Aula11EG

1) VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI BINOMIAL - POISSON

2) VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA: DISTRIBUIÇÃO NORMAL

MODELOS DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI:

Suponha um experimento de um ensaio onde só possa ocorrer um de dois eventos mutuamente exclusivos.

- Interesse em um desses eventos -> Sucesso (Resultado favorável) Seja p a probabilidade de obter sucesso

Então, q = 1-p probabilidade de fracasso

ENSAIO - LANÇAMENTO DE UMA MOEDA

Eventos = {C, K} X: Aparecer C (p) viciada moeda q p q p = = = = 3 2 3 1 2 12 1

ENSAIO - OBSERVAR A GERMINAÇÃO DE UMA SEMENTE

Eventos =

{

G

,

G

~

}

₌

=

5

1

5

4

q

p

X: Germina G (p)

ENSAIO - OBSERVAR UMA PLANTA (OU ANIMAL) QUANTO A UMA DOENÇA Eventos =

{

D ~

,

D

}

=

=

7

,

0

3

,

0

q

p

X: Doente D (p) DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL:

Seja X (variável aleatória) o número de resultados favoráveis em n ensaios de Bernoulli.

Eventos: {0, 1, 2, 3,...,n}

Dizemos que X tem distribuição Binomial B(n,p)

Exemplo: Pinus Caribea (Variedade Hondurensis)

RABO DE RAPOSA (R) POPULAÇÃO

100 árvores 35 R (p) 65 N(normais) (q) Eventos:

R p=0,35 N q=0,65

Experimento: Escolher 2 árvores com reposição X={0, 1, 2} X Eventos: RR pp = 0,35 × 0,35 = 0,1225 2

RN ou NR pq×2 = 0,35×0,65 ×2 = 0,2275 × 2 1 ( Evento União) NN qq = 0,65×0,65 = 0,4225 0

• EXPERIMENTO: 3 árvores são escolhidas X = {0, 1, 2, 3} X

R

R

R

p × p× p = 0,04275 3 Ou

R

R

N

R

N

R

N

R

R

p ×p× q× 3 = 0,238875 2 Ou

R

R

R

N N N N N N p × q × q × 3 0,443625 1 N N N q × q × q 0,274625 0 1 • Expansão binomial (p + q)1 = q + p (p + q)2 = q2 + 2pq + p2 (p + q)3 = q3 + 3pq2+ 3p2q + p3 (p + q)4 = q4 + 4pq3 + 6p2q2 + 4p3q + p4 n k n k n k n k n k n n _{p q p} k n q p n q p n q q p = − − = − = + + + + + + = + ... 2 . . ) ( 2 2 1 1 0 k = 0, 1, 2, 3,..., n • DETERMINAÇÃO DE P(X=k) k n k

_q

p

k

n

k

X

P

(

= )

=

− Modelo Probabilístico

Ex. 3 árvores são escolhidas, qual a probabilidade de duas apresentarem R? 2 3 2

2

3

)

2

(

X

=

=

p

q

−

P

238875 , 0 ) 65 , 0 ( ) 35 , 0 .( 3 3 ! 1 ! 2 ! 2 . 3 )! 2 3 ( ! 2 ! 3 2 3 2 2 2 2 = = = = − = = = q p q p q p k n EXERCÍCIO:

A) Qual a probabilidade se 4 árvores forem escolhidas, todas apresentarem R?

0150 , 0 ! 0 ! 4 ! 4 4 4 ) 4 ( 4 4 4 4 4 = = = = = − p q p q p X P o

B) Qual a probabilidade se 4 árvores forem escolhidas, pelo menos uma apresentar R

8214 , 0 1 )! 0 4 ( ! 0 ! 4 1 0 4 1 ) 0 ( 1 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( 4 4 0 4 0 = − = − − = − = = − = = + = + = + = − q q q p X P X P X P X P X P

• MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL COM DISTRIBUIÇÃO

BERNOULLI (_µ,_σ2)

Seja X o número de sucessos na distribuição Bernoulli. A média ou esperança de X é dada por:

= = = = n i i i x E X x P X x 1 ) ( . ) (

µ (Expressão geral para variável discreta) i = 1, 2, ... ,n. No caso n=2: P(X=x) E(X) = 0×q2 +1×2 pq + 2×p2 _{= 2pq + 2p}2 = 2p (q+p) = 2p =0,7 0 1 2 x Definir Bernoulli Ii = 1, se no i-ésimo ensaio ocorrer resultado favorável

0, se no i-ésimo ensaio ocorrer resultado desfavorável Então, o número X de resultados favoráveis, em n ensaios é:

X = I1 + I2 + ...+ In

Mas, E(Ii) = 1.p + 0.q = p (média da Bernoulli) E(X) = E(I1) + E(I2) +...+ E(In) = np (média da Binomial) Por definição, seja X qualquer variável aleatória:

2 2 2 _{( ) [ ( )] [ µ]} σ =Var X = E X −E X =E X − ) x X ( P ) x ( ) X ( Var i 2 n 1 i i = µ − = = Então:

Var(Ii) = E [Ii – E(Ii)]2 = (1-p)2 p+ (0-p)2.q = q2p + p2q

= pq (q+p)

= pq (variância da Bernoulli) Daí:

Var (X) = Var (I1) + Var (I2) + ...+ Var (In).

npq X Var np X E p n B = = ∴ ) ( ) ( ) , ( ~ X _{Note: Se n=1, a B(1,p) é a Bernoulli!}

Note: Se n=1, a B(1,p) é a distribuição Bernoulli.

• APLICAÇÃO

Se numa população com m indivíduos, existem mp com determinada característica, então, se tomarmos um elemento qualquer da população, a probabilidade de que ele apresente a característica considerada é p. (Escolhido de forma aleatória). P(X=x) n=4 E(X)=np=4(0,5)=2 Var(X)=npq=4(0,5)(0,5)=1 0 1 2 3 4 x p=0,5 (simétrica) P(X=x) n=4 E(X)=3,2 Var(X)=0,64 0 1 2 3 4 x p=0,8 (assimétrica -) P(X=x) n=4 E(X)=0,8 Var(X)=0,64 0 1 2 3 4 x p=0,2 (assimétrica +)

• OUTRAS PROPRIEDADES DA BINOMIAL Coef. Assimetria:

npq

p

q

a

₃

=

−

Coef. Curtose:

npq

pq

a

₄

=

3

+

1

−

6

Ex: Com p=0,5 e n=4, temos:

) ( 0 ) 5 , 0 )( 5 , 0 ( 4 5 , 0 05 3 simétrica a = − = ) ( 3 5 , 2 ) 5 , 0 )( 5 , 0 ( 4 ) 5 , 0 )( 5 , 0 ( 6 1 3 4 platicúrtica a = + − = < DISTRIBUIÇÃO DE POISSON:

Surgiu quando se tinha um número de amostra muito grande e quando a probabilidade de sucesso era muito pequena.

(p+q)n (0,001 + 0,999)1.000 EVENTOS RAROS:

1) TEMPO: Ex. Número de automóveis de cor branca que passam por uma esquina.

Ex. Armadilha para insetos (morcegos): de 3 em 3 horas é que cai um inseto na armadilha.

Ex. Distribuição dos pingos de chuva no início de uma precipitação.

2) ESPAÇO: Ex. Número de glóbulos vermelhos no sangue

Ex. Palmiteiros na mata nativa, temos muitas parcelas de área sem palmiteiros.

• DETERMINAÇÃO DE P(X = k) ! k e ) k X ( P = = −λλk Onde: e = 2,71828 k = 0,1,2,3.... λ = é a média µx PROPRIEDADE: = = = i i i f X f X Var X E λ λ ˆ ) ( ) ( Coef. Assimetria:

λ

1

3

=

a

Coef. Curtose:

λ

1

3

4

=

+

a

Ex. Se em media temos, 1,8 plantas/ha, numa área de 200 ha, qual é a probabilidade de não ter plantas numa área de 1 ha escolhida aleatoriamente?

% 52 , 16 ou 1652 , 0 ! 0 ) 8 , 1 ( e ) 0 X ( p = = −1,8 0 = EXERCÍCIOS

Ex. Em um grande armazém de sementes de milho, 1% das embalagens apresentam sementes sem nenhum poder germinativo. Se é selecionada, aleatoriamente, uma amostra de 30 embalagens, a probabilidade de haver duas ou mais embalagens com problema de poder germinativo é:

0361 , 0 0002 , 0 0031 , 0 0328 , 0 ... ) 99 , 0 ( ) 01 , 0 ( 4 30 ) 99 , 0 ( ) 01 , 0 ( 3 30 ) 99 , 0 ( ) 01 , 0 ( 2 30 ... ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 01 , 0 , 30 | 2 ( 26 4 27 3 28 2 = + + = + + + = + = + = + = = = = ≥ n p P X P X P X X P

APROXIMAÇÃO POR POISSON:

0368 , 0 0002 , 0 0033 , 0 0333 , 0 ... ! 4 ) 3 , 0 ( ! 3 ) 3 , 0 ( ! 2 ) 3 , 0 ( ... ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 , 0 | 2 ( 4 3 , 0 3 3 , 0 2 3 , 0 = + + = + + + = + = + = + = = = = ≥ − − − _{e e} e X P X P X P np X P λ

A diferença entre a aproximação Poisson e o valor efetivo da Binomial é 0,0007

Ex.: Um Departamento de conserto de máquinas agrícolas recebe uma média de cinco chamadas por hora. A probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente três chamadas é :

1404 , 0 ! 3 ) 5 ( ) 0 , 5 | 3 (X = = = e−5 3 = P λ

MODELOS DE PROBABILIDADE DISCRETOS

APROXIMAÇÃO POR POISSON DE PROBABILIDADES BINOMIAIS

Pode-se utilizar a distribuição POISSON no lugar da Binomial quando:

• n for muito grande, dificultando o cálculo da binomial;

• p ou q for pequeno.

Uma “regra de bolso” pode ser utilizada para essa aproximação.

• n ≥ 30 e

• np < 5 ou nq < 5

A média de uma variável aleatória com distribuição POISSON será

np

=

λ

Ex.: Em um grande carregamento de vacinas de um fornecedor, 1% dos frascos está vencido. Se for selecionada, aleatoriamente, uma amostra de 30 frascos, qual a probabilidade de haver dois ou mais frascos vencidos?

Por Binomial: 0361 , 0 00001 , 0 0002 , 0 0031 , 0 0328 , 0 ... ) 99 , 0 ( ) 01 , 0 ( 5 30 ) 99 , 0 ( ) 01 , 0 ( 4 30 ) 99 , 0 ( ) 01 , 0 ( 3 30 ) 99 , 0 ( ) 01 , 0 ( 2 30 ... ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 01 , 0 , 30 | 2 ( 5 30 5 4 30 4 3 30 3 2 30 2 = + + + = + + + + + = + = + = + = = = = ≥ − − − − X P X P X P p n X P Aproximação de Poisson:

30

≥

n

np = 30(0,01) = 0,3 < 5

0368 , 0 .... 00001 , 0 0002 , 0 0033 , 0 0333 , 0 ... ! 5 ) 3 , 0 ( ! 4 ) 3 , 0 ( ! 3 ) 3 , 0 ( ! 2 ) 3 , 0 ( ... ... ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 , 0 | 2 ( 5 3 , 0 4 3 , 0 3 3 , 0 2 3 , 0 = + + + + = + + + + = + = + = + = = = ≥ − − − − _{e e e} e X P X P X P X P λ O MODELO UNIFORME

Def.: A variável aleatória X tem distribuição uniforme com parâmetros α e β (α < β) reais, se sua

função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por:

β ≤ ≤ α α − β = casos demais , 0 X se , 1 ) X ( f f(x) ) ( 1 α β − α β x 12 ) ( ) X ( Var cqd 2 ) ( ) ( 2 1 1 / 2 x ) ( 1 dx ) ( 1 x ) X ( E 2 ) X ( E 2 2 2 α − β = α − β = α − β α − β = α − β = α − β = α − β = β α β α Infinitas Modas

FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DA UNIFORME

∞ − ≥ ≤ ≤ − − < = = < = x x se x se x x se dx x f x X P x F β β α α β α α , 1 , , 0 ) ( ) ( ) ( F(x) α β x

)

(

)

(

)

(

c

X

d

F

d

F

c

P

<

<

=

−

1

Exemplo: caso

α

=

0

e

β

=

1

f(u) ≤ ≤ = . , 0 1 0 , 1 ) ( contrário caso x se u f 1 0 1 u 2 1 0 2 1 ) 0 ( 2 1 ) 2 / 1 0 ( 1 , 1 1 0 , 0 , 0 ) ( 12 1 ) var( 2 1 ) ( = − = − = ≤ ≤ ≥ ≤ ≤ < = = = F F U P seu u se u u se u F X X E 0 1

A expressão geral para a esperança de uma variável aleatória contínua é:

= b a xf(x)dx ) X ( E

e para a sua variância é:

dx ) x ( f )) X ( E x ( ) X ( Var b a 2 − = F(u)

EXERCÍCIOS

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

1) Cinco leitões da mesma ninhada sofrem de avitaminose A. Eles são alimentados com uma certa dose de cenouras. A literatura especializada diz que a probabilidade de recuperação é p = 0,73. Qual é probabilidade de que exatamente três dos cinco leitões se recuperem?

Solução: E = {se recupera} E− ={nãoserecupera}

X: número de animais que se recuperam X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

27

,

0

)

(

73

,

0

)

(

E

=

P

E

−

=

P

% 4 , 28 2835 , 0 ) 27 , 0 .( ) 73 , 0 ( 10 ) 27 , 0 ( ) 73 , 0 ( ! 2 ! 3 ! 5 ) 27 , 0 ( ) 73 , 0 .( 3 5 ) 3 ( 2 3 2 3 2 3 ou X P = = = = = =

2) A probabilidade de que um animal morra no prazo de um mês após uma determinada cirurgia é 0,18. Quais são as probabilidades de que em três destas cirurgias um, dois, ou todos os três animais sobrevivam?

Solução:

{

sobreviver

}

E = E−=

{

não sobreviver

}

Ω

=

{

E,

M

}

18

,

0

)

(

82

,

0

)

(

E

=

P

E

−

=

P

Se tivermos boas razões para admitir que o resultado de uma cirurgia seja independente do resultado das duas outras cirurgias:

X → o número de animais sobreviventes (0, 1, 2, 3).

005832

,

0

)

18

,

0

(

)

82

,

0

(

0

3

)

0

(

X

=

=

0 3

=

P

079704 , 0 ) 18 , 0 ( ) 82 , 0 ( 1 3 ) 1 (_{X = =} 2 ₌ P 363096 , 0 ) 18 , 0 ( ) 82 , 0 ( 2 3 ) 2 (_{X = =} 2 ₌ P 551368 , 0 ) 18 , 0 ( ) 82 , 0 ( 3 3 ) 3 (_{X = =} 3 0 ₌ P Resposta: 0,079704 0,363096 0,551368 Obs.: E(X) = np= 3 × 0,82 = 2,46 46 , 2 ) ( ) (X = xiP X =xi = E DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

1) Um fabricante de produtos de lã diz que o número médio de falhas em sua produção é 1 a cada 2m2. Uma amostra de 1m2 de produto selecionada aleatoriamente, mostra três falhas. Qual a probabilidade de se obter três ou mais falhas em qualquer metro quadrado? Solução: 5 , 0 2 1 ˆ 2 = = m falha λ X: no de falhas/m2 {0,1,2,3,4,...}

[

( 0) ( 1) ( 2)

]

1 ) 2 ( 1 ) 3 (X ≥ = −P X ≤ = − P X = +P X = +P X = P 6065 , 0 ! 0 5 , 0 . ) 1 (X = = e−0,5 0 = P

3032 , 0 ! 1 5 , 0 . ) 1 (X = = e−0,5 = P 0758 , 0 ! 2 5 , 0 . ) 2 (X = = e−0,5 2 = P 0145 , 0 9856 , 0 1 ) 3 ( = − = ≥ ∴ P X

2) Certa propriedade rural tem média de 15 cordeiros mortos a cada três meses. Qual a probabilidade de que haja exatamente 5 mortes em qualquer mês? E cinco ou mais mortes em qualquer mês? SOLUÇÃO

mês

mortos

meses

mortos

₅

_/

3

15

ˆ

₌

₌

λ

X: no de cordeiros mortos por mês {0,1,2,3,....}

)

4

(

1

)

5

(

X

≥

=

−

P

X

≤

P

[

( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)

]

1− = + = + = + = + = = P X P X P X P X P X Mas, 0,0067 ! 0 5 ) 0 (X = = e−5 0 = P 0336 , 0 ! 1 5 ) 1 (X = = e−5 1 = P 0842 , 0 ! 2 5 ) 2 (X = =e−5 2 = P 1404 , 0 ! 3 5 ) 3 (X = =e−5 3 = P 1754 , 0 ! 4 5 ) 4 (X = =e−5 4 = P

[

0,0067 0,0336 0,0842 0,1404 0,1754

]

1 ) 5 (X ≥ = − + + + + P

5597

,

0

4403

,

0

1

)

5

(

=

−

=

≥

X

P

Note:

1754

,

0

!

5

5

)

5

(

X

=

=

e

−5 5

=

P

5) X: no de animais fêmeas X= {0,1,2,3,4,...,100}

{

Fêmea

}

E

=

E− =

{

Macho

}

20

,

0

)

(

E

=

P

P

(

E

−

)

=

0

,

80

a) P(X ≤10) =P(X =0)+P(X =1)+...+P(X =10) Mas, 0 100 0

(

0

,

80

)

100

2

,

0370

10

10

!

100

!

0

!

100

)

80

,

0

(

20

,

0

0

100

)

0

(

X

=

=

−

=

=

=

x

−

P

99 _{0,20 (0,80)}99 _{5,0925 10} 9 ! 99 ! 1 ! 100 ) 80 , 0 ( 20 , 0 1 100 ) 1 (_{X = = = = x = x} − P 8 98 2 98 2 _{0,20 (0,80) 6,3020 10} ! 98 ! 2 ! 100 ) 80 , 0 ( 20 , 0 2 100 ) 2 (_{X = = = = x = x} − P 7 97 3 97 3

₍

₀

_,

₈₀

₎

₁₆₁₇₀₀

_.(

₂₀

₎

₍

₀

_,

₈₀

₎

₅

_,

_1466987089

₁₀

20

,

0

3

100

)

3

(

X

=

=

=

=

x

−

P

6 96 4 96 4

₍

₀

_,

₈

₎

₃

_.

₉₂₁

_.

₂₂₅

_.(

₀

_,

₂₀

₎

₍

₀

_,

₈₀

₎

₃

_,

₁₂₀₁

₁₀

20

,

0

4

100

)

4

(

_X

₌

₌

₌

₌

_x

−

P

5 95 5 95 5

₍

₀

_,

₈

₎

₇₅

_.

₂₈₇

_.

₅₂₀

_.(

₀

_,

₂₀

₎

₍

₀

_,

₈

₎

₁

_,

₄₉₇₆

₁₀

20

,

0

5

100

)

5

(

_X

₌

₌

₌

₌

_x

−

P

5 94 6 94 6

₍

₀

_,

₈

₎

₁

_.

₁₉₂₀₅₂

_.

₄₀₀

₍

₀

_,

₂₀

₎

₍

₀

_,

₈

₎

₅

_,

₉₂₈₃

₁₀

20

,

0

6

100

)

6

(

_X

₌

₌

₌

₌

_x

−

P

4 93 7 93 7

₍

₀

_,

₈

₎

₁₆

_.

₀₀₇

_.

₅₆₀

_.

₈₀₀

₍

₀

_,

₂₀

₎

₍

₀

_,

₈

₎

₁

_,

₉₉₀₂

₁₀

20

,

0

7

100

)

7

(

_X

₌

₌

₌

₌

_x

−

P

4 92 8 92 8

₍

₀

_,

₈

₎

₁₈₆

_.

₀₈₇

_.

₈₉₄

_.

₃₀₀

₍

₀

_,

₂

₎

₍

₀

_,

₈

₎

₅

_,

₇₈₄₁

₁₀

20

,

0

8

100

)

8

(

_X

₌

₌

₌

₌

_x

−

P

3 91 9 12 91 9

₍

₀

_,

₈

₎

₁

_,

_9022318084

₁₀

₍

₀

_,

₂₀

₎

₍

₀

_,

₈

₎

₁

_,

₄₇₈₁

₁₀

20

,

0

9

100

)

9

(

X

=

=

=

x

=

x

−

P

3 90 13 90 10

₍

₀

_,

₈

₎

₁

_,

_7310309456

₄

₁₀

₍

₀

_,

₂

₎

₃

_,

₃₆₂₈

₁₀

20

,

0

10

100

)

10

(

X

=

=

=

x

=

x

−

P

0056963

,

0

10

6963

,

5

)

10

(

X

≤

=

x

−3

=

P

0056963

,

0

10

6963

,

5

)

10

(

X

≤

=

x

−3

=

P

b)

[

]

9999962

,

0

10

7031

,

3

1

)

4

(

)

3

(

)

2

(

)

1

(

)

0

(

1

)

5

(

1

)

5

(

6

=

−

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

<

−

=

≥

−

x

X

P

X

P

X

P

X

P

X

P

X

P

X

P

c)

[

]

99999941 , 0 10 8298 , 5 1 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 ( 7 = − = = + = + = + = = ≤ − = ≥ − x X P X P X P X P X P X P d) 0993002 , 0 ) 8 , 0 ( ) 2 , 0 ( 10 3598337040 , 5 ) 8 , 0 ( ) 2 , 0 ( 20 100 ) 20 ( 20 80 20 20 80 = = = = x X P DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL X1 X2 X3 s = 3

Gir Hol Jer n=20 são selecionados

1 10 5 p ₂ 10 3 p 3 10 2 p a) K1 = 6 K2 = 8 K3 = 6 00765367 , 0 10 6367 , 7 10 2 10 3 10 5 . 280 . 116396 10 2 10 3 10 5 . ! 6 ! 8 ! 6 ! 20 ) 6 , 8 , 6 ( 3 6 8 6 6 8 6 3 2 1 = = = = = = = − X X X X P

b) 14 20 0 0 3 2 1 10 048576 , 1 10 2 10 3 10 5 . ! 20 ! 0 ! 0 ! 20 ) 20 , 0 , 0 ( − = = = = = x X X X P c) 999815244 , 0 0000184756 , 0 1 10 2 10 5 184756 1 10 2 10 3 10 5 ! 10 ! 0 ! 10 ! 20 1 ) 10 , 0 , 10 ( 1 ] 18 , 0 , 2 ( ) 19 , 0 , 1 ( ) 20 , 0 , 0 ( [ 1 ) , 1 , ( 10 10 10 0 10 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = − = − = − = = = = − = = = = = = = = = = − = = ≥ = x X X X P X X X P ou X X X P ou X X X P X X X P d)

)

10

(

)

2

(

)

1

(

)

0

(

X

₁

=

+

P

X

₁

=

+

P

X

₁

=

+

P

X

₁

=

P

7) 90 , 0 ) E ( E 10 , 0 ) E ( P } vencida N { E } vencida { E = = = = − −

a) _(0,10)10_(0,90)0 _{0,0000000001 10} 10 10 10 ) 10 (_{X = = = =} − P b)

P

(

X

=

0

)

+

P

(

X

=

1

)

+

P

(

X

=

2

)

+

P

(

X

=

3

)

c)

65132155

,

0

3486784401

,

0

1

)

90

,

0

(

)

10

,

0

(

0

10

1

)

0

(

1

)

1

(

X

≥

=

−

P

X

=

=

−

0 10

=

−

=

P

387420489 , 0 ) 90 , 0 ( ) 10 , 0 ( 1 10 ) 1 (X = = 1 9 = P

E(X) = n.p. = 10. 0,10 = 1 vacina vencida 2000. 0,10 = 200 animais

DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL

Conceito: É uma generalização da distribuição binomial.

Def. Suponha que o espaço amostral de um experimento seja repartido em s eventos mutuamente exclusivos X1, X2, ...Xs, com probabilidades p1, p2, ..., ps, respectivamente.

Ω

X1 X2 ... Xs Assim, p1 + p2 + ...+ ps = 1

TEOREMA: Em n ensaios repetidos, a probabilidade de que X1 ocorra k1 vezes, X2 ocorra k2vezes, .... e Xs ocorra ks vezes é:

s K S k k s s s _{k k k} p p p n k X k X k X P 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 _{! ! !} ! ) .... , ( = = = = Onde: k1 +k2 + k_s =n

Obs: Se s = 2, então obtemos a distribuição binomial.

Ex.: Um dado não viciado é lançado 8 vezes. A probabilidade de ocorrerem. 5 e 6 duas vezes e, cada uma das outras faces uma vez é:

Sol:

{

_{

_}

}

_{

{

}

_}

{

}

{

3

}

1 2 2 6 4 1 5 6 8 6 5 4 3 5 2 1 4 2 6 3 1 = = = = = = = = = = = = = = k k k k Face X k k Face X Face X Face X Face X Face X s n 006 , 0 832 . 5 35 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 2 ! 2 ! 8 ) 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 ( 2 2 6 5 4 3 2 1 ≈ = = = = = = = = X X X X X X P

Ex.: Uma determinada raça de suínos tem no máximo seis filhotes por parto. Qual a probabilidade de em oito parições nascerem ninhadas com 5 e 6 filhotes quatro vezes e, cada uma das outras ninhadas nenhuma vez?

Ω

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

=

=

7

8

s

n

X1 = {Nascer 0} X5 = {Nascerem 4} X2 = {Nascer 1} X6 = {Nascerem 5} X3 = {Nascerem 2} X7 = {Nascerem 6} X4 = {Nascerem 3} 0001792 , 0 ) 0016 , 0 )( 0016 , 0 ( 24 1680 ) 2 , 0 ( ) 2 , 0 ( ! 4 ! 4 ! 4 5 6 7 8 ) 2 , 0 ( ) 2 , 0 ( ) 2 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 .( ! 4 ! 4 ! 0 ! 0 ! 0 ! 0 ! 0 8 ) 4 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ( 4 4 4 4 0 0 0 0 0 7 6 5 4 3 2 1 = = × × × × = = = = = = = = = = = x x X X X X X X X P