NOÇÕES DE ANÁLISE DE COMPLEXIDADE

NOÇÕES DE ANÁLISE DE

COMPLEXIDADE

NOTAÇÃO ASSINTÓTICA

A notações que usamos para descrever o tempo de

execução assintótica de um algoritmo são definidas em

termos de funções cujos domínios são o conjunto dos

números naturais

N ={0,1,2,...}.

NOTAÇÃO ASSINTÓTICA

NOTAÇÃO

_ᷴ

Também conhecido como limite assintótico firme.

Ao analisarmos o tempo de execução do algoritmos de ordenação por inserção, verificar-se-a que o algoritmos tem o tempo médio de execução de T(n) = _ᷴ(n²), o que quer dizer que no caso médio ele executa em n² onde n é o número de entradas.

NOTAÇÃO

_ᷴ

ᷴ

(g(n)) = {f(n): existem constantes

positivas c

, c

e n

tais que 0≤c

g(n)

≤c

g(n) para todos n≥n

}

Uma função f(n) pertence ao conjunto

ᷴ

(g(n)) se existem constantes c

e c

NOTAÇÃO

_ᷴ

A definição de

_ᷴ

(g(n)) exige que todo membro f(n)

∈

ᷴ

(g(n)) seja

positivo para um determinado n suficientemente grande.

Vamos usar a definição formal para mostrar que ½n²-3n =

_ᷴ

(n²)

c

n²

≤

½n²-3n

≤

c

n² ,

฀

n

≥

n

.

c

≤

½- 3/n

≤

c

NOTAÇÃO

_ᷴ

c

≥

½- 3/n

฀

a desigualdade é válida para

n

≥

1

pois para qualquer

valor menor que

1, -3/n

cresce em módulo

฀

n

∈

ℕ

.

Temos que

½

≥

½ - 3/n

฀

n

∈

ℕ

é verdadeiro logo podemos tomar c

com valor de ½

logo temos c

=½ .

c

≤

½- 3/n

฀

c

-½

≤

- 3/n

฀

n

≥

3/(½ -c

)

฀

para satisfazer a

desigualdade

c

<½

tomando c

=1/14 por exemplo temos que

NOTAÇÃO

_᫳

A notação

_ᷴ

limita assintoticamente

uma função acima e abaixo. Quando

temos um limite superior , usamos a

notação

_᫳

que é um limite

assintótico superior.

Para uma dada função g(n), denotamos

_᫳

(g(n))

o conjunto das funções:

᫳

(g(n))

= {f(n): existem constantes

positivas c

e n

tais que 0≤f(n)≤cg(n)

para todo n≥n

}

NOTAÇÃO

_᫳

Usando a notação

_᫳

, podemos descrever frequentemente o tempo de

execução de um algoritmo apenas inspecionando a estrutura global

do algoritmos.

Por exemplo, a estrutura de loop duplamente aninhado do algoritmo de ordenação por inserção, produz imediatamente um limite superior

_᫳

(n²)

OPERAÇÕES COM A NOTAÇÃO

_᫳

f (n) = O(f (n))

c × O(f (n)) = O(f (n)) c = constante

O(f (n)) + O(f (n)) = O(f (n))

O(O(f (n)) = O(f (n))

O(f (n)) + O(g(n)) = O(max(f (n), g(n)))

O(f (n))O(g(n)) = O(f (n)g(n))

NOTAÇÃO

_ᵗ

Da mesma maneira que a notação

_᫳

fornece um limite assintótico

superior a notação

limite assintótico inferior.

Para uma determinada função g(n), denotamos por _ᵗ(g(n)) o conjunto da funções:

ᵗ(g(n)) =

{f(n): existem constantes

positivas c

e n

tais que 0≤cg(n)≤f(n)

NOTAÇÃO

_ᶡ

O limite assintótico fornecido pela notação

_᫳

assintoticamente restrito. O lmite 2n² =

_᫳

(n²) é assintoticamente restrito,

mas o limite 2n =

_᫳

(n²) não o é.

ᶡ

(g(n))

= {f(n): para qualquer constante positiva c>0 existe uma

constante n

>0 tal que 0≤f(n)≤cg(n) para todo n≥n

}.

Por exemplo 2n=

_ᶡ

(n²), mas 2n² ≠

_ᶡ

(n²)

Intuitivamente na notação

_ᶡ

, a função f(n) se torna insignificante em

relação a g(n) a medida que se aproxima do infinito.

NOTAÇÃO

_ᶫ

Por analogia a notação

_ᶫ

está para a notação

ᶡ

está para a notação

_᫳

. Usamos a notação

_ᶫ

para denotar um limite

inferior que não é assintoticamente restrito. f(n)

∈

_ᶫ

(g(n)) se e

somente se g(n)

∈

ᶡ

(f(n))

Formalmente definimos

_ᶫ

(g(n)) como o conjunt:

ᶫ

(g(n)) = {f(n): para qualquer constante positiva c > 0 existe uma

constante n

>0 tal que 0≤cg(n)≤f(n) para todo n≥n

}. Por exemplo:

RELAÇÃO ASSINTÓTICA

A seguinte hierarquia de funções pode ser definida do ponto de

vista assintótico:

CLASSES DE COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO

f(n)=O(1) : O uso do algoritmo independe do tamanho de n. As instruções do

algoritmo são executadas um número fixo de vezes.

f(n)=O(log(n)): Ocorre tipicamente em algoritmos que resolvem um problema

transformando-o em problemas menores. Ex:Algoritmo de pesquisa binária.

f(n)=O(n): Em geral, um pequeno trabalho é realizado sobre cada elemento

de entrada.

Esta é a melhor situação possível para um algoritmo que tem que processar/produzir n elementos de entrada/saída.

CLASSES DE COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO

f(n) = O(n log n)

-Este tempo de execução ocorre tipicamente em algoritmos que resolvem um problema quebrando-o em problemas menores, resolvendo cada um deles independentemente e depois agrupando as soluções.

-Caso típico dos algoritmos baseados no paradigma divisão-e-conquista.

CLASSES DE COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO

f(n)=O(n²)

-Algoritmos desta ordem de complexidade ocorrem quando os itens de dados

são processados aos pares, muitas vezes em um anel dentro do outro

– Para n= 1 000, o número de operações é da ordem de 1 000 000. – Sempre que n dobra o tempo de execução é multiplicado por 4.

– Algoritmos deste tipo são úteis para resolver problemas de tamanhos Relativamente pequenos.

Exemplos:

CLASSES DE COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO

f(n) =O(n³)

– Algoritmos desta ordem de complexidade geralmente são úteis apenas para resolver problemas relativamente pequenos.

– Para n = 100 , o número de operações é da ordem de 1 000 000 – Sempre que n dobra o tempo de execução é multiplicado por 8.

– Algoritmos deste tipo são úteis para resolver problemas de tamanhos relativamente pequenos.

Exemplo:

CLASSES DE COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO

f(n) = O(2n₎

– Algoritmos desta ordem de complexidade não são úteis sob o ponto de vista prático.

– Eles ocorrem na solução de problemas quando se usa a força bruta para resolvê-los.

– Para n = 20 , o tempo de execução é cerca de 1 000 000.

– Sempre que n dobra o tempo de execução fica elevado ao quadrado. Exemplo:

CLASSES DE COMPORTAMENTO ASSINTÓTICO

f(n) =O(n!).

– Um algoritmo de complexidade O(n!) é dito ter complexidade exponencial, apesar de O(n!) ter comportamento muito pior do que O(2n_).

– Geralmente ocorrem quando se usa força bruta na solução do problema.

Considerando:

FUNÇÃO DE COMPLEXIDADE

● Usa um modelo matemático baseado em um computador idealizado.

● Deve ser especificado o conjunto de operações e seus custos de execuções.

● É mais usual ignorar o custo de algumas das operações e considerar apenas as operações mais significativas.

Por exemplo, algoritmos de ordenação:

FUNÇÃO DE COMPLEXIDADE

● Para medir o custo de execução de um algoritmo é comum definir uma função de custo ou função de complexidade f .

● f (n) é a medida do tempo necessário para executar um algoritmo para um problema de tamanho n.

● Função de complexidade de tempo: f (n) mede o tempo necessário para executar um algoritmo em um problema de tamanho n.

● Função de complexidade de espaço: f (n) mede a memória necessária para executar algoritmo em um problema de tamanho n.

● Utilizaremos f para denotar uma função de complexidade de tempo.

OPERAÇÕES RELEVANTES

Operações aritméticas

Comparações

Atribuições

Resolver um ponteiro ou referência

Indexação em um arranjo