RT- CT com S+

Estudos de Economia, vol. IV, n.' 2, Jan.-Mar. 1984

FIXACAO DE PRECOS EM PERiODOS DE PONTA

(PEAK LOAD PRICING)

E AS. CONDICOES DE KUHN-TUCKER(*)

Beatriz Trindade Filipe

Descril;io do problema

Considere-se uma empresa que enfrenta uma procura ciclica, isto

e,

para um mesmo pre<;:o a procura varia segundo as horas do dia (ou esta<;:oes do ano) apresentando altos e baixos. Nao havendo possibilidade de armazenagem do produto em causa, haven~ pois perfodos em que a capacidade de produ<;:ao da empresa

e

plenamente utilizada (perfodos de ponta) e outros em que essa capacidade

e

subaproveitada (perfodos «normais»).

Procurando uma utiliza<;:ao eficiente da sua capacidade, a empresa deseja minimizar esse desperdfcio, o que implica a fixa<;:ao de pre<;:os diferentes para OS diferentes perfodos. Quando a procura

e

alta 0 pre<;:o devera ser relativamente mais elevado, desencorajando portanto o consumo e, inversamente, as horas «mortas» deverao ser tornadas mais atractivas pela tixa<;:ao de um pre<;:o relativamente mais baixo.

Outra razao que justificaria uma diferencia<;:ao de pre<;:os

e

que o consumidor do perfodo de ponta exerce uma pressao sabre a capacidade for<;:ando a empresa a expandir-se e consequentemente a incorrer em custos adicionais.

lsto faz com que os custos imputaveis aos varios perfodos sejam diferentes, pelo que um pre<;:o uniforme seria de alguma maneira discriminat6rio.

Os resultados de um sistema de pre<;:os flexfveis sao dais. Em primeiro Iugar a capacidade subutilizada diminui (pois parte do consumo dos perfodos de ponta ira transitar para perfodos adjacentes) e complementarmente a propria capacidade da empresa pode ser reduzida.

Resumindo os principios gerais deste tipo de polftica de fixa<;:ao de pre<;:os sao os seguintes:

a) Fixar pre<;:os diferentes segundo a hora do dia (ou a esta<;:ao do ano, etc.) de acordo com o padrao da procura, independentemente do tipo de consumidor (particular, industrial, etc.);

b) Fixar pre<;:os altos quando a procura tende a elevar-se acima do nfvel de capacidade e baixos nos restantes perfodos; c) Nao responsabilizar pelos custos de capacidade os consumidores

que nao exercem pressao sabre a capacidade.

Ha varias abordagens possfveis do problema. Sendo muitas vezes as industrias em causa (electricidade, telecomunica<;:oes, etc.) industrias nacionalizadas, considera-se normalmente como objective de empresa a maximiza<;:ao de uma fun<;:ao de bem-estar social (excedente do consumidor mais excedente do produtor). Foi assim tratado tradicionalmente o problema. (Steiner, 1957; Williamson, 1966).

Contudo ele tambem pode ser encarado como urn problema de maximiza<;:ao do Iuera, em concorrencia perfeita ou nao e existindo ou nao urn controle governamental sabre esse Iuera. (Pressman, 1970; Bailey, 1972).

Tentaremos expor alguns dos casas possfveis.

Formalizat;iio do modelo

0 modelo considera uma empresa que enfrenta uma procura cfclica. 0

ciclo e decomponfvel em n subperfodos iguais. Em cada urn ha uma procura

q;, independente da procura dos outros perfodos, associada a urn pre<;:o p;.

A receita total e obtida multiplicando o pre<;:o de cada perfodo pela procura a ele associada e somando os resultados de todos os perfodos:

n

R(q,, q2, · · ., qn)= ~Pi (q,, q2, · · ., qn) · Q;

i=1

Os custos sao separaveis em duas categorias:

custos variaveis que dependem da produQao em cada perfodo (C) e custos fixos (kx) que dependem da capacidade de produ<;:ao da empresa. 0 custo marginal de uma unidade de capacidade (custo do capital) e designado par

k e assume-se ser constante.

A capacidade da empresa

e

dada (x) e constitui uma das restri<;:oes do problema.

A fun<;:ao de bem-estar social

e

igual ao excedente (Marshalliano) do consumidor (S) mais o «excedente do produtor»

(RT-

CT).

W=

S+

RT- CT

com S+

RT=

.~ !~;

P;

(q;) dq; 1=1

PROBLEMA I

Maximizac;ao do bern estar social

n Max W= .~ J'61

p1(q;)dq;-C(q,, ... ,qn)-kx

t=1

sujeito a: 0

<

q1 ~

x

i

=

1, 2, ... ,

n

Construindo a func;:ao Lagrangiana obtemos:

n n

L= ~ J'61P1(q/)dq;'-C(q,, ... ,qn)-kx+~ V;(X-Q;)

i=1 i=1

onde os v; (i

=

1, 2, ... , n) sao os multiplicadores de Lagrange associados

a

restric;:ao de capacidade, podendo ser interpretados como o bem-estar adicional que seria permitido por um aumento de capacidade no periodo i, isto

e,

cada

v;

e

o prec;:o sombra associado a uma unidade de capacidade no periodo

i.

L

e

func;:ao de Q;,

x

e V; com

i

=

1, 2, ... ,

n.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

As condic;:oes de Kuhn-Tucker sao as seguintes:

d L

-=p--c-v:;:::o _{rJ q; I I I ~}

q ji_=O

I 0 q;

.Q.i_=-k+~

.&.- V;~ 0

rJ X i=1

dL

-=X-Q;~O _rJ

V;

Q;~O; x~O

e

V;~O

i= 1, 2, ... , n

i

=

1, 2, ... , n

i=1, 2, .. .

,n

i = 1, 2, ... ,

n

i=1, 2, .. . ,n

Dado que consideramos que a procura nunca atinge o nivel zero, isto

e

Q;

>

0 entao pela condic;:ao (5) temos

x

>

0 o que implica, devido a (4), que

.Q.i_

= 0, isto

e,

i

V;

=

k, (3).

d X i= 1

Por outro I ado como q 1

> 0 entao

₆

6

L

= 0, devido a (2) e a condic;:ao (1)

q,

Vejamos agora os efeitos da restric;:ao (5); nos perfodos em que a procura nao atinge a capacidade (id):

x-q;>O

0 que implica que V;=O, devido a (6), entao P;=C; isto e, 0 prec;:o e igual ao custo marginal.

Nos perfodos de ponta (iEJ):

x

= q; logo v; > 0 e p; = c;

+

v; com ~ v; = k

iE.J

Desta forma no conjunto dos subperfodos em que ha excesso de capacidade os prec;:os cobrem exactamente os custos marginais (~ P;= ~ C;)

iE.! i£1

enquanto que nos restantes perfodos os prec;:os cobrem nao s6 esses custos como os custos marginais referentes

a

capacidade. (~ P;= ~ c;+k)

iE.J hJ

Adicionalmente se se considerarem rendimentos de escala constantes, os custos medias sao iguais aos custos marginais e a receita total cobre exactamente os custos totais.

Uma soluc;:ao diversa foi apresentada por Williamson ao estudar o caso de subperfodos com durac;:oes desiguais. Tomando o seu exemplo mais simples de apenas dois subperfodos a func;:ao a maximizar e segundo ele:

W= (RT1 +S1) W1 +(RT2+S2) W 2

-- cq1 W 1 - cq2 W2 - kq2 (q1 >0; q2

>

0)

A diferenc;:a na abordagem do problema consiste em considerar a necessidade de ponderar as procuras nos dois perfodos pela fracc;:ao do ciclo durante a qual prevalecem (w 1 e w 2 sendo w 1

+

w 2

=

1 ).

Os custos sao ponderados pelos mesmos coeficientes. Tomando cada perfodo independentemente, e supondo que a produc;:ao s6 tem Iugar durante um perfodo e esta par ada no outro, os custos totais seriam cq; W;

+

kq; e a receita total P; q; W; (para o perfodo i).

0 custo c e o custo marginal de curto prazo isto e, o custo de produc;:ao de uma unidade adicional de output (a nfveis que nao excedam a capacidade) durante todo o ciclo. k e definido como o custo de capacidade por unidade de output por ciclo e qi o nfvel de output no perfodo

i.

lsto significa que se a procura fosse uniforme durante todo o ciclo os custos totais seriam CT = cq

+

kq = (c

+

k) q e a receita total RT = pq, sendo

c

+

k o custo marginal de Iongo prazo. Nao sendo uniforme surgem as ponderac;:oes de que ja falamos.

Supondo que o perfodo 2 e o perfodo de ponta, sera q2 a determinar

a dimensao da empresa, e portanto a unica quantidade envolvida nos cus-tos fixos (kq2), embora s6 a quantidade w2 q2 seja fornecida durante o pe-rfodo 2.

Trata-se de uma maximizac;:ao sem restric;:oes sendo as condic;:oes de primeira ordem:

(1) -_, -=P

ow

_{1 W 1 -} cw₁ =0

(2)

sendo q2 optima (dimensao da empresa) determinada pela curva de procura. Sendo a capacidade dada o problema

e

semelhante mas com as restrigoes

q;

~ x, sen do o resultado obtido id€mtico.

A receita total

e

tambem aqui igual ao custo total.

RT

=

P 1 q 1 w 1

+

P 2 q 2 w 2

=

c

q 1 w 1

+ ( c +

:J

q 2 w 2

=

=CQ1 W1

+cq

2w2

+kq

2

=

=c(q1 W1+q2w2)+kq 2=CT

A generalizagao do problema a n perfodos desiguais obtem-se com a fungao de bem-estar social:

n n

W= L (RT;+S;)w;- L CQ;W;-kX

j;1 j;1

em que x

e

a capacidade optima.

Os pregos optimos sao P;=c quando id e L (P;- c) W;=k nos

iEJ

periodos de ponta (J).

A diferenga de resultados resulta das diferentes especificagoes dos custos e das quantidades. Enquanto que na primeira formulagao as quantidades fornecidas em cada perfodo sao designadas par Q;, na formulagao de Williamson as mesmas quantidades sao designadas par Q;

w;.

Paralelamente a restrigao de capacidade escreve-se em ambos dos casas

q; ~

x;

contudo a primeira formulagao admite que durante todo o ciclo se pode produzir

n.x

enquanto que na segunda so se pode fornecer

x.

Consequentemente os custos de capacidade apresentados nas duas versoes tem forgosamente significados diferentes (ver: Wilson, 1972 e Williamson, 197 4).

PROBLEMA II

Maximizac;ao de uma func;ao lucro

Voltando a considerar a existencia de n subperiodos iguais o problema

e

agora:

Max n=R(q 1, Q2, .. . , qn)-C(q1, Q2, .. . , qn)-kx

sujeito a: 0

<

Q; ~X

n~F

i=1,2, ... ,n

As restri<;:oes sao agora de dois tipos. As primeiras estabelecem que a quantidade de

output

produzida em cada perfodo nao pede exceder a capacidade e a ultima que o lucre esta de alguma forma regulamentado, sendo limitado por uma fun<;:ao

F

que adiante explicitaremos.

A fun<;:ao Lagrangiana sera:

L (q1, X, V1, u)= A (q1 , . . . , qn)-C (q1 , . . • , qn)-kx+ n

+

I

v

1 (x - q 1)

+

i=1

+

u

[

F (q 1 , . . . , q n• x) - C (q 1, . . . , q n)

+

+C(q1, · · ., qn)+k]

onde

u

e

v

1 sao os multiplicadores de Lagrange, sendo os

v,

os pre<;:os

sombra associados

a

restri<;:ao de capacidade e u o pre<;:o sombra associado

a

restri<;:ao dos Iueras. A variavel

u

representa o acrescimo de lucre que seria conseguido com uma liberaliza<;:ao da regulamenta<;:ao que o limita

(u

=

d n/d F).

As condi<;:oes de Kuhn-Tucker sao:

(1) :

~~

=

(1 - u) r1 - (1 - ' u) c1

-(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

-V ₁ +UF ₁ ~0

· d L n -d

=

- k + I v,+u(Fx+k)~O

X 1=1

dL

-d-=x-q ₁ ~0

V;

v(~)=o

1 _d V;

d L

d(;

=

F (q 1 • · · ·, q m X)-A (q 1, · · ·, q n)

+

+

C

(

q 1 , • • . , q n)

+

kx ~ 0

(8)

u

(

~ ~)

=

0

(9)

V 1 ~0 u~O x~O

i

=

1, 2, ... ,

n

i

=

1, 2, ... ,

n

i

=

1, 2, ... , n

i= 1, 2, ... ,

n

on de

c;

=:

~~

(custo marginal de curta prazo)

F-=..if_

e

F =j_£_

1 _{0 Q;}

X 0 X

Como as quantidades envolvidas (q; e x) sao estritamente positivas podemos eliminar algumas das desigualdades obtendo:

(1 ') i = 1, 2, ... , n

n

(3') ~ V;=k-u(Fx+k)

i=1

Vejamos alguns casas possfveis em mais detalhe:

Caso a - Monop61io niio regulamentado

Se nao ha restric;oes aos Iueras a variavel dual associada a essa restric;ao

e

nula: u

=

o.

As condic;oes de K.-T. sao neste caso:

(1 ~)

(3~)

quando q1

< x;

iEI

quando q;

=

x;

iE.J

f;-C;-V;=O i

=

1, 2, ... , n

n

~ V-=k

i=1 I

i

=

1, 2, ... ,

n

=> V;=O

e

r;=C;

=> V1

>

0, f;=C1+ V;

e

~ V1=k iE.J

No caso do monop61io nao regulamentado, a soluc;ao

e

semelhante

a

obtida no caso de maximizac;ao da func;ao de bem.-estar social mas o prec;o

e

substitufdo pela receita marginal na tomada de decisoes, o que levara provavelmente a uma quantidade de output fornecido menor.

Caso b - Monop61io regulamentado

Vamos agora supor que a restric;ao aos Iueras

e

activa (u

> 0) e

considerar tres formas possfveis para a func;ao F.

E

importante, contudo, determinar qual

e

o limite superior de

u

pois ele vai afectar os resultados seguintes.

A demonstra<;:ao de que

u

esta compreendido entre

o

e 1 e feita par

E. Bailey pela constru<;:ao de dais problemas complementares (metoda de Zajac):

Problema 1

Max n (q;, x) sujeito a: n ~ F

O<q;~X

Problema 2

Max

F

(q;, x) sujeito a:

F

~ n

O<q;~X

A regiao admissfvel e fechada em ambos os problemas e a primeira restri<;:ao e activa tambem em ambos o que faz com que o maximo do primeiro seja tambem o maximo do segundo.

Para resoiver o primeiro problema constr6i-se a Lagrangeana:

n

L;=n+u(F-n)+ L V;(x-q;) i=1

As condi<;:oes de primeira ordem sao:

~

_{O q;}

=

n _I

+

U (F _I - n) _I - V _I ·

=

0 i

=

1, 2, ... , n

em que o fndice

n

+

1 indica a derivada em ordem a

x.

Da ultima condi<;:ao podemos tirar:

n

LV;= -[nn+ 1+U(Fn+1-nn+1)] i=1

n

Somando as

n

primeiras equa<;:oes e substituindo L V; pelo seu valor: i=1

n+1 (n+1 n+1 )

;~,n;+U ;~

₁

F;-;~

₁

n; =0

don de:

n + 1

I

(n + 1 n + 1 )

u

= -

L n; L F;- L n; i=1 i=1 i=1

Procedendo da mesma maneira em rela<;:ao ao problema 2 e sendo

z

o multiplicador associado

a

primeira restri<;:ao obtemos:

n

L2

=

F

+

z (n- F)+ L V; (x- q;) i=1

oL2_{=F +z(n-F)-V·=O}

O q; I I I I i

=

1, 2, ... , n

n

Somando as

n

primeiras condi96es e substituindo ~

v,

pelo seu valor: i=1

donde:

Z= - n+1 ~ F

I

(n+1 ~ n · -n+1 _~ F. )

=

n+1 ~ F

I

(n+1 ~ F - n+1 ~ n )

i=1 f i=1 f i=1 I i=1 I i=1 I i=1 I

Entao:

(

n+1 n+1 )

l(n+1

n+1 )

z+u=

.~

F,-

.~ n1 .~

F,-

~ n1 =1

1=1 1=1 1=1 1=1

Como tanto

u

como

z

sao estritamente positives (vista as restri96es a que estao associadas serem activas) entao 0

<

u

<

l.

Caso b 1 - 11Retum on investment regulation11

Os Iueras sao limitados em tun9ao do capital investido, isto

e

em tun9ao da capacidade existente. A restri9ao pode escrever-se:

R ( q 1 q 2• • · · • q n) - C ( q 1 q 2• · · • , q n) ~ SX

ou subtrairido kx aos dais membros da desigualdade: rr ~ (s - k) x. Supoe-se que

s

seja superior a k isto

e,

alguns Iueras sao permitidos. A tun9ao F

e

entao F = (s - k) x e as suas derivadas parciais: F,

=

0 e F x = s - k.

As condi96es de maximiza9ao do Iuera tornam-se:

r =C·+_V_;_

I I 1-U

i

=

1, 2, ... ,

n

n

1

~

₁

v 1=k-us

quando if./,

v,

=

0 =>

r,=c,

quando

iEJ,

v,

> 0

=>

r

=C·+_v_;_

e

.~

v,=k-us

I I 1 - U liJ

Agrupando os perfodos em que ha excesso de capacidade (/) e os perfodos de ponta (J) verifica-se que:

,;,r,=,;,c,

e

,;Jr,=,;Jc

1_+k1

uus=,;Jc,+k-s'

com s'

=

u ( s -k) I (1 - u)

>

0

Relativamente ao caso a, os consumidores das horas de ponta sao beneficiados pais o pre90 do produto baixa, enquanto que os restantes consumidores nao sofrem qualquer altera9ao.

Caso b2 - Politica de «justo lucro por unidade,.

F,=f

e

Fx=O

As condic;:oes resultantes deste tipo de polftica sao:

n

~v,=k(1-u)

i=1

quando if./, v, = 0 =>

r

=

c -

____}:!_j_

I I 1-U

quando

iE.J,

v,

>

0 => r=c+v~-ut e ~v,=k(1-u)

I I 1 -U i£J

Tomando os conjuntos dos subperfodos temos:

~

r'

=

~

c' -

(__!!_}__)

n

I

'" id 1 - u

e

~

r 1

=

~

c

1

+

k -

(__!!_}__)

n J

i£J i£J 1 - u

on de

n

I e 0 numero de perfodos pertencentes a I e

n

J 0 numero de perfodos pertencentes a J (perfodos de ponta).

Relativamente

a

polftica de nao intervenc;:ao (caso a) todos os utilizadores do produto sao beneficiados.

Caso b 3 - Politica de «justa retribuil;io do custo11

Este tipo de political contrariamente

a

polftica b,l nao faz distinc;:ao entre os varios custos e embora incentive o seu aumentol a empresa tendera a aumentar os custos da maneira mais eficiente isto el de modo a aumentar o mais possfvel o output.

F

=

m [

c (

q 1 q 2 I • • • I q n)

+

kx]'

m

>

0 F,=mc,

e

Fx=mk

As condic;:oes sao agora:

(1b₃) (1-u)r,-(1-u)c,-v,+umc,=O

i

=

11 2, ... ,

n

~ v,=k- u (mk+k)

i=1

quando if./, v, = 0 =>

r

=C----=C u m

c;

(

1 - - - =C m

u

m)

,

I I 1-U I 1-U I

com m'=[1-u(1+m)]/(1-u)<1

quando

iE.J,

v,

>

0 => r-=C-+ _{I I} v~+umcl _1-U

-~ v,=k-uk(m+1)=k[1-u(m+1)]

I£J

Agrupando os perfodos verifica-se que:

~ r,=m' ~

c,

J£1 i£1

e

ic.J ~ r,=(:'2. c,+k) ic.J m'

p

~ p,

itJ

-+---''---~

Qw

p

II.

Gw

p

~ r,

iEJ

Polfticas 6ptimas para os perfodos de ponta:

I) Maximizac;ao do bem-estar social;

II a) Maximizac;ao do lucro, monop61io nao regulamentado; II a) Maximizac;ao do lucro, monop61io regulamentado.

q

q

~ c,+k-s'

itJ

q

Com este tipo de polftica todos os pre<;:os sao reduzidos proporcional-mente.

E

pois claro que os varios tipos de polftica influenciam de maneira diferente os consumidores mas, ao restringir os lucros todas elas contribuem para um aumento da quantidade produzida, o que e ilustrado nos graficos da pagina anterior.

A figura 1 mostra a curva de custos marginais {oferta da empresa) e a curva da procura nos perfodos de ponta. A intersec<;:ao das duas curvas determina simultaneamente a quantidade procurada, o pre<;:o e a capacidade 6ptimos (pois por defini<;:ao nos perfodos de ponta qi=x).

A figura 11 a ilustra o caso do monop61io nao regulamentado. 0 output 6ptimo nos perfodos de ponta (qM) e inferior ao determinado no caso anterior (qw) e os pre<;:os mais elevados (existencia de um lucro de monop61io).

A figura lib mostra-nos o caso de um tipo de monop61io regulamentado («return on investment regulation»). 0 output 6ptimo nos perfodos de ponta (qR) e maior do que no caso 118 embora a sua rela<;:ao com qw dependa da intensidade da regulamenta<;:ao que se reflecte em s' (fun<;:ao de s ).

0 problema da fixa<;:ao de pre<;:os em perfodos de ponta esta Ionge de estar esgotado. Muitas outras abordagens tem sido feitas deste problema num passado recente, quer abandonando algumas das hip6teses simplificadoras aqui apresentadas, quer escapando aos pr6prios pressupostos iniciais do problema.

Assim, foram estudadas procuras interdependentes nos varios subperfodos (Pressman, 1970), procuras aleat6rias (Crew & Kleindorfer, 1976), produ<;:ao com varias fabricas (plants), com tecnologias e custos alternativos (Crew & Kleindorfer, 1971, 76; Wenders, 1976), produ<;:ao com armazenagem .(Nguyen, 1976), etc.

Outros autores preocupam-se prioritariamente com a aplicabilidade dos resultados matematicos

a

realidade e a produtos concretos como a electricidade (Houthakker, 1951; Turvey, 1968; Wenders, 1976) e os telefones (Littlechild, 1970; Mitchell, 1978).

Nao podendo esgotar todos os aspectos do problema e nao estando em presen<;:a de um problema concreto a estudar, procuramos sobretudo exemplificar a utiliza<;:ao do metodo de Kuhn-Tucker real<;:ando a sua importancia para quem, em Economia, tem de resolver problemas de optimiza<;:ao nao linear.

Blbllografla

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