1. SISTEMA COM EQUAÇÕES IDÊNTICAS - SegundoTrabalhoIndividual.pdf

(1)

REVISÃO

1. SISTEMA COM EQUAÇÕES IDÊNTICASQ Ç

P_i_i(D)y( )y_i_i são equações diferenciais idênticas, em estrutura algébrica, porém,q g p com diferentes parâmetros e valores iniciais.

P (D) E ( ) P_i(D)y_i = E_i(t)

E (t) y (t)

(Forma matricial) P(D)y = [E(t)]

P₁(D)y₁

E₁(t) y₁(t)

E₁(t)

P(D)y [E(t)]

≡

E₂(t)

P₂(D)y₂ y2(t) _E₂_(t) _y(t)

E₃(t) y₃(t) _E₃_(t)

P(D)y

3( )

(2)

REVISÃO

2. SISTEMA EM CASCATA

P_i(D)y_i são equações diferenciais idênticas, em estrutura algébrica, porém, com diferentes parâmetros e valores iniciais.p

P₁(D)y₁ = E(t) P (D)y = r y (t)

P(D)y = [E(t) r₁.y₁(t) r₂.y₂(t)]T

E₁(t) P₂(D)y₂ r₁.y₁(t)

P₃(D)y₃ = r₂.y₂(t)

1( )

r y (t) y(t)

y (t)

E(t) r₁.y₁(t)

P(D)y y(t)

y₁(t) E(t)

P₁(D)y₁

≡

r₂.y₂(t) y₂(t)

r₁.y₁(t)

P₂(D)y₂ r₁

y₃(t) 2( )y2

1

[r₁ r₂ 1]

y₃(t)

P₃(D)y₃

r₂.y₂(t)

(3)

REVISÃO

3. VALOR MÁXIMO (Exemplo)( p )

Um sistema dinâmico, modelado pelo sistema equações diferenciais

y₁"(t) + 2.y₁'(t) + 17.y₁(t) = E(t) e y₂"(t) + 4.y₂'(t) + 29.y₂(t) = 5.y₁(t), está

y₁ (t) y₁ (t) y₁(t) (t) e y₂ (t) y₂ (t) 9 y₂(t) 5 y₁(t), es

em repouso até o instante t < t₀. A fonte de entrada é dada por E(t). E(t) = 34, t < t₀; E(t) = 68, t₀ ≤ t < t₀+ t_p; E(t) = 42, t ≥ t₀ + t_p; t₀ = 4s, t_p = 2,5s.

Pede-se:

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

1. O diagrama de blocos completo;

2. Valor final de E(t), na unidade de entrada, e y(t) no diagrama de blocos;

4. O tempo t_m, no diagrama de blocos, que ocorre o valor máximo de y(t); 3. O valor máximo de y(t) no diagrama de blocos;

6. Os gráficos das funções E(t), na unidade de entrada, e y(t).

5. O gráfico da função derivada y_max´(t), no subsistema – 2, junto com y(t);

E(t) y₁(t) y₂(t)

(4)

REVISÃO

3. VALOR MÁXIMO (Exemplo)( p )

E(t) y₁(t) 5.y₁(t) y₂(t)

y₁”(t) + 2.y₁’(t) + 17.y₁(t) 5 y₂”(t) + 4.y₂’(t) + 29.y₂(t)

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

[ ] [

b = 2 4

]

[ ] [

c = 17 29

]

[ ]

_⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ =

1 0

0 1 I

[y(t)] E(t)

[y”(t)]T _{+ [b].[I].[y’(t)]}T _{+ [c].[I].[y(t)]}T

[y( )] 5.y₁(t)

y₂(t)

(5)

REVISÃO

3. VALOR MÁXIMO (Solução)( ç )

VALOR MÁXIMO

It 1

Item - 1

tn1, Valor máx1 tn2, Valor máx2 [Item 4 Item 3] Valor final

Osciloscópio Item 6

2.935 4.76 [Item 4 Item 3] 42

Valor final Item 2

2.464 0 4242

Item 6

[y1(t) y2(t)] E(t)

E(t)

3.083 0.9215 0.4242

Valor final Item 2

Timer

yi(t) tni, ymáxi(tn)

S bSi t 2

E(t) yi(t)

SubSistema 1

1

Conversão

[y1(t) y2(t)] [[tn1 yma1] [tn2 yma2]] E(t)

E(t) = 34, t < t0

E(t) = 68 t0 <= t < t0 + tp t0 = 2

Timer _{SubSistema - 2}

MÁXIMO SubSistema - 1

Conversão de unidade

[tn2 yma2]]

(6)

REVISÃO

SubSistema - 1 SubSistema 1

Item - 1

[2 4] [2.y1'(t) y2'(t)]

y1(t <= 2) = 2 y2(t <= 2) = 10/29

1 1

[2 4]

Ganho 1

E(t) E(t)

[y1(t) y2(t)]

1 yi(t) 1

s

Integrador 1

s

Integrador 5.y1(t)

[E(t) 5.y(t)]

[y1(t) y2(t)] yi"(t) [y1'(t) y2'(t)]

[17 29] [17.y1(t) 29.y2(t)]

[y1(t) y2(t)]

Ganho

5*u[1]

5.y1(t) [y1(t) y2(t)]

-1 + 4.j e -1 - 4.j -2 + 5.j e -2 - 5.j

y1"(t) + 2.y1'(t) + 17.y1(t) = E(t) y2"(t) + 4.y2'(t) + 29.y2(t) = 5.y1(t)

(7)

REVISÃO

SubSistema - 2 SubSistema 2

Item - 1

Chave t

t

[t y1(t)] [t y1(t)]

Tempo

[y1(t) y2(t)] _t

[t y1(t)] [t y1(t)]

yma1'(t) y1(t)

y1(t)

y2(t)

y2(t) [t y2(t)]

1 tni, ymáxi(tn) max

Memória

(20 20)

Chave 1

yi(t)

[y1(t) y2(t)] [yma1(t)

yma2(t)] [yma1'(t)yma2'(t)]

[tn1 yma1(tn1)]

[t y2(t)] _{[tn2 yma2(tn2)]}

[[tn1 yma1(tn1)] [tn2 yma2(tn2)]]

MinMax

1

Ganho

M ó i yi(t)

[yma1'(t) yma2'(t)]

yma2'(t)

Memória _Integradors Memória

[y1(t) y2(t)] yma1'(t) yma2'(t)

(8)

REVISÃO

(9)

REVISÃO

(10)

REVISÃO

4. VALOR MÍNIMO (Exemplo)( p )

Um sistema dinâmico, modelado pelo sistema equações diferenciais

y₁"(t) + 2.y₁'(t) + 17.y₁(t) = E(t) e y₂"(t) + 4.y₂'(t) + 29.y₂(t) = 5.y₁(t), está

y₁ (t) y₁ (t) y₁(t) (t) e y₂ (t) y₂ (t) 9 y₂(t) 5 y₁(t), es

em repouso até o instante t ≤ t₀. A fonte de entrada é dada por E(t). E(t) = 68, t < t₀; E(t) = 34, t₀ ≤ t < t₀ + t_p; E(t) = 50, t ≥ t₀ + t_p; t₀ = 4s, t_p = 2,5s

Pede-se:

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

2. Valor final de E(t), na unidade de entrada, e y(t) no diagrama de blocos; 1. O diagrama de blocos completo;

4. O tempo t_m, no diagrama de blocos, que ocorre o valor mínimo de y(t); 3. Valor mínimo de y(t) no diagrama de blocos;

6. Os gráficos das funções E(t), na unidade de entrada, e y(t).

5. O gráfico da função derivada y_max´(t), no subsistema – 2, junto com y(t);

E(t) y₁(t) y₂(t)

(11)

REVISÃO

4. VALOR MÍNIMO (Exemplo)( p )

E(t) y₁(t) 5.y₁(t) y₂(t)

y₁”(t) + 2.y₁’(t) + 17.y₁(t) 5 y₂”(t) + 4.y₂’(t) + 29.y₂(t)

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

[ ] [

b = 2 4

]

[ ] [

c = 17 29

]

[ ]

_⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ =

1 0

0 1 I

[y(t)] E(t)

[y”(t)]T _{+ [b].[I].[y’(t)]}T _{+ [c].[I].[y(t)]}T

[y( )] 5.y₁(t)

y₂(t)

(12)

REVISÃO

4. VALOR MÍNIMO (Solução)( ç )

VALOR MÍNIMO VALOR MÍNIMO

Item - 1

tn1, Valor mín1 tn2, Valor mín2 [Item 4 Item 3] Osciloscópio

It 6

3.02 1.427 3 089 [Item 4 Item 3]

50 Valor final

Item 2

2.946

Item 6 E(t)

E(t) _{[y1(t) y2(t)]}

3.089 0.1145 0.5083

Valor final Item 2

Timer

yi(t) tni, ymíni(tn)

SubSistema - 2

E(t) yi(t)

SubSistema - 1

1

Conversão

E(t) [y1(t) y2(t)] [[tn1 ymí1]

[tn2 ymí2]]

E(t) = 68, t < t0

E(t) = 34, t0 <= t < t0 + tp, t0 = 2 E(t) 50 t > t0 + tp tp 2 5

SubSistema 2 MÍNIMO

de unidade

(13)

REVISÃO

SubSistema - 1

It 1

Item - 1

[2 4] [2.y1'(t) y2'(t)]

E(t)

y1(t <= 2) = 4 y2(t <= 2) = 20/29

1 1

1 Ganho 1

E(t) E(t)

[y1(t) y2(t)]

1 yi(t) s

Integrador s

Integrador 5.y1(t)

[E(t) 5.y(t)] yi"(t) [y1'(t) y2'(t)]

[17 29]

Ganho [17.y1(t) 29.y2(t)]

[y1(t) y2(t)]

1 4 j 1 4 j

Ganho

5*u[1] F

5.y1(t) [y1(t) y2(t)]

-1 + 4.j e -1 - 4.j -2 + 5.j e -2 - 5.j

y1"(t) + 2.y1'(t) + 17.y1(t) = E(t) y2"(t) + 4.y2'(t) + 29.y2(t) = 5.y1(t)

(14)

REVISÃO

SubSistema - 2

Item 1 Item - 1

1 s

[ymi1'(t) ymi2'(t)]

min MinMax

Memória Memória

s Integrador1

(20 20) 1

yi(t)

[y1(t) y2(t)]

[ i1(t) [ i1'(t) [t 1(t)] [tn1 ymi1(tn1)]

ymi1'(t)

[[tn1 ymi1(tn1)] [t 2 i2(t 2)]] ₁

tni, ymíni(tn) Tempo

(20 20)

Ganho

Chave 1 [y ( ) y ( )] [ymi1(t)

ymi2(t)] [ymi1'(t)ymi2'(t)]

t t

[t y1(t)]

[tn2 ymi2(tn2)]

[tn2 ymi2(tn2)]]

Chave Memória

[y1(t) y2(t)] t

[t y1(t)] y1(t)

y1(t)

y2(t)

y2(t) _{[t y2(t)]} _{[t y2(t)]}

O il ó i Chave

[y1(t) y2(t)] ymi1'(t) ymi2'(t)

[ y ( )] [ y ( )]

(15)

REVISÃO

(16)

REVISÃO

(17)

TRABALHO INDIVIDUAL

1 INICIAL

Data da proposição – 20/10/2010

1. INICIAL

Data da entrega – 19/11/2010

Usando o MATLAB simular o sistema proposto, conforme proposição anexa. Não pode usar a função de transferência s (derivada).

É obrigatório o uso do sistema vetorial como mostrado no exemplo É obrigatório o uso do sistema vetorial, como mostrado no exemplo.

2. REATÓRIOS SOLICITADOS

G áfi

l

li i d

Diagrama de blocos, após o processamento

Dúvidas? Dúvidas?

Gráficos com os valores solicitados no anexo

(18)

3. ANEXO

Um fluxo de água f_e(t) entra em um sistema de tanques, cujos níveis, y(t),

do interior de cada um, mantém-se estável até o tempo t = tp _n_n. No fundo de cada tanque tem um furo circular de raio r, através do qual, a água escoa sob influência da gravidade. O sistema de equações diferencias e os parâmetro estão definidos em cada diagrama

estão definidos em cada diagrama.

Pede-se:

( )

[ ]

y t =

[

y₁

( )

t y₂

( )

t

]

Pede se:

2. Valor final de f_e(t) e y(t) no diagrama de blocos; 1. O diagrama de blocos completo;

4. O tempo t_m, no diagrama de blocos, que ocorre o valor máximo ou mínimo de y(t); 3. Valor máximo ou mínimo de y(t) no diagrama de blocos;

5 O gráfico da função derivada y ´(t) ou y _i ´(t) no subsistema – 2 junto com y(t); 6. Os gráficos das funções f_e(t) e y(t).

Considerar: π = 3,1416, e g = 9,81 m/s2_{, a escala de tempo em hora.}

5. O gráfico da função derivada y_max (t) ou y_min (t) , no subsistema 2, junto com y(t);

(19)

4. ANEXO – a1 _{f (t)}

4. ANEXO a1

Tanques esféricos de raios R₁ = 10 m, R₂ = 9 m e r₁ =

f_e(t)

r₂ = 20mm. _y

1(t)

( ) 2 _{( )}

t y r

t

f_e ₋

( ) 2 ( )

2 t y r t y r

f₁(t)

(t)

( ) _{( )} _{( )}( )₂

1 1 1 1 1 1 . . 2 . . 2 . . . 2 ' t y R t y t y r g g t y −

= π ( ) _{( )}( ) _{( )}( )2

2 2 2 2 2 1 1 2 . . 2 . . . . 2 ' t y R t y t y r t y r g t y − − = t t se min m 0 7 3

⎧ <

máximo y2(t)

f (t)

( ) , t 10h

17 t t se , min m 0,6 t t 17 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n n 3 n n 3 n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t f_e

f₂(t)

006

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,65m min, se t 16 t t ,t 11

(20)

4. ANEXO – a2 _{f (t)}

4. ANEXO a2 _f

e(t) y₁(t) Tanques esféricos de raios R₁ = 9 m, R₂ = 10 m e r₁ =

20

f₁(t) r₂ = 20mm.

( ) _{( )}

1 2

1 . y t

r t

f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t

y₂(t)

( ) _{( )} _{( )}( )₂

1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y −

= π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

2

2 2 2 2 2 1 1 2 . . 2 . . . . 2 ' t y R t y t y r t y r g t y − = t t se min m 0 7 3

⎧ <

máximo

f₂(t)

( ) , t 10h

2( )

031

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,65m min, se t 16 t t ,t 11

(21)

4. ANEXO – a3 _{f (t)}

4. ANEXO a3

Tanques esféricos de raios R₁ = R₂ = 10 m, r₁ = 18mm 20

f_e(t)

e r₂ = 20mm. _y

1(t)

( ) _{( )}

1 2

1 . y t

r t

f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t

f₁(t)

( ) _{( )} _{( )}( )₂

1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y −

= π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

2

⎧ <

máximo

y₂(t)

( ) , t 11h

f₂(t)

059

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,65m min, se t 26 t t ,t 11

(22)

4. ANEXO – a4 _{f (t)}

4. ANEXO a4

Tanques esféricos de raios R₁ = R₂ = 10 m, r₁ = 20mm 18

f_e(t)

e r₂ = 18mm. _y

1(t)

( ) _{( )}

1 2

1 . y t

r t

f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t

f₁(t)

( ) _{( )} _{( )}( )₂

1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y −

= π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

2

⎧ <

máximo

y₂(t)

( ) , t 10h

f₂(t)

075

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,65m min, se t 26 t t ,t 11

(23)

4. ANEXO – a5 _{f (t)}

4. ANEXO a5

Tanques esféricos de raios R₁ = R₂ = 10 m, r₁ = r₂ = 20

f_e(t)

20mm. _y

1(t)

( ) _{( )}

1 2

1 . y t

r t

f_e ₋

( )

r2 y

( )

t −r2 y

( )

t

f₁(t)

( ) _{( )} _{( )}( )₂

1 1 1 1 1 1 . . 2 . 2 . . . 2 ' t y R t y y g g t y −

= π

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

2

⎧ <

máximo

y₂(t)

( ) , t 10h

f₂(t)

149

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,65m min, se t 26 t t ,t 11

(24)

4. ANEXO – b1 _{f (t)}

Tanque cônico com vértice no solo e base do cone em uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = 10 m, raio

f_e(t)

uma estrutura horizontal. Altura H₁ H₂ 10 m, raio

das bases são R₁ = 5m, R₂ = 4m e r₁ = r₂ = 20mm. y1(t)

( ) 2 _{( )}

t y r t

f_e

( ) 2 ( )

2

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e

π ( ) ( ) ( )

( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y

máximo y2(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ 2 ⎠

( ) , t 5h

12 t t se min m 0 5 t t 12 t se , min m 0,8 t t se , min m 0,7 n 3 n n 3 n 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + ≥ ≥ > + < = h h t

f_e

218

f2(t)

12 t t se , min m 0,5 _n

⎩ ≥ + h

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 3 t t , t 3

(25)

4. ANEXO – b2 _{f (t)}_f

e(t)

(t) Tanque cônico com vértice no solo e base do cone em

uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = 10 m, raio

f ( ) y₁(t)

uma estrutura horizontal. Altura H₁ H₂ 10 m, raio das bases são R₁ = 4m, R₂ = 5m e r₁ = r₂ = 20mm.

( ) 2 _{( )}

t y r t

f_e

( ) 2 ( )

2

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e

π ( ) ( ) ( )

( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y

máximo y2(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ 2 ⎠

( ) , t 2h

f_e

252

f2(t)

3 t t se , min m 0,5 _n

⎩ ≥ + h

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 4 t t , t 6

(26)

4. ANEXO – b3 _{f (t)}

f_e(t)

das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 18mm e r₂ = 20mm. y1(t)

( ) 2 _{( )}

t y r t

f_e

( ) 2 ( )

2

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e

π _{( )} ( ) ( )

( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y

máximo y2(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ H2 ⎠

( ) , t 5h

f_e

283

f2(t)

12 t t se , min m 0,5 _n

⎩ ≥ + h

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 12 t t , t 6

(27)

4. ANEXO – b4 _{f (t)}

f_e(t)

das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 20mm e r₂ = 18mm. y1(t)

( ) 2 _{( )}

t y r t

f_e

( ) 2 ( )

2

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e

π ( ) ( ) ( )

( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y

máximo y2(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ 2 ⎠

( ) , t 5h

f_e

335

f2(t)

12 t t se , min m 0,5 _n

⎩ ≥ + h

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 12 t t , t 6

(28)

4. ANEXO – b5 _{f (t)}

f_e(t)

das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = r₂ = 20mm. y1(t)

( ) 2 _{( )}

t y r t

f_e

( ) 2 ( )

2

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

( ) 2 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r g g t y e

π ( ) ( ) ( )

( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = H t y R t y r t y r g t y

máximo y2(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ 2 ⎠

( ) , t 5h

f_e

350

f2(t)

12 t t se , min m 0,5 _n

⎩ ≥ + h

⎧

mínimo

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 12 t t , t 6

(29)

4. ANEXO – c1 _{f (t)}

Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura horizontal Altura H = H = 10m raio das bases são

f_e(t)

y₁(t) horizontal. Altura H₁= H₂ = 10m, raio das bases são

R₁ = 5m, R₂ = 4m e r₁ = r₂ = 20mm.

y₁( )

f₁(t)

( )t

f f1(t)

y (t)

( )

( ) _{( )}

2 1

1 2 1 1

. .

2 . . . 2 '

R

t y r g t f

g t

y

e −

= π ( ) ( ) 2 ( )

2

2 2 2 1

2 1 2

. .

. . 2 '

R

t y r t y r g t

y = −

máximo

i 0 7 3 ⎧

y₂(t)

( ) , t 10h

35 t

t se , min m

0,2

t t 35 t

se , min m

0,9

t t se , min m

0,7

n

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

≥

≥ > +

< =

h h t

f_e

368

f2(t)

mínimo

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 30 t t , t 11

t t se , min m

0,75

3

n 3

(30)

4. ANEXO – c2 _{f (t)}_f

e(t)

y₁(t) Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura

horizontal Altura H = H = 10m raio das bases são y1( )

f₁(t) horizontal. Altura H₁= H₂ = 10m, raio das bases são

R₁ = 4m, R₂ = 5m e r₁ = r₂ = 20mm.

( )t

f f₁(t)

y (t)

( )

( ) _{( )}

2 1

1 2 1 1

. .

2 . . . 2 '

R

t y r g t f

g t

y

e −

= π ( ) ( ) 2 ( )

2

2 2 2 1

2 1 2

. .

. . 2 '

R

t y r t y r g t

y = −

máximo

i 0 7 3 ⎧

y₂(t)

( ) , t 5h

15 t

t se , min m

0,2

t t 15 t

se , min m

0,9

t t se , min m

0,7

n

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

≥

≥ > +

< =

h h t

f_e

375

f2(t)

mínimo

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, set 15 t t , t 6

t t se , min m

0,75

3

n 3

(31)

4. ANEXO – c3 _{f (t)}

f_e(t)

R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 18mm e r₂ = 20mm.

y₁( )

f₁(t)

( )t f

y (t)

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

2 1

1 2 1 1

. .

2 . . . 2 '

R

t y r g t f

g t

y

e −

= π ( ) ( ) 2 ( )

2

2 2 2 1

2 1 2

. .

. . 2 '

R

t y r t y r g t

y = −

máximo

i 0 7 3 ⎧

y₂(t)

( ) , t 10h

35 t

t se , min m

0,2

t t 35 t

se , min m

0,9

t t se , min m

0,7

n

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

≥

≥ > +

< =

h h t

f_e

488

f2(t)

mínimo

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 30 t t , t 11

t t se , min m

0,75

3

n 3

(32)

4. ANEXO – c4 _{f (t)}

f_e(t)

R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 20mm e r₂ = 18mm.

y₁( )

f₁(t)

( )t f

y (t)

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

2 1

1 2 1 1

. .

2 . . . 2 '

R

t y r g t f

g t

y

e −

= π ( ) ( ) 2 ( )

2

2 2 2 1

2 1 2

. .

. . 2 '

R

t y r t y r g t

y = −

máximo

i 0 7 3 ⎧

y₂(t)

( ) , t 10h

35 t

t se , min m

0,2

t t 35 t

se , min m

0,9

t t se , min m

0,7

n

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

≥

≥ > +

< =

h h t

f_e

584

f2(t)

mínimo

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 30 t t , t 11

t t se , min m

0,75

3

n 3

(33)

4. ANEXO – c5 _{f (t)}

f_e(t)

R₁ = R₂ = 5m, r₁ = r₂ = 20mm.

y₁( )

f₁(t)

( )t f

y (t)

f₁(t)

( )

( ) _{( )}

2 1

1 2 1 1

. .

2 . . . 2 '

R

t y r g t f

g t

y

e −

= π ( ) ( ) 2 ( )

2

2 2 2 1

2 1 2

. .

. . 2 '

R

t y r t y r g t

y = −

máximo

i 0 7 3 ⎧

y₂(t)

( ) , t 10h

35 t

t se , min m

0,2

t t 35 t

se , min m

0,9

t t se , min m

0,7

n

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= +

≥

≥ > +

< =

h h t

f_e

609

f2(t)

mínimo

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 30 t t , t 11

t t se , min m

0,75

3

n 3

(34)

4. ANEXO – d1 _{f (t)}

Tanque cônico com a base no solo horizontal. Altura H₁ = H₂ = 10m, raio das bases são R₁ = 5m, R₂ = 4m e

f_e(t)

(t)

( ) 2 _{( )}

t y r

t f_e

H₁ H₂ 10m, raio das bases são R₁ 5m, R₂ 4m e r₁ = r₂ = 20mm.

( ) 2 ( )

2

y₁(t)

f (t)

( )

( ) _{( )}

( )

( ) 2

1 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r g g t

y π ( )

( ) ( )

( )

( ) 2

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r t y r g t

y f1(t)

máximo

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ 2 ⎠

y₂(t)

( ) , t 5h

f_e

641

f2(t)

mínimo 15 t t se , min m 0,2 _n

⎩ ≥ + h

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 20 t t , t 5,5

(35)

4. ANEXO – d2 _{f (t)}

Tanque cônico com a base no solo horizontal. Altura H₁ = H₂ = 10m, raio das bases são R₁ = 4m, R₂ = 5m e

f_e(t)

(t) H₁ H₂ 10m, raio das bases são R₁ 4m, R₂ 5m e

r₁ = r₂ = 20mm. y1(t)

f (t)

( ) 2 _{( )}

t y r

t f_e

( ) 2 ( )

2 _f

1(t)

( )

( ) _{( )}

( )

( ) 2

1 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r g g t

y π ( )

( ) ( )

( )

( ) 2

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r t y r g t y

máximo y2(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ 2 ⎠

( ) , t 5h

f_e

698

f2(t)

⎩ ≥ + h

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 15 t t , t 5,5

(36)

4. ANEXO – d3 _{f (t)}

Tanque cônico com a base no solo horizontal. Altura H₁ = H₂ = 10m raio das bases são R₁ = R₂ = 5m r₁ =

f_e(t)

(t) H₁ H₂ 10m, raio das bases são R₁ R₂ 5m, r₁

18mm e r₂ = 20mm. y1(t)

f (t)

( ) 2 _{( )}

t y r

t f_e

( ) 2 ( )

2 f

1(t)

( )

( ) _{( )}

( )

( ) 2

1 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r g f g t y e

π ( ) ( ) ( )

( )

( ) 2

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r t y r g t y máximo

y₂(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ H2 ⎠

( ) , t 5h

f_e

741

f2(t)

⎩ ≥ + h

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 30 t t , t 11

(37)

4. ANEXO – d4 _{f (t)}

f_e(t)

20mm e r₂ = 18mm. y1(t)

f (t)

( ) 2 _{( )}

t y r

t f_e

( ) 2 ( )

2 f

1(t)

( )

( ) _{( )}

( )

( ) 2

1 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r g f g t y e

π ( ) ( ) ( )

( )

( ) 2

y₂(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ H2 ⎠

( ) , t 5h

f_e

783

f2(t)

⎩ ≥ + h

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 30 t t , t 5,5

(38)

4. ANEXO – d5 _{f (t)}

f_e(t)

r₂ = 18mm. y1(t)

f (t)

( ) 2 _{( )}

t y r

t f_e

( ) 2 ( )

2 f

1(t)

( )

( ) _{( )}

( )

( ) 2

1 1 1 1 1 1 . . . 2 . . . 2 ' ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = H t y H R t y r g f g t y e

π ( ) ( ) ( )

( )

( ) 2

y₂(t)

1 ⎟⎠ ⎜

⎝ H ⎝ H2 ⎠

( ) , t 5h

f_e

816

f2(t)

⎩ ≥ + h

⎧

( ) ⎪_⎨⎧ + > ≥ =

<

= h h

t

f 0,60m min, se t 30 t t , t 5,5

(39)

4. ANEXO – e1

Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = = 15m raio das bases são R = 5m e R = 4m r = r = 20mm

f_e(t)

15m, raio das bases são R₁ = 5m e R₂ = 4m, r₁ = r₂ = 20mm.

( )

2

_{( )}

t y t y r

t

f_e ₋ ₋

y₁(t) y₂(t)

( )

₂

( )

1

2 1

1

. .

2 . . . 2 '

R

t y t y r

g g

t

y = π

f₁(t)

f (t)

( )

₂ 2

( )

2 2 2

1 2 1 2

. .

. . 2 '

R

t y r

t y t y r

g t

y = − −

máximo mínimo

f_s(t)

2

R

( ) 0,8m min, se t 35 t t , t 5h t

t se , min m

0,7

n n n

3

n 3

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

> +

<

= h

t

f_e ( )

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

> +

<

= h h

t

f_e 0,60m min, se t 30 t t , t 5,5

t t se , min m

0,75

n 3

n n

3

n 3

35 t

t se , min m

0,2 3 _n

⎪

(40)

4. ANEXO – e2

Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = = 15m raio das bases são R = 4m e R = 5m r = r = 20mm

f_e(t)

( )

_{( )}

2 1

2 1 .

2 r y t y t

t

f_e ₋ ₋

15m, raio das bases são R₁ = 4m e R₂ = 5m, r₁ = r₂ = 20mm.

y₁(t) y₂(t)

( )

₂

1 1

. 2 . . . 2 '

R g

g t

y = π

f₁(t)

f (t)

( )

₂

( )

2

2 2

1 2

2

2' . 2. .

R

t y t

y t y g r

t

y = − −

máximo mínimo

f_s(t)

2

R

( ) , t 5h

35 t

t i

0 2

t t 35 t

se , min m

0,8

t t se , min m

0,7

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

≥ > +

< =

h h t

f_e ( )

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

> +

<

= h

h h t

f_e , t 5,5

30 i

0 80

t t 30 t

se , min m

0,60

t t se , min m

0,75

n 3

n n

3

n 3

35 t

t se , min m

0,2 3 _n

⎪

(41)

4. ANEXO – e3

Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = = 15m raio das bases são R = R = 5m r = 18mm e r = 20mm

f_e(t)

( )

_{( )}

2 1

2 1 .

2 r y t y t

t

f_e ₋ ₋

15m, raio das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 18mm e r₂ = 20mm.

y₁(t) y₂(t)

( )

₂

1 1

. 2 . . . 2 '

R g

g t

y = π

f₁(t)

f (t)

( )

₂

( )

2

2 2

1 2

2

2' . 2. .

R

t y t

y t y g r

t

y = − −

máximo mínimo

f_s(t)

2

R

( ) , t 5h

35 t

t i

0 2

t t 35 t

se , min m

0,8

t t se , min m

0,7

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

≥ > +

< =

h h t

f_e ( )

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

> +

<

= h

h h t

f_e , t 5,5

30 i

0 80

t t 30 t

se , min m

0,60

t t se , min m

0,75

n 3

n n

3

n 3

35 t

t se , min m

0,2 3 _n

⎪

(42)

4. ANEXO – e4

Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = = 15m raio das bases são R = R = 5m r = 20mm e r = 18mm

f_e(t)

( )

_{( )}

2 1

2 1 .

2 r y t y t

t

f_e ₋ ₋

15m, raio das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = 20mm e r₂ = 18mm.

y₁(t) y₂(t)

( )

₂

1 1

. 2 . . . 2 '

R g

g t

y = π

f₁(t)

f (t)

( )

₂

( )

2

2 2

1 2

2

2' . 2. .

R

t y t

y t y g r

t

y = − −

máximo mínimo

f_s(t)

2

R

( ) , t 5h

35 t

t i

0 2

t t 35 t

se , min m

0,8

t t se , min m

0,7

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

≥ > +

< =

h h t

f_e ( )

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

> +

<

= h

h h t

f_e , t 5,5

30 i

0 80

t t 30 t

se , min m

0,60

t t se , min m

0,75

n 3

n n

3

n 3

35 t

t se , min m

0,2 3 _n

⎪

(43)

4. ANEXO – e5

Tanques cilíndricos com a base em uma estrutura horizontal. Altura H₁= H₂ = = 15m raio das bases são R = R = 5m r = r = 20mm

f_e(t)

( )

_{( )}

2 1

2 1 .

2 r y t y t

t

f_e ₋ ₋

15m, raio das bases são R₁ = R₂ = 5m, r₁ = r₂ = 20mm.

y₁(t) y₂(t)

( )

₂

1 1

. 2 . . . 2 '

R g

g t

y = π

f₁(t)

f (t)

( )

₂

( )

2

2 2

1 2

2

2' . 2. .

R

t y t

y t y g r

t

y = − −

máximo mínimo

f_s(t)

2

R

( ) , t 5h

35 t

t i

0 2

t t 35 t

se , min m

0,8

t t se , min m

0,7

n 3

n n

3

n 3

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

≥ > +

< =

h h t

f_e ( )

⎪ ⎪ ⎨ ⎧

= ≥

> +

<

= h

h h t

f_e , t 5,5

30 i

0 80

t t 30 t

se , min m

0,60

t t se , min m

0,75

n 3

n n

3

n 3

35 t

t se , min m

0,2 3 _n

⎪