos históricos, colaca-se em ordem decrescente e retira o retorno que representa o 5% piores.

A figura mostra a distribuição de retornos histórico diário da ação ITUB4 e a linha azul representa o retorno que representa 5%. Portanto o VaR histórico com um n´ıvel de confiança de 95% com o horizonte de um dia é -3.11%.

A definição do VaR de um portfólio no tempo t com nivel de confiança 1 − α é, de uma maneira mais formal:

VaRt(α) = in f {s : Fp,t(s) ≥ α}

onde Fp,t é a função distribuição dos retornos Xp,t no tempo t.

De acordo com o Jorion [1], o c´alculo do VaR pode ser resumido nos seguintes passos:

1. Marcar a mercado os ativos. Ou seja, precificar com o valor justo. 2. Medir a variabilidade dos fatores de risco.

3. Determinar um horizonte de tempo. Normalmente escolhe o per´ıodo de um dia. 4. Escolher o n´ıvel de confianc¸a. Normalmente, utiliza-se 90%, 95% e 99%. 5. Reportar a perda potencial.

2.6.1 Limitac¸˜oes do VaR

Apesar do VaR ser uma medida de risco importante, ele tem algumas limitações. A principal delas é de que os métodos de estimação do VaR não assumem os eventos

(11)

extremamente raros como a crise financeiras - os chamados cisnes negros. Para amenizar essa limitações, o gestor de risco simula cenários, chamado teste de estresse. Nele é poss´ıvel simular o que aconteceria com a carteira de ativos se acontecesse uma crise financeira, corrida bancária e etc.

2.6.2 Distribuic¸˜ao Normal

Dentro das premissas estat´ısticas, talvez a mais importante para alguns modelos de VaR é assumir que a distribuição dos retornos de uma ação é uma distribuição normal. Definindo P0como preço atual e P1como o próximo preço de uma ação, podemos definir

como retorno:

r= (P1− P0)/P0

Como assumimos que a distribuição dos retornos segue uma distribuição normal:

r∼ φ(µ, σ)

Ao analisar o histograma dos retornos da ação brasileira AMBEV no périodo de 01/01/2014 a 06/07/2016, por exemplo, encontramos a seguinte distribuição:

O que percebemos é que a maioria dos retornos não seguem exatamente uma distribuição normal. Geralmente os histogramas do retornos apresentam uma cauda gorda e uma assi-metria.

2.6.3 Log-Retorno

O log-retornos em finanças é ampliamente usado devido aos benef´ıcios tanto teórico como algébrico. O retorno ao longo do tempo é facilmente calculado por:

R₀₂= ln[S2 S₀] = ln[ S₂ S₁ S₁ S₀] = ln[ S₁ S₀] + ln[ S₂ S₁] = R01+ R12

Portanto, para calcular o retorno acumulativo basta somar ao invés de multiplicar. O seu uso é justificado pelo fato que o log-retorno é bem próximo ao retorno bruto quando os retornos são pequenos:

(12)

3 Metodologia

3.1 Modelos de Volatilidade

3.1.1 Hist´orico

O método mais simples e bastante utilizado é calcular a volatilidade através de uma média móvel. Dado que observamos retornos rt sobre M dias, a estimativa de volatilidade

é calculada a partir de uma média móvel:

σ2_t = (1/M)

M

∑

i=1

r_t−i2

Utilizam-se retornos ”puros”, em vez de retornos ao redor da m´edia. O fato de ignorar os retornos esperados sob intervalos curtos faz pouca diferenc¸a.

Uma das desvantagens desse método é que os retornos têm o mesmo peso na hora de estimar a volatilidade. Para melhorar a estimação, é recomendado que se use janelas curtas de 30, 60 dias.

3.1.2 EWMA

O método EWMA (exponentially weighted moving average, médias móveis expo-nencialmente ponderadas) ou abordagem do RiskMetrics utiliza a metodologia de dar uma maior importância para os retornos recentes. Sendo assim, a previsão para o instante t é a média podenrada da previsão anterior com um peso λ (fator de decaimento), e ao quadrado da última inovação com peso (1 − λ).

h_t= λht−1+ (1 − λ)rt−12

Usualmente, o valor de λ fica em torno de .94 a .99 (Riskmetrics utiliza o λ = 0.94). Para analisar os efeitos dos pesos exponenciais, é interessante comparar o método EWMA com o histórico.

Podemos perceber na figura acima que o método EWMA é mais sens´ıvel a mudança ao contrário do método histórico

(13)

3.1.3 GARCH

Apesar do EWMA ser um bom estimador para a volatilidade por dar um peso maior a variação recente, ele não considera que a volatilidade muda ao longo do tempo e que tem um efeito chamado de ”clusterização”.

Engle (1982) introduziu o modelo Autogressive Conditional Heteroskedastic (ARCH). Basicamente, o modelo ´e definido da seguinte forma:

σ2_t = α +

q

∑

i=1

βiε2t−1

onde σ_t2 ´e a variˆancia condicional.

Em 1992 Bollerslev modificou o modelo para ter uma estrutura mais flexivel e o nomeu como Generalised Autogressive Conditional Heteroskedastic (GARCH).

O GARCH(p, q) permite uma volatilidade mais persistente e uma variˆancia condi-cional dependente dos seus valores anteriores.

A forma geral do GARCH(p, q) ´e dado por:

Rt= µ + εt σ2_t = ω + q

∑

i=1 αiεt−i+ p

∑

j=1 βjεt− j

Entretanto, em Finanças, o modelo GARCH(1,1) é suficiente para capturar a ”clusterização”da volatildiade nos dados. O Modelo GARCH(1,1) é definido como:

σ2_t = ω + α1εt−12 + β1σ2t−1

Para que a variˆancia seja positiva em qualquer tempo, ´e imposto que ω > 0 e que α, β ≥ 0

3.2 Modelos de VaR

3.2.1 Simulação Histórica

A hipótese principal é de que o passado representa o futuro. Para calcular o VaR, basta calcular o quantil emp´ırico do histograma dos retornos passados. Ele é bastante usado por ser o método mais simples e de fácil entendimento, porém, o passado não representa o futuro para os ativos financeiros.

3.2.2 Param´etrico

O método paramétrico consiste em atribuir uma distribuição estat´ıstica conhecida e com isso calcular o VaR através do quantil da distribuição estimada. As duas distribuições mais utilizadas é a distribuição Normal e a t de Student.

(14)

Isso deixa claro que há a presença da cauda gorda. Utilizando o pacote do Python para calcular o gráfico do Q-Q plot, nota-se que o R2da normal foi 0.9915 enquanto da Student 0.9983.

3.2.3 C´opulas

A teoria de cópulas é uma ferramenta poderosa para modelar a distribuição con-junta. Ela nos permite definir a distribuição conjunta através das distribuições marginais e a depedências entre as variavéis.

Uma cópula é uma distribuição multivariada tal que as marginais são todas unifor-mes. Para um vetor de tamanho p, a copula C é:

C(u1, ..., up) = Pr(U1≤ u1, ...,Up≤ up)

Pelo fato de que qualquer variável aletória cont´ınua pode ser transformada numa uniforme, cópulas podem ser usadas para combinar dependências multivariadas de dife-rentes distribuições. De acordo com teorema de Sklar (1959), e definindo F como uma função de distribuição de probabilidade acumulada dimensão p com marginais F1, ..., Fp,

(15)

F(x1, x2, ..., Xp) = C{F1(x1), F2(x2), ..., Fp(xp)}

O cálculo do VaR através de cópulas para séries financeiras pode ser simplificada em quatro etapas:

1 - Plotar o scatterplot dos res´ıduos normalizados e entender a relac¸˜ao entre eles.

2 - Calcular as suas respectivas FDA (Função de Distribuição Acumulada). Aqui, pode-se usar a FDA emp´ırica ou FDA estimada. Para os ativos finaneiros, é interessante utilizar a t de Student devido a cauda gorda.

(16)

3 - Simular após estimar a melhor cópula - nesse exemplo utilizamos a cópula t, já que consegue explicar a dependência dos valores da cauda.

4 - Agora basta transformar os valores simulados para a sua escala original com os parãmetros estimados da distribuição escolhida.

(17)

4 Resultados

4.1 Introduc¸˜ao

A linguagem de programação utilizada na implementação dos modelos foi, princi-palmente, em Python 3.5. Mas foi preciso de algumas funções da biblioteca de cópulas e GARCH em R.

A fonte dos dados foi através do api do yahoo finance por meio do pacotes Pandas do Python. A janela de dados foi de 255 dias uteis de 2014/01/01 à 2016/03/20. A carteira utilizada tem 4 ativos com o mesmo peso, os ativos são: RADL3, BRML3, ABEV3 e PCAR4.

O desempenho da carteira nesse per´ıodo foi:

Como a nossa carteira está em posição comprada nos quatro ativos, a carteira teve uma queda brusca no ano de 2015 devido o agravamento da crise brasileira. Já a partir de janeiro teve uma leve recuperação após a decisão do impeachment.

Para calcular o VaR através de cópulas, a distribuição utilizada para as distribuições marginais foi a t de Student. É ideal que as observações sejam independentes e identica-mente distribu´ıdas i.i.d. Entretanto, como já dito, os retornos financeiros apresentam um certo grau de autocorrelação e heterocedasticidade.

O modelo proposto pelo artigo do MATLAB [6]:

modelo autorregressivo de primeira ordem para m´edia condicional r_t = c + θrt−1+ εt

modelo GARCH para variˆancia condicional

σ2_t = κ + ασ_t−12 + φε2_t−1

e os res´ıduos modelados por uma t de Student para compensar a cauda gorda z_t = εt/σt

(18)

A função de autocorrelação dos retornos e dos retornos ao quadrado para um ativo da carteira:

No geral, os ativos não apresentaram uma autocorrelação e, por isso, foi aplicado o modelo GARCH com AR(0). A função de autocorrelação dos res´ıduos do modelo:

4.2 Backtesting

A forma mais comum de testar os modelos de riscos é através do backtesting -compara as estimativas de risco com perdas ocorridas de fato através de testes estat´ısticos. Estes métodos analisam a série de violações do VaR.

A seguir, os gráficos mostram as violações que cada método teve. De acordo com o teste de Kupiec, para uma análise de 255 dias e um n´ıvel de confiança de 99% o número de exceções deve ser menor que 7 para que o modelo seja coerente.

(19)

Exceções em 255 dias Histórico 6 Paramétrico 7 Cópulas 0 Exceções em 255 dias Histórico 6 Paramétrico - EWMA 6 Cópulas 0

(20)

5 Conclus˜ao

Apesar de nenhum modelo ter falhado no teste de Kupiec, o paramétrico com vola-tilidade histórica ficou no limite e o históico com um a menos do limite. Pelos gráficos, percebe-se que o histórico e o paramétrico com volatilidade histórica é menos sens´ıvel a mudanças da volatilidade. Em contraste, o modelo de cópulas e paramétrico com vo-latilidade EWMA tiveram uma reação parecida, apesar do método de cópulas ser mais conservador.

Podemos dizer que o método de Cópulas e paramétrica com volatildiade EWMA ti-veram um melhor desempenho na crise brasileira. Entretanto, deve-se levar em consideração o custo computacional e o método de cópulas teve um custo computacional superior aos demais métodos, devido aos cálculos de otimização.

5.1 Trabalhos futuros

O trabalho fez uma análise de backtesting apenas para um n´ıvel de confiança e com uma janela de tempo. Seria interessante utilizar diferentes n´ıveis de confiança e janelas de tempo com diversas carteiras de ativos diferentes e tamanhos.

(21)

Referˆencias

[1] Jorion Philippe, Value At Risk - The New Benchmark for managing financial Risk, 2007.

[2] Marra Stephen, Predicting Volatility, 2015.

[3] Robert F Engle and Andrew J Patton, What good is a volatility model?, 2000 [4] Jorion Philippe, Financial Risk Manager, 2012

[5] John Hull, Opc¸˜oes, Futuros e Outros Derivativos, 2016

[6] MATLAB, Using Extreme Value Theory and Copulas to Evaluate Mar-ket Risk - https://www.mathworks.com/help/econ/examples/using-extreme-value-theory-and-copulas-to-evaluate-market-risk.html