EXP 04.MED L C onda quadrada

E C 1 - L A B – M E D I D A S D E L E C P O R O N D A Q U A D R A D A

P r o f : M A S S I M O A R G E N TO

C O N S I D E R A Ç Õ E S T E Ó R I C A S I N I C I A I S : a ) me d i d a d e I N D U T Â N C I A: I m a g i n e m o s u m c i r c u i t o c o m p o s t o p o r u m a s é r i e R – L , a l i m e n t a d o p o r u m a t e n s ã o d o t i p o : A . H ( t ) , e a i n d a c o n s i d e r e m o s q u e n o i n s t a n t e 0- o i n d u t o r p o s s u í a u m a c o r r e n t e r e s i d u a l i n i c i a l I0 . M o s t r a m o s a b a i x o o c i r c u i t o , b e m c o m o o s e u e q u i v a l e n t e e m d o m í n i o “ S ” ; Va m o s d e t e r m i n a r a c o r r e n t e n o c i r c u i t o , ( Q u e s e r á p r o p o r c i o n a l á t e n s ã o s o b r e o r e s i s t o r ) . Te r e m o s :

R L A.H(t) + -I0 L.I0

Ii(t) SL - +

+ -A

S I(S) R V (S)R

I(S) =

) L / R S .( S Io . SL A L 1 ) R SL .( S Io . SL A R SL S Io . SL A R SL Io . L S A + + ⋅ = + + = + + = + + ;

I (S) =

        + + ⋅ L / R S W S K L 1

onde : K =

0 S L / R S Io . SL A = + + = R AL

; e :

W =

L / R S S Io . SL A − = + = R ) A Io . R ( L −

; portanto po de remos escrever

que: I(S) =

L / R S R / A Io S R / A L / R S R / ) A Io . R ( L S R / AL L 1 + − + =         + − + ⋅

Antitransformando: i(t) = L.t

R e ). R A Io ( R A − −

+ ; chamando: = τ

R L

t e m-s e :

i (t) = + − ).e−t/τ R A Io ( R A

ANÁLISE DOS RESULTADOS OBTIDOS: Suponhamos inicialmente Io = 0 ; teremos a equação geral da da inicialmente por : i(t) = − .e−t/τ

R A R

A

. Suponhamos ainda que num determinado instante t1 a c o rren te i (t ) p os s u a u m valor dado por : I1 = − .e−t1/τ

R A R

A

; ou s ej a :

iv (t )g

Ii(t ) A

It1

It1

Ii1

Vamos agora em seguida supor que a p a r tir d e t1 , a tensão do gerador pa sse a ser 0V ; obviamente t ere mo s a p a rtir d e s te i n s tante a equaç ã o ge ral c o m A = 0 e co m I o = I1 , o u s ej a : i (t ) = I1.e- t /τ . Suponhamos ainda que num d e te rmi na do i ns t an te t2 a corrente possua um valor I2 = I1.e- t 2 /τ . Graficamente teremos:

iv (t )g

Ii(t ) A

It1 It2

It1 _It2

I1

I2

Vamos agora em seguida supor que a p a r tir d e t2 , a tensão do gerador passe a ser A . H(t) ; ob viamen te t er e mo s a p a rti r d e s te i n s t ante a e quaç ão ge ral c o m A = A e c o m I o = I2 , ou s ej a: i ( t) = + 2 − ).e−t/τ

R A I

( R

A

que seja bem claro, que ao excita rmos o circ ui to em questão com uma onda q u ad r ad a de p er í od o r el a tiv a me n t e me n o r d o q u e

τ

iv (t )g

Ii(t ) A

T It

It

IM

Im

Onde:

IM = + − −2τ

T e . ) R A Im ( R A

⇒ IM = − − τ + −2τ

T 2 T e Im ) e 1 ( R A e:

Im = IM. −2τ T

e ; subs ti tuindo as equações tem-se:

IM = − − τ + − τ −2τ

T 2 T 2 T e . e . IM ) e 1 ( R A

⇒ IM = − − τ + −τ

T 2 T e . IM ) e 1 ( R A ) e 1 ( R A ) e 1 .( IM 2 T T τ − τ − − = − ⇒ ) e 1 ).( e 1 ( e 1 R A e 1 e 1 R A IM 2 T 2 T 2 T T 2 T τ − τ − τ − τ − τ − + − − ⋅ = − − ⋅ = ; ou ainda: τ − + ⋅ = 2 T e 1 1 R A

IM ; donde: Im = IM. −2τ

T

e =

τ − τ − + ⋅ 2 T 2 T e 1 e R A ;

N e s ta s c o nd iç õe s te r e mos q u e a c o rre n te d e p i c o a p i c o IP P s e rá dada p or:

IP P = IM - Im ⇒ IP P =

τ − τ − + − ⋅ 2 T 2 T e 1 e 1 R A

sobre o resistor R , teremos um valor de tensão de pi co a pi co dado po r: VR ( P P ) = R . I P P ⇒ VR ( P P ) =

τ − τ − + − ⋅ 2 T 2 T e 1 e 1

A ; Deno minando de VE ( P P ) a

amplitud e “A” da tensão de entrad a do gerador , tere mos:

iv (t )g

Iv (t ) R A

T It

It

VR(PP)

VE(PP)

VM

Vm

ou seja: VR ( P P ) =

τ − τ − + − ⋅ 2 T 2 T ) PP ( E e 1 e 1

V ⇒ VR ( P P ) (1 e ) V (1 e 2 )

T ) PP ( E 2 T τ − τ − − = + ; ) PP ( R ) PP ( E ) PP ( R ) PP ( E 2 T 2 T ) PP ( E ) PP ( E 2 T ) PP ( R ) PP (

R V .e V V .e e (V V ) V V

V + − τ = − − τ ⇒ − τ + = −

p o r ta nt o :

) PP ( R ) PP ( E ) PP ( R ) PP ( E 2 T V V V V e + − = τ − ⇒ ) PP ( R ) PP ( E ) PP ( R ) PP ( E 2 T V V V V e − + =

τ _{; ai nd a :}

) PP ( R ) PP ( E ) PP ( R ) PP ( E 2 T V V V V Ln ) e ( Ln − + =

τ _⇒

) PP ( R ) PP ( E ) PP ( R ) PP ( E V V V V Ln 2 T − + =

τ ⇒

) PP ( R ) PP ( E ) PP ( R ) PP ( E V V V V Ln 2 T − + =

τ ; como = τ

R L

, te remos finalmente:

b ) m e d i d a d e C A PA C I T Ã N C I A: I m a g i n e m o s u m c i r c u i t o c o m p o s t o p o r u m a s é r i e R - C , a l i m e n t a d o p o r u m a t e n s ã o d o t i p o : A . H ( t ) , e a i n d a c o n s i d e r e m o s q u e n o i n s t a n t e 0- o c a p a c i t o r p o s s u í a u m a t e n s ã o r e s i d u a l i n i c i a l V0 . M o s t r a m o s a b a i x o o c i r c u i t o , b e m c o m o o s e u e q u i v a l e n t e e m d o m í n i o “ S ” ; Va m o s d e t e r m i n a r a t e n s ã o s o b r e o r e s i s t o r e s o b r e o c a p a c i t o r. Te m o s

+

-+ -+ Vo

Vo C

SC +

-A

S 1

S I(S)

A. H (t ) iv (t )C

Iv (t )R IVR

IVC

+

-+

-O e q ua ci o na me nto forn ec e: I (S) =

1 SRC

V A C SC

1 SRC

S V A

SC 1 R

S V S A

O O

O

+ − ⋅ = + −

= +

−

;

Como : VR(S) = R.I(S) ⇒ VR(S) =

RC / 1 S

V A RC RC 1

SRC V A

RC O O

+ − ⋅

= + −

⋅ ; o u

a i nd a: VR(S) =

RC / 1 S

V

A _O

+ −

; como VC(S) = V (S) S

A

R

− teremos :

VC(S) =

RC / 1 S

V A S

A O

+ −

− ; An ti tra ns fo r m a nd o VC(S) e denominan do o

produto RC =

τ

Que é a Equa ção Ge ral d a c a rg a ou d e sca rg a d e um Cap ac i to r nu m ci rc ui to R-C , onde τ é denominad o de constante de tempo do circuito, e repres en t a e m t e rmos f ís ic os o t e mp o n ec ess á ri o à ca rg a , ou à de sc arg a d o ca pa ci to r.

iv (t )g

Iv (t ) C A

T It

It

VC(PP)

VE(PP)

VM

Vm

o n d e : VM = A - ( A - Vm ) e- T / 2τ

VM = A - ( A - VM e- T / 2τ ) e- T / 2τ

;

VM .(1 - e- T /τ ) = A . ( 1 - e- T / 2τ

)

τ −

τ −

− −

T 2 T e 1

e 1

o u ai n da ,

fato rando-se o denominador: VM = A

τ −

+ _e T2 1

1

; subs ti tuindo-se para

determina r Vm te m-se: Vm = A

τ −

τ −

+ T2

2 T e 1

e

; l o go a te ns ã o de

pico a pico sobre o capa cito r será dada por: VC ( P P ) = VM - Vm

VC ( P P ) = A

τ −

+ 2

T e 1

1

- A

τ − τ −

+ 2

T 2

T

e 1

e

⇒ VC ( P P ) = A

τ −

τ −

+ −

2 T 2

T

e 1

e 1

;

VC ( P P ) = VE P P τ − τ − + − 2 T 2 T e 1 e 1

⇒ VC ( P P ) (1 + e- T / 2τ ) = VE ( P P ) (1 - e- T / 2τ ) ⇒

e- T / 2τ ( VE ( P P ) + VC ( P P )) = VE ( P P ) - VC ( P P ) ⇒ e- T / 2τ =

) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V + − ⇒ τ − 2 T

= Ln

) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V + − ⇒ τ 2 T

= L n

) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V − +

; ai n da :

τ

=

) PP ( C ) PP ( E ) PP ( C ) PP ( E V V V V n L 2 T − + ⋅

;

τ

PA RT E E X P E R I M E N TA L :

a ) M E D I D A D E I N D U T Â N C I A : M o n t e o c i r c u i t o a b a i x o , a j u s t a n d o a f r e q ü ê n c i a d o g e r a d o r, e o v a l o r d a d é c a d a r e s i s t i v a d e m o d o a o b t e r “ b o a s f o r m a s d e o n d a ” , q u e p e r m i t a m l e i t u r a s c o e r e n t e s :

C AN A L “X ”(VR(PP))

)

C AN A L “Y ”( VE(PP)

DÉCADA RESISTI VA

L RL

Ri

Anote o valor da Resistência da década resistiva Rd . Meça então VE ( P P ) , VR ( P P ) e T conforme ilustrad o abaixo:

iv (t )g

Iv (t ) R A

T It

It

VR(PP)

VE(PP)

VM

Vm

M E D I D A D A R E S I S T E N C I A I N T E R N A D O G E R A D O R :

s e g u i r, e a l t e r e o v a l o r d a m e s m a a t é q u e a t e n s ã o m o s t r a d a n a t e l a d o o s c i l o s c ó p i o , c a i a à m e t a d e d o v a l o r d a t e n s ã o e m “ a b e r t o ” . O v a l o r d a d é c a d a r e s i s t i v a n e s t e p o n t o , s e r á e x a t a m e n t e i g u a l a o v a l o r d a r e s i s t ê n c i a i n t e r n a d o g e r a d o r . A n o t e e s t e Va l o r R i .

DÉCADA RESISTIVA

Ri Ri

OSCILOSCÓPIO _{OSCILOSCÓPIO}

A) B)

M E D I D A D A R E S I S T E N C I A I N T E R N A D O I N D U TO R :

M e ç a RL d i r e t a m e n t e c o m o O h m i m e t r o ; a n o t e o v a l o r RL .

C A L C U L O D A I N D U T Â N C I A : d e p o s s e d o s v a l o r e s a n o t a d o s a p l i q u e a f ó r m u l a :

) PP ( R ) PP ( E

) PP ( R )

PP ( E

V V

V V

Ln 2

T R L

− + ⋅ =

Onde R = Ri + RL + Rd

C AN A L “X ”(VR(PP))

)

C AN A L “Y ”( VE(PP)

DÉCADA RESISTI VA

Ri

C

Anote o valor da Resistência da década resistiva Rd . Meça então VE ( P P ) , VC ( P P ) e T conforme ilustrad o abaixo:

iv (t )g

Iv (t ) C A

T It

It

VC(PP)

VE(PP)

VM

Vm

M E D I D A D A R E S I S T E N C I A I N T E R N A D O G E R A D O R : R e p i t a o p r o c e d i m e n t o j á c o n h e c i d o p o r o c a s i ã o d a m e d i d a d e I n d u t â n c i a p a r a a m e d i d a d a r e s i s t ê n c i a i n t e r n a d o g e r a d o r . d e t e r m i n e o v a l o r d e R i

M E D I D A D A R E S I S T Ê N C I A I N T E R N A D O C A PA C I TO R :

C A L C U L O D A C A PA C I T Â N C I A : d e p o s s e d o s v a l o r e s a n o t a d o s a p l i q u e a f ó r m u l a :

) PP ( R ) PP ( E

) PP ( R )

PP ( E

V V

V V

Ln . R 2

T C

− + =

O n d e R = R d + R i

R E L AT Ó R I O

A p r e s e n t e t o d o s o s r e s u l t a d o s e f o r m a s d e o n d a v e r i f i c a d o s n a e x p e r i ê n c i a ; c o m e n t e e v e n t u a i s d i s c r e p â n c i a s

E X E R C Í C I O S ( A p r e s e n t a r n o R e l a t ó r i o )

1 ) D a d o o c i r c u i t o a b a i x o , o b s e r v a - s e c o m o o s c i l o s c ó p i o c o n e c t a d o a o s t e r m i n a i s d o c a p a c i t o r, q u e a f o r m a d e o n d a d a t e n s ã o s o b r e o m e s m o , n ã o a t i n g e o v a l o r “ VE ( P P ) ” a p e s a r d e n o t a r m o s q u e a c o n s t a n t e d e t e m p o τ é r a z o a v e l m e n t e p e q u e n a ; e x p l i q u e p o r q u e .

,

CANA L “X” (VC(PP))

)

CANA L “Y” ( VE(PP)

Ri

C R

2 ) D a d o o c i r c u i t o a b a i x o , o n d e e s ( t ) é a t e n s ã o f o r n e c i d a p o r u m g e r a d o r d e o n d a q u a d r a d a c o m 5 VP P e c o m R i = 1 9 5Ω , p e d e - s e a p r e s e n t a r a s f o r m a s d e o n d a ( C o m a m p l i t u d e s , e p e r í o d o s ) v i s t a s n o o s c i l o s c ó p i o c o n e c t a d o c o m o a b a i x o m o s t r a d o , p a r a a s c o n d i ç õ e s a s e g u i r :

Ri

C

L (1)

(2)

RL

R

OSCILOSCÓPIO

A) F = 4 KHz e chave na posição (1 ); B) F = 40 KHz e chave na po sição (1 ); C) F = 60 0 Hz e chave na posição (2 ); D) F = 7KHz e chave na pos ição (2 )

Dados: C = 0, 1µF ; L = 1 5 mH ; RL = 15Ω R = 790Ω