Uma abordagem para o projeto do controle de frequência e de carga de sistemas de potência

.L

UMA ABORDAGEM PARA O PROJETO DO CONTROLE DE-`

FREQUÊNCIA E DE CARGA DE SISTEMAS DE POTÊNCIA j

z . ` , . .¡. . C ¡`- ` ~ '

Esta tese foi julgada adequada para a obtençao

do titulo de E ' §__¬ A; '“ ¡'.1. I ` A .', _ MESTRE EM CIENCIAS ..

Especialidade Engenharia Elétrica eÍ _aprovada

em sua forma final pelo Programa de Pos-Gradua

ção- . . “ "~ - _ . Pro . ¿fi¿â£í‹fir¬vT”FëššIšš*?Élho, Ph.D f

'E ntegrador dos Programas de

u- ' I Pos-Graduaçao em Engenharia - PrÉÍT,Rajamani Doraíswami, Ph.D.' ' - ` Orientador » V' . .__ ›. _¬ BANCA EXAMINADORA: : . '¡ 'r K I .I .I ' 4 ~

“Í/MUÊÃW

E '

/ _:_ ZP§of. Hans Helmfitfiifirn, Pn.DÂ

. \Ã E ~ v

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/í1@`~Âä»êƒ f*v-

de H

Proff Úaiz G. Souza Fonseca, D.Sc.

/fé//zv¿/‹â~Qz§_¬fi E

¬

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

TÍÇDEPARTAMENTD DE ENGENHARIA ELETRICA

~UMA.ABORDAGEM PARA O PROJETO DO CONTROLE DE

FREQUENCIA E DE CARGA DE SISTEMAS DE POTENCIA `

I

TESE SUBMETIDÀ

Ã

UNIVERSIDADEYEEDERAL DE _{SANTA CAT5}

RINA PARA OBTENÇAO DO GRAU _DE MESTRE _{EM CIÊNCIAS.}

-w _ANTONIO SIMOES PIRES

O. fELÓRIANõPoLIs

:fiEfi§ANTA CATARINA ~ _BRASIL

"

JUNHD ~ ₁₉₇₆

” ¡- \ â ó v I Ã minha esposa P A meus pais - . ‹ iii ‹ O 3? \

z / AGRADECIMENTOS _ f. _ 2. /, I, _ _ , . / ,/ ' 1 '_, , z _/ , ,, ~. -' ~ .‹ \ \ š _ r. \u.-4.0-7¢'›« ~»=:~‹›--....‹ } 1 ‹ iv 3_v

Agradeço ao Prof. Rajamani Doraishami pelo inestímã- fl~

vel apoio e entusiasmo prestados na realização deste trabalho.

\ \

.:'

Q _

Ã.cAPEs, BNDE e_ã FINEP pela ajuda fipanceira. `

' z' _- \z - V' × -.U-. .vu 'I ' .. Í . | 4 m ` ... ` 1.. ‹ I .. `. ` I. <sub>`\</sub> _ "_{‹ ~z ‹ ' z › "~ \ ' Q;-` ~. . « fr « « "›- \. ›.'_- *za * - - _ _: _ .`-1[š`.- .._.. \ z " I I ¡,v`*I..ƒ . , ._.` 1 ¬¿,`_ _ ' . b ._..»._, _ -_ › .›.. .. ¬^.¡¿..I. _ .¿›\ V. -.',l..'› ¬ Y' ."›7 z~ ,¿~ ~ »w¿. *fx ~~¢ : 1 ' v W ~. z. 11-55:. ' “z~'Í=`;` _ .'‹ . ~ W.. _ \' .› ,fäflià ~'-fišlrz › -'‹ <sub>9:...</sub> _- z_‹. ' ' <sub>¿-¬.~</sub> . 11-55- .' Y '.:z. .._~¿‹› _. É: ,_»<sub>J</sub> NS 3- .. _ § ~-r . 'K wz -\ .'.\.. _ -;\7,‹'› ._'_!_`ae- ^ _«..-' .ty ';f Ê: __.`.\:¡__ ' ›« Í \ ` ' <sub>`</sub> I ` I .\\ _{_/2/4}

"

_ .XV .__\ <sub>`</sub> ` , _ _ \\ z \I \ X-s C.. ›:_F \ _n u _ ¬ | " _ .- `‹\ _ `*' ›› A 4 ›~ › Evo . : ¡ .› ` ' x I '\ I \ 1 ._ -..«- ¢-¬ v' ‹ z : `?-."0* $'4ívQ

V Os U M Ã R I O ,' V, \ SIMBOLOGIA . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . ... . . . . . ..Ã. . . . . . . ... . ` vii CAPÍTULO I ...

oooc 0 o a n Q c 0 Q 000 A Q ¢ 0 I c Q c Q o o U Q I ¡ot! lui

_l

CAPÍTULO II - . MODELAGEM MATEMÁTICA ...fz; . . . . . . . . ..› . . . . . . . . . ... '-.U 2.1 _f _ . 2.3 ~ 2.4 ~ 205 ._ v×>r×>`N› CAPÍTULO

Modelo matemático de duas mãquinas interligadas _U

Modelo matemático da turbina e do Governador de ç

I O O I Í I O O I I C I I Q I I I Q I I OIvIOII.Ú._OIlOII`II 6

Modelo matemático para o C.P.CÇ em um sistema

de duas áreas ,...;..-.,; . . . . . . . . . .. ₉

ø o o Q u Q ¢ 0 o Q Q Q 0 u 0 0 0 O o_o ao 0 Q u I o Q Q o n

Parâmetros do modelo' . . . . . .;.. . . . . . ..}... . . . . .. '- 15

' ~

- _{Máquinas e sistemas de interligaçao ... À_›l5} U'1U'\U¬

0O|\)Í-' ~

Governador de velocidade e turbina . . . . .. .

17 _ ~ _{Carga aleatoria} ...' . . . . .f... . . . . . ... 17 III z . z.-z .-› J

UM MÉTODO PARA O PROJETO DO CONTROLADOR . . . . .. 18

3.1 - (HÇÚUJÇO V 3.2 ~ CAPÍTULO ..__..._...._...__..._...._...

_ UM MÉTODO PARA ADAPTAÇÃO DO PROJETO DO CONTROLADOR LI

Estrutura do controle ...;.-...` . . . . . . . . .. 19 - _{Especificações do C.F.C.} . . . . . . . . . . . . . . . .~ 19 |›-'i--'l--'I-' -'.'-'carol-J - _{Linearizaçao do modelo . . . . .} . . . . . . .. 2O - _{Critério de desempenho} . . . . . . . . . . . . . . . . .. ç 21 ~ _{Determinação do controlador} . . . . ... . 22

Determinação dos ganhos do controlador . . . . ... 24

¡ \ _ O \ “ _ IV`pV_ u _; _' H l _

O NEAR E CONTROLE HIERÁRQUICO . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ..,.._ 25

uol '_

I-*O2 ._

C.F.C. baseada_na teoria do Controle Classico.. ₂₅

V .

Um metodo para adaptação do controlador para a_ -'

não~linearidade ... . . . . . . . ... › 28 \ ,/' ' 1 *S `1 1 ¬~›z s { «z ^\.\* A ax "›‹ zu 4 \ z.

/

4.3 ~ _{Um metodo para adaptação do controlador com}

_re

lação a aleatoriedade da carga ...,..{...

`~U.4 - _{Estudo da sensibilidade ...} . . . . . .... . . . . . ..;

_,

4.5 - _{Introduçao ao controle hierárquico} . . . . . . . . . ..

~

U.B - _{Implementaçao do controle hierárquico} . . . . . . ._

cAPÍTuLo v ` ' ' ` ` ' z-‹_--_-....à_-íw ¬ ~ `‹ _{RESULTADOS E DIscUssAo ...-} . . . . . . . . . . . . . ... _

5.1 ~ Resultados e discussao sobre o C,F.C. baseado

na teoria do controle convencional . . . . ..

~

5.2 - Resultados e discussao do C.F.C. proposto, _le

. Vando-se em conta o efeito da não~linearidade.

-; 5.3 - Resultados e discussão do C.F.C. proposto, lg

MT Í Vando-se em conta o efeito da aleatoriedade da

V

u o u o o Q A oacl.cocosooonooovonooonooonvanoou

.`5-H - _{Resultados e discussão sobre a sensibilidade..} _ 5.5 - Resultados e discussão do controle hierárquico

CAPÍTULO VI - CONCLUSÕES . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .. ~ _ " I " . ` -_

APÊNDICE l_~ Programa Digital para o C.F.C. convencio-

-I o o n o o Q os-nono; Q | o c n ‹ o o o ø ‹ Q o n u u u o o ‹ ¢ n o ou

APÊNDICE 2 - Programa Digital para o C.F.C. moderno ...

APÊNDICE 3 ~ Programa Digital para o C.F.C. moderno com

carga aleatõria .z....' . . . . . . . . . . ....

APÊNDICE H - Programa Digital para o C.F.C. moderno com

_ - ` _ ¢ o ¢ o c o n o 0 o n o o o n o o . ‹ ¢ o o n ol n u o o c ¡- \ . _ _ . _ _ ` _ ` ' _ . -. .À '. _ _ × _ \ REFERÊNcIA§\Í. _ . . . . . . . . . . . .... . . . . . ... ... - -

o n u Q u 0 Q ooo O 0 onttbounvuâ I c Q Q Q Ico ¡ooo!

3%. › 7: . ` 1 \ L .ø -L w \ 1 .Y I

[A] [Aa] ^7:_. B Di ía; 1 _ Hi . Kí^- Kel KG2 KT; '_ KT2 - L6,L7, Pml PM2_ ~ PE1 PE2 _U PINT M PI _Q PM PL1 PL2 Ref Ri

km

TT1 TT2 ' ui U

Ã

X13 X _ õi-xx Ê1 51 APM1 .‹ . ¬ . / ,' ~ ~

Notaçao genërica para matriz: Matriz

A

Notação genérica para matriz_aumentada: Matriz _Aa Constante de proporcionalidade- SIMBOLOGIA "` _n » vii P

Coeficiente atribuido a freqüencia ( Frequency bias")

Coeficiente de amortecimento do gerador i '› ~¡ Lr

- ~

Tensao do gerador i

^ ¢o` ' <sub>.`</sub> ` '

Frequencia nominal da area i

Constante de inércia do gerador i

Ganhos fi Ganho dos Ganho do Ganho da' `Ganho <sub>da</sub> Ganhos~co Potência A Potencia_ Potência Potência Potência A `* Potencia Potência

Carga local da área l_ _

xos .

`

governador de velocidade da área 1

governador de velocidade da área 2

\ . › turbina da area l 4 ' ` \ turbina da area 2 nstantes mecânica mecânica elétrica eletrica ¡‹ _'z do gerador l _ do gerador do gerador do ferador ~ de interligaçao -A de intercambio maxima transmitida

Carga local da área_2

^ Referenci ~ a @ . ,‹ _ \ Regulaçao da area i

c*

Constante de tempo da turbina da área l Constante de tempo da turbina da area 2

Sinal de controle da área i

\

~

` .

/

"fiotaçao genérica para-vetor; vetor X

Ruído branco suavizado

Reatância da linha de transmissao

Ângulo de torque do gerador i J Desvio de frequência da área i

~

Aceleraçaokdo rotor do gerador i

~ A - A ~

Varíaçao da potencia mecanica devido a açao do gover

nador de velocidade da ãrea l.

zu \ ,AW 1 G ` . . z

› J APM2 ^Pc1 ^Pc2 a .I _ I. _ .il ' ¢(X) Rc .oyo `f\-1 ~_

..=

L ~ ”v111 A A . , ~

Variaçao da potencia mecanlca devldo a _açao do gover

_¬nador de velocidade da área 2 Â Ê '¿ f'-'~;~ :_

Comando para o variador de velocidade da area l _í¿ V

-

E

~ . . Ii»

_ Comando para o varlador de velocldade da area 2__ fg

"Ut \ ._` .função escalar_-L 3‹ n ÉÊ z _ ~ › z A _ z _ M ‹ tvi ›~a f .e _.¿_) ._ xx "* W* .r -›wz›..›.-« - zrúx/dr E ' ~ z¿§ ‹ ~¡z»_ × ,W \ \\ __/.,;;{z Í .z`_.¿. - ._ ,__ ` fz: z . _ __ ” .__'~\I~`£¬__=zÊ.` f; I I ø 1 I I *`_ Y: .G ¡ _. >._ __.,_{_\} ` ~. _ v .I ` \\ _ . \

»\

f`\_.`« \ 1 \ › _. ¬. ..`,¬ ` \ ' ' `:» \ ,. __. _ ( " 1 <sub>« ,.</sub> H " - ;-fz; 1 r ' ._ _. H" I ~. ‹. -‹ \ ‹r 1 s » r K ø 3 1 ›« : i d ' Í5&.`- _ -›.;-=;~ _ ‹ _ . . . _ _ ___‹z¿. ` « __ _ “MT ¬- `_ f /' ' 3. ' . 1 A I ._ .V _ « '-R". - _*

n«

: *N- ` z ‹ __/ .,,,››¬ z ~:._¬¢ ›. 4 ^×. '~ <sub>à</sub> = 4 ¬ -..., ...¬.< ..._... ._ - ¬ ,_ _ _. ,....›¡ \ -››. \. _ _ __ _ __. _ __ _ _ _ __ ‹ . _¬ za ,z`ÍRuÍdo branco ' A _@§

.LX x -_-_-....___.._--_-_.i._.~ /z

RESUMO

' X. -

_ Este trabalho tem por objetivo uma abordagem para o

projeto do controle de freqüência de carga (C.F.C.) de sistemas

de potência- _ j" _ _ _Í 1 t.

"

iq 'z~ ~ Ç_q '

`Fëz~se o estudo deste projeto considerando-se duas _má

'quinas _{interconectadas atraves de uma linha de interligação.} O

~

,modelo da maquina sincrona utilizada É nao-linear e considera-

se a tensão atras da reatância transitoria constante. O projeto

A

para o controle da freqüencia da carga ê feito de uma maneira

_E

nificada. Utilizando~se a teoria do controle otimo linear, a _es

- 4

. . ~ ,

trutura do controlador e obtida como combinaçao linear dos esta

dos e da integral dos estados.¿ Primeiramente desprezou-se a _in

fluência dos estados da outra área. Os valores dos ganhos do

controlador são obtidos atraves da computação interativa, levan

do~se em consideração a não-linearidade,a aleatoriedade da car

~ A ~ ` ~

ga e variaçoes dos parametros. O desempenho com relaçao a

nao-A

linearidade ë verificado observando~se o comportamento do angu

A ~

lo de potencia. Com relaçao ã aleatoriedade da carga, os ganhos

ou ~ 4

sao ajustados para suavizar a açao do controle. Tambem se estu

dam variações de parâmetros, tais como: reatância da linha ,

a

mortecimento e inércia das maquinas. Finalmente, propÕe~se um

controle hierárquico considerando os estados da outra área, _pa

ra melhorar o comportamento global do sistema. K

_ _,_` . . › A . i ` ' '_ \ 1 *~ - ,z . `. \ <sub>`</sub> ø \. Q . \` ` \'1 \ › . 33%.. 1

1 X z 5 i / ` ` '

,'

'ABSTRACT

f fa * '.¶; i

The objective of this work is to_ design a load'

frequency control (L.F.C.) for a power system. _

_ ._ h M

_

' 'V

_ ƒ¡Í _ 'The design of two machines interconnected by

transmission line is considered. The nonlinear model of

the

synchronous machine is utilized assumingéaconstante transkmt

reactance behind the e.m.f. The design of L.F.C. is done

in a unified manner. Using optimal linear control theory, the control structure is obtained as a linear combination

os states and the integral of thoses states. Initially, the

influence of the states of the other area is' neglected .

The controller gains are obtained by interactive computatflxm

taking into consideration nonlinearity¿ randomness of the

load and parameter variations. The performance with respect

to nonlinearity is verified by observing the behaviour of

the power angle. With regard to stochasticity of the load, the gains are ajusted to give a smooth control action. In

addition parameter variations are studied such as:reactance

of line, damping and inertia of the machines. Finally , .a

hierarchical control considering the states of the other

area is proposed for improving the total dynamic behaviour

'of _{the system.}

p - _ -_ h V .A. . - › Hj n  ₀ ` ' .il _L . \ , Q: .. \ G .%z=} \

y l |‹ .CAPÍTULO _I ` -. ¡ . i ` INTRoDugÃo_ I _ _ _ . ' .

Í“A _{carga total e a freqüência em um sistema. de potën}

_ .

cia, estao diretamente relacionados entre si. 'Se _{É suposto que}

todas as válvulas de controle das máquinas primárias que acio

nam os geradores do sistema permanecem em posiçoes fixas, ë evi

dente que as variaçoes de carga no sistema afetarao diretamente

, 4

›`~ A

as velocidades destas maquinas e, consequentemente,` a freqüen

cia do sistema. Por exemplo, se com as condições acima a carga do sistema aumentar, os geradores nao serao capazes de -acompa

nhar o aumento porque as aberturas constantes das válvulas regu

ladoras permitem somente um valor limitado de potência de entra

da para as maquinas primárias dos geradores.` Consequentemente,

~ - .

as maquinas diminuirao suas velocidades, até que o decréscimo

A ~ `

resultante na freqüencia e tensao do sistema reduza todas as

cargas para uma condição em que elas outra vez se igualem ã _pg

tëncia de entrada para a maquina primária, mais as perdas. Esta

~

operagao, obviamente, seria inaceitável. .e _ , u

‹ « Uma das funções principais do controle da _freqüência

A .n ~

da carga (C.F.C.) em sistemas de potencia e entao o de variar '

as aberturas das valvulas de controle das maquinas primárias

em função_das variações de _{carga, a fim} de manter a freqüência

do sistema constante. '*` '

z

._Se dois ou mais geradores operam em paralelo surge o

problema adicional _de dividir a carga adequadamente entre eles.

A

distribuição de carga ë inteiramente determinada pela potën cia de entrada para as varias maquinas primárias. Alem disso,

no caso de sistemas interligados a quantidade de potência trans

~

mitida atraves de linhas de transmissao, 5 determinada por

_Q

cordos entre as diferentes companhias. Assim,a função do C.F.C. não É somente manter a freqüência em um valor constante e_ Q» .FJ. <

_

¡_:.

ela também deve

dir a carga adequadamente entre as maquinas:

fé .

N _

manter a carga transmitida para uma interconexao especifica em

um valor predeterminado. ' 1 \ . 'z _\ ~ 'ãfi »\v¬» ››- 1 ›-¡¬ ¡¿‹;¬-,›zw~z¬.,‹.\-...,...._-....» . . _ _ - ¬ , _› .f 1 .xi ‹ 1 z 1 ,\ ,s .,_ \ ';. À _À \Yé › Í-í P . _...,, r ¡¡ , l. v Í I W 1 r a E É i š 1 â

~ 2

A maioria dos consumidores não ë muito sensível a pe

quenas variações de freqüência. Nos modernos sistemas de potên

cia, a freqüência ë mantida pelo menos dentro de uma faixa de

0,05 Hz, o que ë muito melhor do que realmente o consumidor co

mum precisa. Entretanto, este rigor ë aconselhável para o bom

funcionamento do sistema de potencia,

A ' `

diretamente ligada ao balanço de potencia ativa do sistema.

‹_s. SM que a freqüência estã

‹* i7'Ú_ _{Tanto turbinas a vapor, quanto turbinas hidrãulicas,-} são equipadas com governadores de velocidade, que ajustam a a

bertura da vãlvula de controle para manter a velocidade constan

. ‹ te. «~ -V - z Q :H _ . , q ¿ «¿ - - ' ' » . _ . ii _ A VO

estudo do C.F.C. tornou-se importante devido _ã ne~ cessidade da interconexão de grandes sistemas de potência. Sabe

se que o desbalanço entre a potencia gerada e a potencia consu

mida em uma ãrea, afetai as áreas interligadas, causando um des vio de freqüência. Assim, o C.F¿C. amortece oscilaçoes causadas

pela diferença entre estas potências. Alem disso, devido as o-

brigações contratuais entre as companhias que formam este siste

ma de interconexão, existem certas regras quanto ao recebimento

ou fornecimento de determinada quantidade de potëncia,h chamada

óé ge ` ø _ _ `

_ Para o estudo do C.F.C., o sistema interconectado e

potência de interligação. Desse modo, o C.F.Ç¿ também corri

o desvio da potencia de interligação.. ~

5

2 f'rf§

dividido em vãrias ãreas, sendo que todas as máquinas que _per

tencem a mesma ãrea oscilam.juntas. Cada, área 5 representada

`

por uma mãquina sincrona equivalente. Devido a complexidade no estudo de muitas ãreas, consideram-se aqui somente duas ãreas interligadas. t` '

V À ;¿z\¢

¡

. Fi¿eram~se vãrios estudos sobre o C.F.C. que emprega

vam modelo linearizado para a mãquina1›8. Elgerd e Foshal=2 mos

traram a vantagem do projeto do C.F.C. usando a .abordagemt do

controle otimo. Mas a _aplicação desta abordagem necessita da _re

alimentação de todos os estados do sistema. Como a carga e esta

dos-da outra ãrea são desconhecidos, alguns autoresu=6>9 suge~

rem o emprego de-obserpadores de estado. Outros autores §>85l0

levam em consideraçã§`a aleatoriedade.da carga usando a aborda

gem do "Controle Estocãstico Ótimo Linear". O C.F.C. assim ob

tido, corrige variações de baixas freqüências, evitando desse

e , `4¡ 1. ;›_a... _ D.-'f ^ »~› ' 4 LL* à is* . '¿›‹f f <sub>.z-W-_</sub> - _.... 3-‹~ \ gr: × ›‹ ~« \ 1 -v z 'í.'‹".*-( z z l‹.-<sub>á</sub> z _. em, .».*I›'; , _:-“~ .¡.,_ z- ri '~..¡:z ,,_.,. ._ z\_. '.$ê~ .-›. J... , f-1:: äzâf. L?? .L ,zw .¿_;1z <sub>z,</sub> ...ri ›z '¬- ".* .› w Ê? .ig 'A ú' ,_ ?›Í_ _. fx' 5 _., _ _ ' šf ,Tr .|_. <¬ _.='€-z T' É 1 7-1 ..;~.f, ZÉ' fz ¬:« f'_ 'rff fé; z .A 1 __ 'r \ ‹ ~.z _ 12. z ._ .l __' Q-Ú :¿_~ i-\`.\` × z 0 *z \ as .f W i<sub>s</sub> 'I ‹ ¡_¬ \ ‹ -ê 1 ‹ \ 3- \ t \ z z z _ » <sub>P3</sub> `¡ ~ *L

'

. -

‹-3

~

modo correçoes desnecessárias.

_ Recentemente alguns autoresg consideram a não-lineari

dade na modelagem para tratar o problema de sistemas interconeg

tados. Nas referenciasl5>l8 a estabilidade de sistemas interli gados.ë estudada pelo método de Lyapunov. , _ .

~

.¿ '

J Neste trabalho propoe-se uma abordagem para o projeto

' ~

do C.F.C. para sistemas interligados, levando em consideraçao a

~

nao linearidade, a aleatoriedade da carga e a sensibilidade. O

projeto do controlador está baseado na "Teoria do Controle Õti

~

mo Linear". Como o modelo empregado para o sistema ë nao-linear

~

torna-se necessário-a adaptaçao do controlador para levar ,em

conta a não~línearidade. Isto É feito_atraves de computação in

terativa. * .ea _ .._t ` V A ' . \ p

, No Capitulo II, considera-se a modelagem de duas

má

~ ' ø -

quinas sincronas interligadas, supondo tensao constante atras

da reatância transitõria. O modelo de carga utilizado ë _{um_} sis

tema linear de primeira ordem, excitado atraves de ruido bran

co. g ~

_ V

~ -

~ O Capitulo III, trata sobre o projeto do controlador,

. ‹ _{_}

,ú . ¬

utilizando a teoria do controle otimo. -. “

"` _{-No Capitulo IV, O projeto do controlador ë adaptado}

ao modelo usado no Capitulo II. Estuda-se também o comportamen-

to do sistema quando estados da outra área sao realimentados.

. Finalmente, no Capitulo V, são apresentados os 'resul

tados e discussao deste trabalho. --,. ~

.. _, .. .. I \_¬ K I/ _{\\ \\} \ ~ \ \ z u I 1

war

\ r ø \ \ J fz »_u \ L } 4 4 _§_`.

* H › . CAPITULO II _ ,. s

*MODELAGEM

MATEMÁTICA `

¶;_ A figura 2.1 mostra duas máquinas sincronas ligadas a

_ â

›

'

2.1 - Modelo Matemático de duas Maquinas Interligadas _ fig

iíršr '_

- _ , i ~

_j

a _

,

traves de uma linha de transmissao. No modelo adotado, tanto

máquina l como a maquina 2 funcionam como geradores. A linha de

_ ,_ _ ,,

~ ø , , . _‹

,

transmissao e puramente indutiva. '

" ` fi Hi ' "'l'” ` ~ `

ÃREAC)

A

ÃREA()

. |e.!l§l - xszllâz , MAQUINA MAQUINA 0 I PRIMARIA E ' ' ' " tt' ' t

°

` PRIHARIA E GOVERHADQR I 2 GOVERNADOR CRRGA 'CARGA LOCAL 'LOCAL _ -_ _ 'Í`. ..._...¬. . ...._..._.._. ..._ -_ r. - “Í .__ ._ _.._... ¡__._.-._.._...._.-._..a. Figura 2.l \

“`_ Com relação ao modelo apresentado, serão feitas as

seguintes suposições: , __fl __ . p _ q-__ A »¡ _ _ ' Í ` A . f n ~ '

"-

_{Uma maquina sincrona e representada por uma tensao constan} '

te atrãs de sua reatãncia transitõria. Isto implica a não

~ ~

. inclusao do efeito do regulador

de tensao neste modelo.

-

_A

_{quantidade de moyimento angular da maquina sincrona É} constante. Isto possibilita considerar constante o coefi

~ ~ ~ ao ,

ciente de aceleraçao nas equaçoes de oscilaçoes das maqui

-nas. .z_g . '_ _ _ ~ - ._. 1 . / 'H \. - - - _ - I ._

- _{Consideram~se des reziveis os efeitos dos desvios de fre}

_ P

_

_ qüência sobre a parte estática do sistema de potência con

siderado (linhas de transmissão). A consequência desta _su

f W posição resulta que o modelo matemático para linhas de

~ 4 . f ~ .‹ ,

transmissao sera constituido por equaçoes algebricas, que

N f

sõ,_,.

acoplarao as equaçoes diferenciais que descrevem o modelo

das maquinas. *

~ _{As resistências da linha e maquinas serão desprezadas.}

4 › ~. š -_ _.«_..-› ._ .4z.~.-/t r. L..- ... zt.. ,_ ` _ f __ ___ ir, _ _ " â .1, 5 s z â a _,››vz~;. . _ .~

~ ~ '

As equaçoes de oscilaçao para o sistema apresentado

na figura 2.1 em p.u. são dadas por:3 _

. pl”. _ - Hlfiôzôl .- aôl t ú -_~ _¿

-~

-¢-

+ D

`--

= _P - _P ` pu MW (2.l) ›, . -\ u, H2 à2õ5 =aõ5 , * __v~ ' _ - z _ 5;-Q-+ D2 ~‹;-t-- = _{PM2_"}

_PE2.pu

.MW _ 'í(2.2) . 2 › ' › . onaep, Í Égl = _PLI 4 _PINT x ,._(2.3) - × ' ' ` .ø ~ ,

~ Para este trabalho, _o modelo proposto _e nao~l1near. A

não-linearidade considerada aparece na potência de interligação

que ë dada por3 <sub>`__.</sub> __ i. <sub>;“,</sub> -. ` z rf'

V _ *i z E1

52"

- *' ~ *A carga local

(PL) no modelo ê representada por um _de

grau; Contudo, ela geralmente não ê constante, sendo função da

A ~ '

frequencia e da tensao na barra. _ No modelo, ë suposto que a ten ._

A ~

são e'a frequencia da barra sao constantes, assim como a rea-

tãncia da linha de transmissao. Em resumo, a parte do sistema interior ao retângulo tracejado da figura 2.2 considera-se ten-

são e freqüência constantes.¡ f _Z m“%`7`

u -. z ' \

ep

\_`___ - r______._..._ .__.._.. _._.... /""`\ . /' `\

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CARGA CÀRGÀ

/

LOCAL LOCAL 1 'r._ 33. __ ;_ ,W ,_ A 1 Í À fvffff' f-›f \ A Figura 2.2 /

F vi

'

» 6 \

z »

2.2 - _{Modelo Matemático da Iurbina`e`do`Governador de} Velo-

cidade. '

.

A Antes de apresentar o modelo matemático, serão aborda

dos aspectos fisicos a respeito do governador de velocidade

.

, , O diagrama esquematico de um tipo de governador usado

em turbinas a vapor e mostrado na figura 2.3 ~ -

» Y .. -~¬v---¬..,z_....,,...._...~...z›f.‹.-z...`.i.- ,.,~,«‹.‹,~n.‹zv--.‹-_.- _ . z.. . _ . . . . .,.; MOLA _ `

G0\.'ERNADOR(AC|ONADO PELO EIXO DA TU-RBINA)

moroa no t . ~ - vzxamnon os Ê? " ` ` " f <§ =. š slsrsmâ vELoc|oAoE i ' ' ^ V *' _. "Tunema (vosuçzío n~ucp\L) _ Í ' J i ' ' ¡ _ , i ¿' sznvo- z OLEO A ' gggfofi

Pnassfio coNsnua'rE"`°* Í:-Í-:Í ¡¬-,¡,R,{U_

. Lnco p vA'Lvu1.A ` <sub>PILOTO</sub> 'Í-'¢-›~.-`_ .‹ -" ~ ~_...'..* - qq _ Í <?_oEsLocA- MENTO "VAILVULA _{PRINCIPAL DE} -›,z-..,.,_- z,-_...`_~ ._ ›...z ‹ `*- _{_.} i ,_ _ Figura 2.3 _ J asruâuoa ' . FI ::-.»..:z;-.__.* H :i 35 -a H rLu|oo z ` cz » na '_,z°` _ _ _, cÀLnE|Râ - V V < ` ._ da turbina. ' ~ ~ u ' 4 ~§£ .~ ;. _,..` n 4 n u ,_,z.` e _: .‹.~.--z--v.--¬›~ i R ,.">›z_ 'F ~ _ânmassšo ' › _~ I .‹

. O elemento.sensivel as variações de velocidade (sensor)

É o governador centrifugo de Wattll, no qual duas massas deslg

cam~se radialmente para fora, ã medida que a velocidade aumen

ta, acionando por meio de uma alavanca, uma agulha central. Es se movimento É transmitido atraves de um sistema de alavancas

ao pistao de uma valvula piloto, que comanda o acionamento do

servomotor. Neste sistema existe uma zona morta, isto 5, enquan ~

to a velocidade nao sofrer um certo acrëscimo minimo, a vãlvu

la não entra em operaçãp não somente devido ao atrito, mas tam

..› .. ..

'

1

bem por razoes de fechamento e abertura da valvula. O tempo F

necessario para que a válvula principal se desloque ë aprecia -

vel, da ordem de 0,2 a 0,3 s., devido aos retardos do ~sistema

hidráulico de controle e do servomotor. As caracteristicas de um

\ ›. E 1 : \ ‹ ._ , fi, E

›.

z 4

~ '

governador de um turboalternador estao apresentadas na figura

2.4, na qual se nota uma diminuição de H por cento na velocida-~

de entre as condiçoes de vazio e plena carga. Í “r

_ - ' _ __ - ' _ ' _\ |¬ 1* ¬. ~-1,04 › uma p_u. I) ~ VELOC - |¡0 z - ' z af- - ~ f - _ __ ›,, _ « ‹ _¡ .u. .¿ `›.¡ Poremcm os sâmâ p.u. _ *_ . __ _. , _ _ _ _ _ _ ____ 1 _- 'z _ 1 t' '"7"'" ' t _ H 1 f ' 7 '¬¬~ f 1 ¡ , 1 .__ ' _ I. › ' /' i'l__ »Figura 2.4 _ f; .gf ç ~ i

_ Os governadores eentrifugos sao utilizados atualmente

‹ 1 _

~

na grande maioria das instalaçoes. Existem, no entanto, outros

' ' ~ 4 . 4 .

.

dois tipos de governadores, que sao os eletricos e os hidrauli-

coslz. ` W ` A ' ' ¬ _ ' .

. Uma caracteristica importante dos governadores 5 o

me

canismo pelo qual se pode alterar a posiçao inicial do braço do

governador; portanto, a abertura da valvula principal pode' ser

ajustada independentemente de variações da velocidade, Esta fun

ção ë realizada por meio de um variador de velocidade. O efeito deste afiste<1Sa;wm1familia de retas paralelas (figura 2.5). Por-

'Ê v¡~:x.oc oa:›sp.u.§ .-1 ' / ` fê-p--/1' ¿___¿y N

/

/;/ ._____/_›/_/

2

//_/'V , z

/

‹ r

\

~-\\

, _

\\\\_

\ vA'mAs voslções |mc|À|s z DO GOVERNÂDÕR I I o,se›.. _ __ . 0 |p.u. 31”.

POTENCIA DE SAIO/t D.U.

- Figura 2.5 t \ .- , › ¬ _ _ . - -¡¡ u » ‹ 1 1 4. __¬..‹-_-,..,..,. i Í › ,› `; if › iv .Y ê ‹› ,t ..._._.. .,,.‹...,....~¬..,...,..¬....-.;_..._...i Í í 1 | \ \ › ‹ I Iz'

1»

z

~ 8

tanto, a potência fornecida pelo gerador, a uma dada velocidade

pode ser ajustada arbitrariamente dentro de certos limites, sen

do esta possibilidade extremamente importante para o controle

_Ê

conomico do sistema. ' _ r '¬ ~ __ *~_ ~ 5 _ ¿¿ 1 da

_ A seguir serã abordado o modelo matemático da turbina

e do governador de velocidade. ¡ w _? _f _- ¿ f ¿' __

_

j_` A

A potência mecânica de saida da turbina ë considerada

' A

em duas parcelas: a primeira parcela, PMí , que fixa a potencia

gerada em regime permanente, e a segunda parcela, APMi ,' _prove niente da ação do _{governador de} velocidade, que tende a manter a potência gerada igual a potência consumida.durante' perturba-

§°eS~ _'< '

*f '

-~Ç -T 1'

A V' -~ ~

*_“ '_“â _{O diagrama de bloco} mostrado _{na figura} 2.63, mostra o

balanço de potencia para a máquina sincrona l do modelo apresen

~

tado na figura 2.l. Neste modelo, nao sera levada em conta, por enquanto, a parcela referente aoÍvariador de velocidade.

w¬.«.-.z-z~.‹_«..¬....,._...~_.~-._...._...z.¬...-. ._ __ _ ._, ,_ _ _ ._ . .,_._.._ _`¡ ... ._ _ _...,__ _ ____¡ __ _ ¡ _ __,,__ _ __ _. ,_ __ ,,.,_._..._ ,,-_ ______,____,,. ___ ¢ , . i _{.~ÍRè¡¿;o}

M

|+sTsr7 f W |+sT'n Í. Q) _

dfzeâ

Ç)

r'*”"

f cftv a a~~ ~ z~zf

~

r Govemmnoa _ › _ _ _ pm _ 1 os vELoc|oÀDE 1~unmNA ' -1`

, __ gx Key í ¿,_›_<zz|>_ _ Kn _ A_P›.u

ø

Mšeumâ

- ` ` PU , I _ _. . \ _ Figura 2.6 4 _

\¬ × O diagrama de bloco da figura 2.7 mostra o balanço de

potencia para a maquina sincrona 2. f `

- '_

“ 'i”

*-> 73.» A _ ' '

^

A representaçao da turbina e a mais simples possivel.

Ele representa uma turbina a vapor sem reaquecimento. Esta' _rg

presentaçao nao leva em conta a dinâmica da caldeira3.

As equaçoes diferenciais relacionando o governador de

velocidade e a turbina para a ãrea 1 são: -¬ _.

. _¬\ ~ › , 4 k _›. .â .__ › z_¬.~‹.---.,z- ,.¿~... sl ›-›‹.¬"¬››«,-y ¡ ,i ¡› Í i › ¡ \ ê .i li > i` ¡ .›. Â, _, Í Ê. É É 'É Í? F & ,-.»-zwz»-›..~ ..»-fz.. ~ ê É r í J r r f 3 ‹-»-, zwf- um ‹.‹, ¬~¬ ¬-z»›.,._.×z...;,..,z Í n § š › -.¢‹~.»~«. « ..».... A .- ...-‹› _: 'f' 1 r x É.

.. / I ' 'PL2 ' i __ _{____} __ Í vw \ Í _ _

A'REA®

¡__zzz,_ _ __ z_ __z. ____fz___z A _ . I l * V - _ « 1 eovemmnon " PM2 p . -' DE VELOCIDADE 1'U¡›'ç3|NA `_ _ “' _ * _ 562 *_ ¿_;×gpg_ Kra Í APp.;z p

Q

'~ Mxíoumâ Hanzo '*5T°2

H

STTZ \ 4 \ ______ _ *__ _ _ _ _ 7 __ _ ___; _ Í_Figura `2.7 wâ gr- _{._-l} _ 1 É - _ '_ ', . _ _ _

AxEl _

-~&(

_{AXEI R1 KGI ôl)}

__ ‹2.5> Tel . . _ ' . I ._ 1 1 - _ APM1 ~

--

( APMl + KTl AxEl) ~e <2.õ) - ‹› _ TTl 1 ~ ~ '

ÀPara a área 2 tem-se: -

. ' v -\ . _p 1 _{_} _ . _ _ t s TG2 * em m ~ ›_ T2. ~ ' ~,} V ._

2.3 f Modelo matemático para o C.F.C. em um sistema de duas ãf

. › \ . ' ₁ _ _ reas{ \ *

"

<sub>-. p` f</sub> _ -- ‹"` _ .

_Antes de propor o modelo, ë necessario expor_ algumas características dos sistemas de potência. Estas características

L

.ø A ₃

podem ser verificadas atraves da analise de sensibilidade .

‹ - Um desbalango de potência real afeta primariamente

a frequência do sistema, mas não afeta a tensão .da

barra. _ _

~ _{Um desbalanço de potência reativa afeta primariamen}

\

10 W

~ ~

`

te a tensao da barra, mas nao afeta a freqüência do

4 sistema.- _,=` V

_ -_

p'

z 'Deve ser ressaltado que estas Consideracõesfso Sê âPlíUä“

' ~

quando as variaçoes envolvem somente pequenas percentagens,

is-~

to ë, sao de primeira ordem no sentido matemático. ~,

»

_ Em vista destes fatos, o problema do controle no regi

me permanente pode ser dividido em dois problemas de controle

independentes ou desacoplados: ` Àf_ ,_ _ ' z. _ ' ' , » '

1. “O problema do controle megawatt-freqüência ou con

trole P~f”. O-objetivo deste problema ë controlar

a freqüência_e, simultaneamente, a troca de potën

, cia real atraves das linhas de interconexao. Por

.meio de um sensor, o erro da frequencia ë _detecta

n

do e comandos "elevadores" ou "abaixadores" são

× '

_ _.

.

enviados ã maquina primária, resultando em um a-

crëscimo da potência ativa gerada. ,'}

. . ~ .

.2. “O problema do controle megavar-tensao ou Controle

~ -

_ AQ-V”. O objetivo ê controlar a tensao ¶V}. Por ~

meio de sensores, os desvios do mõdulo da tensao

“são detectados e comandos "crescentes" ou "decres _{-_}

~ , - ^ . .

centes" sao enviados as fontes de potencia reati-

_

=. _ ..~' _ .

- _P, P Neste trabalho sera considerado que haverá um desaco-

plamento entre o controle P-f e o controle Q-V. Na verdade, o

_ ^ .

controle da”potëncia ativa e`da frequencia esta de certo p modo

_ .

ligado ao da potência reativa e da tensao, porem, para o estu-_ do proposto, ë conveniente considerar o controle da potência a-

tiva e.da freqüëncia.independente do da tensão e do reativo.Por este motivo, considerou-se a suposição de tensão constante a-

tras da reatãncia» para representar os geradores» V

' V

,. O diagrama de bloco, mostrado na figura 2.8, represen

A

ta o controle da frequencia da carga (C.F.C) de duas ãreasf in-

terconectadas. ~~7 '

_

'

, -'_ _

d ~\ .Para montar o diagrama de bloco da figura 2.8, utili-

zou-se os modelos do gqyernador _4, de velocidade e da turbina apre

_ .-

.z, ~

sentados nas figuras Ê.6 e 2.7 e a interconexao das duas areas

foi feita com o auxilio da equação _{(2.5). U1} e _U2 são _os sinais

que controlam os reguladores de velocidade. G

' ” :1 a , . \ \. I \ ; z ‹ » Í-1 §Íz¬

\ ll ._, ._ .z '

_A'REAQ)

A -.-___.--`› _ eovsmeaoon - Fm “ - DE vELoc|oAoE Tumsnmâ _ 1 __.._._._...J. 1. _--._<.-i

U|"* Kel _ A×E| Kra _? L\Pm_

V M/íoumâ 7 7 l+STš5¡ V 777. '"IV+STÍI`IT7 W 1; v

®

8¡ " L__"_-__ PU Puff Q 1 . 'I ›-1-~ ._..._, _ Ê! ...,.,_....¡ ‹-¬- _- $€Nl<S`|;5l~,_) _ . Ç¡_ É . - 1

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F_._...___.._. U2 _{9 H} Kgzñ _ A ×5;,_~> KT; ¿;p,,,,¿› Møfouzrm gf, |+ s Tsz 1 + s T'ra

®

l_.._'-..___ _ ' ` PM2 _ dos são _

"X3

_ ,___ _ J \ ~ 1 ` . Figura 2.8 _ _ _ X . _ -z '

PaÍa~este sistema-de duas áreas -z ? os estados considera

_ ._ - ` \ ._ ` _ . i *› \*« . ` . _ ` - ' ' ` - '_ O " ' \ ` . › d X1 :`._61 H 'X5 : <sub>65</sub> r P O X2 = õl _ X6 : <sub>85</sub> _ v ' ÊÉÊXE1 d X7 = AXE2 2 <sub>^PM1 X8</sub> : <sub>APM2</sub> Xu _ ~ f `¡7 ¡× à _ _

~ As equaçoes ¶,4X1^= , _ szzz › O _ . ' _¿5 : V¿.k6-: X8 = X2 O _ f:L'IT H1 .1 Tel '1 TT1 Xô o f2¶

E

3;. TG2

.L

TT2 - 12 ~

diferenciais que regem o sistema sao:

- › <PM1 ('"X3 ("'X|_+ <PM2 (*X7 ~ - Í: ~ -«'. ' _ : .:. -x' ' (2.9) + _{Xu f_Dl X2 *.PLl} “ <sub>PINT) `àÇ2¡lU)</sub> + <sub>KGl U1)</sub> ' ____ :--z_..,_‹..«-z _. .- z i}<2;11$ _. - .__k ¡` _ _ _¬ + _{KT1 x3›W -~(2.12)} +_KG2 U2) _ t I' _ _ I _ ,_.___ ' 5(2.13) z .M mm ‹2.1u_› '_ -z. _ ‹. - _ .›. _ . =#%‹2.1s> z zj‹2.1õi›

Alem das equaçoes diferenciais, este sistema apresen

à ;_ onde forma onde \ ~› PM'fl = _{|El|.|E21/x_} _ ,__¿,¿.¿f2z1e{M i ~ _ ~ '

ta uma equaçao algëbrica, d

ía ` f ¿_A . z¿. `§,¬;_ f§~ ¢_› z `PINT-= _PM SGD (Xl - X5) , '*f(2¡17> 1 _:-'

.Todas estas equaçoes podem ser colocadas na seguinte

_.› _š.ê z Y _

W

_ » _ Í AT Lxla X2s X3: Xqa X5: X5›_X7› X8! _. '.~.~ ' O ~ ` Q '

'-“

~

.f”H

ev 'Ku'

E

_ .?' ê ê T , _\U1›'U2| š¶+ ¢(x)

Q

+ |B|

_E

+ [C]

_fl

ÍÊ(2.l9) -É ‹ \4\,A fl _f2 .__ _ \‹;D__À: J. "_"']Í › 0) O, U,

Ê;

PM; 0, \ *¬ Y -‹ 3"¡ ¬ Q” "Hr z~ »‹ àâ z n « š _ _. , » . T _ ÍPM1 “1PL1›¿PM2 ' _PL2Í › } \ \. Wi X

lzrë* '›- ' - O 1 O A` _'f§Í1rD 0 --«- o ` . H1 ` \ -.› ' _ _ _{_,} «_ V ..¬‹Te1 _ 1<

-~-~o

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., `._› , . _ T Í [A] Ê V ~ Tl _ ,.,, . .Í ›o o O O O S 0 O

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..ÊÊ.-_ ₀ À Tel Àf;-o,_ - o‹ ,Y \ . A ., ` 0 -\ 0_ O K O _ ,.G2 .¶TG2 ÊÊ. \ H «« O W-O O fãfl H1 O . -1 z..-¬.-__ TT1 O 0 'O O ¬ O -‹ \ v

icnë

I O O O O 0 O O O O O › O O ` O ' o L f2¶D2 .O U. 'o flw --_-_ _H1 U O O - O O

_o

o_

_o

o_

Hz H2 ' O í `.`*l;-z -.i-..` ` TG2 ' KT2 TT2 O -f O O O › 0 o f2¶ O A. O ` u , F0 Ç 0~ *o O f27T ~_.¬-- `H2 O 3.2.. TT2 O ` z ,_.. ,â . af 1 .-x 1' ..z 4 xi” I

É ‹ š 1 '\ I

utilizada neste trabalho. *

~ .Z -~ 4 - V' g ~ lü ¢(X§ Q _{sen (Xl} - _X5) , - '

Como pode ser visto pela equação (2.l9) e definições

que a seguem, o modelo representa um sistema multivariãyel não~

linear. . w. _

`

z V' V¬ E '¡`”

2.H - _{Modelo de Carga.}

O modelo de carga utilizado neste trabalho ë o dep um

sistema linear de primeira ordem, excitado atraves de um "Ruído Branco"l9°2O. _{A figura 2.9 mostra} o modelo de carga aleatoria H.

f-¬z f' ' ¬ "Tjf Í ,;,.._ ~ F|LTRO Rumo BRANCO |+$FB

ê

. '- amoo ~ . o

SUA*/IZA00 careca (PU) Ê* 1

' CONSTANTE '

z

‹i1“

.

r

¿'Figura 2.9V

l_ ~' _O "Ruido Branco" uniforme tem uma distribuição de

po-r z V z a É 5 É l .}`.! ,-‹¿. .› Ís â š Ê í 1 r. Í :fz .K_ zw. g K › I X15 J '

V

z ¡. 'z 5 f '¬'*P'= f f ' f ff /X7

«è

' ‹› CARGÀ ALEATOM/À -1 ~ _ .ii c 1 ~.›:'¡f r _. , \ \ f -;;; ¡ _ É _? ft' Í Í 1 - -Í E 1 š š s .,~;`§ i I x â 1 \'› ø. , A ,,›,

tencia constante no espectro de frequencia e uma amplitude va-_

ú ' - z ~

riando com o tempo, de acordo com a distribuiçao de probabilida

de uniforme. Alem disso, apresenta um comportamento bastante a-

leatõrio. Em qualquer instante, ele gera um valor entre O.e l

N53

‹

4

com a mesma probabilidade: o valor gerado no futuro e indepen ¬ dente do passado. Este fato 5 explicado atraves do seguinte e- xemplo: considere-se a geraçao do ruido branco uniforme nos tem

pos discretos O,_l, 2, 3, H, ... seg; em t = _O5 qualquer valor

` Ê' _

entre O e l\pode ser gerado. No tempo t = 1 tambem qualquer va- lor pode ser gerado entre [U, 1] e independe do valor gerado em

4 , "

t = _0. Em _t Ê42 qualquer valor _e gerado entre _{[U, 1]} independen

te dos que foram gerados em t 240 e t = _{1, e} assim por diante. '

O sistema linear atua como um filtro para suavizar o ruido branco. Esta suavizaçao do ruido branco 5 nccessãria,pois se não fosse feita representaria uma variação de carga excessi-

va, o que não esta de acordo com a realidade. Como e sabido,nos

â ` 1 \\ x , r .z.

sistemas de potência a carga, em geral, varia lentamente com' o tempo. __¿z. _ _ ~ _ fl 1_ _ _ _{_} _l -~ ¿ ~ .~

“___ `“ A geração de carga aleaiõria Ê dada pelas eeguintes

Ê

quações: '_ _f¿g¿'§A_ fl_;“-Q_l_ z ._z- '_ , zdpv z- " ¬' __il3_=_-š» ‹-xls + g) fi¿~‹2.20› fzz_, - '_ 3 ._ =-,_;,.z ___ M _ M .z»{zNVf'_ .*“~ * / -fi__» e 0 ,~ _ 0 - _.

¡ __ _ '*cA_z PLI +_A7 xl3__ _ _ '_ <2.zl› ^ ` l \ ` . _ ` ~

_¿;hlÂÍ"

Incluindo o modelo de carga aleatöria na equaçao (2.

~

19), o sistema passa a ser multivariâvel, nao linear e estocãs~

tico, sendo representado por: * ._ `.n`_1.¬_Ç

_

f l

___ ___§a z [Aa] ša + ¢(Xaz pa

+ _[Ba]

_Q

+ _[ca]¶ + _{gg (2.2l>} onde: ____ 0- ;_ - » _ _ _ _ a~~ _ ~. _Q -_ 0 ' V - . - T _ xa _ [x1, X2, X , X6, X7, X8, Xlglz . CO u X -C u ><Í O7 _ ~_ O _ _' “ o ' - . A- zf1 -_ ›f 0 « 0 T D : _[.0' wi' _{PM1z°O›__} oa Os “gl PM›_ àoa 09 O]

H1 H2 › - A. ~ 1 T

Q

z _{[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,} -~«~] _ ~~ ~ »~ . ~ - _‹. . ~ F8 Í^€ = Ruído Branco __ _{_} Í -z _1< ' " - T “ -i0~ 0 .»Êi 0 0 0 . 0 0 0 ' - / . ¬ ‹ ' _ ' ¬ - \ _ .\ _ ~ ' ,_ ' * =\:_ _ _ ._ T _ _ x _ __ 1 ` _- ~ se _ . Q-\ _ _- G _ . _ _~ _ . _ - a ~ 0 _ KG2 _ __ ›- _{0 0 0«_ 0 0} 0 ~»- 0 0 _ ¡ 75* \P 0» ~ ›¬» ~ _z ~ z FG2 ' . -‹ ¬ I \: 1: _\

n ê ~ :car ~ ¡Aa: ~ '.., \ _ _ `ê 'S z . /_ Í .o › O

fr.

0

~íÊ

0 o 0 0 Hl ¬ z IO O O .O do O O V_fÍnD1 '

fšw

0 9 _H H1 ' 1 . \ -1 ÍG2 KT1 TT1 U _ O O O O 2.5 - Parãgefipps dq _modglg

2.5zl _f Máquinas e sistemas de interligaçao

`\ ~ É» 0 O O .O 0 ” o

z

1 o

«oa

O -1d TT1 0. O K ~ . O 0. 0 O O _Ó O O O O O O

de interligaçao usados neste trabalhog

o fgfn' H2 - _ 2 A zz O . O a 0. O 0 O . V 1 Q f7¶D _ H2 »dO « 16 T O O O O 0 .Q O 0 O o ~1 .-..¬.1... TG2 KT2 TT2 *O do O O o f2¶ No ~1 TT2 0 o '*o ~ t~ 0 O O ¶O O O O . O -1 F 8 _.

4 a A tabela 2.A fornece os dados das máquinas e do sis~

a

.LI

TABELA 2.A

_ _ _ __ _ ____ _

_ __ _ _ _ _ :uu

Valores nominais das maquinas ... . ... '200 MW; 60 Hz~

.Amortecimento, D1, D2 ... . ..., 0,0Hpu/MW/rd/seg

Potencia de intercâmbio, PI ..,... 0,2 pu MW H

A A

Potencia mecanica de entrada da maq.Íl, PM1... 0,7 pu MW ,Potência mecânica de entrada da mãq. 2, PNQ... 0,6 pu MW

Carga local da maquina 1, PL1 ... ... 0,5 pu MW,

Carga local da maquina 2, PL2 ... .... ....; 0,8 pu MW Potencia maxima transmitida, PM ...;..¿... 0,H pu MW

_Constante_de_inercia_da_maquina,_Hl,_H2_¿,,..,_ 3 seg.

'

2.5.2 - _{Governador de Velocidade e Turbina}

4 -

Z

A

Tabela 2¿B, fornece os valores dos parâmetros do go

vernador de velocidade e turbinaÍapresentados. nas figuras 2.6 e

TABELA 2.B

› .

Ganho do Governador de Velocidade, Kgl, KG2 .. 1 Ganho da turbina, KTl, KT2 . . . . ... . . . . ..,.. 'lv

Constante de tempo do _{governador, TG1, TG2} ..._ 0,08 seg.

Constante de tempo da turbina, Tfl, TT2 ¬...-. 0,3 seg.

Regulação de velocidade, Rl,eR2 ..,. . . . . . . ..i gãíšê Hz/puMW

2,5,3 - Carga Aleatõria ,_ _

~ Í

,A Tabela 2.0 fornece os valores dos parâmetros do _dia

grama de bloco na figura 2.9_.

".

_ ¶¿ _H _ _ _

. ~.,,p

.

.

'

TABELA 2.C

Constante de tempo do filtro, F8 ... 10 seg. . _

Constante de proporcionalidade, A7 . . . . ... 1,5

I " o _ 18 CAPÍTULO iii “ 1: z ` ' . ' '

z' _{QM MÉTOQO PARA O PROJEIO DO COÉTROLADOR}

_

'_ Ha atualmente duas maneiras para abordar o problema

do C.F¢C. Uma delas ë o método classico e a outra será baseada

na teoria do controle otimo. .,À_ z

.'

_

_ ¿ _

Â' ~ _O metodo classico _ê baseado na representação do sistei

x

~ ^ z z 1 ~

ma usando funçao de transferencia. As especificaçoes a que o ~

sistema deve satisfazer sao: tempo de subida, margem de ganho,

ultrapassagem ("overshoot"), etc.. O projeto do controlador ë '

obtido realimentando sinais proporcionais ao erro, derivada do

erro e integral do erro. Em alguns casos, também se utilizam

^ ~

,

compensadores. Os valores do ganho do controlador sao consegui

dos atraves de tentativas, a fim de satisfazer as *especifica -

_ `, ~ , çoes dadas. ' _ E ' ~ ›

p O sistema de C.P.C. ë multivariãvel, não linear e es

~ ~

tocãstico. Desse modo, nao pode ser modelado como funçao de transferência. Se o sistema for linearizado, ainda assim ë difí

C il projetar o controlador utilizando a abordagem clássica, em p

vista do sistema ser multivariavel. '

3 . J

O

Â. O Controle Ótimo ê adequado para tratar Ó projeto 'do ”

"

^ . .-›° .

C.F.C. O modelo do sistema e obtido na forma de variaveis de

estado. Os criterios de desempenho dos sistemas sao funcionais .

dos estados e _do controle. Dessa maneira, o controle ë obtido

~ , 4 . ~ _

por minimizaçao do criterio de desempenho usando programacao di`J

nâmica ou o principio do mãximolu. A abordagem utilizando con- f

trole otimo baseia-se no metodo analítico e não por tentativas, ~

mas apesar disso, necessita~se de experiência na escolha do fun

C /'> 1 '“ â n

ional que representa o criterio de desempenho. Como o sistema

_\ ›~ _~ ..

apresentado no Capitulo II ë nao linear, utilizou~se o controle

~ .n , \

otimo usando modelo linearizado. Isto torna a soluçao sub~otima. O critério de desempenho foi escolhido de maneira a incluir es _

~

pecificaçoes tanto no regime transitorio, como no regime perma '

nente. Em conseqüência%_considera~se maior numero de estados do

sistema. Os novos estados são a integral do desvio da freqüëne'

O ^ ,

' ~

e.a integral do desvio da potencia de interligaçao. Esta

_a

,-1. QJ

bordagem unifica o projeto do C.F.C. _Os ganhos do controlador

` _\

'f ~ ‹ z ‹ ._ _.

I ¬ 1 › 19 z - ~ , , . _ ~

sao obtidos interativamente por simulaçao do modelo no computa

dor digital. ~¡__ « '_ _ ' - _ \ 3.1 - _{Estrutura do Controle} 1 ...z 3.1.1 ~ _{Lspecificaçoes do C.F.C.'} A - se `

iPara o C.F.C. de sistemas de potencia interligados,as

seguintes especificações devem ser consideradas: `

'

~-"

_H Ç

»‹ , . _ A

.

l. Cada area deve contribuir para o controle da freqüencia 5

o erro da freqüência no regime permanente devido a uma va

~ ø _ ~

riaçao de carga deve ser zero, se a area onde a variaçao

.ocorrer puder acomodar a variação. Alem disso, os erros

A

de freqüencia no transitorio e de tempo devem ser peque-

nos; ou seja, _ - ç ~ _ z _~ ' u Af.(desvio{de freqüência» 0) _ t . _ › - -_

Í/ñ Af dt (erro de tempo) tem que ser pequeno

-

Q A

-

›` -

Í z ._

2. Cada ãrea deve contribuir para o controle da potência de

\_ interligação programada; o desvio da potência de interli~

~

“zgaçao deve ser minimizada no regime permanente. .

APINT deve ser minimizada no regime

_ permanente.

lV~ -

.

V De acordo com a especificação (l), o desvio de fre

qüência tem que ser zero no regime permanente. Uma forte razão

~

para que esta especificaçao seja satisfeita ê que os desvios de

fre üëncia _{__} indicam cue _l al uma coisa vai mal com o sistema de

_-

o tëncia, pois como se sabe, a frequência esta diretamente ligada

ao balanço de potência ativa do sistema. Há outras razões para

se desejar que o desvio de freqüência seja zero. Uma delas 5

que existe um grande nfimero de equipamentos eletricos que fun~

_ _

_

,

' ^

_

cionam com motores sincronos e ë indispensável que a frequencia permaneça em seu valor nominal. _

“ _{_'}

¡‹ ~,‹v C

C0m relação ã especificação (2), o desvio da potencia

de interligação tem que ser zero no regime permanente. A neces

sidade para que esta especificação seja satisfeita ë puramente

›\ .

u \

ze.

por razões contratuais entre as companhias interligadas.

.z

_

~ z

3.1.2 ~ _{Linearizaçao do modelo.} __

` as

A.estrutura de controle usada neste trabalho esta ba-

seada na teoria do controle otimo linear, apesar do sistema ser não-linear. O controle otimo linear foi usado a fim de que a im

plementação do controlador seja praticãvel. A estrutura do con-

trolador ë simplesmente a realimentação de todos os estados e

da integral desses estados. Se o controle Õtimo baseado no mode

lo nãoelinear fosse usado, o controlador seria complexo, neces- sitando o uso de um computador em tempo reallg. O modelo napre- sentado no capitulo II ë não-linear e, para utilizar a teoria

do controle otimo linear, É necessario linearizã~lo. Usando a serie de Taylor e considerando somente termos de primeira ordem

a_equação (2.l9) sera linearizada a seguir. - A ' Tomando-se: _. _ ~ :§=o_>éO+A_>é :'20 + ~ U =' U + AU ._ ...O _. A.!š:._\lo+.AE V,

‹1><_>§O + Agp

É

¢(><O› + “(%í~>T 'A5

. - `

*

~ XV: X _ H _.. ' _ V «__ _ 4 . ` e substituindo~se em (2.l8) tem=se: --,(33 + z§_>g_>'_,= [A] (_>_g 5) + ¢°(g_<_o) + ' +

Ap

+-[B] '<_L_{O + 'Ay_› + [C] (yo + 'A_»g> <3.`1>

çz ^'" .

'L i

Rearranjando~se os termos dessa equação, e consideran

do que AD igual a _zerq, em virtude do vetor D ser constante, ob

tem-se: ~ _ _4 ' 1 fu za L* “là

na

e iiê .;.gmu0umA mmmuãt;

_ `

A ñ

_

Ag = _{[A] XO} + _{¢(§O) DO} + _{[B] QO} + _{[C] ¶O} + _{[A] Aš} +

/._ ` .

>

+ {<ÊÊ>T _{A§} DO-+} [B] Ay/+ [C] Ay '<3.2)

BX . _ J _ _Como, ' , . ¿ « ~ _ c l

= _[1-*Jão + _{¢<2<_O>;_>_O} +

_[E190

+ _{[Cl w¿,,}

xzx - ›

._._Q H . .~ . ._ _'

substituindo-se em (3.2) tem~se que: U

. _ . .. ,`

`jÍA§=¿Ê,

+

Uflàš

+<XÊ9>T

'A5 1) + hflúgç +

Uflàg

'f'° _ šäšo “' ¿. BK z ~ ~ - ei À - .;.(3.3)

_~. Supondo~se que o sistema antes da perturbação se en-

contrava em regime permanente, a equação (3.3) passa a ter a se

guinte forma: V ~ A - ~ - ' .' i

-'AX

i _{{A]A§ +'{(ÊÊ> A§} D¿} + _{{B]Ag, + [C]} A¶¡' “f3.u)

ax , E `. . 7 ›` ` .v__' _ - _ ' ›v. 3.l.3 - _{Critério de desempenho.} _ '

Como já foi mencionado no item 3.l.l, o objetivo do

C.F.C. ë minimizar o desvio da freqüência, integral do desvio

da freqüência e integral do desvio da potencia de interligação.

Alem disso, É necessario manter a estabilidade do sistema, sem

uso excessivo~da energia para controla-lo. Para manter a estabi

lidade do sistema É necessário que estados como ângulo de potên

. ` ~

,. ~ A

cia e aceleraçao da maquina, nao se afastem da referencia. .g

"

Levando-se em conta os fatos citados, o criterio de

desempenho pode ser representado matematicamente como um funoio

nal da soma ponderada do quadrado dos estados, quadrado da. in-

tegral do desvio da potencia de interligação, quadrado da inte~

gral do desvio da freqüência e quadrado dos sinais de controle.

Z

penho para a area l pode ser representado da seguinte maneira:

_ w _ , V _ t Z _- *z .- f ; _› 1-zz '_ v _ ` " t .V . ' ' ` ' ' ê\ ¬~ .‹z ..z-. V~és-z. 0 = ú,. :¬~» ~ _.rs _ .à1~x 1' _.ef . Z

{‹z1<Ax2›2,+ ‹z2‹A><3>2 + _@z3<Axq›2 + _0z4‹

Í

M2

à»z›2 + zz._._,<AS<2›i2+

O O pg

*Y a_¡¿.¿r Í ' i¿..

. Z . ›,,_.__?r W.

Ê

fgaô _ví (PI - PINT)àr}2 + <Aul>2 ja:

"jÇ3.5›

i

'“ _{e para a ãrea 2:}

Ú”"'i'

1 Â-Q _ ; w 5 ¡ .~ i ¬ A - po ~ « A¿p-p . Í + +

Z f~Á+§q12{:/ë (PI » PINT)df}2 + (AU2)2} dt _ (3.6)

0

“Í “.*_~“- Os pesos ¿{ai} são determinados de acordo com a impor

"tânci idas variáveis _de estado no comportamento dinâmico do sis

' tema. ¶_'

»¡f'np¿"-V¿

'›

¿Z3.l.& - Determinação do controlador. pp N Z U V _M

p ;_ V_

_¬~=,fl¬“. . Este criterio de desempenho, devido a presença da in?

veis AZ AZ AZ e AZ definidas como:

_ .V 9 'la 2: 3 _L¿› / 1 _>x Í\') FL ' fx *U ' Az tÍ fi, _\\ _ ` ¿'= "AX6 <sub>dt</sub> O U l"`$è"'ʧ ' _ t -'AZQ-i 3/ (PI ~ P )dt X O \ `Í PiNT>dt - INT 1 7

a~Vsada no controle Õtimo, isto ë, critério de desempenho quadrãti '›*co. _{Para colocar} na forma quadrãtica, introduz-se novas varia-

..- ›‹ ›f`“ A “ Ç M

\.

*ztegral de algúns estadosg não se apresenta na forma comumente

_E

'

Í ` ` __ z sš¿AZi_=

Í/.AX2

dt v¿\%H: 0 fi»

. _ 23

Usando estas novas variáveis de estado, o critério de H AÍ

desempenho adquire a seguinte forma:

. . _,. , ` oo ,I `,z _J., 2 › z . +22 OL (AZ - e ' ._{_} _ 2 ^ - 2 . ' , 2 2 - 2 â¿g

Jí {al(Ax2› + a?(AX3) + a3<Axu› + au<Azl) + a5(Ax2› + ,P

, o

6 2›2 + <Aul52 }âf ~ ‹a.7>

'

wf

'

\

¶›l;f f ›“Com a introduçao destas novas variáveis, a dimensao do modelo 5 aumentada. A representaçao deste modelo ë dada pela '

tš equação (3.9). i' ' A >. [_\"|o 0 \ í> f.\1°`~ V_V¿Ê

É

= _[A] Ag + {<Ê9>T _A§}

_Q

+ _{[B] Ay} + _[c]Ay

ãš _XZX _ . ~ o ` ` Í

12

‹\AZ2 = 3 ` 4 1 `_ \. . 2' _{2 2 2} »'» ~ ₂ J V* ` JÍ {d7(dX6)_

+ _d8(AX7)- + _a9(AX8) + _al0(AZ3) + _all(AX6) +

O

. _

~‹+ _{@12<Azu›2 + ‹Au2>Ê} óú} . :'=<e.ô›

~ ~ ~ :J ‹- V. _ i v AXQ ¡ 2 ,. W. 2 I Plz- P _INT ' (3.9) AXE' '- ú _ _{P )} INT 1 '› _, › ~‹`

â*`d _{-¡Os controlesÀUl eAU2 são obtidos pela minimização de} › ”

(8.7) _ê (3.8), tal que (3.9) seja satisfeita. Este ê o conheci»

»° .` .'

‹ ^' *'

do controle otimo linear cuja soluçao e, -

. ~. - _ 2 , . {,.\«._e _ . _

tn

_ . \ _ para a_area l e, 1 I ` z. É vs \ ,, 2» M p'y K5 j/ (PI » P ¡ l \

AUl = _{K1 AXé`+4K2 AX3} + _{K3 AXN}

}[ AX2 dt + K5 AXé^+ ;Í ' 5 O '- _› ~' _r _~_ 1 INT) at - :<s.1o)_p' « › Í, 5 P v u A V \ s

“ ` _ t _' + <sub>Klz</sub> (PI ~ PINT>àr - (3 11) y . \ _. _ ..:z . o ' _ _ _^__ _ _ z , ` para a area 2. _ g . _ `_ _ .csi H _ _

"

- No caso convencional, usa-se somente a realimentação

do desvio da freqüência, integral do desvio da freqüência e in

' A ~

tegral do desvio da potencia de interligaçao. Com base nas equa

ções (3.lO) e (3.ll), pode-se concluir que o controlador conven

cional ê um caso particular do controlador otimo linear.

'

~r Tomando~se como base as especificações abordadas no

_i

tem 3.l.l,_realimentaram~se os seguintes estados: o desvio da

freqüência, a fim de que esta não sofra grandes oscilações no

~

regime transitõriog a aceleraçaoÍdo rotor, devido ao fato de

A

que ela controla o desvio da freqüência e do angulo de potên

cia; a saida do governador de velocidade, a fim de reduzir o

tempo de resposta do governador; e finalmente a integral do des

' _{/_} A _{_}

. , ~ , ,

vio da freqüencia e da potencia de interligaçao, com o objetivo

de adquirirem seus valores nominais no regime permanente. '

- › > \

'

3.2 ~ Determinação dos ganhos do controlador

Os valores dos ganhos dependem da escolha dos pesos,

1 , no criterio de desempenho e do ponto de operação do siste

ma. Como os pesos

1"são

escolhidos por tentativas e , alêm

disso, o ponto de operação.varia com a variação da carga, torna

se dificil a determinação dos ganhos analiticamente, '

A

i '

Como ponto de partida para o projeto do controlador

\ . _ _ .

proposto neste trabalho, determinou4se um ponto de operaçao a

partir do qual os ganhos foram determinados atraves de 'computa

ão interativa ou se`a variam-se os anhos do controlador até

Ç > 1 ›

obter resposta desejada, observando-se o componente do sistema atraves de um mostradqn%("display"). - ~,- ~ J-:\ _ 1 › \ \ ›

K 25 -‹ _cAPÍTULo Iv ...-._..._--... , _ ~

MEiono_PARg”ADAPT@§§g no PRQQETÓ Do_coNTRoLADo3

LIN;5R E _{ÇONTROLE HIERÁRQUICO}

`

A ~ ,

`

_ .-

O modelo usado neste trabalho e nao-l1near;e estocas

tico, mas o controlador proposto esta baseado no modelo linear

deterministico. Este fato necessita de adaptação do controlador

ao modelo descrito no Capitulo II. Incluiu~se no presente capi

tulo o C.F.C. convencional para comparaçao com o C.F.C. propos to. Estudouflse o comportamento do sistema com relação ä não-li

'

_ ~ , , ~

nearidade. Para cada ponto de operaçao variaram-se as condiçoes

iniciais, observando o desvio da.freqüência, angulo de potência

^ . . ‹ ~ _{z z z ú} '

e potencia de interligaçao. Depois incluiu-se a aleatoriedade

~ , ,A , , ,

da carga e observou~se a acao do controle, ipotencia de interli

gação, carga e desvio da freqüência. Finalmente, fez~se o estp

do arametrico ivariando~se arametros tais como .P _, H e- D.

__ 3 .

A partir destas análises, modificaramfse os ganhos do controla

dor. Assim, o controlador É obtido com.relaçao_a estrutura jprg

posta. -

_ V

- ~

' '

_

4¡lV~ Ç.P.Ç. baseado na teoria do _{Controle_Çlassico_}

_

*

A

inclusao do C.F.C. baseado na teoria -do controle

classico foi necessária a fim de fazer analises comparativas

com o C.F.C. proposto neste trabalho. «.¬

_

b

'No _{controle classico} o projeto do controlador baseia~

se na realimentação de sinais proporcionais ao erro, derivada

do erro e integral do erro. Para satisfazer as especificações

do C.F,C. apresentadas no Capitulo III, usa~se o tcontrole da integral, pois como ë conhecido da teoria do controle classico, o controle da integral tem grande influencia no:regime permanen

te. Alëm_disso, usa~se o controle proporcional, *para que aífrg

A ~ , ~ ` , A , .

qüencia nao sofra grandes oscilaçoes no regime transitorlo.

_

_`

_ '

A fim de implementar o controle da integral e_“o _con trole proporcional no,mode1o do Capitulo II, para um sistema de

duas areas, ha necessidade de duas variaveis de estados. Estas

~

novas variáveis de estado sao '

›

i _ X9 Z ÂPQ1

para a _{area l,,e}

-_

X10 " APC2

,` ~

'

para a área 2, onde APCl e _APC2 sao os comandos para o variador de velocidade e são dados por: _ _

. . g ~'_-A . “ f , . - Í . ,

"

_ ~ z .;~. APcl = _X9 = _-K1 lí [B X2 + (PI - PINT)}at, (u 1) O e V , *` v¬ _ _ ¿ 1 __ __. . _. . , 'i' ~ ÀPCZ = X10 5 -K1 _{JÍ [B} X6 - (PI ~ PINT)]dt (H.2) _ _~V H.c ,l _{¿_} 0 , _a " › Í~ . < A

V~-__f _>Assim, os sinais de comando _U1 e _U2 que comandam o go

vernador de velocidade sao, `

__ 'i _.i « : _ H »v ¿ ' _ 'V _ «z W ' ` z '_ . . ., z _ Í .U _ Q _ _ _ Q , _ i\__Ul = _-§lx2 - _K1

J[ [B X2 + (PI ~ PINT)]at (u.a)

O . _ ` r _ I 1 " _ . › . ' 1

__ Uè = -§2x6 - gl _J/ [B X5 - (PI ~ PINT)]at <u.u>

z A V

"Com

a inclusao do controle da integral, o número de

~ ~ ‹~«

equaçoes diferenciais aumentou para 10. As novas equaçoes sao: X9 =*-Kl[B X2 +~(rI ~ PINT›} (u.5>

X10 = -Kl[B X5 + (PI ~ PINT>] -

i <u.ô›

-4

gv Com as equaç5es(H.3), (H.H), (4.5) e (H.6) o controle

da integral e proporcional e implementado no diagrama de bloco

da figura 2.8. Dessa maneira, o diagrama de bloco da figura Ull

ë representa O C.F.C. convencional para um sistema de duas - ã~

_..-\ _' -' ~

reas, com potencias nominais iguais. A

'

""

O ganho constante _K1 controla a taxa de integração e

portanto a velocidade de resposta da malha¡ A integração na _prá

tica ê realizada emfiintegradores eletrônicos do mesmo tipo `que

aqueles usados em compgtadores analogicos. Os sinais negativos, devem ser incluidos ja que cada área deve aumentar sua geração se›o erro de freqüência ou o desvio de potência de interligação

27 ê <2_'”'*_*T______ __ _

,WD

_ zír-:EAÇQ 4 ` ,_- -_____.-_»- __~______ _ __.

E

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Í” _ ¬;f _ f›__zzz: _ _ _ ___ __ _ V _:__. ___________ _ _ _t__ _ z_' _ _{___:_;f_._=_›___} ;__ _ ,__ _ _____l__ ' O ` Figura 4.1 `

um coeficiente atribuido ã freqüência É negativo. O ganho B ê

_sinal da entrada do integrador ë conhecido como erro de _con

trole da área (E.C.A.), ' . . . ' ' l a ' ' Ú z \ ` L e -__

lj

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