Harmônicas no sistema trifásico simétrico

(1)

Circuitos Trifásicos

Aula 13

Harmônicas em Sistemas

Trifásicos

Engenharia Elétrica Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Harmônicas no sistema trifásico simétrico

Geralmente, astensõesem um sistema trifásico possuem simetria de

meia-onda, o que significaausências de harmônicas pares;

Portanto, seja uma fonte de tensão harmônica trifásica simétrica (com somente harmônicas ímpares).

Atensão de faseaApode ser expressa através de uma série de Fourier:

vaA=vm1cos(ωt) +vm3cos(3ωt) +vm5cos(5ωt) +vm7cos(7ωt) +· · · (1)

De modo análogo, para a tensão defasebBtem-se:

vbB = vm1cos(ωt−120◦) +vm3cos(3×(ωt−120◦)) +

vm5cos(5×(ωt−120◦)) +vm7cos(7×(ωt−120◦)) +· · · (2)

Finalmente, para a tensão defasecCtem-se

vcC = vm1cos(ωt+120◦) +vm3cos(3×(ωt+120◦)) +

(3)

Harmônicas no sistema trifásico simétrico

Reescrevendo as Tensões:

vaA=vm1cos(ωt) +vm3cos(3ωt) +vm5cos(5ωt) +vm7cos(7ωt) +· · · (4)

vbB = vm1cos(ωt−120◦) +vm3cos(3ωt−3×120◦) +

vm5cos(5ωt−5×120◦) +vm7cos(7ωt−7×120◦) +· · · (5)

vcC = vm1cos(ωt+120◦) +vm3cos(3ωt+3×120◦) +

(4)

Harmônicas no sistema trifásico simétrico

Reescrevendo novamente as tensões

vaA=vm1cos(ωt) +vm3cos(3ωt)+vm5cos(5ωt)+vm7cos(7ωt)+· · · (7)

vbB = vm1cos(ωt−120◦) +vm3cos(3ωt)+

vm5cos(5ωt+120◦)+vm7cos(7ωt−120◦)+· · · (8)

vcC = vm1cos(ωt+120◦) +vm3cos(3ωt)+

(5)

Harmônicas de Sequencia Zero em sistema trifásico

simétrico

Portanto, baseado em (7), (8) e (9), pode-se concluir que:

Para a harmônica de ordem 3, as tensões trifásicas estãoem fase(ou

seja, com diferença angular nula);

Isso ocorre para as harmônicas de ordem0, 3, 6, 9, 12, ..., ou seja, para

todas as harmônicas múltiplas de 3 (ou triplas);

(6)

Harmônicas de Sequencia Positiva em sistema

trifásico simétrico

Para as harmônicas de ordem 1 e 7, as tensões trifásicas estão

defasadas de 120 graus com sequencia de faseABC;

Isso ocorre para as harmônicas de ordem1, 4, 7, 10, 13, 16, ..., ou seja,

para todas as harmônicas 3xn+1, onde n é um número inteiro;

Estas harmônicas são conhecidas como sendo deSequência Positiva

(7)

Harmônicas de Sequencia Negativa em sistema

trifásico simétrico

Para a harmônica de ordem 5, as tensões trifásicas estão defasadas de

120 graus com sequencia de faseACB;

Isso ocorre para as harmônicas de ordem2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., ou seja,

para todas as harmônicas 3xn-1, onde n é um número inteiro;

Estas harmônicas são conhecidas como sendo deSequência Negativa

(8)

Harmônicas de tensão na conexão em estrela

Para a fonte conectada em estrela, as tensões de fase são as dadas por

(7), (8) e (9), ou seja,van=vaA,vbn=vbBevcn=vcC;

As tensões de linha são:

vab = van−vbn= √

3_v_m1cos(ωt+30◦) + √

3_v_m5cos(5ωt₋30◦) +

√

3_v_m7cos(7ωt+30◦) +_{· · ·} (10)

vbc = vbn−vcn= √

3_v_m1cos(ωt₋90◦) + √

3_v_m5cos(5ωt+90◦) +

√

3_v_m7cos(7ωt₋90◦) +_{· · ·} (11)

vca = vcn−van= √

3_v_m1cos(ωt+150◦) + √

3_v_m5cos(5ωt₋150◦) +

√

(9)

Harmônicas de tensão na conexão em estrela

v(t)

t

(10)

Harmônicas de tensão na conexão em estrela

v(t)

t

Figura 1:Tensões de fase (com3aharmônica).

v(t)

t

(11)

Harmônicas de tensão na conexão em estrela

Desta forma,as tensões de linha de uma fonte trifásica em estrela não

possuem harmônicas triplas;

Atensão de fase eficazé dada por:

Vf =

s _v m1 √ 2 2 + _v m3 √ 2 2 + _v m5 √ 2 2 + _v m7 √ 2 2

+_{· · ·} (13)

Já atensão de linha eficazé dada por:

VL=

√ 3 s _v m1 √ 2 2 + _v m5 √ 2 2 + _v m7 √ 2 2

(12)

Harmônicas de tensão na conexão em estrela

Portanto,VL₆=√3_Vf_{, ou}_VL_<√3_Vf_{, mesmo para a geração simétrica;}

(13)

Harmônicas de corrente na conexão em estrela

Geração e carga equilibradas ou não, conectadas em estrela a quatro fios:

Se acarga é desequilibrada, então acorrente no neutroé diferente de zero,

contendotodas as harmônicas de corrente;

Por outro lado, se acarga é equilibradaa corrente no neutro também é diferente de zero, sendo constituída somente pelascomponentes de terceira harmônica;

Atensão de deslocamento de neutroem ambos os casos,se a impedância

de neutro é zero, énula.

Geração e carga equilibradas ou não, conectadas em estrela a três fios:

Se acarga é desequilibrada, atensão de deslocamento de neutroé

diferente de zero, contendotodas as harmônicasde tensão;

Por outro lado, se acarga é equilibradaatensão de deslocamento de neutro também é diferente de zero, sendo constituída somente pelas componentes

(14)

Exemplo 1

Um gerador trifásico, simétrico, possui uma tensão de fase que contém somente harmônicas ímpares até a sétima. As tensões eficazes de fase

e de linha medidas na saída do gerador são128_e221_V_,

respectivamente. Três resistores de10_Ω_{conectados em estrela, quatro}

fios, são alimentados por esse gerador. Calcule o valor eficaz da terceira harmônica da tensão de fase. Além disso, calcule a indicação do

amperímetro conectado no fio neutro.

Resposta:

Vm3=10,20V (rms)

(15)

Exemplo 2

Um gerador trifásico, simétrico, quatro fios, sequênciaabc, tensão de

fase geradavan=125 cos(377t)−10 cos(1 131t−60◦)V, alimenta uma

carga conectada em estrela cujas impedâncias por fase sãoZA=5Ω,

ZB= (5−j5) ΩeZC= (5+j5) Ωna frequência fundamental. Calcule o

valor eficaz da corrente no neutro.

Resposta:

(16)

Exemplo 3

Calcule a potência ativa média trifásica transferida à impedância do exemplo anterior.

Resposta:

(17)

Exemplo 4

Um gerador trifásico, simétrico, três fios, sequênciaabc, tensão de fase

geradavan=125 cos(377t) +15 cos(1 131t+30◦)V, alimenta uma carga

conectada em estrela cujas impedâncias por fase sãoZA=10Ω,

ZB=15ΩeZC=20Ω. Calcule as correntes de linha

Resposta:

Ia=10,130 cos(377t+4,71◦)A

Ib=8,810 cos(377t+229,11◦)A

(18)

Exemplo 5

Calcule a potência média trifásica no exemplo anterior.

Resposta:

(19)

Exemplo 6

Dois wattímetros são utilizados para medir a potência trifásica do exemplo 4. Os wattímetros possuem suas bobinas de corrente inseridas

nas fasesaebe suas bobinas de potencial conectadas na fasec.

Calcule a potência trifásica.

Resposta:

PWa=901,45W

(20)

Harmônicas de tensão na conexão em triângulo

Seja uma fonte harmônica trifásica conectadas conforme figura abaixo.

c=B

−

+

vbB

b=A

− + vaA a − + vcC C vaC

Figura 3:Fonte em triângulo aberto.

vaC=vaA+vbB+vcC (15)

vaC =3vm3cos(3ωt) +3vm9cos(9ωt) +3vm15cos(15ωt) +· · · (16)

Portanto, atensão entre os terminais em aberto do triângulo possui

somente as componentes de terceira harmônica.

Desta forma,a conexão dos terminaisaeCpropicia a circulação de

corrente de terceira harmônicano interior do triângulo, causando uma

(21)

Harmônicas de tensão na conexão em triângulo

Considerando aFontesimétrica, então haverá uma queda de tensão em

cada fase, denotada porvtri, éum terço da tensãovaC, ou seja:

vtrip=vm3cos(3ωt) +vm9cos(9ωt) +vm15cos(15ωt) +· · · (17)

c − + vbB a −+ vtrip − + vaA b

− + vtrip

−+

vcC

−

+

vtrip

(22)

Harmônicas de tensão na conexão em triângulo

As tensões de linha na geração são

vab=vaA−vbob=vm1cos(ωt) +v_m5cos(5ωt) +vm7cos(7ωt) +_{· · ·} (18)

vbc=vbB−vbob=vm1cos(ωt₋120◦)+v_m5cos(5ωt+120◦)+v_m7cos(7ωt₋120◦)+_{· · ·} (19)

vca=vcC−vbob=vm1cos(ωt+120◦)+v_m5cos(5ωt₋120◦)+vm7cos(7ωt+120◦)+_{· · ·} (20)

(23)

Harmônicas de tensão na conexão em triângulo

Astensões eficaz de fase e linha, respectivamente, são dadas por

vf =

s

vm1

√ 2

2

+

vm3

√ 2

2

+

vm5

√ 2

2

+

vm7

√ 2

2

+· · · (21)

vL=

s _v m1 √ 2 2 + _v m5 √ 2 2 + _v m7 √ 2 2

+· · · (22)

Portanto,vL₆=vf, ouvL<vf, mesmo para a geração simétrica.

(24)

Exemplo 7

A tensão induzida na bobina de um gerador trifásico é dada por

vaA=125 cos(377t) +20 cos(1 131t−30◦) +10 cos(1 885t+45◦)V. Calcule a tensão de linha, se o gerador está conectado em triângulo, sequência

abc.

Resposta:

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Harmônicas de corrente na conexão em triângulo

Para umacarga desequilibrada, ou não, conectada em triângulo, a

corrente de fasena carganão possui as componentes de terceira harmônica, visto que atensão de linha, conectado em triângulo ou

estrela,não contém tais componentes;

Se todas as harmônicas de corrente existem nas fases do triângulo, então a corrente de linha não contém componentes triplas.

Acorrente de linha não possui componentes harmônicas triplas.

Para umacarga equilibrada,IL6=

(26)

Exemplo 9

Repita o exemplo 4, transformando-se a impedância em estrela para triângulo.

Resposta:

Ia=10,130 cos(377t+4,71◦)A

Ib=8,810 cos(377t+229,11◦)A

(27)

Exemplo 10

Um sistema de geração trifásico, simétrico, 3 fios, sequênciaacb,

alimenta duas cargas em paralelo. Uma delas é desequilibrada,

conectada em triângulo, cujas impedâncias por fase sãoZAB=1Ω,

ZBC =−j1ΩeZCA=j1Ω. A outra carga é monofásica, conectada entre

as fasesaeb, cuja impedância é(2₊_j2_{) Ω. Tais impedâncias referem-se}

à frequência fundamental. Um amperímetro está conectado na fasea

entre as duas cargas. Calcule a indicação do amperímetro e a potência média trifásica transferida à carga em triângulo, se a tensão de fase na